Exercícios 3.3 com gráficos Mecânica das vibrações

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3.3) Considere um sistema massa-mola com 𝐾 = 4000
𝑁
𝑚
 e 𝑚 = 10 𝐾𝑔 sujeito a 
uma força harmônica 𝐹(𝑡) = 400 . cos(10𝑡) 𝑁. Determine e construa um gráfico 
da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais: 
a) 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 0 
b) 𝑋0 = 0 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 
c) 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 
Resolução: 
Utilizando as equações abaixo, 
𝑋𝑡(𝑡) = (𝑋𝑜 − (
𝐹0
𝐾−𝑚 . 𝜔2
)) . cos(𝜔𝑛. 𝑡) + (
𝑋0̇
𝜔𝑛
) . sin(𝜔𝑛. 𝑡) + (
𝐹0
𝐾−𝑚 . 𝜔2
) . cos(𝜔0. 𝑡) 
𝜔𝑛 = √
𝐾
𝑚
 , 𝐹(𝑡) = 400 . cos(10𝑡) 𝑁 
Temos que: 
𝜔𝑛 = √
4000
10
= 20
𝑟𝑎𝑑 
𝑠
 , 𝐹0 = 400 𝑁 , 𝜔0 = 10
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
a) Para 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 0 temos que, 
 𝑋𝑡(𝑡) = (0,1 − (
400
4000−10 . 102
)) . cos(20𝑡) + (
0
20
) . sin(20𝑡) + (
400
4000−10 .102 
) . cos(10𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = −0,03334 cos(20𝑡) + 0,1334 cos(10𝑡) 
 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.3.a 
b) Para 𝑋0 = 0 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 temos que, 
𝑋𝑡(𝑡) = (0 − (
400
4000−10 . 102
)) . cos(20𝑡) + (
10
20
) . sin(20𝑡) + (
400
4000−10 .102 
) . cos(10𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = −0,1334 cos(20𝑡) + 0,5 sin(20𝑡) + 0,1334 cos(10𝑡) 
 
 
C) Para 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 temos que, 
𝑋𝑡(𝑡) = (0,1 − (
400
4000−10 . 102
)) . cos(20𝑡) + (
10
20
) . sin(20𝑡) + (
400
4000−10 .102 
) . cos(10𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = −0,03334 cos(20𝑡) + 0,5 sin(20𝑡) + 0,1334 cos(10𝑡) 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.3.b 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.3.c 
 
 
 
3.4) Considere um Sistema massa-mola com 𝐾 = 4000
𝑁
𝑚
 e 𝑚 = 10 𝐾𝑔 sujeito a 
uma força harmônica 𝐹(𝑡) = 400 . cos(20𝑡) 𝑁. Determine e construa um gráfico 
da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais: 
a) 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 0 
b) 𝑋0 = 0 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 
c) 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 
Resolução: 
Verificando se o sistema possui ressonância: 
𝑆𝑒 
𝜔0
𝜔𝑛
 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 1 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑛â𝑛𝑐𝑖𝑎 
Utilizando as equações abaixo, Temos que: 
𝜔𝑛 = √
𝐾
𝑚
 , 𝐹(𝑡) = 400 . cos(20𝑡) 𝑁 , 𝛿𝑒𝑠𝑡 = 
𝐹0
𝐾
 
Substituindo: 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico comparação entre as equações anteriores do exercício 3.3 
𝜔𝑛 = √
4000
10
= 20
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 , 𝐹0 = 400 𝑁 , 𝜔0 = 20
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
20
20
= 1 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑝𝑜𝑠𝑠𝑢𝑖 𝑟𝑒𝑠𝑠𝑜𝑛â𝑛𝑐𝑖𝑎, 𝛿𝑒𝑠𝑡 = 
400
4000
= 0,1 
 
Quando o sistema possui ressonância, utilizamos a seguinte formula: 
𝑋(𝑡) = 𝑋0. cos(𝜔𝑛𝑡) + (
�̇�0
𝜔𝑛
) . sin(𝜔𝑛𝑡) + 
𝛿𝑒𝑠𝑡𝜔𝑛𝑡
2
 sin(𝜔𝑛.𝑡) 
a) Para 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 0 temos que, 
𝑋(𝑡) = 0,1 cos(20𝑡) + 
0,1.20. 𝑡
2
 sin(20𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = 0,1 cos(20𝑡) + t sin(20𝑡) 
 
 
b) Para 𝑋0 = 0 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 temos que, 
𝑋(𝑡) = 0 cos(20𝑡) + (
10
20
) . sin(20𝑡) + 
0,1.20. 𝑡
2
 sin(20𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = 0,5 sin(20𝑡) + t . sin(20𝑡) 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.4.a 
 
 
C) Para 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 temos que, 
𝑋(𝑡) = 0,1 cos(20𝑡) + (
10
20
) . sin(20𝑡) + 
0,1.20. 𝑡
2
 sin(20𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = 0,1 cos(20𝑡) + 0,5 cos(20𝑡) + t . sin(20𝑡) 
 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.4.b 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.4.c 
 
 
 
 
3.5) Considere um Sistema massa-mola com 𝐾 = 4000
𝑁
𝑚
 e 𝑚 = 10 𝐾𝑔 sujeito a 
uma força harmônica 𝐹(𝑡) = 400 . cos(20,1𝑡) 𝑁. Determine e construa um gráfico 
da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais: 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação entre as equações anteriores do exercício 3.4 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação ampliada entre as equações anteriores do exercício 3.4 
a) 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 0 
b) 𝑋0 = 0 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 
c) 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 
Resolução: 
Utilizando as equações abaixo, 
𝑋𝑡(𝑡) = (𝑋𝑜 − (
𝐹0
𝐾−𝑚 . 𝜔2
)) . cos(𝜔𝑛. 𝑡) + (
𝑋0̇
𝜔𝑛
) . sin(𝜔𝑛. 𝑡) + (
𝐹0
𝐾−𝑚 . 𝜔2
) . cos(𝜔0. 𝑡) 
𝜔𝑛 = √
𝐾
𝑚
 , 𝐹(𝑡) = 400 . cos(20,1𝑡) 𝑁 
 
Temos que: 
𝜔𝑛 = √
4000
10
= 20
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 , 𝐹0 = 400 𝑁 , 𝜔0 = 20,1
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
a) Para 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 0 temos que, 
𝑋𝑡(𝑡) = (0,1 − (
400
4000−10 . 20,12
)) . cos(20𝑡) + (
0
20
) . sin(20𝑡) + (
400
4000−10 .20,12 
) . cos(20,1𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = −0,89 cos(20𝑡) − 9,975 cos(20,1𝑡) 
 
 
b) Para 𝑋0 = 0 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 temos que, 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.5.a 
𝑋𝑡(𝑡) = (0 − (
400
4000−10 . 20,12
)) . cos(20𝑡) + (
10
20
) . sin(20t) + (
400
4000−10 .20,12 
) . cos(20,1𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = −9,975 cos(20𝑡) + 0,5 sin(20𝑡) − 9,975 cos(20,1𝑡) 
 
 
C) Para 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 temos que, 
𝑋𝑡(𝑡) = (0,1 − (
400
4000−10 . 20,12
)) . cos(20𝑡) + (
10
20
) . sin(20𝑡) + (
400
4000−10 .20,12 
) . cos(20,1𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = −0,89 cos(20𝑡) + 0,5 sin(20𝑡) − 9,975 cos(20,1𝑡) 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.5.b 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.5.c 
 
 
 
 
3.6) Considere um Sistema massa-molar com 𝐾 = 4000
𝑁
𝑚
 e 𝑚 = 10 𝐾𝑔 sujeito a 
uma força harmônica 𝐹(𝑡) = 400 cos(30𝑡) 𝑁. Determine e construa um gráfico da 
resposta total do sistema sob as seguintes condições: 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação 1 entre as equações anteriores do exercício 3.5 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação 1 ampliada entre as equações anteriores do exercício 3.5 
a) 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 0 
b) 𝑋0 = 0 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 
c) 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 
Resolução: 
Utilizando as equações abaixo, 
𝑋𝑡(𝑡) = (𝑋𝑜 − (
𝐹0
𝐾−𝑚 . 𝜔2
)) . cos(𝜔𝑛. 𝑡) + (
𝑋0̇
𝜔𝑛
) . sin(𝜔𝑛. 𝑡) + (
𝐹0
𝐾−𝑚 . 𝜔2
) . cos(𝜔0. 𝑡) 
𝜔𝑛 = √
𝐾
𝑚
 , 𝐹(𝑡) = 400 . cos(30𝑡) 𝑁 
Temos que: 
𝜔𝑛 = √
4000
10
= 20
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 , 𝐹0 = 400 𝑁 , 𝜔0 = 30
𝑟𝑎𝑑
𝑠
 
a) Para 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 0 temos que, 
𝑋𝑡(𝑡) = (0,1 − (
400
4000−30
)) . cos(20𝑡) + (
0
20
) . sin(20𝑡) + (
400
4000−10 .302 
) . cos(30𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = 0,18 cos(20𝑡) − 0,08 cos(30𝑡) 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.6.a 
b) Para 𝑋0 = 0 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠
 temos que, 
𝑋𝑡(𝑡) = (0 − (
400
4000−10 . 302
)) . cos(20𝑡) + (
10
20
) . sin(20t) + (
400
4000−10 .302 
) . cos(30𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = −0,08 cos(20𝑡) + 0,5 sin(20𝑡) − 0,08 cos(30𝑡) 
 
 
C) Para 𝑋0 = 0,1 𝑚 , �̇�0 = 10
𝑚
𝑠temos que, 
𝑋𝑡(𝑡) = (0,1 − (
400
4000−10 . 302
)) . cos(20𝑡) + (
10
20
) . sin(20𝑡) + (
400
4000−10 .302 
) . cos(30𝑡) 
Equação resposta: 𝑋𝑡(𝑡) = 0,18 cos(20𝑡) + 0,5 sin(20𝑡) − 0,08 cos(30𝑡) 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.6.b 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.6.c 
 
 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação 1 entre as equações anteriores do exercício 3.6 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação 1 ampliada entre as equações anteriores do exercício 3.6 
 
 
Algoritmo utilizado para elaboração dos gráficos: 
Exercício 3.3 a) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
X = np.linspace(-np.pi, np.pi, 256, endpoint=True) 
C =(-0.03334 * np.cos ( 20 * X)) + 0.1334 * np.cos ( 10* X) 
pl.plot(X, S, color="red", linewidth=4.0, linestyle="-") 
pl.xlim(0, 4.0) 
pl.xticks(np.linspace(0, 3.5, 9, endpoint=True)) 
pl.ylim(-0.5, 0.5) 
pl.yticks(np.linspace(-0.25, 0.5, 5, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.3 b) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
p = (-0.1334 * np.cos ( 20*t))+(0.5 * np.sin(20 * t))+ (0.1334 * np.cos(10 *t)) 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico Geral. 
Comparação entre os exercícios 3.3.c em Vermelho, 3.4.c em Verde e 3.6.c em Azul 
pl.plot(t, p, color="blue", linewidth=4.0, linestyle="-") 
pl.xlim(0, 4.0) 
pl.xticks(np.linspace(-1, 3.5, 9, endpoint=True)) 
pl.ylim(-0.5, 0.5) 
pl.yticks(np.linspace(-1, 1, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.3 c) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
E = (-0.03334 * np.cos(20*t))+(0.5 * np.sin(20*t))+ (0.1334 * np.cos(10*t)) 
pl.plot(t, E, color="green", linewidth=4.0, linestyle="-") 
pl.xlim(0, 4.0) 
pl.xticks(np.linspace(-1, 3.5, 9, endpoint=True)) 
pl.ylim(-0.5, 0.5) 
pl.yticks(np.linspace(-1, 1, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
3.3 comparações 
 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(15, 10), dpi=1000) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2056, endpoint=True) 
C, E, p =(-0.03334 * np.cos ( 20 * t)) + 0.1334 * np.cos ( 10* t), (-0.03334 * np.cos(20*t))+(0.5 * 
np.sin(20*t))+ (0.1334 * np.cos(10*t)),(-0.1334 * np.cos ( 20*t))+(0.5 * np.sin(20 * t))+ (0.1334 
* np.cos(10 *t)) 
pl.plot(t, E, color="green", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, C, color="red", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, p, color="blue", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.xlim(0, 0.25) 
pl.xticks(np.linspace(-0.778, 0.3, 9, endpoint=True)) 
pl.ylim(-0.5, 0.25) 
pl.yticks(np.linspace(-0.778, 1, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
 
Exercício 3.4 a) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
C = ((0.1 *np.cos(20*t))) + (t * np.sin(20*t)) 
pl.plot(t, C, color="red", linewidth=4.0, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.5, 4.0) 
pl.xticks(np.linspace(-3.5, 3.5, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-3.5, 3.5) 
pl.yticks(np.linspace(-3.5, 3.5, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.4 b) 
 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
C = ((0.5 *np.sin(20*t))) + (t * np.sin(20*t)) 
pl.plot(t, C, color="blue", linewidth=3.5, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.5, 4.0) 
pl.xticks(np.linspace(-3.5, 3.5, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-3.5, 3.5) 
pl.yticks(np.linspace(-3.5, 3.5, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.4 c) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
l = ((0.1 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.cos(20*t)) + (t * np.sin(20*t)) 
pl.plot(t, l, color="green", linewidth=3.5, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.5, 4.0) 
pl.xticks(np.linspace(-3.5, 3.5, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-3.5, 3.5) 
pl.yticks(np.linspace(-3.5, 3.5, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
3.4 comparações 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(15, 10), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2056, endpoint=True) 
C = ((0.5 *np.sin(20*t))) + (t * np.sin(20*t)) 
E = ((0.1 *np.cos(20*t))) + (t * np.sin(20*t)) 
l = ((0.1 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.cos(20*t)) + (t * np.sin(20*t)) 
pl.plot(t, l, color="green", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, E, color="red", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, C, color="blue", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.5, 4.0) 
pl.xticks(np.linspace(-3.5, 3.5, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-3.5, 3.5) 
pl.yticks(np.linspace(-3.5, 3.5, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.4 Comparação 2 Ampliada 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(15, 10), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2056, endpoint=True) 
C = ((0.5 *np.sin(20*t))) + (t * np.sin(20*t)) 
E = ((0.1 *np.cos(20*t))) + (t * np.sin(20*t)) 
l = ((0.1 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.cos(20*t)) + (t * np.sin(20*t)) 
pl.plot(t, l, color="green", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, E, color="red", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, C, color="blue", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.xlim(-0.5, 1.5) 
pl.xticks(np.linspace(-0.5, 1.5, 15, endpoint=True)) 
pl.ylim(-1.9, 1.9) 
pl.yticks(np.linspace(-1.9, 1.9, 15, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.5 a) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
C = ((-0.89 *np.cos(20*t))) - (9.975 * np.cos(20.1*t)) 
pl.plot(t, C, color="red", linewidth=3.0, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,3.4) 
pl.xticks(np.linspace(-3.15, 3.4, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-13.5, 13.5) 
pl.yticks(np.linspace(-13.5, 13.5, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.5 b) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
C = ((-9.975 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (9.975* np.sin(20.1*t)) 
pl.plot(t, C, color="blue", linewidth=2.5, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,3.4) 
pl.xticks(np.linspace(-3.15, 3.4, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-20, 1.5) 
pl.yticks(np.linspace(-20, 2.5, 17, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.5 C) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
l = ((-0.89 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (9.975 * np.sin(20.1*t)) 
pl.plot(t, l, color="green", linewidth=3.5, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,3.4) 
pl.xticks(np.linspace(-3.15, 3.4, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-11, 11) 
pl.yticks(np.linspace(-11, 11, 17, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
3.5 comparação 1 
 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(15, 10), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2056, endpoint=True) 
C = ((-9.975 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (9.975* np.sin(20.1*t)) 
E = ((-0.89 *np.cos(20*t))) - (9.975 * np.cos(20.1*t)) 
l = ((-0.89 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (9.975 * np.sin(20.1*t)) 
pl.plot(t, l, color="green", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, E, color="red", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, C, color="blue", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,3.4)pl.xticks(np.linspace(-3.15, 3.4, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-11, 11) 
pl.yticks(np.linspace(-20, 11, 17, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
3.5 comparação 2 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(15, 10), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2056, endpoint=True) 
C = ((-9.975 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (9.975* np.sin(20.1*t)) 
E = ((-0.89 *np.cos(20*t))) - (9.975 * np.cos(20.1*t)) 
l = ((-0.89 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (9.975 * np.sin(20.1*t)) 
pl.plot(t, l, color="green", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, E, color="red", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, C, color="blue", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,-1.5) 
pl.xticks(np.linspace(-3.15, -1.5, 15, endpoint=True)) 
pl.ylim(-11, 11) 
pl.yticks(np.linspace(-20, 11, 17, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.6 a) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
C = ((0.18 *np.cos(20*t))) - (0.08 * np.cos(30*t)) 
pl.plot(t, C, color="red", linewidth=3.0, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,3.4) 
pl.xticks(np.linspace(-3.15, 3.4, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-0.27, 0.3) 
pl.yticks(np.linspace(-0.27, 0.3, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.6 b) 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
C = ((-0.08 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (0.08* np.sin(30*t)) 
pl.plot(t, C, color="blue", linewidth=2.5, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,3.4) 
pl.xticks(np.linspace(-3.15, 3.4, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-0.7, 0.7) 
pl.yticks(np.linspace(-0.7, 0.7, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.6 c) 
 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(10, 5), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2000, endpoint=True) 
l = ((0.18 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (0.08 * np.sin(30*t)) 
pl.plot(t, l, color="green", linewidth=3.5, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,3.4) 
pl.xticks(np.linspace(-3.15, 3.4, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-0.7, 0.7) 
pl.yticks(np.linspace(-0.7, 0.7, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.6 Comparação 1 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(15, 10), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2056, endpoint=True) 
C = ((-0.08 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (0.08* np.sin(30*t)) 
E = ((0.18 *np.cos(20*t))) - (0.08 * np.cos(30*t)) 
l = ((0.18 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (0.08 * np.sin(30*t)) 
pl.plot(t, l, color="green", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, E, color="red", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, C, color="blue", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,3.4) 
pl.xticks(np.linspace(-3.15, 3.4, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-0.7, 0.7) 
pl.yticks(np.linspace(-0.7, 0.7, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Exercício 3.6 Comparação 1 ampliada 
 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(15, 10), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2056, endpoint=True) 
C = ((-0.08 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (0.08* np.sin(30*t)) 
E = ((0.18 *np.cos(20*t))) - (0.08 * np.cos(30*t)) 
l = ((0.18 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (0.08 * np.sin(30*t)) 
pl.plot(t, l, color="green", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, E, color="red", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, C, color="blue", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.xlim(-3.15,-1.9) 
pl.xticks(np.linspace(-3.15, -1.9, 13, endpoint=True)) 
pl.ylim(-0.7, 0.7) 
pl.yticks(np.linspace(-0.7, 0.7, 10, endpoint=True)) 
pl.show() 
 
Comparação entre os Exercícios 3.3.c , 3.4.c e 3.6.c 
import pylab as pl 
import numpy as np 
 
pl.figure(figsize=(15, 10), dpi=100) 
pl.subplot(1, 1, 1) 
 
t = np.linspace(-np.pi, np.pi, 2056, endpoint=True) 
c3 = (-0.03334 * np.cos(20*t))+(0.5 * np.sin(20*t))+ (0.1334 * np.cos(10*t)) 
c4 = ((0.1 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.cos(20*t)) + (t * np.sin(20*t)) 
##c5 = ((-0.89 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (9.975 * np.sin(20.1*t)) 
c6 = ((0.18 *np.cos(20*t))) + (0.5 * np.sin(20*t)) - (0.08 * np.sin(30*t)) 
pl.plot(t, c3, color="red", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, c4, color="green", linewidth=1.0, linestyle="-") 
##pl.plot(t, c5, color="black", linewidth=1.0, linestyle="-") 
pl.plot(t, c6, color="blue", linewidth=1.0, linestyle="-") 
 
pl.xlim(-3.6, 3.4) 
pl.xticks(np.linspace(-3.6, 3.4, 15, endpoint=True)) 
pl.ylim(-1.9, 3) 
pl.yticks(np.linspace(-1.9, 3, 15, endpoint=True)) 
pl.show()