capacitação aritmetica

primos sa˜o chamados de geˆmeos se diferem por duas unidades. Prove que entre dois primos
geˆmeos, maiores ou iguais a 5, existe um mu´ltiplo de 6.
• Grupo 2
1. Qual e´ o resto que o nu´mero 1004× 1005× 1006 deixa quando dividido por 7?
2. Mostre que, se um nu´mero inteiro e´, ao mesmo tempo, um cubo e um quadrado, enta˜o ele e´ da forma 5n,
5n + 1, 5n + 4.
3. Mostre que o nu´mero 220 − 254 e´ composto.
4. Encontre todos os pares de inteiros positivos a, b tais que 79 = ab + 2a + 3b.
4
5. Mostre que 15 e´ divisor de todo nu´mero que e´ produto de cincos nu´meros ı´mpares consecutivos.
6. Qual e´ o resto de 5131 + 7131 + 9131 + 15131 na divisa˜o por 12
• Grupo 3
1. Ache o menor mu´ltiplo de 5 que deixa resto 2 quando dividido por 3 e por 4.
2. 2) Mostre, para todo a ∈ Z , que
(a) 2 divide a2 − a
(b) 3 divide a2 − a
3. Os nu´meros a e b satisfazem a equac¸a˜o 56a = 65b. Prove que a + b e´ um nu´mero composto.
4. Quantos dos nu´meros 2, 3, 5, 7 e 11 sa˜o divisores de 3714 − 414?
5. E´ correto afirmar que o nu´mero 52011 + 2.112011 e´ mu´ltiplo de:
(a) 13
(b) 11
(c) 7
(d) 5
(e) 3
6. Mostre que, para cada nu´mero natural existe um mu´ltiplo de diferente de zero escrito exclusivamente com os
algarismos 0 e 7.
• Grupo 4
1. Dois nu´meros positivos sa˜o tais que a divisa˜o do primeiro deles por 7 deixa resto 6, enquanto a divisa˜o do
segundo, tambe´m por 7, deixa resto 5. Somando os dois nu´meros e dividindo o resultado por 7, o resto sera´:
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4
(e) 5
2. A expressa˜o 52678 · 24569 + 398075, ao ser dividida por 5, deixa que resto?
3. Os inteiros positivos n e m satisfazem 15m = 20n. Enta˜o e´ poss´ıvel afirmar, com certeza, que nm e´ mu´ltiplo
de:
(a) 5
(b) 10
(c) 12
(d) 15
(e) 20
4. Encontre o valor de n na seguinte expressa˜o:
6 · 12 · 18 · · · 300
(2 · 6 · 10 · · · 98)(˙4 · 8 · 12 · · · 100)
5. Mostre que entre 4 inteiros quaisquer existem 2 cuja soma ou diferenc¸a e´ um mu´ltiplo de 4.
5
6. Tom multiplicou dois nu´meros de dois algarismos no quadro negro. Depois substituiu os algarismos por letras
(algarismos diferentes foram substitu´ıdos por letras diferentes e algarismos iguais foram substitu´ıdos pela
mesma letra). Ele obteve AB · CD = EEFF . Prove que ele errou em algum lugar.
• Grupo 5
1. Encontre o resto que 2013 · 2014 · 2015 · 2016 + 20172 deixa quando e´ dividido por 7.
2. O resto da divisa˜o do inteiro N por 20 e´ 8. Qual o resto da divisa˜o de N por 5?
3. Um nu´mero natural termina com o algarismo 2.Se movermos esse u´ltimo algarismo 2 para o in´ıcio do nu´mero,
enta˜o o nu´mero tera´ seu valor dobrado. Encontre o menor nu´mero com essa propriedade.
4. Prove que se n e´ ı´mpar, enta˜o n3 − n e´ divis´ıvel por 24 .
5. Determine TODOS os valores poss´ıveis para os algarismos x, y, z, t de modo que os nu´meros abaixo, representados
na base 10, tenha a propriedade mencionada:
(a) 3x90586y e´ divis´ıvel por 60
(b) 72z41t e´ divis´ıvel por 99
6. Quantos sa˜o os pares (x, y) de inteiros positivos tais que x2 − y2 = 22010?
(a) 1000
(b) 1001
(c) 1002
(d) 1003
(e) 1004
6
	Divisibilidade
	Numeros primos e compostos
	Algoritmo da Divisão
	Aritmética dos restos
	Critérios de Divibilidade e restos
	Problemas