Centro de massa e gravidade

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Física 
 
 
 
 
CENTRO DE MASSA E GRAVIDADE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .......................................................................................................................................2 
Objetivos ..........................................................................................................................................2 
Conceitos .........................................................................................................................................2 
Centro de gravidade .......................................................................................................................3 
Centro de massa .............................................................................................................................3 
Exercícios .........................................................................................................................................4 
Gabarito ...........................................................................................................................................4 
Resumo ............................................................................................................................................5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
 
Nesta aula iremos continuar nossos estudos em mecânica, falando dessa vez 
sobre o centro de massa e o centro de gravidade. Iremos entender os seus conceitos 
e como funcionam, além de aprender exemplos práticos em nosso dia a dia. Ao fim da 
apostila resolveremos alguns exercícios para fixação da aprendizagem. 
 
Objetivos 
 
• Entender sobre centro de massa 
• Discutir centro de gravidade 
• Entender a ligação existente entre os dois 
• Resolver alguns exercícios envolvendo esses conceitos 
 
Conceitos 
 
Centro de gravidade pode ser definido como um ponto de aplicação da resultante 
das forças de gravidade que atuam em cada partícula de um sistema. Centro de massa 
pode ser explicado como um ponto dentro de um objeto onde sua massa poderia estar 
toda concentrada. Uma maneira de encontrar o centro de gravidade de um corpo está 
ilustrado na imagem a seguir: 
 
 
 
 
De acordo com o CREF, nos seres humanos, o centro de gravidade está próximo à 
altura do umbigo. 
 
 
 
3 
 
Centro de gravidade 
 
Imagine um grande corpo de forma quadrada, com massa que não está 
igualmente distribuída, ou seja, algumas partes desse quadrado são maiores que 
outras. Existe um ponto dentro desse corpo onde é possível assumir que a força 
resultante da gravidade está fazendo efeito da mesma maneira em que ela está 
agindo em cada pedacinho separado do corpo. Para um corpo com massa igualmente 
distribuída e bem posicionado, o centro de gravidade pode coincidir com o centro 
físico do objeto. 
Centro de massa 
 
De maneira semelhante ao centro de gravidade, o centro de massa equivale ao 
ponto dentro de um corpo onde se poderia assumir que toda sua massa está 
concentrada. Por exemplo, se considerarmos uma pessoa andando de bicicleta, 
poderíamos encontrar um ponto dentro desse sistema (pessoa + bicicleta) onde 
poderíamos considerar que toda sua massa está concentrada. 
Isso serve para facilitar cálculos em cinemática. Por exemplo, ao calcularmos a 
velocidade de um avião, ao invés de considerarmos toda sua extensão, podemos 
considerar apenas seu centro de massa. Veremos a seguir outras funcionalidades do 
centro de massa. 
 
Centro de massa de um conjunto de partículas 
 
Quando estamos analisando mais de uma partícula, é possível calcular a posição do 
centro de massa. Observe a figura. 
 
 
A posição (Xcm, Ycm) do centro de massa pode ser calculada pela expressão: 
4 
 
 
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 2 3
cm
cm
m x m x m x
X
m m m
m y m y m y
Y
m m m
+ +
=
+ +
+ +
=
+ +
 
 
 
Exercícios 
 
1. Seis peças de um jogo de dominó estão dispostas como na figura. Dos pontos 
indicados (F, G, H, I, J) o que melhor localiza o centro de massa desse conjunto é: 
 
F, G, H, I ou J? 
 
2. Duas partículas A e B estão inicialmente em repouso, separadas por 1,0m de 
distância. A massa de A é mA = 0,20kg e a de B é mB = 0,30kg. A e B se atraem 
mutuamente com forças constantes de intensidade F = 6,0. 10-2N. Nenhuma força 
externa atua no sistema. Descreva o que ocorre com o centro da massa do 
sistema 
 
3. Considere um conjunto de três pontos materiais definidos por m (x, y), 
onde m representa a massa em kg e x e y as coordenadas cartesianas, em metros. 
P1 = 2 (0,-1); P2 = 1 (1, 0); P3 = 2 (2, 6). Calcule o centro de massa dos três pontos 
 
Gabarito 
 
1. Começaremos analisando o centro de massa dos três retângulos de baixo. 
Podemos observar que o ponto J está exatamente no meio deles, portanto, ele 
é o centro de massa dessa parte. 
Os pontos F, G e I são os centros de massa de seus respectivos retângulos. 
Quando fazemos uma média dos pontos J, F, G e I, encontramos H. Portanto, 
H é o centro de massa desse objeto. Essa explicação não está clara o suficiente. 
Os alunos vão ficar confusos!! 
2. Antes das esferas começarem a se deslocar, o centro de massa estava numa 
certa posição P. Quando a força passa a agir sobre as partículas, elas são 
5 
 
deslocadas. Porém, elas vão ao encontro uma da outra numa velocidade 
proporcional às suas massas. Dessa maneira, o centro de massa irá 
permanecer em repouso. Idem a questão 1 
3. Como foi nos dada as massas e as posições das partículas, podemos usar a 
fórmula do centro de massa. Portanto, teremos: 
( )
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 2 3 31
1 2 3
2 0 1 1 2 2
2 1 2
5
1
5
2 1 1 0 2 6
2 1 2
10
2
5
cm
cm
cm
cm
X
X
Y
Y
+ +
=
+ +
= =
− + +
=
+ +
= =
 
Portanto, o centro de massa está no ponto P(1,2) 
 
Resumo 
 
Centro de gravidade 
Centro de gravidade é um ponto de onde sai a resultante das forças de gravidade que 
atuam em cada partícula de um sistema. 
 
Centro de massa 
Centro de massa é um ponto dentro de um objeto onde sua massa poderia estar toda 
concentrada sem alterar seu centro de gravidade. Ele pode ser calculado pela fórmula: 
( )
1 1 2 2 3 3
1 2 3
1 2 2 3 31
1 2 3
2 0 1 1 2 2
2 1 2
5
1
5
2 1 1 0 2 6
2 1 2
10
2
5
cm
cm
cm
cm
X
X
Y
Y
+ +
=
+ +
= =
− + +
=
+ +
= =