Notas de Aula de Geometria Analítica: Vetores

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE - FURG
INSTITUTO DE MATEMA´TICA, ESTATI´STICA E
FI´SICA - IMEF
FABI´OLA AIUB SPEROTTO
DAIANE SILVA DE FREITAS
NOTAS DE AULA DE GEOMETRIA
ANALI´TICA: VETORES
1◦ Edic¸a˜o
Rio Grande
2017
Universidade Federal do Rio Grande - FURG
NOTAS DE AULA DE GEOMETRIA
ANALI´TICA: VETORES
Instituto de Matema´tica, Estat´ıstica e F´ısica - IMEF
Fab´ıola Aiub Sperotto
Daiane Silva de Freitas
site: www.lemas.furg.br/index.php/material-didatico
i
Suma´rio
1 Vetores 1
1.1 Vetores e Escalares: Noc¸a˜o Intuitiva . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Operac¸o˜es entre Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1 Me´todos Geome´tricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3 Propriedades da Adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.4 Propriedades da multiplicac¸a˜o de um escalar por um
vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Vetores no Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.1 Expressa˜o Anal´ıtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5 Vetores no Espac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5.1 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.6 Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Produtos de Vetores 30
2.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.1 Definic¸a˜o do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . 30
2.1.2 Propriedades do Produto Escalar . . . . . . . . . . . . 31
2.1.3 Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Escalar . . . . . 32
2.1.4 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.5 Vetor Projec¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.1.6 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1 Definic¸a˜o do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 Propriedades do Produto Vetorial . . . . . . . . . . . 43
2.2.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2.4 Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Vetorial . . . . 46
2.2.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ii
2.3.1 Definic¸a˜o do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3.2 Propriedades do Produto Misto . . . . . . . . . . . . . 50
2.3.3 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3.4 Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Misto . . . . . . 51
2.3.5 Agora tente resolver! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.4 Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Gabaritos 59
3.1 Gabarito - Lista 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.2 Gabarito - Lista 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
A Estudo da Reta 63
A.1 Conceito de Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . 63
A.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta . . . . . . . . . . . . 64
A.1.2 A Equac¸a˜o da Reta no plano . . . . . . . . . . . . . . 66
B Geometria 72
B.1 Geometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B.1.1 A´rea de um paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B.1.2 A´rea de um triaˆngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
B.1.3 Tetraedro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
C Fo´rmulas Trigonome´tricas 74
C.1 Fo´rmulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
C.1.1 Definic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
iii
Cap´ıtulo 1
Vetores
1.1 Vetores e Escalares: Noc¸a˜o Intuitiva
As grandezas vetoriais, ou simplesmente vetores, sa˜o entes abstratos que
possuem mo´dulo (tambe´m chamado de comprimento ou magnitude), direc¸a˜o
e sentido. Alguns exemplos dessas grandezas sa˜o deslocamento, velocidade,
acelerac¸a˜o, forc¸a entre outros.
Sendo assim, essas grandezas sa˜o usadas por matema´ticos e cientistas
para lidar com quantidades que na˜o podem ser descritas ou representadas
por um u´nico nu´mero.
As grandezas escalares sa˜o representadas apenas por um nu´mero e uma
unidade, na˜o precisando ser especificado um sentido e uma direc¸a˜o. Tempe-
ratura, massa, trabalho sa˜o alguns exemplos destas grandezas. Os vetores
sa˜o representados, geometricamente, por segmentos de reta orientados (seg-
mentos de reta com um sentido de percurso), que podem ser representados
tanto no plano como no espac¸o.
Pela Figura 1.1, observamos o sentido do percurso do segmento orien-
tado, onde o ponto A e´ chamado de ponto inicial ou origem e a seta localizada
no outro extremo do segmento e´ o ponto final ou extremidade que nomeamos
de B. Desta forma, podemos representar o vetor como
−−→
AB e usamos uma
seta acima das letras para indicar o sentido do percurso.
Assim, temos a ideia de deslocamento, ao lanc¸ar uma part´ıcula do ponto
A para o ponto B, o seu deslocamento pode ser representado por um vetor
ligando os pontos inicial e final. E para determinarmos o deslocamento de
tal part´ıcula precisamos conhecer o quanto ela se deslocou e tambe´m em que
direc¸a˜o ela se deslocou. Para isso precisamos ter uma ideia do conceito de
direc¸a˜o, como veremos a seguir.
1
1.1. VETORES E ESCALARES: NOC¸A˜O INTUITIVA
Figura 1.1: Segmento orientado.
Direc¸a˜o: A direc¸a˜o de um segmento e´ da origem para a extremidade.
Dois segmentos orientados na˜o nulos teˆm a mesma direc¸a˜o se as retas supor-
tes desses segmentos sa˜o paralelas ou se sa˜o coincidentes, conforme Figuras
1.2 e 1.3:
Figura 1.2: Segmentos orientados paralelos com mesma direc¸a˜o.
2
IMEF - FURG
1.2. VETOR
Figura 1.3: Segmentos paralelos de sentidos opostos e mesma direc¸a˜o.
Segmentos equipolentes: Dois segmentos orientados sa˜o equipolentes quando
teˆm a mesma direc¸a˜o, mesmo sentido e mesmo comprimento. Conforme Fi-
gura 1.4.
Figura 1.4: Segmentos Equipolentes.
1.2 Vetor
Por definic¸a˜o, um vetor e´ um segmento de reta orientado, que em lin-
guagem habitual chamamos de seta. Cada vetor tem uma origem (tambe´m
denominada ponto inicial) e uma extremidade (tambe´m denominada ponto
terminal), sua direc¸a˜o e´ da origem para a extremidade. Invertendo a seta
obtemos um vetor com direc¸a˜o contra´ria. Observe a Figura 1.5:
3
IMEF - FURG
1.2. VETOR
Figura 1.5: Definic¸a˜o de vetor.
Notac¸a˜o:
−→
AB. O vetor tambe´m costuma ser indicado por letras minu´sculas
~v ou em negrito v, enta˜o ~v = B−A. Ou algumas vezes por letras maiu´sculas
em negrito, por exemplo, F, para denotar forc¸a.
Quando escrevemos ~v =
−→
AB, significa que o vetor ~v e´ determinado pelo
segmento de reta orientado AB. Um mesmo vetor
−→
AB e´ determinado por
uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse ve-
tor. Assim, um segmento determina um conjunto que e´ o vetor, e qualquer
um destes representantes determina o mesmo vetor.
As caracter´ısticas de um vetor ~v sa˜o as mesmas de qualquer um de seus
representantes, isto e´: o mo´dulo, a direc¸a˜o e o sentido do vetor sa˜o o mo´dulo,
direc¸a˜o e o sentido de qualquer um de seus representantes. Conforme a
Figura 1.6.
Figura 1.6: Representantes do vetor ~u.
Vetores iguais: Dois vetores
−→
AB e
−→
CD sa˜o iguais se, e somente se,
−→
AB=
−→
CD. Ou se, ~u =
−→
AB e ~v =
−→
CD, enta˜o ~u = ~v.
4
IMEF - FURG
1.2. VETOR
Vetor Nulo: Qualquer ponto do espac¸o e´ representante do vetor zero ou
vetor nulo, e e´ indicado por ~0ou
−→
AA isto e´, a origem coincide com a extre-
midade. Este vetor na˜o possui direc¸a˜o e sentidos definidos.
Vetores Opostos: Pela Figura 1.7 observamos que o vetor
−→
A1B1, e´ o ve-
tor oposto de
−→
AB e, podemos indicar por -
−→
A1B1.
Figura 1.7: Vetores opostos.
Vetor Unita´rio: Um vetor ~v e´ unita´rio se, seu mo´dulo (ou comprimento)
for igual a 1, isto e´, |~v| = 1. Por exemplo, os vetores da base canoˆnica
padra˜o no espac¸o (R3) dados por: ~i=(1,0,0), ~j=(0,1,0) e ~k=(0,0,1) sa˜o ve-
tores unita´rios.
Versor: Versor de um vetor na˜o nulo ~v e´ o vetor unita´rio de mesma
direc¸a˜o e mesmo sentido de ~v. Sempre que ~v 6= 0, seu comprimento na˜o e´
zero.
~u =
∣∣∣∣ 1|~v|
∣∣∣∣ = 1|~v|~v = 1
Conclui-se que ~u =
~v
|~v| , e´ um vetor unita´rio na direc¸a˜o de ~v chamado
versor do vetor na˜o-nulo ~v.
Por exemplo, tomemos um vetor ~v de mo´dulo 3, ~|v| = 3.
~v
-| |
- ~u
ff −~u
5
IMEF - FURG
1.3. OPERAC¸O˜ES ENTRE VETORES
O vetor ~u que tem o mesmo sentido de ~v e´ chamado versor de ~v.
Vetores Colineares: Dois vetores ~u e ~v sa˜o colineares se tiverem a mesma
direc¸a˜o. Sendo assim, ~u e ~v sa˜o colineares se tiverem representantes AB e
CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas.
Figura 1.8: Vetores colineares.
Vetores Coplanares: Se os vetores na˜o nulos ~u, ~v e ~w (na˜o importa o
nu´mero de vetores) possuem representantes EF , HG e IJ pertencentes a
um mesmo plano pi, diz-se que eles sa˜o coplanares.
Figura 1.9: Vetores coplanares.
Dois vetores ~u e ~v quaisquer sa˜o sempre coplanares, pois podemos sempre
tomar um ponto no espac¸o e, com origem nele, imaginar os dois represen-
tantes de ~u e ~v pertencendo a um plano pi que passa por este ponto.
Ja´ no caso de treˆs vetores, esses podera˜o ou na˜o ser coplanares.
1.3 Operac¸o˜es entre Vetores
Duas operac¸o˜es que envolvem vetores sa˜o a adic¸a˜o de vetores e a multi-
plicac¸a˜o por escalar. Como ainda na˜o estamos trabalhando com a expressa˜o
6
IMEF - FURG
1.3. OPERAC¸O˜ES ENTRE VETORES
anal´ıtica de um vetor, vamos aprender dois me´todos geome´tricos para rea-
lizar as operac¸o˜es entre vetores.
1.3.1 Me´todos Geome´tricos
- Me´todo da Triangulac¸a˜o: Consiste em colocar a origem do segundo ve-
tor coincidente com a extremidade do primeiro vetor e o vetor soma (resul-
tante) e´ o que fecha o triaˆngulo (origem coincide com a origem do primeiro,
extremidade coincide com a extremidade do segundo).
Figura 1.10: Me´todo da Triangulac¸a˜o.
- Me´todo do Paralelogramo: Consiste em colocar a origem dos dois ve-
tores coincidentes e construir o paralelogramo. O vetor soma e´ a diagonal
cuja origem coincide com a origem dos dois vetores. A outra diagonal e´ a
diferenc¸a entre os vetores.
Figura 1.11: Me´todo do paralelogramo.
7
IMEF - FURG
1.3. OPERAC¸O˜ES ENTRE VETORES
1.3.2 Agora tente resolver!
1. Usando os me´todos anteriores, copie os vetores ~u, ~v, ~w o que for ne-
cessa´rio para esboc¸ar os vetores resultantes abaixo:
a) ~u+ ~v + ~t
b) ~u− ~t+ ~w
c) ~u+ ~v + ~w
d) ~u− ~w + ~t
2. Dados os vetores ~u, ~v, ~w, de acordo com a figura, construir o vetor
~t = 3~u− 2~w + 1
2
~v.
8
IMEF - FURG
1.3. OPERAC¸O˜ES ENTRE VETORES
Observac¸a˜o:
1. Quando os vetores tem o mesmo sentido:
2. Quando os vetores tem sentidos opostos:
1.3.3 Propriedades da Adic¸a˜o
Sendo ~u, ~v e ~w vetores quaisquer, a adic¸a˜o, admite as seguintes propri-
edades:
• Comutativa: ~u+ ~v = ~v + ~u
9
IMEF - FURG
1.3. OPERAC¸O˜ES ENTRE VETORES
Figura 1.12: Propriedade Comutativa.
• Associativa: (~u+ ~v) + ~w = ~u+ (~v + ~w)
Figura 1.13: Propriedade Associativa.
• Elemento neutro: ~u+~0 = ~u
• Elemento oposto (ou sime´trico): ~u+ (−~u) = 0
se ~u =
−→
AB, o seu sime´trico e´
−→
BA e escrevemos
−→
AB= −
−→
BA ou ~u = −~u
A diferenc¸a entre os vetores ~u e ~v, e´ definida como soma de ~u com o
oposto de ~v, ~u+ (−~v) = ~u− ~v.
Multiplicac¸a˜o de um nu´mero real por um vetor: Dado um vetor na˜o nulo
~v e um nu´mero real a 6= 0 chama-se produto do nu´mero real a pelo vetor ~v,
o vetor a~v tal que:
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IMEF - FURG
1.3. OPERAC¸O˜ES ENTRE VETORES
• Mo´dulo: |a~v| = |a||~v|.
-O vetor tem comprimento a vezes o comprimento de ~v.
• Direc¸a˜o: a~v e´ paralelo a ~v.
-Isto e´, tem a mesma direc¸a˜o de ~v.
• Sentido: a~v e ~v tem o mesmo sentido se a > 0, e contra´rio se a < 0.
-Se a = 0 ou ~v = 0 enta˜o a~v = 0, ou se a > 1 podemos dizer que dilata
o vetor, ou se 0 < a < 1 podemos dizer que contrai o vetor.
Observe que se o escalar a percorrer todo o conjunto R dos nu´meros
reais, podemos obter todos os infinitos vetores colineares a um dado vetor
~u. Enta˜o, significa que qualquer um deles e´ mu´ltiplo escalar (real) do outro,
neste caso ~u = a~v.
1.3.4 Propriedades da multiplicac¸a˜o de um escalar por um
vetor
Considere ~v e ~u vetores e a, b ∈ R, temos:
i. a(b~v)=(ab)~v - Associativa
ii. (a+b)~v=a~v+b~v - Distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de escalares.
iii. a(~u+~v)=a~u+a~v - Distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o de vetores.
iv. 1~v=~v - Identidade.
Por exemplo: Para a=2, temos, pela propriedade iii:
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IMEF - FURG
1.3. OPERAC¸O˜ES ENTRE VETORES
�
�
��
~u
-~v
��
��
��
���1
~u+ ~v�
�
�
�
�
��
2~u
-2~v
��
��
��
��
��
��
��
��
��1
2~u+ 2~v
Aˆngulo entre vetores: E´ o aˆngulo formado por duas semi-retas OA e OB
de mesma origem O, este aˆngulo e´ indicado por θ.
1. Se ~u ‖ ~v e teˆm mesmo sentido e direc¸a˜o, enta˜o θ = 0.
-~u
-~v
2. Se eles teˆm sentidos contra´rios, enta˜o θ = pi.
ff ~u
-~v
3. Se θ = pi/2, os vetores sa˜o ortogonais.
6
~v -
~u
Observac¸a˜o:O vetor nulo e´ considerado ortogonal a qualquer vetor.
Exemplo 1.
12
IMEF - FURG
1.3. OPERAC¸O˜ES ENTRE VETORES
Figura 1.14: Exemplos de aˆngulos entre vetores.
1.3.5 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u,~v e ~w, da figura abaixo, construir os vetores:
a) ~x = 2~u− 13~v
b) ~r = 12~v − w + 23~u
2. Dada a figura a seguir, onde M,N e P sa˜o os pontos me´dios de AB,
BC, CA, respectivamente, represente os vetores
−−→
BP,
−−→
AN e
−−→
CM em
func¸a˜o de
−−→
AB e
−→
AC.
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IMEF - FURG
1.4. VETORES NO PLANO
1.4 Vetores no Plano
1.4.1 Expressa˜o Anal´ıtica
De modo geral, dados dois vetores ~v1 e ~v2 quaisquer na˜o colineares,
partindo de um mesmo ponto de origem, um vetor ~v, representado no mesmo
plano, e dados uma dupla de nu´meros reais a1 e a2, podemos representar o
vetor como
~v = a1~v1 + a2~v2.
Quando isto acontece, podemos dizer que o vetor ~v pode ser escrito como
combinac¸a˜o linear de ~v1 e ~v2. E o conjunto B formado pelos vetores
{~v1, ~v2} e´ chamado de base do plano.
Os nu´meros a1 e a2 sa˜o chamados de componentes ou coordenadas do
vetor ~v na base B. As bases mais utilizadas sa˜o as bases ortonormais.
Uma base representada por {e1, e2} e´ ortonormal, se seus vetores e1 e e2 sa˜o
perpendiculares e unita´rios, isto e´, |~e1| = |~e2| = 1.
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os vetores do
plano sempre podera˜o ser escritos como uma combinac¸a˜o linear de vetores
{~i,~j} que formam uma base ortonormal no plano xOy. A base {~i,~j} tambe´m
e´ conhecida como base canoˆnica. A direc¸a˜o do vetor ~i indica o sentido
positivo do eixo Ox e a direc¸a˜o do vetor ~j a direc¸a˜o do sentido positivo do
eixo Oy, ja´ que suas coordenadas sa˜o respectivamente ~i = (1,0) e ~j = (0,1).
Observac¸a˜o: Qualquer vetor ~v = (a1,a2) pode ser escrito como uma
combinac¸a˜o linear dos vetores da base em R2:
~v = (a1,a2) = (a1,0) + (0,a2) = a1(1,0) + a2(0,1) = a1~i+ a2~j
Desta forma, o par (x,y) e´ chamado de expressa˜o anal´ıtica do vetor ~v. E,
fixada a base {~i,~j}, fica estabelecida uma correspondeˆncia biun´ıvoca entre
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IMEF- FURG
1.4. VETORES NO PLANO
os vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de nu´meros reais. Assim, a
cada vetor ~v do plano associamos um par (x,y) de nu´meros reais que sa˜o
suas componentes na base dada.
Figura 1.15: Vetores da base canoˆnica do plano cartesiano.
Um vetor no plano e´ um par ordenado (x,y) de nu´meros reais onde:
x e´ a primeira componente, e e´ chamada abscissa de ~v,
y e´ a segunda componente, e e´ chamada ordenada de ~v.
Para as operac¸o˜es alge´bricas de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o de um vetor por
um escalar sa˜o va´lidas as propriedades vistas anteriormente (comutativa,
associativa, elemento neutro, elemento oposto, distributivas em relac¸a˜o a
adic¸a˜o de vetores e a adic¸a˜o de escalares).
Igualdade de vetores: ~v = (x1,y1), e ~j = (x2,y2), sa˜o iguais se x1 =
x2, y1 = y2 (coordenadas correspondentes iguais).
Vetor definido por dois pontos: Dado o vetor
−→
AB onde a origem e´ o
ponto A(x1,y1) e extremidade B(x2,y2), onde
−→
OA= (x1,y1), e
−→
OB= (x2,y2),
enta˜o:
−→
AB=
−→
OB −
−→
OA= (x2,y2)− (x1,y1) = (x2 − x1,y2 − y1)
Exemplo 2. Dados os pontos A(5,3) e B(2,7) determine o vetor −→v = −−→AB.
Soluc¸a˜o:
−→
AB=B −A = (2,7)− (5,3) = (−3,4).
15
IMEF - FURG
1.4. VETORES NO PLANO
Figura 1.16: Vetor dados dois pontos.
Observac¸a˜o: lembre-se que um vetor tem infinitos representantes que
sa˜o os segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direc¸a˜o e mesmo
sentido. Dentre os infinitos representantes do vetor
−→
AB , o que melhor repre-
senta e´ aquele que tem origem emO(0,0) e extremidade em P (x2−x1,y2−y1).
O vetor ~v =
−→
AB e´ o vetor posic¸a˜o ou representante natural de
−→
AB .
Operac¸o˜es:
• Adic¸a˜o: ~u+ ~v = (x1 + x2,y1 + y2) = (x2 + x1,y2 + y1) = ~v + ~u
Exemplo 3. Se ~u = (1,2) e ~v = (−2,2), enta˜o:
~u+ ~v = (1,2) + (−2,2) = (1 + (−2),2 + 2) = (−1,4)
16
IMEF - FURG
1.4. VETORES NO PLANO
Figura 1.17: Adic¸a˜o de vetores.
• Multiplicac¸a˜o de um vetor por um escalar:
α~u = (αx1,αy1)
Exemplo 4. Se α = 2, enta˜o:
α~u = 2(1,2) = (2,4)
• −~u = (−1)~u = (−x1,− y1)
Exemplo 5.
−~u = −(1,2) = (−1,− 2)
• ~u− ~v = (x1 − x2,y1 − y2)
Exemplo 6. ~u− ~v = (1,2)− (−2,3) = (1− (−2),2− 3) = (3,− 1)
Mo´dulo de um vetor: O mo´dulo ou comprimento do vetor ~v = (a,b) e´
um nu´mero real na˜o negativo, definido por:
|~u| = √a2 + b2
Isso e´ facilmente demonstrado pelo Teorema de Pita´goras.
Pela Figura 1.18, percebemos que aplicando o teorema de Pita´goras:
|~u|2 = a2 + b2, onde os catetos a e b do triaˆngulo sa˜o as coordenadas do
vetor no plano e a hipotenusa c e´ exatamente a medida do vetor ~u.
Logo, |~u| = √a2 + b2.
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IMEF - FURG
1.4. VETORES NO PLANO
Figura 1.18: Comprimento de um vetor.
Exemplo 7. Encontre as componentes e o mo´dulo (ou comprimento) do
vetor de origem A(−3,4) e extremidade B(−5,2).
Soluc¸a˜o:
~v =
−→
AB= B −A = (−5,2)− (−3,4) = (−2,− 2)
|
−→
AB | = √(−2)2 + (−2)2 = √8 = 2√2u.c.
1.4.2 Agora tente resolver!
1. Sejam ~u = (3,− 2) e ~v = (−2,5) encontre as componentes dos vetores:
a) 3~u
b) ~u+ ~v
c) 2~u− 3~v
d) 35~u+
4
5~v
2. Sendo A(1, − 2), B(2,1), C(3,2), D(−2,3) decompor os vetores −−→BD e−−→
AD +
−−→
DC tomando como base os vetores
−−→
AB e
−→
AC.
Condic¸a˜o de Paralelismo de dois vetores: Dois vetores ~u = (x1,y1),
e ~v = (x2,y2), sa˜o paralelos se, ~u = α~v, ou seja o vetor ~u e´ mu´ltiplo escalar de
~v. Portanto, (x1,y1) = α(x2,y2), que pela condic¸a˜o de igualdade x1 = αx2,
e y1 = αy2, temos
x1
x2
=
y1
y2
(= α)
Assim, dois vetores sa˜o paralelos quando suas componentes forem pro-
porcionais.
18
IMEF - FURG
1.4. VETORES NO PLANO
Exemplo 8. Os vetores ~u = (12,8) e ~v = (6,4) sa˜o paralelos pois,
12
6
=
8
4
= 2 = α.
~u = 2~v.
Exemplo 9. Dados ~u = (3,2), ~v = (−1,4). Encontre ~w na igualdade:
4~w − (~u+ 2~v) = 3(~w − 2~u)
Soluc¸a˜o:
4~w − (~u+ 2~v) = 3(~w − 2~u)
4~w − ~u− 2~v = 3~w − 6~u
4~w − 3~w = −6~u+ ~u+ 2~v
~w = −5~u+ 2~v
~w = −5(3,2) + 2(−1,4)
~w = (−15,− 10) + (−2,8)
~w = (−17,− 2)
1.4.3 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u = (2,− 4), ~v = (−5,1) e ~w = (−12,6). Determinar
a1, a2 tais que ~w = a1~u+ a2~v.
2. Marcar os seguintes pontos no plano cartesianoA(6,2), B(8,6), C(4,8), D(2,4)
e responder as seguintes questo˜es:
a) O vetor
−−→
AB e´ ortogonal ao vetor
−−→
CD? Justifique.
b) O vetor
−−→
DA e´ paralelo ao vetor
−−→
BC?
3. Determine o ponto C tal que
−→
AC = 3
−−→
AB sendo A(0,− 4) e B(1,2).
4. Verdadeiro ou Falso:
a) Se ~u = ~v enta˜o |~u| = |~v|.
b) Se |~u| = |~v| enta˜o ~u = ~v.
c) Se ~u ‖ ~v enta˜o ~u = ~v.
5. Dados os vetores −→u = (4,5) e −→v = (3,4), calcular −→u + −→v , 2−→u e 2−→v .
Fac¸a a representac¸a˜o geome´trica dos vetores resultantes no plano.
19
IMEF - FURG
1.4. VETORES NO PLANO
6. Para resolver o pro´ximo exerc´ıcio, lembrar das seguintes notac¸o˜es:
- (⊥) - Condic¸a˜o de perpendicularismo - aˆngulo e´ igual a 90◦.
- (‖) - Condic¸a˜o de paralelismo.
A figura abaixo representa um retaˆngulo. Decidir se e´ verdadeira ou
falsa cada uma das afirmac¸o˜es:
a)
−→
AF⊥
−→
CB
b)
−→
BA‖
−→
CA
c)
−→
AD⊥
−→
DF
d)
−→
AF=
−→
EC
Aplicac¸o˜es
Exemplo 10. Considere o vetor ~v = ~i + 2~j, um vetor velocidade, vamos
escrever a velocidade como uma multiplicac¸a˜o do escalar |~v| por um vetor
unita´rio na direc¸a˜o e no sentido do movimento.
Soluc¸a˜o:
O mo´dulo do vetor ~v e´ o seu comprimento, enta˜o
|~v| =
√
12 + 22 =
√
5.
O vetor
~v
|~v| (versor de ~v) tem a mesma direc¸a˜o do vetor velocidade, e ale´m
disso, e´ um vetor unita´rio, portanto
~v
|~v| =
~i+ 2~j√
12 + 22
=
1~i√
5
+
2~j√
5
~v =~i+ 2~j =
√
5
(
1~i√
5
,
2~j√
5
)
.
20
IMEF - FURG
1.4. VETORES NO PLANO
Observe que
√
5 e´ o comprimento do vetor e
(
1~i√
5
,
2~j√
5
)
e´ a direc¸a˜o do
movimento.
Sendo assim, mostramos que e´ poss´ıvel expressar qualquer vetor na˜o nulo
em termos de suas caracter´ısticas: mo´dulo e direc¸a˜o escrevendo: ~v = |~v| ~v|~v| .
Exemplo 11. Suponha que uma pessoa esta´ puxando uma caixa por uma
alc¸a cuja forc¸a de magnitude e´ de |~F | = 8lb, que forma um aˆngulo de 45◦
com a superf´ıcie horizontal. Encontre as componentes do vetor ~F = (a,b).
Soluc¸a˜o:
|~F | = (8cos(45◦),8sen(45◦))
|~F | = (8
√
2
2
,8
√
2
2
)
|~F | = (4
√
2,4
√
2).
Exemplo 12. Uma pessoa puxa um carrinho ao longo de uma superf´ıcie
horizontal lisa com uma forc¸a |~F | de 30lb que forma um aˆngulo de 30◦ com
a superf´ıcie. Qual e´ a forc¸a efetiva que move o carrinho para frente?
Soluc¸a˜o:
Observe que neste caso a forc¸a efetiva e´ a componente horizontal de |~F | =
(a,b). Assim,
a = |~F |cos(30◦) = 30
√
3
2
= 15
√
3 ' 25,98lb.
21
IMEF - FURG
1.5. VETORES NO ESPAC¸O
1.5 Vetores no Espac¸o
O produto cartesiano R× R× R ou R3 e´ o conjunto
R3 = {(x,y,z)/x,y,z ∈ R}
e sua representac¸a˜o geome´trica e´ o espac¸o cartesiano determinado pelos treˆs
eixos cartesianos Ox,Oy e Oz, ortogonais dois a dois.
Portanto, x, y, z formam o sistema cartesiano ortogonal Oxyz. Um
vetor −→v pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos vetores da base or-
tonormal representados por {~i,~j,~k}, onde, ~i = (1,0,0), ~j = (0,1,0) e ~k =
(0,0,1), estes vetores sa˜o representados com a origem no mesmo ponto O.
Assim, temos:
• O eixo dos x ou eixo das abscissas corresponde a reta com direc¸a˜o do
vetor ~i.
• O eixo dos y ou eixo da ordenadas corresponde a reta com direc¸a˜o do
vetor ~j.
• O eixo dos z ou eixo das cotas corresponde a reta com direc¸a˜o do vetor
~k
Figura 1.19: Representac¸a˜o do Espac¸o Tridimensional.
Observac¸a˜o 1: Representac¸a˜o da base e´ no sentido positivo.Esta base
obedece a` regra da Ma˜o direita.
A base canoˆnica representada pelo conjunto B = {~i,~j,~k} e´ formada por
22
IMEF - FURG
1.5. VETORES NO ESPAC¸O
Figura 1.20: Base Ortonormal.
vetores unita´rios, portanto |~i| = |~j| = |~k| = 1, e dois a dois ortogonais com
origem em O.
O vetor
~v = x~i+ y~j + z~k
tambe´m pode ser expresso por ~v = (x,y,z) que e´ a expressa˜o anal´ıtica de ~v.
Exemplo 13. ~v = 2~i− 3~j + ~k=(2,-3,1)
Figura 1.21: Vetor.
23
IMEF - FURG
1.5. VETORES NO ESPAC¸O
Observac¸a˜o 2: Nos eixos coordenados em R3 cada dupla de eixos de-
termina um plano:
a) o plano xOy ou simplesmente xy;
b) o plano xOz ou xz;
c) o plano yOz ou yz.
Figura 1.22: Planos coordenados.
Estes treˆs planos dividem o espac¸o em oito partes, chamadas de octantes:
1. Primeiro octante: (x,y,z)
2. Segundo octante: (−x,y,z)
3. Terceiro octante: (−x,− y,z)
4. Quarto octante: (x,− y,z)
5. Quinto octante: (x,y,− z)
6. Sexto octante: (−x,y,− z)
7. Se´timo octante: (−x,− y,− z)
8. Oitavo octante: (x,− y,− z)
Observac¸a˜o 3: Para marcar um ponto no espac¸o tridimensional, trac¸amos
pelo ponto P planos paralelos aos planos coordenados formando um para-
lelip´ıpedo retaˆngulo, a intersec¸a˜o destes planos forma a terna (a,b,c) de
nu´meros reais, chamadas coordenadas de P .
24
IMEF - FURG
1.5. VETORES NO ESPAC¸O
Na pra´tica, tambe´m podemos marcar um ponto P ′(x,y,0) no plano xy
e deslocamos este ponto paralelamente ao eixo z tantas unidades para cima
se z for positivo ou para baixo caso seja negativo. No gra´fico a seguir, por
exemplo, A1(3,5,0) e A(3,5,4), marcamos A1 no plano xy e deslocamos 4
unidades para cima no sentido do eixo z positivo.
Figura 1.23: Pontos no espac¸o tridimensional.
Observem que as operac¸o˜es entre vetores, definic¸a˜o de vetor dados dois
pontos, definic¸a˜o de ponto me´dio, mo´dulo sa˜o ana´logas a`s vistas no plano.
Exemplo 14. Dados os pontos P = (2,−3,4) e Q = (4,5,2), calcule o ponto
me´dio.
Soluc¸a˜o: M e´ o ponto me´dio entre P e Q, enta˜o M = (2+42 ,
−3+5
2 ,
4+2
2 ) =
(3,1,3)
Exemplo 15. Calcule o mo´dulo do vetor
−→
PQ, onde P e Q sa˜o os pontos
do exemplo anterior.
Soluc¸a˜o:
−→
PQ= Q− P = (4,5,2)− (2,− 3,4) = (2,8,− 2)
|−−→PQ| =
√
22 + 82 + (−2)2 = √4 + 64 + 4 =
√
72 = 6
√
2
Exemplo 16. Dados os vetores ~u = (1,0,3), ~v = (2,2, − 2) e ~w = (−4,0,4)
verificar se existem nu´meros a1, a2, a3 tais que:
25
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1.5. VETORES NO ESPAC¸O
(−4,− 10,6) = a1~u+ a2~v + a3 ~w
Soluc¸a˜o:
(−4,− 10,6) = a1(1,0,3) + a2(2,2,− 2) + a3(−4,0,4)
(−4,− 10,6) = (a1,0,3a1) + (2a2,2a2,− 2a2) + (−4a3,0,4a3)
(−4,− 10,6) = (a1 + 2a2 − 4a3,2a2,3a1 − 2a2 + 4a3)
a1 + 2a2 − 4a3 = −4
2a2 = −10
3a1 − 2a2 + 4a3 = 6
Resolvendo o sistema chegamos em: a1 =
1
2
, a2 = −5 e a3 = −11
8
.
Condic¸a˜o de Paralelismo: Dois vetores ~u = (x1,y1,z1) e ~v = (x2,y2,z2)
sa˜o paralelos se ~u = k~v, onde k ∈ R, e
(x1,y1,z1) = k(x2,y2,z2)
(x1,y1,z1) = (kx2,ky2,kz2)
Mas, pela definic¸a˜o de igualdade: x1 = kx2, y1 = ky2, z1 = kz2, ou:
x1
x2
=
y1
y2
=
z1
z2
= k
Sendo assim, se suas componentes forem proporcionais enta˜o os vetores
sa˜o paralelos.
Exemplo 17. Dados os vetores ~u = (−2,3, − 4), ~v = (−4,6, − 8) sa˜o
paralelos?
Soluc¸a˜o:
−2
−4 =
3
6
=
−4
−8 =
1
2
~u =
1
2
~v.
Logo, eles sa˜o paralelos.
26
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1.6. LISTA 1
1.5.1 Agora tente resolver!
1. Sendo ~u = 2~i− 3~j + 6~k, determinar |~u|.
2. Determinar z tal que o vetor ~v = (1,− 2,z) tenha mo´dulo igual a 3.
3. Se ~w = (k,k,k) e´ um vetor unita´rio, determinar k.
4. Se ~c = (2,1, − 3) e ~d = (m,n, − 9), determinar m e n tal que ~c seja
paralelo a ~d.
5. Trac¸ar os triaˆngulos de ve´rtices:
(a) A(3,5,5), B(5,7,0), C(0,7,3).
(b) A(6,− 5,4), B(2,− 2,5), C(5,− 4,0).
1.6 Lista 1
1. Determine o vetor −→w , sabendo que 2(−→u + 3−→w ) +−→v = 2−→v −−→w , onde−→u = (6,4) e −→v = (3,− 2).
2. Sabendo que 2−→u + −→v = (13,4, − 1), determinar a, b e c, sendo −→u =
(2,− 1,c),−→v = (a,b− 2,3).
3. Nos itens abaixo encontre os seguintes vetores e represente os vetores
resultantes no gra´fico:
(a) Dados os pontos O(0,0), A(3,6), B(4, − 8), C(−1,3), determine−→
OA,
−−→
AB,
−−→
CB,
−→
OA+
−−→
CB,
−−→
AB −−→OA.
(b) Dados os pontosO(0,0,0), A(2,3,4), B(−1,1,3), C(3,2,1), determine−→
OA,
−−→
BC,
−→
OA+
−−→
CB.
4. Dados os vetores −→u = (1, − 1,5),−→v = (2,4, − 1),−→w = (3, − 2),−→t =
(5,7), determine os seguintes mo´dulos:
a. |−→u |
b. |−→v |
c. |−→w |
d. |−→t |
e. E´ poss´ıvel calcular |−→u +−→w |?
5. Dados os vetores −→u = (0,1,2),−→v = (−2,4,− 6), calcule:
a. |−→u +−→v |
b. |−→u − 3−→v |
27
IMEF - FURG
1.6. LISTA 1
6. Sabendo que −→u = (2,a − 1,6),−→v = (c,2,4b), determinar a, b e c, tal
que 3−→u +−→v = −→O.
7. Representar no gra´fico os vetores:
(a) No R2: represente os vetores
−−→
AB correspondentesA(6,−10), B(4,5);
A(10,3), B(−2,− 1); A(3,3), B(6,− 2).
(b) No R3: represente:
−−→
AB = (3,4,5),
−−→
CD = (−4,6,− 9),−−→EF = (3,−
4,7),
−−→
GH = (4,4,− 6).
8. Apresentar o vetor gene´rico que satisfaz a condic¸a˜o:
(a) Representado no eixo dos y.
(b) Paralelo ao plano xz.
(c) Ortogonal ao eixo dos x.
(d) Ortogonal ao plano yz.
9. Suponha que A,B e C sejam os ve´rtices de um placa triangular onde
A(4,2,0), B(1,3,0) e C(1,1,3) enta˜o:
(a) fac¸a um esboc¸o da placa triangular.
(b) encontre o vetor com origem no ve´rtice C e extremidade no ponto
me´dio do lado AB.
(c) encontre o vetor com origem no ve´rtice C cujo comprimento e´
dois terc¸os do vetor do item anterior.
10. Uma reta no plano tem equac¸a˜o r : y = 6x + 2. Determine um vetor
paralelo a reta r.
11. Encontre as coordenadas da extremidade de um segmento orientado
que representa o vetor ~u = (4,5,− 2), sabendo que a origem e´ o ponto
A(3,6,9).
12. Uma part´ıcula foi lanc¸ada do ponto inicial A(4, − 3,6), no espac¸o e
tem como ponto final B(6,8,5). Encontre o vetor que representa o
deslocamento da part´ıcula e determine seu mo´dulo.
13. Encontre as coordenadas do ponto A′ sime´trico ao ponto A(4,3,2) em
relac¸a˜o ao ponto P (2,1,− 1).
14. Encontre o vetor ~u, tal que 6~u = 2~v + 4~w, sendo ~v = (1, − 1,3) e
~w = (0,− 4,2).
15. Encontre os escalares a,b e c que satisfac¸am a expressa˜o a~u+b~v+c~w =
(0,1,4). Sabendo que ~u = (1,4,0), ~v = (0,− 1,2) e ~w = (3,1,4).
28
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1.6. LISTA 1
16. Determine b, sabendo que os vetores ~u = (2,6,5) e ~w = (6,b,15) sa˜o
paralelos.
17. Obter um ponto P do eixo das ordenadas cuja distaˆncia ao ponto
A(2,4,6) e´
√
44.
18. No espac¸o cartesiano os vetores diretores indicam a direc¸a˜o de uma
reta. Se o vetor ~u = (3,2,− 1) indica a inclinac¸a˜o da reta r, encontre
as componentes do vetor ~v = (a,18,c) da reta s, sabendo que as retas
sa˜o paralelas.
29
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Cap´ıtulo 2
Produtos de Vetores
2.1 Produto Escalar
Neste cap´ıtulo vamos desenvolver algumas ideias e conceitos relacionados
a aˆngulos e ortogonalidade entre vetores tanto no plano como no espac¸o.
Para ilustrar a ideia desta grandeza escalar, podemos usar uma aplicac¸a˜o
da F´ısica: imagine um objeto se deslocando em uma trajeto´ria retil´ınea e que
esta´ sujeita a uma forc¸a ~F constante, na direc¸a˜o e sentido do deslocamento.
Dados dois pontos e considerando o sentido do deslocamento de A para
B, podemos considerar que o vetor |−−→AB| e´ a distaˆncia do deslocamento.
Sendo ~F um vetor paralelo ao deslocamento com intensidade constante |~F |,
o trabalho realizado pelo vetor ~F no deslocamento e´ dado por ±|~F ||−−→AB|.
O sinal negativo significa que a forc¸a esta´ atuando no sentido oposto ao
deslocamento. Mas se a forc¸a ~F na˜o tiver direc¸a˜o paralela ao deslocamento,
θ e´ o aˆngulo que a forc¸a ~F faz com o deslocamento−−→
AB, enta˜o o trabalho
realizado por essa forc¸a sera´ dado ~F · −−→AB = |~F ||−−→AB|cosθ.
Neste caso, quando a forc¸a e´ medida em N (Newton) e a distaˆncia em
metros, o trabalho e´ uma grandeza escalar medida em J (Joules)=N×m.
Conhecendo as componentes dos vetores, facilmente podemos calcular o
aˆngulo entre eles como veremos na sec¸a˜o 2.1.3.
2.1.1 Definic¸a˜o do Produto Escalar
O produto escalar (ou produto interno) entre dois vetores, como o pro´prio
nome diz, resulta em um escalar.
Considere os seguintes vetores ~u = x1~i+ y1~j+ z1~k e ~v = x2~i+ y2~j+ z2~k,
representamos ~u · ~v, ao nu´mero real
~u · ~v = x1x2 + y1y2 + z1z2.
Esta operac¸a˜o entre vetores gera como resultado sempre um nu´mero
real e o produto escalar vale tanto no R2 (no plano) como no R3 (no espac¸o).
30
2.1. PRODUTO ESCALAR
Exemplo 18.
~u·~v = (1,−2,−1).(−6,2,−3) = 1(−6)+(−2)(2)+(−1)(−3) = −6−4+3 = −7
Representamos o produto escalar por ~u · ~v, leˆ-se ~u escalar ~v.
2.1.2 Propriedades do Produto Escalar
Dados treˆs vetores, ~u = (x1,y1,z1), ~v = (x2,y2,z2) e ~w = (x3,y3,z3) ∈ R3
e um escalar m ∈ R, temos:
1. ~u · ~u ≥ 0, sera´ nulo se ~u for nulo.
Observe que ~u·~u ≥ 0, sera´ positivo porque a soma de quadrados sempre
resulta em valores positivos e sera´ igual a zero somente se ~u = 0.
−→u · −→u = (a,b,c) · (a,b,c) = a2 + b2 + c2 ≥ 0
−→u · −→u = 0⇐⇒ a2 + b2 + c2 = 0⇐⇒ a = b = c = 0
⇐⇒ −→u = (0,0,0) = −→0 .
2. ~u · ~v = ~v · ~u (O produto escalar e´ comutativo). E´ fa´cil mostrar que,
~u · ~v = (x1,y1,z1) · (x2,y2,z2)
= x1x2 + y1y2 + z1z2
= x2x1 + y2y1 + z2z1
= ~v · ~u.
3. ~u · (~v + ~w) = ~u · ~v + ~u · ~w (Distributiva em relac¸a˜o a adic¸a˜o).
~u · (~v + ~w) = (x1,y1,z1) · (x2 + x3,y2 + y3,z2 + z3)
= (x1x2 + x1x3) + (y1y2 + y1y3) + (z1z2 + z1z3)
= (x1x2 + y1y2 + z1z2) + (x1x3 + y1y3 + z1z3) = ~u · ~v + ~u · ~w.
4. m(~u ·~v) = (m~u)~v (Associativa da multiplicac¸a˜o de um escalar por um
vetor).
m(~u · ~v) = m(x1x2 + y1y2 + z1z2)
= (mx1)x2 + (my1)y2 + (mz1)z2 = (m~u)~v.
5. ~u · ~u = |~u|2
Note que ~u ·~u = (x, y, z) · (x, y, z) = x2 +y2 +z2 e |~u| =
√
x2 + y2 + z2
enta˜o,
|~u|2 = x2 + y2 + z2 = ~u · ~u
31
IMEF - FURG
2.1. PRODUTO ESCALAR
2.1.3 Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Escalar
Quando os vetores sa˜o apresentados em func¸a˜o de suas componentes na˜o
sabemos diretamente o aˆngulo entre eles.
Por definic¸a˜o podemos representar o produto escalar entre os vetores ~u
e ~v como:
~u · ~v = |~u| · |~v|cosθ,
onde θ e´ o aˆngulo formado entre ~u e ~v.
Dados dois vetores na˜o nulos, o aˆngulo procurado e´ o menor aˆngulo
formado por dois representantes destes vetores, com origem em um mesmo
ponto, observe a Figura 2.1.
Figura 2.1: Aˆngulo entre dois vetores.
Desta forma, podemos obter o aˆngulo θ entre dois vetores gene´ricos ~u e
~v partindo desta definic¸a˜o.
Assim,
~u · ~v =
{
0 se ~u ou ~v for nulo
|~u| · |~v|cosθ 0◦ ≤ θ ≤ 180◦ (2.1)
enta˜o,
cos(θ) =
~u · ~v
|~u| · |~v| ,
desde que nenhum deles seja nulo.
Demonstrac¸a˜o: Sabendo que a lei dos cossenos da geometria plana, es-
tabelece c2 = a2 + b2−2 ·a · b · cos(θ) e ale´m disso, se o triaˆngulo e´ retaˆngulo
com os catetos a e b e a hipotenusa c, a lei acima se reduz ao Teorema de
Pita´goras c2 = a2 + b2, enta˜o pela Figura 2.2:
32
IMEF - FURG
2.1. PRODUTO ESCALAR
Figura 2.2: Lei dos cossenos.
se c = ~w, b = ~u e a = ~v, temos: em notac¸a˜o vetorial
|~w|2 = |~u|2 + |~v|2 − 2|~u||~v|cos(θ)
2|~u||~v|cos(θ) = |~u|2 + |~v|2 − |~w|2
Uma vez que ~w = ~u− ~v, a forma de ~w e´ (u1 − v1,u2 − v2,u3 − v3)
Assim,
|~u|2 = (
√
u21 + u
2
2 + u
2
3)
2 = u21 + u
2
2 + u
2
3
|~v|2 = (
√
v21 + v
2
2 + v
2
3)
2 = v21 + v
2
2 + v
2
3
|~w|2 = (
√
(u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v2)2)2
= (u1 − v1)2 + (u2 − v2)2 + (u3 − v3)2
e
|~u|2 + |~v|2 − |~w|2 = 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)
portanto,
2|~u||~v|cos(θ) = |~u|2 + |~v|2 − |~w|2
= 2(u1v1 + u2v2 + u3v3)
⇒ |~u||~v|cos(θ) = (u1v1 + u2v2 + u3v3)
⇒ cos(θ) = (u1v1 + u2v2 + u3v3)|~u||~v| =
~u · ~v
|~u||~v|
33
IMEF - FURG
2.1. PRODUTO ESCALAR
assim,
θ = arccos
(
~u · ~v
|~u||~v|
)
. (2.2)
Observac¸a˜o 1:
Em relac¸a˜o ao aˆngulo θ:
θ e´ agudo se (0 ≤ θ < 90◦), se e somente se, ~u · ~v > 0.
θ e´ reto (θ = 90◦), se e somente se, ~u · ~v = 0.
θ e´ obtuso (90◦ < θ ≤ 180◦), se e somente se, ~u · ~v < 0.
Observac¸a˜o 2:
|~u+ ~v|2 = (~u+ ~v)(~u+ ~v) = ~u · ~u+ ~u · ~v + ~v · ~u+ ~v · ~v = |~u|2 + 2~u~v + |~v|2.
Se θ = 90◦, os vetores ~u e ~v sa˜o ortogonais =⇒ |~u+ ~v|2 = |~u|2 + |~v|2.
Do mesmo modo
|~u− ~v|2 = |~u|2 − 2~u~v + |~v|2
e
|~u+ ~v||~u− ~v| = |~u|2 − |~v|2
Exemplo 19. Encontre o aˆngulo entre ~u = −2~i−~j + ~k e ~v =~i+~j.
Soluc¸a˜o:
cos(θ) =
~u · ~v
|~u| · |~v|
cos(θ) =
(−2,− 1,1) · (1,1,0)√
(−2)2 + (−1)2 + 12 · √12 + 12
cos(θ) =
−3√
12
=
−√3
2
θ = 120◦
Exemplo 20. Encontre o aˆngulo θ entre ~u =~i− 2~j− 2~k e ~v = 6~i+ 3~j+ 2~k.
34
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2.1. PRODUTO ESCALAR
Soluc¸a˜o:
cos(θ) =
~u · ~v
|~u| · |~v|
cos(θ) =
(1,− 2,− 2) · (6,3,2)√
(1)2 + (−2)2 + (−2)2 · √62 + 32 + 22
cos(θ) =
−4
21
=⇒ θ ' 100,95◦
Vetores Ortogonais:
Dois vetores ~u e ~v sa˜o ortogonais se, o produto escalar deles e´
nulo:
~u · ~v = 0.
Exemplo 21. ~u = 3~i − 2~j + ~k e´ ortogonal a ~v = 2~j + 4~k pois ~u · ~v =
(3)(0) + (−2)(2) + (1)(4) = 0.
Observac¸a˜o: O vetor nulo ~0 e´ ortogonal a todo vetor ~u, pois ~0 · ~u =
(0,0,0) · (3,− 2,1) = 0.
2.1.4 Agora tente resolver!
1. Encontre as coordenadas do vetor ~v = (a,b,c), resolvendo o seguinte
sistema:
{
~v · (~i− ~k) = 3
~v ·~j = 5
2. Determinar o vetor −→v , ortogonal ao eixo Oy que satisfaz as condic¸o˜es:
−→v · −→a = 12 e −→v · −→b = 6, onde −→a = (1,2,− 4) e −→b = (−1,2,6).
3. Determine z tal que ~u = (1,− 3,2) e ~v = (5,− 3,z) sejam ortogonais.
4. Encontrar o vetor ~m ortogonal aos vetores ~u = (3,2,− 2) e ~v = (−1,−
3,− 4), de mo´dulo igual a 6.
5. Calcule o aˆngulo entre os vetores ~u = (3,2,1) e ~v = (4,5,− 3).
6. Sabendo que |~u| = 4, |~v| = 6 e 30◦ o aˆngulo entre eles, calcule ~u · ~v.
35
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2.1. PRODUTO ESCALAR
Figura 2.3: Aˆngulos diretores.
Aˆngulos Diretores e Cossenos Diretores de um vetor: Considere o vetor
~v = x1~i + y1~j + z1~k. Chamamos de aˆngulos diretores de ~v os aˆngulos α, β
e γ que ~v forma com os vetores ~i, ~j, ~k como podemos observar pela figura
2.3.
Cossenos diretores de ~v sa˜o os cossenos de seus aˆngulos diretores, isto e´,
cos(α), cos(β), cos(γ). Assim, por exemplo,
cos(α) =
~v ·~i
|~v||~i| =
x
|~v|
os demais seguem de mesma forma.
Exemplo 22. Dados A(2,2,-3), B(3,1,-3) calcular os aˆngulos diretores ~v =
−→
AB.
Soluc¸a˜o:
−→
AB= B −A = (3,1,− 3)− (2,2,− 3) = (1,− 1,0)
Ou seja
−→
AB= 1~i− 1~j + 0~k
Agora vamos calcular seus aˆngulos diretores:
cos(α) =
−→
AB ·~i
|
−→
AB ||~i|
=
x
|
−→
AB |
=
1√
12 + (−1)2 + 02 =
1√
2
=
√
2
2
Enta˜o α = 45◦
36
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2.1. PRODUTO ESCALAR
cos(β) =
y
|
−→
AB |
=
−1√
12 + (−1)2 + 02 =
−1√
2
=
−√2
2
Enta˜o β = 135◦
cos(γ) =
z
|
−→
AB |
=
0√
12 + (−1)2 + 02 = 0
Enta˜o γ = 90◦.
2.1.5 Vetor Projec¸a˜o
Dados dois vetores ~u e ~v, com ~u 6= 0 e ~v 6= 0, queremos determinar um
vetor que e´ a projec¸a˜o do vetor ~u sobre o vetor ~v. As figuras ilustram duas
situac¸o˜es,
Figura 2.4: Vetor projec¸a˜o.
Observando a Figura 2.5, trac¸ando uma reta r paralela ao vetor −→u e con-
siderando um vetor ortogonal a reta r, com origem no ponto C, percebe-se
que vetor −→a , e´ a projec¸a˜o ortogonal de −→v sobre −→u . Note que −→b = −→v −−→a ,
e´ ortogonal a −→u e a −→a . Com a ideia geome´trica em mente, vamos enunciar
a seguinte propriedade:
Dados doisvetores −→u 6= −→O e −→v , existe um u´nico vetor −→a que verifica:
1. −→a ‖−→u
2. −→v −−→a ⊥−→u ⇒ (−→v −−→a ) · −→u = 0.
37
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2.1. PRODUTO ESCALAR
Figura 2.5: Vetor projec¸a˜o 2.
O vetor −→a e´ chamado de projec¸a˜o ortogonal de −→v sobre −→u , e indicamos:
−→a = proj~u~v.
Pela condic¸a˜o (1): −→a = α−→u , e, pela condic¸a˜o (2) (−→v − −→a ) · −→u = 0, se−→a = α−→u , temos −→v · −→u − α−→u · −→u = 0, enta˜o
α =
~v · ~u
|~u|2
proj~u~v =
(
~v · ~u
|~u|2
)
· ~u
Exemplo 23. Encontre a projec¸a˜o ortogonal de ~u = 6~i + 3~j + 2~k em ~v =
~i− 2~j − 2~k.
Soluc¸a˜o:
~a = proj~v~u =
(
~u · ~v
|~v|2
)
· ~v =
(
(6,3,2) · (1,− 2,− 2)
12 + (−2)2 + (−2)2
)
· (1,− 2,− 2) =(
6− 6− 4
1 + 4 + 4
)
· (1,− 2,− 2) =(−4
9
)
· (1,− 2,− 2) =
(−4
9
,
8
9
,
8
9
)
38
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2.2. PRODUTO VETORIAL
Exemplo 24. Encontre a projec¸a˜o ortogonal de uma forc¸a ~F = 5~i+ 2~j em
~v =~i− 3~j.
Soluc¸a˜o:
~w = proj~v ~F =
(
~u · ~v
|~v|2
)
· ~v =
(
(5,2) · (1,− 3)
12 + (−3)2
)
· (1,− 3) =(−1
10
)
· (1,− 3) =
(−1
10
,
3
10
)
.
2.1.6 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~u = (4,7,3),~v = (2,2,1) e ~w = (0,− 5,2) calcule:
a) (~u+ ~v) · ~w
b) proj~u~v
c) ~u · (~v − 2~w)
d) proj~u ~w
e) proj~w~v
f) proj~v ~w
g) proj~v~u
2. Dados os vetores ~m = (1,− 3,4),~n = (3,− 4,2) e ~o = (−1,1,4), calcular
a projec¸a˜o do vetor ~m na direc¸a˜o do vetor ~n+ ~o.
2.2 Produto Vetorial
Dados dois vetores ~u e ~v, estamos em busca de um novo vetor, simulta-
neamente ortogonal aos vetores ~u e ~v, denotado por ~u×~v que denominamos
de produto vetorial de ~u e ~v.
Para definirmos o produto vetorial, devemos lembrar da orientac¸a˜o de
base positiva no espac¸o. Considere treˆs vetores ~u, ~v e ~w, como mostra a
Figura 2.6.
39
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2.2. PRODUTO VETORIAL
Figura 2.6: Orientac¸a˜o.
O conjunto {~u,~v, ~w} nesta situac¸a˜o geome´trica forma uma base de veto-
res do espac¸o, pois os vetores sa˜o na˜o coplanares.
Considere a rotac¸a˜o em torno do menor aˆngulo, em torno de O, assim
o vetor ~u e´ o primeiro vetor da base, que tera´ o mesmo sentido do vetor ~v,
que sera´ definido como o segundo vetor da base. Se a rotac¸a˜o for no sentido
anti-hora´rio a base e´ positiva. Sendo assim {~u,~v, ~w}, e´ positiva.
Vale lembrar que a base canoˆnica e´ representada no sentido positivo,
assim {~i,~j,~k} nessa ordem e´ positiva.
Observac¸a˜o 1: Usando um dispositivo pra´tico da figura 2.7 , observa-
mos a ordem circular dos vetores da base canoˆnica.
Pelo dispositivo temos:
40
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2.2. PRODUTO VETORIAL
Figura 2.7: Sentido Positivo.
~i×~j = ~k,
de maneira ana´loga, temos que: ~j × ~k =~i e ~k ×~i = ~j.
Ja´ no sentido hora´rio, pela figura 2.8, observamos a ordem circular no
sentido negativo.
Figura 2.8: Sentido Negativo.
~j ×~i = −~k, de maneira ana´loga, temos que: ~i× ~k = −~j e ~k ×~j = −~i .
Pelo sentido anti-hora´rio temos o sentido positivo da base: {~i,~j,~k},
{~j,~k,~i} e {~k,~i,~j}.
No sentido hora´rio {~j,~i,~k}, {~i,~k,~j} e {~k,~j,~i} o sentido da base e´ nega-
tivo.
41
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2.2. PRODUTO VETORIAL
2.2.1 Definic¸a˜o do Produto Vetorial
Ao contra´rio do produto escalar, que resulta em um escalar, e pode ser
definido tanto como vetores do espac¸o como vetores do plano, o produto
vetorial so´ pode ser definido em vetores do espac¸o ja´ que esta´ ligado essen-
cialmente ao conceito de orientac¸a˜o no espac¸o.
Representamos o produto vetorial por ~u× ~v, leˆ-se ~u vetorial ~v.
Observac¸a˜o 2:
• −→u ×−→v = ~0 Se o produto vetorial resultar em um vetor nulo ~0 significa
que um dos vetores e´ nulo ou os vetores sa˜o colineares.
• o vetor resultante tem:
i. mo´dulo |~w| = |~u× ~v| = |~u||~v|sen(θ).
ii. a direc¸a˜o do vetor resultante ~w e´ simultaneamente ortogonal a ~u
e ~v.
iii. o sentido e´ tal que {~u,~v, ~w} e´ dado pela base positiva orientada
do espac¸o.
Ca´lculo do Produto Vetorial
Considere a base canoˆnica de R3, {~i,~j,~k}.
Usando a definic¸a˜o de produto vetorial, a observac¸a˜o 1 e sabendo que:
~i×~i = 0
~j ×~j = 0
~k × ~k = 0
O produto vetorial entre ~u = x1~i + y1~j + z1~k e ~v = x2~i + y2~j + z2~k,
representado por (~u × ~v) sera´ expresso em coordenadas. Vamos obter as
coordenadas, estendendo por linearidade, assim:
~u× ~v = (x1~i+ y1~j + z1~k)× (x2~i+ y2~j + z2~k)
= (x1x2)(~i×~i) + (x1y2)(~i×~j) + (x1z2)(~i× ~k) + (y1x2)(~j ×~i)
+ (y1y2)(~j ×~j) + (y1z2)(~j × ~k) + (z1x2)(~k ×~i) + (z1y2)(~k ×~j)
+ (z1z2)(~k × ~k)
= (x1x2)(0) + (x1y2)(~k) + (x1z2)(−~j) + (y1x2)(−~k) + (y1y2)(0)
+ (y1z2)(~i) + (z1x2)(~j) + (z1y2)(−~i) + (z1z2)(0)
42
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2.2. PRODUTO VETORIAL
Portanto, ~u× ~v = (y1z2 − z1y2)~i− (x1z2 − z1x2)~j + (x1y2 − y1x2)~k, que
corresponde ao determinante
~u× ~v =
 ~i ~j ~kx1 y1 z1
x2 y2 z2
 = [y1 z1
y2 z2
]
~i−
[
x1 z1
x2 z2
]
~j +
[
x1 y1
x2 y2
]
~k
O s´ımbolo que utilizamos acima na˜o e´ um determinante, pois a primeira
linha conte´m vetores e na˜o escalares. No entanto, e´ uma forma de cal-
cular semelhante ao desenvolvimento do determinante. Esta representac¸a˜o
simbo´lica auxilia apenas o ca´lculo de ~u× ~v em coordenadas.
Exemplo 25. Determine o produto vetorial entre ~u = (2,3,1) e ~v = (1,4,−
1), da seguinte forma ~u× ~v e ~v × ~u.
Soluc¸a˜o:
~u× ~v =
~i ~j ~k2 3 1
1 4 −1
 = [3 1
4 −1
]
~i−
[
2 1
1 −1
]
~j +
[
2 3
1 4
]
~k
~u× ~v = (−7,3,5)
E, ~v × ~u = (7,− 3,− 5).
Observe que o produto vetorial na˜o e´ comutativo.
2.2.2 Propriedades do Produto Vetorial
Algumas propriedades do produto vetorial esta˜o relacionadas com as
propriedades dos determinantes.
i. ~u× ~u = ~0
Pela definic¸a˜o de produto vetorial, temos que |~u × ~v| = |~u||~v|sen(θ)
enta˜o |~u× ~u| = |~u||~u|sen(0◦) = 0.
ii. ~u× ~v = −(~v × ~u)
Observe que aqui a ordem dos fatores e´ importante, significa que o
produto vetorial na˜o e´ comutativo. Os vetores resultantes sera˜o opos-
tos.
iii. ~u× (~v + ~w) = ~u× ~v + ~u× ~w.
Sendo ~u = (x1,y1,z1), ~v = (x2,y2,z2) e ~w = (x3,y3,z3):
43
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2.2. PRODUTO VETORIAL
~u× (~v + ~w) = (x1,y1,z1)× (x2 + x3,y2 + y3,z2 + z3)
= (y1(z2 + z3)− z1(y2 + y3),z1(x2 + x3)− x1(z2 + z3),
x1(y2 + y3)− y1(x2 + x3))
= (y1z2 − z1y2 + y1z3 − z1y3,− x1z2 + z1x2 − x1z3 + z1x3,
x1y2 − y1x2 + x1y3 − y1x3)
= (y1z2 − z1y2,−x1z2 + z1x2,x1y2 − y1x2)
+ (y1z3 − z1y3,− x1z3 + z1x3,x1y3 − y1x3)
= ~u× ~v + ~u× ~w
Comparando com as propriedades dos determinantes, observamos que
se cada elemento de uma linha e´ uma soma de parcelas, o determinante
pode ser expresso sob a forma de uma soma de determinantes.
iv. (m~u)× ~v = m(~u× ~v)
(m~u)× ~v = (m(x1,y1,z1))× (x2,y2,z2)
= (mx1,my1,mz1)× (x2,y2,z2)
= (my1z2 −mz1y2,−mx1z2 + x2mz1,mx1y2 −my1x2)
= m(y1z2 − z1y2,− x1z2 + x2z1,x1y2 − y1x2)
= m(~u× ~v)
Se multiplicarmos uma linha por um nu´mero real, o resultado final fica
multiplicado por esse nu´mero.
v. ~u × ~v = ~0 se, e somente se, um dos vetores e´ nulo ou se ~u e ~v sa˜o
colineares.
Se um dos vetores e´ nulo, teremos no produto vetorial uma linha nula,
enta˜o o vetor resultante e´ nulo. De mesma forma, se os vetores sa˜o
colineares temos duas linhas mu´ltiplas, logo o vetor resultante tambe´m
e´ nulo.
vi. ~u × ~v e´ ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v. Pelo produto
escalar: −→u · (−→u ×−→v ) = −→v · (−→u ×−→v ) = 0.
Veja pela base canoˆnica {~i,~j,~k} como o resultado do produto vetorial
de cada par de vetores, resulta sempre no terceiro de tal maneira que
este e´ ortogonal aos outros dois.
44
IMEF - FURG
2.2. PRODUTO VETORIAL
vii. |~u× ~v|2 = |~u|2|~v|2 − (~u~v)2 Identidade de Lagrange.
viii. se ~u 6= 0 e ~v 6= 0 e se θ e´ o aˆngulo entre os vetores ~u e ~v, de fato:
|~u×~v|2 = |~u|2|~v|2 − (~u~v)2
= |~u|2|~v|2 − (|~u||~v|cosθ)2
= ~u|2|~v|2(1− cos2(θ)) = |~u|2|~v|2sen2(θ)
Portanto, o comprimento ou norma e´ |~u× ~v| = |~u||~v|sen(θ).
ix. ~u× (~v × ~w) 6= (~u× ~v)× ~w
x. Sentido de −→u ×−→v : regra da ma˜o direita:
Figura 2.9: Regra da Ma˜o Direita.
2.2.3 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores abaixo, esboce os eixos coordenados e represente os
vetores ~u, ~v e ~u× ~v:
(a) ~u = (3,4,3), ~v = (0,0,6)
(b) ~u = (2,6,0), ~v = (0,4,3)
(c) ~u = (2,− 3,4), ~v = (1,4,0)
2. Para cada item, determine ~u× ~v e ~v × ~u:
(a) ~u = (2,3,0), ~v = (4,1,− 1)
45
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2.2. PRODUTO VETORIAL
(b) ~u = (0,1,2), ~v = (2,0,3)
(c) ~u = (1,− 1,1), ~v = (3,1,2)
3. Sabendo que ~u = (1,2,3), ~v = (2,1,− 1) e ~w = (3,1,0), calcule:
(a) 3~u× (~v + 2~w)
(b) (~u× ~v)× (~v × ~u)
(c) ~u · (~v × ~w)
(d) (~u× ~v)× ~w
(e) ~u× (~v × ~w)
(f) (~u× ~v) · ~w
2.2.4 Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Vetorial
A a´rea de um paralelogramo determinado pelos vetores ~u e ~v e´ numeri-
camente igual ao mo´dulo do produto vetorial |~u×~v| como podemos observar
pela figura.
Ca´lculo da a´rea do paralelogramo:
A´rea(ABCD) =(AB)h, onde (AB) =|
−→
AB | = |~u|.
Temos que h=(AD)sen(θ), em que (AD) = |
−→
AD | = |~v|.
Logo, A´rea(ABCD)=|~u||~v|senθ = |~u× ~v|.
Exemplo 26. Dados os vetores ~u = (2,1,−1), ~v = (−1,1,3), calcular a a´rea
do paralelogramo formado por ~u e ~v.
Soluc¸a˜o:
46
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2.2. PRODUTO VETORIAL
|~u× ~v| =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
2 1 −1
−1 1 3
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ = |~i(3− (−1))−~j(6− (1)) + ~k(2− (−1))|
= |4~i− 5~j + 3~k| = |(4,− 5,3)| =
√
42 + (−5)2 + 32
=
√
16 + 25 + 9 =
√
50 = 5
√
2 u.a.
Exemplo 27. Calcular a a´rea do triaˆngulo formado pelos pontos A(-1,1,0),
B(2,1,-1), C(-1,1,2).
Soluc¸a˜o: Primeiramente, calcularemos os vetores
−→
AB e
−→
AC.
−→
AB= B −A = (2,1,− 1)− (−1,1,0) = (3,0,− 1)
−→
AC= C −A = (−1,1,2)− (−1,1,0) = (0,0,2)
Agora vamos calcular a a´rea do paralelogramo formado por estes vetores:
|
−→
AB ×
−→
AC | =
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣
~i ~j ~k
3 0 −1
0 0 2
∣∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣∣ = |~i(0− 0)−~j(6− 0) + ~k(0− 0)|
= |0~i− 6~j + 0~k| = |(0,− 6,0)|
Portanto, a a´rea do paralelogramo e´ |
−→
AB ×
−→
AC | = √(−6)2 = √36 =
6u.a.
Mas, o exerc´ıcio pergunta qual o valor da a´rea do triaˆngulo formado pelo
pontos A, B e C. Conforme a figura a seguir, a a´rea do triaˆngulo e´ exata-
mente a metade da a´rea do paralelogramo, ou seja 3 u.a.
47
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2.2. PRODUTO VETORIAL
2.2.5 Agora tente resolver!
1. Obtenha o vetor −→x tal que −→x ·(−→i −−→j ) = 0 e −→x ×(−→i +2−→k ) = −→i −1
2
−→
k .
2. Dados os vetores ~u = 3~i− 2~j + 4~k e ~v =~i− 3~j − 2~k. Calcule ~u× ~v e
|~u× ~v|.
3. Nos itens abaixo, encontre ~u×~v , o mo´dulo (comprimento) e a direc¸a˜o
do vetor unita´rio resultante de :
a) ~u = 2~i− 2~j − ~k,~v =~i− ~k.
b) ~u = 2~i+ 3~j,~v = −~i+~j.
c) ~u = 2~i− 2~j + 4~k,~v = −~i+~j − 2~k.
4. Determine o vetor ~w, simultaneamente ortogonal aos vetores ~u =
(2,1,1) e ~v = (5,3,− 1).
5. Encontre o vetor ortogonal ao plano dos vetores ~u = (3,1, − 1) e ~v =
(4,2,3).
6. Considerando os vetores ~a = (1,2,3),~b = (−1,1,2),~c = (2, − 4,3) e
~d = (2,− 1,0), calcular (~a×~b) · (~c× ~d).
Uma Aplicac¸a˜o na F´ısica
O Torque e´ o produto entre a intensidade da forc¸a pela distaˆncia d de
um ponto P . Nesta situac¸a˜o, quando giramos, por exemplo, um parafuso
aplicamos uma forc¸a F sobre a chave para apertarmos o parafuso, assim,
o torque que estamos produzindo age ao longo do eixo do parafuso para
gira´-lo.
A magnitude do torque depende da distaˆncia entre o eixo do parafuso e
o ponto sobre a chave no qual estamos aplicando a forc¸a e quanto da forc¸a
e´ perpendicular a` chave no ponto de aplicac¸a˜o. O nu´mero que usamos para
medir o torque e´ a magnitude do vetor |~d||~F |senθ ou ~d × ~F , onde ~d e´ o
comprimento do brac¸o da alavanca.
Exemplo 28. Calcular o mo´dulo do torque sobre uma barra
−−→
PQ, onde−−→
PQ = 4~j(em metros) e ~F = 15~i (em newtons) e o eixo de rotac¸a˜o e´ o
eixo z.
48
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2.3. PRODUTO MISTO
Soluc¸a˜o: Torque =
−−→
PQ× ~F = −60~k. Assim, o mo´dulo pode ser calculado
como |Torque| = √(−60)2 = 60mN .
2.3 Produto Misto
2.3.1 Definic¸a˜o do Produto Misto
Dados treˆs vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k, ~v = x2~i + y2~j + z2~k e ~w =
x3~i + y3~j + z3~k, o produto misto tomado nesta ordem, e´ o nu´mero real
~u · (~v × ~w).
Observe que o produto vetorial ~v × ~w e´ um vetor, e portanto, e´ poss´ıvel
formar seu produto escalar ~u · (~v × ~w). Estes treˆs vetores formam treˆs ares-
tas adjacentes de um paralelep´ıpedo. Por isso, o produto misto representa
o volume do paralelep´ıpedo gerado por estes vetores.
Representamos o produto misto de ~u, ~v e ~w por (~u,~v, ~w).
Ca´lculo do Produto Misto
Do resultado do produto vetorial:
~v × ~w = (y2z3 − z2y3)~i− (x2z3 − z2x3)~j + (x2y3 − y2x3)~k
Temos que:
~u·(~v× ~w) = (x1~i+y1~j+z1~k)·[(y2z3−z2y3)~i−(x2z3−z2x3)~j+(x2y3−y2x3)~k].
Sabendo que o produto escalar de dois vetores ortogonais e´ nulo, so´ tere-
mos resultados quando houver produto escalar entre o mesmo vetor unita´rio
49
IMEF - FURG
2.3. PRODUTO MISTO
da base canoˆnica.
~u · (~v × ~w) = x1(y2z3 − z2y3)~i ·~i+ y1(x2z3 − z2x3)~j ·~j
+ z1(x2y3 − y2x3)~k · ~k
= x1y2z3 − x1z2y3 + y1x2z3 − y1z2x3 + z1x2y3 − z1y2x3
= x1y2z3 + y1x2z3 + z1x2y3 − (x1z2y3 + y1z2x3 + z1y2x3)
Logo, o que temos e´:
~u · (~v × ~w) =
∣∣∣∣∣∣
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
∣∣∣∣∣∣
2.3.2 Propriedades do Produto Misto
As propriedades do produto misto decorrem das propriedades dos deter-
minantes.
i. (~u,~v, ~w) = 0
Se um dos vetores e´ nulo, teremos uma linha nula no determinante,
portanto, seu resultado e´ nulo.
Se dois deles sa˜o colineares, temos linhas proporcionais, gerando um
resultado nulo.
E considerando que ~u · (~v× ~w) = 0, significa que ~u e ~v× ~w sa˜o vetores
ortogonais e sabendo que ~v × ~w e´ ortogonal a ~v e ~w, enta˜o ~v × ~w e´
ortogonal a ~u,~v, ~w. Portanto, ~u,~v, ~w sa˜o coplanares.
ii. O produto misto independe da ordem circular dos vetores: (~u,~v, ~w) =
(~v, ~w, ~u) = (~w, ~u,~v).
Mas troca de sinal se trocarmos as posic¸o˜es de dois vetores consecuti-
vos: (~u,~v, ~w) = −(~v, ~u, ~w).
iii. (~u,~v, ~w + ~r) = (~u,~v, ~w) + (~u,~v, ~r)
Comparando com as propriedades dos determinantes, observamos que
se cada elemento de uma linha e´ uma soma de parcelas, o determinante
pode ser expresso sob a forma de uma soma de determinantes.
iv. (~u,~v,m~w)=(~u,m~v, ~w)=(m~u,~v, ~w)=m(~u,~v, ~w)
Se multiplicarmos uma linha por um nu´mero real, o resultado final fica
multiplicado por esse nu´mero.
50
IMEF - FURG
2.3. PRODUTO MISTO
v. (~u× ~v) · ~w = ~u · (~v × ~w)
O produto misto e´ comutativo, pois o produto escalar tambe´m e´ co-
mutativo.
Exemplo 29. Encontre o produto misto (~u,~v, ~w), onde ~u = (3,2,1), ~v =
(1,1,1), ~w = (2,1,1).
Soluc¸a˜o:
~u · (~v × ~w) = 3 + 4 + 1− (2 + 3 + 2) = 8− 7 = 1.
2.3.3 Agora tente resolver!
1. Calcule o produto misto dos vetores a seguir, na ordem que eles apa-
recem:
(a) ~u = (1,2,3), ~v = (2,1,0), ~w = (3,0,− 1)
(b) ~u = (0,0,2), ~v = (2,− 1,0), ~w = (1,1,− 1)
(c) Verificar se os vetores abaixo sa˜o coplanares:
i. ~u = (1,2,3), ~v = (0,0,2), ~w = (−1,0,3)
ii. ~u = (2,4,6), ~v = (1,1,3), ~w = (6,12,18)
2.3.4 Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Misto
O volume de um paralelep´ıpedo e´ definido como a´rea da base pela sua
altura (Ab · h). Observando a figura 2.10 a a´rea da base do paralelep´ıpedo
e´ |~u× ~v|. Seja θ o aˆngulo entre os vetores e ~u× ~v e ~w. Sendo ~u× ~v um ve-
tor ortogonal a` base, a altura sera´ paralela a ele, e , portanto, h = |~w||cos(θ)|.
Assim,
V = |~u× ~v||~w||cos(θ)|
Fazendo ~u× ~v = ~n,
V = |~n| · |~w||cos(θ)|Sabendo que ~n · ~w = |~n||~w|cos(θ).
O volume do paralelep´ıpedo e´ definido pelo mo´dulo do produto misto deter-
minado pelos vetores ~u, ~v e ~w.
V = |~n · ~w| = |(~u× ~v) · ~w|
Exemplo 30. Encontre o volume da caixa determinada por ~u = (1,2,− 1),
~v = (−2,0,3), ~w = (0,7,− 4).
51
IMEF - FURG
2.3. PRODUTO MISTO
Figura 2.10: Interpretac¸a˜o Geome´trica do Produto Misto.
Soluc¸a˜o:
V = |(~u,~v, ~w)| =
∣∣∣∣∣∣
1 2 −1
−2 0 3
0 7 −4
∣∣∣∣∣∣ = |0 + 0 + 14− (0 + 21 + 16)|
= |14− 37| = | − 23| = 23 u.v.
Observac¸a˜o 3: O Tetraedro e´ uma figura geome´trica espacial. Um
Tetraedro Regular e´ formado por quatro triaˆngulos equila´teros. O volume
do tetraedro ABCD e´ 16 do volume do paralelep´ıpedo. Pois,
VT =
1
3
AbThT .
Sabendo que a a´rea da base e´ AbT =
1
2
AbP e a altura do tetraedro e´
igual a altura do paralelep´ıpedo hT = hP . Enta˜o,
VT =
1
3
1
2
AbPhP =
1
6
AbPhP =
1
6
VP .
Exemplo 31. Calcule o volume do tetraedro sabendo que as arestas sa˜o
determinadas pelos vetores ~u = (−1,1,0), ~v = (−1,0,1) e ~w = (3,2,7).
Soluc¸a˜o: V = |(~u,~v, ~w)| = 16
∣∣∣∣∣∣
−1 1 0
−1 0 1
3 2 7
∣∣∣∣∣∣ = 16 |12| = 2u.v.
Exemplo 32. Verificar se os pontos A(0,1,1), B(1,0,2), C(1,−2,0) e D(−2,2,−
2) sa˜o coplanares.
52
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2.3. PRODUTO MISTO
Figura 2.11: Tetraedro.
Soluc¸a˜o: Os pontos pertencem ao mesmo plano se os vetores
−−→
AB =
(1, − 1,1),−→AC = (1, − 3, − 1) e −−→AD = (−2,1, − 3) sa˜o coplanares, isto
acontece se o produto misto entre eles e´ zero. Assim,
det
∣∣∣∣∣∣
1 −1 1
1 −3 −1
−2 1 −3
∣∣∣∣∣∣ = 0.
Duplo Produto Vetorial: Dados os vetores ~u = x1~i + y1~j + z1~k, ~v =
x2~i+ y2~j + z2~k e ~w = x3~i+ y3~j + z3~k, chama-se duplo produto vetorial dos
vetores ~u, ~v e ~w ao vetor ~u× (~v × ~w).
Observac¸a˜o: O produto vetorial na˜o e´ associativo: ~u × (~v × ~w) 6=
(~u× ~v)× ~w.
Decomposic¸a˜o do Duplo Produto Vetorial: E´ poss´ıvel decompor o duplo
produto vetorial na diferenc¸a de dois vetores com coeficientes escalares:
~u× (~v × ~w) = (~u · ~w)~v − (~u · ~v)~w
Esta fo´rmula pode ser escrita sob a forma de determinantes:
~u× (~v × ~w) =
∣∣∣∣ ~v ~w~u · ~v ~u · ~w
∣∣∣∣
2.3.5 Agora tente resolver!
1. Dados os vetores ~a = (3, − 1,1),~b = (1,2,2) e ~c = (2,0, − 3), calcule
(~a,~b,~c).
53
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2.4. LISTA 2
2. Qual deve ser o valor de m para que os vetores ~u = (2,m,0), ~v =
(1,− 1,2) e ~w = (−1,3,− 1) sejam coplanares?
3. Determine o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores ~u =
(0,− 1,2), ~v = (−4,2,− 1) e ~w = (3,4,− 2).
2.4 Lista 2
1. Encontre as coordenadas do vetor ~v = (a,b,c), resolvendo os seguintes
sistemas:
(a)

~v · (−~i+~j) = 2
~v · (~i+ 2~k) = 4
~v · (−~i) = 3
(b)

~v · (2~i+~j + ~k) = 2
~v · (~i− ~k) = 0
~v · (3~j) = 9
(c)

~v · (3~i+ 2j − ~k) = 3
~v · (−~j − ~k) = 2
~v · (3~i− ~k) = 1
2. Dados os vetores ~u = (2,3, − 1),~v = (4, − 2, − 3), determinar −→x de
modo que 4−→x − 2−→v = −→x + (−→u · −→v )−→u .
3. Dados os vetores ~u = (3,− 2,4), ~v = (1,2,− 4), calcular
(a) (3~u− ~v) · (~v − 4~u)
(b) (~u+ 3~v) · (~u− ~v)
4. Sabendo que |~u| = 2, |~v| = 3 e ~u · ~v = −1, calcular:
(a) (2~u− 3~v) · ~u
(b) (~u+ ~v) · (~v − 4~u)
5. Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o de ~u = (2,4,5) sobre o eixo x?
6. Qual o comprimento do vetor projec¸a˜o de ~a = (4,5, − 3) sobre o eixo
y?
7. Determinar o vetor −→v paralelo ao vetor −→u = (1,3,−1) tal que −→v ·−→u =
44.
8. Determine x para que os vetores sejam ortogonais:
(a) ~u = (x+ 2,2,1) e ~w = (4,− x,2)
54
IMEF - FURG
2.4. LISTA 2
(b) ~u = (4,x+ 1,3) e ~w = (x,3,− 2x)
9. Encontre o vetor projv~u:
(a) ~u = (2,2,− 3) e ~v = (5,3,0)
(b) ~u = 7~i+ 8~j + 9~k e ~v =~i+ 2~j + 3~k
(c) ~u = (3,− 6,7) e ~v = (0,1,1)
(d) ~u = 2~i+ 7~j − 6~k e ~v = 3~i+ 2~j
(e) ~u = (2,3,4) e ~v = (1,− 1,0)
10. Encontre os aˆngulos entre os vetores:
(a) ~u = (2,7,− 6) e ~v = (3,2,0)
(b) ~u = 2~i+ 4~j + 6~k e ~v = 6~j
(c) ~u = (1,2,− 8) e ~v = (3,1,0)
(d) ~u = (5,− 6,4) e ~v = (0,0,7)
11. Encontre a medida dos aˆngulos do triaˆngulo cujos ve´rtices sa˜o A(-1,0),
B(2,1), C(1,-2).
12. Marque os pontos A(4,5,3), B(6,2,0) e C(0,6,2) no espac¸o tridimensi-
onal, desenhe a placa triangular e calcule o aˆngulo interno ao ve´rtice
A.
13. Usando a definic¸a˜o de trabalho (W ) realizado por uma forc¸a constante
W = ~F · −−→AB = |~F ||−−→AB|cosθ. Encontre o trabalho realizado por uma
forc¸a que atua no deslocamento de um objeto de A para B, sabendo
que |~F | = 30N (newtons) e |−−→AB| = 2m e θ = 30◦.
14. Encontre o trabalho realizado por uma forc¸a que atua no deslocamento
de um objeto de A para B, sabendo que |~F | = 25N (newtons) e |−−→AB| =
4m e θ = 60◦.
15. Encontre as coordenadas do vetor ~w de mo´dulo 27 que e´ ortogonal ao
vetor ~u = (3,2,− 2) e ao vetor ~v = (1,− 2,− 6).
16. Determine o vetor ~u = (a,b,c) sabendo que ~u · ~v = 1 e ~u · ~w = 1 e que
|~u| = √22, onde ~v = (1,1,0) e ~w = (2,1,− 1).
17. Dados os vetores ~u = (2,3,1) e ~v = (1,2,3), encontre:
(a) ~w = 2~u× ~v
(b) ~w = (3~u+ 2~v)× ~v
(c) ~w = ~u× (~v − ~u)
18. Se ~u = 2~i−~j + 4~k, ~v = 2~i+ 6~j − 2~k e ~w = −2~i+ 2~k, determinar:
55
IMEF - FURG
2.4. LISTA 2
(a) |~u× ~w|
(b) (2~v)× (3~u)
(c) (~u× ~w) + (~w × ~v)
19. Dados os pontos P (3,2,1), Q(3,0,5) e R(2,−1,−1), determinar o ponto
S tal que (
−→
PS) = (
−→
QR)× (
−→
PR).
20. Dados os vetores ~u = (6,− 2,1) e ~v = (2,− 2,0):
(a) Desenhe o paralelogramo e determine sua a´rea.
(b) Encontre a altura do paralelogramo relativa a` base definida pelo
vetor ~v.
21. Calcule a a´rea do paralelogramo ABCD, sendo
−→
AB= (1, − 1,3) e
−→
AD= (3,− 3,2).
22. Marque os pontos a seguir no espac¸o cartesiano, encontre a a´rea dos
triaˆngulos formados pelos vetores
−→
AB e
−→
AC e o comprimento das al-
turas baixadas pelo ve´rtice B:
(a) A(2,6,0), B(4,4,6), C(5,2,− 1)
(b) A(4,− 3,4), B(4,4,4), C(5,3,− 4)
(c) A(4,− 3,0), B(5,6,4), C(5,5,− 2)
23. Dados os vetores ~u = (2,3,0) e ~v = (3,4,4), encontre a a´rea do parale-
logramo sabendo que ele e´ formado por 2~u e ~v.
24. Encontre um vetor perpendicular ao plano dos pontos A(4,6,1), B(5,−
3,4) e C(5,5,− 2).
25. Conhecendo as coordenadas dos vetores ~v = (1,1,3) e ~w = (1,2, − 1).
Encontre as coordenadas do vetor ~u sabendo que ele e´ ortogonal ao
eixo x e ~v = ~u× ~w.
26. Determinar a distaˆncia do ponto A(−4, − 3,5) a` reta que passa pelos
pontos P (2,7,0) e Q(5,− 4,− 2).
27. Encontre o vetor ~u tal que ~u× (~i−~j) = 2(~i+~j−~k), tal que o mo´dulo
de −→u seja √6.
28. Sabendo que os pontos A(4,0,2), B(6,2,5), C(5,5,3) e D(3,3,0) sa˜o
ve´rtice de uma placa, marque os pontos no espac¸o cartesiano, deter-
mine a a´rea e o aˆngulo interno ao ve´rtice C.
29. Determine o vetor ~v, ortogonal ao eixo Oy, sabendo que ~v · (0,3,2) = 8
e |~v × (1,2,0)| = √180.
56
IMEF - FURG
2.4. LISTA 2
30. Dados os vetores ~u = (2,−1,3) e ~v = (2,3,3) e ~w = (2,0,−4), calcular:
(a) (~u,~v,~w)
(b) (~w,~u,~v)
(c) (~v,~u,~w)
31. Determinar o valor de k para que sejam coplanares os vetores:
(a) ~u = (2,2,k) e ~v = (2,0,1) e ~w = (k,4,k).
(b) ~u = (2,k,2) e ~v = (1,0,k) e ~w = (3,− 1,1)).
32. Um paralelep´ıpedo e´ determinado pelos vetores ~u = (3,1,0),~v = (2,1,0)
e ~w = (2,1,5). Calcular seu volume e a altura relativa a` base definida
pelos vetores ~u e ~v.
33. Sejam A(2,4,0), B(2, − 2,0), C(−4,0,0) e D(0,0,6) ve´rtices de um te-
traedro. Calcular o volume deste tetraedro.
34. Sejam A(2,1,6), B(4,1,3), C(1,16,2) e D(3,1,1) ve´rtices de um tetrae-
dro. Calcular o volume deste tetraedro.
35. Represente no espac¸o cartesiano o tetraedro dos itens abaixo e calcule
seu volume:
(a) A(7,6,− 3), B(5,− 1,1), C(0,6,0), D(5,5,5)
(b) A(−3,4,0), B(4,0,1), C(4,8,0), D(−1,0,3)
36.Sejam os vetores ~u = (2,1,0), ~v = (1,0,2) e ~w1 = 2~u−~v, ~w2 = 3~v− 2~u,
e ~w3 = ~i + ~j + 2~k. Determinar o volume do paralelep´ıpedo definido
por ~w1, ~w2, ~w3.
37. Quatro ve´rtices de um paralelep´ıpedo sa˜o A(1, 4, 12), B(6,−8, 14),
C(−5, 12, 6) e D(9, 18, 15). Calcule o volume desse paralelep´ıpedo.
38. Do tetraedro de arestas OA, OB e OC, sabe-se:
−→
OA = (x,3,4),
−−→
OB =
(0,4,2),
−−→
OC = (1,3,2). Calcule x para que o volume desse tetraedro seja
igual a 2u.v.
39. Dados os pontos A(3,4,0), B(0,− 2,0) e C(1,2,4), determinar o ponto
D do eixo Oy, tal que o volume do tetraedro determinado por
−−→
AB,
−→
AC
e
−−→
AD seja 12u.v.
40. Determine o valor de a para que os vetores sejam coplanares ~u =
(2,4,0), ~v = (3,2,− 1) e ~w = (a,0,1).
41. Sendo os vetores ~u = (4,4,0), ~v = (−3,5,0) e ~w = (1,3,z) ve´rtices de
um paralelep´ıpedo de volume 192u.v., determinar o valor de z.
57
IMEF - FURG
2.4. LISTA 2
42. Determinar o vetor ~m = (a,b,c), tal que:
~m · (2,3,4) = 9
~m× (−1,1,− 1) = (−2,0,2)
43. Determinar o vetor ~u = (a,b,c), tal que:
~u · (2,0,4) = 4
~u× (3,− 1,0) = (0,0,3)
44. Encontre os valores de b e c de modo que (2,b,c)·((1,2,3)×(1,0,−1)) = 8.
45. Encontre os valores de b e c de modo que (2,b,c)× (1,−2,2)) = (2,2,1).
58
IMEF - FURG
Cap´ıtulo 3
Gabaritos
3.1 Gabarito - Lista 1
1. −→w = (−9
7
,
−10
7
)
2. a = 9, b = 8, c = −2
3. a.
−→
OA = (3,6),
−−→
AB = (1, − 14),−−→CB = (5, − 11),−→OA + −−→CB = (8, −
5),
−−→
AB −−→OA = (−2,− 20)
4. |−→u | = √27, |−→v | = √21,|−→w | = √13,|−→t | = √74,|−→u +−→w |@
5. |−→u +−→v | = √45, |−→u − 3−→v | = √557
6. a =
1
3
, b =
−18
4
,c = −6
7. gra´ficos.
8. (0,y,0), (x,0,z), (0,y,z), (x,0,0)
9.
−−−→
CPm = (
3
2
,
3
2
,− 3),−→u = 2
3
−−−→
CPm = (1,1,− 2)
10. ~v = (1,6)
11. B(7,11,7)
12. ~v = (2,11,− 1)
13. A′(0,− 1,− 4)
14. ~u = (
1
3
,− 9
3
,
7
3
)
15. a = 1, b =
8
3
, c = −1
3
16. b = 18
59
3.2. GABARITO - LISTA 2
3.2 Gabarito - Lista 2
1. a)~v = (−3,− 1,7
2
); b)~v = (−1
3
,3,− 1
3
); c)~v = (−2
3
,1,− 3).
2. −→x = (18
3
,
11
3
,− 11
3
)
3. −488,−68
4. 11,−4
5. 2u.c.
6. 5u.c.
7. −→v = (4,12,− 4)
8. x = −5; x = −3
9. a)(
40
17
,
24
17
,0), b)(
25
7
,
50
7
,
75
7
), c)(0,
1
2
,
1
2
), d)(
60
13
,
40
13
,0); e)(−1
2
,
1
2
,0)
10. θ = arcos(
20√
13
√
89
); θ = arcos(
2√
14
); θ = arcos(
5√
10
√
69
); θ = arcos(
4√
77
)
11.
12. θ = arcos(
−8√
396
)
13. W = 30
√
3J
14. W = 50J
15. ~w = (18,− 18,9) ou ~w = (−18,18,− 9)
16. ~u = (3,− 2,3), ~u = (−16
6
,
20
6
,− 14
6
)
17. ~w = (14,− 10,2); ~w = (21,− 15,3); ~w = (7,− 5,1)
18.
√
152; (132,− 72,− 84); (−14,− 12,− 14)
19. (−13,6,3)
20.
√
72u.a.; 3u.c.
21.
√
98 = 7
√
2u.a.
22.
23. 2
√
209u.a.
24.
60
IMEF - FURG
3.2. GABARITO - LISTA 2
25. (0,− 3,1)
26.
27. (1,1,2)
28.
29. a = 5 ou a = −5, b = 0 e c = 4
30. −56,− 56,56
31. a) k =
4
3
; b) k =
2
3
ou k = −1
32. V = 5u.v.
33.
34.
105
6
u.v.
35.
328
6
u.v.; 22u.v.
36. 16u.v.
37. 604u.v.
38. 11,− 1
39. −1,− 3
40. a = −2
41. z = 6, z = −6
42. (1,1,1)
43. (2,− 5
3
,0)
44. b = 6 +
1
2
c
45. b = −5, c = 6
61
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3.2. GABARITO - LISTA 2
Bibliografia
1. Steinbruch, A.; Winterle, P. Geometria Anal´ıtica, Sa˜o Paulo: Pearson
Makron Books, 1987.
2. Winterle, P. Vetores e Geometria Anal´ıtica, Sa˜o Paulo: Makron Books,
2 ed., 2014.
3. Boulos, P. Geometria Anal´ıtica: um tratamento vetorial, Sa˜o Paulo:
McGraw-Hill, 1987.
4. Weir, Maurice D. Ca´lculo (George B. Thomas), Volume II, Sa˜o Paulo:
Addison Wesley, 2009.
62
IMEF - FURG
Apeˆndice A
Estudo da Reta
A.1 Conceito de Produto Cartesiano
Dados dois conjuntos A e B, o produto cartesiano de A por B, (A×B)
e´ o conjunto formado por todos os pares ordenados (a,b), em que a ∈ A e
b ∈ B:
A×B = {(a,b)|∀a ∈ A;∀b ∈ B}
Exemplo 33. Considere os seguintes conjuntos: A = {1,3,5} e B = {2,3}.
A×B = {(1,2),(1,3),(3,2),(3,3),(5,2),(5,3)}
Produtos cartesianos importantes:
Sendo R - conjunto dos reais.
Indica-se por R2 o conjunto formado pelos pares ordenados (x,y), em que
x e y sa˜o nu´meros reais. O produto cartesiano: R× R = R2 = {(x,y)|∀x ∈
R; ∀y ∈ R}.
O nu´mero x e´ a primeira coordenada (abscissa) e o nu´mero y a segunda
coordenada (ordenada) do par (x,y).
Indica-se por R3 o conjunto formado pelos ternos ordenados (x,y,z), em
que x,y e z sa˜o nu´meros reais.
O produto cartesiano: R× R× R = R3 = {(x,y,z)|∀x ∈ R,∀y ∈ R,∀z ∈
R}.
O nu´mero x e´ a primeira coordenada (abscissa) e o nu´mero y a segunda
coordenada (ordenada) e z e´ a terceira coordenada (cota) do terno (x,y,z).
63
A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
A.1.1 Coordenadas Cartesianas na reta
Uma reta orientada e´ uma reta na qual tomamos um sentido positivo de
percurso (flecha).
Figura A.1: Reta Orientada.
Como vimos, cada ponto no plano (R2) possui uma abscissa e uma or-
denada, portanto, o ponto P e´ um par ordenado (x,y). Note que o plano
cartesiano e´ formado a partir de duas retas mutuamente perpendiculares. O
eixo x e´ perpendicular ao eixo y.
Figura A.2: Plano cartesiano.
Exemplo 34. Pontos no plano cartesiano.
Suponha que deseja-se marcar o ponto A(1, − 3) no plano cartesiano.
Para isso, imagine uma reta vertical passando pelo ponto 1 do eixo x e uma
64
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A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura A.3: Ponto no plano cartesiano.
reta horizontal passando pelo ponto −3 do eixo y. A intersec¸a˜o dessas duas
retas e´ o ponto A.
Distaˆncia entre dois pontos
Para falar em distaˆncia entre dois pontos devemos lembrar do Teorema
de Pita´goras, que relaciona as medidas dos lados de um triaˆngulo retaˆngulo.
Os lados que formam um aˆngulo reto sa˜o denominados catetos e o lado
oposto ao aˆngulo reto e´ chamado de hipotenusa. Assim, temos
a2 = b2 + c2.
Pela figura abaixo, considere os pontos P (x1,y1) e Q(x2,y2)
Figura A.4: Distaˆncia entre dois pontos.
|−−→PQ|2 = |x2 − x1|2 + |y2 − y1|2 = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
65
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A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
|−−→PQ| =
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
Ponto Me´dio
Considere treˆs pontos sobre uma reta A(x1,y1), B(x2,y2), P (x,y), onde
P e´ o ponto me´dio entre A e B, enta˜o AP = PB. Portanto,
x =
(x1 + x2)
2
, y =
(y1 + y2)
2
P =
(
x1 + x2
2
,
y1 + y2
2
)
Figura A.5: Ponto me´dio.
A.1.2 A Equac¸a˜o da Reta no plano
E´ fa´cil perceber que dois pontos distintos definem uma u´nica reta. Con-
sidere a reta definida por A(x0,y0) e B(x1,y1). Um ponto P (x,y) esta´ sobre
a reta desde que A,B e P sejam colineares, como podemos observar pela
figura abaixo.
Tal condic¸a˜o de alinhamento e´ satisfeita se os triaˆngulos ABM e APN
forem semelhantes,
PN
AN
=
BM
AM
Portanto,
y − y0
x− x0 =
y1 − y0
x1 − x0 .
Onde, x0,y0,x1,y1 sa˜o nu´meros conhecidos. Tal constante e´ o coefici-
ente angular da reta a e pode ser calculado dividindo-se a variac¸a˜o 4y das
ordenadas dos pontos conhecidos da reta pela variac¸a˜o4x de suas abscissas.
66
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A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura A.6: Definic¸a˜o da equac¸a˜o da reta.
a =
4y
4x =
y1 − y0
x1 − x0 .
Enta˜o,
y1 − y0
x1 − x0 = a ou y − y0 = a(x − x0) e´ a equac¸a˜o na forma ponto
coeficiente angular. Isolando y, temos y = ax− ax0 + y0, onde ax0 + y0 = b,
enta˜o a forma da equac¸a˜o reduzida da reta e´ dada por
y = ax+ b.
Sendo assim, a e´ o coeficiente angular da reta e b o coeficiente linear. Di-
zer que y = ax+b e´ uma equac¸a˜o de uma dada reta significa que todo ponto
dareta tem coordenadas que satisfazem sua equac¸a˜o. Reciprocamente, todo
par ordenado que satisfaz sua equac¸a˜o e´ um ponto da reta.
Declividade ou coeficiente angular
Considere uma reta r na˜o paralela ao eixo Oy e α sua inclinac¸a˜o, o
coeficiente angular a e´ o nu´mero real que expressa a tangente trigonome´trica
de sua inclinac¸a˜o α.
a = tgα
Observe a seguir os casos com 0◦ ≤ α < 180◦ :
A equac¸a˜o da reta horizontal e´ y = b.
67
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A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura A.7: Reta horizontal.
Figura A.8: Reta com coeficiente angular negativo.
Figura A.9: Reta com coeficiente angular positivo.
68
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A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Figura A.10: Reta vertical.
A equac¸a˜o da reta vertical e´ x = c.
Observamos que uma reta com coeficiente angular positivo dirige-se para
cima e para direita, e, uma reta com coeficiente angular negativo dirige-se
para baixo e para direita.
Exemplo 35. Como calcular o coeficiente angular: Dados dois pontos da
reta, por exemplo, A(2,3) e B(4,7), enta˜o:
a =
7− 3
4− 2 =
4
2
= 2
Equac¸a˜o da reta conhecidos um ponto e a declividade:
Considere P (x,y) um ponto gene´rico sobre a reta e a a declividade (co-
eficiente angular), temos
tgα = a =
y − y1
x− x1 ⇒ y − y1 = a(x− x1)
Exemplo 36. Se o ponto A(3,2) pertence a reta r e o coeficiente angular
da reta e´ 2, usando a equac¸a˜o (y − y1) = a(x− x1), temos:
(y − 2) = 2(x− 3)⇒ (y − 2) = 2x− 6⇒ y = 2x− 4.
Equac¸a˜o Geral da reta:
Toda reta possui uma equac¸a˜o na forma ax+ by + c = 0 na qual a,b e c
sa˜o constantes e a e b na˜o sa˜o simultaneamente nulos, chamada de equac¸a˜o
geral da reta.
Retas paralelas
69
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A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Duas retas sa˜o paralelas quando na˜o existe um ponto comum a elas. Por-
tanto, duas retas sa˜o paralelas se, e somente se, possuem a mesma inclinac¸a˜o
a e cortam o eixo Oy em pontos diferentes.
Figura A.11: Retas paralelas.
Retas concorrentes
Figura A.12: Retas concorrentes.
Exemplo 37. Dadas as retas r : 3x + 2y − 7 = 0 e s : x − 2y − 9 = 0,
determinar o ponto P de intersec¸a˜o das retas r e s.
Soluc¸a˜o: Resolver o seguinte sistema:{
3x+ 2y − 7 = 0
x− 2y − 9 = 0
70
IMEF - FURG
A.1. CONCEITO DE PRODUTO CARTESIANO
Temos: 4x − 16 = 0 ⇒ 4x = 16 ⇒ x = 4, substituindo na segunda
equac¸a˜o, y =
−5
2
. Portanto, P (4,
−5
2
).
Retas perpendiculares
Duas retas sa˜o perpendiculares quando o aˆngulo entre elas e´ 90◦. Sejam,
r : y = ax+ b e s : y = mx+ n, r e s sa˜o perpendiculares se ma = −1.
Figura A.13: Retas perpendiculares.
71
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Apeˆndice B
Geometria
B.1 Geometria
B.1.1 A´rea de um paralelogramo
A a´rea de um paralelogramo e´ igual ao produto do comprimento de um
lado pelo comprimento da altura, relativa a`quele lado.
B.1.2 A´rea de um triaˆngulo
A a´rea de um triaˆngulo e´ igual a metade do produto do comprimento de
um lado pelo comprimento da altura, relativa a`quele lado.
72
B.1. GEOMETRIA
B.1.3 Tetraedro
O tetraedro regular e´ um so´lido platoˆnico, figura geome´trica espacial
formada por quatro triaˆngulos equila´teros (triaˆngulos que possuem lados
com medidas iguais); possui 4 ve´rtices , 4 faces e 6 arestas. E´ um caso
particular de piraˆmide regular de base triangular.
73
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Apeˆndice C
Fo´rmulas Trigonome´tricas
C.1 Fo´rmulas
C.1.1 Definic¸a˜o
Seno: sin θ =
y
r
=
1
csc θ
Cosseno: cos θ =
x
r
=
1
sec θ
Tangente: tan θ =
y
x
=
1
cotgθ
74