Geometria Analítica - Capítulos Iniciais
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Geometria Analítica - Capítulos Iniciais


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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG
INSTITUTO DE MATEMA´TICA, ESTATI´STICA E
FI´SICA - IMEF
FABI´OLA AIUB SPEROTTO
DAIANE SILVA DE FREITAS
NOTAS DE AULA DE GEOMETRIA
ANALI´TICA: VETORES
1\u25e6 Edic¸a\u2dco
Rio Grande
2017
Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE GEOMETRIA
ANALI´TICA: VETORES
Instituto de Matema´tica, Estat´\u131stica e F´\u131sica - IMEF
Fab´\u131ola Aiub Sperotto
Daiane Silva de Freitas
site: www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico
i
Suma´rio
1 Vetores 1
1.1 Vetores e Escalares: Noc¸a\u2dco Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Operac¸o\u2dces entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Me´todos Geome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Propriedades da Adic¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Propriedades da multiplicac¸a\u2dco de um escalar por um
vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Expressa\u2dco Anal´\u131tica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Vetores no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Produtos de Vetores 30
2.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Definic¸a\u2dco do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Interpretac¸a\u2dco Geome´trica do Produto Escalar . . . . . 32
2.1.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.5 Vetor Projec¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.6 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Definic¸a\u2dco do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . 43
2.2.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.4 Interpretac¸a\u2dco Geome´trica do Produto Vetorial . . . . 46
2.2.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ii
2.3.1 Definic¸a\u2dco do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Propriedades do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.4 Interpretac¸a\u2dco Geome´trica do Produto Misto . . . . . . 51
2.3.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Gabaritos 59
3.1 Gabarito - Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Gabarito - Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A Estudo da Reta 63
A.1 Conceito de Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta . . . . . . . . . . . . 64
A.1.2 A Equac¸a\u2dco da Reta no plano . . . . . . . . . . . . . . 66
B Geometria 72
B.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B.1.1 A´rea de um paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B.1.2 A´rea de um tria\u2c6ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B.1.3 Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
C Fo´rmulas Trigonome´tricas 74
C.1 Fo´rmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
C.1.1 Definic¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
iii
Cap´\u131tulo 1
Vetores
1.1 Vetores e Escalares: Noc¸a\u2dco Intuitiva
As grandezas vetoriais, ou simplesmente vetores, sa\u2dco entes abstratos que
possuem mo´dulo (tambe´m chamado de comprimento ou magnitude), direc¸a\u2dco
e sentido. Alguns exemplos dessas grandezas sa\u2dco deslocamento, velocidade,
acelerac¸a\u2dco, forc¸a entre outros.
Sendo assim, essas grandezas sa\u2dco usadas por matema´ticos e cientistas
para lidar com quantidades que na\u2dco podem ser descritas ou representadas
por um u´nico nu´mero.
As grandezas escalares sa\u2dco representadas apenas por um nu´mero e uma
unidade, na\u2dco precisando ser especificado um sentido e uma direc¸a\u2dco. Tempe-
ratura, massa, trabalho sa\u2dco alguns exemplos destas grandezas. Os vetores
sa\u2dco representados, geometricamente, por segmentos de reta orientados (seg-
mentos de reta com um sentido de percurso), que podem ser representados
tanto no plano como no espac¸o.
Pela Figura 1.1, observamos o sentido do percurso do segmento orien-
tado, onde o ponto A e´ chamado de ponto inicial ou origem e a seta localizada
no outro extremo do segmento e´ o ponto final ou extremidade que nomeamos
de B. Desta forma, podemos representar o vetor como
\u2212\u2212\u2192
AB e usamos uma
seta acima das letras para indicar o sentido do percurso.
Assim, temos a ideia de deslocamento, ao lanc¸ar uma part´\u131cula do ponto
A para o ponto B, o seu deslocamento pode ser representado por um vetor
ligando os pontos inicial e final. E para determinarmos o deslocamento de
tal part´\u131cula precisamos conhecer o quanto ela se deslocou e tambe´m em que
direc¸a\u2dco ela se deslocou. Para isso precisamos ter uma ideia do conceito de
direc¸a\u2dco, como veremos a seguir.
1
1.1. VETORES E ESCALARES: NOC¸A\u2dcO INTUITIVA
Figura 1.1: Segmento orientado.
Direc¸a\u2dco: A direc¸a\u2dco de um segmento e´ da origem para a extremidade.
Dois segmentos orientados na\u2dco nulos te\u2c6m a mesma direc¸a\u2dco se as retas supor-
tes desses segmentos sa\u2dco paralelas ou se sa\u2dco coincidentes, conforme Figuras
1.2 e 1.3:
Figura 1.2: Segmentos orientados paralelos com mesma direc¸a\u2dco.
2
IMEF - FURG
1.2. VETOR
Figura 1.3: Segmentos paralelos de sentidos opostos e mesma direc¸a\u2dco.
Segmentos equipolentes: Dois segmentos orientados sa\u2dco equipolentes quando
te\u2c6m a mesma direc¸a\u2dco, mesmo sentido e mesmo comprimento. Conforme Fi-
gura 1.4.
Figura 1.4: Segmentos Equipolentes.
1.2 Vetor
Por definic¸a\u2dco, um vetor e´ um segmento de reta orientado, que em lin-
guagem habitual chamamos de seta. Cada vetor tem uma origem (tambe´m
denominada ponto inicial) e uma extremidade (tambe´m denominada ponto
terminal), sua direc¸a\u2dco e´ da origem para a extremidade. Invertendo a seta
obtemos um vetor com direc¸a\u2dco contra´ria. Observe a Figura 1.5:
3
IMEF - FURG
1.2. VETOR
Figura 1.5: Definic¸a\u2dco de vetor.
Notac¸a\u2dco:
\u2212\u2192
AB. O vetor tambe´m costuma ser indicado por letras minu´sculas
~v ou em negrito v, enta\u2dco ~v = B\u2212A. Ou algumas vezes por letras maiu´sculas
em negrito, por exemplo, F, para denotar forc¸a.
Quando escrevemos ~v =
\u2212\u2192
AB, significa que o vetor ~v e´ determinado pelo
segmento de reta orientado AB. Um mesmo vetor
\u2212\u2192
AB e´ determinado por
uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse ve-
tor. Assim, um segmento determina um conjunto que e´ o vetor, e qualquer
um destes representantes determina o mesmo vetor.
As caracter´\u131sticas de um vetor ~v sa\u2dco as mesmas de qualquer um de seus
representantes, isto e´: o mo´dulo, a direc¸a\u2dco e o sentido do vetor sa\u2dco o mo´dulo,
direc¸a\u2dco e o sentido de qualquer um de seus representantes. Conforme a
Figura 1.6.
Figura 1.6: Representantes do vetor ~u.
Vetores iguais: Dois vetores
\u2212\u2192
AB e
\u2212\u2192
CD sa\u2dco iguais se, e somente se,
\u2212\u2192
AB=
\u2212\u2192
CD. Ou se, ~u =
\u2212\u2192
AB e ~v =
\u2212\u2192
CD, enta\u2dco ~u = ~v.
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IMEF - FURG
1.2. VETOR
Vetor Nulo: Qualquer ponto do espac¸o e´ representante do vetor zero ou
vetor nulo, e e´ indicado por ~0