Lista 3 - Aula 4 - Pré - Cálculo - 2014-1

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Universidade Federal de Sergipe - UFS
Departamento de Matema´tica - DMA
Lista 3 - Pre´ - Ca´lculo 2014 - Professor Leandro Favacho
1. Fac¸a o gra´fico de cada func¸a˜o, sem marcar pontos, mas comec¸ando com o gra´fico de uma
das func¸o˜es ba´sicas vistas em sala e enta˜o aplicando as transformac¸o˜es apropriadas.
(a) y =
1
x+ 2
(b) y = − 3√x
(c) y = 1− 2x− x2
(d) y = |√x− 1|
2. Encontre as func¸o˜es f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f , g ◦ g, e seus domı´nios.
(a) f(x) = x2 − 1, g(x) = 2x+ 1
(b) f(x) =
√
x, g(x) = 3
√
1− x
(c) f(x) = x+
1
x
, g(x) =
x+ 1
x+ 2
3. Encontre f ◦ g ◦ h.
(a) f(x) = x+ 1, g(x) = 2x, h(x) = x− 1
(b) f(x) =
√
x− 3, g(x) = x2, h(x) = x3 + 2
4. Expresse a func¸a˜o na forma f ◦ g.
(a) F (x) = (x2 + 1)
10
(b) F (x) =
3
√
x
1 + 3
√
x
5. Um bala˜o esfe´rico esta´ sendo inflado a uma taxa constante de 6picm3/s.
(a) Expresse o volume V como uma func¸a˜o do tempo (em segundos).
(b) Se r for o raio do bala˜o em func¸a˜o do volume, encontre r ◦ V e interprete-a.
6. A queda de uma pedra em um lago gera ondas circulares que se espalham a uma
velocidade de 60cm/s.
(a) Expresse o raio r desse c´ırculo como uma func¸a˜o do tempo (em segundos).
(b) Se A e´ a a´rea do c´ırculo como func¸a˜o do raio, encontre A ◦ r e interprete-a.
7. Um navio se move a uma velocidade de 30km/h paralelo a uma costa retil´ınea. O navio
esta´ a 6km da costa e passa por um farol ao meio-dia.
1
(a) Expresse a distaˆncia s entre o farol e o navio como uma func¸a˜o de d, a distaˆncia
que o navio percorreu desde o meio-dia.
(b) Expresse d como uma func¸a˜o de t, o tempo decorrido desde o meio-dia.
(c) Encontre s ◦ d. O que essa func¸a˜o representa?
Sugesto˜es e Respostas
1. Use as tabelas de transformac¸o˜es, reflexo˜es e expanso˜es fornecidas em sala de aula.
2. (a) (f ◦ g)(x) = 4x2 + 4x, D = (−∞,∞)
(g ◦ g)(x) = 2x2 − 1, D = (−∞,∞)
(f ◦ f)(x) = x4 − 2x2, D = (−∞,∞)
(g ◦ g)(x) = 4x+ 3, D = (−∞,∞).
(b) (f ◦ g)(x) = 6√1− x, D = (−∞, 1]
(g ◦ f)(x) = 3
√
1−√x, D = [0,∞)
(f ◦ f)(x) = 4√x, D = [0,∞)
(g ◦ g)(x) = 3
√
1− 3√1− x, D = (−∞,∞).
(c) (f ◦ g)(x) = x+ 1
x+ 2
+
x+ 2
x+ 1
, D = {x ∈ R; x 6= −1, x 6= −2}
(g ◦ f)(x) = x
2 + x+ 1
(x+ 1)2
, D = {x ∈ R; x 6= 0, x 6= −1}
(f ◦ f)(x) = x
2 + 1
x
+
x
x2 + 1
, D = {x ∈ R; x 6= 0}
(g ◦ g)(x) = 2x+ 3
3x+ 5
, D = {x ∈ R; x 6= −2, x 6= −5/3}.
3. (a) 2x− 1
(b)
√
x6 + 4x3 + 1
4. (a) f(x) = x10, g(x) = x2 + 1
(b) f(x) =
x
1 + x
, g(x) = 3
√
x
5. (a) V (t) = 6pit (considerando o volume inicial nulo)
(b) (r ◦ V )(t) = 3
√
9t
2
6. (a) r = r (t) = 60t
(b) (A ◦ r) (t) = 3600pit2.
7. (a) s = s (d) =
√
36 + d2
(b) d = d (t) = 30t
(c) (s ◦ d) (t) = √900t2 + 36.
2