Exercícios 3.3 com gráficos Mecânica das vibrações
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Exercícios 3.3 com gráficos Mecânica das vibrações


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3.3) Considere um sistema massa-mola com \ud835\udc3e = 4000
\ud835\udc41
\ud835\udc5a
 e \ud835\udc5a = 10 \ud835\udc3e\ud835\udc54 sujeito a 
uma força harmônica \ud835\udc39(\ud835\udc61) = 400 . cos(10\ud835\udc61) \ud835\udc41. Determine e construa um gráfico 
da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais: 
a) \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 0 
b) \ud835\udc4b0 = 0 , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 
c) \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 
Resolução: 
Utilizando as equações abaixo, 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (\ud835\udc4b\ud835\udc5c \u2212 (
\ud835\udc390
\ud835\udc3e\u2212\ud835\udc5a . \ud835\udf142
)) . cos(\ud835\udf14\ud835\udc5b. \ud835\udc61) + (
\ud835\udc4b0\u307
\ud835\udf14\ud835\udc5b
) . sin(\ud835\udf14\ud835\udc5b. \ud835\udc61) + (
\ud835\udc390
\ud835\udc3e\u2212\ud835\udc5a . \ud835\udf142
) . cos(\ud835\udf140. \ud835\udc61) 
\ud835\udf14\ud835\udc5b = \u221a
\ud835\udc3e
\ud835\udc5a
 , \ud835\udc39(\ud835\udc61) = 400 . cos(10\ud835\udc61) \ud835\udc41 
Temos que: 
\ud835\udf14\ud835\udc5b = \u221a
4000
10
= 20
\ud835\udc5f\ud835\udc4e\ud835\udc51 
\ud835\udc60
 , \ud835\udc390 = 400 \ud835\udc41 , \ud835\udf140 = 10
\ud835\udc5f\ud835\udc4e\ud835\udc51
\ud835\udc60
 
a) Para \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 0 temos que, 
 \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (0,1 \u2212 (
400
4000\u221210 . 102
)) . cos(20\ud835\udc61) + (
0
20
) . sin(20\ud835\udc61) + (
400
4000\u221210 .102 
) . cos(10\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = \u22120,03334 cos(20\ud835\udc61) + 0,1334 cos(10\ud835\udc61) 
 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.3.a 
b) Para \ud835\udc4b0 = 0 , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 temos que, 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (0 \u2212 (
400
4000\u221210 . 102
)) . cos(20\ud835\udc61) + (
10
20
) . sin(20\ud835\udc61) + (
400
4000\u221210 .102 
) . cos(10\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = \u22120,1334 cos(20\ud835\udc61) + 0,5 sin(20\ud835\udc61) + 0,1334 cos(10\ud835\udc61) 
 
 
C) Para \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 temos que, 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (0,1 \u2212 (
400
4000\u221210 . 102
)) . cos(20\ud835\udc61) + (
10
20
) . sin(20\ud835\udc61) + (
400
4000\u221210 .102 
) . cos(10\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = \u22120,03334 cos(20\ud835\udc61) + 0,5 sin(20\ud835\udc61) + 0,1334 cos(10\ud835\udc61) 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.3.b 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.3.c 
 
 
 
3.4) Considere um Sistema massa-mola com \ud835\udc3e = 4000
\ud835\udc41
\ud835\udc5a
 e \ud835\udc5a = 10 \ud835\udc3e\ud835\udc54 sujeito a 
uma força harmônica \ud835\udc39(\ud835\udc61) = 400 . cos(20\ud835\udc61) \ud835\udc41. Determine e construa um gráfico 
da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais: 
a) \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 0 
b) \ud835\udc4b0 = 0 , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 
c) \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 
Resolução: 
Verificando se o sistema possui ressonância: 
\ud835\udc46\ud835\udc52 
\ud835\udf140
\ud835\udf14\ud835\udc5b
 \ud835\udc56\ud835\udc54\ud835\udc62\ud835\udc4e\ud835\udc59 \ud835\udc4e 1 \ud835\udc60\ud835\udc56\ud835\udc60\ud835\udc61\ud835\udc52\ud835\udc5a\ud835\udc4e \ud835\udc5d\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udc60\ud835\udc62\ud835\udc56 \ud835\udc5f\ud835\udc52\ud835\udc60\ud835\udc60\ud835\udc5c\ud835\udc5bâ\ud835\udc5b\ud835\udc50\ud835\udc56\ud835\udc4e 
Utilizando as equações abaixo, Temos que: 
\ud835\udf14\ud835\udc5b = \u221a
\ud835\udc3e
\ud835\udc5a
 , \ud835\udc39(\ud835\udc61) = 400 . cos(20\ud835\udc61) \ud835\udc41 , \ud835\udeff\ud835\udc52\ud835\udc60\ud835\udc61 = 
\ud835\udc390
\ud835\udc3e
 
Substituindo: 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico comparação entre as equações anteriores do exercício 3.3 
\ud835\udf14\ud835\udc5b = \u221a
4000
10
= 20
\ud835\udc5f\ud835\udc4e\ud835\udc51
\ud835\udc60
 , \ud835\udc390 = 400 \ud835\udc41 , \ud835\udf140 = 20
\ud835\udc5f\ud835\udc4e\ud835\udc51
\ud835\udc60
 
20
20
= 1 \ud835\udc60\ud835\udc56\ud835\udc60\ud835\udc61\ud835\udc52\ud835\udc5a\ud835\udc4e \ud835\udc5d\ud835\udc5c\ud835\udc60\ud835\udc60\ud835\udc62\ud835\udc56 \ud835\udc5f\ud835\udc52\ud835\udc60\ud835\udc60\ud835\udc5c\ud835\udc5bâ\ud835\udc5b\ud835\udc50\ud835\udc56\ud835\udc4e, \ud835\udeff\ud835\udc52\ud835\udc60\ud835\udc61 = 
400
4000
= 0,1 
 
Quando o sistema possui ressonância, utilizamos a seguinte formula: 
\ud835\udc4b(\ud835\udc61) = \ud835\udc4b0. cos(\ud835\udf14\ud835\udc5b\ud835\udc61) + (
\ufffd\u307\ufffd0
\ud835\udf14\ud835\udc5b
) . sin(\ud835\udf14\ud835\udc5b\ud835\udc61) + 
\ud835\udeff\ud835\udc52\ud835\udc60\ud835\udc61\ud835\udf14\ud835\udc5b\ud835\udc61
2
 sin(\ud835\udf14\ud835\udc5b.\ud835\udc61) 
a) Para \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 0 temos que, 
\ud835\udc4b(\ud835\udc61) = 0,1 cos(20\ud835\udc61) + 
0,1.20. \ud835\udc61
2
 sin(20\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = 0,1 cos(20\ud835\udc61) + t sin(20\ud835\udc61) 
 
 
b) Para \ud835\udc4b0 = 0 , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 temos que, 
\ud835\udc4b(\ud835\udc61) = 0 cos(20\ud835\udc61) + (
10
20
) . sin(20\ud835\udc61) + 
0,1.20. \ud835\udc61
2
 sin(20\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = 0,5 sin(20\ud835\udc61) + t . sin(20\ud835\udc61) 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.4.a 
 
 
C) Para \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 temos que, 
\ud835\udc4b(\ud835\udc61) = 0,1 cos(20\ud835\udc61) + (
10
20
) . sin(20\ud835\udc61) + 
0,1.20. \ud835\udc61
2
 sin(20\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = 0,1 cos(20\ud835\udc61) + 0,5 cos(20\ud835\udc61) + t . sin(20\ud835\udc61) 
 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.4.b 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.4.c 
 
 
 
 
3.5) Considere um Sistema massa-mola com \ud835\udc3e = 4000
\ud835\udc41
\ud835\udc5a
 e \ud835\udc5a = 10 \ud835\udc3e\ud835\udc54 sujeito a 
uma força harmônica \ud835\udc39(\ud835\udc61) = 400 . cos(20,1\ud835\udc61) \ud835\udc41. Determine e construa um gráfico 
da resposta total do sistema sob as seguintes condições iniciais: 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação entre as equações anteriores do exercício 3.4 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação ampliada entre as equações anteriores do exercício 3.4 
a) \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 0 
b) \ud835\udc4b0 = 0 , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 
c) \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 
Resolução: 
Utilizando as equações abaixo, 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (\ud835\udc4b\ud835\udc5c \u2212 (
\ud835\udc390
\ud835\udc3e\u2212\ud835\udc5a . \ud835\udf142
)) . cos(\ud835\udf14\ud835\udc5b. \ud835\udc61) + (
\ud835\udc4b0\u307
\ud835\udf14\ud835\udc5b
) . sin(\ud835\udf14\ud835\udc5b. \ud835\udc61) + (
\ud835\udc390
\ud835\udc3e\u2212\ud835\udc5a . \ud835\udf142
) . cos(\ud835\udf140. \ud835\udc61) 
\ud835\udf14\ud835\udc5b = \u221a
\ud835\udc3e
\ud835\udc5a
 , \ud835\udc39(\ud835\udc61) = 400 . cos(20,1\ud835\udc61) \ud835\udc41 
 
Temos que: 
\ud835\udf14\ud835\udc5b = \u221a
4000
10
= 20
\ud835\udc5f\ud835\udc4e\ud835\udc51
\ud835\udc60
 , \ud835\udc390 = 400 \ud835\udc41 , \ud835\udf140 = 20,1
\ud835\udc5f\ud835\udc4e\ud835\udc51
\ud835\udc60
 
a) Para \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 0 temos que, 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (0,1 \u2212 (
400
4000\u221210 . 20,12
)) . cos(20\ud835\udc61) + (
0
20
) . sin(20\ud835\udc61) + (
400
4000\u221210 .20,12 
) . cos(20,1\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = \u22120,89 cos(20\ud835\udc61) \u2212 9,975 cos(20,1\ud835\udc61) 
 
 
b) Para \ud835\udc4b0 = 0 , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 temos que, 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.5.a 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (0 \u2212 (
400
4000\u221210 . 20,12
)) . cos(20\ud835\udc61) + (
10
20
) . sin(20t) + (
400
4000\u221210 .20,12 
) . cos(20,1\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = \u22129,975 cos(20\ud835\udc61) + 0,5 sin(20\ud835\udc61) \u2212 9,975 cos(20,1\ud835\udc61) 
 
 
C) Para \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 temos que, 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (0,1 \u2212 (
400
4000\u221210 . 20,12
)) . cos(20\ud835\udc61) + (
10
20
) . sin(20\ud835\udc61) + (
400
4000\u221210 .20,12 
) . cos(20,1\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = \u22120,89 cos(20\ud835\udc61) + 0,5 sin(20\ud835\udc61) \u2212 9,975 cos(20,1\ud835\udc61) 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.5.b 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.5.c 
 
 
 
 
3.6) Considere um Sistema massa-molar com \ud835\udc3e = 4000
\ud835\udc41
\ud835\udc5a
 e \ud835\udc5a = 10 \ud835\udc3e\ud835\udc54 sujeito a 
uma força harmônica \ud835\udc39(\ud835\udc61) = 400 cos(30\ud835\udc61) \ud835\udc41. Determine e construa um gráfico da 
resposta total do sistema sob as seguintes condições: 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação 1 entre as equações anteriores do exercício 3.5 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. Gráfico 
comparação 1 ampliada entre as equações anteriores do exercício 3.5 
a) \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 0 
b) \ud835\udc4b0 = 0 , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 
c) \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 
Resolução: 
Utilizando as equações abaixo, 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (\ud835\udc4b\ud835\udc5c \u2212 (
\ud835\udc390
\ud835\udc3e\u2212\ud835\udc5a . \ud835\udf142
)) . cos(\ud835\udf14\ud835\udc5b. \ud835\udc61) + (
\ud835\udc4b0\u307
\ud835\udf14\ud835\udc5b
) . sin(\ud835\udf14\ud835\udc5b. \ud835\udc61) + (
\ud835\udc390
\ud835\udc3e\u2212\ud835\udc5a . \ud835\udf142
) . cos(\ud835\udf140. \ud835\udc61) 
\ud835\udf14\ud835\udc5b = \u221a
\ud835\udc3e
\ud835\udc5a
 , \ud835\udc39(\ud835\udc61) = 400 . cos(30\ud835\udc61) \ud835\udc41 
Temos que: 
\ud835\udf14\ud835\udc5b = \u221a
4000
10
= 20
\ud835\udc5f\ud835\udc4e\ud835\udc51
\ud835\udc60
 , \ud835\udc390 = 400 \ud835\udc41 , \ud835\udf140 = 30
\ud835\udc5f\ud835\udc4e\ud835\udc51
\ud835\udc60
 
a) Para \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 0 temos que, 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (0,1 \u2212 (
400
4000\u221230
)) . cos(20\ud835\udc61) + (
0
20
) . sin(20\ud835\udc61) + (
400
4000\u221210 .302 
) . cos(30\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = 0,18 cos(20\ud835\udc61) \u2212 0,08 cos(30\ud835\udc61) 
 
 
Fonte: autor. Elaborado com a linguagem de programação Python. 
Gráfico da equação resposta 3.6.a 
b) Para \ud835\udc4b0 = 0 , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60
 temos que, 
\ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = (0 \u2212 (
400
4000\u221210 . 302
)) . cos(20\ud835\udc61) + (
10
20
) . sin(20t) + (
400
4000\u221210 .302 
) . cos(30\ud835\udc61) 
Equação resposta: \ud835\udc4b\ud835\udc61(\ud835\udc61) = \u22120,08 cos(20\ud835\udc61) + 0,5 sin(20\ud835\udc61) \u2212 0,08 cos(30\ud835\udc61) 
 
 
C) Para \ud835\udc4b0 = 0,1 \ud835\udc5a , \ufffd\u307\ufffd0 = 10
\ud835\udc5a
\ud835\udc60