Filtro_adaptado

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Transmissão de impulsos em 
banda-base 
 
2 
Transmissão de impulsos através de um 
canal com ruído aditivo 
 
2.3 
O filtro adaptado e o correlacionador 
Transmissão de sinais em canais banda-base 
Introdução 
Consideremos a transmissão de sinais digitais através de um canal em 
banda-base. 
• Como o canal é dispersivo vai haver interferência intersimbólica (ISI), que 
provoca erros na recepção dos sinais transmitidos. 
• Uma das maneiras de combater a ISI é actuar na forma dos impulsos 
ao longo do sistema. 
• Uma outra maneira é recorrer a igualização adaptativa. 
• Outra fonte de erros em sistemas de transmissão em banda-base: ruído 
no receptor (também chamado ruído do canal). 
• ISI e ruído ocorrem simultaneamente mas é mais fácil estudar os seus 
efeitos separadamente. 
• Em primeiro lugar vamos ver a situação sem ISI, transmitindo-se um 
impulso único através de um canal não dispersivo que apenas introduz 
ruído branco aditivo. Mais tarde analisaremos o que se passa quando 
existe ISI; trataremos então da questão da formatação dos impulsos. 
O filtro adaptado e o correlacionador 2 
 
Transmissão de um impulso 
através de um canal com ruído 
Sistema em estudo: 
 
Canal 
1/T 
Ruído AWGN
n(t) 
r(t)
z(t) = 
g0(t) + n0(t)
z(T) = 
g0(T) + n0(T) 
Emissor 
Filtro receptor 
h(t) 
g(t) 
 
• g(t) é um impulso (que pode representar um dígito binário 0 ou 1) 
• T é um intervalo de observação arbitrário 
• n(t) é uma função-amostra de um processo aleatório (ruído branco) de 
média nula e densidade espectral de potência . 2/0N
O filtro receptor é um filtro linear e invariante no tempo (LTI). A sua 
função é detectar o sinal de impulso g(t) de maneira óptima, dado se ter 
recebido r(t). Quais devem ser as suas características de modo que na sua 
saída a relação sinal-ruído seja máxima? Vamos ver… 
• Entrada do filtro: ( ) ( ) ( )r t g t n t= +
• Saída do filtro: 0 0( ) ( ) ( )z t g t n t= +
O objectivo do filtro óptimo é tornar a potência instantânea do sinal de 
saída , medida no instante t=T, tão grande quanto possível 
relativamente à potência média do ruído de saída , maximizando a 
relação sinal-ruído 
)(0 tg
0( )n t
( )
2
0
2
0
( )
( )T
g T
S N
E n t
=   
 
O filtro adaptado e o correlacionador 3 
 
Transmissão de um impulso 
através de um canal com ruído 
• Sinal à saída do filtro receptor 
)()()(0 fGfHfG = 
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== dfefGfHdfefGtg ftjftj ππ 2200 )()()()( 
Amostrando a saída do filtro no instante t=T teremos (sem ruído): 
2
22
0 )()()( ∫
∞
∞−
= dfefGfHTg fTj π (*) 
• Ruído à saída do filtro receptor 
Sendo 
2
0N a densidade espectral de potência do ruído na entrada do 
filtro, a densidade espectral de potência na saída é 
20 )(
2
)( fHNfSN = 
A potência média do ruído de saída é: 
[ ]2 200( ) ( ) ( )2N
NE n t S f df H f df
∞ ∞
−∞ −∞
= =∫ ∫ (**) 
Substituindo (*) e (**) na relação de (S/N)T temos 
( )
2
2
20
( ) ( )
( )
2
j fT
T
H f G f e df
S N
N H f df
π
∞
−∞
∞
−∞
=
∫
∫
 
O filtro adaptado e o correlacionador 4 
 
Transmissão de um impulso 
através de um canal com ruído 
A desigualdade de Schwarz 
Se tivermos duas funções )(1 xφ e )(2 xφ para as quais se verifique 
∞<∫
∞
∞−
dxx 21 )(φ 
∞<∫
∞
∞−
dxx 22 )(φ 
então 
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
≤ dxxdxxdxxx 22
2
1
2
21 )()()()( φφφφ 
Esta é a desigualdade de Schwarz. 
A igualdade só se verifica se e só se uma das funções for proporcional 
ao complexo conjugado da outra: 
)()( 21 xkx
∗
= φφ . 
O filtro adaptado e o correlacionador 5 
 
Transmissão de um impulso 
através de um canal com ruído 
Viu-se que 
2
22
0 )()()( ∫
∞
∞−
= dfefGfHTg fTj π . Usando a desigualdade de 
Schwarz substituindo 
)()(1 fHx =φ 
fTjefGx πφ 22 )()( = , 
obtemos 
∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
≤ dffGdffHdfefGfH fTj 22
2
2 )()()()( π 
Portanto: 
( ) 2
0
2 ( )TS N G f dfN
∞
−∞
≤ ∫ 
Ora o teorema da energia, de Rayleigh, estabelece que 
 2 2( ) ( )g t dt G f df E
∞ ∞
−∞ −∞
=∫ ∫ = (E - energia do sinal) 
Logo, o valor máximo da relação sinal-ruído é 
( ) 2
0 0
2 2max ( )T
ES N G f df
N N
∞
−∞
  = =  ∫ 
A função de transferência do filtro é, neste caso, óptima, . )( fHopt
O filtro adaptado e o correlacionador 6 
 
Transmissão de um impulso 
através de um canal com ruído 
O filtro adaptado 
A relação sinal-ruído máxima obtém-se se , isto é, se )()( 21 xkx
∗
= φφ
fTj
opt efkGfH
π2)()( −∗= (nas frequências) 
No domínio dos tempos a resposta impulsional é a transformada de 
Fourier inversa: 
∫∫
∞
∞−
−−∗
∞
∞−
== dfefGkdfefHth tTfjftjoptopt
)(22 )()()( ππ 
Sendo g(t) real então G e )()( fGf −=∗
)()()(
)(
)(2 tTkgdfefGkth
tTg
tTfj
opt −=−=
−
∞
∞−
−−∫
���� 
���� 	�
π 
Conclusão importante: a menos do factor de proporcionalidade k, a 
resposta impulsional do filtro óptimo é uma versão atrasada e 
temporalmente invertida do sinal de entrada g(t). 
Significa que a resposta impulsional está adaptada ao sinal. Diz-se que 
o filtro receptor óptimo é um filtro adaptado. 
 
O filtro adaptado e o correlacionador 7 
 
Transmissão de um impulso 
através de um canal com ruído 
O filtro adaptado 
O sinal de saída de um filtro adaptado, no instante t = T, vale 
∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== dffGkdfefGTg fTj 2200 )()()(
π 
Vimos que 2( )E G f df
∞
−∞
= ∫ , logo 
kETg =)(0 . 
Isto quer dizer que a amostra do sinal após o 
amostrador, g0(T), é proporcional à sua energia. 
A potência média do ruído na saída do filtro é 
[ ]
2 2
2 2 20 0
0( ) ( ) ( )2 2
N k NE n t H f df G f df
∞ ∞
−∞ −∞
= = =∫ ∫ 02k N E 
Sendo assim, confirmamos que a relação sinal-ruído ( com um 
filtro adaptado vale 
)TS N
( ) ( )
2
2
00
2max
/ 2T
kE ES N
Nk N E
  = =  
Como se vê, a relação sinal-ruído máxima não depende da forma do 
sinal g(t): impulsos que tenham a mesma energia são igualmente eficazes. 
O filtro adaptado e o correlacionador 8 
 
O filtro adaptado numa página só 
• Relação sinal-ruído à saída do amostrador: ( )
2
0
2
0
( )
( )T
g T
S N
E n t
=   
 
• ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
== dfefGfHdfefGtg ftjftj ππ 2200 )()()()(
• [ ]2 200( ) ( )2
NE n t H f df
∞
−∞
= ∫ 
• ( )
2
2
20
( ) ( )
( )
2
j fT
T
H f G f e df
S N
N H f df
π
∞
−∞
∞
−∞
=
∫
∫
 (filtro Hopt(f) maximiza ( )TS N ) 
• Desigualdade de Schwarz: ∫∫∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
≤ dxxdxxdxxx 22
2
1
2
21 )()()()( φφφφ 
Substituindo 1( ) ( )x H fφ = e : 22( ) ( ) j fTx G f e πφ =
( ) 2
0 0
2 2( )T
ES N G f df
N N
∞
−∞
≤ =∫ 
( )max TS N  atinge-se com o filtro 2
( ) ( ) 0
( ) ( )
opt
j fT
opt
h t kg T t t T
H f kG f e π∗ −
= − ≤ ≤
=
 ⇒ e kETg =)(0 [ ]
2
2 0
0( ) 2
k N EE n t = 
O filtro adaptado e o correlacionador 9 
 
Transmissão de um impulso 
através de um canal com ruído 
Filtro adaptado: um exemplo 
Um impulso é aplicado a um filtro. Se este 
estiver adaptado ao sinal de entrada obtém-se a saída da figura. O seu valor 
máximo é atingigo para t=1 s. 
( ) ( 0,5)cos(2 .8 )g t rect t tπ= −
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Sinal de entrada
Tempo (s)
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
-1
-0.5
0
0.5
1
Sinal de saída
Tempo (s)
 
O filtro adaptado e o correlacionador 10 
 
Transmissão de um impulso 
através de um canal com ruído 
Detecçãocom filtro adaptado 
 
x(t) 
+ 
n(t) 
z(t) 
Filtro 
adaptadoCanal 
r(t) z(T)
Receptor
Decisor 
 
• Diagrama de olho à entrada do receptor: 
0 0.5 1 1.5 2
x 10
-3
-4
-2
0
2
4
Tempo (s)
 
• Diagrama de olho à saída do filtro adaptado: 
0 0.5 1 1.5 2
x 10
-3
-2
-1
0
1
2
x 10
-3
Tempo (s)
 
O filtro adaptado “abre” o diagrama de olho, logo, o decisor toma mais 
decisões correctas com filtro adaptado do que sem ele. 
O filtro adaptado e o correlacionador 11 
 
Exemplo de filtro adaptado 
realizado como filtro FIR 
 
Filtro adaptado 
a g(t) 
r(t) = 
g(t) + n(t) z(T) 
h(t) 
1/T 
 
 g(t) 
T t 
h(t) = g(T-t)
T t
hn 
n 0 5 
 
Neste exemplo o filtro adaptado é realizado como um filtro transversal 
FIR (“Finite Impulse Response”) com nove coeficientes. O sinal recebido r(t) 
é amostrado e apresentado à entrada do filtro. 
Nos filtros FIR os seus coeficientes têm os valores da sua resposta 
impulsional amostrada: 
 
Σ
h0 h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8
n 
h0 h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 
 
O filtro adaptado e o correlacionador 12 
 
Outro exemplo de filtro adaptado 
realizado como filtro FIR 
 
g(t) 
T t 
Símbolo 
transmitido 
hn 
n 0 5
Resposta impulsional 
amostrada do filtro FIR 
 
 
Σ
h0 h1 h2 h3 h4 h5
n
h0 h1 h2 h3 h4 h5
0 1 2 3 4 5
Filtro 
adaptado 
 
 
Saída do filtro FIR 
zn 
n0 5 10
Instante de 
amostragem 
mais apropriado 
 
O filtro adaptado e o correlacionador 13 
 
Transmissão de impulsos em banda-base 
Filtro adaptado: um exemplo com impulsos triangulares 
• Impulso triangular de valor máximo 10mV e duração 1 ms 
• Densidade espectral de potência do ruído branco na entrada do filtro 
adaptado: 
2
. 
N0
= 5nV2 / Hz
P.: Quanto vale a relação sinal-ruído à saída do filtro adaptado no instante 
de amostragem? 
R.: O intervalo de amostragem vale T = 1 ms. 
Energia do impulso triangular de entrada: 
 
E = g2 (t)dt
0
T
∫ = g2(t)dt
0
0,5×10−3
∫ + g2(t)dt
0,5×10−3
10−3
∫ =
= 20t( )2 dt
0
0,5×10−3
∫ + (2 ×10−2 − 20t)2 dt
0,5×10−3
10−3
∫ =
= 0,33 ×10−7(V2s)
No instante de amostragem (t=1ms) a relação S/N pedida vale: 
 
S
N
=
2E
N0
=
0,33×10−7
5× 10−9
= 6,67 ⇒ 8,2dB 
O filtro adaptado e o correlacionador 14 
 
Probabilidade de erro 
na detecção com filtro adaptado 
• Expressão geral: Pe = Q
∆V
2σ
 
  

 
 
 
• Valor do sinal no instante de amostragem (t=T): g0 (T ) = kEb 
• Potência do ruído: 
 
22 2 0
0
2 22 220 0
2
0
( ) ( )
2
( ) ( )
2 2
2
j fT
b
NE n t H f df
k N k NG f e df G f df
k N E
σ
∞
−∞
∞ ∞
∗ − π
−∞ −∞
 = = = 
= =
=
∫
∫ ∫ = 
• Probabilidade de erro com impulsos polares (±g(t)): 
 • ∆ V = 2kEb 〈Eb 〉 = Eb + Eb2 = Eb (energia média) 
 • σ = k N0Eb
2
 
 • P =e Q
∆V
2σ
 
  
 
  = Q
2 Eb
N0
 
  
 
  = Q
2〈Eb 〉
N0
 
  
 
  
• Probabilidade de erro com impulsos unipolares (g(t) e 0): 
 • ∆ V = kEb 〈Eb 〉 = Eb + 02 =
Eb
2
 
 • σ = k N0Eb
2
 
 • P =e Q
Eb
2N0
 
  
 
  = Q
〈Eb 〉
N0
 
  
 
  
O filtro adaptado e o correlacionador 15 
 
Probabilidades de erro 
na detecção com filtro adaptado 
• Com impulsos polares: Pe = Q
2Eb
N0
 
  
 
  = Q
2〈Eb 〉
N0
 
  
 
  
• Com impulsos unipolares: Pe = Q
Eb
2N0
 
  
 
  = Q
〈Eb 〉
N0
 
  
 
  
0,1 1 10
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
<Eb>/No (dB)
Pe
Impulsos
unipolares
Impulsos
polares
Detecção com filtro adaptado
 
 
Se a relação 〈Eb 〉
N0
 for igual, com impulsos unipolares a 
probabilidade de erro é mais elevada que com impulsos polares. 
O filtro adaptado e o correlacionador 16 
 
Filtro adaptado e correlacionador 
 
Filtro adaptado 
a g(t) 
r(t) = 
g(t) + n(t) z(T) 
h(t) 
1/T 
 
 g(t) 
T t 
g(-t)
-T t
h(t) = g(T-t) 
T t 
 
Saída do filtro adaptado: 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
t
t
z t r t h t r h t d
k r g T t d
τ τ τ
τ τ τ
= ∗ = −
= − +
∫
∫
=
No instante t = T: [correlação de r(t) com g(t)] 
0
( ) ( ) ( )
T
z T k r g dτ τ= ∫ τ
O valor z(T) também pode ser obtido com um correlacionador: 
 
r(t) = 
si(t) + n(t) z(T) 
0
T∫ 
g(t) 
 
Mas… só no instante t = T é que a saída do correlacionador é igual à saída 
do filtro adaptado: 
 
Comparação das 
saídas do filtro 
adaptado e do 
correlacionador 
T t 
z(t) Saída do 
correlacionador 
Saída do filtro 
adaptado 
mesmo valor em t = T 
 
O filtro adaptado e o correlacionador 17 
 
Equivalência entre filtros adaptados e 
correlacionadores 
Caso geral binário com impulsos so(t) e s1(t) 
• Detector com dois filtros adaptados 
 
Filtro 
adaptado a 
s1(t) r(t) +
-
z(T)1/T
Filtro 
adaptado a 
s0(t) z0(t) 
z1(t) 
 
• Detector equivalente com dois correlacionadores 
 
r(t) +
-
z(T)
z0(t)
z1(t)
0
T∫
0
T∫
s0(t)
s1(t)
 
• Detector equivalente com um só correlacionador 
 
r(t) z(T)
0
T∫
s1(t) – s0(t) 
 
A referência deste correlacionador é a diferença s1(t) − s0(t ) . 
O filtro adaptado e o correlacionador 18 
 
Probabilidade de erro no caso geral binário 
com impulsos so(t) e s1(t) 
• so(t) enviado: 
 
[ ]
0 0
2
0 1 0 0 1 0
0 0
0 1 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) — energia de s ( )
T T
T
s s
z T s t s t s t dt s t s t dt s t dt
0
T
s t s t dt E E t
= − = −
= −
∫ ∫
∫
=∫
 
• s1(t) enviado: 
 z T 
1 10 1 1
0
( ) ( ) ( ) — energia de s ( )
T
s sE s t s t dt E t= − ∫
• Definição do coeficiente de correlação entre os símbolos: 
 ρ = 1
Es0 Es1
s0(t )s1(t )dt
0
T
∫ 
Logo, a saída do correlacionador vale: 
 
1 0 1
0 0 1
para o bit 1
( )
para o bit 0
s s s
s s s
E E E
E E E
ρ
ρ

−
= 
− +
z T 
O filtro adaptado e o correlacionador 19 
 
Probabilidade de erro no caso geral binário 
com impulsos so(t) e s1(t) 
• Diferença de amplitudes no instante de amostragem (t = T) 
 
∆V = Es1 − ρ Es0 Es1 + Es0 − ρ Es0 Es1 =
= Es1 + Es0 − 2ρ Es0 Es1
 
Mas isto é a energia da diferença s1(t) − s0(t ): [ ]21 0
0
( ) ( )
T
dE s t s t dt= −∫ 
 ⇒ dV E∆ =
• Desvio padrão do ruído na saída: σ =
N0Ed
2
 
(com um único impulso de energia Eb era σ =
N0Eb
2
) 
• Relação 
∆V
2σ
: 
 ∆V
2σ
=
Es1 + Es0 − 2ρ Es0 Es1
2N0
 
• Se os símbolos tiverem a mesma energia, Es0 = Es1 = Eb : 
 ∆V
2σ
=
2Eb − 2ρEb
2 N0
=
Eb
N0
(1−ρ) 
• Portanto, com filtro adaptado ou correlacionador ideal a probabilidade de 
erro vale 
Pe = Q
∆V
2σ
 
  
 
  = Q
Eb
N0
(1− ρ)
 
  
 
 
O filtro adaptado e o correlacionador 20 
 
Probabilidade de erro no caso geral binário 
com impulsos so(t) e s1(t) 
Resumo de expressões 
• Detecção de símbolos com energias Es0 e Es1 : 
1 0 0 1
0
2
2
s s s
e
E E E E
P Q
N
ρ + − 
=    
s
 
• Detecção de símbolos com energias iguais, Eb : 
Pe = Q
Eb
N0
(1− ρ)
 
  
 
 
• Saída do filtro: 
(1 ) para o bit 1
( )
(1 ) para o bit 0
b
b
E
z T
E
ρ
ρ
−
= 
− −
• Detecção de símbolos equienergéticos ortogonais (ρ = 0): 
Pe = Q
Eb
N0
 
  
 
  Saída do filtro: 
para o bit 1
( )
para o bit 0
b
b
Ez T
E

= 
−
• Detecção de símbolos equienergéticos antipodais (s0( t) = −s1(t )): 
 ρ = − 1 ⇒
 
Pe = Q
2Eb
N0
 
  
 
  
• Saída do filtro: 
2 para o bit 1
( )
2 para o bit 0
b
b
E
z T
E

= 
−
• Detecção de símbolos unipolares (s0( t) = 0 ): 
Pe = Q
Es1
2N0
 
  
 
 
O filtro adaptado e o correlacionador 21 
 
Probabilidades de erro com 
impulsos binários ortogonais e antipodais 
0,1 1 10
10-10
10-8
10-6
10-4
10-2
100
Eb/No (dB)
Pe
Impulsos
ortogonais
Impulsos
antipodais
ρ = -1
Detecção com filtro adaptado
ρ = 0
3 dB
 
Os impulsos ortogonais necessitam de mais 3dB para se obter a mesma 
probabilidade de bit errado: 
Pe = Q
Eb
N0
 
  
 
  ortog
 
 
  
 
 
  = Q 2
Eb
N0
 
  
 
  antip
 
 
  
 
 
  
⇓ 
 
Eb
N0
 
  
 
  ortog
(dB)= 10 log 2
3
� 	 � 
 � +10 log
Eb
N0
 
  
 
  antip
=
= 3 + Eb
N0
 
  
 
  antip
(dB)
 
O filtro adaptado e o correlacionador 22 
 
Probabilidades de erro com filtro adaptado: 
um exemplo 
Num sistema de comunicações binário tem-se o seguinte: 
• Receptor correlacionador ideal. 
• Cada bit “1” é representado por um impulso rectangular positivo e cada bit 
“0” é representado por um impulso triangular negativo. 
• Duração de cada impulso: 1 ms. 
• Valor absoluto máximo à entrada do receptor: 10 mV. 
• Ruído à entrada do receptor: 20 5
2
N nV Hz= 
P.: Determine a probabilidade de erro na saída do correlacionador. 
R.: • Energia do impulso triangular (calculada noutro exemplo): 
 E s0 = 0,33× 10
−7V2s
• Energia do impulso rectangular: 
 E s1 = 10 × 10
−3( )2 × 10−3 = 10−7V2s
• Coeficiente de correlação entre os impulsos: 
 ρ = 1
Es0 Es1
s0(t )s1(t )dt
0
T
∫ = −0,87 
• Relação 
∆V
2σ
 na saída do correlacionador: 
 ∆
σ
V
2
=
Es1 + Es0 − 2ρ Es0 Es1
2 N0
= 3,42 
• Probabilidade de erro: Pe = Q 3,42( )= 3,2 ×10−4
O filtro adaptado e o correlacionador 23 
 
Comparação entre detecção no ponto central e 
detecção com filtro adaptado 
• Impulsos unipolares ( ) 0)(0 =ts
 Es0 = 0 Es1 = ∆V
2T σ2 = N0B ρ = 0 
⇓ 
∆V
σ
 
  
 
  Adapt =
2Es1
N0
=
2∆V2T
σ2 / B
= 2BT ∆V
σ
 
  
 
  DPC 
∆V σ( )Adapt
∆V σ( )DPC
dB( ) = 3+ 10 log BT 
• Impulsos polares (± ∆V
2
) 
 Es0 = Es1 =
∆V
2
 
  
 
  
2
T = Eb σ
2
= N0B ρ = −1 
⇓ 
∆V
σ
 
  
 
  Adapt = 2
2Eb
N0
= 2 2 ∆V 2( )
2T
σ2 / B
= 2 BT ∆V
σ
 
  
 
  DPC 
∆V σ( )Adapt
∆V σ( )DPC
dB( ) = 3+ 10 log BT 
• A situação é idêntica nos dois casos. 
• A relação sinal-ruído é mais elevada com filtro adaptado. 
• B ≥ 1
2T
 para que ISI seja nula (critérios de Nyquist). 
O filtro adaptado e o correlacionador 24