Wa1 Tec. Proc. Gerenciais - Matemática Financeira Período: 03/08/15 - 12/12/15

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Wa1 - Tec. Proc. Gerenciais - Matemática Financeira
 Período: 03/08/15 - 12/12/15
WebAula 1
Título: Conjuntos e funções1
Primeiramente para podermos começar nosso estudo na área de matemática temos que nos apresentar e firmamos o que chamo de contrato didático. Trabalho na UNOPAR sempre em áreas relacionadas à matemática. Como não tenho possibilidade que conhecer todos pessoalmente, tenho certeza que todos vocês meus alunos são pessoas determinadas e confiantes e que querem para o futuro de vocês o melhor.
Sei que muitos quando se deparam com um curso de matemática tem receios em relação à disciplina, mas o que posso dizer que a matemática é uma ferramenta criada pelos homens para ajudar a transcrever e a solucionar problemas do nosso cotidiano. Então a matemática não deve ser entendida como um obstáculo, mas sim como uma ferramenta forte no desenvolvimento de projetos e inovações e é isso que faremos juntos nesse estudo. Trataremos de relembrar conceitos e usá-los por meio de situações-problemas.
Mas como faremos isso?
É nesse ponto que entra nosso contrato didático, uma espécie de recomendações e combinados feitos para fazermos esse estudo. Não é possível discutirmos os seus termos, pois teríamos que estar todos de comum acordo, mas deixo algumas recomendações que minha experiência de sala de aula permitem que eu faça.
	 
	• Cada pessoa deve desenvolver seu jeito próprio de estudar, mas é importante que todos estudem, reflitam e apliquem os conceitos aqui mencionados.
• Para o estudo de matemática se faz necessário praticar, portanto são necessários: lápis, papel, calculadora e livros e /ou sites de apoio para consulta, que vamos recomendar durante e no final dessa aula. 
	 Conjuntos
Conjecturando....
Quando pensamos no conceito e nas relações que envolvem o conteúdo de conjuntos não podemos deixar de nos remeter ao pré-conceito que temos que conjunto é uma coleção de objetos, pessoas, animais e/ou outras coisas contáveis. Se lembrarmos da escola, o que vamos visualizar é:
Esses objetos que formam o conjunto são chamados de elementos.
Existem várias formas de representar esses elementos como a de usar letras minúsculas ou enumerar quem são eles. Cada conjunto pode ser representado usando os diagramas (desenhos) que denominamos diagramas de Venn1  ou os descrevemos usando letras maiúsculas e colocando quem são os elementos ou os descrevendo por meio de uma propriedade usando chaves como notação de conjunto.
Exemplos:
	1) A = {Pedro, Paulo e Maria}
                                                                                       
2) Na empresa X, temos 230 funcionários entre homens e mulheres. Podemos:
A = {todos os funcionários homens}
B = {todos os funcionários mulheres}
C= {todos os funcionários da empresa X}
3) B = {x, onde x é um número inteiro maior que 10} 
Praticando...
1) Escreva agora quais dos três conjuntos acima são os conjuntos escritos por meio de uma propriedade.____________________________________
2) Represente por meio dos diagramas de Venn os números naturais pares menores e iguais a 10.
3) Pesquise e descreva o conceito por meio de exemplos. 
    a) O que é um conjunto finito?
    b) O que é um conjunto unitário?
    c) O que é um conjunto infinito?
    d) O que é um conjunto vazio?
Buscando mais informações....No material didático da disciplina temos mais exemplos de conjuntos, operações com conjunto e tipos de conjuntos.
Vale a pena ir buscar essas informações. Caso queira aprofundar mais seus conhecimentos, esses conceitos são encontrados em qualquer livro didático do Ensino Médio, já que esse é um conteúdo do 1º ano do Colegial. Para buscar informações na internet dê uma olhada nesses sites:
	.
 
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Conjecturando...
A maneira mais utilizada para trabalharmos o conceito de conjuntos está em situações-problema que envolvem a idéia de coleção. Vejam alguns exemplos:
1) A empresa de sabão em pó colocou no mercado o seu produto em duas embalagens diferentes, A e B. Depois de algum tempo, entrevistou 200 pessoas em um supermercado sobre a preferência pelas embalagens. Dos entrevistados, 120 declararam preferir o tipo A, 142 o tipo B e 30 declararam desconhecer o produto. Quantas pessoas gostariam de encontrar o produto nas duas embalagens?
Para resolver esse problema, não existe uma única forma. Uma das formas mais comum é a de usarmos os diagramas de Venn para representar a situação.
Dessa forma podemos visualizar com mais clareza quais são as contas necessárias:
200 - 30 = 170
120 + 142 = 262 ( essa quantidade excede a 170, portanto o excesso é a quantidade de elementos contados duas vezes e que pertencem a intersecção)
262 – 170 = 92
A quantidade de pessoas que desejam ter o produto nas duas embalagens é 92 pessoas.
De forma análoga temos mais um exemplo para você estudar:
2) Numa pesquisa de mercado, verificou-se que 2000 pessoas usam os produtos da marca A ou B. O produto da marca B é usado por 800 pessoas, e 320 pessoas usam os dois produtos ao mesmo tempo. Quantas pessoas usam o produto da marca A?
Outra forma de pensar na solução:
2000 pessoas é o total e 800 pessoas da marca B
Porém 320 usam as duas marcas, significa que 800 -320 = 480 pessoas usam apenas a marca B. Dessa forma 2000 – 480 = 1520 pessoas usam a marca A.
Vamos resolver esse problema lançando mão de desenhos:
 
Praticando...
1)   Sendo E = {12, -3,-4,  3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {0, 1, 3, 5, 7, 9}, B = { 2, 4, 6, 8} e C ={1, 2, 3, 4, 5}, calcule as seguintes operações de união e intersecção1:
            a) E  C = 
            b) A  C =
2)   Um levantamento efetuado entre 600 filiados ao INSS mostrou que muitos deles mantinham convênio com 2 empresas particulares de assistência médica, a empresa A com 430 e a B, com 160. Ficando 60 exclusivamente filiados ao INSS. Pergunta: Quantos são filiados a empresa A e B simultaneamente?
	Funções
O conceito de funções é um dos mais importantes vistos na Matemática, principalmente quando se quer estudar os conceitos de Limites, Derivadas e Integrais. Cada um desses conceitos trata de uma análise e uma descrição do que acontece com as funções. Estas, por sua vez, descrevem o comportamento de qualquer fenômeno em que se possa enxergar algum tipo de padronização.
Conjecturando....
Como vimos em nosso material, definimos conjunto como sendo:
“Seja D um subconjunto não vazio de números reais, definir em D uma função f é explicitar uma regra que a cada  faça corresponder em um único número real y. Pode-se representar o conceito de função por meio de conjuntos.”
 
A melhor forma de visualizarmos essa definição é lançarmos mão dos diagramas de Venn.
Assim percebemos que:
• O conjunto D é chamado de domínio da função;
• O número real y é o valor da função f no ponto x, e se escreve y = f(x)
• Todo elemento x tem um único correspondente y definido pela relação f, chamado de imagem de x.
Em nossas aulas e em livros de apoio vamos sempre nos valer de exemplos que nos mostrem que esse conceito de função é utilizado o tempo todo em situações diversas, como nos exemplos que seguem abaixo. Leia-os com atenção e refaça seus cálculos.
1) Um táxi cobra sua corrida da seguinte maneira, R$ 5,00 a bandeirada mais R$ 1,50 o quilômetro rodado. Quanto você vai gastar se a distância percorrida pelo táxi for de 12 km?
        Seja p o preço a ser pago;
                Seja x a quantidade de km rodados;                     
                       p = 12 . 1,50 + 5                   
                       p = 18 + 5                   
                       p = 23
        Ou seja, vou pagar R$ 23,00.
                    A cada x pertencente a D não podem corresponder dois ou mais elementos de R por meio de f.
                    Então se pensarmos no nosso exemplo do táxi, temos: 
                    A função é uma relação entre o km e o preço
Representando pelos Diagramas de Venn
2)  Um vendedor da marca YYY tem seu salário calculado da seguinte forma:R$ 800,00 salário fixo mais uma comissão de 10% sobre o total vendido. Expresse o salário desse vendedor, fornecendo uma função para tal e calcule quanto ela vai ganhar no mês em que ele vendeu R$ 30 000,00.
                     O salário desse vendedor será de:
S(x) = 800 + 0,10. X, sendo que x representa a quantidade vendida e S o salário;
              Se ele vendeu 30 000 reais, temos:
                      S(30 000) = 800 + 0,10. 30 000
                      S(30 000) = 800 + 3000
                      S(30 000) = 3800
3)  Um vendedor de tintas vende um galão da marca KKKK por R$ 45,00. Fazendo um levantamento do vendido no mês ele descobriu que vendeu 120 desses galões. Escreva uma lei de formação (função) que descreve o cálculo das vendas desse galão e depois calcule quanto ela vai ganhar com a venda dos 120 galões.
                      A lei de formação será dada pela:
                            G(x) = 45.x, em que x representa a quantidade vendida e G, representa o ganho com essa venda.
                            Se ele vendeu 120 galões, terá um ganho de:
                            G(120) = 45 . 120
                            G(120) = 5400 reais
Buscando informações.....
Em nosso material você poderá fazer o estudo completo das funções estudando as funções do 1º e 2º grau, assim como identificar a representação gráfica dos mesmos.
Função do 1º grau
A função do 1º grau é definida como sendo, f(x) = ax + b, com, a ≠ 0. Sua representação gráfica é dada por uma reta, no plano cartesiano.
Função do 1º Grau
A função do 1o grau tem um crescimento ou decrescimento linear.
Exemplos de funções do 1o grau:
1) Paulo tem em sua poupança R$ 400,00 e vai fazer depósitos mensais de R$ 100,00. Representa essa situação e faça o gráfico da mesma.
P(x)=400 +100. X, onde x é a quantidade de meses
Representação gráfica:
Função do 2º grau A função do 2º é uma relação entre as variáveis dependentes e independentes definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, com a≠0 e a, b e c Î R.
A função do 2º é uma relação entre as variáveis dependentes e independentes definida pela fórmula f(x) = ax2 + bx + c, com a≠0 e a, b e c  R.
Sua representação gráfica é uma parábola com concavidade para baixo ou para cima, como segue nos gráficos abaixo.
Para saber mais sobre esse assunto leia o livro Matemática para cursos de economia, administração, ciências contábeis.
Praticando....
Um vendedor recebe mensalmente um salário composto de duas partes. Uma parte fixa, no valor de R$ 300,00, e uma parte variável, que corresponde  a uma comissão de 8% do total de vendas que ele fez durante o mês.
a) Expresse a função que representa seu salário mensal.
b) Calcular o salário do vendedor sabendo que durante um mês ele vendeu R$ 10 000,00 em produtos.
WebAula 2
Título: Logaritmos, exponenciais, matrizes e sistemas
	 Exponenciais
Conjecturando....
Sabemos que a multiplicação de um mesmo número pode ser abreviado como nos mostra o exemplo: a.a.a.a.a.a = a6, a denomina-se base e 6 expoente. Um expoente é, então, um inteiro positivo escrito à direita e ligeiramente acima da base, que indica o número de vezes que a base aparece como fator. Assim, 
53 = 5.5.5 = 125, sendo 5 a base e 3 o expoente.
Além dessa definição, é muito importante lembrarmos que podemos fazer uso de algumas propriedades para resolvermos a equação. Estude-as com cuidado. Estão citadas no material didático da disciplina.
Praticando....
1) Resolva a equação:
a) 3x = 729                      
Para transformamos em potências de mesma base, decompomos 729, obtendo  36 : 3x = 36 , usando a propriedade de bases iguais, temos: x = 6.
       1) 5x = 625 >>> X = 4
       2) 1,23 = ? Como faremos esse exercício?
 
Aqui temos um exemplo em que dispomos de recursos de tecnologia que são as calculadoras científicas ou HP. Em toda calculadora temos a tecla que eleva a potencia, basta você identificar qual é a sua tecla e calcular. Escrevo isso por que são muitos modelos e com nomes diferentes dados as teclas, geralmente você encontrará nas calculadoras científicas a tecla logo acima do numeral 8, a tecla yx ou^ esses sinais gráficos indicam a potenciação. Procure!!
Se sua calculadora for a HP 12C localize a tecla yx  bem a esquerda. Porém os procedimentos de calcular são diferentes.
1. Na cientifica:
	Digite o número da base
Aperte na tecla da potencia ( yx ou ^ )
Digite o expoente
E digite igual 
2. Na HP 12C
	Digite o valor da base e aperte enter
Digite o valor do expoente
Aperte a tecla yx
Vamos testar se vai dar certo? Praticando......
Calcule as seguintes potências:
a) 27=
b) 2,52=
c) 1,355=
d) 1,22,5=
	Logaritmos
Conjecturando....
É tão difícil entendermos quando, como e por que usamos esse conceito de logaritmos, mas se você retomar o estudo no seu material didático perceberá que dentre muitos dos conceitos elaborados na matemática esse é um dos mais usados, principalmente quando estamos falando de matemática financeira. Tal conceito permitiu expandir a matemática financeira composta assim como permitiu muitos avanços tecnológicos na engenharia. Caso esteja interessado em ler mais sobre os logaritmos e suas aplicações consulte o site:
	.
Resumindo, na prática o que profissional de administração precisa entender é por que ele utiliza essa ferramenta e como se calcula usando uma calculadora cientifica ou HP 12C. Portanto o que faremos nessa secção é responder a essas questões.
O exemplo mais clássico do por que precisamos dos logaritmos é esse:
Qual é o tempo necessário para que um capital inicial empregado a taxa de 2% ao mês de juros compostos, que são capitalizados mensalmente, dobre de valor?
Queremos que M = 2C e sabemos que a fórmula para o montante composto é dado por M = C(1 +i)n
Assim,
M = C(1 +i)n2C = C (1+0,02)n
2C = C (1+0,02)n
= (1,02) n
2= (1,02) n, mas como escrever 2 na base 1,02 para podermos resolver essa equação exponencial? Não há solução,
Logo, n é o logaritmo de 2 na base 1,02.Existem certas equações exponenciais que não podem ser resolvidas apenas através das propriedades da potenciação.
 
Por exemplo, ao resolvermos a equação 2x = 10, podemos afirmar que   2x é um número real compreendido entre  2x e  24.
Assim:
            23 < 2x<   24   3 < x < 4
Neste caso, x é um número irracional e, para podermos determiná-lo com maior aproximação, utilizamos aos logaritmos. Definimos os logaritmos como
  
 
 
 
 
Exemplos:
1)     log2 16 = 4,  pois 24 = 16
 
2)    log3 243 =5,  pois 35 =243
 
3)     log7 343 = 3, pois 73 =343
 
4)     Calcule o log5 25.
Temos que, log5 25= x, pela definição sabemos:
5x = 25
5x = 52
X=2Logo, log5 25= 2
Na prática usamos calculadoras e até mesmo sites específicos para calcularmos os logaritmos que quisermos. No site abaixo você encontra muitas informações e propriedades de logaritmos assim como uma tábua on line de como se calcula logaritmos de base 10.
	.
Vamos praticar aqui juntos o uso da calculadora cientifica e HP 12C.
Se você já leu o material da disciplina e os sites recomendados, deve ter percebido que as bases que mais usamos são a base 10 e portanto dizemos apenas log e a base natural que é ln. São essas duas bases que podem ser calculadas em suas calculadoras.
Você poderia pensar: - E se não estiver nessa base o que posso fazer?
A resposta você encontra na propriedade de mudança de base. Vamos então nos concentrar no uso das calculadoras.
1. Calculadora cientifica: nas funções principais você encontrará a tecla escrita log ou ln, vamos nos concentrar aqui no log apenas, pois é o que mais usamos. Dessa forma, basta digitar o número que deseja calcular o logaritmo e apertar a tecla de sua função. Pegue sua calculadora e teste alguns exemplos:
log 5  = 1,963787827
log 12 = 1,079181146
2. Para fazer o calculo do logaritmo log (base 10) na HP 12C, temos seguir um determinado procedimento, pois ela calcula em suas teclas secundárias apenas o logaritmo neperiano.
Pegue suaHP e pratique:
[g] [LN]  calcula o logaritmo neperiano do registrador X. Por exemplo, para calcular o logaritmo neperiano de 80, basta teclar 80 [g] [LN]. A HP 12C fornece o resultado : 4,3820.
É importante destacar que a HP não possui a função para cálculo de logaritmos com base 10, entretanto pode-se empregar uma propriedade dos logaritmos apresentada como:
	loga B= 
	 
Assim, para se obter o logaritmo de base 10 de 100, por exemplo, bastaria extrair o logaritmo neperiano de 100 e dividi-lo pelo logaritmo neperiano de 10. Por exemplo, na HP bastaria fazer:
100 [g] [LN] 
10 [g] [LN] 
[÷] 
2
Praticando....
Calcule usando sua calculadora:
a) log 23
b) log 12
c) log 60
d) log 1,25
	Sistemas Lineares e Matrizes
Aqui faremos diferente, primeiro leiam o material de escrito da disciplina com suas definições depois utilizem esses exemplos para ampliar e praticar tais definições.
Exemplo:
Um comerciante trocou uma nota de R$ 100,00 por notas de R$ 5,00 e R$ 10,00, num total de 12 notas. Quantas notas de cada valor recebeu o comerciante?
Vamos primeiro montar o sistema:
 
	 
	5x + 10y =100
x + y = 12 , onde x e y representam o número de notas.
 
A resolução dos sistemas pode ser de dois modos: o modo da Adição e o modo da Substituição. Para entendermos melhor vamos utilizar o processo acima:
 
 
1º Método: Adição
Nesse método a idéia é somar a equação 1 com a equação 2 de forma que umas das incógnitas se cancelem. Assim,
	 
	5x + 10y =100  equação 1
x + y  equação 2
Observamos que o modo para cancelar umas das incógnitas é o de que eles tenham o mesmo valor, mas com sinais inversos.
	Em nosso exemplo não temos nada que 
possa ser cancelado, porém usamos a estratégia 
de multiplicar uma das equações pelo valor que 
possa ser cancelado. No exemplo, 
	 
	 
	5x + 10y =100  
x + y  =12    . (-5) faça a escolha de qual incógnita quer cancelar.
 
	 
 
 
 
	5x + 10y =100
-5x – 5y = -60
0x +5 y = 40
         y = 40/5
         y= 8 
Agora substituir o y encontrado em uma das equações:
x +y = 12
x +8 = 12
     x = 12 -8
     x = 4
Portanto o conjunto solução é (4, 8).
2º Método da Substituição
Esse método consiste em isolar uma incógnita em uma das duas equações e substituir na outra. No nosso exemplo, temos:
	 
	5x + 10y =100  
x + y =12  
Vamos isolar na equação 2:
X = 12 –y
Na equação 1, temos:
5x +10y = 100
5.(12-y) + 10y = 100
60 -5y +10y = 100
               5y  = 100 -60
                  y = 40/5
                   y= 8
Voltamos na equação
X = 12 –y
X = 12 -8
X = 4
Portanto o conjunto solução é (4,8)
Bibliografia
SILVA, Sebastião M. da; SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. 5.ed. São Paulo: Atlas, 1999.
HOFFMANN , Laurence d. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7 ed. São Paulo : Saraiva, 2002.  
Wa2 - Tec. Proc. Gerenciais - Matemática Financeira
 Período: 03/08/15 - 12/12/15
WebAula 1
Título: Limites e derivadas
Primeiramente é preciso ler o material da disciplina para entender o conceito de limite. Leia e retorne aqui para responder:
O que é limite de uma função?
Poderíamos dizer que estudar o limite de uma função é simplesmente analisar o comportamento dessa função em um determinado ponto. Para tanto o conceito de limite nos dá a idéia algébrica e geométrica de que o fazemos pelas vizinhanças, analisando o que acontece em pontos muitos próximos ao desejado de análise. Acho que a representação geométrica sempre permite entendermos os conceitos algébricos. Observe o gráfico abaixo.
O que você percebe não é uma aproximação do ponto b pela direita e esquerda?
Você entende o que quer dizer limites laterais? Consulte os sites abaixo e no nosso material e descreva o que são os limites laterais. Observe que sempre é feito uma tabela de aproximação por valores que excedem o ponto.
	http://www.scribd.com/doc/271621/Apostila-de-limites-e-derivadas
http://br.geocities.com/edmilsonaleixo/analmat2/analmat242.htm 
	 
Praticando....
Para cada função abaixo f(x) e para cada a, calcule quando existir:
lim    f(x) ,      lim    f(x)  e    lim f(x) 
x  → b-           x  → b+           x  → b
	a) f(x) = x3, com b = 2                                  
b) f(x) = 2 x + 1, com b = 3                                           
c) f(x) =, com b = 0
 
d) f(x) = x – 5  , com b = 5
Existe um conceito muito importante no estudo de limites que é o de continuidade1 . Esse conceito nos permite calcular o limite de uma função fazendo cálculos algébricos de substituição e usando procedimentos de fatoração e decomposição das funções sem precisar estudar os limites laterais.
Assim como nos exemplos que seguem:
1)   lim   x3 - 5x + 2 = 23 - 5 x 2 + 2 = 8 – 10 + 2 = 0
       x →2
	2) 
	 
3) lim x2 + 5 x – 3 = 02 + 5.0 - 3 = - 3
       x →0
Esses são exemplos de funções continuas que podem ter seus limites calculados pela substituição. Observe o caso abaixo e perceba que apesar da primeira tentativa dar uma inconsistência matemática é possível fatorar tal função e analisar seu comportamento em determinado ponto.
	1) 
	 
Mas se usarmos propriedades de produtos notáveis teremos:
	 
	 
Praticando....
 
Calcule os limites de cada função, caso existam:
	Derivadas
 
Para que se possa entender o conceito de derivadas é muito importante para o futuro administrador que ele entenda o conceito de incremento. Matematicamente o definimos como sendo: quando x varia de um valor inicial dex para um valor final de x, temos o incremento em x. O símbolo matemático para a variação em x, chamada incremento em x, será x (leia-se deltax). Logo,
x = valor final de x –  valor inicial de x.
Mas se pensarmos que um determinado produto custava R$ 5,00 e passou a custar R$ 7,80. Tivemos um incremento de R$ 2,80, que é a diferença entre o valor final e inicial. Entendido essa idéia consulte seu material da disciplina e responda:
	O que são as derivadas? Poderíamos afirmar que calcular a derivada de uma função é calcular o limite do incremento dessa função?
Aqui vamos nos aprofundar em conhecer as técnicas de 
derivação e usar esse conceito para determinarmos pontos 
de máximos e mínimos.
Então é válido relembrarmos as principais técnicas de derivação
das funções usuais:
	 
Sejam u e v funções deriváveis de x e n constante, então temos algumas propriedades:
 
Caso queira saber mais consulte seu material ou acesse o site e lembre quais são elas:
	http://ecalculo.if.usp.br/derivadas/regras_derivacao/regras_derivacao.htm 
Agora que você já sabe quais são as propriedades, observe exemplos de funções que foram derivadas e podem ser chamadas de funções derivadas.
Em todos os exemplos acima conseguimos encontrar o que chamamos de função derivada. Para determinarmos o valor da derivada em um determinado ponto basta que se faça a função derivada e em seguida se substitua no ponto desejado. Observe como segue no exemplo 1 e 2.
WebAula 2
Título: Aplicação de derivadas e integrais
	Aplicação de derivadas 
Uma das principais aplicações dos conceitos de derivadas é determinar se há ou não crescimento de uma função em um determinado ponto. Para tanto, se faz necessário o Teorema do Valor Médio. Vamos entender como se determina os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função por meio de um exemplo:
Seja a função f(x) =  x2 - 4x.
O teorema do valor médio nos diz que se derivarmos a função obteremos os intervalos de crescimento e decrescimento da mesma. Assim:
f'(x) = 2x – 4
se igualarmos a função zero, obteremos o valor o ponto de inflexão, que é aquele que diz onde a função troca de sinal.
2x -4 = 0
x = 2
Assim, o sinal da f’é:
 
O comportamento da função é:
 
• A flecha para baixo significa função decrescente
• A flecha para cima significa função crescente.
 
 
Podemos concluir então que a função é decrescente ]-, 2[ e é crescente] 2, +[.
Praticando...
Estude o comportamento dessas funções, faça o esboço gráfico para facilitar a sua visualização.
a)     y =  3 x – 9
b)     y = -4x + 20
Para determinar o ponto de máximo ou mínimo de uma função podemos derivar a função e igualar a zero. Se a função é contínua basta resolver a equação dada.
Exemplo:
Se a função receita de um produto for
R(x) = -2x2+ 400x, obtenha o valor de x que maximiza a receita.
R’(x) = - 2 . 2 x + 400
R’(x) = - 4 x +400
- 4 x + 400 = 0
- 4x =  - 400
x = 100
Portanto o valor que maximiza a função receita é 100.
Praticando.....
Determine os valores que maximizam as funções:
a)     y = - 3 x2 + 36 x
b)     y = - 4 x2 + 64 x + 100
	Integrais 
O conceito de Integral está entrelaçado com o cálculo de áreas de figuras planas e esse conceito surge antes de Cristo com o método da exaustão atribuído a Eudoxo1  (406-355 a.C.), depois por volta da idade média, surge com Newton uma ligação entre o conceito de Eudoxo e o que temos hoje.
Assim tem-se como objetivo para esse capítulo explorar os conceitos relacionados à integral de uma função. Essa idéia é a inversa do conceito de derivadas, teremos uma função e queremos encontrar a primitiva1 dela.
	Para iniciarmos o nosso estudo temos que saber o que são as Integrais em sua definição. Você sabe defini-las?
Seja ƒ uma função definida num intervalo I. Dizemos que uma função P definida em I é uma primitiva de ƒ quando
	 
Isso fica muito claro no exemplo que vemos abaixo:
Se ƒ(x) = x2 , então P(x) =  é uma primitiva de ƒ, pois, P’ (x)= x2 = ƒ(x), para todo  x  R.
Vamos pensar em outro exemplo: se f(x) = 2x, sua primitiva será P(x) = x2 +C, onde c é um valor constante qualquer. Assim, de um modo
	intuitivo podemos dizer que, se P é uma primitiva de ƒ,  toda primitiva de ƒ é da forma P+C. A expressão P+C onde P é uma primitiva de ƒ e C é uma constante qualquer  recebe o nome integral indefinida de  ƒ e será indicada pela notação.
	 
é chamado sinal de integração;
f(x) − é a função integrando;
dx – a diferencial que serve para identificar a variável de , integração;
C – é a constante de integração.
Você deve ter percebido que existe então uma regra prática para a integração, que pode ser resumida no seguinte quadro:
Você pode me dizer qual é a regra prática de se integrar uma função?
Se você sabe que para integrar somamos o grau de liberdade, podemos dizer também que para derivar subtraímos o grau de liberdade. Portanto, a integração e a derivação são operações inversas.
Para dominar as técnicas de integração é necessário que se saiba as propriedades e, portanto, você deve buscar tais propriedades consultando seu material didático da disciplina, ou ainda buscando nos livros didáticos dados na referência.
Vamos ver alguns exemplos e observar as técnicas de integração.
Praticando......
Obtenha as integrais indefinidas a seguir:
Depois de entender as integrais indefinidas, você já pode aceitar um desafio:  o estudo das integrais definidas por meio de um exemplo que trabalha o teorema Fundamental do Cálculo e utiliza uma das aplicações do conceito de integrais.
 
Exemplo:
Um certo estudo indica que, daqui a x anos, a população de uma cidade crescerá à taxa de 100+ 400x pessoas por ano. Qual será o aumento populacional da cidade nos próximos 15 anos?
Esse é um exemplo do uso de integrais definidas.
Bibliografia
SILVA, Sebastião M. da; SILVA, Ermes Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da. Matemática para os cursos de economia, administração, ciências contábeis. 5.ed. São Paulo: Atlas, 1999.
HOFFMANN , Laurence d. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. 7 ed. São Paulo : Saraiva, 2002.
LEITHOLD LOUIS. O cálculo com geometria analítica. São Paulo: Harbra, 1994. v.1 e 2.
MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. Cálculo funções de uma e várias variáveis. São Paulo: Saraiva, 2005.
EXERCICIOS: