ONDE APLICAMOS INTEGRAIS E DERIVADAS NA ENGENHARIA

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ESAMC 
 
 
 
 
 
 
 
ONDE APLICAMOS INTEGRAIS E DERIVADAS NA ENGENHARIA 
 
 
 
 
 
 
CAMILA GARCIA RIBEIRO VICENTINI 
RA: 11200096 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTOS 
2020 
SUMÁRIO 
1. Derivada....................................................................................................4 
 
2. Integral......................................................................................................5 
 
3. Exemplos de aplicações de derivada e integral na engenharia................7 
 
4. Considerações finais................................................................................8 
 
5. Referências bibliográficas........................................................................9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO 
Na rotina de um Engenheiro há uma grande variedade de problemas em 
que precisa de conhecimento em diversas áreas de atuação, Cálculo 
Diferencial e Integral tem uma extrema importância, pois é um caminho para a 
solução de variados problemas. Um engenheiro busca ter o menor custo e 
tempo na construção e com melhor uso dos materiais, ou seja, encontrar um 
desempenho de usos máximos e desperdícios mínimos, e as taxas de 
variações. 
A derivada e a integral são duas noções básicas do Cálculo Diferencial e 
Integral. Do ponto de vista geométrico, a derivada está ligada ao problema de 
traçar a tangente a uma curva enquanto a integral está relacionada com o 
problema de determinar a área de certas figuras planas, mas também possui 
muitas outras interpretações possíveis. 
1. Derivada 
A derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial, 
a derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma 
coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os 
dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por 
exemplo, a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao 
tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Consideremos uma função 
f(x). A função f é derivável em a, se: 
f(a) = lim f(x) – lim f(a) 
Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a 
notação matemática. Na notação matemática, um símbolo comum para a 
derivada da função é um sinal de apóstrofo chamado "linha". Então a 
derivada de f é f ' (f linha). Isso em notação matemática seria escrito assim: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 
𝑓′(𝑥) = 2𝑥 
Se a função de entrada é o tempo, então a derivada dessa função é a 
taxa em que a função é alterada. 
Se a função é linear, ou seja, o gráfico da função é uma linha reta, 
então a função pode ser escrita como y = m x + b, onde: 
𝑚 =
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑦
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑒𝑚 𝑥
= 
∆𝑦
∆𝑥
 
Isto dá o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é 
uma linha reta, então a variação em y é dividida pela variação em x, e nós 
precisamos do cálculo para encontrar o valor exato em cada ponto da 
função. (Note-se que y e f(x) são duas notações diferentes para a mesma 
coisa: a saída da função). Uma linha entre dois pontos em uma curva é 
chamada de reta secante. A variação da reta secante pode ser expressada 
como: 
𝑚 =
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
(𝑥 + ℎ) − 𝑥
 
Onde as coordenadas do primeiro ponto são (x, f(x)) e h é a distância 
horizontal entre os dois pontos. 
 
 
2. Integral 
A derivada é um dos conceitos mais importantes do Cálculo. Outro 
conceito também muito relevante é o de Integral. Existe uma estreita 
relação entre essas duas ideias. A operação inversa da derivação é a 
antiderivação ou integração indefinida. 
No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para 
determinar a área sob uma curva no plano cartesiano e também surge 
naturalmente em dezenas de problemas da física, como por exemplo na 
determinação da posição em todos os instantes de um objeto, se for 
conhecida a sua velocidade instantânea. 
Diferentemente da noção associada de derivação, existem 
várias definições para a integração, todas elas visando a resolver alguns 
problemas conceituais relacionados a limites, continuidade e existência de 
certos processos utilizados na definição. Estas definições diferem porque 
existem funções que podem ser integradas segundo alguma definição, mas 
não podem segundo outra. O processo de se calcular a integral de uma 
função é chamado de integração. 
O símbolo da integração é , um “S” alongado que significa soma. 
Em linguagem técnica, o cálculo integral estuda dois operadores 
lineares relacionados, a integral definida e indefinida. 
a) A integral indefinida ou antiderivação, é o processo inverso da 
derivada. F é uma integral indefinida de f quando f é uma derivada 
de F. (O uso de letras maiúsculas e minúsculas para uma função e 
sua integral indefinida é comum em cálculo). A integral indefinida é 
descrita da seguinte forma: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
b) A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual 
fornece a área entre o gráfico da função e o eixo do x. A definição 
técnica da integral definida é o limite da soma das áreas dos 
retângulos, chamada Soma de Riemann. A integral definida é 
escrita da seguinte forma: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
E lida como: a integral de a até b de f de x em relação a x. 
3. Exemplos de aplicações de derivada e integral na engenharia 
A derivada é utilizada para estudo de taxas variáveis de grandezas 
físicas. De modo geral, ela nos permite aplicar os conhecimentos em 
grandezas desde que sejam representadas através de funções. Existem 
inúmeras aplicações das derivadas de funções, dado o fato dela se ajustar 
em qualquer taxa de variação, sendo assim, entende a derivada como um 
coeficiente angular da reta tangente, porém ela pode ser utilizada para 
apresentar nos gráficos qual a posição das curvas e no âmbito da 
engenharia o cálculo por meio de derivadas é utilizado numa extensa gama 
de atividades. 
Uma das utilizações na construção civil de derivadas, por exemplo, é 
no projeto de estruturas que utiliza as equações de derivadas da teoria da 
elasticidade para dimensionar as colunas, vigas e lajes. De acordo com o 
peso que essas estruturas vão suportar, além do próprio peso e os 
materiais que serão utilizados, as máximas tensões calculadas não podem 
exceder o limite de escoamento (ponto onde a superfície inicia o processo 
de deformação irrecuperável). 
O Cálculo Diferencial e Integral estuda as taxas de variação de 
grandezas e a acumulação de quantidades, de maneira mais simples, por 
meio dele se pode calcular a variação da inclinação de uma reta, bem 
como a área abaixo de determinado sólido. Assim, o engenheiro pode usar 
a integral para calcular as cargas, os volumes, as áreas, momentos de 
inércia, resultados de carregamentos, as deformações, os centros de 
gravidade, dentre muitos outros. Exemplificando, pode ser usado na 
elaboração de projetos estruturais, no cálculo de dimensionamento de 
vigas, lajes e colunas, sendo possível por meio dele calcular o formato, 
dimensões e volume máximo de reservatórios de água, bem como de 
piscinas, ainda, é possível utilizando-se de uma equação de grau “n” 
calcular o custo de uma obra. Uma vez demonstradas às diversas 
aplicabilidades do Cálculo Diferencial e Integral, torna-se ainda mais visível 
a sua importância para a realização do trabalho do engenheiro, que pode 
realizar um trabalho de qualidade e confiança, prezando pelo máximo 
desempenho e mínimo prejuízo, tanto para ele quanto para seus clientes. 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
 
Associado à engenharia, usa-se o cálculo para obter o resultado de 
cargas, volumes, área, momentos de inércia e deformações, soluções de 
estruturas de equações elásticas, centro de gravidade, resultantes de 
carregamento, entre outros. Um exemplo simples é quando precisa calcular o 
preço mínimo de uma obra, e para isso muitas vezes a curva do custo é uma 
equação de grau “n”, fazendo à derivada e igualando a zero, assim poderá 
encontrar o preço mínimo.Sendo assim, o uso de derivadas e integrais, é fundamental na 
engenharia pelo sistemático e preciso instrumento de cálculos e equações 
físicas que representa o comportamento. 
 
 
 
 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BELLUCCI, LETICIA; RODRIGUES, SILVIA; DA SILVA, ROBSON. Estudo 
e aplicação do cálculo diferencial e integral na engenharia. Disponível em: 
<http://www.umc.br/_img/_diversos/pesquisa/pibic_pvic/XX_congresso/artig
os/Leticia_Lucon_Bellucci.pdf> Acesso em: 15 de Jun de 2020 
 
VILCHES, MAURICIO; CORRÊA, MARIA LUIZA. Cálculo: Volume 1. 
Disponível em: <https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MS123/UERJ.pdf> 
Acesso em: 15 de Jun de 2020 
 
FREITAS, DEUSIANE NUNES. A importância do cálculo diferencial e 
integral para os engenheiros civis. Mineiros, 2018. Disponível em: 
<http://www.unifimes.edu.br/filemanager_uploads/files/documentos/semana
_universitaria/xiii_semana/trabalhos_aprovados/tecnologia_sustentabilidad
e/resumos_simples/A%20IMPORTANCIA%20DO%20CALCULO%20DIFE
RENCIAL%20E%20INTEGRAL%20PARA%20OS%20ENGENHEIROS%20
CIVIS.pdf> Acesso em: 15 de Jun de 2020 
 
LUSTOSA, LEONARDO; RAUPP, FERNANDA. Aplicações matemáticas 
em Engenharia de produção. Disponível em: <https://impa.br/wp-
content/uploads/2017/04/30CBM_01.pdf> Acesso em: 16 de Jun de 2020 
 
SOSSAE, RENATA; SABLÓN, VICENTE; YACOUB, MARIA NÍDIA. Ensino 
de derivadas no curso de engenharia. Disponível em: 
<http://www.revista.unisal.br/sj/index.php/123/article/view/75/88> Acesso 
em: 16 de Jun de 2020. 
 
Thomas, George B. (2012). Cálculo Volume 1. São Paulo: Pearson 
Education do Brasil. 
 
https://www.ime.unicamp.br/~deleo/MS123/UERJ.pdf