Slides Probabilidade % Estatística

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MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
ESTATÍSTICA 
APLICADA 
 
Pensar estatisticamente será um dia, para a 
eficiente prática da cidadania, tão necessário 
como a habilidade de ler e escrever. 
 
Herbert George Wells 
Estatística – origens 
 
Censo – latim censere – significa taxar 
Estatística – latim status – significa estado. 
 
A Estatística nas mãos de governantes constituiu-
se em ferramenta administrativa. 
 
 
ARCE 2006 [FCC] 
O processo estatístico que consiste em uma 
avaliação direta de um parâmetro, utilizando-se 
todos os componentes da população, denomina-
se: 
 
a) amostragem 
b) estimação 
c) Censo 
d) parametrização 
e) correlação 
Essência da Estatística: a observação 
Objetivo básico: inferência (deduzir, concluir) 
Importância: 
 Avaliar o grau de dependência entre duas 
variáveis como o tempo médio de alguém 
digitando e sintomas de dores nos dedos; 
 Avaliar o tempo médio de duração de uma aula 
e o nível de atenção; 
 
 
 O fator previdenciário da Previdência Social; 
 As previsões das pesquisas eleitorais; 
 Conhecer o tempo médio de duração de um 
sinal de trânsito vermelho e a sua paciência. 
 Controlar a qualidade na produção de 
componentes eletrônicos; 
 Usos estatísticos pelas seguradoras; 
 
 
 
Estatística 
É um ramo da Matemática que trata dos métodos de coleta, 
organização, resumo, apresentação e análise de dados. 
 
 
Estatística 
Descritiva 
1ª etapa 
Estatística 
Indutiva 
2ª etapa 
Estatística 
Coleta e 
organiza os 
dados. 
Avalia e controla 
os dados 
coletados. 
TERRACAP 2009 [UNIVERSA] (parte da 
questão) 
Julgue os itens a seguir. 
 
III - Uma fábrica produz 100.000 lâmpadas por mês. 
São sorteadas 100 lâmpadas, e essas são mantidas 
acesas até queimarem, com o objetivo de calcular a 
vida média desse tipo de lâmpada. A experiência, que 
utiliza um subconjunto de um grupo para calcular 
determinado parâmetro e admite que esse parâmetro 
é válido para todo o grupo, é um problema estudado 
pela estatística inferencial. 
VERDADEIRO 
Variável 
Qualitativa Quantitativa 
Nominal Ordinal Contínua Discreta 
Não pode 
ordenar: 
•Estado civil 
•Religião 
•Sexo 
•região 
Pode 
ordenar: 
•Nível de 
educação 
•Classe 
social 
Contáveis: 
•Idade 
•Capacidadede 
passageiros 
•N°de filhos 
Não 
Contáveis: 
•Peso 
•Altura 
•Largura 
•Medida de 
capacidade 
PETROBRAS 2010 [CESGRANRIO] 
Uma variável aleatória numérica contínua é uma variável 
que possui a característica de não se poder saber a priori 
o seu valor, além de ser 
 
(A) qualitativa e de poder assumir qualquer valor dentro 
do intervalo no qual está definida. 
(B) qualitativa e de ser fruto de um processo de 
contagem 
(C) qualitativa e de ser fruto de um processo de 
mensuração. 
(D) quantitativa e de poder assumir qualquer valor 
dentro do intervalo no qual está definida. 
(E) quantitativa e de ser fruto de um processo de 
contagem. 
População e Amostra 
População (ou Universo): é qualquer conjunto de 
informações que tenham, entre si, uma 
característica comum. 
Ex.: conj. de todas as estaturas – população de 
estaturas 
 conj. de todas as cores de olhos – população de 
cores de olhos 
 
Amostra : redução representativa da 
população, ou seja, sem perda das 
características essenciais. 
Escolha dos números – números aleatórios 
(tabelas, sorteios etc.) 
População 
Amostra 
TERRACAP 2009 [UNIVERSA] (parte da 
questão) 
Julgue os itens a seguir. 
I Uma cidade possui 1.000 habitantes. Um 
estatístico, necessitando fazer uma determinada 
pesquisa, entrevistou 200 pessoas. É correto 
dizer que, nesse exemplo específico, de uma 
amostra de 1.000 pessoas, o estatístico 
entrevistou uma população de 200 indivíduos. 
 
FALSO 
TIPOS DE AMOSTRAGEM 
É o conjunto de técnicas utilizadas para a seleção de 
uma amostra. Esse conjunto de técnicas pode ser 
subdividido em dois grupos básicos: 
AMOSTRAGEM 
ALEATÓRIA 
AMOSTRAGEM NÃO 
ALEATÓRIA 
•amostragem aleatória 
simples ou ao acaso; 
•amostragem sistemática; 
•amostragem estratificada 
•amostragem por 
conglomerados. 
•amostragem intencional; 
•amostragem voluntária. 
Não permitem o controle de 
variabilidade amostral, 
o que inviabiliza o 
controle de qualidade 
da estimação. 
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES OU AO ACASO 
É aquela em que se atribui aos grupos de mesma 
quantidade de elementos, a mesma probabilidade 
de participar da amostra. Cada elemento da 
população tem a mesma probabilidade de participar 
da amostra. 
Para se obter uma amostra aleatória simples, caso 
a população seja finita, podemos atribuir a cada 
elemento um número. 
Ex: Fichas numeradas podem ser misturadas em 
uma urna. O sorteio das fichas identificam os 
elementos que deverão participar da amostra, 
garantindo a mesma chance para cada um deles. 
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA OU 
PROBABILÍSTICA 
AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA 
Quando se conhece uma listagem dos elementos 
da população pode-se obter uma amostra aleatória 
de n elementos dividindo-se o número de 
elementos da população pelo tamanho da amostra. 
 
Ex: É o caso, por exemplo, de um processo de 
auditoria em notas fiscais de uma empresa. Como 
as notas fiscais são numeradas, a escolha de uma 
amostra pode ser feita de maneira sistemática. 
AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
Pode ocorrer que a população seja formada por subgrupos 
diferentes, mas cada um deles homogêneo. Neste caso, 
vamos selecionar aleatoriamente uma quantidade de cada 
grupo para formar a amostra, proporcional ao tamanho desse 
grupo. 
Exemplo: Podemos dividir a população em 3 estratos: 
renda alta, renda média, renda baixa, e proceder à 
amostragem estratificada. Na amostragem estratificada é 
preciso selecionar elementos de todos os estratos. 
 
Ex.: analisar indivíduos de todas as idades presentes na 
população. 
AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS 
Em algumas situações, podemos identificar um 
grupo de elementos que tenha 
aproximadamente a mesma composição de 
população. Neste caso, pode ser interessante 
realizar amostragem usando somente os 
elementos desse grupo. 
Ex.: Algumas empresas, quando pretendem 
avaliar a aceitação de um produto no eixo Rio-
São Paulo, lançam o produto em Curitiba, cuja 
população se comporta como uma miniatura 
desse mercado. 
Ex.: quarteirões em um bairro. 
AMOSTRAGEM INTENCIONAL 
Ocorre quando o pesquisador seleciona 
intencionalmente os componentes da amostra; 
Ex.: Em um estudo sobre automóveis, o pesquisador 
procura apenas oficinas; Em uma pesquisa sobre 
preferência por determinado cosmético, o pesquisador 
entrevista os frequentadores de um grande salão de 
beleza. 
AMOSTRAGEM NÃO ALEATÓRIA OU 
NÃO PROBABILÍSTICA 
AMOSTRAGEM VOLUNTÁRIA OU ACIDENTAL 
Ocorre quando o componente da população se 
oferece voluntariamente para participar da 
amostra independentemente do julgamento do 
pesquisador. 
Ex.: Coleta por amostragem voluntária, de sangue 
para identificação de doenças sexuais curáveis; 
Pesquisas de opinião em praças públicas, ruas 
movimentadas de grandes cidades, etc. 
AMOSTRAGEM NÃO ALEATÓRIA OU 
NÃO PROBABILÍSTICA 
TERRACAP 2009 [UNIVERSA] 
A finalidade da amostragem é permitir fazer inferências sobre 
uma população após inspeção de apenas parte dela. Fatores como 
custo, tempo, ensaios destrutivos e populações infinitas tornam a 
amostragem preferível a um estudo completo (censo) da
população. Naturalmente, espera-se que a amostra represente a 
população de que foi extraída. 
Entre os métodos de amostragem existentes, assinale a 
alternativa correta. 
(A) A amostragem estratificada consiste na divisão da população 
global em subgrupos heterogêneos (homogêneos), utilizando-se 
em seguida todos os elementos de alguns subgrupos escolhidos 
aleatoriamente 
(B) A amostragem por conglomerados consiste na divisão da 
população de origem em, no mínimo, duas subpopulações com 
as mesmas características. Em seguida, extrai-se uma amostra 
(todos os elementos) de cada subdivisão. 
(C) A amostragem sistemática consiste na escolha de elementos 
na ordem em que aparecem em determinada lista. 
(D) Em nenhuma hipótese é permitido o uso da amostragem por 
julgamento, por não se tratar de um procedimento probabilístico. 
(é não probabilística; o julgamento do pesquisador influencia na 
amostra) 
(E) A amostragem aleatória simples é caracterizada pelo fato de 
cada elemento da população possuir a mesma chance de ser 
escolhido. 
Gráficos 
Colunas 
Barras 
0 
20 
40 
60 
80 
100 
1940 1950 1960 1970 
População 
População 
0 20 40 60 80 100 
1940 
1950 
1960 
1970 
População do Brasil 
População do Brasil 
0 
50 
100 
150 
200 
250 
Argentina Brasil México Portugal 
Concorrência dos vários meios publicitários em 1970 Montante da 
despesa em milhões de dólares 
Televisão 
Rádio 
Outdoors 
Revistas 
Jornais 
Gráficos 
0 
100 
200 
300 
400 
500 
1 2 3 4 5 6 7 
Série1 
Série2 
Linhas 
0 
20 
40 
60 
80 
100 
120 
140 
1980 1981 1982 
A 
B 
C 
Gráficos 
Setores 
Polar 
0 
5 
10 
15 
20 
Jan 
Fev 
Mar 
Abr 
Mai 
Jun 
Jul 
Ago 
Set 
Out 
Nov 
Dez 
Série1 
Ônibus 
60% 
Trem 
5% Aviao 
32 % 
Barco 
 3% 
Pictórico 
Gráficos 
Pictórico 
Gráficos 
Área 
Outros Gráficos 
Superfície 
Gráficos 
gráfico de candlesticks/ box plot 
Fonte: site da bolsa de ações japonesa. 
 
 
ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA 
Distribuições de Frequência 
PROFª MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
Distribuição de Frequência 
xi fi
21 3
22 2
23 2
24 1
25 4
Total 12
Fonte: 
Título
Classe fi
45 |- 55 15
55 |- 65 30
65 |- 75 35
75 |- 85 15
85 |- 95 5
Total 100
Fonte: 
Título
Amplitude Total (R): diferença entre o 
maior e o menor valor observado nos 
dados. 
R = 25-21= 4 R = 95-45= 50 
Classe fi
45 |- 55 15
55 |- 65 30
65 |- 75 35
75 |- 85 15
85 |- 95 5
Total 100
Fonte: 
Título
xi fi
21 3
22 2
23 2
24 1
25 4
Total 12
Fonte: 
Título
Exemplo: Notas de Matemática de 80 estudantes 
de Engenharia da Universidade X no ano de 
1990. 
Distribuição de Frequência 
68 84 75 82 68 90 62 88 76 93
73 79 88 73 60 93 71 59 85 75
61 65 75 87 74 62 95 78 63 72
66 78 82 75 94 77 69 74 68 60
96 78 89 61 75 95 60 79 83 71
79 62 67 97 78 85 76 65 71 75
65 80 73 57 88 78 62 76 53 74
86 67 73 81 72 63 76 75 85 77
Dados Brutos: dados desorganizados 
Rol: são os dados brutos organizados em 
ordem crescente ou decrescente. 
Distribuição de Frequência 
53 57 59 60 60 60 61 61 62 62
62 62 63 63 65 65 65 66 67 67
68 68 68 69 71 71 71 72 72 73
73 73 73 74 74 74 75 75 75 75
75 75 75 76 76 76 76 77 77 78
78 78 78 78 79 79 79 80 81 82
82 83 84 85 85 85 86 87 88 88
88 89 90 93 93 94 95 95 96 97
Notas fi
50 |- 55 1
55 |- 60 2
60 |- 65 11
65 |- 70 10
70 |- 75 12
75|- 80 21
80 |- 85 6
85 |- 90 9
90 |- 95 4
95 |- 100 4
80
Fonte: hipotética
Notas de 
Matemática - 
Universidade X- 
1990 - Engenharia

fi – frequência absoluta – valores absolutos; 
fr – frequência relativa – é a freq. absoluta da 
classe em termos percentuais; 
fa – frequência acumulada – freq. total de todos os 
valores inferiores ao limite superior de um dado 
intervalo de classe; 
far – frequência acumulada relativa – é a freq. 
acumulada em termos relativos ou percentuais. 
Distribuição de Freqüência 

Distribuição de Frequência 
Notas fi fr (%) fa far (%)
50 |- 55 1 1,25 1 1,25
55 |- 60 2 2,50 3 3,75
60 |- 65 11 13,75 14 17,50
65 |- 70 10 12,50 24 30,00
70 |- 75 12 15,00 36 45,00
75 |- 80 21 26,25 57 71,25
80 |- 85 6 7,50 63 78,75
85 |- 90 9 11,25 72 90,00
90 |- 95 4 5,00 76 95,00
95 |- 100 4 5,00 80 100,00
80 100,00
Notas de Matemática - Universidade X - 
1990 - Engenharia
Fonte: hipotética
Ponto Médio de uma Classe: É o ponto intermediário do 
intervalo da classe e é obtido pela média aritmética entre o 
limite inferior e o superior de cada classe. 

Notas fi ponto médio
50 |- 55 1 52,5
55 |- 60 2 57,5
60 |- 65 11 62,5
65 |- 70 10 67,5
70 |- 75 12 72,5
75 |- 80 21 77,5
80 |- 85 6 82,5
85 |- 90 9 87,5
90 |- 95 4 92,5
95 |- 100 4 97,5
80
Notas de Matemática - 
Universidade X - 1990 - 
Engenharia
Fonte: hipotética
Distribuição de Frequência 
ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA 
Medidas de Posição 
PROFª MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
Medidas de Posição 
Estas medidas nos orientam quanto à posição 
da distribuição no eixo x, possibilitando 
comparações de séries de dados entre si pelo 
confronto desses números. São também 
conhecidas como medidas de tendência central, 
pois representam os fenômenos pelos seus 
valores médios, em torno dos quais tendem a 
concentrar-se os dados. 
Média Aritmética ( ) 
__
X n
x
X
n
i
i
 1
__
n= n° de elementos do conjunto 
Ex.: de 3, 7, 8, 10, 11 
8,7
5
1110873__




n
x
X
Para dados não agrupados: 
Para dados agrupados: n
fx
X
n
i
ii
 1
__
.
n= n° de elementos do conjunto 
fi=frequência simples 
__
X
Exemplo 1: 
6,2
10
26
10
1.45.33.21.1__


X
nfi 
Exemplo 2: 
Renda familiar 
(em milhares $)
fi ponto médio
2 - 4 5 3
4 - 6 10 5
6 - 8 14 7
8 - 10 8 9
10 - 12 3 11
Total 40
7,6
40
268
40
11.39.87.145.103.5__


X
xi fi
1 1
2 3
3 5
4 1
Total 10
A média aritmética é influenciada pela 
soma, subtração, multiplicação e 
divisão. 
Propriedades da Média Aritmética 
 
Mediana (Md) 
Colocados os dados em ordem crescente, mediana 
é o valor que divide a amostra, ou população, em 
duas partes iguais. 
0% 50% 100% 
Md 
Para dados isolados: 
Se n for ímpar: a Md será o elemento central; 
Se n for par: a Md será a média aritmética entre os 
elementos centrais. 
2 4 7 9 11 17 23 24 24 
2 4 7 9 11 17 23 24 24 25 
Md = 14
2
1711


Para dados isolados agrupados: 
xi fi fa
1 1 1
2 3 4
3 5 9
4 2 11
Total 11
elemento
n
Md 

 6
2
1
O 6° elemento se encontra na 3ª classe; Md = 3. 
xi fi fa
82 5 5
85 10 15
87 15 30
89 8 38
90 4 42
Total 42
87
2
8787
2
2221




Md
Para dados agrupados em classes: 
Md
i
f
hf
n
lMd
Md


).
2
(
limite inferior da classe Md freqüência da classe Md 
soma das freq.anteriores 
à classe da Md. 
amplitude classe Md 
Exemplo: 
Classes fi fa
35 - 45 5 5
45 - 55 12 17
55 - 65 18 35
65 - 75 14 49
75 - 85 6 55
85 - 95 3 58
Total 58Classe Md 
(58/2=29) 
Md
i
f
hf
n
lMd
Md


).
2
(
67,61
18
120
55
18
10).17
2
58
(
55 

Md
CGU
2008 [ESAF] 
Determine a mediana do seguinte 
conjunto de dados: 
58, 95, 17, 44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 
28, 73, 5 e 56. 
a) 28 
b) 31 
c) 44 
d) 50 
e) 56 
CGU 2008 [ESAF] - Solução 
Determine a mediana do seguinte 
conjunto de dados: 
5 9 12 17 21 28 31 44 56 57 58 63 73 
88 95 
a) 28 
b) 31 (é o sétimo dado) 
c) 44 
d) 50 (média de 44 e 56) 
e) 56 (é o nono dado) 
Separatrizes 
Quartis 
Decis 
Percentis 
Quartis 
Os quartis dividem um conjunto de dados em 4 
partes iguais. 
0% 50% 100% 
Q2 
25% 75% 
Q3 Q1 
1° quartil 
separa os 
primeiros 25% 
dos elementos. 
3° quartil 
separa os 
primeiros 75% 
dos elementos. 
2° quartil 
coincide com a 
Md. 
Cálculo do 1° Quartil Q1: 
1
1
).
4
(
1
Q
Q
f
hf
n
lQ


Cálculo do 3° Quartil Q3: 
3
3
).
4
3
(
3
Q
Q
f
hf
n
lQ


Exemplo: 
Classes fi fa
7 - 17 6 6
17 - 27 15 21
27 - 37 20 41
37 - 47 10 51
47 - 57 5 56
Total 56
classe do Q1 
classe da Md 
classe do Q3 
classe do Q1 
classe da Md 
classe do Q3 
elemento
n
 14
4
elemento
n
 28
2
elemento
n
 42
4
3
33,22
15
10).6
4
56
(
171 

Q
5,30
20
10).21
2
56
(
27 

Md
38
10
10).41
4
56.3
(
373 

Q
CGU 2008 [ESAF] 
Dado o conjunto de dados: 58, 95, 17, 
44, 63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 
56, determine a amplitude interquartílica 
Q3 – Q1. 
 
a) 33. 
b) 37. 
c) 40. 
d) 46. 
e) 51 
CGU 2008 [ESAF] Solução 
Dado o conjunto de dados: 58, 95, 17, 44, 
63, 9, 57, 21, 88, 12, 31, 28, 73, 5 e 
56, determine a amplitude interquartílica 
Q3 – Q1. 
5 9 12 17 21 28 31 44 56 57 58 63 73 88 
95 
15/4= 3,75 ~ 4 
15.(3/4) = 11,25 ~ 12 
63 – 17 = 46 
a) 33 b) 37 c) 40 d) 46 e) 51 
Moda (Mo) 
É o valor mais freqüente da distribuição. Para 
distribuições simples (sem agrupamentos em classes), 
verifica-se a moda pela simples observação do 
elemento que apresenta maior freqüência. 
Ex.: 2 – 4 – 4 - 5 – 7 – 8 – 10 
 Mo=4 
Ex.: 
 
 Mo=248 
 
 
xi fi
243 7
245 17
248 23
251 20
307 8
Total 75
Para dados agrupados: 
•identificar a classe modal 
•fórmula de Czuber 
hlM io .
21
1



amplitude classe 
Mo 
limite inferior da 
classe Mo 
diferença entre a 
freqüência da 
classe modal e a 
imediatamente 
anterior. 
diferença entre a freqüência 
da classe modal e a 
imediatamente posterior. 
Ex.: 
classes fi
0 - 1 3
1 - 2 10
2 - 3 17
3 - 4 8
4 - 5 5
Total 43
1
2
classe 
modal 
44,2
16
7
21.
97
7
2
1.
)817()1017(
)1017(
2
.
21
1









o
o
io
M
M
hlM
Se a classe modal cair na 1ª ou na última classe, fazer a 
diferença com zero. 
AFRFB 2009 [ESAF] 
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos 
completos dos alunos em um curso preparatório. Com 
relação a essa amostra, marque a única opção correta: 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 
32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 
28, 34, 29, 23, 28. 
 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
AFRFB 2009 [ESAF] - SOLUÇÃO 
Considere a seguinte amostra aleatória das idades em anos 
completos dos alunos em um curso preparatório. Com 
relação a essa amostra, marque a única opção correta: 
29, 27, 25, 39, 29, 27, 41, 31, 25, 33, 27, 25, 25, 23, 27, 27, 
32, 26, 24, 36, 32, 26, 28, 24, 28, 27, 24, 26, 30, 26, 35, 26, 
28, 34, 29, 23, 28. 
 
23 23 24 24 24 25 25 25 25 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 
27 28 28 28 28 29 29 29 30 31 32 32 33 
 
n=37 Md = 27 (décimo-nono) Mo = 27 
 
a) A média e a mediana das idades são iguais a 27. 
b) A moda e a média das idades são iguais a 27. 
c) A mediana das idades é 27 e a média é 26,08. 
d) A média das idades é 27 e o desvio-padrão é 1,074. 
e) A moda e a mediana das idades são iguais a 27. 
SEFAZ 2004 BA [FCC] 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de 
salários (em reais) de 160 funcionários de determinada 
empresa, com suas respectivas frequências relativas 
acumuladas. 
 
 
 
 
 
 
 
O valor modal dos salários (desprezando os centavos) é: 
a) 1784 
b) 1666 
c) 1648 
d) 1636 
e) 1628 
Classes em reais 
Frequência relativa 
acumulada (%) 
[600,1000) 10 
[1000,1400) 30 
[1400,1800) 70 
[1800,2200) 95 
[2200,2600) 100 
SEFAZ 2004 BA [FCC] - Solução 
Considere a tabela abaixo que mostra a distribuição de 
salários (em reais) de 160 funcionários de determinada 
empresa, com suas respectivas frequências relativas 
acumuladas. 
 
 
 
 
 
 
 
O valor modal dos salários (desprezando os centavos) é: 
a) 1784 
b) 1666 
c) 1648 
d) 1636 
e) 1628 
Classes em 
reais 
far (%) 
Frequência 
absoluta 
[600,1000) 10 10 
[1000,1400) 30 20 
[1400,1800) 70 40 
[1800,2200) 95 25 
[2200,2600) 100 5 
ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA 
Outros Gráficos Estatísticos 
PROFª MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
Outros Gráficos: Histograma 

Retiradas (R$) Frequência pt. médio
500 |- 600 12 550
600 |- 700 36 650
700 |- 800 63 750
800 |- 900 81 850
900 |- 1000 77 950
1000 |- 1100 42 1050
1100 |- 1200 24 1150
335
Fonte: fictícia
Retiradas diárias de um banco
Outros Gráficos: Polígono de 
frequência 

Retiradas (R$) Frequência pt. médio
500 |- 600 12 550
600 |- 700 36 650
700 |- 800 63 750
800 |- 900 81 850
900 |- 1000 77 950
1000 |- 1100 42 1050
1100 |- 1200 24 1150
335
Fonte: fictícia
Retiradas diárias de um banco
Outros Gráficos: Ogiva de 
Galton 

Retiradas (R$) Frequência pt. médio
500 |- 600 12 550
600 |- 700 36 650
700 |- 800 63 750
800 |- 900 81 850
900 |- 1000 77 950
1000 |- 1100 42 1050
1100 |- 1200 24 1150
335
Fonte: fictícia
Retiradas diárias de um banco
Petrobras 2010 [CESGRANRIO] 
Histogramas e polígonos de frequências 
são duas representações gráficas de 
distribuições 
 
(A) uniformes. 
(B) de frequências. 
(C) de acumulações. 
(D) não uniformes. 
(E) assimétricas. 
IRB 2006 [ESAF] 
Histograma e Polígono de frequência são: 
 
a) a mesma representação gráfica (idênticas) de 
uma distribuição de frequência. 
b) um texto descritivo e uma representação gráfica 
de uma distribuição de frequência. 
c) um texto descritivo e uma função gráfica de uma 
distribuição de frequência. 
d) duas representações gráficas de uma 
distribuição de frequência. 
e) duas representações gráficas de uma 
distribuição de frequência, porém com sentidos 
opostos. 
branco negro outros 
grupos étnicos 
Outros Gráficos: Box Plot 
SEFAZ RJ 2009 [FGV] 
Para comparar as rendas de dois grupos 
de pessoas, A e B, foram preparados 
diagramas de caixas (box-plots) com os 
valores observados dos salários, 
representados na figura a seguir: 
A respeito desses diagramas, considere as seguintes 
afirmativas: 
 
I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo. 
II. A distribuição de salários no grupo A é 
assimétrica à direita. 
III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo 
B.
Assinale: 
 
(A)Se somente a afirmativa I for verdadeira; 
(B)Se somente a afirmativa II for verdadeira; 
(C)Se somente a afirmativa III for verdadeira; 
(D)Se somente as afirmativas I e II forem 
verdadeiras; 
(E)Se somente as afirmativas II e III forem 
verdadeiras. 
I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo. 
(não há como saber) 
II. A distribuição de salários no grupo A é 
assimétrica à direita. (sim) 
III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo 
B. (não há como saber) 
 
(B) Se somente a afirmativa II for verdadeira 
Outros Gráficos: Ramo e Folhas 
0 9 
1 0 1 3 3 5 7 8 8 8 9 
2 0 0 1 2 2 2 3 3 3 5 7 7 8 9 
3 2 2 3 6 6 8 9 
4 0 1 
5 
6 2 
Tipos de Curvas 
CURVA SIMÉTRICA 
CURVA ASSIMÉTRICA POSITIVA 
CURVA ASSIMÉTRICA NEGATIVA 
ESTATÍSTICA 
DESCRITIVA 
Medidas de Dispersão 
PROFª MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
Medidas de Dispersão 
São medidas estatísticas utilizadas para avaliar o grau 
de variabilidade, ou dispersão, dos valores em torno da 
média. O termo dispersão indica o grau de 
afastamento de um conjunto de números em relação à 
sua média. 
__
X
xi 
dispersão 
Exemplos: 
a) 20, 20, 20 a=20; 
b) 15, 10, 20, 25, 30 b=20 
__
X
__
X
Amplitude Total (Range - R) 
Diferença entre o maior e o menor dos 
valores da série. 
R = xmáx. - xmín. 
Ex.: para a série 
10, 12, 20, 22, 25, 33, 38 
R = 38 – 10 = 28 
A amplitude total é uma medida de 
dispersão limitada pois não leva em 
consideração a dispersão dos valores 
internos. 
Variância ( ) 
2
Mede as variações ocorridas. É calculada a 
partir das diferenças entre cada elemento e 
a média do conjunto. 

 

i
ii
f
fxx ].)[( 2
__
2
Desvio Padrão ( ) 

É também uma medida capaz de medir 
variação. 
2 







i
i
f
fxx
n
xx
.)(
)(
2
__
2
__


AFPS 2002 [ESAF] 
Dada a sequência de valores 4, 4, 2, 7 e 
3, assinale a opção que dá o valor da 
variância. Use o denominador 4 em seus 
cálculos. 
a) 5,5 
b) 4,5 
c) 3,5 
d) 6,0 
e) 16,0 
AFPS 2002 [ESAF] - Solução 
Dada a sequência de valores 4, 4, 2, 7 e 
3, assinale a opção que dá o valor da 
variância. Use o denominador 4 em seus 
cálculos. 
0 0 4 9 1 
0 0 -2 3 -1 
Logo… 
 
a) 5,5 
b) 4,5 
c) 3,5 
d) 6,0 
e) 16,0 
O desvio-padrão e a variância não são 
influenciados pela soma e subtração, 
mas sim pela multiplicação e divisão. 
Propriedades do Desvio-padrão e 
da Variância 
TRE PI 2009 [FCC] 
Uma variável aleatória X apresenta uma média 
igual a 8 e variância 25. Define-se variância 
relativa de uma variável aleatória como sendo a 
divisão da respectiva variância pelo valor do 
quadrado da média, quando esta é diferente de 
zero. Então, a variância relativa da variável 
aleatória Y = 2X – 1 é 
 
(A) 25/64 
(B) 2/9 
(C) 4/9 
(D) 16/36 
(E) 25/36 
TRE PI 2009 [FCC] - Solução 
Uma variável aleatória X apresenta uma média 
igual a 8 e variância 25. Define-se variância 
relativa de uma variável aleatória como sendo a 
divisão da respectiva variância pelo valor do 
quadrado da média, quando esta é diferente de 
zero. Então, a variância relativa da variável 
aleatória Y = 2X – 1 é 
 
(A) 25/64 
(B) 2/9 
(C) 4/9 
(D) 16/36 
(E) 25/36 
Caso os dados sejam de uma amostra, as 
fórmulas passam a ser: 





1)(
.)( 2
__
2
i
ii
f
fxx
S
tamanho da 
amostra menos 1. 
ou 






 ]
)(
[
1)(
1
2
22
i
ii
ii
i f
fx
fx
f
S
tamanho da 
amostra menos 1. 
Grau de Curtose 
MENOR DISPERSÃO; MAIOR 
CONCENTRAÇÃO DE DADOS 
MAIOR DISPERSÃO; MENOR 
CONCENTRAÇÃO DE DADOS 
Distribuição delgada; LEPTOCÚRTICA 
Distribuição nem chata, nem delgada; 
MESOCÚRTICA 
Distribuição achatada; PLATICÚRTICA 
Cálculo do Grau de Curtose 
)(2 1090
13
PP
QQ
K



Se k < 0,263 LEPTOCÚRTICA 
Se K = 0,263 MESOCÚRTICA 
Se K > 0,263 PLATICÚRTICA 
percentilP
percentilP
quartilQ
quartilQ




10
90
1
3
10
90
1
3
Cálculo do Coeficiente de 
Assimetria 
13
31
__
2
QQ
MdQQ
AS
MoX
AS









0
0
0
AS
AS
AS
Distribuição é Simétrica 
Distribuição é Assimétrica Positiva 
Distribuição é Assimétrica Negativa 
MPU 2004 [ESAF] 
A mediana é uma medida de posição usualmente 
utilizada na análise de distribuições de 
renda porque as distribuições de renda 
 
a) têm intervalos de classe distintos. 
b) sempre são normais. 
c) tipicamente são do tipo uniforme. 
d) geralmente se mostram bastante assimétricas 
e) são sempre bimodais 
INEP 2008 [CESGRANRIO] 
Analise as afirmações a seguir. 
Numa distribuição simétrica, a média e a mediana coincidem. 
PORQUE 
Numa distribuição simétrica a moda nem sempre existe. 
Quanto às afirmações acima, pode-se concluir que 
 
(A) as duas asserções são verdadeiras e a segunda é uma 
justificativa correta da primeira. 
(B) as duas asserções são verdadeiras e a segunda não é uma 
justificativa correta da primeira. 
(C) a primeira asserção é uma proposição verdadeira e a 
segunda, uma proposição falsa. 
(D) a primeira asserção é uma proposição falsa e a segunda, 
uma proposição verdadeira. 
(E) tanto a primeira como a segunda são proposições falsas. 
Coeficiente de Variação (CV) 
Trata-se de uma medida relativa de 
dispersão útil para a comparação em 
termos relativos do grau de concentração 
em torno da média de séries distintas. 
100.
__
X
CV


Em geral, a distribuição possui: 
baixa dispersão: CV 15% 
média dispersão: 15%<CV<30% 
alta dispersão: CV 30% 


Senado 2008 [FGV] 
O coeficiente de variação amostral (em 
porcentagem) de um conjunto de salários é 110%. 
Se os salários desse conjunto forem reajustados em 
20%, o novo coeficiente de variação amostral será: 
 
(A) 110%. 
(B) 112,2%. 
(C) 114,2%. 
(D) 122%. 
(E) 130%. 
Senado 2008 [FGV] - Solução 
O coeficiente de variação amostral (em 
porcentagem) de um conjunto de salários é 110%. 
Se os salários desse conjunto forem reajustados 
em 20%, o novo coeficiente de variação amostral 
será: 
 
(A) 110%. 
(B) 112,2%. 
(C) 114,2%. 
(D) 122%. 
(E) 130%. 
SEFAZ SP – 2006 [FCC] 
Considerando as respectivas definições e 
propriedades relacionadas às medidas de posição e 
de variabilidade, é correto afirmar: 
 
(A) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários 
dos empregados de uma empresa tem-se que a 
respectiva variância fica multiplicada por 1,10. 
 
(B) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o 
quociente da divisão do desvio-padrão pela respectiva 
média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de 
valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido 
dividindo a correspondente variância pelo quadrado da 
média aritmética. 
(C) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos 
funcionários de uma empresa, tem-se que o 
respectivo desvio-padrão dos novos valores é 
igual ao valor do desvio-padrão dos valores 
anteriores. 
 
(D) Dividindo todos os valores de uma sequência de 
números estritamente positivos por 4, tem-se 
que op respectivo desvio-padrão fica dividido 
por 2. 
 
(E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, 
a diferença entre a mediana e a moda é sempre 
diferente de
zero. 
SEFAZ SP – 2006 [FCC] 
Considerando as respectivas definições e 
propriedades relacionadas às medidas de posição e 
de variabilidade, é correto afirmar: 
 
(A) Concedendo um reajuste de 10% em todos os salários 
dos empregados de uma empresa tem-se que a 
respectiva variância fica multiplicada por 1,10. 1,21 
 
(B) Definindo o coeficiente de variação (CV) como sendo o 
quociente da divisão do desvio-padrão pela respectiva 
média aritmética (diferente de zero) de uma sequência de 
valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido 
dividindo a correspondente variância pelo quadrado da 
média aritmética. Não, essa seria a variação relativa. 
(C) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos 
funcionários de uma empresa, tem-se que o 
respectivo desvio-padrão dos novos valores é 
igual ao valor do desvio-padrão dos valores 
anteriores. 
 
(D) Dividindo todos os valores de uma sequência de 
números estritamente positivos por 4, tem-se 
que o respectivo desvio-padrão fica dividido por 
2. Não, fica dividido por 4. 
 
(E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, 
a diferença entre a mediana e a moda é sempre 
diferente de zero. Há casos em que são iguais. 
Escore z 
É o n° de desvios-padrão pelo qual um 
valor x dista da média (para mais ou para 
menos). 

__
xx
z


0 1 2 3 -1 -2 -3 
valores comuns 
valores 
incomuns 
valores 
incomuns 
__
X
1
__
X 1
__
X 2
__
X 2
__
X
z 
É uma escala que permite que você meça quantos 
desvios-padrão o valor em questão está acima/abaixo 
da . __X
Exemplo 1: 
As alturas da população de homens adultos têm 
X=69,0 in, desvio-padrão =2,8 in (in=pol). O 
jogador Michael Jordan ganhou reputação de 
gigante, mas com 78 in, ele pode ser considerado 
excepcionalmente alto, comparado com a 
população geral de homens adultos americanos? 

21,3
8,2
6978
__




 
xx
z
A altura de Michael Jordan está 3,21 desvios-padrão 
acima da média. Sim, ele é alto para os padrões 
americanos. 
__
X
Vamos investigar como é essa curva. 

%15
%06,40406,0
69
8,2
100.
__
CV
X
CV

baixa dispersão 
99,7% 
95,0% 
68,0% 
A altura de Michael Jordan está contido nos 0,15% da população. 
__
X

__
X 
__
X 2
__
X 2
__
X 3
__
X 3
__
X
PROBABILIDADE 
PROFª MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
A probabilidade surgiu com os jogos de azar como 
jogos de cartas, de roletas, de números etc, no 
século XVI. Mais tarde, sua utilização foi ampliada 
para estudos de Genética por Mendel que, até 
hoje, continuam sendo válidos. 
Os resultados previsíveis são chamados de 
determinísticos. Por exemplo, o tempo gasto 
para um objeto atingir o solo sendo lançado de 
uma certa altura. Caso não saibamos o resultado 
final de um experimento com antecedência, 
chamamos de aleatório. Por exemplo, lançar uma 
moeda; jogar na loteria de números, jogar um 
dado etc. 
Em Probabilidade estudamos experimentos 
aleatórios que tenham a mesma chance de 
ocorrência, isto é, a chance de acontecer os 
diferentes resultados é a mesma. 
Espaço Amostral (S) 
Para cada experimento aleatório E defini-se 
Espaço Amostral – S - o conjunto de todos os 
possíveis resultados desse experimento. 
Ex.: Experimento E1 = jogar um dado e observar o 
número da face de cima. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Ex.: Experimento E2 = jogar 2 moedas e observar o 
resultado. 
S = {(c,c), (c,k), (k,c), (k,k)} 
c – cara 
k - coroa 
Evento 
O evento se caracteriza por ser qualquer 
subconjunto do conjunto S. 
Ex.: E1 = lançar um dado e observar o 
número de cima. 
S = {1, 2, 3, 4,, 5, 6} 
Evento A = ocorrer múltiplo de 2 = {2, 4, 6} 

Observações: 
1- Quando o evento for igual ao espaço 
amostral, o evento é dito CERTO; 
2- Quando o evento for , o evento é 
considerado IMPOSSÍVEL. 

Probabilidade 
amostralespaçoelementosn
eventoelementosn
Eventop



º
º
)(
)(º
)(º
)(
Sn
Evn
Evp 
Exemplos: 
1- Seja o experimento aleatório: nascimento 
de 3 filhotes de um casal de gatos. 
Determine: 
a) O S deste experimento: 
S = {(MFF), (MFM), (MMF), (MMM), (FMM), 
(FMF), (FFM), (FFF)} 
b) A probabilidade do evento: exatamente 2 
fêmeas. 
 
8
3
8
))()((
)(
)(
)( 
FFMFMFMFF
Sn
Evn
Evp
c) A probabilidade do evento: nascimento de 
exatamente 3 machos. 
 
 
d) A probabilidade do evento: nascimento 
de, pelo menos, 2 fêmeas. 
 
 
8
1
)(
)(
)( 
Sn
Evn
Evp
%50
2
1
8
4
)( Evp
 
2- Numa urna existem 4 bolas amarelas e 2 
bolas rosas. Qual é o S retirando-se 3 bolas 
sucessivamente? 
S = {(AAA), (AAR), (ARA), (ARR), (RAA), 
(RAR), (RRA)} n(S)=7 
A 
R 
A 
A 
A 
R 
R 
R 
A 
A 
A 
R R 

3- Qual o espaço amostral no lançamento 
de 2 moedas simultaneamente? 
 
 
 
 
S = {(cc), (ck), (kc), (kk)} 
c 
c 
k 
k 
cc 
kc 
ck 
kk 
4- Qual o S do experimento aleatório 
lançamento simultâneo de 3 moedas 
diferentes? 
 
 
 
 
S = {(ccc), (cck), ... (kkk)} 
n(S) = 8 
c 
k 
c 
c 
c 
k 
k 
k 
k 
c 
c 
c 
k 
k 
4.1- Calcule a probabilidade do evento: no 
mínimo 1 cara: 
 
 
 
4.2- Calcule a probabilidade do evento: pelo 
menos 2 coroas: 
 
 
8
7
)( Evp
2
1
8
4
)( Evp
4.3- Calcule a probabilidade do evento: no 
máximo 1 cara: 
 
 
 
4.4- Calcule a probabilidade do evento: 
exatamente 2 coroas: 
2
1
8
4
)( Evp
8
3
)( Evp
Alguns Tipos de Eventos 
1- Eventos Mutuamente Exclusivos 
ou Excludentes 
Dois eventos são chamados 
mutuamente exclusivos, se eles não 
puderem ocorrer simultaneamente, isto 
é, evento A e evento B são disjuntos, ou 
seja, 
BA
Ex.: lançar um dado e observar se vai dar 
par ou ímpar. 
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Ev(A) = ocorrer nº par = {2,4,6} 
Ev(B) =ocorrer nºímpar ={1,3,5} 
BA
2- Eventos Complementares 
O complemento de um evento A, denotado por , 
consiste em todos os resultados em que o evento 
A não ocorre. 
Ex.: Se p(chuva)=0,4, determine p(ñ-chuva). 
p(ñ-chuva) = 1 – p(chuva) = 
 1 - 0,4 = 0,6 
___
A
___
A
 
3- Eventos Independentes 
Dois eventos A e B são independentes se a 
ocorrência de um deles não afeta a probabilidade 
de ocorrência do outro. (Analogamente, vários 
eventos são independentes se a ocorrência de 
qualquer um deles não afeta as probabilidades de 
ocorrência dos outros). 
Ex.: a jogada de uma moeda e a jogada 
de um dado são eventos 
independentes, porque o resultado da 
moeda não afeta a probabilidade do 
resultado do dado. 
Então: 
)().()( BpApBAp 
4- Eventos Condicionais ou 
Probabilidade Condicional 
Se A e B são eventos de um espaço 
amostral S, com p(B) diferente de zero, 
então a probabilidade condicional do 
evento A, tendo ocorrido o evento B, é 
indicada por p(A/B). 
)(
)(
)/(
Bp
BAp
BAp


Ex.: Dois dados são lançados. Considere os 
eventos: 
 
 
 
 
onde x1 é o resultado do dado 1 e x2 é o resultado 
do dado 2. 
Calcule p(A/B) e p(B/A) 
}|),{(
}10|),{(
2121
2121
xxxxB
xxxxA


Solução: 
A={(4,6), (5,5), (6,4)} 
B={(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), 
(5,3), (5,4), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5)} 



)}5,6),...(1,3(),1,2{(
)}4,6{(
)(
)(
)/(
Bp
BAp
BAp
15
1
36
15
36
1

Ainda podemos calcular a probabilidade 
condicional da seguinte maneira: 
Considere o primeiro evento como sendo 
um espaço amostral reduzido: 
Sreduzido={(2,1),(3,1),...,(6,5)}=15 
elementos 
E o segundo evento passa a ser um 
evento desse Sreduzido. 
Ev: x1+x2=10 : {(6,4)} 
15
1



)}4,6(),5,5(),6,4{(
)}4,6{(
)(
)(
)/(
Ap
ABp
ABp
3
1
15
3
15
1

Ou, pelo Sreduzido: 
Sreduzido: {(4,6), (5,5), (6,4)} 
Evento: x1>x2 = {(6,4)} 
p(Ev) = 
3
1
Notem que, em geral, 
p(A/B) é diferente de p(B/A). 
Resumo: 
)(
)(
)/(
Bp
BAp
BAp


interseção do nºelementos 
de A e B dividido pelo S 
total. 
probabilidade de B 
dividido pelo total. 
OU 
p(B) se torna o Sreduzido e verificamos 
quantos elementos do conjunto A estão em 
B. 
RESUMO 
Regra da Adição 
p(A ou B) 
A e B são 
mutuamente 
excludentes? 
p(A ou B)=p(A) + p(B) 
p(A ou B)=p(A) + p(B) – p(A e B) 
N 
S 
RESUMO 
Regra da Multiplicação ou do Produto 
p(A e B) 
A e B são 
independentes? 
p(A e B)=p(A) . p(B) 
p(A e B)= p(A). p(B/A) 
N 
S 
ou 
)(
)(
)/(
Ap
ABp
ABp


Teorema de Bayes 
Sejam os eventos A1, A2, ..., Ak, mutuamente 
excludentes e seja B um evento qualquer. Se 
quisermos saber a probabilidade p(A1/B), 
conhecidas as probabilidades p(B/A1), p(B/A2),..., 
p(B/Ak) e p(A1), p(A2),..., p(Ak) , então: 
)()/(...)()/(
)()/(
)/(
11
11
1
kk ApABpApABp
ApABp
BAp


para 
0)( Bp
Ex.: A probabilidade de que um teste médico 
identifique corretamente alguém com uma doença, 
dando positivo é 0,99; e a probabilidade de que o 
teste identifique corretamente alguém sem a 
doença, dando negativo, é 0,95. A incidência da 
doença na população em geral é 0,0001. Você fez 
o teste e o resultado foi positivo. Qual a 
probabilidade de que você tenha a doença? 
Seja D = ter doença 
 = não ter doença 
 S = teste positivo 
 = teste negativo 
__
D
__
S
9999,0)(0001,0)(
__
 DpDp
05,0)/(95,0)/(
99,0)/(
______


DSpDSp
DSp
???)/( SDp
)()./()()./(
)()./(
)/(
____
DpDSpDpDSp
DpDSp
SDp


%2,0)/(
002,0...001976,0
050094,0
000099,0
)/(
049995,0000099,0
000099,0
)/(
9999,0.05,00001,0.99,0
0001,0.99,0
)/(






SDp
SDp
SDp
SDp
Petrobras 2005 [CESGRANRIO] 
O gráfico a seguir é o box-plot da distribuição de 
renda, em mil reais, da população de um 
determinado município. 
5 
6 
7 
10 
12 
Qual é a probabilidade de um habitante desse 
município ter renda superior a 6 mil reais? 
(A) 0,15 
(B) 0,20 
(C) 0,25 
(D) 0,50 
(E) 0,75 
DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADE 
PROFª MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
Modelos de 
Distribuições Discretas 
de Probabilidade 
Bernoulli 
Binomial 
Poisson 
Multinomial 
Geométrica 
Hipergeométrica 
Binomial Negativa 
etc 
Distribuição Binomial 
Trata-se de uma distribuição de probabilidade adequada 
aos experimentos que apresentam apenas dois resultados: 
sucesso e fracasso. Este modelo fundamenta-se em três 
hipóteses: 
H1- n provas independentes e do mesmo tipo são 
realizadas; 
H2- cada prova admite dois resultados: sucesso e fracasso; 
H3- a probabilidade de sucesso em cada prova é p e de 
fracasso é 1-p=q 
Admita sucesso = 1 e fracasso = 0 
Seja a variável Y = n° sucessos das n provas. 
Para Y=0, temos uma sequência de n zeros: 
00000000...0 
 
p(Y=0) = q.q.q...q=qn (p0.qn) 
 
Para Y=1, temos uma sequência do tipo 10000...0; 
01000...0; 00100...0; ... 
 
p(Y=1) = n.p.qn-1 
n 
n sequências 
 
p(Y=1) = n.p.qn-1 
Para Y=y tem-se y sucessos e (n-y) fracassos, 
correspondendo às sequências com y algarismos 1 e 
n-y zeros. Cada seqüência terá probabilidade py.qn-y 
e como há sequências distintas tem-se: 






y
n yny qp
y
n
yYp 





 ..)(
Para Y=n tem-se uma sequência de n uns: 
11111...1, logo, p(Y=n) = pn. 
n Binômio de Newton 
nnnn pq
n
n
pq
n
pq
n
pq 0110 ...
10
)( 

















 
Triângulo de Pascal 
Valor 
de n
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
Coeficientes do Binômio de Newton
121)(
11)(
1)(
2
1
0



ba
ba
ba
151051)(
14641)(
1331)(
5
4
3



ba
ba
ba
Variância de uma 
Distribuição Binomial 
qpnY ..
2
)( 
Média Aritmética de uma 
Distribuição Binomial 
pnY .)( 
Exemplo: Uma moeda não viciada é lançada 8 vezes. 
Encontre a probabilidade de: 
a)dar 5 caras; 
b)pelo menos 1 cara; 
c)no máximo 2 caras. 
2
1
2
1
8



q
p
n
sucesso para cara 
fracasso para cara 
Y=n° de caras (sucessos) 
n° de provas 
b) pelo menos 1 cara 
c) no máximo 2 caras 
%6,99
2
1
2
1
0
8
1
)0(1)1(
08




























 YpYp
)2()1()0()2(  YpYpYpYp
%1414,0
2
1
2
1
2
8
2
1
2
1
1
8
2
1
62718










































%2222,0
2
1
2
1
.
5
8
)5(
585




















Yp
Solução: 
a) dar 5 caras 
(ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas 
possuem carro importado. Dez pessoas 
dessa cidade são selecionadas ao acaso. A 
probabilidade de que exatamente 7 das 
pessoas selecionadas possuam carro 
importado é: 
a) (0,1)7 . (0,9)3 
b) (0,1)3 . (0,9)7 
c) 120 . (0,1)7 . (0,9)3 
d) 120 . (0,1) . (0,9)7 
e) 120 . (0,1)7 . (0,9) 
 
Distribuição Poisson 
Em muitos casos, conhece-se o n° de sucessos, 
porém, se torna difícil e, às vezes, sem sentido 
determinar o n° de fracassos ou o n° total de 
provas. 
Por exemplo: 
automóveis que passam numa esquina/tempo; 
chamadas recebidas por uma mesa telefônica 
durante um período de tempo; 
o n° finito de nós em uma rede. 
Fórmula da Distribuição de 
Probabilidade de Poisson 
t
x
e
x
t
txp ..
!
).(
),( 
 
sendo o coeficiente de proporcionalidade 
específico para cada problema; 
x é o número que ocorre o evento; 
t é o espaço em que ocorre o evento (a unidade). 

Ex.: Em média há duas chamadas por hora num 
certo telefone. Calcular a probabilidade de se 
receber no máximo três chamadas em duas horas. 
Solução: chamadas/hora 
2
Média 
aritmética 
?)2,3(
2
3



p
t
X
2
1
2
.



 t2 chamadas 
1 hora 
)2,3()2,2()2,1()2,0()2,3(  XpXpXpXpXp
2.2
3
2.2
2
2.2
1
2.2
0
.
!3
)2.2(
.
!2
)2.2(
.
!1
)2.2(
.
!
)2.2(   eeee
o
x,t 
%35,43
E qual é a probabilidade de nenhuma chamada 
em 90 minutos. 





0498,0.
!0
)90.
30
1
(
.
!
)(
)90,0(
3
90.
30
1
0
.
ee
e
x
t
Xp t
x

%98,4






30
1
60
2
.t
Continuam 2 
chamadas/hora, mas 
agora são minutos e 
não horas. 
x,t 
Observação: O intervalo pode ser o tempo, a distância, 
a área, o volume ou outra unidade análoga. 
Atenção: 
1- A distribuição binomial é afetada pelo tamanho 
amostral n e pela probabilidade p, enquanto a 
distribuição de Poisson é afetada pela média ; 
2- Em uma distribuição binomial, os valores possíveis 
da variável aleatória x são 0,1,2,...,n, enquanto em 
uma distribuição de Poisson os valores possíveis de x 
são 0,1,..., sem limite superior. 

Modelos de 
Distribuições 
Contínuas de 
Probabilidade 
Uniforme ou Retangular 
Normal 
Lognormal 
Exponencial 
Qui-quadrado 
t de Student 
Distribuição F 
Distribuição de Probabilidade 
Contínua 
Se X é uma variável aleatória contínua, a probabilidade de X 
tomar um determinado valor é, em geral, zero. Não se pode 
definir uma função de probabilidade contínua da mesma 
maneira como o fizemos no caso de uma variável discreta. 
Para chegarmos a uma definição de distribuição de 
probabilidade contínua, notemos que o que tem sentido é 
falar-se da probabilidade de X estar compreendido entre dois 
valores diferentes. (Spiegel, 1978, p.55) 





1)(
0)(
dxxf
xf
Função de probabilidade contínua 
Probabilidade da Uniforme ou 
Retangular 
Definimos que a probabilidade de X estar entre a e b é dada 
por: 

b
a
dxxfbXap )()(
Distribuição de Probabilidade 
Uniforme ou Retangular 
Uma distribuição de variável aleatória contínua é uniforme 
quando sua função densidade de probabilidade for constante 
dentro de um intervalo de valores da variável aleatória X. 
Assim, cada um dos possíveis valores que X com 
distribuição uniforme pode assumir tem a mesma 
probabilidade de ocorrer. 
a b 
X 
f(x) 
1/b-a 
bxaab
ab
xf



,
,
1
)(
Função 
densidade 
uniforme 
Exemplo de Probabilidade 
Uniforme ou Retangular 
Devido à volatilidade do mercado, a estimativa do preço da 
ação X para os próximos 12 meses mostra que deverá ser 
um valor dentro do intervalo $10 e $50, com igual 
probabilidade para todos os valores de preço dentro 
desse intervalo. Calcule: 
a) a probabilidade de que o valor da ação seja maior do que 
$40. 
b) A média e o desvio-padrão da ação. 
a) a probabilidade de que o valor da ação seja maior do que 
$40. 
a b 
X 
f(x) 
1/b-a 
OU AINDA… 
a) a probabilidade de que o valor da ação seja maior do que 
$40. 
a c d b 
X 
f(x) 
ab
cd
dXcp


 )(
10 40 50 
X 
f(x) 
b) A média e a variância da ação. 






 dxxfx
dxxfx
x )(.)(
)(.
2
Média = Valor Esperado = Expectância 
Variância 
OU AINDA… 
b) A média e a variância da ação. 
12
)(
2
2
2 ab
ba
x
x





Média = Valor Esperado = Expectância 
Variância 
Distribuição Normal N 
),( 2
É a mais importante distribuição de 
probabilidade sendo aplicada em inúmeros 
fenômenos e utilizada para o desenvolvimento 
teórico da Estatística. Também é conhecida 
como Distribuição de Gauss, Laplace ou 
Laplace-Gauss. 
A forma gráfica da distribuição normal 
lembra um sino. É conhecida como: 
curva normal, curva em sino ou curva 
de Gauss. O gráfico é simétrico em 
relação à .
Seja X uma variável aleatória contínua. X terá 
distribuição normal se: 




x
exf
x 2)(
2
1
.
2
1
)( 


Parâmetros de uma Distribuição 
Normal: 
Média Aritmética: 
Variância: 

2
Existem infinitas distribuições normais. Basta 
variarmos um dos parâmetros para termos outra 
distribuição. 
A figura mostra quatro distribuições normais 
com mesma média, mas com variâncias 
distintas. 


menor dispersão 
= menor 
variância 
maior 
dispersão 
A figura mostra quatro distribuições normais 
com mesma variância, mas com médias 
diferentes. 
 
A B C D
ABCD  
2222
DCBA  
Área sob a Curva Normal 
É a porção do plano compreendida entre a 
curva e a linha de base (eixo x), que 
corresponde, em qualquer distribuição 
normal, à 100% dos dados considerados. 
Vamos limitar uma porção dessa área total a 
partir de dois pontos quaisquer tomados na 
linha de base. Por exemplo, a média aritmética 
e um outro ponto que coincide com 1 desvio-
padrão acima da média. 
Esta porção abrange 34,13% da frequência 
total. 
Distribuição Normal N 
),( 2
 1 2 3123
68,27% 
95,45% 
99,73% 
y 
Exemplo: Suponhamos que a média aritmética dos 
pesos de certo objeto seja =500g e que o desvio-
padrão seja =1,5g. Qual a probabilidade de 
selecionarmos um objeto com peso entre 500 e 
501? 
 g
g
5,1
500



 tabelagx
gx
g



67,0
5,1
1
1
5,11


Tabela: 0,6 na vertical e 0,07 na horizontal = 24,86% 
500 5,5015,498
34,13% 
501 
x 
68,27% 
Tabela: Áreas de uma distribuição normal 
padrão 
 A tabela informa a proporção sob a curva inteira entre z=o e um 
valor absoluto de z. As áreas para os valores de z negativos são 
obtidas por simetria. tabela
x
z 



 67,0
5,1
500501 
%86,24tabela
Tabela: Áreas de uma distribuição normal 
padrão 
Exemplo: As alturas dos alunos de determinada escola 
são normalmente distribuídas com média 1,60m e 
desvio-padrão 0,30m. Encontre a probabilidade de um 
aluno medir: 
a)entre 1,50m e 1,80m 
30,0
60,1



 X= variável normal -altura dos alunos 
)67,033,0()80,150,1(  zpxp
tabela 
67,0
30,0
60,180,1
33,033,0
30,0
60,150,1
2
1














x
z
x
z
Segundo a tabela... 
%79,373779,02486,01293,0 
b) mais de 1,75m 
50% 
19,15% 
%85,303085,01915,05000,0
)5,0()()75,1( 1

 zpzzpXp
1915,05,0
30,0
60,175,1
1 

 tabelaz
média aritmética 
desvio-padrão 
c) menos de 1,48m 
%46,343446,0
1554,05000,0)48,1()48,1(

 zpXp
1554,04,0
30,0
60,148,1
1 

 tabelaz
50% 
d) Qual deve ser a medida mínima para escolhermos 
10% dos mais altos? 
Neste caso, tem-se a probabilidade e deseja-se a 
medida. 
Para se encontrar o valor de z que deixa 0,10 à 
direita, deve-se consultar na tabela o valor 0,40. 
Assim, o valor de z mais próximo de 0,40 é z=1,28, 
logo... 
mx
xx
z
98,1
30,0
60,1
28,1




 

Distribuição de Probabilidade 
Lognormal 
A lognormal é a distribuição de uma 
variável aleatória cujo logaritmo segue 
a distribuição normal. 
Só trabalha com dados positivos. 
Na Engenharia essa distribuição vem 
sendo usada para descrever o tempo 
de falha, o tempo de reparo e também 
em estudos sobre confiabilidade. 
 A distribuição lognormal, em geral, é assimétrica à 
direita: 
 
Considere Y uma variável aleatória 
com distribuição normal e X uma 
variável aleatória com distribuição 
lognormal. 
Y = ln X 
,
2
1
),;( ]²/))[(ln2/1( yy
y
xe
x
xf 

Função Densidade da Lognormal 
em X é... 
x>0 
Caso contrário f(x) = 0. 
Média Aritmética: 
Variância: 
É útil conhecer a mediana e a moda de uma lognormal. A 
mediana ( ), é 
 
 
 
ye
E a moda (Mo) é 
2
2
)(
y
y
eXE x
 
)1(²)(
²²2

 yyy eeXV x

²yyeMo
 

Exemplo: A concentração de poluentes produzidos 
por indústrias químicas é descrita historicamente 
como uma distribuição lognormal. Você é 
responsável pela adequação dos níveis de poluição 
de certa indústria ao cumprimento de 
regulamentações governamentais. Suponha que a 
concentração do poluente (em partes por milhão) 
tenha média de 3,2 e desvio-padrão igual a 1. Qual 
a probabilidade de que a concentração exceda oito 
partes por milhão? 
X é a concentração de poluentes, então... 
Já que ln(X) tem distribuição normal com média 
3,2 e desvio-padrão igual a 1, então... 
Então, a chance de que a concentração 
ultrapasse oito partes por milhão é de 
13,14%. 
Tabela: Áreas de uma distribuição normal 
padrão 
Generalizando, a fórmula para cálculo da 
probabilidade da lognormal é: 
Distribuição de Probabilidade 
Exponencial 
Descreve o tempo que se leva para completar uma tarefa. 
Ex.: tempo entre chegadas a um lava-carros, tempo exigido 
para se carregar um caminhão, distância entre os maiores 
defeitos em uma auto-estrada etc. 


x
exf


1
)(
Função exponencial de probabilidade 
Exemplo 
Considere que o tempo médio que se leva para carregar 
um caminhão na doca de carregamento é de 15 minutos. 
A função densidade de probabilidade que descreve esse 
tempo de carregamento é: 
15
15
1
)(
x
exf


Fórmula para cálculo da probabilidade 
15
0
0
1)tocarregamen (
x
extempoP



0
1)( 0
x
exxP


Para o exemplo da doca de carregamento... 
Qual a probabilidade que um 
caminhão seja carregado... 
 em até de 6 minutos? 
 
 
 
 
3297,01)6carreg. ( 15
6


etempoP
Qual a probabilidade para um 
caminhão carregar... 
 E em até 18 minutos? 
 
 
 
 
 entre 6 e 18 minutos? 
 
 
3691,03297,06988,0 
6988,01)18carreg. ( 15
18


etempoP
CORRELAÇÃO E 
REGRESSÃO 
LINEAR 
PROFª MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
Correlação Linear 
É o estudo da relação entre duas variáveis 
com o auxílio de um gráfico (chamado 
diagrama de dispersão) e de uma medida 
(chamada coeficiente de correlação linear). 
Ex.:Poderíamos pesar um urso com uma fita 
métrica? 
 Se houver alguma relação entre o 
comprimento de um urso e seu peso, 
sim. Mas qual é esta relação? 
Quando uma variável está, de alguma 
forma, relacionada a outra, dizemos que 
existe uma CORRELAÇÃO. 
Vantagem: a presença de uma correlação 
pode conduzir-nos a um método para 
estimar o peso de um urso medindo o seu 
comprimento. 
gastos com combustível e km rodados; 
renda pessoal e anos de estudo; 
nºde defeitos em peças e horas de 
treinamento em qualidade. 
Ex.: Variável x – idades das pessoas de determinadas 
classes; 
 Variável y – tempo médio de duração do banho diário 
das pessoas entrevistadas em cada idade. 
0 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
14 
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 
D
u
ra
ç
ã
o
 d
o
 B
a
n
h
o
 (
m
in
) 
Idade (anos) 
Diagrama de Dispersão 
X 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42
Y 12 11 13 12 11 8 10 9 7 8 8 9 7 7 6 6 4 5
A configuração do gráfico nos faz supor que existe 
uma certa correlação entre as duas variáveis, isto 
é, com o tempo, as pessoas parecem demorar-se 
menos no banho. 
Obs.: Devemos ter cuidado na análise de 
correlação, pois as variáveis correlacionadas, não 
necessariamente, estão sujeitas a uma relação de 
causa e efeito. No exemplo, pode não ser a idade 
mas a falta de tempo que as faça tomar banho 
mais rápido. 
O coeficiente de correlação linear r mede o grau 
de relacionamento linear entre os valores 
emparelhados x e y em uma amostra. O 
coeficiente de correlação linear também é 
chamado de coeficiente de correlação momento-
produto de Pearson (1857-1936). 
x
n
yy
n
xx
n
yyxx
rxy
_
22
_
__
)(
.
)(
))((



desvio-
padrão de x 
desvio-
padrão de y y
coeficiente de 
correlação linear 
Mais fórmulas para o cálculo do 
coeficiente de correlação linear 
]
)(
].[
)(
[
.
.
2
2
2
2
n
y
y
n
x
x
n
yx
yx
rxy







Obs.: Ao calcular r ou outros cálculos estatísticos, o 
arredondamento durante os cálculos pode ocasionar erros 
sérios; recorra à memória da calculadora para armazenar 
os resultados intermediários, fazendo o arredondamento 
somente no final. 
0 -1 1 
Correlação 
Nula 
Correlação 
Negativa Perfeita 
Correlação 
Positiva 
Perfeita 
Aumenta a 
correlação 
positiva 
Aumenta a 
correlação 
negativa 
2222 )()(.)()(
))((.
yynxxn
yxyxn
rxy



A observação dos diagramas de dispersão pode 
nos fornecer informações: 
Ex.: Calcule o coeficiente de correlação linear 
r, com os dados da tabela abaixo: 
Comprimento 
x (pol)
Peso y (lb)
53,0 80
67,5 344
72,0 416
72,0 348
73,5 262
68,5 360
73,0 332
37,0 34
Fonte: Minitab e Gary Alt.
Comprimentos e Pesos de 
Ursos Machos
Solução: n=8 (porque há 8 pares de dados) 




2222 )()(.)()(
))((.
yynxxn
yxyxn
rxy




22 )176.2()520.728(8.)50,516()75,525.34(8
)176.2)(50,516()879.151(8
xyr
897,0
184.093.1.75,433.9
128.91
xyr
Cálculo de : 151.879 
xy
Cálculo de : 516,50 
x
Cálculo de : 2.176 
y
Cálculo de : 34.525,75 
)( 2x
Cálculo de : 728.520 
)( 2y
Interpretação do Coeficiente de 
Correlação Linear 
O valor de r deve estar sempre entre –1 e +1, inclusive. 
Se o valor de r está próximo de zero, concluímos que não 
há correlação linear significativa entre x e y, mas se r está 
próximo de –1 ou +1, concluímos pela existência de 
correlação linear significativa entre x e y. Como a 
interpretação da expressão “próximo de” 0, ou 1, ou –1 é 
vaga, adotaremos o critério de decisão seguinte: Se o 
módulo do valor calculado de r excede o valor da tabela a 
seguir, concluímos que há correlação linear significativa. 
Caso contrário, não há evidência suficiente para apoiar a 
existência de uma correlação linear significativa. 
Tabela de Valores Críticos do 
Coeficiente de Correlação Linear r 
05,0
n
4 0,950
5 0,878
6 0,811
7 0,754
8 0,707
9 0,666
10 0,632
11 0,602
12 0,576
13 0,553
14 0,532
15 0,514
16 0,497
Valores Críticos do 
Coef.Correlação r
17 0,482
18 0,468
19 0,456
20 0,444
25 0,396
30 0,361
35 0,335
40 0,312
45 0,294
50 0,279
60 0,254
70 0,236
80 0,220
90 0,207
100 0,196
Fonte: Introdução à 
Estatística - Mário F.Triola
CLASSIFICAÇÃO DO GRAU DE 
DEPENDÊNCIA ENTRE AS VARIÁVEIS 
 0,0 a 0,09 - NENHUMA 
 0,10 a 0,39 – FRACA 
 0,40 a 0,59 – MODERADA 
 0,60 a 0,89 – FORTE 
 0,90 a 1 - PERFEITA 
A tabela de valores críticos mostra que com 8 
pares de dados amostrais, o valor crítico é 0,707. 
Isso significa que existe uma chance de 5% de 
que o valor absoluto do coeficiente de correlação 
linear calculado r exceda 0,707. 
Como o valor encontrado foi de 0,897, 
concluímos que há correlação linear significativa 
entre os comprimentos e os pesos de ursos. 
Algumas observações: 
 
1. Se os pesos dos ursos são dados em Kg em 
vez de lb, o valor de r não se modificará; 
2. r mede a intensidade, ou grau, de um 
relacionamento
linear. Não serve para medir a 
intensidade de um relacionamento não-linear; 
3. evite a conclusão de que a correlação implica 
causalidade porque pode haver uma 3ª 
variável oculta influenciando as duas em 
questão; 
4. a conclusão de que não há correlação linear 
significativa não quer dizer que x e y não 
estejam relacionados de alguma forma. 
Regressão Linear 
Ao termos alto grau de correlação linear entre 
duas variáveis significa que percorrendo os 
valores de uma, a outra vai surgindo. Para 
sabermos o peso de uma pessoa só 
conhecendo a altura, por exemplo, é preciso 
encontrar a regra ou equação que relaciona as 
duas variáveis. Esta equação tem o nome de 
equação de regressão linear (se for linear), isto 
é, se a correlação for uma reta. 
Exemplo de Regressão Linear 
X 2 2 3 3 3 4 4 5 6 6 6
Y 1 2 2 3 4 2 4 3 4 5 3
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
0 1 2 3 4 5 6 7 
e
ix
o
 y
 
eixo x 
Reta de Regressão Linear 
4
_
X
3
_
y
X 
A reta de regressão deve ser traçada de modo 
que passe pela média x e y, precisando ter uma 
inclinação tal que garanta os menores desvios de 
cada ponto em relação a ela. O ajuste da regra de 
regressão ao conjunto de pontos é feito pelo 
método chamado de mínimos quadrados. 
y = ax + b 
Regressão Linear 
x
y
xyra 


__
xayb 
COEFICIENTE 
ANGULAR 
COEFICIENTE 
LINEAR 
Coeficiente de 
correlação entre as 
variáveis x e y. 
Para o exemplo anterior teríamos 
uma regressão linear de: 
016,1496,0  xy
496,0
48,1
13,1
.65,0 a
016,14.496,03 b
Outras fórmulas para o coeficiente 
angular e linear da reta de regressão 
linear. 
22 )()(
))(()(
xxn
yxxyn
a



22
2
)()(
))(())((
xxn
xyxxy
b



COEFICIENTE ANGULAR 
COEFICIENTE LINEAR 
ESTIMATIVA 
PROFª MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
ESTIMATIVA 
A busca de informações a respeito de um 
fenômeno qualquer é necessária para a tomada 
de decisões que envolvem este fenômeno. 
Em particular, quando este fenômeno é aleatório, a 
busca de informações é direcionada para 
estabelecer a forma de distribuição da variável que 
descreve o fenômeno e os parâmetros desta 
distribuição (toda distribuição tem parâmetros). Um 
dos processos para a solução deste problema 
consiste em obter essas informações de maneira 
indireta por um processo chamado ESTIMAÇÃO. 
A estimação é um processo que consiste em avaliar os 
parâmetros de uma distribuição por meio de 
estimadores obtidos em uma amostra, com base no 
cálculo de probabilidades. O cálculo de probabilidades 
é o instrumental que viabiliza avaliar parâmetros da 
distribuição a partir dos estimadores. Veremos 
métodos de estimação de valores da média aritmética 
(parâmetros populacionais). 
DEFINIÇÃO: 
Um estimador é uma estatística amostral (como a 
X amostral) utilizada para obter uma aproximação 
de um parâmetro populacional. Uma estimativa é 
um valor específico, ou um intervalo de valores, 
usado para aproximar um parâmetro populacional. 
QUALIDADE DA ESTIMAÇÃO 
A qualidade de uma estimação depende basicamente 
da representatividade da amostra, ou seja, a 
capacidade da amostra reproduzir as características 
importantes da população. Vejamos um exemplo: 
A nutricionista de uma empresa foi encarregada de 
avaliar a qualidade nutritiva de uma sopa preparada 
por um fornecedor, que será servida a seus 
funcionários, pois houve reclamações de funcionários 
que sugerem que a sopa não está satisfazendo o 
padrão de qualidade nutricional exigido pela empresa. 
Se isso, de fato, estiver ocorrendo pode acarretar em 
multa contratual. 
O procedimento viável nesta situação é fazer esta 
avaliação por meio de uma amostra. 
Para uma amostra representativa da população é 
preciso mexer bem a sopa para se obter um bom grau 
de homogeneidade no produto e, uma pequena 
amostra retirada nessas condições, irá conter os 
ingredientes aproximadamente na mesma proporção 
em que figuram na sopa. Assim sendo, podemos fazer 
a avaliação com alto grau de precisão. 
Caso a nutricionista, mesmo mexendo a sopa, 
desconfie do grau de homogeneidade da sopa, a 
maneira de conseguir boa representatividade consiste 
em aumentar o tamanho da amostra. 
A análise desta situação leva-nos a concluir que 
populações com pequeno grau de variabilidade 
de seus elementos podem ser estudadas a partir 
de pequenas amostras. 
À medida que esta variabilidade aumenta, é 
necessário aumentar o tamanho da amostra 
para manter sua representatividade. 
Exemplo de ESTIMAÇÃO 
A maioria das pessoas crê que a temperatura 
média do corpo humano seja de 98,6°F, mas os 
dados da tabela abaixo parecem sugerir uma 
média efetiva de 98,20°F. Sabemos que as 
amostras tendem a variar, de forma que talvez a 
verdadeira temperatura média seja 98,6°F, e a 
média amostral de 98,20°F seja o resultado de uma 
flutuação aleatória. Mas o contrário pode ocorrer! 
Analisemos os dados amostrais da tabela abaixo e 
vejamos se a temperatura média do corpo humano 
é ou não 98,6°F 
98,6 98,6 98,0 98,0 99,0 98,4 98,4 98,4 98,4 98,6
98,6 98,8 98,6 97,0 97,0 98,8 97,6 97,7 98,8 98,0
98,0 98,3 98,5 97,3 98,7 97,4 98,9 98,6 99,5 97,5
97,3 97,6 98,2 99,6 98,7 99,4 98,2 98,0 98,6 98,6
97,2 98,4 98,6 98,2 98,0 97,8 98,0 98,4 98,6 98,6
97,8 99,0 96,5 97,6 98,0 96,9 97,6 97,1 97,9 98,4
97,3 98,0 97,5 97,6 98,2 98,5 98,8 98,7 97,8 98,0
97,1 97,4 99,4 98,4 98,6 98,4 98,5 98,6 98,3 98,7
98,8 99,1 98,6 97,9 98,8 98,0 98,7 98,5 98,9 98,4
98,6 97,1 97,9 98,8 98,7 97,6 98,2 99,2 97,8 98,0
98,4 97,8 98,4 97,4 98,0 97,0
Fonte: Temperaturas amostrais obtidas pelos Drs.Philip Mackowiak,
Steven Wasserman e Myron Levine, pesquisadores da Universidade
de Marylan.
Temperaturas do corpo de 106 adaultos sadios
Por exemplo, com base nos dados da tabela, 
poderíamos utilizar o estimador X para concluir que 
a estimativa da temperatura média do corpo de 
todos os adultos sadios é 98,20°F. 
Mas por que X? 
Há duas razões importantes que explicam porque 
uma média amostral é um melhor estimador de uma 
média populacional do que quaisquer outros 
estimadores, como a mediana ou a moda. 
1. Para muitas populações, a distribuição de médias 
amostrais X tende a ser mais consistente 
(apresentar menor variação) do que as distribuições 
de outras estatísticas amostrais. (Isto é, se 
utilizamos médias amostrais para estimar a média 
populacional , essas médias amostrais terão 
menor desvio-padrão do que outras estatísticas 
amostrais, tais como a mediana ou a moda.) 


2. Para todas as populações, dizemos que a média 
amostral X é um estimador não-tendencioso da 
média populacional , o que significa que a 
distribuição de médias amostrais tende a centrar-
se em torno da média populacional . (Isto é, as 
médias amostrais não tendem a sobreestimar nem 
a subestimar sistematicamente o valor de . Ao 
contrário, tendem para o valor-alvo que é o próprio 
valor de . 
Por estas razões utilizaremos a X amostral como 
melhor estimativa da XXX (média populacional). 
Como a X é um valor único que corresponde a um 
ponto na escala numérica, vamos chamá-la de 
estimativa pontual. 





Antes de prosseguirmos, precisamos entender 
Intervalos de Confiança. 
DEFINIÇÃO: 
Um intervalo de confiança (ou estimativa 
intervalar) é uma amplitude (ou um intervalo) de 
valores que tem probabilidade de conter o 
verdadeiro valor da população. 
No exemplo, vimos que 98,20°F era nossa melhor 
estimativa
pontual da média populacional , mas não 
tínhamos qualquer indicação sobre quão boa era essa 
estimativa. Se conhecêssemos apenas as quatro 
primeiras temperaturas de 98,6, 98,6, 98,0 e 98,0, 
nossa melhor estimativa pontual de seria sua 
média 


(X=98,30°F), mas esta estimativa pontual não seria 
tão boa, porque se baseia em uma amostra 
demasiadamente pequena. Assim é que os 
estatísticos desenvolveram outro tipo de estimativa 
que, efetivamente, indica quão boa é uma estimativa 
pontual. Essa estimativa, chamada intervalo de 
confiança ou estimativa intervalar, consiste em uma 
amplitude (ou um intervalo) de valores, em lugar de 
um valor único. 
Um intervalo de confiança está associado a um 
grau de confiança que é uma medida de nossa 
certeza de que o intervalo contém o parâmetro 
populacional. A definição de grau de confiança utiliza 
para descrever uma probabilidade que corresponde 
a uma área. 

A figura abaixo esboça a probabilidade XX que 
está dividida igualmente entre duas regiões 
extremas sombreadas (geralmente chamadas 
caudas) na distribuição normal padronizada. 

O grau de confiança é a probabilidade 1- 
(comumente expressa como o valor percentual 
equivalente) de o intervalo de confiança conter o 
verdadeiro valor do parâmetro populacional. (O grau 
de confiança é também chamado nível de 
confiança, ou coeficiente de confiança). 
São escolhas comuns para o grau de confiança: 
90% (com =0,10), 95% (com =0,05) e 99% 
(com XX=0,01). A mais comum é a opção 95%, 
porque proporciona bom equilíbrio entre a precisão 
(refletida na amplitude do intervalo de confiança) e a 
confiabilidade (expressa pelo grau de confiança). 



Eis um exemplo de intervalo de confiança, com grau 
de 95% (ou 0,95) de confiança da média 
populacional é ... 
98,08°F < < 98,32°F 
Note que a estimativa consiste em um intervalo e 
está associada a um grau de confiança. 
Interpretamos este intervalo de confiança como 
segue: Se fôssemos selecionar muitas amostras 
diferentes de tamanho n=106 da população de todos 
os cidadãos sadios, e construíssemos um intervalo 
de 95% de confiança análogo para cada amostra, a 
longo prazo, 95% desses intervalos conteriam 
efetivamente a média populacional . 



Devemos ter em mente que é um valor fixo, e 
não uma variável aleatória; portanto, é errado dizer 
que há 95% de chance de estar no intervalo. 
Qualquer intervalo de confiança contém, ou não 
contém XX, e como é fixo, não existe a 
probabilidade de estar em um intervalo. 
Pelo teorema Central do Limite, sabemos que as 
médias amostrais X tendem a distribuir-se 
normalmente, como na figura que mostramos. As 
médias amostrais apresentam uma chance 
relativamente pequena de estar em uma das 
caudas extremas. 




Denotando por a área sombreada de cada 
cauda, vemos que há uma probabilidade total de 
a média amostral estar em uma das caudas. Pela 
regra do complemento, decorre que há uma 
probabilidade 1- de uma média amostral estar 
na região não-sombreada da figura. O escore z 
que separa a região da cauda direita é denotado 
comumente por , e é chamado valor crítico 
porque está na fronteira que separa as médias 
amostrais passíveis de ocorrerem, das médias 
amostrais que provavelmente não ocorrerão. 
2



2
z
Calculemos o valor crítico correspondente a um 
grau de confiança de 95%. 
Solução: 
Um grau de confiança de 95% corresponde a 
=0,05. Obtemos =1,96. 
2
z
Voltando ao problema... 
Quando coletamos um conjunto de dados 
amostrais, como o conjunto das 106 temperaturas, 
podemos calcular a X; essa média amostral é 
tipicamente diferente da . A diferença entre X e 
XX pode ser encarada como um erro. 
Podemos calcular essa margem de erro (E) 
(diferença máxima provável entre X e ) como... 



n
zE

 .
2

Cálculo de E quando é desconhecido 
Se n>30, podemos substituir na fórmula de E, 
pelo desvio-padrão amostral s. 
Se n 30, a população deve ter distribuição normal, 
e devemos conhecer para aplicar a fórmula de E. 
Com base na definição da margem de erro E, 
podemos agora identificar o intervalo de confiança 
para . 





),(
____
__
____
EXEX
ou
EX
ou
EXEX


 
n
zE
onde

 .
2

Vamos agora construir o intervalo de confiança para 
o estimador X das 106 temperaturas... 
62,0
20,98
106
__



s
FX
n
(desvio-padrão amostral) 
Para um grau de confiança de 95%... 
12,0
106
62,0
.96,1.
96,105,0
2
2


n
zE
z




Logo, 
32,9808,98
12,020,9812,020,98
____





 EXEX
Concluímos que para a amostra de 106 temperaturas, 
o intervalo de confiança para a é 
98,08°F< <98,32°F, 
e este intervalo de confiança tem um grau de 
confiança de 0,95. Isto significa que, se 
escolhêssemos muitas amostras diferentes de 
tamanho 106 e construíssemos intervalos de 
confiança como fizemos aqui, 95% deles conteriam o 
valor da média populacional . 



Observe que os limites que encontramos, 98,08°F 
e 98,32°F do intervalo de confiança não contém o 
valor 98,6°F, que se admite ser a temperatura 
média do corpo humano. Por isso, deduzimos que 
parece ser muito pouco provável que o valor 
correto de seja 98,6°F. 

INTERPRETAÇÃO DE UM INTERVALO DE 
CONFIANÇA 
Devemos ter cuidado para interpretar 
corretamente os intervalos de confiança. Desde 
que utilizamos dados amostrais para achar os 
limites específicos X – E e X + E, esses limites 
incluirão, ou não incluirão, a média populacional ; 
e isto não podemos determinar sem conhecer o 
verdadeiro valor de . 


É incorreto afirmar que tem 95% de chance de estar 
entre os limites específicos de 98,08 e 98,32, porque XXé 
uma constante, e não uma variável aleatória. Ou está 
entre esses limites, ou não está; não há qualquer 
probabilidade em jogo. É correto dizermos que, a longo 
prazo, esses métodos darão intervalos de confiança que 
conterão em 95% dos casos. 
Suponhamos que no exemplo das temperaturas, estas 
provenham de uma população cuja verdadeira média é 
98,25°F. Então o intervalo de confiança obtido dos dados 
amostrais conteria a média populacional, porque 98,2 está 
entre 98,08 e 98,32. 




AMOSTRAGEM 
PROFª MARIA ALICE V. F. DE SOUZA 
AMOSTRAGEM 
É o conjunto de técnicas utilizadas para a seleção 
de uma amostra. 
Esse conjunto de técnicas pode ser subdividido 
em dois grupos básicos: 
AMOSTRAGEM 
ALEATÓRIA 
Inclui técnicas como: 
•amostragem aleatória simples ou ao acaso; 
•amostragem sistemática; 
•amostragem estratificada 
•amostragem por conglomerados. 
AMOSTRAGEM NÃO 
ALEATÓRIA 
Inclui técnicas como: 
•amostragem intencional; 
•amostragem voluntária. 
Não permitem o controle de 
variabilidade amostral, 
o que inviabiliza o 
controle de qualidade 
da estimação. 
AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES OU AO ACASO 
É aquela em que se atribui aos grupos de 
mesma quantidade de elementos a mesma 
probabilidade de participar da amostra. Em 
particular, cada elemento da população tem a 
mesma probabilidade de participar da amostra. 
Para se obter uma amostra aleatória simples, 
caso a população seja finita, podemos atribuir a 
cada elemento um número. Fichas