livro-Bioestatistica

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LICENCIATURA EM BIO-
LOGIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Instituto Federal de Educação, Ciências e Tecnologia de Alagoas 
Departamento de Educação a Distância 
Universidade Aberta do Brasil 
Unidades 
 
Unidade 1 - Conceitos prévios em Estatística 
 Introdução Histórica: O que é a estatística 
 População e Amostra 
 Censo x Amostragem 
 Dado e Variável 
 Atividades 
 
Unidade 2 - Ferramentas necessárias ao Estudo de Estatística 
 
 Números Aproximados e Arredondamento de dados 
 Fração 
 Porcentagem 
 Somatórios 
 Atividades 
 
Unidade 3 - Obtenção de Dados 
 Etapas do Método Estatístico 
 Apresentação Tabular 
 Análise e avaliação dos resultados obtidos 
 Tomada de Decisão 
 Aplicação do método estatístico através de um projeto de pesquisa 
 Elaboração de um questionário 
 Um aplicação de questionário 
 Codificação dos dados 
 
Unidade 4 - Técnicas de Amostragem 
 Técnicas estatísticas de abordagem 
 Amostragem Casual ou Aleatória Simples 
 Amostragem Proporcional Estratificada 
 Amostragem de Conglomerados 
 Amostragem Sistemática 
 Atividades 
 
Unidade 5 - Séries Estatísticas 
 Série Temporal ou Cronológica 
 Série Geográfica ou Territorial 
 Série Específica ou Qualitativa 
 Série Mista, Conjugada ou Composta 
 Série de Distribuição de Freqüências 
 Atividades 
 
Unidade 6 - Distribuição de Frequências 
 Definições Básicas 
 Tipos de Freqüências 
 Distribuição de Freqüência para dados agrupados em intervalos de classe 
 Atividades 
 
Unidade 7 - Gráficos Estatísticos 
 Gráficos de Linha 
 Gráficos de colunas ou em barras 
 Gráficos de colunas ou em barras múltiplas 
 Gráfico de colunas comparativas 
 Gráficos de setores 
 Gráfico Pictorial - Pictograma 
 Gráfico polar 
 Cartograma 
 Atividades 
 
Unidade 8 - Medidas de Posição 
 Média Aritmética Simples (dados não agrupados) 
 Média Aritmética Ponderada (dados agrupados) 
 Mediana 
 Moda 
 Emprego das medidas de posição 
 Atividades 
 
 
 
 
Unidade 9 - Medidas de Variabilidade 
 
 Amplitude total 
 Desvio 
 Desvio Médio 
 Variância e Desvio Padrão 
 Interpretação do Desvio Padrão 
 Coeficiente de variação 
 Atividades 
 
Unidade 10 - Introdução a Probabilidade 
 
 Métodos de Contagem 
 Conceitos Básicos 
 Regras básicas de probabilidade 
 Regras Básicas do Calculo das Probabilidades 
 Distribuição de Probabilidades 
 Atividades 
 
Unidade 11 - Correlação e Regressão 
 
 Correlação Linear 
 Coeficiente de correlação de Pearson 
 Regressão – Reta de Regressão 
 Atividades 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Introdução 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.1 Introdução Histórica 
 
As idéias fundamentais de estudos estatísticos como: contagem, enumeração, re-
gistros de dados, número de nascimentos e de óbitos, estimativas de estoques e recen-
seamentos, já se encontravam presentes nas civilizações antigas. Além da finalidade so-
cial e econômica, existia também a bélica. Por meio da estatística , o Estado sabia quan-
tos bens possuía, como estavam distribuídos e conhecia também sua população. Essas 
informações auxiliavam a cobrança de impostos e também o recrutamento militar, pois, 
com guerras constantes, era de suma importância avaliar o armamento , saber de quan-
tos jovens o Estado podia contar para treinamento. 
A partir do século XVI, foi que surgiram as primeiras informações registradas e or-
ganizadas de fatos sociais em tabuas, isto é, batizados, casamentos, nascimentos, etc.. 
O termo estatística surge da expressão em latim statisticum collegium palestra 
sobre os assuntos do Estado, de onde surgiu a palavra em língua italiana statista, que 
significa "homem de estado", ou político, e a palavra alemã Statistik, designando a 
análise de dados sobre o Estado. A palavra foi proposta pela primeira vez no século XVII, 
em latim, por Schmeitzel na Universidade de Lena e adotada pelo acadêmico alemão 
Godofredo Achenwall. Aparece como vocabulário na Enciclopédia Britânica em 1797, e 
adquiriu um significado de coleta e classificação de dados, no início do século 19. 
De acordo com a Revista do Instituto Internacional de Estatística, "Cinco homens, 
Hermann Conring,Gottfried Achenwall, Johann Peter Süssmilch, John Graunt e William 
Petty já receberam a honra de serem chamados de fundadores da estatística, por 
diferentes autores. 
Alguns autores dizem que é comum encontrar como marco inicial da estatística a 
publicação do "Observations on the Bills of Mortality" (1662) de John Graunt. 
As primeiras aplicações do pensamento estatístico estavam voltadas para as 
necessidades de Estado, na formulação de políticas públicas, fornecendo dados 
demográficos e econômicos. A abrangência da estatística aumentou no começo do 
século XIX para incluir a acumulação e análise de dados de maneira geral. Hoje, a 
estatística é largamente aplicada nas ciências naturais, e sociais, inclusive na 
administração pública e privada. 
O primeiro levantamento estatístico de que se tem conhecimento se deve a Heró-
doto e se refere a um estudo da riqueza da população do Egito, cuja finalidade era averi-
guar quais eram os recursos humanos e econômicos disponíveis para a construção das 
pirâmides, isso no ano de 3050 a. C. No ano de 2238 a. C., o Imperador Chinês Yao orde-
nou a realização de uma Estatística com fins industriais e comerciais. No ano de 1400 a. 
C., o famoso faraó egípcio Ramsés II ordenou um levantamento das terras do Egito. Exis-
tem ainda, outros casos de Estatísticas no período antigo da civilização. 
Estatística é a ciência que trata do delineamento, coleta, organização, sumarização, 
apresentação e análise de dados, bem como, na obtenção de conclusões válidas e toma-
das de decisões em diversos campos, a saber, engenharias, campo da saúde, biologia, 
farmácia, biofísica etc. Algumas dessas ciências usam a estatística aplicada tão 
extensivamente que elas têm uma terminologia especializada: 
 Bioestatística; 
 Contabilometria; 
 Controle de qualidade; 
 Estatística comercial; 
 Estatística econômica; 
 Estatística engenharia; 
 Estatística física; 
 Estatística populacional; 
 Estatística psicológica; 
 Estatística social (para todas as ciências sociais); 
 Física quântica; 
 Pesquisa operacional; 
 Análise de processo e quimiometria (para análise de dados da química analítica e 
da engenharia química). 
Estatística forma uma ferramenta chave nos negócios e na industrialização como 
um todo. É utilizada a fim de entender sistemas variáveis, controle de processos 
(chamado de "controle estatístico de processo" ou CEP), custos financeiros (contábil) e 
de qualidade e para sumarização de dados e também tomada de decisão baseada em 
dados. Em nessas funções ela é uma ferramenta chave, e é a única ferramenta segura. 
O crescimento rápido e sustentados no poder de processamento dos computadores 
a partir da segunda metade do século XX teve um forte impacto na prática da estatística. 
Os modelos estatísticos mais antigos eram quase sempre lineares, mas os computadores 
modernos junto com algoritmos numéricos apropriados, causaram um aumento do 
interesse nos modelos não-lineares (especialmente redes neurais e árvores de decisão) 
assim como na criação de novos tipos, como o modelo linear generalizado e o modelo 
multi-nível. 
O aumentona capacidade de computação também tem levado à popularização de 
métodos que demandam muitos cálculos baseados em resampling, como testes de 
permutação e bootstrap, enquanto técnicas como o sampling de Gibbs tem feito com 
que os métodos de Bayes fiquem mais fáceis. A revolução informática também tem 
levado a um aumento na ênfase na estatística "experimental" e "empírica". Um grande 
número de softwares estatísticos, de uso tanto geral como específico estão disponíveis 
no mercado. Na medida em que nossa sociedade se tornou muito mais diversificada, o 
que comprova a grande importancia dessa ciencia antiga. 
Há um século, H. G. Wells dizia: “Raciocinar estatisticamente será um dia tão neces-
sário quanto à habilidade de ler e escrever”. Hoje, problema não é de escassez de infor-
mação, mas como utilizar essas informações abundantes disponíveis para tomar as me-
lhores decisões. 
Segundo Fisher (R. A. Fisher) Estatística é o estudo das populações, das variações e 
dos métodos de redução de dados 
A Estatística desempenha duas grandes funções: Descritiva e Indutiva ou Inferenci-
al. 
a) Descritiva – descreve um conjunto de dados variáveis, reduzindo-os a um peque-
no número de medidas que contém toda a informação relevante. Utiliza número 
para descrever fatos. Somente descreve e avalia certo grupo (amostra), sem tirar 
quaisquer conclusões ou inferências sobre um grupo maior (população). 
b) Indutiva ou Inferencial – diz respeito à análise e interpretação de dados amos-
trais. Consiste me obter e generalizar conclusões sobre a população a partir de 
uma amostra. Utiliza-se da estimação de parâmetros e verificação de hipóteses, 
esta por meio, da aplicação dos testes de significância. Auxilia no delineamento 
de experimentos e levantamento para, dentro de uma precisão estipulada, obter-
se a informação desejada livre da influência de fatores perturbadores. 
A Estatística fornece os preceitos da casualização, repetição, controle local, os deline-
amentos experimentais e os métodos de amostragem, ou seja, normas lógicas que garan-
tam a validez das comparações entre tratamentos e aumentem a precisão dessas compa-
rações. 
 
1.2 População x Amostra 
 
 População (N): Conjunto de todos os elementos relativos a um determinado fenô-
meno que possuem pelo menos uma característica em comum, a população é o 
conjunto Universo, podendo ser finita ou infinita. População (universo) é a totalida-
de dos itens considerados no estudo 
1. Finita - apresenta um número limitado de observações, que é passível de conta-
gem. 
2. Infinita - apresenta um número ilimitado de observações que é impossível de 
contar e geralmente esta associada a processos.. 
Uma população pode, mediante processos operacionais, ser considerada infinita, 
pois a mesma irá depender do tamanho da amostra. Se a freqüência relativa en-
tre amostra e população for menor do que 5% ela é considerada infinita, se a fre-
qüência relativa for maior do que 5% ela é considerada finita. 
 Amostra (n): É um subconjunto da população e deverá ser considerada finita, a 
amostra deve ser selecionada seguindo certas regras e deve ser representativa, de 
modo que ela represente todas as características da população como se fosse uma 
fotografia desta. Amostra é a parte da população selecionada para análise 
 
 
 
 
 
 
 
 
Parâmetros: são medidas populacionais quando se investiga a população em sua totali-
dade, neste caso é impossível fazer inferências, pois toda a população já foi investigada. 
Estatísticas ou Estimadores são medidas calculada para descrever uma característica de 
apenas uma amostra da população, torna-se possível neste caso utilizarmos as teorias de 
inferências para que possamos fazer conclusões sobre a população 
 
Amostra 
 
População 
 
^
22
pProporção
PadrãoDesvio
Variância
Média
estimados) valores(
Estimador
)reai valores(
Parâmetros








S
S
X
s
 
 
Exemplos: 
1. Níveis de glicose no sangue de um grupo de 20 pacientes (amostra) selecionados 
aleatoriamente de uma lista de pacientes diabéticos de um hospital Público (po-
pulação). 
2. Tempos de resposta a um estímulo de um grupo de 30 ratos tipo rato-de-telhado 
(Rattus rattus) (amostra) que, por suposição, representam todos os ratos tipo ra-
to-de-telhado (Rattus rattus) existentes (população). 
3. Números de horas semanais dedicadas ao estudo de um grupo de 32 estudantes 
de graduação do IFAL (amostra) escolhidos aleatoriamente do conjunto total de 
estudantes de graduação do IFAL (população). 
 
 
População Amostra 
Parâmetros para estimar 
atitudes 
Estatísticas ou Estimado-
res para estimar atitudes 
Conclusões sobre a População a partir da Amostra 
1.3 Censo x Amostragem 
 
 Pesquisa Estatística: É qualquer informação retirada de uma população ou amostra, 
podendo ser através de Censo ou Amostragem. 
 Censo: É a coleta exaustiva de informações das "N" unidades populacionais. 
 Amostragem: São o processo de retirada de informações dos "n" elementos amos-
trais, no qual deve seguir um método criterioso e adequado (tipos de amostragem). 
 
1.4 Dados e Variáveis 
 
Dados estatísticos: é qualquer característica que possa ser observada ou medida de al-
guma maneira. As matérias-primas da estatística são os dados observáveis. 
Variável: É aquilo que se deseja observar para se tirar algum tipo de conclusão, geral-
mente as variáveis para estudo são selecionadas por processos de amostragem. Os sím-
bolos utilizados para representar as variáveis são as letras maiúsculas do alfabeto, tais 
como X, Y, Z, ... que pode assumir qualquer valor de um conjunto de dados. As variáveis 
podem ser classificadas dos seguintes modos: Deste modo, é fundamental estabelecer-
mos o tipo de Variável, pois a sua identificação determinará o tipo de estatística utilizada 
Tipos de Variáveis 
 Qualitativas (ou atributos): São características de uma população que não pode 
ser medida. 
Nominal: são utilizados símbolos, ou números, para representar determinado tipo de 
dados, mostrando, assim, a qual grupo ou categoria eles pertencem. 
Ordinal ou por postos: quando uma classificação for dividida em categorias ordena-
das em graus convencionados, havendo uma relação entre as categorias do tipo 
“maior do que”, “menor do que”, “igual a”, os dados por postos consistem de valores 
relativos atribuídos para denotar a ordem de primeiro, segundo, terceiro e, assim, su-
cessivamente. 
Exemplos: 
a) A cor dos olhos de estudantes de um curso de biologia – variável qualitativa 
nominal. 
b) Coleção de livros de biologia – variável qualitativa nominal. 
c) Sexo dos estudantes de uma instituição, isto é, masculino ou feminino - variá-
vel qualitativa nominal. 
d) Grau de instrução de pessoas que trabalham em um hospital – variável quali-
tativa ordinal. 
e) Relação de classificados em um concurso público – variável qualitativa ordinal. 
 Quantitativas: São características populacionais que podem ser quantificadas, 
sendo classificadas em discretas e contínuas. 
Discretas: são aquelas variáveis que pode assumir somente valores inteiros num con-
junto de valores. É gerada pelo processo de contagem, como o número de veículos 
que passa em um posto de gasolina, o número de estudantes nesta sala de aula. 
Exemplo: 
a) Número de filhos por casal – variável quantitativa discreta. 
b) Número de pontos feitos em um paciente de um hospital – variável quantita-
tiva discreta. 
c) Número de equipamentos em um laboratório - variável quantitativa discreta. 
d) Número de estudantesque cursam Licenciatura em Biologia - variável quanti-
tativa discreta. 
Contínuas: são aquelas variáveis que podem assumir um valor dentro de um intervalo 
de valores. É gerada pelo processo de medição. Neste caso serve como exemplo o vo-
lume de água em um reservatório ou o peso de um pacote de cereal. 
Exemplo: 
a) Número de alimentos, em quilogramas, ingerida por estudantes num restau-
rante do IFAL, Campus Maceió - variável quantitativa continua. 
b) Quantidade de dinheiro gasto por turistas em Maragogi – variável quantitativa 
continua. 
c) Volume de refrigerante, em ml, contido em um copo - variável quantitativa 
contínua. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 
 
1. Uma Empresa tem 3.500 clientes cadastrados. Para melhor atendê-los, foi pesquisada 
a preferência em relação ao tempo de duração da viagem, ao preço dos pacotes, ao 
número de acompanhantes, ao número de passeios e à qualidade dos serviços pres-
tados em uma viagem. Foram consultadas, de modo imparcial, 600 pessoas. 
 
a) Qual a população pesquisada? 
b) Quantas pessoas tem a população estatística envolvida nessa pesquisa? 
c) A amostra pesquisada foi de quantas pessoas? 
d) Quais foram às variáveis qualitativas pesquisadas? 
e) Quais foram às variáveis quantitativas pesquisadas? Classifique-as como discreta 
ou contínua. 
 
2. Classifique a variável como qualitativa, quantitativa discreta ou quantitativa contínua. 
 
a) População: estudantes do IFAL. 
 Variável: cor dos cabelos 
b) População: funcionários do IFAL. 
Variável: idade 
c) População: computadores produzidos por uma indústria de informática. 
Variável: número de peças usadas na fabricação 
d) População: pacientes de um hospital de Alagoas 
Variável: número de leitos ocupados 
e) População: jogadores de basquete de um clube brasileiro 
Variável: massa dos jogadores 
f) População: usuários de internet no Brasil 
Variável: provedor usado 
 
 
 
3. Para pesquisar o refrigerante preferido dos estudantes de um dos Campi do IFAL com 
2.100 alunos, foram selecionados, de modo imparcial, 650 estudantes. Com base nes-
sas informações, responda: 
 
a) Qual a população dessa pesquisa? 
b) Quantas pessoas têm a população dessa pesquisa? 
c) A amostra dessa pesquisa é formada de quantas pessoas? 
d) Qual variável foi estudada nessa pesquisa? 
 
4. Bernadete é dona de uma loja de brinquedos. Para ampliar a qualidade da loja, Ber-
nadete resolveu pesquisar o perfil dos clientes em relação à renda mensal, ao modelo 
de brinquedo preferido, ao número de brinquedos que cada cliente compra e à quali-
dade dos serviços prestados pela loja. Dos 2.000 clientes cadastrados nessa loja, 
1.200 foram entrevistados: 
 
a) Qual a população dessa pesquisa? 
b) Quantas pessoas tem a população dessa pesquisa? 
c) A amostra pesquisada foi de quantas pessoas? 
d) Determine as variáveis pesquisadas e classifique-as como qualitativa, quantitativa 
contínua ou quantitativa discreta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ferramentas necessárias ao 
Estudo de Estatística 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apresentaremos alguns cálculos básicos que serão de extrema importância no es-
tudo da Estatística. 
 
2.1 Números Aproximados e Arredondamento de dados 
A norma NBR 5891 da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT) estabelece as 
regras fixas de arredondamento na numeração decimal, em uso na atualidade. Essas re-
gras estão de acordo com a Resolução 886/1966 do IBGE. 
 Sinais convencionais utilizados: 
 0,00 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de dado numéri-
co originalmente positivo. 
 - 0,00 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de dado numé-
rico originalmente negativo. 
 O arredondamento dos dados numéricos deve respeitar as diferenças significativas 
(absolutas e relativas) existentes entre eles. 
 No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser abando-
nado for 0, 1, 2, 3 ou 4, deve ficar inalterado o último algarismo a permanecer. 
Exemplos: 
9,2377 (arredondado para número inteiro resulta 9); 
9,2377 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 9,2); 
21,0509 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 21,05). 
 No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser abando-
nado for 6, 7, 8 ou 9, deve-se aumentar de uma unidade o último algarismo a per-
manecer. 
Exemplos: 
399,85 (arredondado para número inteiro resulta 400); 
399,86 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 399,9); 
9,2377 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 9,24). 
 Quando o primeiro algarismo a ser abandonado no arredondamento é 5, há dois pro-
cedimentos: 
 Se após o algarismo 5 seguir em qualquer casa um número diferente de zero (0), 
aumenta-se em uma unidade o algarismo que antecede o 5; 
Exemplos: 
237,85001 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 237,9); 
5,5256 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 5,53) 
 Se após o algarismo 5 não seguir, em qualquer casa um número diferente de zero 
(0), ao algarismo que antecede o 5 será acrescentada uma unidade, se for impar, e 
permanecerá como está, se for par. 
Exemplos: 
246,35 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 246,4, pois o 
número que antecede o 5 é impar); 
246,85 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 246,8, pois o 
número que antecede o 5 é par, desta forma, ele fica inalterado); 
12,1250 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 12,12, pois o 
número que antecede o 5 é par); 
Observação: Nos softwares de computadores (como a planilha Excel) e calculado-
ras cientificas, porém, não é aplicado o critério indicado neste item. Nesse caso, 
se o primeiro algarismo a ser abandonado for 5, o arredondamento será feito 
com o aumento de uma unidade ao algarismo que antecede o 5. 
Exemplos: 
246,35 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 246,4); 
246,85 (arredondado para número com uma casa decimal resulta 246,9); 
12,1250 (arredondado para número com duas casas decimais resulta 12,13); 
 
2.2 Fração 
É uma parte do todo ou seja um par ordenado onde o segundo número é diferen-
te de zero. 
b
a
 , com a Є IN e b Є IN*. (a pertence ao conjunto dos números naturais e b 
pertence ao conjunto dos números naturais não nulos (com exclusão do zero). 
 Fração Própria – é aquela onde o numerador é menor que o denominador como por 
exemplo: 
17
13
,
7
2
,
5
3
, etc. 
 Fração imprópria é aquela onde o numerador é igual ou maior que o denominador. 
Exemplo: 
4
12
,
4
4
,
2
7
, etc. 
 Fração aparente é a fração onde o numerado é múltiplo do denominador. 
Exemplo: 
4
12
 representa o número 3 pois 12:4 = 3; se o numerador é zero , a fração 
apresenta o número zero. Assim 
0
4
0

. Todo número natural pode ser apresentado 
por uma fração com denominador 1. Assim 7 pode ser apresentado por 
1
7
. 
 Frações Equivalentes – duas frações são equivalentes quando os produtos do nume-
rador de um pelo denominador da outra são iguais. 
Exemplo: para 
2
1
 e 
4
2
 onde temos: 1 x 4 = 2 x 2 
 Simplificação de frações - Basta dividir ambos os termos por um divisor comum. 
Exemplo: 
2
1
36
33
6
3




 
Fração irredutível é aquela que os números são primos entre si (isto é , não possui 
outro divisor comum a não ser o número 1). 
Exemplo: 
17
7
 é uma fração irredutível, pois 7 e 17 são números primos entre si. 
 Comparação de frações - Para compararmosduas ou mais frações deverão reduzi-la 
ao mesmo denominador e lembrar que, de duas frações com o mesmo denomina-
dor, a maior é aquela que contém o maior numerador. 
 Operações com frações 
 Adição e subtração 
a) Frações homogêneas – conserva-se o denominador e adicionam-se ou 
subtraem os numeradores. 
Exemplo: 
5
9
5
7
5
2

 ou 
3
5
3
2
3
7

 
b) Frações heterogêneas – reduzem-se as frações ao mesmo denominador, 
obtendo-se dessa forma frações homogêneas. 
Exemplo: 
15
22
15
10
15
12
15
52
15
34
3
2
5
4





4/ 
Reduzindo ao mesmo denominador – para isso, vamos calcular o mínimo múlti-
plo comum dos denominadores como no exemplo acima: 
mmc de 3 e 5, isto é, mmc(3,5)=15 
3 5 3 
1 5 5 
1 1 3x5 
Logo m.m.c de 3 e 5 é 3x5 =15 
Observe que reduzimos ao mesmo denominador 3 e 5 para 15. 
 Multiplicação de frações - Produto de numeradores por numeradores e denomi-
nadores por denominadores. 
Exemplo: 
21
12
37
43
3
4
7
3




, isto é, 3 x 4 = 12 e 7 x 3 = 21 o que resulta em 
21
12
. 
O processo da multiplicação pode ser facilitado usando a simplificação pelo cancela-
mento dos fatores comuns dos numeradores e dos denominadores. 
Exemplo: 
5
3
3
2

, nesse caso é possível simplificar 3 por 3 ou seja 3:3 =1 ficando dessa forma 2 
X 1 = 2 e 1 X 5 = 5 o que resulta em 
5
2
. 
 Divisão de frações - Produto da primeira pelo inverso da segunda. 
Exemplo: 
6
7
32
71
3
7
2
1
7
3
2
1




 
 Potenciação de Frações - Devemos elevar o numerador e o denominador a esse 
expoente. 
Exemplo: 
25
4
5
2
5
2
2
22






. 
Nota: Sempre que possível simplificar o resultados como vimos no tópico de simplifica-
ção de frações. 
 
 
 
2.3 Porcentagem ou Percentagem 
 
O calculo da porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos 
comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio do sinal 
%, quando efetuamos um cálculo de porcentagem, na verdade estamos efetuando um 
simples calculo de proporção. Podemos dizer também que são razões que consistem em 
considerar um total qualquer igual a 100% e, através de uma regra de três simples, esta-
belecemos qualquer relação com as parcelas que compõem o total. 
Uma forma de cálculo é a seguinte: 
100
PercentualxValor
mPorcentage 
 
Denominamos razões percentuais as razões cujos conseqüentes (ou denominador) 
sejam iguais a 100. 
Representação: 
Em fração; 
100
30
 (trinta por cem ou vinte sobre cem); 
100
20
 (vinte por cem ou vinte sobre 
cem), 
Em forma unitária: 0,30 ( zero virgula trinta ou zero virgula três); 0,20 (zero vírgula vinte 
ou zero virgula dois). 
Em forma percentual:
100
30
 corresponde a 30% (trinta por cento); 
100
20
 corresponde a 
20% (vinte por cento). 
Exemplos: 
1) Em uma classe de 30 estudantes, 15 foram aprovados. Qual a taxa percentual de 
aprovação? 
Valor Percentual 
30 ------- 100% 
15 ------ X (%) 
onde: 30X = 100 x 15 
30X = 1500 X = 1500/30 = 50% 
Logo, foram aprovados 50% dos estudantes. 
 
 
2) Ao comprar um livro , obtive um desconto de R$3,00. Qual o preço do livro saben-
do que a taxa de desconto foi de 5%? 
Valor Percentual 
3 ------- 5% 
X ------ 100(%) 
5X = 300 
X = 300/5 = 60, isto é, o preço do livro foi R$60,00. 
 
2.4 Somatórios 
 
Muitas vezes necessitamos escrever expressões que envolvam somas com muitos 
termos ou elementos, ou cujos termos ou elementos obedecem a certa lei de formação. 
Por exemplo: 
1 + 2 + 3 + 4 +....+ 50 
Simbolizaremos por 
1x
 o primeiro termo, 
2x
o segundo termo, 
3x
o terceiro 
termo, 
50x
o qüinquagésimo termo. Assim, poderemos representar 
ix
como sendo o i-
ésimo termo da soma. Chamaremos de n o número de termos da soma. Desta forma, na 
ilustração, n=50. 
A soma de n termos pode ser simbolicamente representada por 


n
i
ix
1
 
No caso do exemplo anterior termos 50 termos, então n=50 e a soma desses cin-
qüenta termos ou números será representada por 


50
1i
ix
 
Vejamos as partes do símbolo do somatório 
O símbolo 

é a letra grega sigma maiúscula. 
 
 
 
 
A instrução para 
somar 
O primeiro elemento 
dos termos a serem 
somados 
O n é o último termo ou ele-
mento a ser somado 
x é o nome dos termos ou 
elementos a serem somados 
i é uma observação individual 
ou índice para cada termo 


n
i
ix
1
 
 
 
 
Lê-se: “Somatório de 
ix
, para i variado de 1 até n” ou “soma de 
ix
, para i va-
riado de 1 a n” 
Exemplo: Sendo 
1;2;8;3;7 54321  xxxxx
, calcule 


5
1i
ix
. 
Solução: 





21
,éisto,211283754321
5
1
i
i
i
x
xxxxxx
 
 
Propriedades: 
I Se cada elemento da soma for multiplicado por um número (ou uma constante), 
os elementos da soma podem ser somados, e depois a soma será multiplicada pe-
lo número (ou constante). 
  ii xccx
 
  ii xx 22
 
II A soma de um número (ou constante) sobre n termos é igual a n vezes o número 
(ou constante). 
ncc 
 
202102
10
1


x
i
 
III O somatório da soma (ou diferença) é igual à soma (ou diferença) de somatórios. 
  iiii yxyx )(
 
IV O somatório de 
2
ix
 
22
3
2
2
2
1
2
ni
xxxxx  
 
Observação: 
  2
2
)( ii xx
 
Quando não houver possibilidades de dúvida, podemos eliminar os índices. As-
sim: 


n
i
i
n
i
i xxxx
1
2
1
2 ,deinvesaousados,serão,
 
 
 
Atividade 
 
1. Qual o resultado de 3/4 + 4/5: 
a. 31/20 
b. 30/20 
c. 22/20 
d. 1/4 
 
2. Quanto é 6/12 X 2/9: 
a) 1/9 
b) 2/3 
c) 3/5 
d) 1/25 
 
3. Eu uma classe de 50 estudantes faltaram 15. Qual a quantidade de estudantes 
presentes em porcentagem? 
a) 30% 
b) 70% 
c) 25% 
d) 35% 
 
4. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter um lucro de 
20% sobre o custo? 
a) R$ 170,00 
b) R$ 180,00 
c) R$ 185,00 
d) R$ 190,00 
 
5. Calcule: 
a) 2% de 458,94 
b) 33% de 280 
c) 100,4% de 110 
d) 0,5% de 238 
 
 
 
 
 
 
10 Sendo 
1;2;8;3;7: 54321  xxxxxX
 
2;6;1;1;3: 54321  yyyyyY
 
 
 Calcular: 
a) 
 ix
 
b) 
 iy
 
c) 
  )( ii yx
 
d) 
 ii yx
 
e) 
  )1( ix
 
f) 
2
i
x
 
g) 

2
iy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obtenção de Dados 
 
 
A polêmica em torno de dados estatísticos é comum. Basta que seja divulgado os 
resultados de uma pesquisa de intenção de votos, por exemplo, para que alguns candida-
tos envolvidos saiam contestando sua validade. 
A Estatística é um instrumento eficiente para a compreensão e interpretação das 
realidades e não deve ser subestimada. 
Realmente, existem pesquisas feitas de forma incorreta e que, por isso, não são 
confiáveis. Mas, em geral, quando um estudo estatístico é feito com bastante critério, 
seus resultados permitem obter conclusões e prever tendências sobre fatos e fenômenos 
estudados. 
Entretanto, um estudo bem feito não elimina o erro, mas limita-o a uma margem 
de erro, procurando torná-lo o menor possível. 
 
3.1 Etapas do Método Estatístico 
 
Vamos discutir nesta unidade a importância de cada etapa do métodoestatístico e 
como falhas na sua execução poderá levar a resultados enganosos 
Quando buscamos tomar decisões do nosso dia a dia estamos direta ou 
indiretamente fazendo um levantamento de dados observados. A informação obtida de 
cada elemento da população (ou da amostra) é gravada ou arquivada e apresentada na 
ordem em que as entrevistas ou medidas são realizadas. Ao decidir, por exemplo, pela 
compra de um determinado bem, procuramos veirificar se esse bem satisfaz as nossas 
espectativas, se o seu preço é compativel com o nosso orçamento, além de outras 
situações ou caracteristicas. 
Para um estudo estatístico confiável depende do planejamento e da correta execu-
ção das etapas da pesquisa. 
Desde a mais simples até a mais complexa pesquisa de mercado deve ser planejada 
para evitar falhas de todos os tipos, desde a escolha incorreta do método a ser usado até 
a importância das informações obtidas para o processo decisório. 
 
3.1.1 O que devemos pesquisar – primeiramente, é preciso definir com clareza quais os 
objetivos da pesquisa que queremos realizar, ou seja, o que se pretende apurar, que tipo 
de problema está se buscando detectar. 
 
 
 Objetivo – quais perguntas a pesquisa vai responder. 
EXEMPLO: Objetivo Geral: conhecer o perfil de trabalho dos funcionários de um de-
terminado hotel, para orientar políticas de gestão de pessoas. 
Para podermos dar seqüência a esta pesquisa, precisamos especificar melhor o que 
queremos conhecer da população de funcionários desse hotel, ou seja, os objetivos 
específicos. Alguns destes objetivos específicos poderiam ser: 
 Conhecer o tempo médio de serviço dos funcionários neste hotel. 
 Conhecer a distribuição do grau de instrução dos funcionários. 
 Verificar o interesse dos funcionários em participar de programas de treinamento. 
 Avaliar o grau de satisfação dos funcionários com o trabalho que exercem no ho-
tel. 
 Verificar se existe associação entre o grau de satisfação do funcionário com a sua 
produtividade. 
A elaboração dos objetivos específicos deve ser feita, de tal maneira, que forneça 
uma primeira indicação das características que precisamos observar. Por exemplo, para 
atingir aos objetivos do problema em questão, precisamos levantar as seguintes caracte-
rísticas de cada funcionário: tempo de serviço, grau de instrução, interesse em participar 
de treinamento, grau de satisfação com o trabalho e produtividade, etc. 
3.1.2 Qual o Público-alvo? 
Chamamos de publico alvo ou população alvo ao conjunto de elementos que quere-
mos abranger em nossa pesquisa. São os elementos para os quais desejamos que as con-
clusões vindas da pesquisa sejam válidas. 
No exemplo anterior, a população alvo que será definida são todos os funcionários do 
hotel. Entretanto, se a coleta de dados for feita no próprio local de trabalho e no período 
de uma semana, os funcionários que neste período estão de férias ou de licença ficam de 
fora do levantamento. Desta forma, as conclusões baseadas nesses dados não valem, 
necessariamente, para todos os funcionários do hotel. 
Assim, definimos como população acessível, ou simplesmente como população, o 
conjunto de elementos que queremos abranger em nossa pesquisa e que são passiveis 
de serem observados, com respeito às características que pretendemos levantar. Reali-
zando adequadamente a pesquisa, podemos garantir que os resultados serão validos 
para este conjunto de elementos. 
 
3.1.3 Como desenvolveremos o plano de pesquisa 
Vejamos algumas questões importantes 
a. Qual método de pesquisa será usado 
b. Qual o Universo da Pesquisa 
c. Qual a Amostra 
d. Já existem pesquisas anteriores sobre o tema? Elas servem de referencia para as 
pesquisas futuras? Que aspectos devem ser aprimorados ou modificados na nova 
pesquisa? 
e. De quanto tempo se dispõe para fazer a pesquisa? Que grau de precisão ele exi-
ge? 
f. Quais os fatores relacionados ao objeto de estudo, ou que variáveis estão envol-
vidas no problema em questão? 
3.1.4 Como a pesquisa será feita – è necessário elaborar uma estratégia para fazer o 
levantamento de dados. 
3.1.4.1 Quais os dados significativos para a pesquisa? 
3.1.4.2 Existem dados disponíveis em algum órgão especializado, como por exemplo 
IBGE ou outros? 
3.1.4.3 Se não, como os dados serão obtidos? Diretamente, por exemplo, por meio de 
questionários ou de entrevistas? 
3.1.4.4 A coleta abrangerá toda a população pesquisada ou será parcial, isto é, será 
feita a partir de uma amostra da população? 
3.1.4.5 Deve-se considera que a escolha da amostra é fator muito importante para o 
sucesso da pesquisa. Ela precisa retratar da melhor forma possível a popula-
ção pesquisada. 
3.1.4.6 Em muitas pesquisas, os dados são obtidos por meio de entrevistas e questio-
nários. Alguns cuidados devem ser tomados na elaboração das perguntas. 
Neste contexto, deve-se evitar questões abertas do tipo: 
“Qual sua opinião sobre a situação econômica brasileira?” 
È mais conveniente limitar as respostas. Por exemplo: 
Na sua opinião a situação econômica brasileira: 
( ) vai melhorar ( ) vai piorar ( ) não sabe/não respondeu 
As vezes é interessante apresentar uma questão filtro, para que não se pergun-
tem coisas que o individuo não tenha condição de responder. Por exemplo: 
 Você lê jornal? 
 ( ) sim ( ) não 
Veja que a resposta dessa questão determina o rumo da entrevista, pois se for 
sim, pode-se perguntar: Quais jornais? Com que freqüência você lê? Etc. Se for 
não, pode-se perguntar: Por quê? Etc. 
 As perguntas devem ser claras e simples, a fim de não criar constrangimentos ao 
entrevistado. A entrevista precisa ser curta, para não deixar o entrevistado ente-
diado. 
Evita questões do tipo: 
o Você toma banho todos os dias? 
o Qual a sua renda mensal? 
Informações pessoais podem ser obtidas de forma indireta, com questões do tipo: 
o Tem casa própria? Automóvel? Eletrodomésticos? 
o Quanto gasta com energia? E com água? 
 
3.1.5 Organização e apresentação dos dados – Os dados coletados devem ser organi-
zados em tabelas que facilitem a visualização e o cálculo de medidas estatísticas 
(médias, desvios e amplitude da amostra, etc.). 
As tabelas podem ser representadas por meio de gráficos que permitem um exame 
ainda mais rápido e fácil dos resultados da pesquisa 
 
3.2 Apresentação tabular 
Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo ordenado. 
A elaboração de tabelas obedece à Resolução nº 886, de 26 de outubro de 1966, do Con-
selho Nacional de Estatística. As normas de apresentação são editadas pela Fundação 
Brasileira de Geografia e Estatística (IBGE). IBGE. Centro de Documentação e Dissemina-
ção de Informações. Normas de apresentação tabular. 3. ed. Rio de Janeiro: IBGE, 1993. 
Tabela é a forma não discursiva de apresentar informações, das quais o dado numérico 
se destaca como informação central. 
 
3.2.1 Representação esquemática 
 
 
 
Recomendações gerais – Recomenda-se que: 
 uma tabela seja elaborada de forma a ser apresentada em uma única página 
 o número de células com dado numérico seja superior ao número de células com 
sinal convencional 
 a classificação outros ou outras quando existir, indique um dado numérico pro-
porcionalmente inferior aos dados numéricos indicados pelas demais classifica-
ções existentes 
 as tabelas de uma publicação apresentam uniformidade gráfica como, por exem-
plo, nos corpos e tipos de letras e números, no uso de maiúsculas e minúsculas e 
nos sinais gráficos utilizados. 
 
3.2.2 Elaboração geral 
 
3.2.2.1 Topo ou Título– identificação da tabela. O título deve responderas se-
guintes questões: 
- O que? (Assunto a ser representado (Fato)); 
- Onde? (O lugar onde ocorreu o fenômeno (local)); 
- Quando? (A época em que se verificou o fenômeno (tempo)). 
 
3.2.2.2 Número – toda a tabela deve ter número, inscrito no topo, sempre que 
um documento apresentar duas ou mais tabelas, facilitando a identifica-
ção e localização. A numeração deve ser arábica e seqüencial. 
 Tabela 1 – 
Tabela 2 – 
 
 
 
3.2.2.3 Moldura – elemento fundamental para estruturar a tabela. É composta 
apenas de traços horizontais; o primeiro separa o topo, o segundo para 
separar o espaço do cabeçalho e o terceiro para separar o rodapé. A 
moldura não deve conter traços verticais que a delimitem à esquerda e à 
direita. 
 
3.2.2.4 Cabeçalho – elemento obrigatório para identificação do conteúdo das 
colunas. Recomenda-se que a identificação com palavras seja feita por 
extenso, sem abreviações. O cabeçalho, que é a apresentação do que ta 
tabela está procurando representar, deve conter o suficiente para que 
sejam respondidas as seguintes questões: O quê? (referente ao fato, 
Onde? (referente ao lugar), Quando? (referente ao tempo). 
 
3.2.2.5 Indicador de linha – a identificação do conteúdo das linhas deve ser fei-
ta de forma concisa e clara. Recomenda-se que a identificação com pala-
vras seja feita por extenso, sem abreviações. 
 
3.2.2.6 Corpo: parte da tabela composta por linhas e colunas. 
Linhas: parte do corpo que contém uma seqüência horizontal de infor-
mações. 
Colunas: parte do corpo que contém uma seqüência vertical de informa-
ções. 
Coluna Indicadora: coluna que contém as discriminações corresponden-
tes aos valores distribuídos pelas colunas numéricas. 
 
3.2.2.7 Casa ou célula: parte da tabela formada pelo cruzamento de uma linha 
com uma coluna. 
 
 
 
3.2.2.8 Unidade de medida – deve aparecer inscrita no espaço do cabeçalho ou 
nas colunas indicadoras. A indicação da expressão quantitativa ou me-
trológica dos dados numéricos deve ser feita com símbolos ou palavras 
entre parênteses. 
(m) ou (metro) 
(t) ou (tonelada) 
(R$) ou (real) 
 
Quando uma tabela contiver dados numéricos divididos por uma constante, esta 
deve ser indicada por algarismos arábicos, símbolos ou palavras, entre parênteses, 
precedendo a unidade de medida quando for o caso. 
 (1 000 t) ou (1000t) = indica dados numéricos em toneladas que foram divididos 
por mil 
 (R$1.000) ou (R$ 1.000) = dados em real que foram divididos por mil 
 (%) ou (percentual) = dados numéricos proporcionais a cem 
 (%o) ou (por mil) = dados numéricos proporcionais a mil 
 (1 / 1000) = dados numéricos que foram multiplicados por mil 
 
3.2.2.9 Sinal convencional – a substituição de um dado numérico deve ser feita, 
sempre que necessário por um dos sinais abaixo: 
 
- Dado numérico igual a zero não resultante de arredondamento 
.. Não se aplica dado numérico 
... Dado numérico não disponível 
x Dado numérico omitido a fim de evitar a individualização da informação 
 
0 
0,0 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de um dado 
numérico originalmente positivo 
0,00 
 
etc. 
 
-0 
-0,0 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de um dado 
numérico originalmente negativo 
-0,00 
 
etc. 
 
3.2.2.10 Rodapé: É o espaço aproveitado em seguida ao fecho da tabela, onde 
são colocadas as notas de natureza informativa (fonte, notas e chama-
das). 
 
3.2.2.11 Chamada – uma tabela deve ter chamada, inscrita em qualquer um de 
seus espaços, sempre que houver necessidade de se remeter algum de 
seus elementos a uma nota específica. 
 
Notas: Sinais convencionais utilizados: 
... Dado numérico não disponível. 
.. Não se aplica dado numérico. 
 
A remissiva atribuída a algum dos elementos de uma tabela deve ser feita com al-
garismos arábicos em destaque: entre parênteses, entre colchetes, exponencial. 
(1) Percentual de pessoas de 15 anos ou mais de idade procurando trabalho, em 
relação às pessoas de 15 anos ou mais de idade economicamente ativas, na semana de 
referência. 
 
3.2.2.12 Fonte – toda a tabela deve ter fonte, inscrita na primeira linha do seu 
rodapé, para identificar o responsável (pessoas física ou jurídica) ou res-
ponsáveis pelos dados numéricos (Fonte ou Fontes). 
A identificação deve ser feita por extenso. 
Quando todas as tabelas forem retiradas de uma única fonte, já identificada na 
própria publicação, é dispensável aparecer em cada uma das tabelas. 
Recomenda-se que, em tabelas com dados numéricos extraídos de um documento, 
a identificação da fonte indique a referência bibliográfica do documento 
Exemplo 
Fonte: Pesquisa Industrial – 1982-1984. Dados gerais, Brasil. Rio de Janeiro: IBGE, 
v.9, 410p. 
 
3.2.2.13 Nota geral – uma tabela deve ter nota geral, inscrita no seu rodapé, logo 
após a fonte, sempre que houver necessidade de se esclarecer o seu 
conteúdo geral (Nota ou Notas). 
Notas: Sinal convencional utilizado: 
- Dado numérico igual a zero não resultante de arredondamento. 
 
3.2.2.14 Nota específica – a nota específica (quando esta existir) deve aparecer 
logo após a nota geral. Quando houver mais de uma, estas devem ser 
distribuídas obedecendo à ordem de numeração da chamada. 
 
3.2.3 Apresentação de tempo – toda a série temporal consecutiva deve ser apre-
sentada, em uma tabela, por seus pontos, inicial e final, ligados por hífen ( - ). 
Quando uma tabela contiver dados numéricos de um período temporal dife-
rente do ano civil, isto deve ser indicado no título, em nota geral ou nota específica. 
 1981-1985 = indica dados numéricos para os anos de 1981, 1982, 1983 ,1984 e 
1985. 
 OUT 1991-MAR 1992 = indica dados numéricos para os meses de outubro, no-
vembro e dezembro de 1991 e janeiro, fevereiro e março de 1992. 
 30.05.1991-06.06.1991 = indica dados numéricos para os dias 30 e 31 de maio de 
1991 e 1, 2, 3, 4, 5 e 6 de junho de 1991. 
 1981/1985 = apresenta dados numéricos para os anos de 1981 e 1985, não sendo 
apresentados dados numéricos de pelo menos um dos anos desta série temporal. 
 1988, 1990, 1991 = apresentam dados numéricos para os anos de 1998, 1990 e 
1991. 
 Safra 91/92 = apresenta dados numéricos de uma safra iniciada em 1991 e termi-
nada em 1992. 
 
3.2.4 Apresentação de classe de freqüência – deve ser apresentada em uma tabela 
sem ambigüidade, por extenso ou com notação. 
W a menos de Z 
 w|---- z. = 15 a menos de 30 bovinos por km². 
Mais de W a Z 
 w----| z. = Mais de ¼ a ½. 
 W|----| z. = 40 a 49 anos. 
Arredondamento numérico – os dados numéricos devem ser arredondados, em uma 
tabela, sempre que houver necessidade de apresentá-los com um menor número de 
algarismos. Isto deve ser indicado em nota geral ou nota específica. 
 
Notas – Dados numéricos arredondados. 
Sinais convencionais utilizados: 
0,00 Dado numérico igual a zero resultante de arredondamento de dado nu-
mérico originalmente positivo. 
 
O arredondamento dos dados numéricos deve respeitar as diferenças signi-
ficativas (absolutas e relativas) existentes entre eles. 
 9,2377 = arredondado para número inteiro resulta 9 
 9,2377 = arredondado para número com uma casa decimal resulta 9,2 
 9,2377 = arredondado para número com duas casas decimais resulta 9,24 
 399,85 = arredondado para número inteiro resulta 400 
 399,85 = arredondado para número com uma casa decimal resulta 399,9 
 
Quando houver divergência entre a soma das parcelas arredondadas e o total 
arredondado, pode-se incluir uma nota geral esclarecendo a divergência. 
 
3.2.5 Arredondamentode dado numérico – os dados numéricos devem ser arre-
dondados, em uma tabela, sempre que houver necessidade de apresentá-los 
com um menor número de algarismos. Isto deve ser indicado em nota geral 
ou nota específica. 
Exemplo 
Nota: Dados numéricos arredondados. 
 O arredondamento dos dados numéricos deve respeitar as diferenças significati-
vas (absolutas e relativas) existentes entre eles. 
 No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser arre-
dondado for 0, 1, 2, 3 ou 4, deve ficar inalterado o último algarismo a permane-
cer. 
Exemplo 
9,2377 – arredondado para o número inteiro = 9 
9,2377 - arredondado para número com casa decimal = 9,2 
21,0509 - arredondamento para número com duas casas decimais = 21,05 
 No arredondamento do dado numérico, quando o primeiro algarismo a ser aban-
donado for 5, 6, 7, 8 ou 9, deve-se aumentar de uma unidade o último algarismo a 
permanecer 
Exemplo 
399,85 – arredondado para o número inteiro = 400 
399,85 - arredondado para número com casa decimal = 399,9 
9,2377 - arredondamento para número com duas casas decimais = 9,24 
 Quando em uma tabela, depois de feito o arredondamento dos dados numéricos, 
houver divergência entre a soma das parcelas arredondadas e o total arredonda-
do, deve ser adotado um dos seguintes procedimentos 
· Inclusão de uma nota geral esclarecendo a divergência 
Exemplo 
Nota: As diferenças entre a soma das parcelas e respectivos totais são proveni-
entes do critério de arredondamento. 
· Correção na parcela (ou parcelas) em que for menor o valor absoluto da razão 
entre a diferença de arredondamento (dado numérico original menos dado nu-
mérico corrigido) e o dado numérico original. 
Exemplo: 
Dado numérico original Dado numérico arredondado 
7,6 7,6 
11,6 11,6 
20,2 20,2 
--------- ---------- 
39,4 39 
· Porém: 8 + 12 + 20 = 40 
 
3.2.6 Diagramação da tabela – toda a tabela que ultrapassar as dimensões da pági-
na deve obedecer a: 
 cada página deve ter o conteúdo do topo e o cabeçalho da tabela ou o cabeçalho 
da parte 
 cada página deve ter uma das seguintes indicações: continua para a primeira; 
conclusão para a última e continuação para as demais 
 cada página deve ter colunas indicadoras e seus respectivos cabeçalhos 
 o traço horizontal da moldura que separa o rodapé deve ser apresentado somen-
te em cada página que contenha a última linha da tabela 
 o conteúdo do rodapé só deve ser apresentado na página de conclusão. 
 
Quando a tabela ultrapassar a dimensão da página em número de linhas e tiver pou-
cas colunas, pode-se ter o centro apresentado em duas ou mais partes, lado a lado, na 
mesma página, separando-se as partes por um traço vertical duplo e repetindo-se o ca-
beçalho. 
Quando for grande o número de colunas e poucas linhas pode-se ter o centro apre-
sentado em duas ou mais partes, uma em baixo da outra, na mesma página, repetindo-se 
o cabeçalho das colunas indicadoras e os indicadores de linha. 
 
3.3 Análise e avaliação dos resultados obtidos 
 
Depois de feitas a coleta e a apresentação dos dados, parte-se agora para a análise 
dos resultados. 
Esta é a fase mais importante do projeto de pesquisa: obter conclusões a partir da 
pesquisa, para: 
1. Encaminhar soluções para os problemas detectados. Por exemplo: 
- o número de acidentes de trabalho num hotel é maior em determinados setores. 
2. Verificar a validade de hipóteses. Por exemplo: 
- um produto será bem aceito pelos hospedes? 
3. Estabelecer parâmetros para a população como concentração de renda, nível de 
emprego, condições de moradia, saúde, educação, etc. 
3.4 Tomar as decisões 
Uma das etapas mais difíceis de um trabalho de pesquisa, por isso requer que to-
dos os passos anteriores sejam bem aplicados e analisados. 
 
3.5 Aplicação do método estatístico através de um projeto de pesquisa 
 
 Nesta seção apresentaremos um exemplo de um projeto de pesquisa relativa-
mente bem simples, desenvolvido co a participação de launos da disciplina de Estatística 
do Curso de Gestão Ambiental do IFAL, semestre 2009-2, com finalidade puramente a-
cadêmicas: 
O problema de pesquisa: a relação de um estudante do IFAL e o curso que está fazendo. 
Objetivo geral: Num curso do IFAL, conhecer melhor a relação entre o estudante e o cur-
so que esta fazendo. Em particular, no Curso de Gestão Ambiental do IFAL. 
Objetivos específicos: 
I. Avaliar o grau de satisfação do estudante com o curso que está realizando. 
II. Verificar se existe associação entre o grau de satisfação do estudante com 
o seu desempenho no curso. 
III. Levantar os aspectos positivos e negativosdo curso, na visão do estudante. 
População: Estudantes que estavam cursando as três últimas fases do Curso de Gestão 
Ambiental do IFAL, semestre 2009-2. 
Amostra: Optamos por um processo rápido e fácil para a seleção da amostra. Tomamos 
três disciplinas obrigatórias das três últimas fases e aplicamos o questionário em sala de 
aula. A amostra foi, então, formada pelos estudantes presentes nos dia de aplicação dos 
questionários. 
 
Forma de mensuração das variáveis1 
Satisfação com o curso: uma avaliação numérica numa escala de 1 (um) a 5 (cin-
co), de acordo com o grau que o estudante julgar que melhor se adapte à sua satisfação 
com o curso em questão, complementando com avaliações de aspectos específicos do 
curso, como seu corpo docente, recursos materiais disponíveis e sue conteúdo curricular. 
Desempenho do estudante: Índice de aproveitamento acumulado, calculado pela 
instituição, em função dos conceitos (ou notas) obtidos pelo estudante nas disciplinas 
 
1
 Estatiistica Aplicada as Ciências Sociais. Pedro Alberto Barbetta, pagina 29 
cursadas. Então, os dados relativos a esta variável são dados secundários, isto é, devem 
ser solicitados da instituição. 
Aspectos positivos e negativos do Curso: serão observados de duas maneiras: 
I. Avaliações numéricas, numa escala de um (1) a cinco (5, de acordo com o grau 
que o estudante julgar que lhe melhor se adapte a sua concordância com alguns 
aspectos do curso. 
II. Deixar o estudante descrever livremente o principal aspecto positivo e negativo 
do curso. Nesta segunda situação, as categorias destas duas variáveis serão cria-
das após a realização de uma analise das repostas dos questionários, isto é, as 
respostas similares serão agrupadas numa única categoria. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Técnicas de Amostragem 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Neste capitulo apresentaremos as técnicas de amostragem mais utilizadas no 
cotidiano de estatistica. A amostragem é bastante usada em nossa vida diaria, por 
exemplo, para verificar o temprero de um alimento em preparação, podemos provar 
(observar) uma pequena porção deste alimento. Estamos fazendo uma amostragem, ou 
seja, extraindo do todo (população) uma parte (amostra), com o proposito de avaliarmos 
(inferirmos) sobre a qualidade de tempero de todo o alimento. 
Num aeroporto internaciona, a escolha dos passageiros, para a revista da bagagem, é 
feita por amostragem. 
Nas pesquisas cientificas, em que se quer conhecer algumas caracteristicas de 
uma população, também é muito comum se observar apenas uma maostra de seus 
elementos e, a partir dos resultadosdessa amostra, obter valores aproximados, ou 
estimativas, para as caracteristicas populacionais de interesse. Este tipo de pesquisa é 
usualmente cahmado de levantamento por amostragem. 
Existem técnicas adequadas para recolher amostras, de forma a garantir (tanto 
quanto possivel) o sucesso da pesquisa que ser quer realizar e dos resultados esperados. 
Num levantamento por amostragem, a seleção dos elementos que serão 
efetivamente observados, deve ser feita sob uma metodologia bem adequada, de tral 
forma que os resultados da amostra sejam informativos para avaliar caracteristicas de 
toda a população pesquisada. 
Exemplos: 
1. Numa pesquisa sobre lincenciados em biologia no Estado de Alagoas, a população 
pode ser definida como todas as pessoas que se formaram em biologia no estado, 
no momento da pesquisa. O principal pârametro a ser avaliado deve ser a 
percentagem de pessoas que atuam no Estado. 
2. Numa pesquisa eleitoral, a três dias de uma eleição municipal, a população pode 
ser definida como todos eleitores com domicilio eleitoral no municipio. Os 
principais parâmetros devem ser as percentagens de votos de cada candidato à 
prefeitura, no momento da pesquisa. 
3. Para planejar politicas de recursos humanos em empresas, com milhares de 
funcionarios, podemos realizar uma pesquisa para avaliar alguns parâmetros da 
população de funcionarios destas empresas, tais como: tempo médio de serviço 
dos funcionários na empresa, percentagem de funcionários com nível de 
instruçãosuperior, percentagem de funcionários com interesse num certo 
programa de treinamento, etc.. 
 
Nos exemplos acima podemos perceber a dificuldade em pesquisar toda a população. 
São situações típicas em que se recomenda utilizar amostragem. Observe a figura abaixo. 
 
FIG – Ilustração de um levantamento por amostragem – exemplo 3 
O termo inferencia estatistica refe-se ao uso apropriado dos dados da amostra para 
se ter algum conhecimento sobre os parâmetros da população. Os valores calculados a 
partir dos dados da amostra, com o objetivo de avaliar parâmetros desconhecidos, são 
chamados de estimativas desses parâmetros. 
Por que devemos estudar técnicas de amostragem? 
 Economia – O levantamento de dados sobre uma parte da população é mais 
econômico que o levantamento de dados sobre toda a população. 
 Tempo – O levantamento de dados sobre uma parte da população é mais rápido 
que o levantamento de dados sobre toda a população. 
 Confiabilidade dos dados – Quando se pesquisa um número reduzido de 
elementos, pode-se dar mais atenção aos casos individuais, evitando erros nas 
rspostas 
 Operacionalidade – É muito mais fácil realizar operações de pequena escala. Um 
dos problemas típicos nos grandes censos é o controle dos entrevistadores. 
Um problema fundamental da amostragem é garantir que as unidades escolhidas 
representem a população. Por exemplo, se a população em foco são os turistas que 
viajam ao exterior, um critério de seleção que exclua pessoas com mais de 50 anos pode 
produzir informações não representativas, principalmente se a caracteristica em foco for 
algo como a renda ou o consumo potencial do entrevistado ou de sua familia. 
 
Estimativa de parâmetros populacionais 
 Tempo de serviço no hotel 
 Percentagem de funcionários com nivel de instrução superior, etc. 
A inferência estatística 
O processo de amostragem 
POPULAÇÃO: 
Todos os funcionários dos 
hotéis 
AMOSTRA: 
Alguns funcionários do 
hotel 
Evidentemente, há várias maneiras se se extrair uma maotra de n unidades de um 
apopulação de N elementos ou objetos. No entanto, os vários modos de seleção das 
possíveis unidades de analise são agrupadas em dois processos básicos: o aleatório e o 
não-aleatório (também denominados respectivamente de probabilistico e não-
probabilistico). Obviamente cada um deles tem suas vantagens e usos especificos. 
Deve-se haver critério para a seleção desses elementos; cada elemento da 
população deve ter a amesma chance de ser escolhido para garantir à amostra o caráter 
de represenatividade. 
As técnicas para a determinação da amostragem são: 
 Amostragem casula ou aleatória simples; 
 Amostragem proporcional estratificada; 
 Amostragem sistemática. 
 
4.1 Amostragem Casual ou Aleatória Simples 
 Para a seleção de uma amostra casual ou aleatória simples precisamos ter uma 
lista completa dos elementos da população (ou de unidades de amostragem 
apropriadas). Este tipo de amostragem consiste em selecionar a amostra através de um 
sorteio, sem restrição. É sempre recomendavel que a amostra contenha no mínimo 10% 
da população pesquisada. 
Inicialmente, devemos listar ou numerar de 1 a N a população a ser analisada, e 
posteriormente selecionar uma amostra de n elementos da população mediante um 
sorteio. Para evitar o desconforto de se escrever os números em pedaços de papel (todos 
iguais), dobrá-los (todos iguais), colocá-los em uma urna e retirá-los um a um, podemos 
utilizar tabelas para esse fim; são as chamadas tabelas de números aleatórios. 
A amostargem aleatória simples tem a seguintes propriedade: qualquer 
subconjunto da população, com o mesmo número de elemntos, tem a mesma 
probabilidade de fazer parte da amostra. Em aprticular, temos que cada elemento da 
população tem a mesma probabilidade de pesrtencer à amostra.2 
 
2
 Estas propriedades podem ser verificadas através do cálculo de probabilidade. A probabilidade de um 
elemento particular da população pertencer à amostra e é dada por n/N. 
 
As tabelas de números aleatórios facilitam o processo de seleção de uma amostra 
aleatória.Estas tabelas são formadas por sucessivos sorteios de algarismos do conjunto 
{0, 1, 2, 3, 4, ..., 9}. A leitura da tabela pode ser da direita para esquerda ou vice-versa, de 
cima para baixo ou vice-versa, na diogonal, ou formando um caminho qualquer. O 
caminho sempre dever ser definido com antecedência. 
Exemplo: Com o objetivo de estudar algumas caracteristicas dos funcionários de uma 
escola, vamos extratir uma amostra aleatória simples de tamanho cinco. A listagem dos 
funcionários da escola é apresentado a seguir.3 
Aristoteles Anastacia Arnaldo Bartolomeu 
Bernardo Cardoso Carlito Claudia 
Emilio Ercilio Ernesto Endevaldo 
Francisco Felicio Fabricio Geraldo 
Gabriel Getulio Heraldo João da Silva 
Joana Joaquim Joaquina José da Silva 
José de Souza Josefa Josefina Maria José 
Maria Cristina Mauro Paula Paulo Cezar 
Para utilizar uma tabela de números aleatória, precisamos associar cada elemnto da 
população a um número. Vejamos 
(1) Aristoteles (2) Anastacia (3) Arnaldo (4) Bartolomeu 
(5) Bernardo (6) Cardoso (7) Carlito (8) Claudia 
(9) Emilio (10) Ercilio (11) Ernesto (12) Endevaldo 
(13) Francisco (14) Felicio (15) Fabricio (16) Geraldo 
(17) Gabriel (18) Getulio (19) Heraldo (20) João da Silva 
(21) Joana (22) Joaquim (23) Joaquina (24) José da Silva 
(25) José de Souza (26) Josefa (27) Josefina (28) Maria José 
(29) Maria Cristina (30) Mauro (31) Paula (32) Paulo Cezar 
Para extrairmos uma amostra alaeatória simples de tamanho n=5, basta tomar cinco 
números aleatórios do conjunto {1, 2, ..., 32}. 
Números aleatórios extraídos da tabela 8, 30, 16, 2, 9 
Amostra da população de funcionários (Claudia, Mauro, Geraldo, 
Anastacia,Emilio). 
 
3
 Para facilitar a exemplificação das técnicas de amostragem, usaremos populações pequenas. Contudo, 
não se costuma usar amostragem aleatória em população muito pequena 
Na realidade, estamos interessados na observação de certas variáveis associadasaos elemntos da amostra. No exmplo, poderiamos estar interessados na variável tempo 
de serviço no hotel, em anos completos. Denominaremos esta variável de X. Para cada 
funcionário da amostra, temos um valor para a variável X. O conjunto desse valores, 
observado na amostra de funcionários, é chamada de amostra aleatória simples da 
variável X. 
Amostra aleatória simples de funcionários: {Claudia, Mauro, 
Geraldo, Anastacia, 
Emilio} 
Amostra aleatória simples da variável X 
},,,,{ 54321 XXXXX
 
etc. Mauro, do serviço de tempo oéX Claudia, da serviço de tempoo é 21X
 
4.2 Amostragem Proporcional Estratificada 
A amostragem prporcional estratificada considera a população dividida em 
subconjuntos, em que cada subconjunto recebe o nome de estrato. Cada subconjunto 
(chamado estrato) tem uma caracteristica comum entre seus elementos. Estes estratos 
devem ser internamente mais homogêneos do que a população toda, com respeito às 
variáveis em estudo. Por exemplo, para estudar o interesse dos funcionários, de uma 
grande empresa, em realizar um programa de treinamento, podemos estratificar esta 
população por nivel de instrução ou pelo nivel hierárquico, ou ainda, por setor de 
trabalho. 
 
 
Exemplo: Suponha uma escola com 84 funcionário, em que 25 pessoas são do 
sexo feminino e as 59 restantes são do sexo masculino. A população é constituida de pelo 
menos 84 funcionários: N=84 (100%). Um dos estratos é constituído pelos funcionários 
do sexo masculino: 
%)70(591 N
, o outro estrato é constituido pelos funcionários de 
sexo feminino: 
%)30(251 N
. 
A composição dos elementos da amostra deve manter a mesma proporcionalidade 
dos estratos, do estrato 
1N
 serão retirados 70% dos elementos da amostra e o estrato 
2N
 serão retirados 30% dos elementos da amostra. Desta forma, tomaremos n=9. Assim, 
Estrato Proporção da população Sugrupo da amostra 
Homens 59/84=0,70 (ou 70%) 
6970,01  xn
 
Mulheres 25/84=0,30 (ou 30%) 
3930,01  xn
 
Sendo dos nove elementos da amostra : 6 homens e 3 mulheres. 
 
4.3 Amostragem de Conglomerados 
Conglomerados são divisões populacionais tendo em conta a proximidade física dos 
elementos. Por exemplo, a população brasileira pode ser conglomerada em Estados 
(Alagoas, Bahia, Ceará, etc.); a alagoana pode ser conglomerada em cidades de Alagaos 
(Maceió, Arapiraca, Maragogi e outras); a cidade de Maceio, em bairros (Tabuleiro, 
Pajuçara, Ponta Verde, etc.); os bairros são conglomeráveis em quarteirões etc. 
A vantagem dos conglomerados é a proximidade fisica dos individuos, fato que 
facilita a coleta de dados (não se precisa ter uma listagem completa da população). 
 
Observe-se que estratificar e conglomerar são etapas facilitadoras da amostragem. 
Definidos os estratos ou conglomerados, os elementos a inspecionar serão mais 
representativos se escolhidos mediante os critérios estabelecidos para a amostragem 
aleatória. 
Exemplo: Considere o problema de selecionar uma amostra de domicilios de uma cidade. 
Podemos tomar as ruas como conglomerados, como indicado no quadro abaixo, onde A1 
representa o primeiro domicilio da rua A, A2 o segundo, e assim por diante. 
 
 
4 Grupos
foram
escolhidos.
Ruas Domicilios 
A A1, A2, A3, A4, A5, A6 
B B1, B2, B3, B4, B5, B6, B7, B8, B9, B10, B11, B12, B13, B14 
C C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10 
D D1, D2, D3, D4 
E E1, E2, E3, E4, E5, E6, E7, E8 
Selecionar uma amostragem de conglomerados, selecionando três ruas (primeiro 
estagio) e, nas ruas selecionadas, uma fração de amostragem de 50% de domicilios 
(segundo estagio). 
 
4.4 Amostragem Sistemática 
A amostragem sistemática toma por base de seleção algum critério de escolha dos 
elemntos. Exemplos que podem ser citados desta amostragem: os prédios de uma rua, os 
funcionários de um hotel, as linhas de produção, etc.. 
A amostragem sistematica é adequada a situações em que os individuos tendem a 
se suceder no tempo, como clientes em filas de banco, espectadores em bilheterias de 
teatros e eleitores aguardando sua vez de votar. 
 
 
 
 
 
Exemplo: Uma empresa matém um arquivo contendo os registros de antigos parceiros. 
Entre um total de 10.000 fichas, podemos tirar de forma sistemática uma ficha a cada 10, 
totalizando uma amostragem de 1.000 fichas. Para garantir a mesma probabilidade para 
cada ficha da amostra, deverá ser feito um sorteio da primeira ficha entre as 10 
primeiras. 
 
 
 
 
Intervalo de seleção: N/n 
Nesse exemplo, o intervalo de seleção é 10, de acordo com o cálculo 10.000/1.000 
= 10. 
Supondo que a primeira ficha sorteada foi a de número 4, as fichas que compõem a 
amostra são: 
{4, 14, 24, 34, 54, 64, ...., 9.984, 9.994} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 
 
1. Uma escola de ensino fundamental tem 1.000 alunos matriculados, sendo 200 na 1ª 
série, 150 na 2ª série, 150 na 3ª série, 120 na 4ª série, 110 na 5ª série, 100 na 6ª sé-
rie, 90 na 7ª série e 80 na 8ªsérie. Obtenha uma amostra proporcional estratificada 
de 60%. 
 
2. Em uma academia há 450 pessoas matriculadas, sendo 220 no período da manhã, 
180 à tarde e 50 à noite. Obtenha uma amostra proporcional estratificada de 65%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Séries Estatísticas 
Uma série estatística é um conjunto de dados ordenados segundo uma característica 
comum, as quais servirão posteriormente para se fazer análises e inferências. 
 
6.1 Série Temporal ou Cronológica: É a série cujos dados estão dispostos em correspon-
dência com o tempo, ou seja, varia o tempo e permanece constante o fato e o local. 
 
Produção de Petróleo Bruto no Brasil de 1976 a 1980 
 
Anos Produção 
(1000 m³) 
1976 9 702 
1977 9 332 
1978 9 304 
1979 9 608 
1980 10 562 
 
Fonte: Conjuntura Econômica (fev. 1983) 
 
 
6.2 Série Geográfica ou Territorial: É a série cujos dados estão dispostos em correspon-
dência com o local, ou seja, varia o local e permanece constante a época e o fato. 
População Urbana do Brasil em 1980 
 
Região População(x 
1000) 
Norte 3 037 
Nordeste 17 568 
Sudeste 42 810 
Sul 11 878 
Centro-Oeste 5 115 
Total 80 408 
 
Fonte: Anuário Estatístico (1984 
 
6.3 Série Específica ou Qualitativa: É a série cujos dados estão dispostos em correspon-
dência com a espécie ou qualidade, ou seja, varia o fato e permanece constante a é-
poca e o local. 
 
 
População Urbana e Rural do Brasil em 1980 (x 1000) 
 
Localização População 
Urbana 80 408 
Rural 38 566 
Total 118 974 
 
Fonte: Anuário Estatístico (1984) 
 
Número de passageiros de cruzeiros que partiram do Cabo Canaveral – Flórida, 1998 
 
Cruzeiro Total de Passageiros 
Canaveral 152.240 
Carnival 480.924 
Disney 73.504 
Premier 270.361 
Royal Caribbean 106.161 
Sun Cruz Cassinos 453.806 
Sterling Cruises 15.782 
Topaz Internacional Ship-
ping 
28.280 
 
Fonte: McClave, 2001, p.61. 
 
6.4 Série Mista ou Composta: A combinação de duas ou mais séries estatísticas constitu-
em novas séries denominadas compostas e apresentadas em tabelas de dupla entra-
da. O nome da série mista surge de acordo com a combinação de pelo menos dois e-
lementos 
 
Local + Época = Série Geográfica Temporal 
Local + Especifica = Série Geográfica Especifica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
População Urbana do Brasil por Região de 1940 a 1980 (x 1000) 
 
Anos R E G I Õ E S 
N NE SE S CO 
1940 406 3 381 7 232 1 591 271 
1950 581 4 745 10 721 2 313 424 
1960 958 7 517 17 461 4 361 1007 
1970 1 624 11 753 28 965 7 303 2 437 
1980 3 037 17 567 42 810 11 878 5 115 
 
Fonte: Anuário Estatístico (1984) 
 
Número de Quartos e de Hotéis em Cidades dos EUA-1995 
 
Cidade Quartos Hotéis 
Las Vegas 93.719 231 
Orlando 84.982 311 
Los Angeles 78.597 617 
Chicago 68.793 378 
Washington D.C. 66.505 351 
Nova York 61.512 230 
Atlanta 58.445 370 
São Diego 44.655 352 
Anahein –Santa 
Ana 
44.374 351 
São Francisco 42.531 294 
 
Fonte: McClave, 2001, p.64. 
 
 
6.5 Série de Distribuição de Freqüências: A Quarta e última espécie de série estatística 
é, de longe, a mais importante e a mais utilizada em estatística. Na distribuição de 
freqüência, os dados são ordenados segundo um critério de magnitude, em classes 
ou intervalos, permanecendo fixos o fato, o local e a época. Isto é, embora o fenô-
meno estudado seja único, este poderá sofrer uma subdivisão em classes 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Altura dos estudantes do Curso de Gestão Ambiental – 2009 
 
Altura (m) N° de alunos 
1,50 |--- 1,60 14 
1,60 |--- 1,70 29 
1,70 |--- 1,80 37 
1,80 |--- 1,90 18 
1,90 |--- 2,00 2 
 
A quantidade de vezes que um determinado dado ou valor é repetido na amostra 
é chamada de freqüência absoluta ou freqüência simples e será indicada por fi. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividade 
 
Pesquise na internet ou em revistas séries estatísticas e classifique cada uma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de Frequências 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Distribuição de Freqüências 
 
Para que uma variável estudada seja observada mais adequadamente, podemos 
dispor ordenadamente seus valores em uma tabela. Essa tabela é chamada de distribui-
ção de freqüências ou tabela de freqüências. 
 
6.1 Definições básicas 
 
 Freqüência absoluta ou freqüência (𝑓𝑖 ): é a quantidade de vezes que um determinado 
dado ou valor é repetido na amostra. 
 
 Dados brutos: são valores ou os dados originais ainda não numericamente organi-
zados após a coleta ou digitação. 
 
Rol: é a ordenação dos valores ou dados obtidos (dados brutos) em ordem cres-
cente ou decrescente de grandeza numérica ou qualitativa. 
Distribuição de Freqüência é uma série estatística onde os dados se encontram 
dispostos em categorias ou classes juntamente com as respectivas freqüências. Dessa 
forma, podemos dividir as distribuições de freqüências em dois tipos: distribuição de fre-
qüência de dados agrupados sem intervalo de classes e distribuição de freqüências de 
dados agrupados em intervalos de classe. 
Exemplo 6.1: 
Construir a distribuição de freqüências para as idades, em anos, de um grupo de amigos 
do IFAL. 
Tabela 6.1 – Idades de 20 amigos do IFAL- dados brutos 
14 15 16 16 16 14 14 15 17 14 
15 16 17 17 16 15 14 15 15 15 
 
Colocando em ordem crescente (rol) as idades, temos 
Tabela 6.2 – Idades de 20 amigos do IFAL - rol 
14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 
15 15 16 16 16 16 16 17 17 17 
 
Tabela 6.3 - Distribuição de idade de 20 amigos do IFAL 
Idade (em anos) Freqüência (fi) 
14 5 
15 7 
16 5 
17 3 
 
Observação: De acordo com os dados organizados podemos ver facilmente que: 
 O grupo de amigos pesquisados é formado de 20 pessoas; 
 A pessoa mais velha tem 17 anos e a mais nova tem 14 anos; 
 A maioria tem 15 anos (7 pessoas); 
 A minoria tem 17 anos (3 pessoas). 
 
6.2 Tipos de freqüências 
 
6.2.1 Freqüência relativa 
O quociente obtido entre a freqüência absoluta (𝑓𝑖 ) e o número de elementos (n) da 
amostra é chamado de freqüência relativa: 𝑓𝑟 =
𝑓𝑖
𝑛
 
Para que a interpretação dos dados se torne mais clara, a frequência relativa, 
geralmente, é apresentada na forma de percentagem e é indicada por (𝑓𝑟 ) (%). 
Exemplo 2: Os dados abaixo referem-se ao número de horas trabalhados por uma equipe 
de enfermeiros em um hospital durante 2 fins de semana. Construir a tabela de 
distribuição de freqüências com freqüências relativas em percentagem correspondente 
aos dados fornecidos. 
Tabela 6.4 – Número de horas trabalhadas por uma equipe de 30 enfermeiros 
6 8 2 7 10 5 6 7 2 10 
6 8 7 7 6 5 2 7 8 10 
8 7 7 7 6 10 5 5 5 5 
 
Colocando os dados em ordem crescente, temos: 
Tabela 6.5 – Número de horas trabalhadas por uma equipe de 30 enfermeiros - Rol 
2 2 2 5 5 5 5 5 5 6 
6 6 6 6 7 7 7 7 7 7 
7 7 8 8 8 8 10 10 10 10 
 
Tabela 6.6 – Distribuição de frequencias em horas trabalhadas (de 30 enfermeiros de um 
hospital) 
Tempo (em horas) Freqüência (𝑓𝑖 ) Freqüência Relativa (𝑓𝑟 ) (%) 
2 3 
𝑓𝑟 =
3
30
= 0,10 → 10% 
5 6 
𝑓𝑟 =
6
30
= 0,20 → 20% 
6 5 
𝑓𝑟 =
5
30
= 0,1667 → 16,67% 
7 8 
𝑓𝑟 =
8
30
= 0,2667 → 26,67% 
8 4 
𝑓𝑟 =
4
30
= 0,1333 → 13,33% 
10 4 
𝑓𝑟 =
4
30
= 0,1333 → 13,33% 
Total (n) 30 
O que diferencia a freqüência absoluta (𝑓𝑖 ) da freqüência relativa (𝑓𝑟 ) é o fato de 
que, na absoluta, trabalhamos com o número de elementos, enquanto que, na relativa, 
trabalhamos com percentual de elementos. 
6.2.2 Freqüências Acumuladas 
 A soma da freqüência absoluta do elemento considerado com todos os anteriores 
é chamada de freqüência absoluta acumulada e pode ser indicada por 𝐹𝑎𝑐 ou 𝐹𝑖 . 
 A soma da freqüência relativa do elemento considerado com todos os anteriores 
é chamada de freqüência relativa acumulada e pode ser indicada por 𝐹𝑎𝑟 ou 𝐹𝑟 . 
 As freqüências acumuladas tanto absolutas quanto relativas contribuem para a 
interpretação dos dados organizados em uma tabela de distribuição de freqüências. 
É a soma da freqüência simples deste elemento com as freqüências simples ante-
riores da série. 
i21i fffF  
 
È a divisão da freqüência acumulada deste elemento, pelo número total de ele-
mentos da série. 
n
iFF
iR

 
Observe que a soma das freqüências é: 𝑛 = 𝑓1 + 𝑓2 + 𝑓3 + 𝑓4 + 𝑓5 + 𝑓6 
𝑛 = 3 + 6 + 5 + 8 + 4 + 4 = 30 𝑛𝑒𝑠𝑠𝑒 𝑐𝑎𝑠𝑠𝑜 𝑛 = 30 
Vejamos com o exemplo anterior. 
A tabela abaixo referem-se ao número de horas trabalhados por uma equipe de 
enfermeiros em um hotel durante 2 fins de semana. Construir a tabela de distribuição de 
freqüências acumuladas, tanto absoluta quanto relativa. 
Tabela 6.7 – Distribuição de frequencia acumulada (de horas trabalhadas por uma equipe 
de 30 enfermeiros) 
Tempo (em horas) Freqüência (𝑓𝑖 ) 𝐹𝑖 (Freqüência acumulada) 
2 3 3 
5 6 9 (=3+6) 
6 5 14 (=3+6+5 ou =9+5) 
7 8 22 (=3+6+5+8 ou =14+8) 
8 4 26 (=3+6+5+8+4 ou =22+4) 
10 4 30 (=3+6+5+8+4+4 ou =26+4) 
Total n=30 
Tabela 6.8 – Distribuição de frequencias relativas (de horas trabalhadas por uma equipe 
de 30 enfermeiros) 
Tempo (em 
horas) 
Freqüência 
Relativa (𝑓𝑟 ) 
(%) 
𝐹𝑟 (%) (Freqüência Relativa acumulada) 
2 10 10 (=à primeira 𝑓𝑟) 
5 20 30 (=10+20) 
6 16,67 46,67 (=10+20+16,67) ou (=30+16,67) 
7 26,67 73,34 (=10+20+16,67+26,67) ou (=46,67+26,67) 
8 13,33 86,67 (=10+20+16,67+26,67+13,33) ou 
(=73,34+13,33) 
10 13,33 100 (=10+20+16,67+26,67+13,33+13,33) ou 
(=86,67+13,33) 
Total 100% 
 
Observando os dados das tabelas, podemos concluir que: 
 A freqüência acumulada 14 poderá ser encontrada fazendo a soma da freqüência 
acumulada anterior (9) com a freqüência correspondente à linha que queremos 
encontrar (5). 
 A maior freqüência relativa apresentada é 26,67%, que corresponde a 8 enfermei-
ros que trabalharam 7 horas. 
 A menor freqüência relativa apresentada é 10%, que corresponde a 3 enfermeiros 
que trabalharam 2 horas.