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Apostila de Cálculo I 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
2 
 
Limites 
 
 Diz-se que uma variável x tende a um número real a se a diferença em 
módulo de x-a tende a zero. ( ax \u2260 ). Escreve-se: ax \u2192 ( x tende a a). 
Exemplo : Se .1,2,3,4,..N ,
N
1
x == quando N aumenta, x diminui, tendendo a zero. 
 
 Definição: 
 
f(x) lim
ax\u2192
 é igual a L se e somente se, dado 0 \u3b5 e ax \u232a\u2192 , existe 0 \u3b4 \u232a tal que se 
\u3b5 a- x 0 \u2329\u2329
 então \u3b4 L-(x) f \u2329 . 
 
Propriedades: 
constante) C ( C C 1.
 lim
ax
==
\u2192
 
[ ] (x) g (x) f (x) g (x) f 2. limlimlim
axaxax \u2192\u2192\u2192
±=± 
[ ] (x) g . (x) f (x) g . (x) f .3 limlimlim
axaxax \u2192\u2192\u2192
= 
[ ] n
ax
n
ax
(x) f (x) f 4. limlim \uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
=
\u2192\u2192
 
(x) g
 (x) f 
 (x) g
 (x) f
 5.
lim
lim 
lim
ax
ax
ax
\u2192
\u2192
\u2192
=\uf8fa\uf8fb
\uf8f9\uf8ef\uf8f0
\uf8ee
 
n
ax
n
ax
(x) f(x) f .6 lim lim
\u2192\u2192
= 
Apostila de Cálculo I 
 
3 
Constante C , limCC .7
(x) f(x) f
ax
axlim == \u2192
\u2192
 
(x) f log (x) flog .8 limlim
ax
 b b
ax \u2192\u2192
= 
polinomial função uma é (x) P onde (a) P (x) P .9 lim
ax
=
\u2192
 
L (x) h então , (x) g L (x) f e ax , (x) g (x) h (x) f Quando .10 limlimlim
axaxax
===\u2192\u2200\u2264\u2264
\u2192\u2192\u2192
 
 
Exemplos: 
1) ( ) 10 4 2 3. 43x lim
2x
=+=+
\u2192
 
2) adoindetermin 
0
0
22
42
2
4x
 
22
2x
lim =
\u2212
\u2212
=
\u2212
\u2212
\u2192 x
 
 
( )( ) ( ) 4 2x 
2x
2x2x
 
2
4x
 limlimlim
2x2x
2
2x
=+=
\u2212
\u2212+
=
\u2212
\u2212
\u2192\u2192\u2192 x
 
 
3) ( ) adoindetermin 
0
0
0
22
0
220
x
2 - 2x
 lim
0x
=
\u2212
=
\u2212+
=
+
\u2192
 
( ) ( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
( )( ) 4222122 12 2x 1 
2 2xx.
22
 
2 2xx.
2 2x.2 - 2x
 
x
2 - 2x
 
lim
limlimlim
0x
0x0x0x
==
+
=
++
=
++
\u2212+
=\uf8f7\uf8f7\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec\uf8ed
\uf8eb
++
+++
=
+
\u2192
\u2192\u2192\u2192
x
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
4 
Exercícios : 
1) Calcular os limites: 
a) 
3
4x
 
2
1x
lim
+
+
\u2192 x
 
b) 3
2
2x x1
x2x -8
 lim
\u2212
+
\u2192
 
c) 
2
8x
 
3
2x
lim
\u2212
\u2212
\u2192 x
 
d) ( )
x
 x-4 - 2
 lim
0x\u2192
 
e) 
2y
8y
 
3
2x
lim
+
+
\u2212\u2192
 
f) 
2-2x
23
 
2
1x
lim +\u2212
\u2192
xx
 
g) 
6-x-2x
103
 2
2
2x
lim \u2212+
\u2192
xx
 
h) 
5-x
23
 lim
5x
\u2212\u2212
\u2192
x
 
i) 
3x-
2
 
23
1x
lim
+
\u2212
\u2212\u2192
xx
 
j) 
x-4
7
 
3
2x
lim
xx \u2212\u2212
\u2192
 
l) 
3-x
27
 
3
3x
lim
\u2212
\u2192
x
 
m) ( )273x 2
3x
lim +\u2212
\u2192
x 
n) ( ) ( )[ ]13
1x
2.4x lim \u2212
\u2212\u2192
++ x 
o) 
2t
65tt
 
2
2x
lim
+
++
\u2192
 
p) 
2t
65tt
 
2
2x
lim
\u2212
+\u2212
\u2192
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
5 
3 
x 
3 
1 
-1 
 y 
Limites Laterais 
 Suponha que, quando x tende a a pela esquerda, isto é, por valores 
menores que a, f (x) tende ao número 1L . Este fato é indicado por: 
 1
ax
L (x) f lim
-
=
\u2192
 
 Suponha que, quando x tende a a pela direita, isto é, por valores maiores 
que a, f (x) tende ao número 2L . Este fato é indicado por: 
 2
ax
L (x) f lim =
+\u2192
 
 Os números 1L e 2L são chamados, respectivamente, de limite à esquerda de 
f
 em a e limite à direita de f em a e referidos como limites laterais de f em a . 
Exercícios : 
1) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (x) lim
-3x
f
\u2192
 b) (x) lim
3x
f
+\u2192
 c) (x) lim
3x
f
\u2192
 d) (x) lim
x
f
\u221e\u2192
 e) (x) lim
x
f
\u2212\u221e\u2192
 f) (x) lim
4x
f
\u221e
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
6 
1 
x 
y 
0,5 
 
 2) Seja a função definida pelo gráfico abaixo. Intuitivamente, encontre se existir: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) (x) lim
1x
f
+\u2192
 b) (x) lim
1x
f
\u2212\u2192
 c) (x) lim
1x
f
\u2192
 d) (x) lim
x
f
\u221e\u2192
 e) (x) lim
x
f
\u2212\u221e\u2192
. 
 
3) Dada a função 31)( \u2212+= xxf , determinar, se possível, (x) lim
-3x
f
\u2192
 e (x) lim
3x
f
+\u2192
. 
 
4) Seja f(x) = 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u232a
=
\u2329+
2 xpara x-9
2 xpara 2
2 xpara 1
2
2x
. Determinar: (x) lim
-2x
f
\u2192
 , (x) lim
2x
f
+\u2192
 , (x) lim
2x
f
\u2192
. 
 
5) Seja f(x) = 
\uf8f4\uf8f3
\uf8f4\uf8f2
\uf8f1
\u232a
\u2264\u2212
3 xpara 7-3x
3 xpara 1x
.. Determinar (x) lim
-3x
f
\u2192
 , (x) lim
3x
f
+\u2192
 , (x) lim
3x
f
\u2192
, 
(x) lim
-5x
f
\u2192
, (x) lim
5x
f
+\u2192
 , (x) lim
5x
f
\u2192
. 
Apostila de Cálculo I 
 
7 
Limites Infinitos 
 Ao investigarmos (x) f ou (x) f limlim
axax - +\u2192\u2192
 pode ocorrer que , ao tender x para 
a, o valor f (x) da função ou aumente sem limite, ou decresça sem limites. 
Por exemplo: 
2
1(x) f
\u2212
=
x
. 
Quando x se aproxima de 2 pela direita, f (x) aumenta sem limite: 
x 2,1 2,01 2,001 2,0001 2,00001 
f (x) 10 100 1.000 10.000 100.000 
Quando x se aproxima de 2 pela esquerda, f (x) diminui sem limite: 
x 1,9 1,99 1,999 1,9999 1,99999 
f (x) -10 -100 -1.000 -10.000 -100.000 
 
Assim : 
2-x
1
 e 
2-x
1
 limlim
2x2x
\u2212\u221e=\u221e=
\u2212+ \u2192\u2192
. 
São consideradas indeterminações: )()( )( 0. 
0
0 ±\u221e±±\u221e
\u221e±
\u221e±±\u221e 
 Exemplos: 
 
1) adoindetermin 
1x
x
 
2
x
lim
\u221e
\u221e
=
++\u221e\u2192
 
 
\u221e==
+
=
+
=
+ +\u221e\u2192+\u221e\u2192+\u221e\u2192 0
1
x
1
x
1
1
 
x
1x
x
x
 
1x
x
 
2
x
2
2
2
x
2
x
limlimlim 
Apostila de Cálculo I 
 
8 
2) adoindetermin 
xx
32x
 3
x
lim
\u221e
\u221e
=
+
+
+\u221e\u2192
 
 0 
1
0
 
x
11
x
3
x
2
 
x
xx
x
32x
 
xx
32x
 
2
32
x
3
3
3
x
3
x
limlimlim ==
+
+
=
+
+
=
+
+
+\u221e\u2192+\u221e\u2192+\u221e\u2192
 
 
Exercícios: 
1) Seja 
12x
3x5(x) f
+
+
=
 . Determinar: 
a) (x) f lim
x +\u221e\u2192
 b) (x) f lim
x \u2212\u221e\u2192
 c) (x) f lim
)
2
1(x +\u2212\u2192
 d) (x) f lim
)
2
1(x \u2212\u2212\u2192
 
 
2) Calcular: 
 a) ( )2-x1 lim
)2(x
+
+\u2192
 b) ( )
3x
10-2x1
 lim
)5(x +
+
+\u2192
 c) ( )3)4(x 4-x
1 
lim
\u2212\u2192
 
 d) ( )3)4(x 4-x
1 
lim
+\u2192
 e) 
23
5x2 
 2
2
x
lim
++
\u2212
\u2212\u221e\u2192 xx
 f) 
6xx
13x x
 2
2
2x
lim
\u2212+
++\u2212
+\u2192
 
 g) 
6xx
13x x
 2
2
2x
lim
\u2212+
++\u2212
\u2212\u2192
 
 
 
 
 
Apostila de Cálculo I 
 
9 
y 
x x 
y 
x 
y 
a a a 
Continuidade 
 
O conceito de continuidade está baseado na parte analítica, no estudo de 
limite, e na parte geométrica na interrupção no gráfico da função. Assim, as funções 
f(x), abaixo, são todas descontínuas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f(x) f(x) limlim
axax - +\u2192\u2192
\u2260 f(a) f(x) lim
ax
\u2260
\u2192
 
\u2212\u221e=
\u221e=
+\u2192
\u2192
f(x) 
f(x) 
lim
lim
ax
ax -
 
 
 
Definição: Uma função é contínua em um ponto A se: 
 
a) f (a) é definida 
b) (x) f lim
x a\u2192
 existe 
c) (x) f lim
x a\u2192
= f (a) 
A descontinuidade no gráficos (2) é chamada por ponto ou removível, a 
descontinuidade em (1) é por salto e em (3) é uma descontinuidade infinita. 
 
Exemplos: 
 
Estudar analiticamente a descontinuidade das funções: