Unidade 5 - Tecnicas de Integracao

Prévia do material em texto

423 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Unidade V – Técnicas de Integração 
 
5.1- Integração por Substituição 
- Integração por Substituição 
 Nesta técnica, chamaremos de u uma parte do integrando e escreveremos toda a integral em termos 
de u. 
 
- Roteiro do Método de Integração por Substituição 
1. Defina u como uma função de x (geralmente parte do integrando). 
2. Determine x e dx em função de u e du. 
3. Expresse todo o integrando com uma função de u multiplicada por du e tente aplicar uma das 
equações básicas de integração. 
 Se isso não for possível, experimente usar uma substituição diferente. 
4. Depois de integrar, expresse o resultado como uma função de x. 
 
 
 424 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine a integral indefinida ∫
𝑥
(𝑥+1)2
 𝑑𝑥 . 
Solução 
- Definindo u como função de x. 
Se 𝑢 = 𝑥 + 1, 
- Determinando x e dx como função de u. 
então 𝑥 = 𝑢 − 1 𝑒 𝑑𝑥 = 𝑑𝑢 
- Substituindo no integrando 
∫
𝑥
(𝑥 + 1)2
 𝑑𝑥 = ∫
𝑢 − 1
𝑢2
𝑑𝑢 
∫
𝑥
(𝑥 + 1)2
 𝑑𝑥 = ∫ (
1
𝑢
−
1
𝑢2
) 𝑑𝑢 
∫
𝑥
(𝑥 + 1)2
 𝑑𝑥 = ln|𝑢| +
1
𝑢
+ 𝐶 
∫
𝑥
(𝑥 + 1)2
 𝑑𝑥 = ln|𝑥 + 1| +
1
𝑥 + 1
+ 𝐶 
 425 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine ∫ 𝑥 √𝑥2 − 1 𝑑𝑥 . 
Solução 
- Definindo u como função de x. 
𝑢 = 𝑥2 − 1 
- Determinando x e dx como função de u. 
𝑑𝑢 = 2 𝑥 𝑑𝑥 → 𝑥𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
2
 
- Substituindo no integrando 
∫ 𝑥 √𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 
1
2
∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 
∫ 𝑥 √𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 
1
2
 
𝑢3/2
3/2
+ 𝐶 
∫ 𝑥 √𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 
1
3
 𝑢3/2 + 𝐶 
∫ 𝑥 √𝑥2 − 1 𝑑𝑥 = 
1
3
 (𝑥2 − 1)3/2 + 𝐶 
 426 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine ∫
𝑒3𝑥
1+𝑒3𝑥
𝑑𝑥 . 
Solução 
- Definindo u como função de x. 
𝑢 = 1 + 𝑒3𝑥 
- Determinando x e dx como função de u. 
𝑑𝑢 = 3 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 → 𝑒3𝑥 𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
3
 
- Substituindo no integrando 
∫
𝑒3𝑥
1 + 𝑒3𝑥
𝑑𝑥 = 
1
3
 ∫
1
𝑢
𝑑𝑢 
∫
𝑒3𝑥
1 + 𝑒3𝑥
𝑑𝑥 = 
1
3
 ln|𝑢| + 𝐶 
∫
𝑒3𝑥
1 + 𝑒3𝑥
𝑑𝑥 = 
1
3
 ln(1 + 𝑒3𝑥) + 𝐶 
 
 427 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine a integral indefinida ∫ 𝑥 √𝑥 − 1 𝑑𝑥 
Solução 
- Definindo u como função de x. 
𝑢 = 𝑥 − 1 
- Determinando x e dx como função de u. 
𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 → 𝑥 = 𝑢 + 1 
- Substituindo no integrando 
∫ 𝑥 √𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ∫(𝑢 + 1) (𝑢1/2) 𝑑𝑢 
∫ 𝑥 √𝑥 − 1 𝑑𝑥 = ∫(𝑢3/2 + 𝑢1/2) 𝑑𝑢 
∫ 𝑥 √𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 
2
5
𝑢5/2 +
2
3
𝑢3/2 + 𝐶 
∫ 𝑥 √𝑥 − 1 𝑑𝑥 = 
2
5
(𝑥 − 1)5/2 +
2
3
(𝑥 − 1)3/2 + 𝐶 
 428 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Substituição e Integrais Definidas 
 O quarto passo do roteiro para integração por substituição fala em escrever novamente a 
antiderivada com função da variável x. 
 Para integrais definidas, muitas vezes, é mais conveniente determinar os limites de integração para 
a variável u. 
 Frequentemente, é mais fácil fazer isso do que converter o resultado novamente para a variável x e 
usar os limites de integração originais. 
 
 
 429 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Determine ∫
𝑥
√2𝑥−1
5
1
𝑑𝑥 
Solução 
- Definindo u como função de x. 
𝑢 = √2𝑥 − 1 → 𝑢2 = 2𝑥 − 1 
- Determinando x e dx como função de u. 
𝑥 =
(𝑢2 + 1)
2
⁄ , 𝑑𝑥 = 𝑢 𝑑𝑢 
- Determinando os novos limites de integração 
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 , 𝑢 = √2(1) − 1 = 1 
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 5 , 𝑢 = √2(5) − 1 = 3 
 
 430 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Substituindo no integrando 
∫
𝑥
√2𝑥 − 1
5
1
𝑑𝑥 = 
1
2
∫
1
𝑢
 (𝑢2 + 1) 𝑢 𝑑𝑢
3
1
 
∫
𝑥
√2𝑥 − 1
5
1
𝑑𝑥 = 
1
2
∫ (𝑢2 + 1) 𝑑𝑢
3
1
 
∫
𝑥
√2𝑥 − 1
5
1
𝑑𝑥 = 
1
2
 [
𝑢3
3
+ 𝑢]
1
3
 
∫
𝑥
√2𝑥 − 1
5
1
𝑑𝑥 = 
1
2
 (
33
3
+ 3) − (
13
3
+ 1) 
∫
𝑥
√2𝑥 − 1
5
1
𝑑𝑥 = 
16
3
 
 
 
 431 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
5.2- Integração por Partes 
- Integração por Partes 
 Esta técnica é particularmente útil no caso de integrandos que envolvem produtos de funções 
algébricas e funções exponenciais ou logarítmicas, como, por exemplo: 
∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 e ∫ 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 
 
 A integração por partes se baseia na Regra do Produto da derivação. 
 
 
 432 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Integração por Partes 
Sejam u e v funções deriváveis de x. 
∫ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢 𝑣 − ∫ 𝑣 𝑑𝑢 
 
 A expressão da integração por partes expressa o integrando original em termos de outra integral. 
Dependendo das escolhas de u e dv, a nova integral pode ser mais fácil ou mais difícil de calcular que a 
integral original. 
 
- Roteiro do Método de Integração por Partes 
1. Escolha para dv a parte mais complicada do integrando cuja antiderivada pode ser obtida usando uma 
regra básica de integração. 
 Escolha para u a parte restante do integrando. 
2. Escolha para u a parte do integrando cuja derivada é uma função mais simples do que a u escolhida. 
 Escolha para dv a parte restante do integrando. 
 
 433 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine ∫ 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 . 
Solução 
Para aplicar o método da integração por partes, precisamos escrever a equação original na forma 
∫ 𝑢 𝑑𝑣. Isso significa que é necessário dividir 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 em dois fatores: 
- uma parte representando u e outra parte representando dv. 
Existem várias possibilidades diferentes de realizar essa divisão: 
 
Em acordo ao roteiro, devemos escolher a primeira opção, já que 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 é a parte mais 
complicada do integrando para a qual existe uma equação básica de integração e a derivada de 𝑢 = 𝑥 é 
mais simples. 
 
Com essas substituições, podemos aplicar a expressão da integração por partes. 
 
 434 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine ∫ 𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 . 
Solução 
No caso dessa integral, é mais fácil integrar 𝑥2 do que ln 𝑥. 
Além disso, a derivada de ln 𝑥 é mais simples. Logo, escolhendo 𝑑𝑣 = 𝑥2 𝑑𝑥. 
 
Com essas substituições, podemos aplicar a expressão da integração por partes. 
 
 435 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 . 
Solução 
Essa integral é diferente das anteriores por que possui apenas um fator. 
Em casos como esse, escolhemos 𝑑𝑣 = 𝑑𝑥 e fazemos u igual ao fator único. 
 
Com essas substituições, podemos aplicar a expressão da integração por partes. 
 
 436 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine ∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 . 
Solução 
Ao seguir o roteiro, observamos que a derivada de 𝑥2 se torna mais simples, mas o mesmo não acontece 
com a derivada de 𝑒𝑥. Assim, fazemos 𝑢 = 𝑥2 e 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥. 
 
Com essas substituições, podemos aplicar a expressão da integração por partes. 
 
Para calcular a nova integral do lado direito da equação resultante, aplicamos a integração por partes 
uma segunda vez, usando as substituições abaixo: 
 
 
 437 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Com essas substituições, podemosaplicar a expressão da integração por partes. 
 
OBS: 
 Ao usar a integração por partes mais de uma vez, é preciso cuidado para não inverter as 
substituições em aplicações sucessivas do método. 
 No Exemplo 4, as primeiras substituições foram 𝑑𝑣 = 𝑒𝑥 𝑑𝑥 e 𝑢 = 𝑥2. 
 Se na segunda aplicação do método fosse usada a substituição 𝑑𝑣 = 2𝑥 𝑑𝑥 e 𝑢 = 𝑒𝑥, o efeito da 
primeira integração seria anulado e estaríamos de volta à integral original. 
 
 
 438 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Determine ∫ ln 𝑥
𝑒
1
𝑑𝑥. 
A integração por partes foi usada para determinar a antiderivada de ln 𝑥 no Exemplo 3. 
Usando esse resultado, podemos calcular o valor da integral definida: 
 
A Figura 6.1 mostra a área representada por essa integral definida. 
 
 439 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
OBS: 
 Lembre-se de que não basta saber como usar as várias técnicas de integração; é preciso também 
saber quando usá-las. 
 A integração é, antes de tudo, um problema de avaliação: avaliar que expressão ou técnica é mais 
promissora para resolver o problema proposto. 
 Frequentemente, basta uma pequena modificação do integrando para que a técnica de integração 
tenha que ser substituída por outra. Exs: 
 
 No método da integração por partes, nem sempre é óbvio quais são as expressões mais adequadas 
de u e dv. O quadro abaixo mostra as escolhas corretas para dois casos muito frequentes. 
 
 440 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
5.3- Frações Parciais 
- Frações Parciais 
 Esse método envolve a decomposição de uma função racional na soma de duas ou mais funções 
racionais mais simples. 
 Para usar esse método, é preciso fatorar o denominador da função racional dada e decompor a 
função em frações parciais. 
 
- Frações Parciais 
- Para determinar a decomposição em frações parciais de uma função racional própria 𝑝(𝑥) 𝑞(𝑥)⁄ , 
fatore q(x) e escreva uma equação da forma: 
𝑝(𝑥)
𝑞(𝑥)
= (𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑎çõ𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑖𝑠). 
- Para cada fator linear diferente da forma a x + b, o lado direito da equação deve incluir um termo da 
forma: 
𝐴
𝑎𝑥+𝑏
 
- Para cada fator linear repetido, da forma (𝑎𝑥 + 𝑏)𝑛, o lado direito da equação deve incluir n termos da 
forma: 
𝐴1
𝑎𝑥+𝑏
+
𝐴2
(𝑎𝑥+𝑏)2
+ ⋯ +
𝐴𝑛
(𝑎𝑥+𝑏)𝑛
 
 441 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Resumindo: 
 
 442 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 – Fatores distintos 
Escreva a decomposição em frações parciais da função 
𝑥+7
𝑥2−𝑥−6
 . 
Solução 
Começamos por fatorar o denominador, fazendo 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 − 3) (𝑥 + 2). 
Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais como: 
𝑥 + 7
𝑥2 − 𝑥 − 6
=
𝐴
𝑥 − 3
+
𝐵
𝑥 + 2
 
 
Para determinar os valores de A e B, multiplicamos ambos os membros da equação pelo mínimo 
denominador comum (𝑥 − 3) (𝑥 + 2). O resultado é a chamada equação básica, como: 
𝑥 + 7 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵 (𝑥 − 3) 
 
Como esta equação deve ser válida para qualquer valor de x, podemos substituir x por qualquer valor 
que seja conveniente. Em geral, os valores mais convenientes são as raízes do denominador comum. 
 
 443 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Fazendo x = -2 
𝑥 + 7 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵 (𝑥 − 3) 
−2 + 7 = 𝐴 (−2 + 2) + 𝐵 (−2 − 3) 
5 = 𝐴 (0) + 𝐵 (−5) 
𝐵 = −1 
 
Fazendo x = 3 
𝑥 + 7 = 𝐴 (𝑥 + 2) + 𝐵 (𝑥 − 3) 
3 + 7 = 𝐴 (3 + 2) + 𝐵 (3 − 3) 
10 = 𝐴 (5) + 𝐵 (0) 
𝐴 = 2 
 
Podemos escrever a decomposição em frações parciais: 
𝑥 + 7
𝑥2 − 𝑥 − 6
=
2
𝑥 − 3
−
1
𝑥 + 2
 
Assim, a solução da integral será mais fácil de ser obtida... 
 444 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 – Fatores repetidos 
Determine ∫
5𝑥2+20𝑥+6
𝑥3+2𝑥2+𝑥
𝑑𝑥. 
Solução 
Começamos por fatorar o denominador, fazendo 𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥 = 𝑥 (𝑥 + 1)2. 
Em seguida, escrevemos a decomposição em funções parciais como: 
5𝑥2 + 20𝑥 + 6
𝑥 (𝑥 + 1)2
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥 + 1
+
𝐶
(𝑥 + 1)2
 
 
Multiplicando ambos os membros da equação pelo mínimo denominador comum 𝑥 (𝑥 + 1)2 
5𝑥2 + 20𝑥 + 6 = 𝐴 (𝑥 + 1)2 + 𝐵 𝑥 (𝑥 + 1) + 𝐶 𝑥 
 
Em seguida, determinamos os valores de A e C fazendo x = -1 e x = 0 na equação básica 
 
 445 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Fazendo x = -1 
5(−1)2 + 20(−1) + 6 = 𝐴 (−1 + 1)2 + 𝐵 (−1) (−1 + 1) + 𝐶 (−1) 
5 − 20 + 6 = 𝐴 (0) − 𝐵 (0) − 𝐶 
𝐶 = 9 
 
Fazendo x = 0 
5(0)2 + 20(0) + 6 = 𝐴 (0 + 1)2 + 𝐵 (0) (0 + 1) + 𝐶 (0) 
6 = 𝐴 (1) 
𝐴 = 6 
 
Arbitrando um valor para x : 
Fazendo x = 1 
5(1)2 + 20(1) + 6 = 6 (1 + 1)2 + 𝐵 (1) (1 + 1) + 9 (1) 
31 = 24 + 𝐵 (2) + 9 
𝐵 = −1 
 446 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Resolvendo a integral 
∫
5𝑥2 + 20𝑥 + 6
𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥
𝑑𝑥 = ∫ (
6
𝑥
−
1
𝑥 + 1
+
9
(𝑥 + 1)2
) 𝑑𝑥 
∫
5𝑥2 + 20𝑥 + 6
𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥
𝑑𝑥 = 6 ln|𝑥| − ln|𝑥 + 1| + 9 
(𝑥 + 1)−1
−1
+ 𝐶 
∫
5𝑥2 + 20𝑥 + 6
𝑥3 + 2𝑥2 + 𝑥
𝑑𝑥 = ln |
𝑥6
𝑥 + 1
| −
9
𝑥 + 1
+ 𝐶 
 
OBS: 
O método da decomposição em frações parciais, ilustrado nos Exemplos 1 e 2, só pode ser aplicado a 
funções racionais próprias, isto é, funções racionais em que o grau do numerador é menor que o grau 
do denominador. 
Se o grau do numerador é igual ou maior que o grau do denominador, é preciso efetuar a divisão antes 
de aplicar o método das frações parciais. Assim, por exemplo, a função racional 
𝑥3
𝑥2+1
 é imprópria. 
Portanto, dividimos o numerador pelo denominador para obter 
𝑥3
𝑥2+1
= 𝑥 −
𝑥
𝑥2+1
. 
 447 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 – Grau do numerador maior que o do denominador 
Determine ∫
𝑥5+𝑥−1
𝑥4−𝑥3
𝑑𝑥 . 
Solução 
Essa função racional é imprópria. Assim, dividimos o numerador pelo denominador: 
𝑥5 + 𝑥 − 1
𝑥4 − 𝑥3
= 𝑥 + 1 +
𝑥3 + 𝑥 − 1
𝑥4 − 𝑥3
 
 
Aplicando o método de decomposição em frações parciais, temos: 
𝑥3 + 𝑥 − 1
𝑥3 (𝑥 − 1)
=
𝐴
𝑥
+
𝐵
𝑥2
+
𝐶
𝑥3
+
𝐷
𝑥 − 1
 
Multiplicando os membros pelo mínimo denominador comum 𝑥3 (𝑥 − 1), obtemos a equação básica. 
𝑥3 + 𝑥 − 1 = 𝐴 𝑥2 (𝑥 − 1) + 𝐵 𝑥 (𝑥 − 1) + 𝐶 (𝑥 − 1) + 𝐷 𝑥3 
 
Usando técnicas similares às apresentadas nos Exemplos 1 e 2, obtemos os seguintes valores: 
𝐴 = 0 , 𝐵 = 0 , 𝐶 = 1 𝑒 𝐷 = 1 
 448 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Logo, o resultado da integral é o seguinte: 
 
∫
𝑥5 + 𝑥 − 1
𝑥4 − 𝑥3
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 1 +
𝑥3 + 𝑥 − 1
𝑥4 − 𝑥3
) 𝑑𝑥 
∫
𝑥5 + 𝑥 − 1
𝑥4 − 𝑥3
𝑑𝑥 = ∫ (𝑥 + 1 +
1
𝑥3
+
1
𝑥 − 1
) 𝑑𝑥 
∫
𝑥5 + 𝑥 − 1
𝑥4 − 𝑥3
𝑑𝑥 = 
𝑥2
2
+ 𝑥 −
1
2 𝑥2
+ ln|𝑥 − 1| + 𝐶 
 
 
 449 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 – Fatores quadráticos e lineares distintos 
Encontre ∫
2 𝑥3 − 4 𝑥 − 8
(𝑥2 − 𝑥)(𝑥2 + 4)
𝑑𝑥 
 
 
 450 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 451 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 – Fatores quadráticos repetidos 
Encontre ∫
8 𝑥3+ 13 𝑥
(𝑥2 + 2)2
𝑑𝑥 
 
 
 452 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 453 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
5.4- Tabelas deIntegração 
- Tabelas de Integração 
 Até agora estudamos três técnicas de integração que podem ser usadas para complementar as 
equações básicas de integração. Essas técnicas e equações não esgotam os métodos possíveis para obter 
uma antiderivada, mas cobrem a maioria dos casos importantes. 
 O processo de integrar por meio de uma longa lista de equações é conhecido como integração por 
tabelas de integrais. 
 Na tabela de integrais a seguir, as equações foram divididas grupos, de acordo com a forma do 
integrando. Teremos, por exemplo, formas envolvendo: 
𝑢𝑛 ; 𝑎 + 𝑏𝑢 ; √𝑎 + 𝑏𝑢 ; √𝑢2 ± 𝑎2 ; 𝑢2 − 𝑎2 ; √𝑢2 − 𝑎2 ; 𝑒𝑢 ; ln 𝑢 . 
 
 454 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 455 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 
 456 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 457 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 458 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 
 
 459 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 
 460 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 
 461 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 462 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 
 463 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine ∫
𝑥
√𝑥−1
𝑑𝑥 
Solução 
Como o integrando tem uma forma idêntica àquela da equação 21, teremos: 
∫
𝑢
√𝑎 + 𝑏𝑢
𝑑𝑢 =
−2(2𝑎 − 𝑏𝑢)
3𝑏2
√𝑎 + 𝑏𝑢 + 𝐶 
 
Para usar essa equação, fazemos 𝑎 = −1 ; 𝑏 = 1 ; 𝑒 𝑢 = 𝑥 𝑒 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥. 
∫
𝑥
√𝑥 − 1
𝑑𝑥 = −
2(−2 − 𝑥)
3
√𝑥 − 1 + 𝐶 
∫
𝑥
√𝑥 − 1
𝑑𝑥 =
2
3
(2 + 𝑥) √𝑥 − 1 + 𝐶 
 
 
 464 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine ∫ 𝑥 √𝑥4 − 9 𝑑𝑥 . 
Solução 
Não está clara qual equação deve ser usada. Porém, ao fazermos 𝑢 = 𝑥2 e 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥 e substituirmos 
na integral original teremos: 
∫ 𝑥 √𝑥4 − 9 𝑑𝑥 =
1
2
 ∫ √(𝑥2)2 − 9 (2𝑥) 𝑑𝑥 
∫ 𝑥 √𝑥4 − 9 𝑑𝑥 =
1
2
 ∫ √(𝑢)2 − 9 𝑑𝑢 
 
Agora identificamos a equação 26. 
∫ √𝑢2 ± 𝑎2 𝑑𝑢 =
1
2
 (𝑢 √𝑢2 ± 𝑎2 ± 𝑎2 ln |𝑢 + √𝑢2 ± 𝑎2|) + 𝐶 
 
 
 465 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Fazendo a = 3, obtemos 
∫ 𝑥 √𝑥4 − 9 𝑑𝑥 =
1
2
∫ √𝑢2 − 𝑎2 𝑑𝑢 
∫ 𝑥 √𝑥4 − 9 𝑑𝑥 =
1
2
[
1
2
 (𝑢 √𝑢2 − 𝑎2 − 𝑎2 ln |𝑢 + √𝑢2 − 𝑎2|)] + 𝐶 
∫ 𝑥 √𝑥4 − 9 𝑑𝑥 =
1
4
 (𝑥2 √𝑥4 − 9 − 9 ln |𝑥2 + √𝑥4 − 9|) + 𝐶 
 
 
 466 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine ∫
1
𝑥 √𝑥+1
𝑑𝑥. 
Solução 
O integrando tem forma análoga àquela da equação 17, onde a = 1 , b = 1 , u = x e du = dx. 
∫
1
𝑢 √𝑎 + 𝑏𝑢
𝑑𝑢 = 
1
√𝑎
 ln |
√𝑎 + 𝑏𝑢 − √𝑎
√𝑎 + 𝑏𝑢 + √𝑎
| + 𝐶 , 𝑎 > 0 
 
Assim, 
∫
1
𝑥 √𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢 √𝑎 + 𝑏𝑢
𝑑𝑢 = 
1
√𝑎
 ln |
√𝑎 + 𝑏𝑢 − √𝑎
√𝑎 + 𝑏𝑢 + √𝑎
| + 𝐶 
∫
1
𝑥 √𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ln |
√𝑥 + 1 − 1
√𝑥 + 1 + 1
| + 𝐶 
 
 
 467 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine ∫
𝑥
1+𝑒−𝑥
2
2
0
𝑑𝑥 
Solução 
Das equações que envolvem 𝑒𝑢, a de número 84 parece ser a mais apropriada. 
∫
1
1 + 𝑒𝑢
𝑑𝑢 = 𝑢 − ln(1 + 𝑒𝑢) + 𝐶 
 
Para usar essa equação, fazemos 𝑢 = −𝑥2 e portanto 𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥. 
 
∫
𝑥
1 + 𝑒−𝑥
2 𝑑𝑥 = −
1
2
 ∫
1
1 + 𝑒−𝑥
2 (−2𝑥) 𝑑𝑥 = −
1
2
 ∫
1
1 + 𝑒𝑢
𝑑𝑢 
∫
𝑥
1 + 𝑒−𝑥
2 𝑑𝑥 = −
1
2
 [𝑢 − ln(1 + 𝑒𝑢)] + 𝐶 
∫
𝑥
1 + 𝑒−𝑥
2 𝑑𝑥 =
1
2
 [𝑥2 + ln(1 + 𝑒−𝑥
2
)] + 𝐶 
Assim, o valor da integral definida é 
∫
𝑥
1 + 𝑒−𝑥
2
2
0
𝑑𝑥 = 
1
2
 [𝑥2 − ln(1 + 𝑒−𝑥
2
)]
0
2
 ≈ 1,66 
Como mostra a Figura 6.7. 
 468 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Equações de Redução 
 Muitas equações da tabela de integrais têm a forma ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) + ∫ ℎ(𝑥) 𝑑𝑥 , onde o lado 
direito contém uma integral. 
 As equações desse tipo recebem o nome de Equações de Redução por que reduzem a integral 
dada à soma de uma função com uma integral mais simples, como pode ser visto no Exemplo 5. 
 
- Completando o Quadrado 
 Muitas equações de integração envolvem a soma ou diferença de dois quadrados. 
 É possível aumentar o campo de aplicação dessas equações usando um método conhecido como 
Completando o Quadrado. 
 Esse método está ilustrado no Exemplo 6. 
 
 
 
 469 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Determine ∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Solução 
Em acordo com a equação 83 
∫ 𝑢𝑛 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = 𝑢𝑛𝑒𝑢 − 𝑛 ∫ 𝑢𝑛−1 𝑒𝑢 𝑑𝑢 
 
Fazendo 𝑢 = 𝑥 ; 𝑛 = 2 ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 , então 
∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑒𝑥 − 2 ∫ 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Em acordo com a equação 82 
∫ 𝑢 𝑒𝑢 𝑑𝑢 = (𝑢 − 1) 𝑒𝑢 + 𝐶 
 
portanto, 
 
 470 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑒𝑥 − 2 ∫ 𝑥 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑒𝑥 − 2 (𝑥 − 1) 𝑒𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 𝑒𝑥 − 2𝑥 𝑒𝑥 + 2 𝑒𝑥 + 𝐶 
∫ 𝑥2 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 (𝑥2 − 2𝑥 + 2) + 𝐶 
 
 
 471 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 6 
Determine a integral indefinida ∫
1
𝑥2−4𝑥+1
𝑑𝑥 
Solução 
Começamos por escrever o denominador com a diferença de dois quadrados 
𝑥2 − 4𝑥 + 1 = (𝑥2 − 4𝑥 + 4) − 4 + 1 
𝑥2 − 4𝑥 + 1 = (𝑥 − 2)2 − 3 
 
Assim, a integral dada pode ser escrita na forma 
∫
1
𝑥2 − 4𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
1
(𝑥 − 2)2 − 3
𝑑𝑥 
Fazendo 𝑢 = 𝑥 − 2 ; 𝑎 = √3 ; 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 , podemos aplicar a equação 24 
∫
1
𝑢2 − 𝑎2
𝑑𝑢 =
1
2𝑎
 ln |
𝑢 − 𝑎
𝑢 + 𝑎
| + 𝐶 
 
para concluir que 
 472 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
∫
1
𝑥2 − 4𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
1
(𝑥 − 2)2 − 3
𝑑𝑥 
∫
1
𝑥2 − 4𝑥 + 1
𝑑𝑥 = ∫
1
𝑢2 − 𝑎2
𝑑𝑢 
∫
1
𝑥2 − 4𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
1
2𝑎
 ln |
𝑢 − 𝑎
𝑢 + 𝑎
| + 𝐶 
∫
1
𝑥2 − 4𝑥 + 1
𝑑𝑥 =
1
2 √3
 ln |
𝑥 − 2 − √3
𝑥 − 2 + √3
| + 𝐶 
 
 
 473 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
5.5- Integrações Trigonométricas 
- Integrais Envolvendo Potências de Seno e Cosseno 
 Vejamos as técnicas para se determinar integrais da forma: 
∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 e ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑚 (𝑥) 𝑡𝑎𝑛𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 
onde m ou n é um inteiro positivo. 
 Para encontrar antiderivadas a partir dessas formas devemos reorganizá-las em combinações de 
integrais trigonométricas nas quais poderemos aplicar a Regra da Potência. 
 Por exemplo, podemos determinar ∫ 𝑠𝑒𝑛5 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑑𝑥 por meio da Regra da Potência fazendo 
𝑢 = 𝑠𝑒𝑛(𝑥). 
Logo, 𝑑𝑢 = cos(𝑥) 𝑑𝑥 e teremos: 
∫ 𝑠𝑒𝑛5 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑢5 𝑑𝑢 = 
𝑢6
6
+ 𝐶 =
𝑠𝑒𝑛6(𝑥)
6
+ 𝐶 
 
 474 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Para organizarmos a integral ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑚 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 de forma a utilizar a Regra da Potência, 
utilizamos as seguintes identidades: 
- Pitagóricas: 
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) + 𝑐𝑜𝑠2(𝑥) = 1 ⇔ 𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) 
𝑠𝑒𝑐2(𝜃) = 1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) ⇔ 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) − 1 
𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2(𝜃) = 1 + 𝑐𝑜𝑡2(𝜃) 
 
- Ângulo Metade 
𝑠𝑒𝑛2(𝑥) =
1 − 𝑐𝑜𝑠(2 𝑥)
2
 
𝑐𝑜𝑠2(𝑥) =
1 + 𝑐𝑜𝑠(2𝑥)
2
 
 
 
 475 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Generalizando, 
 
 
 
 476 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
- A potência do seno é ímpar e positiva 
Encontre ∫ 𝑠𝑒𝑛3 (𝑥) 𝑐𝑜𝑠4(𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 477 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
- A potência do cosseno é ímpar e positiva 
Encontre ∫
𝑐𝑜𝑠3(𝑥)
√𝑠𝑒𝑛(𝑥)
 𝑑𝑥
𝜋
3⁄
𝜋
6⁄
. 
 
 
 478 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
- A potência do seno e cosseno é par e positiva 
Encontre ∫ 𝑐𝑜𝑠4 (𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 479 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Integrais Envolvendo Potências de Secante e Tangente 
 Os procedimentos seguintes são úteis para se determinar integrais do tipo ∫ 𝑠𝑒𝑐𝑚 (𝑥) 𝑡𝑎𝑛𝑛(𝑥) 𝑑𝑥. 
 
 480 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
- A potência da tangente é impar e positiva 
Encontre ∫
𝑡𝑎𝑛3(𝑥)
√sec (𝑥)
 𝑑𝑥 
 
 
 
 481 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
- A potência da Secante é par e positiva 
Encontre ∫ 𝑠𝑒𝑐4 (3 𝑥) 𝑡𝑎𝑛3(3 𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 482 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 6 
- A potência da Tangente é par e positiva 
Encontre ∫ 𝑡𝑎𝑛4(𝑥) 𝑑𝑥
𝜋
4⁄
0
 
 
 483 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 7 
- Convertendo parcelas para Senos e Cossenos 
Encontre ∫
sec (𝑥)
𝑡𝑎𝑛2(𝑥)
 𝑑𝑥 
 
 
 
 484 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Integrais Envolvendo Produtos de Senos por Cossenos com Argumentos Diferentes 
 Integrais envolvendo o produto de senos e cossenos, com argumentos diferentes, ocorrem em 
muitas aplicações. 
 Em tais situações utilizam-se as seguintes identidades: 
𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) 𝑠𝑒𝑛 (𝑛𝑥) =
1
2
 {cos[(𝑚 − 𝑛)𝑥] − cos[(𝑚 + 𝑛)𝑥]} 
𝑠𝑒𝑛 (𝑚𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝑥) =
1
2
 {sen[(𝑚 − 𝑛)𝑥] + sen[(𝑚 + 𝑛)𝑥]} 
𝑐𝑜𝑠 (𝑚𝑥) 𝑐𝑜𝑠 (𝑛𝑥) =
1
2
 {cos[(𝑚 − 𝑛)𝑥] + cos[(𝑚 + 𝑛)𝑥]} 
 
 
 485 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 8 
- Utilizando identidades com relação Produto-Soma 
Encontre ∫ 𝑠𝑒𝑛(5𝑥) cos(4𝑥) 𝑑𝑥 
 
 
 
 486 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
5.6- Método das Substituições Trigonométricas 
- Substituição Trigonométrica 
 Podemos determinar integrais envolvendo funções com potências de funções trigonométricas. 
 Nós podemos utilizar a técnica da substituição trigonométrica para resolver integrais que contêm 
os radicais: √𝑎2 − 𝑢2 ; √𝑎2 + 𝑢2 e √𝑢2 − 𝑎2 . 
 O objetivo do método das substituições trigonométricas é eliminar os radicais no integrando. 
 Para tal, utilizaremos as seguintes identidades pitagóricas: 
𝑐𝑜𝑠2(𝜃) = 1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) ; 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) = 1 + 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) e 𝑡𝑎𝑛2(𝜃) = 𝑠𝑒𝑐2(𝜃) − 1 
Por exemplo, façamos 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃), onde − 𝜋 2⁄ ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2⁄ , se 𝑎 > 0, então: 
√𝑎2 − 𝑢2 = √𝑎2 − 𝑎2𝑠𝑒𝑛2(𝜃) 
√𝑎2 − 𝑢2 = √𝑎2[1 − 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)] 
√𝑎2 − 𝑢2 = √𝑎2𝑐𝑜𝑠2(𝜃) 
√𝑎2 − 𝑢2 = 𝑎 cos(𝜃) 
 
Observe que cos(𝜃) ≥ 0, por que − 𝜋 2⁄ ≤ 𝜃 ≤
𝜋
2⁄ 
 487 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Resumindo os procedimentos: 
 
 
 488 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
- Substituição Trigonométrica: 𝑢 = 𝑎 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
Encontre ∫
𝑑𝑥
𝑥2 √9−𝑥2
 
 
 
 489 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
- Substituição Trigonométrica: 𝑢 = 𝑎 𝑡𝑎𝑛(𝜃) 
Encontre ∫
𝑑𝑥
√4 𝑥2+1
 
 
 
 
 490 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
- Substituição Trigonométrica: Razão de Potências 
Encontre ∫
𝑑𝑥
(𝑥2+1)
3
2⁄
 
 
 
 
 491 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
- Substituição Trigonométrica: Mudando os limites de Integração 
Encontre ∫
√𝑥2−3
𝑥
𝑑𝑥
2
√3
 
 
 
 
 
 492 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 
 
 
 493 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
5.7- Integrais Impróprias 
- Integrais Impróprias 
 A definição de integral definida ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 inclui as restrições de que o intervalo [a , b] seja finito 
e a função f(x) seja finita no intervalo [a , b]. 
 Existem integrais que não se enquadram nessa definição devido a uma 
ou mais das situações abaixo: 
1. Pelo menos um dos limites de integração é infinito. 
2. A função f(x) possui pelo menos uma descontinuidade infinita no intervalo 
[a , b]. 
 As integrais que apresentam alguma dessas características são chamadas 
de integrais impróprias. Assim, por exemplo, as integrais: 
∫ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
∞
0
 𝑒 ∫
1
𝑥2 + 1
∞
−∞
𝑑𝑥 
são impróprias por que pelo menos um dos limites de integração é infinito, 
como mostra a Figura 6.17. 
 494 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 Por outro lado, as integrais: 
∫
1
√𝑥 − 1
 𝑑𝑥
5
1
 𝑒 ∫
1
(𝑥 + 1)2
2
−2
𝑑𝑥 
são impróprias por que os integrandos apresentam uma descontinuidade infinita, ou seja, tendem para 
infinito em um ponto situado no interior do intervalo de integração, como mostra a Figura 6.18. 
 
 
 
 
 495 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Integrais com Limites Infinitos de Integração 
 Para compreender como é possível calcular o valor de uma integral imprópria, considere a integral 
da Figura 6.19. 
 
Se b é um número real maior que 1, o valor da integral é dado por: 
∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥
𝑏
1
= [−
1
𝑥
]
1
𝑏
 
∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥
𝑏
1
= −
1
𝑏
+ 1 
∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥
𝑏
1
= 1 −
1
𝑏
 
 
 
 
 496 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
 A tabela mostra os valores dessa integral para vários valores de b. 
 
 
 Observando a tabela, vemos que o valor da integral tende para certo valor quando b aumenta sem 
limite. 
 Esse valor é considerado como o valor da integral imprópria obtida fazendo o limite superior b 
igual a infinito. 
∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑏→∞
∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥
𝑏
1
 
∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑏→∞
(1 −
1
𝑏
) 
∫
1
𝑥2
 𝑑𝑥
∞
1
= 1 
 
 497 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Integrais Impróprias (Limites de Integração Infinitos) 
1. Se f(x) é contínua no intervalo [𝑎 , ∞), 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
𝑎
= lim
𝑏→∞
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
2. Se f(x) é contínua no intervalo (−∞ , 𝑏], 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
−∞
= lim
𝑎→−∞
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
3. Se f(x) é contínua no intervalo (−∞ , ∞), 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
−∞
= ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
−∞
+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∞
𝑐
 
onde c é qualquer número real. 
 Nos primeiros dois casos, se o limite existe, dizemos que a integral imprópria converge. 
 Se o limite não existe, dizemos que a integral imprópria diverge. 
 No terceiro caso, a integral da esquerda diverge se pelo menos uma das integrais da direita 
divergir. 
 
 498 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 1 
Determine o valor de ∫
1
𝑥
∞
1
𝑑𝑥 , caso seja possível. 
Solução 
Aplicando a definição de integral imprópria. 
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥∞
1
= lim
𝑏→∞
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥
𝑏
1
 
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑏→∞
[ln 𝑥]1
𝑏 
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥
∞
1
= lim
𝑏→∞
(ln 𝑏 − ln 1) 
∫
1
𝑥
 𝑑𝑥
∞
1
= ∞ 
 
Como o limite é infinito, a integral imprópria diverge e, portanto, não possui um valor definido. 
 
 499 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 2 
Determine o valor da integral imprópria ∫
1
(1−2𝑥)3/2
0
−∞
𝑑𝑥 
Solução 
Aplicando a definição de integral imprópria. 
∫
1
(1 − 2𝑥)3/2
0
−∞
𝑑𝑥 = lim
𝑎→−∞
∫
1
(1 − 2𝑥)3/2
0
𝑎
 𝑑𝑥 
∫
1
(1 − 2𝑥)3/2
0
−∞
𝑑𝑥 = lim
𝑎→−∞
[
1
√1 − 2𝑥
]
𝑎
0
 
∫
1
(1 − 2𝑥)3/2
0
−∞
𝑑𝑥 = lim
𝑎→−∞
(1 −
1
√1 − 2𝑎
) 
∫
1
(1 − 2𝑥)3/2
0
−∞
𝑑𝑥 = 1 − 0 = 1 
 
 
 500 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Assim, a integral imprópria converge para o valor 1. 
Como mostra a Figura 6.21, isso significa que a região compreendida entre a curva da função 
𝑦 = 
1
(1−2𝑥)3/2
 e o eixo x (para 𝑥 ≤ 0) tem uma área de 1 unidade quadrada. 
 
 
 501 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 3 
Determine o valor da integral imprópria ∫ 2𝑥𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥
∞
0
 
Solução 
Aplicando a definição de integral imprópria. 
∫ 2𝑥𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥
∞
0
= lim
𝑏→∞
∫ 2𝑥𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥
𝑏
0
 
∫ 2𝑥𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥
∞
0
= lim
𝑏→∞
[−𝑒−𝑥
2
]
0
𝑏
 
∫ 2𝑥𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥
∞
0
= lim𝑏→∞(𝑒
−𝑏2 + 1) 
∫ 2𝑥𝑒−𝑥
2
 𝑑𝑥
∞
0
= 0 + 1 = 1 
Assim, a integral imprópria converge para o valor 1. 
Como mostra a Figura 6.22, isso significa que a região compreendida entre a 
curva da função 𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥
2
 e o eixo x (para 𝑥 ≥ 0) tem uma área de 1 u. a. 
 
 502 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
- Integrais com Integrandos Infinitos 
- Integrais Impróprias (Integrandos Infinitos) 
1. Se f(x) é contínua no intervalo [𝑎 , 𝑏) e tende a infinito no ponto b, 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑐→𝑏−
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
 
2. Se f(x) é contínua no intervalo (𝑎 , 𝑏] e tende a infinito no ponto a, 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= lim
𝑐→𝑎+
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
3. Se f(x) é contínua no intervalo [𝑎 , 𝑏] , exceto por um ponto c no intervalo (𝑎 , 𝑏) , no qual f(x) tende 
a infinito, 
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑐
𝑎
+ ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
𝑏
𝑐
 
 Nos primeiros dois casos, se o limite existe, nós dizemos que a integral imprópria converge. 
 Se o limite não existe, dizemos que a integral imprópria diverge. 
 No terceiro caso, a integral da esquerda diverge se pelo menos uma das integrais da direita 
divergir. 
 503 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 4 
Determine ∫
1
√𝑥−1
3 𝑑𝑥
2
1
 
Solução 
Aplicando a definição de integral imprópria. 
∫
1
√𝑥 − 1
3 𝑑𝑥
2
1
= lim
𝑐→1+
∫
1
√𝑥 − 1
3 𝑑𝑥
2
𝑐
 
∫
1
√𝑥 − 1
3 𝑑𝑥
2
1
= lim
𝑐→1+
[
3
2
 (𝑥 − 1)2/3]
𝑐
2
 
∫
1
√𝑥−1
3 𝑑𝑥
2
1
= lim𝑐→1+ [
3
2
−
3
2
(𝑐 − 1)2/3] 
∫
1
√𝑥 − 1
3 𝑑𝑥
2
1
=
3
2
− 0 =
3
2
 
Assim, a integral imprópria converge para o valor 3/2. 
Como mostra a Figura 6.23, isso significa que a região mostrada tem uma área 
de 3/2 unidade quadrada. 
 504 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 5 
Determine ∫
2
𝑥2−2𝑥
 𝑑𝑥
2
1
 . 
Solução 
Decompondo equação original em frações parciais: 
∫
2
𝑥2−2𝑥
 𝑑𝑥
2
1
= ∫ (
1
𝑥−2
−
1
𝑥
) 𝑑𝑥
2
1
 
∫
2
𝑥2 − 2𝑥
 𝑑𝑥
2
1
= lim
𝑐→2−
∫ (
1
𝑥 − 2
−
1
𝑥
) 𝑑𝑥
𝑐
1
 
∫
2
𝑥2 − 2𝑥
 𝑑𝑥
2
1
= lim
𝑐→2−
[ln|𝑥 − 2| − ln|𝑥|] |
𝑐
1
= lim
𝑐→2−
[ln|𝑐 − 2| − ln|𝑐|] 
∫
2
𝑥2 − 2𝑥
 𝑑𝑥
2
1
= −∞ 
 
Concluímos que a integral diverge. 
Isso significa que a região mostrada na Figura 6.24 possui uma área infinita. 
 
 505 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
Exemplo 6 
Determine ∫
1
𝑥3
 𝑑𝑥
2
−1
 
Solução 
Essa integral é imprópria por que o integrando possui uma descontinuidade infinita em x = 0, como 
mostra a Figura 6.25. 
Logo, podemos escrever: 
∫
1
𝑥3
 𝑑𝑥
2
−1
= lim
𝑐→0−
∫
1
𝑥3
 𝑑𝑥
𝑐
−1
+ lim
𝑐→0+
∫
1
𝑥3
 𝑑𝑥
2
𝑐
 
Aplicando a definição de integral imprópria, vemos que as duas integrais do 
lado direito divergem. Isso significa que a integral dada também diverge. 
 
Obs: Se não fosse indicado que a integral do Exemplo 6 era imprópria, 
poderíamos ter chegado a um resultado equivocado para o cálculo... 
∫
1
𝑥3
 𝑑𝑥
2
−1
= [−
1
2𝑥2
]
−1
2
= −
1
8
+
1
2
=
3
8
 → 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑜! 
 506 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Mário Duarte 
REFERÊNCIAS 
 Conteúdo deste capítulo foi compilado de: 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; com a assistência de FALVO, D. C., Cálculo com Aplicações, 6 ed., Rio de 
Janeiro – RJ, LTC, 2008. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; Brief Calculus: an applied approach, 8 ed., Boston - USA, Houghton Mifflin 
Company, 2009. 
 
LARSON, R. & EDWARDS, B. H.; Calculus, 9 ed., Belmont - CA - USA, Books/Cole, 2010. 
 
LEITHOLD, L; O Cálculo com Geometria Analítica, São Paulo – SP, Harbra Editora Harper & Row do 
Brasil Ltda., 1977.