OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC

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OSCILAÇÕES EM UM CIRCUITO LC: ANALISE QUANTITATIVA
A energia total U de um oscilador bloco-mola é dada, em qualquer instante de tempo, pela equação
			(31-5)
	em que Ub e Um são, respectivamente, a energia cinética do bloco e a energia potencial da mola. Se o atrito é desprezível, a energia total U não varia com o tempo, ou seja, dU/dt = 0. Assim, temos
		(31-6)		
Entretanto, v = dx/dt e dv/dt = d2x/dt2. Com essas substituições, a Eq. 31-6 se torna
			(31-7)
A Eq. 31-7 é a equação diferencial a que obedecem às oscilações massa-mola sem atrito. 
A solução geral da Eq. 31-7, ou seja, a função x(t) que descreve as oscilações, é (como vimos na Eq. 15-3)
				(31-8)
em que X é a amplitude das oscilações mecânicas (representada por xm no Capítulo 15), ω é a frequência angular das oscilações e ϕ é uma constante de fase.
O OSCILADOR LC
Vamos agora analisar as oscilações de um circuito LC sem resistência, procedendo exatamente como fizemos no caso do oscilador bloco-mola. A energia total U presente em qualquer instante em um circuito LC oscilante é dada por
					(31-9)
em que UB é a energia armazenada no campo magnético do indutor e UE é a energia armazenada no campo elétrico do capacitor. Como supusemos que a resistência do circuito é zero, nenhuma energia é transformada em energia térmica e U permanece constante, ou seja, dU/dt = 0. Assim, temos 
				(31-10)	
Entretanto, i = dq/dt e di/dt = d2q/dt2. Com essas substituições, a Eq. 31-10 se torna
				(31-11)	
Essa é a equação diferencial que descreve as oscilações em um circuito LC sem resistência. As Eqs. 31- 11 e 31-7 têm exatamente a mesma forma matemática.
OSCILAÇÕES DE CARGA E DE CORRENTE
Quando duas equações diferenciais são matematicamente equivalentes, as soluções também são matematicamente equivalentes. Como q corresponde a x, podemos escrever a solução geral da Eq. 31-11, por analogia com a Eq. 31-8, como
			(31-12)
em que Q é a amplitude das variações de carga, ω é a frequência angular das oscilações eletromagnéticas e ϕ é a constante de fase. Derivando a Eq. 31-12 em relação ao tempo, obtemos a corrente em um circuito LC:
		(31-13)
A amplitude I dessa corrente senoidal é
						(31-14)			
e, portanto, podemos reescrever a Eq. 31-13 na forma
					(31-15)
FREQUÊNCIAS ANGULARES
Podemos confirmar que a Eq. 31-12 é uma solução da Eq. 31-11 substituindo a Eq. 31-12 e sua derivada segunda em relação ao tempo na Eq. 31-11. A derivada primeira da Eq. 31-12 é a Eq. 31-13. A derivada segunda é, portanto,
Substituindo q e d2q/dt2 por seus valores na Eq. 31-11, obtemos
Dividindo ambos os membros por Q cos(ωt + ϕ) e reagrupando os termos, obtemos
Assim, a Eq. 31-12 é realmente uma solução da Eq. 31-11, contanto que . Observe que a expressão de ω é a mesma da Eq. 31-4, à qual chegamos usando correspondências. A constante de fase ϕ da Eq. 31-12 é determinada pelas condições que existem em um dado instante, como t = 0, por exemplo. De acordo com a Eq. 31-12, se ϕ = 0 no instante t = 0, q = Q e, de acordo com a Eq. 31-13, i = 0. Essas são as condições representadas na Fig. 31-1a.
OSCILAÇÕES DA ENERGIA ELETRICA E MAGNETICA
De acordo com as Eqs. 31-1 e 31-12, a energia elétrica armazenada no circuito LC no instante t é dada por
				(31-16)	
 Figura 31-4 Energia magnética e energia elétrica armazenada no circuito da Fig. 31-1 em função do tempo. Observe que a soma das duas energias é constante. T é o período das oscilações.
De acordo com as Eqs. 31-2 e 31-13, a energia magnética armazenada é dada por
Substituindo ω por seu valor, dado pela Eq. 31-4, temos
				(31-17)
A Fig. 31-4 mostra os gráficos de UE(t) e UB(t) para o caso de ϕ = 0. Observe que
O valor máximo tanto de UE(t) como de UB(t) é Q2/2C.
Em qualquer instante, a soma de UE(t) e UB(t) também é Q2/2C.
Quando UE(t) é máxima, UB(t) é mínima, e vice-versa.