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FÍSICA III
ELETROMAGNETISMO
	
Notas de aula
SUMÁRIO
Capítulo 21 - Carga Elétrica ---------------------------------------------------------------------- 03
Capítulo 22 - Campo Elétrico -------------------------------------------------------------------- 07
Capítulo 23 – Lei de Gauss ----------------------------------------------------------------------- 12
Capítulo 24 – Potencial Elétrico ---------------------------------------------------------------- 15
Capítulo 25 – Capacitância ---------------------------------------------------------------------- 21
Capítulo 26 – Corrente e Resistência --------------------------------------------------------- 26
Capítulo 27 – Circuitos Elétricos --------------------------------------------------------------- 31
Capítulo 28 – Campo Magnético -------------------------------------------------------------- 38
Capítulo 29 – Campos magnéticos produzidos por correntes, Lei Ampére ---------- 44
Capítulo 30 – Indução e Indutância ----------------------------------------------------------- 50
Capítulo 21 – Carga Elétrica
Composição dos átomos: prótons, elétrons e nêutrons. 
Dimensão dos átomos: 10-10 m, analogia estádio. 
Um copo de 200 ml de água (200 g) contém aproximadamente 2x1025 átomos.
Carga elétrica
É uma propriedade da matéria, assim como a massa.
Prótons e elétrons possuem cargas opostas e com mesma intensidade. Convencionou-se que os elétrons possuem carga negativa e os prótons, carga positiva. 
Cargas de mesmo sinal se repelem e cargas de sinais opostos se atraem
Contato
Unidade de carga elétrica: Coulomb1 C = 6,25x1018 prótons
1 próton possui uma carga elétrica de Coulomb.
Da mesma forma, cada elétron possui uma carga de–1,6x10–19 C.
Como não existe meio próton, ou 0,4 elétrons, dizemos que a carga é quantizada, ou seja, só pode ser um múltiplo inteiro da carga dessas partículas.
Se a carga resultante de um objeto é +4,8x10-19 C, então podemos concluir que existem 3 prótons a mais que elétrons nesse material (por exemplo 1000 elétrons e 1003 prótons). Se a carga resultante for –3,2x10–18 C, então existem 20 elétrons a mais que prótons. 
O estudo das cargas elétricas é muito importante, pois é a base para uma grande área da Física: o Eletromagnetismo. 
Condução
Nos átomos é muito mais fácil arrancar um elétron do que arrancar um próton. Por isso, nos sólidos os elétrons são os responsáveis pelo transporte de carga elétrica. 
Os materiais nos quais as cargas elétricas se movem com maior facilidade em seu interior são chamados de condutores elétricos. Exemplos: metais. Os materiais nos quais as cargas elétricas se movem com maior dificuldade em seu interior são chamados de isolantes ou dielétricos. Exemplos: borracha, vidro e plásticos.
Existem também os materiaissemicondutores, com propriedades intermediárias como o germânio e silício.
Eletrização
Todos os objetos geralmente apresentam a mesma quantidade de elétrons (com carga negativa) e de prótons (com carga positiva), e por isso são chamados de eletricamente neutros: a carga total é zero. Quando atritamos dois materiais diferentes como o cabelo humano e um pedaço de plástico, podemos retirar alguns poucos elétrons do cabeloe transferi-los ao plástico. Esse processo é chamado de eletrização. Dessa forma, ambos adquirem uma pequena carga elétrica resultante; a do cabelo é positiva e a do plástico é negativa. Dizemos então que esses objetos estão eletricamente carregados.
Os objetos eletricamente carregados interagem exercendo força uns sobre os outros.
Positivo x positivo
Negativo x negativo
Positivo x negativo
Negativo x condutor neutro
Link acessar: http://phet.colorado.edu/pt/simulation/balloons
Condutores esféricos
Se colocarmos 2 elétrons em uma esfera condutora, eles irão se repelir e um ficará no lado oposto ao outro. Se colocarmos um terceiro, eles se rearranjarão de forma que um fique o mais longe possível do outro. O mesmo processo ocorre com cada novo elétron que for colocado na esfera. Se forem colocados 1 milhão de elétrons na esfera condutora, eles se distribuirão uniformemente na superfície.
Lei de Coulomb
 , onde:
F é a força eletrostática entre duas cargas de valores Q1 e Q2;
	r é a distância entre as duas cargas e
	ε0 (letra grega Épsilon) é a permissividade do vácuo 
Força é uma grandeza vetorial. No caso de várias forças, a soma deve ser vetorial.
Exemplos:
1) 2) Cargas formando um 
triângulo equilátero
3) A que distância x da origem deve-se colocar uma carga +q para que ela fique parada? Considere Q1 = +8q e Q2 = –2q
Lista Cap 21 – Carga Elétrica
11 - Na figura, três partículas carregadas estão sobre o eixo x. As partículas 1 e 2 são mantidas fixas. A partícula 3 está livre para se mover, mas a força eletrostática exercida sobre ela pelas partículas 1 e 2 é zero. Se L23 = 2.L12, qual é o valor da razão q1/q2?
Dica: Comece fazendo o desenho. Lembre-se que atuam apenas duas forças na terceira carga.
Você não tem o ângulo θ para calcular seu cosseno, mas tem o valor do cateto adjacente e da hipotenusa.
Gabarito
1 – 1,39 m
11 - 
13 – 1,6 N2,77 N
27 – 6,25x1011
38 – +3,52x10-25 N î, 0
48 – 0,375
72 – F1x = 8,64 x10-5N F1y = 6,48 x10-5N F2x = 0F2y = 1,2x10-4NFtotal = 2,04x10-4N
Cap 22 – Campo Elétrico
Como uma partícula carregada “sente” a presença de outra partícula carregada? Em outras palavras, como ocorre a interação à distância entre essas duas partículas, já que elas não estão em contato?
Para responder essa questão, usamos um conceito chamado campo elétrico. O campo elétrico é uma modificação nas propriedades do espaço em volta de uma carga elétrica. 
“o espaço ao redor de cada corpo eletricamente carregado está preenchido por um campo elétrico – uma espécie de aura que se estende através do espaço.”
Assim, ao colocarmos uma carga elétrica QA num lugar onde existe um campo elétrico chamado de E, a carga experimentará uma força elétrica devido à sua interação com o campo. 
Definimos, matematicamente, o campo elétrico de acordo com a equação abaixo:
, onde B é o campo elétrico gerado por uma carga QB e é a força elétrica experimentada pela carga QA em função do campo elétrico gerado por QB.
O campo elétrico é um campo vetorial, ou seja, para cada ponto no espaço próximo a uma carga elétrica, o campo tem uma intensidade, uma direção e um sentido definidos.
Podemos perceber que a direção de E é sempre a direção da força. 
Se a carga colocada no campo for positiva, o sentido será o mesmo do campo. Se a carga for negativa, o sentido da força será oposto ao sentido do campo.
Unidade: N/C
Linhas de Campo Elétrico
São linhas que representam o campo elétrico e permitem uma fácil visualização de sua intensidade e direção. A direção é sempre tangencial à linha e a intensidade é proporcional ao número de linhas.
Campo produzido por uma carga negativa:
Campo produzido por duas cargas próximas: uma positiva e outra negativa (dipolo elétrico).
Campo elétrico produzido por uma placa infinita carregada positivamente
Carga pontual em um campo elétrico uniforme
Exemplo 22-4
Precipitador Eletrostático (controle ambiental em cimenteira e siderurgia)
Campo elétrico produzido por uma carga pontual
Quando duas cargas elétricas produzem ao mesmo tempo campos elétricos na mesma região do espaço, o campo elétrico resultante é igual à soma dos efeitos produzidos por cada uma das cargas. Chamamos esse efeito de Princípio da Superposição. Para calcularmos a soma dos efeitos, devemos realizar uma soma vetorial dos campos elétricos.
Exemplo 22-1 (modificado) 
A figura mostra três partículas de cargas q1 = +2Q, q2 = –3 Q e q3 = –4Q, todas situadas a uma distância d da origem. Determine o campo elétrico total E produzido na origem pelas três partículas.Forno de micro-ondas (dipolo elétrico)
Rigidez dielétrica
É o valor limite de campo elétrico dividido por distância para que um material se comporte como um dielétrico (isolante). Se aumentarmos o valor desta razão (aumentando E ou diminuindo d), um material que era isolante passa a se comportar como condutor.
Joguinho: http://phet.colorado.edu/pt/simulation/electric-hockey
Exercícios Cap 22
13 - Na figura as três partículas são mantidas fixas no lugar e têm cargas q1 = +e, q2 = +2e, q3 = +3e, onde e = 1,6x10-19 C. A distância a = 6,0x10-6 m. Determine o módulo do campo elétrico no ponto P.
Obs: lembre-se que uma carga de –300e corresponde à carga de 300 elétrons
Dica: Ache a distância do ponto P até as cargas. Você não tem o ângulo θ para calcular seu cosseno, mas tem o valor do cateto adjacente e da hipotenusa.
Gabarito
7 – -30 cm
9 – 1,02x105 N/C ^j
10 – 115,2 N/C
11 – 1,38x10-10 N/C 180º
13 – 253 N/C
14 – 3,93x10-6 N/C -76,4º
22 – 1,72x10-15 C/m -3,82x10-14 C/m² -9,55x10-15 C/m² 1,43x10-12 C/m³
39 – 3,51x1015 m/s²
43 – 1,5x103 N/C2,4x10-16 N 1,6x10-26 N 1,5x1010
47 – 10,4x106 N/C
Cap 23 – Lei de Gauss
Fluxo de um campo
Para entender a Lei de Gauss, devemos primeiro saber o que é o fluxo de um campo.
Fluxo de um campo, seja ele elétrico ou magnético, é uma grandeza porporcional ao número de linhas de campo que atravessa uma determinada área. Matemáticamente, o fluxo é igual ao produto escalar entre a intensidade do campo e o vetor normal à superfície que ele atravessa.
 fluxo do campo elétrico
 fluxo do campo magnético
Podemos também calcular o fluxo de um campo em uma superfície fechada (caixa quadrada, esfera ou qualquer outra figura tridimensional que delimite um volume). Essa superfície recebe o nome de gaussiana. Neste caso,
O círculo no sinal de integral indica que a integração deve ser realizada em uma superfície fechada.
Exemplo: esfera
Exemplo 23.1 - A figura mostra uma superfície gaussiana fechadacom a forma de um cilindro de raio R imersa em um campo elétrico uniforme E. Qual é o fluxo do campo elétrico através dessa superfície fechada?
Lei de Gauss
O fluxo do campo elétrico que atravessa uma superfície fechada multiplicado por uma constante é igual à carga elétrica envolvida pela superfície fechada.
Podemos interpretar a Lei de Gauss da seguinte maneira:
Em uma caixa fechada existe uma quantidade de cargas elétricas que não conhecemos. Não podemos abrir a caixa, mas podemos medir a influência da carga elétrica fora da caixa. Quanto mais cargas, maior será o campo que atravessa a superfície da caixa. Se medirmos o campo elétrico que atravessa a caixa em cada pedacinho de área e somarmos todas as contribuições individuais (e multiplicarmos por uma constante), conseguimos saber qual é a quantidade de cargas que existe dentro da caixa sem abri-la!
Entretanto não consegumos saber quantas cargas positivas e quantas negativas estão lá. Apenas a soma delas. Se a carga for positiva, o fluxo será positivo (saindo da caixa); se for negativa, o fluxo será negativo (entrando na caixa). Também não somos capazes de dizer qual a localização exata das cargas, apenas que estão dentro da caixa.
Se a nossa caixa (superfície gaussiana) não envolve uma carga q1 que está próxima a ela, as linhas de campo geradas por q1 entram e saem da superfície, contribuindo em nada para o fluxo.
A Lei de Gauss é uma das 4 Leis fundamentais do Eletromagnetismo e tem como caso particular a Lei de Coulomb quando a superfície gaussiana é uma casca esférica.
Exemplo: linha infinita de cargas (simetria cilíndrica)
Uma outra Lei fundamental do Eletromagnetismo é Lei de Gauss para campos magnéticos. Como sabemos, campos magnéticos são produzidos por cargas elétricas em movimento e nunca aparecem com seus polos separados. Um pólo norte sempre vem acompanhado de um pólo sul. Portanto, mesmo que um ímã esteja dentro de uma caixa fechada, toda linha de campo magnético que sair da caixa sempre retornará a ela em outro ponto. Assim o fluxo de campo magnético que atravessa uma superfície fechada (gaussiana) é sempre nulo. 
Essa lei pode ser interpretada como a afirmação da inexistência de monopólos magnéticos.
Gabarito
4) -4,3nC
23) 5 μC/m
44) -6,64nC
47) 25 kN/C 13,5kN/C
58) 4,218 kN/C 9,642 kN/C
Capítulo 24 – Potencial Elétrico
Energia Potencial Elétrica
Quando uma partícula carregada sofre uma força produzida por outra partícula também carregada, ela pode se deslocar se não estiver presa. Quando um objeto se desloca sob a ação de uma força, sabemos que um trabalho está sendo realizado sobre ele. 
, onde é o deslocamento infinitesimal.
A força elétrica é uma força conservativa e, portanto, podemos associar a ela uma energia potencial elétrica ΔU. Sabemos que existe uma relação entre o trabalho realizado por uma força conservativa e a variação da energia potencial: 
W = –ΔU = – (Uf– Ui) = Ui– Uf
Assim como podemos definir a energia potencial gravitacional como sendo igual a zero no nível do chão, também podemos usar uma definição para a energia potencial elétrica que facilite nossos cálculos. Vamos então definir que a energia potencial de uma configuração de partículas carregadas é igual a zero quando a distância entre elas tende a infinito: U∞ = 0. Dessa forma, considerando que duas partículas estavam inicialmente separadas por uma distância infinita (Ui = 0), a energia potencial elétricafinal da configuração Ufquando aproximamos as duas partículas é igual ao negativo do trabalho realizado para trazer uma das cargas do infinito até a posição final.
Uf = U = –W∞.
Exemplo: Vamos calcular a energia potencial elétrica de um sistema de duas partículas Q1 e Q2que se encontram separadas por uma distância R.
Obs: Quando o campo elétrico é uniforme, a força elétrica é constante e não precisamos recorrer a integrais. Nesses casos, U = W = 
Potencial Elétrico
Potencial Elétrico é uma grandeza física associada a um campo elétrico, independente da presença ou não de outras cargas. Por exemplo: 
Se temos uma partícula de 1,6x10-19 C colocada em um campo elétrico que lhe confere uma energia potencial de 2,4x10-17 J, a energia potencial por unidade de carga elétrica é:
Se colocarmos outra partícula com o dobro da carga (3,2x10-19 C), sua energia potencial nesse mesmo campo também duplicará (, e assim a razão entre energia potencial e carga elétrica nesse campo terá o mesmo valor (150 J/C). Essa razão não depende do valor ou mesmo da existência de uma carga de prova colocada no campo elétrico; depende apenas do campo elétrico. Chamamos essa grandeza de Potencial Elétrico(V).
O Potencial Elétrico é uma grandeza escalar e pode adquirir um valor em cada ponto do espaço (que varia de acordo com a intensidade do campo elétrico). 
A diferença de potencial entre dois pontos no espaço pode ser dada por:
Assim, usando Ui = 0 no infinito, 
A unidade de potencial elétrico é o volt. 1V = 1 J/C
Podemos também expressar campos elétricos em função de V:1V/m = 1N/C
Uma outra unidade que pode ser utilizada é o elétron-volt (eV). 1eV é igual à energia necessária para deslocar uma carga de 1,6x10-19 C (carga de um próton) através de uma diferença de potencial de 1 V. 1 eV = 1,60x10-19 J.
Cálculo do potencial elétrico a partir do campo
Se o ponto inicial i está no infinito, Vi = 0 e, então,
Exemplo 24-2
Potencial produzido por uma carga pontual
Vamos manter uma carga +q fixa e soltar uma carga de prova +q0 a uma distância R dela. A carga de prova se desloca do ponto inicial até o infinito sob a ação da força elétrica da carga +q. Temos que:
Usando Vf = V(∞) = 0 e Vi = V(R) = V, temos
Obs: o sinal do potencial acompanha o sinal da carga que o produziu. Se a carga tivesse sidonegativa, o potencial seria negativo.
Potencial produzido por um grupo de cargas pontuais
Para descobrir o Potencial Elétrico produzido por um grupo de cargas pontuais, basta usar o princípio da superposição, ou seja, somar os potenciais produzidos por cada carga. Como o Potencial é uma grandeza escalar, não é necessário fazer uma soma vetorial; apenas uma soma algébrica.
Exemplo 24-3:
Qual o valor dopotencial elétrico no ponto P? Considere que q1 = +12 nC, q2 = –24 nC, q3 = +31 nC, q4 = +1 nC, d = 1,3 m
Cálculo do campo elétrico a partir do potencial
Para obter o campo elétrico a partir do potencial, devemos realizar a operação inversa à integral de linha utilizada para obter o potencial a partir do campo elétrico. 
Assim, , ou seja,
Energia potencial elétrica de um sistema de cargas pontuais
Para aproximarmos duas cargas do infinito até uma posição finita, devemos realizar um trabalho contra a força elétrica que uma exerce na outra e, portanto, armazenamos na nova configuração uma energia potencial elétrica no sistema. Então podemos definir:
“A energia potencial de um sistema de cargas pontuais fixas é igual ao trabalho que deve ser executado por um agente externo para montar o sistema, começando com as cargas a uma distância infinita umas das outras.”
Assim, a energia potencial de duas partículas q1 e q2a uma distância r uma da outra pode ser dada por:
, onde o trabalho foi positivo porque foi realizado contra o campo, e não pelo campo.
Para calcular a energia potencial de um sistema de mais partículas, deve-se realizar a soma das energias potenciais de cada par de cargas. Por exemplo, para 3 partículas a energia potencial U = U12 + U13 + U23. 
Para cada par de partículas, se eles se atraem, a U é negativa (as cargas têm sinais opostos e o produto fica negativo); se elas se repelem, a U é positiva (o produto das cargas é positivo). 
Exemplos
Comparação entre equações para cargas pontuais
Potencial em um condutor carregado
Já vimos que cargas elétricas excedentes se acumulam na superfície de corpos condutores. A configuração que elas atingem faz com que o campo elétrico seja nulo em todo o interior desses corpos (se não fosse assim, elétrons que compõem o material e não estão em excesso no interior desses objetos sofreriam forças elétricas e se deslocariam, provocando um rearranjo das cargas. Esse processo continuaria até que a configuração das cargas excedentes produzisse um campo nulo no interior do objeto).
Sabemos agora que o potencial depende do campo elétrico. Se o campo elétrico é nulo no interior de um condutor (. Podemos então concluir que se o campo elétrico é nulo, o potencial possui um valor constante em todo o interior do objeto.
Quando colocamos um condutor dentro de um campo elétrico externo, os elétrons de condução se reconfiguram de forma que o campo elétrico no seu interior permaneça nulo. Usando esse princípio, Michael Faraday construiu uma gaiola metálica que produz uma blindagem eletrostática que conhecemos como gaiola de Faraday. 
Um carro pode se comportar como uma gaiola de Faraday em uma tempestade. Um raio que caia nele faz os elétrons da lataria de rearranjarem de modo que nenhum campo elétrico seja transmitido ao interior do carro, cujo potencial permanece inalterado.
1) 2,8x105
4) 2,46 V 2,46 V 0
5) 8,8 mm
12) -4,5x103 V -4,5x103 V 
15) 0,562 mV
34) -39 N/C para a placa 1
41) -0,192 x10-12 J
43) 0,90 J 4,5 J
44) 1,152x10-19 J aumenta
63) 2,5x10-8 C
Cap 25 – Capacitância
A capacitância (ou capacidade indutiva específica) foi definida pela primeira vez por Michael Faraday como a capacidade que um objeto tem de se polarizar ao ser induzido por um campo elétrico: quanto maior a facilidade de ter suas cargas separadas por um campo elétrico, maior a capacitância do objeto.
Dessa definição podemos observar que quanto maior a capacitância de um objeto, mais cargas podem ser separadas nele por ummesmo campo elétrico.
O capacitor é um dispositivo muito utilizado em circuitos elétricos cuja principal característica é sua capacitância. Ele consiste em duas placas metálicas equidistantes em toda sua extensão e que assumem formas de planos paralelos, cilindros coaxiais ou esferas concêntricas.
A função dos capacitores em circuitos elétricos pode ser entendida como o armazenamento de carga elétrica nas placas e, consequentemente, o armazenamento de energia potencial elétrica. O capacitor, em relação a pilhas, tem a vantagem de poder descarregar essa carga e essa energia de forma muito rápida, sendo, portanto, utilizado em dispositivos como flashes fotográficos, raquetes de pernilongo ou luzes intermitentes de alerta.
Matematicamente é possível relacionar a carga acumulada nas placas com a diferença de potencial entre elas e com a capacitância do capacitor:
q = CV, 
onde V é a diferença de potencial entre as placas, C é a capacitância do capacitor e q é o módulo da carga em uma das placas. 
Vale ressaltar que, em um capacitor carregado, as placas têm o mesmo módulo de carga armazenada, porém com sinais opostos.
A unidade de capacitância é C/V = farad (F)
Cálculo da capacitância
A carga elétrica na superfície de uma das placas é dada em função do campo elétrico como:
Q = ε0EA
(Quando estudarmos a Lei de Gauss veremos que esta equação acima é trivial)
A diferença de potencial entre duas placas de um capacitor carregadas com cargas opostas é dada por:
Utilizando as equações q = CV e as duas equações para a carga e a diferença de potencial, mostradas logo acima, é possível calcular a capacitância de capacitores de placas paralelas. Realizando a integral e fazendo as substituições, temos:
Capacitor de placas paralelas:
onde“A” é a área da placa.
Associação de capacitores
Os capacitores de um circuito às vezes podem ser substituídos por um capacitor equivalente, ou seja, um único capacitor que se comporta da mesma maneira que o conjunto de capacitores substituídos. Esse procedimento pode ser utilizado para simplificar a análise de circuitos elétricos.
Capacitores ligados em paralelo
Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em paralelo, a diferença de potencial V émesma entre as placas de todos os capacitores, e a carga armazenada total q armazenada no conjunto de capacitores é a soma das cargas armazenadas individualmente nos capacitores pela diferença de potencial V.
(soma das áreas)
Capacitores ligados em série
Quando uma diferença de potencial V é aplicada a vários capacitores ligados em série, a carga q armazenada é a mesma em todos os capacitores e a soma das diferenças de potencial entre as placas dos capacitores é igual à diferença de potencial aplicada V. 
Capacitores ligados em série podem ser substituídos por um capacitor equivalente com a mesma carga e a mesma diferença de potencial total V que os capacitores originais. 
Lembrando que 
, podemos concluir que
Link para acessar: http://phet.colorado.edu/pt/simulation/battery-resistor-circuit
Leitura sugerida: seções 25.6 e 25.7 do livro-texto.
Energia acumulada em um capacitor
Lista Cap 25
Gabarito
4 – 8,85x10-12 m
5 – 144 pF 17,3 nC
6 – 84,5 pF 191 cm²
8 – 7,33x10-6 F
10 – 9090
12 – 1x10-4 C 2x10-5 C 
17 – 3 μF 60 μC 10 V 30 μC 10 V 20 μC 5 V 20 μC
13 – 789,5 μC 78,95 V
31 – 72 F
29 – 0,27 J
14 – 60 μC
15 – 42,86 pF 20 – 20 μC
Cap 26 – Corrente e Resistência
A corrente elétrica é uma grandeza física que mede o fluxo temporal de cargas elétricas em uma região. Em outras palavras, ela informa qual é a quantidade líquida de cargas sendo transportada em um intervalo de tempo. A unidade no sistema internacional de corrente é o Ampère, que corresponde a 1 Coulomb por segundo.Se uma corrente de 5 Ampères passa por um fio, então ele transporta de uma extremidade a outra 5 Coulombs a cada segundo.
Sabemos que em condutores existem muitos elétrons que se movimentam livremente pelo material. Mesmo quando não são induzidos por um campo elétrico externo, esses elétrons se movimentam no interior do condutor com velocidades altíssimas (~106 m/s) e em direções aleatórias. Como consequência da direção aleatória e do elevado número de elétrons se movimentando nessa situação, a quantidade de cargas que atravessa um plano imaginário perpendicular ao fio da direita para a esquerda é estatisticamente igual à quantidade que atravessa da esquerda para a direita. Podemos dizer nesse caso que a corrente no fio é igual a zero, pois a carga LÍQUIDA que o atravessa é igual a zero.
Quando ligamos um circuito, como por exemplo uma bateria e uma lâmpada interligadas por fios, a diferença de potencial entre os terminais da bateria produz um campo elétrico através do fio que induz nos elétrons que lá existem um movimento UM POUCO mais ordenado que o movimento aleatório descrito no parágrafo anterior. O campo elétrico no fio faz com que os elétrons que se movimentam, por exemplo, da esquerda para a direita tenham uma velocidade média ligeiramente aumentada (~10-5 m/s), enquanto os elétrons que se movimentam da direita para a esquerda tenham a sua velocidade ligeiramente reduzida (~10-5 m/s). Isso faz com que haja uma pequena tendência dos elétrons se deslocarem mais para a direita que para a esquerda, produzindo então um movimento líquido de cargas ou uma corrente elétrica que tem velocidade média da ordem de 10-5 m/s.
(luz acende depressa)
Definição de corrente:
Sentido da corrente
Antes de se conhecer a estrutura atômica da matéria (elétrons, prótons e nêutrons), convencionou-se que a corrente elétrica fluía do potencial mais alto para o potencial mais baixo (assim como uma bola desce uma rampa indo do potencial gravitacional alto para o baixo). Entretanto, hoje sabemos que elétrons são atraídos para regiões com alto potencial e prótons são atraídos para regiões com baixo potencial elétrico. Somando o fato de que os elétrons são livres pra se moverem e que os prótons estão presos na estrutura do material, podemos concluir que:
apesar de os elétrons se moverem num sentido em um circuito (potencial baixo para alto), a corrente elétrica aponta para o outro sentido (potencial alto para baixo).
Densidade de corrente
Densidade de corrente é uma grandeza que associa a corrente que passa por uma seção transversal com a área desta seção. Matematicamente,
Onde J é a densidade de corrente, i é a corrente e A é a área da seção transversal.
Resistência Elétrica
Resistência elétrica de um objeto é uma grandeza física que representa a dificuldade que uma corrente encontra para atravessá-lo. Quanto maior a resistência, mais o objeto resiste à passagem da corrente. Microscopicamente, a resistência existe devido às “colisões” entre os elétrons do material, dificultando a locomoção deles.
A resistência elétrica R de um objeto é definida matematicamente como a razão entre a diferença de potencial V aplicada em seus terminais e a corrente i que passa por ele.
A unidade volt/ampère é chamada de ohm (Ω). 
Sabemos que quanto mais extenso for um fio, maior será a dificuldade para um elétron atravessá-lo. Podemos perceber então que a resistência é uma grandeza que depende da geometria do objeto. Entretanto, às vezes pode ser interessante saber qual a dificuldade que um elétron tem de se movimentar em um determinado tipo de material.
Resistividade Elétrica
Resistividade elétrica é uma grandeza que nos permite saber qual a dificuldade que um elétron tem de se movimentar em um determinado tipo de material, sem nos importar com o formato do objeto onde o elétron vai se movimentar. Matematicamente, temos:
Onde é a resistividade de um material, E é o campo elétrico e J é a densidade de corrente. 
Note que a resistividade é uma propriedade do material, enquanto a resistência é uma propriedade de um objeto.
Existe uma relação entre resistência e resistividade:
Lei de Ohm
A Lei de Ohm diz que a corrente em um objeto é diretamente proporcional à diferença de potencial aplicada sobre ele. Se aumentamos a d.d.p, a corrente aumenta na mesma proporção. Podemos também concluir que a resistência do objeto é constante e não depende da d.d.p, nem da corrente.
A lei de Ohm não é a expressão V=R.i.
Existem dispositivos que obedecem à lei de Ohm (possuem resistência constante) e dispositivos que não obedecem a essa lei (possuem resistência variável).
Link sugerido: http://phet.colorado.edu/pt/simulation/battery-resistor-circuit
Obs: resistência aumenta com a temperatura
Potência em circuitos elétricos
Quando uma bateria é ligada por fios a lâmpadas ou motores ou outros dispositivos, ela fornece energia para esses dispositivos. O diferencial de energia potencial armazenado na bateria que é transferido para esses dispositivos pode ser dado como:
Dividindo os dois lados da equação por dt, temos:
A quantidade dU/dt é a energia transferida para o circuito por unidade de tempo, conhecida também como potência.
A unidade de potência no sistema internacional é:
Em circuitos resistivos podemos também combinar a equação da potência com a definição de resistência para obtermos:
 e
kW.h, mA.h
518 41
Sugestão de leitura: seções 26.8 e 26.9 do livro-texto
Lista Cap 26
52 – Em Brasília, a diferença de potencial das instalações residenciais é de 220 V, em vez dos 110 V usados em Minas Gerais. Se você comprar em Brasília uma lâmpada projetada para funcionar com 220 V e 60 W, qual deve ser a potência consumida por ela aqui em Minas Gerais? b) Qual a corrente que passa por essa lâmpada ligada nos 110 V de Sete Lagoas?
Gabarito
3 - 6,67x10-6 C/m²
20 –100 V
21 –54 ohms
23 - 3
27 –faltou a resistividade 3,35x10-7 C
33 –6 mA; 15,9 nV; 21,2 nΩ
38 –14000 C
43 –10,87 A; 10,58 Ω; 4,5x10-6J
49 –5,85 m; 10,4 m
51 –$4,464; 144 Ω; 0,833 A
Cap 27 – Circuitos Elétricos
Para falarmos de circuitos elétricos, primeiro vamos introduzir o conceito de força eletromotriz. Essa força eletromotriz não é uma força, mas por razões históricas é chamada assim. Podemos entendê-la como a quantidade de trabalho por unidade de carga que a bateria (ou fonte) realiza para transferir cargas do terminal de baixo potencial para o terminal de alto potencial.
Quando analisamos circuitos elétricos, podemos entender a força eletromotriz como uma diferença de potencial entre dois pontos A diferença entre essas duas grandezas é sutil e só fica evidente quando analisamos uma aplicação de uma das leis de Maxwell. Por agora vamos usar a força eletromotriz como se fosse igual a uma diferença de potencial.
Associação de resistores
Série
Em todos os resistores passa a mesma corrente. Podemos substituir todos os resistores por um resistor equivalente cuja resistência Req é igual à soma algébrica dos resistores em série.
Req = R1 + R2 + R3
Paralelo
Todos os resistores estão submetidos à mesma diferença de potencial.Podemos substituir todos os resistores em paralelo por um resistor equivalente cuja resistência é dada por:
Para 2 resistores em paralelo, 
Note que a associação de resistores em série segue a mesma regra de capacitores em paralelo e que a associação de resistores em paralelo segue a mesma regra que capacitores em série.
Circuito residencial: paralelo ou série?
Série: maior que o maior. Paralelo menor que o menor.
Exemplo de circuito misto
Divisor de corrente, de tensão, regra que eu descobri
Desafio : Quando ligamos em série, duas lâmpadas, uma de 40 W e outra de 100 W, qual delas brilhará mais? Ou elas terão o mesmo brilho?Alguns circuitos não podem ser classificados como série, paralelo ou mistos. Para resolver esses circuitos é necessário usar algumas técnicas avançadas de resolução de circuitos. A base para essas técnicas mais avançadas são as Leis de Kirchhoff.
Leis de Kirchhoff
São leis que auxiliam na análise de circuitos elétricos, principalmente quando existem várias fontes ou quando é difícil determinar a resistência equivalente de um circuito.
Lei dos nós
A soma das correntes que entram em um nó é igual à soma das correntes que saem.
Podemos interpretá-la como uma afirmação de que não existe acúmulo de carga elétrica em qualquer ponto de um circuito resistivo.
Lei das malhas
A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao percorrer uma malha fechada é sempre zero.
Como usar a Lei das malhas:
 * Quando atravessamos uma resistência no sentido da corrente a variação do potencial é –iR; quando atravessamos uma resistência no sentido oposto, a variação é +iR.
 * Quando atravessamos uma fonte (bateria) do terminal negativo para o terminal positivo, a variação do potencial é +V; Quando atravessamos uma fonte no sentido oposto, a variação é –V.
Exemplos (prova UFMG, 26-62 Young , 2 malhas halliday)
Link de simulação:http://phet.colorado.edu/pt/simulation/circuit-construction-kit-dc-virtual-lab
Sugestão de leitura: Seção 27.9 do livro-texto
Circuitos RC (Para engenharia Elétrica)
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Lista Cap 27
Gabarito
2 – 14,4 h
9 – paralelo; 4Ω
17 – 1A dir, 720 J
19 – 8Ω
24 – 4; 12
27 – 0,05 A; 0,06 A; 9 V
31 – 48,3 V
32 – 0; 1,25 A
37 – -0,667 A bai; -0,333 A cim; 0,333A cim; -3,333V
53 – 0,0552 A; 4,859 V; 88Ω; dim.
7 – 0,5 A ; 1W; 2W; 6W, 3W
6 – -10 V
4 – $320; $0,048
Cap 28 – Campo Magnético
O campo magnético é um campo parecido com o elétrico em alguns aspectos: ele é o mediador da interação entre dois objetos capazes de produzir campos magnéticos, como, por exemplo, 2 ímãs. 
Quando uma criança brinca com dois ímãs, ela percebe que dependendo de como ela aproxima os dois, eles podem se atrair ou se repelir. Dizemos que os ímãs têm dois polos: norte e sul. Seguindo a mesma regra para cargas elétricas, polos opostos se atraem e polos iguais se repelem. 
Podemos observar esse efeito também em bússolas. A Terra possui um campo magnético que orienta a agulha da bússola (que nada mais é que um ímã suspenso).
Linhas de campo
As linhas que representam o campo magnético de um ímã são mostradas na figura ao lado. 
Note que a configuração dessas linhas é a mesma configuração do campo elétrico de um dipolo elétrico. De fato, um ímã consiste em um dipolo magnético. Se quebrarmos um ímã ao meio, ao invés de separarmos um polo norte de um polo sul, criamos dois ímãs menores, cada um com um polo norte e um polo sul.
O que produz campos magnéticos?
Diferentemente dos campos elétricos, os campos magnéticos NÃO são produzidos por cargas magnéticas. Até hoje os cientistas não conseguiram observar uma partícula que possua uma carga magnética responsável por gerar um monopolo magnético. Os polos magnéticos são gerados sempre em pares por cargas elétricas que se movimentam.
Em um ímã, o dipolo magnético é gerado pela ação conjunta e alinhada do spin dos elétrons do material. O spin de um elétron pode ser interpretado como o campo magnético que ele cria quando gira em torno do próprio eixo.
Também podemos gerar campos magnéticos através de correntes elétricas (cargas em movimento). Essa abordagem será vista no próximo capítulo.
Definição da intensidade do campo magnético
A intensidade do campo magnético, assim como a do campo elétrico, é matematicamente definida através de uma equação que relaciona a força que esse campo produz em uma carga elétrica. No caso do campo magnético, a carga deve estar em movimento.
eq (1)
Na equação acima, FB é o vetor força magnética, q é a carga elétrica que se movimenta em uma região onde existe um campo magnético B e () é o produto vetorial entre o campo magnético e a velocidade da carga elétrica. O módulo da força magnética é:
 |FB| = qVBsenθ, onde θ é o ângulo entre a velocidade e o campo magnético.
Podemos então isolar o módulo do campo e defini-lo como:
A equação 1 é uma equação vetorial. Assim, para determinarmos a direção de um vetor em função dos outros, precisamos utilizar algumas regras de geometria analítica. Na física conhecemos essas regras como regra da mão direita e regra do tapa.
Regra do tapa: apontamos com os 4 dedos (todos, menos o polegar) para a direção e sentido das linhas de campo magnético. Colocamos o polegar apontando para o sentido da velocidade da carga elétrica. Nessa posição, a palma da mão aponta para a força exercida pelo campo sobre a carga positiva. Se a carga for negativa, a força será no sentido das costas da mão.
Exemplos diversos
Força magnética em um fio percorrido por corrente
Quando um fio é colocado numa região onde existe um campo magnético e passa por ele uma corrente, podemos observar uma força magnética atuando nas cargas que se deslocam. O cálculo dessa força é feito a partir da equação (1):
Onde L é o comprimento do fio que está submetido ao campo magnético.
A direção da força é dada pela regra do tapa.
Alto - falante
Torque em uma espira percorrida por corrente
Uma espira pode ser um elo de uma mola ou um fio cujo início se encontra com seu fim. Sua forma pode ser circular, quadrada ou outro polígono. Quando colocamos uma espira numa região onde existe um campo magnético e fazemos uma corrente percorrê-la, ela sofre a ação de forças magnéticas e de torques, como mostra a figura ao lado. Esse é o princípio físico por trás do funcionamento de motores elétricos. 
Uma partícula carregada em movimento circular
Vamos estudar uma partícula carregada se movendo apenas sob a ação de uma força magnética. Sabemos que essa força é sempre perpendicular à velocidade e ao campo magnético (pois é dada através do produto vetorial dos dois). Assim a força magnética nunca realiza trabalho em uma partícula carregada; não é capaz de aumentar nem diminuir sua velocidade, mas apenas de mudar sua direção. Essa força pode ser chamada de força centrípeta e o tipo de movimento experimentado pela partícula é circular e uniforme.
	A força magnética fazendo o papel de força centrípeta nos diz que:
Onde consideramos (V perpendicular a B)
Se quisermos, podemos descobrir o raio da circunferência em função dos outros termos. Também é possível descobrir o período T do movimento circular através de 
Se V não é perpendicular a B, podemos dividir a velocidade em duas componentes: uma paralela a B e outra perpendicular. A componente perpendicular será responsável por provocar na particular um movimento circular. A componente da velocidade paralela a B será constante tanto em módulo quanto na direção. Combinando os dois movimentos (circular e retilíneo uniforme), podemos ver que a partícula se movimentará numa trajetória helicoidal.
Gabarito
2) 6,24x10-18 N 9,36x108m/s²
6) -3,5x103 m/s 7,0x103 m/s.
8)3,75x103 m/s
17) 2,05x107 m/s 467 μT 13,1MHz 76,3 ns
19) 2,115x10-5 T
27) 65,327 km/s
28) 0,252T
39) 0,477 A
41) 28,19 N L
44)3,34x10-2 m/s
48) 0 0,138 N0,138 N 0
Cap 29 - Campos Magnéticos Produzidos por Corrente
Já sabemos que uma carga elétrica em movimento produz um campo magnético. Essa é uma lei que sempre ocorre na natureza. Neste capítulo será estudado como esse fenômeno ocorre (direção, sentido e módulo do campo) e algumas consequências dele. Também aprenderemos a primeira das 4 Leis fundamentais do Eletromagnetismo.Lei de Biot-Savart
Os cientistas Jean-Baptiste Biot e Félix Savart estudaram empiricamente a intensidade de campos magnéticos produzidos por correntes elétricas e concluíram que em um ponto P, o campo magnético depende da intensidade da corrente, do tamanho do fio, da distância r entre P e o fio e do ângulo entre o sentido da corrente e distância entre o ponto e o fio.
μ0 é uma constante chamada permeabilidade magnética do vácuo e vale 4πx10-7T.m/A.
A Lei de Biot-Savart nos dá o valor do elemento infinitesimal de campo produzido por umelemento infinitesimal de fio percorrido por corrente. Se integrarmos a equação para um fio longo (infinito) e retilíneo, obtemos a seguinte expressão: 
, que determina que o campo magnético do fio decresce com a distância.
Para determinar a direção e o sentido do campo, usamos a regra da mão direita:
Ao colocarmos o dedão na direção e sentido da corrente, fechando a mão os outros dedos apontam no sentido do campo magnético. 
Para achar o campo produzido por um fio em formato de um arco de circunferência, basta integrar a Lei de Biot-Savart no ângulo do arco que o fio faz (veja exemplo 19-1 do livro)
Força entre duas correntes paralelas
Podemos combinar a definiçãode campo magnético com a equação para o campo produzido por um fio longo para descobrir o valor da força que dois fios paralelos percorridos por correntes exercem um no outro. 
Combinando as regras do tapa para a força e da mão direita para o sentido do campo produzido, podemos observar que correntes paralelas se atraem e correntes antiparalelas se repelem.
Lei de Ampère
O circulo na integral significa que a integral é feita em uma curva fechada chamada amperiana (que podemos imaginar como sendo um barbante). ienv significa que a corrente está envolvida pela curva amperiana. 
Vamos entender o que significa a equação da Lei de Ampère, aplicando-a à figura ao lado.
Colocamos uma curva fechada em uma região no espaço. Escolhemos um sentido horário ou anti-horário para percorrer a curva. Em cada ponto da curva existe um campo magnético que pode ter uma componente no sentido de ds ou no sentido oposto. Como , quando a componente de B for no sentido de ds, o produto escalar terá um resultado positivo. Caso contrário o resultado será negativo. Quando percorrermos toda a curva e somarmos (integrarmos) todas as contribuições de , o resultado nos informará qual é a corrente elétrica total que passa através da curva fechada!! (multiplicada por uma constante). 
Dessa forma, é possível calcular a corrente total líquida que passa através de uma curva fechada conhecendo-se apenas o valor do campo magnético na curva.
Podemos também conhecer o sentido da corrente. Se o resultado da integração for positivo, ao percorrer a curva no mesmo sentido com os 4 dedos da mão direita, o dedão apontará no sentido da corrente. Se o resultado for negativo, a corrente estará no sentido oposto.
Podemos usar a Lei de Ampère para calcular o campo magnético produzido por um fio longo percorrido por corrente, tanto do lado de fora quanto do lado de dentro do fio.
Exemplos:1) fora do fio (2ª eq. do capítulo) 2) dentro do fio (numérico)
Campo Magnético em um solenoide
Aplicação da Lei de Ampère a um solenoide ideal percorrido por uma corrente i. A amperiana é o retângulo abcda.
Mas ienv = inh, onde n é o número de espiras por unidade de comprimento.
Assim, 
Gabarito
2) xxx
6) 1,67x10-6 T
13) -7,75 x10-23 N i
19) 80 μT
20) 143º
35) 8,84x10-11 N/m
42) -2,51x10-6 T.m -1,633x10-5 T.m
45) 0 0,85 mT 1,7 mT 0,85 mT
Cap 30 – Indução e Indutância
Lei de Indução de Faraday
Quando aproximamos um ímã de uma espira, podemos medir uma corrente circulando na espira, mesmo que ela não esteja ligada a uma bateria. Quando afastamos o ímã, também observamos o aparecimento de uma corrente no sentido oposto. Nesse fenômeno são observadas 3 características:
- A corrente é observada apenas se existe movimento relativo entre o ímã e a espira
- Quanto mais rápido o movimento, maior a corrente
- Quando aproximamos o polo norte da espira, o sentido da corrente é anti-horário. Se afastamos o polo norte, o sentido da corrente é horário. Se aproximamos o polo sul, o sentido da corrente é horário. Se afastamos o polo sul o sentido da corrente é anti-horário.
Num outro experimento, duas espiras são colocadas uma próxima da outra. A primeira é ligada a um circuito que pode ser aberto ou fechado por uma chave e a segunda é ligada a um amperímetro. Quando fechamos a chave do circuito observamos uma corrente elétrica na outra bobina por um curto período de tempo. Quando o circuito permanece ligado não existe corrente na outra bobina. Quando a chave do circuito é aberta, aparece uma corrente na outra espira por um curto intervalo de tempo.
Nesses dois experimentos a corrente na espira aparece devido a uma força eletromotriz que de alguma forma é induzida. Mas como ela é induzida? Faraday descobriu o que está por trás dessas observações.
“Uma força eletromotriz é induzida em uma espira quando o número de linhas de campo magnético que atravessam a espira varia. O módulo da força eletromotriz induzida é igual à taxa de variação temporal do fluxo magnético que atravessa a espira”	
Essa é a força eletromotriz induzida para cada espira. Para o caso de um solenoide de N espiras, a equação acima deve ser multiplicada por N.
Note que o fluxo pode ser variado através da variação da intensidade de B, da variação da área A ou da variação do ângulo θ.
Exemplo: Captador de guitarra
Link sugerido:
http://phet.colorado.edu/pt/simulation/faraday
Lei de Lenz
“A corrente induzida em uma espira tem um sentido tal que o campo magnético produzido pela corrente se opõe à variação do campo magnético que induz a corrente.”
Exemplo:Uma espira condutora tem uma parte de sua estrutura formada por uma semicircunferência colocada numa região onde existe um campo magnético B = 4t² + 2t + 3 que aponta para fora do plano do papel. Uma bateria com uma força eletromotriz de 2 V é ligada à espira que possui uma resistência de 2 ohms. No tempo t = 10 s determine:
a) εind pelo campo magnético
b) a corrente total na espira
Transformadores
São aparelhos essenciais para a transmissão de energia elétrica e muitas outras utilidades onde se deseja aumentar ou diminuir a força eletromotriz de um circuito elétrico. O princípio de funcionamento deles é a Lei de Faraday, pois controlando o fluxo do campo magnético em uma parte do circuito, controla-se também a força eletromotriz que atua na outra parte do circuito.
Indução e transferências de energia
Quando realizamos um trabalho mecânico sobre a espira da figura, a energia cinética que fornecemos à espira se converte em energia térmica do circuito, fazendo a espira retornar ao repouso.
Freio Magnético
Campos elétricos Induzidos
Sempre onde existe uma corrente elétrica existe também um campo elétrico exerce uma força nas cargas e as coloca em movimento. Se a variação de um campo magnético em uma espira produz uma corrente elétrica, então podemos concluir que existe também um campo elétrico que permeia a espira. Mas quem produziu esse campo elétrico?
Se organizarmos as idéias, percebemos que a corrente é induzida apenas quando há variação do campo magnético na espira. Assim, o campo elétrico que movimentou as cargas também só existe quando o campo magnético varia. A conclusão é que a variação do campo magnético induz um campo elétrico. Esse campo elétrico induzido é perpendicular ao campo magnético cuja variação o produziu: o campo elétrico é circular. 
Vimos no capítulo 24 que . Potencial elétrico e força eletromotriz são grandezas diferentes, mas possuem muitas propriedades em comum. Aqui vamos usar o resultado da equação acima para os campos elétricos circulares produzidospela variação de fluxo magnético. Por analogia à equação acima, o trabalho realizado por unidade de carga (força eletromotriz) quando há uma variação de fluxo magnético pode ser dado por:
Dessa forma, 
Esta é a Lei de Faraday na sua forma mais geral.
Equações de Maxwell
Ondas eletromagnéticas
Demonstração da Lei de Ampère-Maxwell
https://www.youtube.com/watch?v=txmKr69jGBk
Sugestão de leitura: capítulo 29 do livro do Young
Auto-Indução(para Engenharia Elétrica)
A indutância pode ser entendida como a capacidade de um solenoide criar um fluxo de campo magnético com a corrente que passa através dele.
Quando a corrente que atravessa um solenoide varia, o fluxo magnético que atravessa as espiras também varia, o que significa, de acordo com a Lei de Faraday, que uma força eletromotriz induzida aparece no solenoide. Chamamos esse processo de auto-indução e a força eletromotriz é chamada de forca eletromotriz auto-induzida.
Pela Lei de Faraday, para N espiras, temos:
Onde definimos a indutância L como . Sua unidade, T.m²/A é chamada de Henry (símbolo H).
A indutância de um solenoide é uma grandeza que depende exclusivamente da geometria do objeto como por exemplo a área da seção reta e o número de espiras por comprimento.
Obs: 1 weber = 1 T.m²
	
Gabarito
1) 31 mV p/ esq
11) 21,74 V
30) 0,75 nJ
31) 48,125 mV 2,67 mA 0,129 mW
33) 0,6 V cim 1,5 A H 0,9 W 0,18 N 0,9 W
36) -1,07 mV -2,4 mV +1,34 mV
44) 5A/s
97) 10 μT for 3,33μT for
25) 80 μV