Calculo para engenheiros-2016-v1 (1)

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C Á L C U L O P A R A E N G E N H E I R O S
Cálculo III
© Helder H. Ch. Sánchez, 2015
Faculdade Centro Leste, UCL
Núcleo de Engenharia Química e Petróleo, helderch@ucl.br
Tabela de Conteúdos. 
Capítulo 1 Diferenciação Parcial
1.1 Função de duas variáveis. Definição
1.1.1 Superfícies quadráticas 
1.1.2 Cálculo do dominio e imagem de uma função
1.1.3 Exercícios
1.2 Curvas e superfícies de nível
1.2.1 Cálculo das curvas e superfícies de nível
1.2.2 Exercícios
1.3 Limites de funções de duas e mais variáveis 
1.3.1 Cálculo de limites
1.3.1 Exercícios. Lista 1
1.4 Continuidade. Definição
1.4.1 Examinando a continuidade
1.4.2 Exercícios. Lista 2
1.5 Derivadas parciais. Definição
1.5.1 Cálculo de derivadas parciais
1.5.2 Derivadas parciais de ordem superior
1.5.3 Derivadas parciais de ordem superior em equações implícitas
1.5.4 Interpretações das derivadas parciais
1.6 Incrementos, diferencial total e derivada total
1.6.1 Incrementos e diferencial total
1.6.2 Derivada total
1.7 Regra da cadeia. Teorema
1.7.1 Exercícios. Lista 3
1.8 Valores Extremos. Definição
1.8.1 Procedimentos para determinar pontos de máximo, mínimo e de zela para funções de duas variáveis
1.8.2 Problemas trabalhados
1.9 Multiplicadores de Lagrange. Definição
1.9.1 Exercícios. Lista 4
Capítulo 2 Derivadas direcionais. Campos escalares e vetoriais
2.1 Campos escalares e vetoriais
2.1.1 Campos escalares
2.1.2 Campos vetoriais
2.2 Campo gradiente
2.3 Derivadas direcionais
2.4 A divergência de um campo vetorial
2.5 O rotacional de um campo vetorial
2.6 Operações combinadas com campos 
2.7 Exercícios. Lista 5
2 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
Capítulo 3 Integrais Múltiplas
3.1 Integrais de linha
3.1.1 Introdução
3.1.2 Propriedades das integrais de linha
3.1.3 Integrais de linha ao redor de uma curva fechada
3.2 Integrais duplas em coordenadas polares
3.2.1 Aplicações das integrais duplas
3.2.1.1 Áreas de figuras planas. Coordenadas retangulares
3.2.1.1 Áreas de figuras planas. Coordenadas polares
3.3 Teorema de Stokes.
3.4 Integrais triplas em coordenadas cilindricas e esféricas
3.4.1 Aplicações das integrais triplas
3.4.1.1 Volume de um sólido limitado por superfícies. Coordenadas retangulares
3.4.2 Teorema de Gauss ou da divergência
3.4 Mudança de variável em integrais duplas e triplas
Apêndices
A.
B. 
Referências
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 3
4 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 5
1
DIFERENCIAÇÃO PARCIAL
1.1. Funções de duas variáveis. Definição
Existem inúmeros exemplos da vida diária de funções de duas ou mais variáveis: ✶ Por exemplo, a área de uma placa retangular de comprimento x e largura y é dada por A(x, y) = xy, é um exemplo de uma função de
duas variáveis. ✶ O período de oscilação de um pêndulo simples é dado por T = 2π L /g , é uma função de duas variáveis T = f(L, g).✶ A equação do gás ideal estabelece uma relação da presão p como função do volume V, número de mol n e a temperatura absoluta T:
p = R n T /V, onde R é uma constante. Se n, V, T variam, a pressão P também variará, por isso dizemos que é um exemplo de uma função
de três viariáveis, pelo que escrevemos p = f(n, T, V).
Uma função de duas variáveis z = f(x, y), é uma superfície no espaço 3-dimensional (3-D) onde os eixos de coordenadas são formados por
x, y e z. Um exemplo é a superfície quadrática z = x2+2 y2 que é mostrado na Fig.1.
apaga tudo
ClearAll["Global`*"];
gráfico 3D
Plot3D[x2 +2 y2, {x, -2, 2}, {y, -2, 2},
função de cores
ColorFunction → "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
malha
Mesh →
n⋯None, legenda d⋯PlotLegends → sit⋯Placed[ legend⋯BarLegend[ automá⋯Automatic, tamanho do marcador da legendaLegendMarkerSize → 100,
função de leg⋯LegendFunction → ( emold⋯Framed[#, raio de arredonda⋯RoundingRadius → 5] &), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de z"], { d⋯After, topoTop}]]
Valor de z
0
2
4
6
8
10
12
Fig.1. Gráfico da função z = x2+2 y2. A barra de cores vertical mostra o valor de z associado a um cor da superfície z = f(x, y).
Outro tipo de função muito importante é a de um plano. A equação de um plano defíne-se como z = f(x, y) = A x+B y+D, ou equivalente-
mente na forma a x+b y+ c z = d, um exemplo do qual é z = 3 x+5 y-2 mostrado na Fig.2.
6 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
gráfico 3D
Plot3D[3 x+5 y-2, {x, -2, 2}, {y, -2, 2},
função de cores
ColorFunction → "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
malha
Mesh →
ne⋯None, legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automát⋯Automatic, tamanho do marcador da legendaLegendMarkerSize → 80,
função de legenda
LegendFunction → (
emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5] &), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de z"], { dep⋯After, topoTop}]]
Valor de z
-10
0
10
Fig.2. Gráfico do plano definido pela função z = 3 x+5 y-2.
apaga tudo
ClearAll["Global`*"];
manipula
Manipulate[
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D[A x+B y+G z+M ⩵ 0, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, {z, -10, 10},
malha
Mesh →
nenhum
None,
tema do gráfico
PlotTheme -> "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
tamanho da ima⋯ImageSize → 200, função de coresColorFunction → funçãoFunction[{x, y, z}, matizHue[x]],
malha
Mesh →
ne⋯None, estilo de conto⋯ContourStyle → diretivaDirective[ laranjaOrange, opacidadeOpacity[0.8], especular⋯Specularity[ brancoWhite, 30]]], {A, -3, 3, aparênciaAppearance → "Open"},{B, -3, 3,
aparência
Appearance → "Open"}, {G, -3, 3,
aparência
Appearance → "Open"}, {M, -3, 3,
aparência
Appearance → "Open"}]
A
3.
B
-3.
G
-3.
M
-3.
Agora definimos a função de duas e três variáveis. 
Definição. Uma função f de duas variáveis é uma regra que atribui a cada par ordenado de números reais (x, y) em um conjunto D de
um único número indicado por z = f (x, y) . O conjunto D é o domínio de f e sua imagem A é o conjunto de valores que toma, isto é, A =
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 7
{z (x, y) ∈ D}. Uma função de três variáveis, u = f(x, y, z), definida no dominio D do espaço, é uma regra f que associa a cada ponto
(x, y, z) em D um número real f (x, y, z).
Fig.3. O domínio D da função z = f(x, y) mapea o par odenado (x, y) do plano XY para os pontos f(x, y) da imagem A da função 
z = f(x, y).
Se uma função é dada por uma fórmula e nenhum dominio é especificado, logo o dominio D ∈ ℝ2 de f é entendido para ser o conjunto de
todos os pares (x, y) para os quais a expressão é um número real bem definido. A imagem da função z = f(x, y) será o sub-conjunto A ∈ ℝ
formado por todos os pontos z que deixam a função z = f(x, y) bem definida. 
As variáveis x e y cháman-se variáveis independentes e a variável z cháma-se variável dependente. Por exemplo, se z = f(x, y) = x2 y+ y2, e
assumimos x = 1, y = 2, teremos z = f(1, 2) = 12 (2) +22 = 6. Se localizarmos os pares ordenados (x, y) no plano cartesiano XY e assumimos a
terceira coordenada como o valor de z, o resultado pode ser visualizado como na Fig.4.
Fig.4 A região D é o dominio da função z = f(x, y) e o par ordenado (1, 2) é um elemento de D, em quanto que o valor z = f(1, 2) = 6, é 
um elemento da imagem A da função.
Se uma grande quantidade de pares ordenados (x, y) são tomados do dominio e seus valores z são calculados da função z = f(x, y) e
localizados no espaço como indicado pela linha PP´ mostrada na Fig.4, no limite de grande quantidade de pontos P´(x, y, z), se formará
uma superfície no espaço ℝ3, como mostrado na Fig.5.
Fig.5 Todos os pares ordenados (x, y) do dominio D formam a superfície hachurada z = f(x, y) depois de calcular todos os valores da 
função z.
1.1.1 Superfíciesquadráticas
Um esboço do gráfico de uma função pode ser muito útil na comprensão de uma função de duas variáveis ou uma equação de três
variáveis. Descrevemos uma classe de superfícies cujas equações são simples e fáceis de se reconhecer, a saber as superfícies quadráticas.
8 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
Por definição, superfícies quadráticas são os gráficos de qualquer equação que pode ser colocada na forma geral
a x2 +b y2 + c z2 +d x y+ e x z+ f y z+g x+h y+ i z+ j = 0, (1.1)
onde a, ..., j são constantes. Estas superfícies correspondem as seções cônicas no plano. Aqui apresentamos as mais conhecidas.
No código seguinte mostramos uma manipulação de la equação geral de uma superfície quadrática dada por (1.1). Variando os valores
das constantes a, b, ..., j visulizamos diversas superfícies interessantes.
apaga tudo
ClearAll["Global`*"];
manipula
Manipulate[
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D[a x ^ 2+b y ^ 2+ c z ^ 2+d x y+e x z+ f y z+g x+h y+ i z+ j ⩵ 0, {x, -10, 10}, {y, -10, 10}, {z, -10, 10},
malha
Mesh →
ne⋯None, tamanho da ima⋯ImageSize → 200, tema do gráficoPlotTheme -> "Marketing", legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, z}, função de coresColorFunction → funçãoFunction[{x, y, z}, matizHue[x]],
malha
Mesh →
ne⋯None, estilo de conto⋯ContourStyle → diretivaDirective[ laranjaOrange, opacidadeOpacity[0.8], especular⋯Specularity[ brancoWhite, 30]]], {a, -3, 3, aparênciaAppearance → "Open"},{b, -3, 3,
aparência
Appearance → "Open"}, {c, -3, 3,
aparência
Appearance → "Open"}, {d, -5, 5,
aparência
Appearance → "Open"},
{e, -5, 5,
aparência
Appearance → "Open"}, {f, -5, 5,
aparência
Appearance → "Open"}, {g, -5, 5,
aparência
Appearance → "Open"},
{h, -5, 5,
aparência
Appearance → "Open"}, {i, -5, 5,
aparência
Appearance → "Open"}, {j, -20, 20,
aparência
Appearance → "Open"}]
a
0.3
b
0.2
c
0.8
d
0
e
0
f
0
g
0
h
0
i
0
j
16
◼ Cilindros quadráticos. Se z não aparece em uma equação, seu gráfico será um cilindro paralelo ao eixo z. Os três tipos mais 
relevantes são:
♣ Cilindro elíptico. Sua equação é x2
a2
+ y2
b2
= 1. Intersecta qualquer plano horizontal z = z0 em uma elipse, Fig.6a.
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 9
♣ Cilindro parabólico. Sua equação é y = ax2+bx+c. Intersecta qualquer plano horizontal z = z0 em uma parábola, Fig.6b. ♣ Cilindro hiperbólico. Sua equação é x2
a2
- y2
b2
= c. Intersecta qualquer plano horizontal z = z0 em uma hipérbole. Fig.6c. 

gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2
12
+ y2
42
== 1, {x, -2.0, 2.0}, {y, -4.0, 4.0}, {z, 0, 4},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
função de cores
ColorFunction →
função
Function[{x, y, z},
matiz
Hue[x]],
malha
Mesh →
nen⋯None, gráfico 3D de contornosContourPlot3D[y == x2 +3 x+1, {x, -4.0, 2.0}, {y, -1.3, 4.0},
{z, 0, 4},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
função de cores
ColorFunction →
função
Function[{x, y, z},
matiz
Hue[y]],
malha
Mesh →
nen⋯None], gráfico 3D de contornosContourPlot3D x222 - y232 ⩵ 1,
{x, -10.0, 10.0}, {y, -10.0, 10.0}, {z, -2, 2},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
função de cores
ColorFunction →
função
Function[{x, y, z},
matiz
Hue[z]],
malha
Mesh →
nenhum
None
 , , 
Fig.6 a) Gráfico do cilíndro elíptico x
2
12
+ y2
42
= 1, b) o cilindro parabólico y = x2+3 x+1, c) cilindro hiperbólico x2
22
- y2
32
= 1.◼ A esfera. Uma esfera de raio r e centrada no ponto P(a, b, c) tem a equação
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 = r2. (1.2)
A esfera a (x-3)2 +(y-1)2 +(z-2)2 = 22, é mostrada na Fig.7.
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D(x-3)2 +(y-1)2 +(z-2)2 ⩵ 22, {x, 0, 5.0}, {y, -1.0, 3.0},
{z, 0, 5},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
função de cores
ColorFunction →
função
Function[{x, y, z},
matiz
Hue[z]],
malha
Mesh →
nenhum
None
Fig.7 Gráfico da esfera (x-3)2 +(y-1)2 +(z-2)2 = 22, centrada no ponto P(3, 1, 2) de raio r = 2.◼ O elipsoide. Tem a equação. Fig.8a.
x2
a2
+ y2
b2
+ z2
c2
= 1 (1.3)
◼ O cone elíptico. Tem a equação. Fig.8b.
x2
a2
+ y2
b2
= z2
c2
(1.4)
◼ O paraboloide elíptico. Tem a equação. Fig.8c.
x2
a2
+ y2
b2
= z
c
(1.5)
10 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb

gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2
12
+ y2
22
+ z2
82
== 1, {x, -1.0, 1.0}, {y, -3.0, 3.0}, {z, -8, 8},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
malha
Mesh →
ne⋯None, estilo de conto⋯ContourStyle → diretivaDirective[ laranjaOrange, opacidadeOpacity[0.8], especular⋯Specularity[ brancoWhite, 30]],
ContourPlot3D x2
12
+ y2
32
== z2
22
, {x, -2.0, 2.0}, {y, -3, 3.0}, {z, -2, 2},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
malha
Mesh →
nenhum
None,
ContourStyle →
diretiva
Directive[
laranja
Orange,
opacidade
Opacity[0.8],
especular⋯Specularity[ brancoWhite, 30]], gráfico 3D de contornosContourPlot3D x212 + y232 == z2 , {x, -2.0, 2.0}, {y, -3.0, 3.0},
{z, 0, 2},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
malha
Mesh →
ne⋯None, estilo de conto⋯ContourStyle → diretivaDirective[ laranjaOrange, opacidadeOpacity[0.8], especular⋯Specularity[ brancoWhite, 30]]
 , , 
Fig.8 a) Gráfico do elipsoide x
2
12
+ y2
22
+ z2
82
= 1, b) o cone elíptico x2
12
+ y2
32
= z2
22
, c) paraboloide elíptico x
2
12
+ y2
32
= z
2
.◼ O hiperbolóide de uma folha. Tem a equação. Fig.9a.
x2
a2
+ y2
b2
- z2
c2
= 1. (1.6)
◼ O hiperbolóide de duas folhas. Tem a equação. Fig.9b.
-x2
a2
- y2
b2
+ z2
c2
= 1. (1.7)
◼ O parabolóide hiperbólico. Tem a equação. Fig.9c.
x2
a2
- y2
b2
= z
c
. (1.8)
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 11

gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2
12
+ y2
22
- z2
82
== 1, {x, -3.0, 3.0}, {y, -3.0, 3.0}, {z, -8, 8},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
malha
Mesh →
ne⋯None, estilo de conto⋯ContourStyle → diretivaDirective[ laranjaOrange, opacidadeOpacity[0.8], especular⋯Specularity[ brancoWhite, 30]],
ContourPlot3D- x2
12
- y2
32
+ z2
22
⩵ 1, {x, -4.0, 4.0}, {y, -10, 10.0}, {z, -10, 10},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
malha
Mesh →
nenhum
None,
ContourStyle →
diretiva
Directive[
laranja
Orange,
opacidade
Opacity[0.8],
especular⋯Specularity[ brancoWhite, 30]], gráfico 3D de contornosContourPlot3D x212 - y232 == z2 , {x, -3.0, 3.0}, {y, -5.0, 5.0},
{z, -2, 2},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
malha
Mesh →
ne⋯None, estilo de conto⋯ContourStyle → diretivaDirective[ laranjaOrange, opacidadeOpacity[0.8], especular⋯Specularity[ brancoWhite, 30]]
 , , 
Fig.9 a) Gráfico do hiperboloide de uma folha x2
12
+ y2
22
+ z2
82
=1, b) o hiperboloide de duas folhas x2
12
+ y2
32
= z2
22
, c) paraboloide hiperbólico 
x2
12
+ y2
32
= z
2
.
1.1.2 Cálculo do domínio e imagem de uma função
Através da solução de exercícios explicamos como determinar o domínio e imagem de uma função de duas ou mais variáveis.
Exemplo 1. Determine o domínio e imagem da função f(x, y) = ln(1-x2 - y2).
Solução. Para a função ser bem definida, o argumento do logaritmo debe ser positivo 1-x2-y2 > 0, ou x2+y2 < 1. Note que esta
desigualdade define um círculo de raio 1. Note também que esta região não compreende a fronteira do círculo, como mostramos na
Fig.10. Um gráfico da função é feito abaixo.
Fig.10 O domínio D da função f(x, y) = ln(1-x2-y2) é dado pelo círculo hachurado de raio R = 1sem considerar os pontos do perímetro . 
A imagem é construida considerando que, para x = y = 0, z = ln(1) = 0, em quanto que para o logaritmo de um número compreendido
entre 0 e 1 é negativo. Por tanto,
A = {z -∞ < z ⩽ 0} =(-∞, 0].
12 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
gráfi⋯Plot3D[ logaritmoLog[1-x2 - y2], {x, -0.999, 0.999}, {y, -0.999, 0.999}, função de coresColorFunction → "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automát⋯Automatic, tamanho do marcador da legendaLegendMarkerSize → 80,
função de legenda
LegendFunction → (
emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5] &), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de z"], { dep⋯After, topoTop}]]
Valor de z
-4-3
-2-1
0
Exemplo 2. Determine o dominio da função f(x, y) = 4-x2 - y2 ln(1+x2 - y2).
Solução. Considere os seguintes passos:
a) 4 - x2 - y2 ⩾ 0, ou x2 + y2 ⩽ 4. Isto define um círculo de raio R = 2. D1 = {(x, y) x2 + y2 ⩽ 4}
b) 1 + x2 - y2 > 0, ou y2 - x2 < 1. Isto define uma hipérbola. D2 = {(x, y) y2 - x2 < 1}
Visualizamos as duas regiões D1 e D2 através do seguinte gráfico com ajuda de Mathematica:
gráfico de uma região
RegionPlot[{x2 +y2 ⩽ 4, y2 -x2 < 1}, {x, -2, 2}, {y, -2, 2},
legenda do gráfico
PlotLegends → "Expressions",
legenda do quadro
FrameLabel → {x, y}]
-2 -1 0 1 2-2
-1
0
1
2
x
y x2 + y2 ≤ 4
y2 - x2 < 1
O dominio completo será definido pela interseção das duas regiões, como mostramos no seguinte gráfico. Por isto
D = {(x, y) x2 + y2 ⩽ 4 ⋂ y2 - x2 < 1}
gráfico de uma região
RegionPlot[x2 +y2 ⩽ 4 && y2 -x2 < 1, {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]
Contorno 
y2 - x2 < 1 
-2 -1 0 1 2-2
-1
0
1
2
Agora podemos visualizar no espaço 3-D a função f(x, y) = 4-x2 - y2 ln(1+x2 - y2) cujo dominio é a região D.
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 13
gráfico 3D
Plot3D 4-x2 -y2
logaritmo
Log[1+x2 -y2], {x, -2, 2}, {y, -1.6, 1.6},
função de cores
ColorFunction → "Rainbow",
número de pontos no gráfico
PlotPoints → 20,
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
malha
Mesh →
ve⋯True, legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automát⋯Automatic, tamanho do marcador da legendaLegendMarkerSize → 80,
função de legenda
LegendFunction → (
emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5] &), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de z"], { dep⋯After, topoTop}]
Valor de z
-3-2
-10
1
Exemplo 3. Dado o perímetro 2p de um triângulo. Expresse a área S do triângulo como uma função de seus dois lados x e y. Defina
e construa o dominio dos possíveis valores de x e y.
Solução. Note a identidade vetorial
CA + AB + BC = 0, CA + AB = -BC = CB.
elevando ao quadrado a equação vetorial anterior
CA
2 + 2 CA AB + AB2 = BC2 ⟹ y2 + 2 y x cos(180 - α) + x2 = (2 p - x - y)2
cos (180 - α) = (2 p - x - y)2 - (x2 + y2)
2 y x
= 2 p2 - 2 p (x + y) + x y
x y
⟹ cos (α) = -2 p2 + 2 p (x + y) - x y
x y
A altura do triângulo
h = y sin (α) = y 1 - cos2 (α) = y 1 - -2 p2 + 2 p (x + y) - x y
x y
2
= y2 - 2 p2 - 2 p (x + y) + x y
x
2
.
Por tanto, a área do triângulo
S = 1
2
x h = 1
2
x y2 - 2 p2 - 2 p (x + y) + x y
x
2 = 1
2
x2 y2 - (2 p2 - 2 p (x + y) + xy)2
= 1
2
√ ((x y - (2 p2 - 2 p (x + y) + xy)) (x y + (2 p2 - 2 p (x + y) + xy)))
= (- p2 + p (x + y)) ( p2 - p (x + y) + y x) = p (x + y - p) ( p2 - p (x + y) + y x)
= p (x + y - p) (p - x) (p - y) .
Agora calculamos o dominio. Para isto, notamos quatro possibilidades◼ (x+y-p) > 0, (p-x) > 0, (p-y) > 0. Isto significa y > p-x, p > x, p > y.◼ (x+y-p) > 0, (p-x) < 0, (p-y) < 0. Isto significa y > p-x, p < x, p < y. 
14 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
O primeiro gráfico foi traçado da análisse sem ajuda do computador. O código de abaixo comprova a veracidade de nosso
gráfico.
gráfico de uma região
RegionPlot[(x+y-1) (1-x) (1-y) > 0 && x > 0 && y > 0, {x, 0, 3}, {y, 0, 3},
legenda do quadro
FrameLabel → {x, y}]
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
x
y
Gráfico do dominio da área do triângulo S= p (x+ y-p) (p- x) (p- y) para o caso p = 1. Mostramos a figura da função área S(x,y) abaixo para o mesmo valor de p.
gráfico 3D
Plot3D (x + y - 1) (1 - x) (1 - y) , {x, 0, 3.0}, {y, 0, 3.0},
estilo de exclusões
ExclusionsStyle → {
ne⋯None, ve⋯Red}, estilo de recorteClippingStyle → nenhumNone,
número de ponto⋯PlotPoints → 300, função de coresColorFunction → "Rainbow", legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, z}, malhaMesh → ve⋯True, marc⋯Ticks → ve⋯True, tamanho da imagemImageSize → 200
Exemplo 4. Determine o dominio da função f(x, y) = 6-x2 - y2 + 4- y2 .
Solução. Considere os seguintes passos:
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 15
gráfico de uma região
RegionPlot[6-x2 - y2 ⩾ 0 && 4- y2 ⩾ 0, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
legenda do quadro
FrameLabel → {x, y}]
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
A região inclue os pontos de contorno da figura. Agora mostramos a figura da função.
gráfico 3D
Plot3D 6 - x2 - y2 + 4 - y2 , {x, -3.0, 3.0}, {y, -3.0, 3.0},
estilo de exclusões
ExclusionsStyle → {
ne⋯None, ve⋯Red}, estilo de recorteClippingStyle → nenhumNone,
número de ponto⋯PlotPoints → 300, função de coresColorFunction → "Rainbow", legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, z}, malhaMesh → ve⋯True, marc⋯Ticks → ve⋯True, tamanho da imagemImageSize → 200
Exemplo 5. Determine o dominio da função f(x, y) = x+y
x2+y2-4 .
Solução. Considere os seguintes passos:
1. x + y ⩾ 0 e x2 + y2 - 4 > 0. Isto mostra-se na Região I. Nesta região, os pontos da reta são incluidos, os da circunferência não.
2. x + y ⩽ 0 e x2 + y2 - 4 < 0. Isto mostra-se na Região II. Veja figura.
mo⋯Show[{ gráfico de uma regiãoRegionPlot[x2 + y2 -4 > 0 && x+ y ⩾ 0, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, tamanho da i⋯ImageSize → 200, legenda do quadroFrameLabel → {x, y}],
gráfico de uma região
RegionPlot[x2 +y2 -4 < 0 && x+y ⩽ 0, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
tamanho da i⋯ImageSize → 200, legenda do quadroFrameLabel → {x, y}]}]
Regi
Região
II
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
16 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
gráfico 3D
Plot3D x + y
x2 + y2 - 4 , {x, -3.5, 3.5}, {y, -3.5, 3.5}, estilo de exclusõesExclusionsStyle → { ne⋯None, ve⋯Red}, estilo de recorteClippingStyle → nenhumNone,
número de ponto⋯PlotPoints → 300, função de coresColorFunction → "Rainbow", legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, z}, malhaMesh → ve⋯True, marc⋯Ticks → ve⋯True, tamanho da imagemImageSize → 250
Exemplo 5. Determine o dominio da função f(x, y) = x2 - y2 -9 Log (x2 -y2 -4 xy+6).
Solução. Considere os seguintes passos:
gráfico de uma região
RegionPlot[x2 - y2 -4 ⩾ 0 && x2 +y2 -4 x y+6 > 0, {x, -6, 6}, {y, -6, 6},
legenda do quadro
FrameLabel → {x, y}]
-6 -4 -2 0 2 4 6-6
-4
-2
0
2
4
6
x
y
gráfico 3D
Plot3D x2 - y2 -9
logaritmo
Logx2 -y2 -4 x y + 6, {x, -6, 6}, {y, -6, 6},
estilo de exclusões
ExclusionsStyle → {
ne⋯None, ve⋯Red}, estilo de recorteClippingStyle → nenhumNone,
número de ponto⋯PlotPoints → 300, função de coresColorFunction → "Rainbow", legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, z}, malhaMesh → ve⋯True, marc⋯Ticks → ve⋯True, tamanho da imagemImageSize → 250
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 17
1.1.3 Exercícios
1. Encontre e esboçe o dominio da função:
a. f(x, y) = ln(2 x - 3 y + 1).
b. f(x, y) = 6 - x2 - y2 + 4 - y2 .
c. f(x, y) = x + y .
d. f(x, y) = x+y
x2+y2-4 .
1.2. Curvas e superfícies de nível
Até agora, temos apenas um método para visualizar funções, a saber, o gráfico. Um segundo método, emprestado dos criadores de
mapas, é um mapa de contorno em que pontos de elevação constante são unidos para formar curvas de contorno ou curvas de nível. 
Esta idéia é reminiscente também do conceito de potencial elétrico de uma carga pontual q. Em efeito, uma carga pontual situada, por
exemplo, no ponto Q(a, b), gera no ponto P(x, y) do plano xy um potencial elétrico ϕ(r) = q
4πϵ0r , onde r = (x-a)2 + (y-b)2 é a distância
desde a carga até o ponto P (Fig.11). O potencial escalar, no plano xy é uma função de duas variáveis, ϕ (r) = q
4πϵ0 (x-a)2+(y-b)2 e para
traçar seu gráfico precissamos de um espaço 3-d, em que no terceiro eixo colocamos os valores do potencial (Fig.12). Se o potencial é
constante ϕ(r) = q
4πϵ0 r = ϕ0, definirá uma circunferência. Em efeito, colocando em evidência o raio r = q4πϵ0 ϕ0 = const, de onde(x-a)2 + (y-b)2 =  q
4πϵ0 ϕ0 2. Esta equação corresponde a uma circunferência de raio q4πϵ0 ϕ0 e centrada no ponto Q(a, b), como mostramos na
Fig.11. Todos os pontos da circunferencia tem igual potencial ϕ0. 
Fig.11 No plano xy a curva equipotencial é a circunferência azul de raio r = q
4πϵ0 ϕ0 .
Na Fig.12 mostramos a função potencial elétrico ϕ(r) = q
4πϵ0 r , para uma carga pontual localizada no ponto P(1, 2) no plano xy, onde
r = (x-1)2 + (y-2)2 para alguns valores do potencial.
apaga tudo
ClearAll["Global`*"];
18 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
LevelPlot3D1 (x-1)2 + (y-2)2 , {x, -3, 4}, {y, -1, 5}, ShowProjectedLevelSets →
verdadeiro
True, ProjectAt → -0.5,
legenda dos eixos
AxesLabel → x, y, 4πϵ0 ϕ
q
, MeshColorFunction →
ma⋯Hue, intervalo do gráficoPlotRange → {{-3, 4}, {-1, 5}, {-1, 4}}, LineOrTube → tuboTube
Fig.12 As curvas de nivel (circunferências coloridas) foram desenhadas na superfície da função ϕ(r) = q
4πϵ0 (x-a)2+(y-b)2 . Todas as curvas de 
um mesmo cor na superfície encontran-se à mesma `altura` em relação ao plano 4ϵ0 ϕ /q = 0. As curvas de nivel foram logo projetadas no 
plano 4ϵ0 ϕ /q = -0.5 para uma visualização objetiva.
No espaço 3-dimensional, uma carga elétrica pontual centrada no ponto Q(a,b,c) gera um potencial escalar que é uma função de três
variáveis ϕ(r) = q
4πϵ0 (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2 . Fica claro que não podemos traçar o gráfico desta função porque necessitamos de um espaço 4-d. No
entanto, podemos supor diversos valores constantes do potencial e descobrir qual seja a superfície que descreve, com isto geramos a
chamada superfície equipotencial, conceito que no cálculo chama-se superfície de nivel, a qual será uma esfera, cuja equação é dada por
(x-a)2 + (y-b)2 + (z- c)2 =  q
4πϵ0 ϕ0 2 , isto é mostrado na Fig.13.
Fig.13 Superfície de nivel (equipotencial) para uma carga pontual localizada no ponto Q(a,b,c). Todos os pontos sobre a superfície 
esférica de raio r = q
4πϵ0 ϕ0 tem o mesmo potencial elétrico constante ϕ0.
Definição. As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são as curvas com equações f(x, y) = k , onde k é uma constante (na
imagem de f). As superfícies f(x, y, z) = k definem as chamadas superfícies de nível para a função u = f(x, y, z).
Na seguinte Fig.14 mostra-se um mapa 3-D de alguma parte da Terra. Na Fig.15 definimos as curvas de nivel para dito gráfico. Os 
números associados a cada curva definem o valor de f(x, y) = k, isto é, os contornos do mapa de altura k = const. Em térmos práticos, os 
valores numéricos definem contornos do mapa com alturas de 2200, 2500 e 2900 m.
data =
importa
Import["http://exampledata.wolfram.com/hailey.dem.gz", "Data"];
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 19
part = data[[800 ;; 1000, 800 ;; 1000]];
r =
gráfico em⋯ReliefPlot[part, função de coresColorFunction → "Rainbow", tamanho da imagemImageSize → 200]
Fig.14 Mapa 3-D.
Trazamos as linhas de contorno:
c =
gráfico de contorno⋯ListContourPlot[part, sombreamento da⋯ContourShading → ne⋯None, contornosContours → 3,
estilo de conto⋯ContourStyle → { opacidadeOpacity[.5], opacidadeOpacity[.8]}, tamanho da ima⋯ImageSize → 200, etiquetas de co⋯ContourLabels → ve⋯True, estilo de etiq⋯LabelStyle → ( tamanho da fonteFontSize → 9)]
2200
2200
2200
2200
2200
2200
2200
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
25002500
2500
2500
2900
2900
2900
2900
2900 2900
2900
2900
2900
2900
0 50 100 150 200
0
50
100
150
200
Fig.15 Curvas de nível do mapa 3-D da Fig.14
Na Fig.16 combinamos as duas figuras.
mostra
Show[r, c]
2200
2200
2200
2200
2200
2200
2200
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
2500
25002500
2500
2500
2900
2900
2900
2900
2900 2900
2900
2900
2900
2900
Fig.16 Curvas de de nível sobre o mapa 3-D original.
20 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
1.2.1 Cálculo das curvas e superfícies de nível
Exemplo 1. Determine as curvas de nível para a função f(x, y) = 9-x2 - y2 , para z = 0.5, 1, 1.5, 2.
Solução. Fazendo z = k, temos:
k = 9-x2-y2 , ou elevando ao quadrado x2 + y2 = 9- k2.
Isto é, as curvas de nível são as circunferências de raio r = 9- k2 . Para k = 0.5,
1, 1.5, 2 os raios são r = 2.95804, 2 2 , 2.59808, 5  respectivamente.
gráfico de contornos
ContourPlot 9-x2 -y2 ⩵ 0.5, 9-x2 -y2 ⩵ 1, 9-x2 -y2 ⩵ 1.5, 9-x2 -y2 ⩵ 2, 9-x2 -y2 ⩵ 2.5,
{x, -3.1, 3.1}, {y, -3.1, 3.1},
etiquetas de co⋯ContourLabels → automát⋯Automatic, legenda do quadroFrameLabel → {x, y}
-3 -2 -1 0 1 2 3-3
-2
-1
0
1
2
3
x
y
Uma visualização 3-D de como são geradas as curvas de nível mostramos com ajuda do pacote gráfico Curves Graphics 6 [Gianluca
Gorni, https://users.dimi.uniud.it/~gianluca.gorni/].
Click here to load package!
LevelPlot3D 9-x2 -y2 , {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, ShowProjectedLevelSets →
verdadeiro
True,
ProjectAt → -1,
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z}, MeshColorFunction →
ma⋯Hue, intervalo do⋯PlotRange → tudoAll, LineOrTube → tuboTube
Na figura anterior as curvas de nível foram traçadas na própria superfície z = f(x, y) = 9-x2 - y2 , e as mesmas curvas foram projetadas
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 21
no plano z = -1 a fim de que possamos visualizar, de outro modo não poderiamos observa-los no plano z = 0.
Exemplo 2. Esboçe algumas curvas de nível para a função f(x, y) = 1+x2 +4 y2.
Solução. Fazendo z = k, temos:
x2 +4 y2 = k-1, 
ou x
2
k-1 + y2(k-1)/4 = 1, 
esta equação representa uma família de elipses cujos semi-eixos são k-1 e (k-1)4 com k > 1. 
LevelPlot3D[1+x2 +4 y2, {x, -1.8, 1.8}, {y, -1, 1}, ShowProjectedLevelSets →
verdadeiro
True,
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z}, MeshColorFunction →
matiz
Hue, LineOrTube →
tubo
Tube,
intervalo do ⋯PlotRange → { completoFull, {-1, 1}, {0, 4}}]
Na figura anterior, as curvas no plano xy são as projeções das curvas de nível (elipses) desenhadas na superfície do paraboloide
elíptico z = 1+x2 +4 y2.
Exemplo 3. Esboçe a superfície de nível para a função u(x, y, z) = z- x2 +4 y2 quando u = 2.
Solução. Fazendo u = 2, obtemos a equação:
2 = z- x2 +4 y2 , 
ou x2 + y2
1/4 = (z-2)2, 
identificamos esta superfície como um cone elíptico de semi-eixos a = 1, b = 1/2, c = 1 e centrado em z = 2. 
22 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D x2
12
+ y2
1 /4 ⩵ (z-2)2, {x, -2.0, 2.0}, {y, -1, 1}, {z, 0, 3}, legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, z}, função de coresColorFunction → ma⋯Hue, intervalo do⋯PlotRange → ⋯All, malhaMesh → nenhumNone
Exemplo 4. Esboçe a curva de nível para a função z = x2 - y2 /4-1 .
Solução. Fazendo z = k, obtemos a equação:
k = x2 - y2 /4-1 , 
ou x
2
k2+1 2 - y22 k2+1 2 = 1, 
identificamos esta superfície como uma família de hipérboles, com a = k2 + 1 , b = 2 k2 + 1 .
LevelPlot3D x2 -y2 /4-1 , {x, -4, 4}, {y, -4, 4}, ShowProjectedLevelSets →
verdadeiro
True,
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z}, MeshColorFunction →
matiz
Hue, LineOrTube →
tubo
Tube,
intervalo do ⋯PlotRange → { completoFull, {-4, 4}, {-1, 4}}
Exemplo 5. Esboçe a curva de nível para a função z = 2 x2+3 y2-1
2 x+1 .
Solução. Fazendo z = k, obtemos a equação:k(2 x+1) = 2 x2 +3 y2 -1, ⟹ k + 1 = (2 x2 - 2 k x) + 3 y2.
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 23
Para descobrir a família de curvas que descreve a equação anterior, devemos completar quadrados no térmo que depende de x:
ou 2 x- k
2
2+3 y2 - k2
2
= k+1, ⟹ 2 x- k
2
2+3 y2 = k2
2
+k+1, ⟹x- k
2
2+ 3
2
y2 = k2
4
+ k+1
2
, 
ou ⟹ x- k2 2
k2
4
+ k+1
2
2 + y2
2
3
k2
4
+ k+1
2
2 = 1 , 
identificamos esta equação como uma família de elipses com semi-eixos a = k24 + k+12 , b = 23 k24 + k+12 , centrada nos
pontos  k2 , 0.
LevelPlot3D2 x2 +3 y2 -1
2 x+1 , {x, -2, 4}, {y, -3, 3}, ShowProjectedLevelSets → ve⋯True, legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, z},
MeshColorFunction →
matiz
Hue, LineOrTube →
tubo
Tube,
número de pon⋯PlotPoints → 50, intervalo do gráficoPlotRange → {{-2, 4}, {-3, 3}, {-3, 3}}
1.2.2 Exercícios. Exercícios a serem resolvidos em sala.
1. Considere a função: z = f(x, y) = 1
x2+y2 . Construir as curvas de nivel para z = 1, 2, 3, 4.
2. Considere a função: z = f(x, y) = 2 y+3 x-x2+2
x2+y2-1 . Construir as curvas de nivel para z = 1, 2, 3.
3. Encontrar a superfície de nível da função u = f(x, y, z) = ln 1+ x2+y2+z2
1- x2+y2+z2  para u = 1.
1.3. Limites de Funções de duas e mais variáveis
Necessitamos dos limites das funções de várias variáveis pelos mesmos motivos pelas que necessitamos os limites para funções de
uma variável, para poder analizar coeficientes angulares e taxas de variação. As definições em ambos os casos são esencialmente as
mesmas.
Considere o comportamento da função
24 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
f(x, y) = sin(x2+y2)
x2+y2
como x e y aproximan-se de 0 (e por tanto o ponto (x, y) aproxima-se da origem)
Tabela 1. Valores de f(x,y).
Trazamos os pontos (x, y, z) no espaço 3-D para visualizar sua distribuição.
data1 = {{-1.0, -1.0, 0.455}, {-1.0, -0.5, 0.759},{-1.0, -0.2, 0.829}, {-1.0, 0, 0.841}, {-1.0, 0.2, 0.829}, {-1.0, 0.5, 0.759}, {-1.0, 1.0, 0.455}};
data2 = {{-0.5, -1.0, 0.759}, {-0.5, -0.5, 0.959}, {-0.5, -0.2, 0.986}, {-0.5, 0, 0.990},{-0.5, 0.2, 0.986}, {-0.5, 0.5, 959}, {-0.5, 1.0, 0.759}};
data3 = {{-0.2, -1.0, 0.829}, {-0.2, -0.5, 0.986}, {-0.2, -0.2, 0.999}, {-0.2, 0, 1.000},{-0.2, 0.2, 0.999}, {-0.2, 0.5, 0.986}, {-0.2, 1.0, 0.829}};
data4 = {{0, -1.0, 0.841}, {0, -0.5, 0.990}, {0, -0.2, 1.000}, {0, 0, 1.000}, {0, 0.2, 1.000}, {0, 0.5, 0.990}, {0, 1.0, 0.841}};
data5 = {{0.2, -1.0, 0.829}, {0.2, -0.5, 0.986}, {0.2, -0.2, 0.999}, {0.2, 0, 1.000}, {0.2, 0.2, 0.999}, {0.2, 0.5, 0.986}, {0.2, 1.0, 0.829}};
data6 = {{0.5, -1.0, 0.759}, {0.5, -0.5, 0.959}, {0.5, -0.2, 0.986}, {0.5, 0, 0.990}, {0.5, 0.2, 0.986}, {0.5, 0.5, 0.959}, {0.5, 1.0, 0.759}};
data7 = {{1.0, -1.0, 0.455}, {1.0, -0.5, 0.759}, {1.0, -0.2, 0.829}, {1.0, 0, 0.841}, {1.0, 0.2, 0.829}, {1.0, 0.5, 0.759}, {1.0, 1.0, 0.455}};
A =
gráfico 3D de dispersão de uma lista de variáveis
ListPointPlot3D[{data1, data2, data3, data4, data5, data6, data7},
tema do gráfico
PlotTheme → "Marketing",
preenc⋯Filling → inferiorBottom, estilo do g⋯PlotStyle → tamanh⋯PointSize[ grandeLarge], legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, f}];
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 25
A,
gráfico 3D
Plot3DSin[x2 +y2]
x2 +y2 , {x, -1.0, 1.0}, {y, -1.0, 1.0}, função de coresColorFunction → "Rainbow", legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, f},
mostra
ShowA,
gráfico 3D
Plot3DSin[x2 +y2]
x2 +y2 , {x, -1.0, 1.0}, {y, -1.0, 1.0}, função de coresColorFunction → "Rainbow", legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, f}
 ,
, 
Na figura anterior, temos desenhado conjuntos de pontos de diversos cores sobre a superfície f(x, y) = sin(x2+y2)
x2+y2 . Nota-se que,
quando nos aproximamos do ponto (0,0) seguindo as diversas direções (na Fig.15 são as linhas amarela, preto, azul e verde) se reunem
num único ponto, o ponto (0,0,1), por isto dizemos que o limite nesse ponto existe. 
Fig.15 Diversas direções pelas quais nos aproximamos ao ponto P(0,0,1) seguindo as curvas coloridas sobre a superfície f(x, y) = sin(x2+y2)
x2+y2 .
Podemos considerar um exemplo mais simples como a função
g(x, y) = xy
x y g (x, y) = xy
2.2 2.55 5.610
2.15 2.650 5.690
2.10 2.75 5.775
2.05 2.875 5.89375
2.025 2.935 5.94338
1.98 3.05 6.03900
2.002 2.995 5.99599
1.9998 3.0005 6.00040
2.00002 2.99995 5.99996
1.999998 3.000005 6.00000
Tabela 2. Valores de g(x,y) = xy.
26 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
B =
gráfico 3D de dispersão de uma lista de variáveis
ListPointPlot3D[{{2.2, 2.55, 5.61000}, {2.15, 2.650, 5.6900}, {2.10, 2.75, 5.775}, {2.05, 2.875, 5.89375}, {2.025, 2.935, 5.94338},
{1.98, 3.05, 6.03900}, {2.002, 2.995, 5.99599}, {1.9998, 3.0005, 6.00040}, {2.00002, 2.99995, 5.99996},{1.999998, 3.000005, 6.00000}},
tema do gráfico
PlotTheme → "Marketing",
preenc⋯Filling → inferiorBottom, estilo do g⋯PlotStyle → tamanh⋯PointSize[ grandeLarge], legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, g}];
{B,
gráfico 3D
Plot3D[x y, {x, 1.50, 2.20}, {y, 2.5, 3.5},
função de cores
ColorFunction → "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, g}],
mostra
Show[{B,
gráfico 3D
Plot3D[x y, {x, 1.50, 2.20}, {y, 2.5, 3.5},
função de cores
ColorFunction → "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, g}]}]}
 ,
, 
Os resultados mostrados nas Tabelas 1 e 2 assim como nos gráficos respectivos nos permitem afirmar
lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = 1, lim(x,y)→(2,3) g(x, y) = 6.
Definimos o limite de uma função.
Definição. Seja uma função de duas variáveis cujo dominio D inclue pontos arbitrariamente próximos a (a, b). Logo, dizemos que o
limite de f (x, y) como (x, y) aproxima- se de (a, b) é L, dizemos : lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = L, se para cada número ϵ > 0 existe um número
correspondente δ > 0 tal que, se (x, y) ∈ D e 0 < (x-a)2+(y-b)2 < δ logo f(x, y)- L < ϵ. 
Note que f(x, y)- Lé a distância entre os números f(x,y) e L, e (x-a)2+(y-b)2 é a distância entre o ponto (x,y) e o ponto
(a,b). Assim, a definição anterior diz que a distância entre f(x,y) e L pode ser feita arbitráriamente pequena fazendo a distância desde
(x,y) até (a,b) suficientemente pequena (porem não zero). Um esboço desta definição é muito bem ilustrado em Stewart [2✶], veja
Fig.14.
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 27
Fig.14 Ilustráção gráfica da definição de limite de uma função.
Uma consequência importante da definição é a seguinte afirmativa:
 Se f(x,y)→L1 como (x,y)→(a,b) ao longo do caminho C1 e f(x,y)→L2 como (x,y)→(a,b) ao longo do caminho C2 onde L1 ≠L2, logo
lim(x,y)→(a,b) f(x, y) não existe.
1.3.1 Cálculo de limites
Exemplo 1. Mostrar que o limite lim(x,y)→(0,0) x2-y2x2+y2 não existe.
Solução. Uma estratégia poderia ser usar coordenadas polares para simplificar a expressão:
x = r cos(θ), y = r sin(θ),
note também que para (x,y)→(0,0) uma eleição poderia ser (r,θ)→(0,0) (que corresponde a direção do eixo X). Logo
lim(x,y)→(0,0) x2-y2x2+y2 = lim(r,θ)→(0,0) r2(cos2 θ-sin2 θ)r2(cos2 θ+sin2 θ) = lim(r,θ)→(0,0) cos(2θ) = 1.
Outra eleição para obter (x,y)→(0,0) poderia ter sido (r,θ)→(0,π/2) (que corresponde a direção do eixo Y). Logo
lim(x,y)→(0,0) x2-y2x2+y2 = lim(r,y)→0,π/2 cos(2θ) = -1. Por tanto, em função da afirmativa anterior, o limite lim(x,y)→(0,0) x2-y2x2+y2 não existe.
apaga tudo
ClearAll["Global`*"];

gráfico 3D
Plot3Dx2 -y2
x2 +y2 , {x, -1.0, 1.0}, {y, -1.0, 1.0}, tema do gráficoPlotTheme → "Marketing",
função de cores
ColorFunction → "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, f},
malha
Mesh →
ve⋯True, marc⋯Ticks → ve⋯True, tamanho da imagemImageSize → 250,
grades de grá⋯GraphicsGrid gráfico de contornosContourPlotx2 -y2x2 +y2 , {x, -1.0, 1.0}, {y, -1.0, 1.0}, legenda do quadroFrameLabel → {x, y}, marcadores⋯FrameTicks→ nenhumNone, #
& /@{
função de cores
ColorFunction →
matiz
Hue}
 ,
x
y 
28 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
Exemplo 2. Determine o limite lim(x,y)→(1,1) x(y-1)y(x-1) .
Solução. Usamos o caminho y = x, tal que se (x,y)→(1,1) a nossa escolha é perfeitamente válida. Logo
lim(x,y)→(1,1) x(y-1)y(x-1) = lim(x,x)→(1,1) x(x-1)x(x-1) = 1.
Outra eleição para obter (x,y)→(1,1) poderia ter sido o caminho y = 2 x-1, tal que, se x → 1, y → 1. Logo
lim(x,y)→(1,1) x(y-1)y(x-1) = lim(x,2 x-1)→(1,1) x(2 x-2)(2 x-1) (x-1) = lim(x,2 x-1)→(1,1) 2 x(x-1)(2 x-1) (x-1) = lim(x,2 x-1)→(1,1) 2 x(2 x-1) = 2.
Por tanto, o limite lim(x,y)→(1,1) x(y-1)y(x-1) não existe. Um gráfico desta função é mostrado abaixo.

gráfico 3D
Plot3Dx(y-1)
y(x-1) , {x, 0.0, 1.5}, {y, 0.0, 1.5}, função de coresColorFunction → "Rainbow",
tema do gráfico
PlotTheme → "Marketing",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, f},
malha
Mesh →
ve⋯True, número de pon⋯PlotPoints → 50, tamanho da imagemImageSize → 200,
grades de grá⋯GraphicsGrid gráfico de contornosContourPlotx(y-1)y(x-1) , {x, 0.0, 1.5}, {y, 0.0, 1.5}, número de pon⋯PlotPoints → 50, legenda do quadroFrameLabel → {x, y}, marcadores⋯FrameTicks → nenhumNone, #
& /@{
função de cores
ColorFunction →
matiz
Hue}
 ,
x
y 
Teorema. Seja u = f(x, y) e V = g(x, y) ambos definidos no dominio D do plano xy. Seja também lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = u1,
lim(x,y)→(a,b) g(x, y) = V1, logo lim(x,y)→(a,b) [f(x, y)+g(x, y)] = u1+V1, lim(x,y)→(a,b) [f(x, y) g(x, y)] = u1.V1, lim(x,y)→(a,b) f(x,y)g(x,y) = u1V1 , (V1≠0).
Exemplo 3. Determine o limite: lim(x,y)→(0,0) ln(x2+y2+1)x2+y2 .
Solução. Usamos coordenadas polares: x = r cos(θ), y = r sin(θ). Note também que para (x, y)→ (0, 0) uma eleição poderia ser(r, θ)→ (0, 0) (que corresponde a direção do eixo X). Logo
lim(x,y)→(0,0) ln(x2+y2+1)x2+y2 = lim(r,θ)→(0,0) ln(r2+1)r2 .
O limite resultante corresponde ao de uma função de uma variável, r, pois não depende mais de θ. Logo, podemos usar a regra de
L´Hospital
lim(x,y)→(0,0) ln(x2+y2+1)x2+y2 = lim(r,θ)→(0,0) ln(r2+1)r2 = lim(r,θ)→(0,0) 2 rr2+12 r = lim(r,θ)→(0,0) 1r2+1 = 1.
apaga tudo
ClearAll["Global`*"];
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 29
gráfico 3D
Plot3D Log[x2 +y2 +1]
x2 +y2 , {x, -0.5, 0.5}, {y, -0.5, 0.5}, função de coresColorFunction → ma⋯Hue, legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, f},
legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automát⋯Automatic, tamanho do marcador da ⋯LegendMarkerSize → 80, função de legendaLegendFunction → ( emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5] &),
etiqueta de legenda
LegendLabel → "Valor de f(x,y)"], {
dep⋯After, topoTop}], tamanho da ima⋯ImageSize → 200, tema do gráficoPlotTheme → "Marketing"
Valor de f(x,y)
0.85
0.90
0.95
1.00
1.3.1 Exercícios. Lista 1. Limíte de Funções de duas variáveis. Data: 6-03 / 03-04
1. Determine o limite: f(x, y) = 1-ex+y
sin(x+y) no ponto (x, y) = (0, 0). 
2. Determine o limite da função: f(x, y) = x4-y4
x2+y2 no ponto (x, y) = (0, 0). 
3. Determine o limite da função: f(x, y) = x2 sin2(y)
x2+y2 no ponto (x, y) = (0, 0).
4. lim(x,y)→(2,1) 4-xyx2+3 y2 5. lim(x,y)→(1,0) ln 1+y2x2+xy  6. lim(x,y)→(0,0) y4x4+3 y4
7. lim(x,y)→(0,0) x2+sin2 y2 x2+y2 8. lim(x,y)→(0,0) xy cos(y)3 x2+y2 9. lim(x,y)→(0,0) 6 x3 y2 x4+y4
10. lim(x,y)→(0,0) xy
x2+y2 11. lim(x,y)→(0,0) x4-y4x2+y2 12. lim(x,y)→(0,0) x2 y ⅇyx4+4 y2
13. lim(x,y)→(0,0) xy
x2+y2 14. lim(x,y)→(0,0) x4-y4x2+y2 15. lim(x,y)→(0,0) x2 y ⅇyx4+4 y2
16-18. Use coordenadas polares para encontrar o limíte [se (r, θ) são coordenadas polares do ponto (x,y) com r ⩾ 0, note que r → 0+ como
(x,y)→(0,0)]
16. lim(x,y)→(0,0) x3+y3x2+y2 17. lim(x,y)→(0,0) (x2+y2) ln(x2+y2) 18. lim(x,y)→(0,0) ⅇ-x2-y2-1x2+y2
1.4. Continuidade
A definição de continuidade de funções de duas ou mais variáveis é reminiscente das funções com uma variável. Vamos definir este
conceito.
Definição. Dissemos que f(x,y) é continua no ponto (a, b) ∈ D se f(x, y) existe nesse ponto, ou: lim(x,y)→(a,b) f(x, y) = f(a, b). Se f(x,y) é
continua em cada ponto de D, logo existe o limite da função em cada ponto do dominio.
O significado intuitivo de continuidade é que variações pequenas no ponto induzirão também variações pequenas no valor da função. Por
tanto, uma superfície que é o gráfico de uma função continua não tem buracos nem rupturas.
Muitas funções você pode fácilmente identificar como continuas em cada ponto de seu dominio. Logo, o que você debe evitar são pontos
fora do dominio, onde você pode ter◼ Divisão por zero.◼ Raíz quadrada de negativos.◼ Logaritmos de números não positivos.
30 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
◼ Tangentes de múltiplos ímpar de π/2 .
1.4.1 Examinando a continuidade
Exemplo 1. Examine a continuidade da função 
x2 y3
x2+y2+1 .
Solução. Rápidamente notamos que o denominador é definido positivo, incluso no ponto (0, 0) o denominador é 1. Por tanto, a
função é continua em qualquer ponto (x, y). 
Exemplo 2. Examine a continuidade da função 
x+y
x-y+1 .
Solução. O dominio D da função são todos os pontos do plano x y excepto os pontos da reta y = x+1, logo D = {(x, y) y ≠ x+1}.
Em todos os pontos deste dominio D a função é continua. Um gráfico da mesma é mostrado abaixo.

gráfico 3D
Plot3Dx ^ 2+y ^ 2+2
x-y+1 , {x, -5.0, 5.0}, {y, -5.0, 5.0}, função de coresColorFunction → matizHue,
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, f},
malha
Mesh →
ve⋯True, número de ponto⋯PlotPoints → 100, tamanho da ima⋯ImageSize → 200, tema do gráficoPlotTheme → "Marketing",
gráfico de contornos
ContourPlotx ^ 2+y ^ 2+2
x-y+1 , {x, -5.0, 5.0}, {y, -5.0, 5.0}, legenda do quadroFrameLabel → {x, y}, etiquetas de co⋯ContourLabels → ⋯All, marcadores⋯FrameTicks → ve⋯True, número de pontos no gráficoPlotPoints → 100

 ,
-20
-20-10
-10
0
10
10
20
20
-4 -2 0 2 4
-4
-2
0
2
4
x
y 
Na figura, nota-se a presença de buracos e rupturas ao longo da reta y = x+1. Uma consequência importante é que nenhum limite da
função dada existe em cada ponto da reta y = x+1.
Exemplo 3. Examine a continuidade da função ln 1
x-y2 .
Solução. Rápidamente escrevemos ln 1
x-y2  = -ln(x- y2). O dominio D será D = (x, y) x > y2 ou - x < y < x . Em todos os pontos
deste dominio D a função é continua. Um gráfico da mesma é mostrado abaixo.
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 31

gráf⋯Plot3D logaritmoLog 1x-y2 , {x, -3.0, 5.0}, {y, -3, 4.0}, função de coresColorFunction → "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, f},
malha
Mesh →
v⋯True, número de p⋯PlotPoints → 100, tamanho da i⋯ImageSize → 200, tema do gráficoPlotTheme → "Marketing",
grades de ⋯GraphicsGrid gráfico ⋯ContourPlot logaritmoLog 1x-y2 +1 , {x, -3.0, 8.0}, {y, -3.0, 4.0}, legenda do qua⋯FrameLabel → {x, y}, marcado⋯FrameTicks → verdadeiroTrue, #
& /@{
função de c⋯ColorFunction → matizHue}
 ,
-2 0 2 4 6 8-3
-2
-1
0
1
2
3
4
x
y 
Os seguintes exercícios são para serem resolvidos em sala de aula.
Exemplo 4. Encontrar os pontos de discontinuidade da função f(x, y) = 1
sin2(πx)+sin2(πy) .
Solução. Exigimos duas condições: 
sin(πx) ≠ 0 e sin(πy) ≠ 0. Os quais implicam πx ≠ nπ, e πy ≠ mπ, com (n, m) = ±1, ±2, ±3, ... Ou: (x, y) = (n, m). O diagrama da
função assim como suas curvas de nível são mostradas abaixo.

gráfi⋯Plot3D logaritmoLog 1Sin[Pi x]2 +Sin[Pi y]2 , {x, -4.0, 4.0}, {y, -4, 4.0}, função de coresColorFunction → "Rainbow",
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, f},
malha
Mesh →
falso
False,número de ponto⋯PlotPoints → 100, tamanho da ima⋯ImageSize → 250, tema do gráficoPlotTheme → "Marketing",
grades de grá⋯GraphicsGrid gráfico de contornosContourPlot 1Sin[Pi x]2 +Sin[Pi y]2 , {x, -4.0, 4.0}, {y, -4.0, 4.0}, legenda do quadroFrameLabel → {x, y}, marcadores⋯FrameTicks → verdadeiroTrue, #
& /@{
função de cores
ColorFunction →
matiz
Hue}
 ,
-4 -2 0 2 4-4
-2
0
2
4
x
y 
1.4.2 Exercícios. Lista 2 Data: 23-03/ 29-04
1. É continua a função f(x, y) = xsin(y)
x2+y2 em (x, y) = (0, 0)?. 
32 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
2. Se f(x, y) = sin(x2+y2)
x2+y2 quando x2 +y2 ≠ 0, como debe ser definido f(0, 0) para fazer f(x, y) continua em (0, 0)? 
3. Definimos f(x, y) = sin(xy)
x
 se x ≠ 0, e f(x, y) = y se x = 0. Tem a função f algum ponto de discontinuidade?
4-5. Encontrar h(x, y) = g(f(x, y)) e o conjunto sobre a qual h é continua.
4. g(t) = t2 + t , f(x, y) = 2 x+3 y-6.
5. g(t) = t + ln(t), f(x, y) = 1-xy
1+x2 y2 .
6-10. Determine o conjunto de pontos na qual a função é continua.
6. F(x, y) = sin(xy)ⅇx-y2 7. F(x, y) = x-y1+x2+y2 8. F(x, y) = arctanx+ y 
9. F(x, y) = ln(x2+y2-4) 10. F(x, y) = ⅇx2 y+ x+y2 11. F(x, y) = y
x2-y2+z2
1.5. Derivadas parciais
Em engenharia, as vezes acontece que a variação de uma quantidade depende das variações que acontecem em duas, ou mais quanti-
dades. Por exemplo, o volume V de um cilindro é dado por V = π r2 h. O volume mudará se o raio r ou altura h mudan de valor. A fórmula
para o volume pode ser requerido matemáticamente como V = f (r, h) o qual significa que ‘V é alguma função de r e h’. Alguns outros
exemplos práticos incluem:
1. O período de oscilação de um pêndulo simples, T = 21- 1
4
sin2 θ
2
 L
g
, isto é, T = f (θ, L)
2. Torque τ = Iα, isto é, τ = f (I, α )
3. Pressão de um gás ideal p = n R T
V
, isto é, p = f (n, T, V). 
Quando diferenciamos uma função com duas variáveis, uma das variáveis é mantida constante e o coeficiente diferencial da outra
variável é encontrada com relação a essa variável. O coeficiente diferencial obtido é chamado a derivada parcial da função.
Agora damos a definição formal da derivada parcial para uma função de duas variáveis z = f (x, y). 
Definição. Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções fx e fy definidas por
fx(x, y) = limh→0 f(x+h,y)-f(x,y)h
fy(x, y) = limh→0 f(x,y+h)-f(x,y)h
Usamos a seguinte notação para a derivação parcial. Se z = f (x, y), escrevemos 
fx(x, y) = fx = ∂ f∂ x = Dx f
fy(x, y) = fy = ∂ f∂ y = Dy f
As regras para encontrar as derivadas parciais. Considere z = f (x, y) , logo: 
1. Para encontrar fx considere y como uma constante e diferencie f(x, y) com relação a x.
2. Para encontrar fy considere x como uma constante e diferencie f(x, y) com relação a y. 
1.5.1 Cálculo de derivadas parciais
Exemplo 1. Considerando as funções: 
a) f(x, y) = x3
y2+2 , calcule as derivadas : fx, fy.
Solução. Achamos fx fixando y:
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 33
∂ f∂ x = ∂∂ x x3y2+2 = 1y2+2 ∂∂ x (x3) = 3 x2 1y2+2 .■
Para achar fy fixamos x :
∂ f∂ y = ∂∂ y x3y2+2 = x3 ∂∂ y 1y2+2 = x3 -
∂∂y (y2+2)(y2+2)2 = -x3 2 y(y2+2)2 ■.
b) Ao tomar em conta a atração entre as moléculas, a equação do gás ideal toma a forma : (P+n2 a /V2) (V-nb) = nRT,
chamada equação de van der Waals. Se a, b e R são constantes, calcule as seguintes derivadas : PV,
Pn e PT.
Solução. Colocamos em evidência P:
P(n, V, T) = nRT
V-nb - an2V2 ,
logo, derivamos PV, para isto todas as outras variáveis serão constantes :∂ P∂V = ∂∂V nRTV-nb - an2V2 = nRT ∂∂V 1V-nb -an2 ∂∂V 1V2 = nRT -1(V-nb)2 +2 an2 1V3 .■
Para encontrar Pn, as outras variáveis serão constantes :∂ P∂ n = ∂∂ n nRTV-nb - an2V2 =
∂∂n (nRT) (V-nb)-nRT ∂∂n (V-nb)(V-nb)2 - 1V2 ∂∂ n (an2) = RT(V-nb)-nRT(-b)(V-nb)2 - 1V2 2 an
= -2 an
V2
+ VRT(nb-V)2 ■.
Para encontrar PT, as outras variáveis serão constantes :∂ P∂ T = ∂∂ T nRTV-nb - an2V2 = nRV-nb ∂∂ T (T) = nRV-nb .■
Os exemplos 3-6 são para serem resolvidos em aula.
Exemplo 3. Se z = sin(xy) mostre que: 
1
y
∂ z∂ x = 1x ∂ z∂ y .
Exemplo 4. O período de oscilação de um pêndulo simples, para um ângulo de deslocamento θ finito é T = 21- 1
4
sin2 θ
2
 L
g
,
onde L é comprimento da corda, que pode ser variado e g, a aceleração da gravidade, que também pode variar de um lugar a outro.
Determine ∂T∂θ , ∂T∂L , ∂T∂g .
Exemplo 5. A frequência ressonante fr num circuito elétrico em série é dado por fr = 1
2  L C . Mostre que ∂fr∂L = -14 L3 C .
Exemplo 6. Num sistema termodinâmico, k = A Exp TΔS-ΔH
R T
, onde R, k e A são constantes. Encontrar:
a) ∂k∂T , b) ∂A∂T , c) ∂(ΔS)∂T , ∂(ΔH)∂T .
Exemplo 7. Uma equação usada em termodinâmica é a equação de estado de Benedict–Webb–Rubine para a expansão de um
gás. A equação é:
p = RT
V
+ B0 RT-A0- C0
T2
1
V2
+(bRT-a) 1
V3
+ Aα
V6
+ C1+ γV2 
T2
1
V3
ⅇ- γV2
Mostre que∂2 p∂ T2 = 6V2 T4 CV 1+ γV2 ⅇ- γV2 -C0
34 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
1.5.2 Derivadas parciais de ordem superior
Se uma função f é de duas variáveis, também suas derivadas parciais fx e fy são também funções de duas variáveis, assim podemos
considerar suas derivadas parciais (fx)x, (fx)y, (fy)x, e (fy)y, que são chamadas as segundas derivadas parciais de f. Se z = f(x, y), usamos
a seguinte notação:
(fx)x = fxx = ∂∂ x ∂ f∂ x = ∂2 f∂ x2 = ∂2 z∂ x2 .
(fx)y = fxy = ∂∂ y ∂ f∂ x = ∂2 f∂ y ∂ x = ∂2 z∂ y ∂ x .
(fy)x = fyx = ∂∂ x ∂ f∂ y = ∂2 f∂ x ∂ y = ∂2 z∂ x ∂ y .
(fy)y = fyy = ∂∂ y ∂ f∂ y = ∂2 f∂ y2 = ∂2 z∂ y2 .
Exemplo 1. Dado z = 4 x2 y3-2 x3+7 y2. Encontrar:
a) ∂2z∂x2 b) ∂2z∂y2 c) ∂2z∂x ∂y d) ∂2z∂y ∂x .
Solução.
Na figura mostra-se a função z = 4 x2 y3-2 x3+7 y2, e suas derivadas ∂z∂x = -6 x2+8 x y3, ∂z∂y = 14 y+12 x2 y2, ∂2z∂x2 = -12 x+8 y3,∂2z∂y2 = 14+24 x2, ∂2z∂x ∂y = 24 x y2. 
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 35
apaga tudo
ClearAll["Global`*"];
{
gráfico 3D
Plot3D[4 x2 y3 -2 x3 +7 y2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
função de cores
ColorFunction →
matiz
Hue,
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automát⋯Automatic, tamanho do marcador da legendaLegendMarkerSize → 80,
função de legenda
LegendFunction → (
emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5] &), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de z"], { dep⋯After, topoTop}]],
gráfico 3D
Plot3D[-6 x2 +8 x y3, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
função de cores
ColorFunction →
ma⋯Hue, legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, zx}, legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automáticoAutomatic,
tamanho do marcador da ⋯LegendMarkerSize → 80, função de legendaLegendFunction → ( emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5] &), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de zx"], { dep⋯After, topoTop}]],
gráfico 3D
Plot3D[14 y+12 x2 y2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
função de cores
ColorFunction →
ma⋯Hue, legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, zy}, legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automáticoAutomatic,
tamanho do marcador da ⋯LegendMarkerSize → 80, função de legendaLegendFunction → ( emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5] &), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de zy"], { dep⋯After, topoTop}]],
gráfico 3D
Plot3D[-12 x+8 y3, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
função de cores
ColorFunction →
ma⋯Hue, legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, zxx}, legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automáticoAutomatic,
tamanho do marcador da ⋯LegendMarkerSize → 80, função de legendaLegendFunction → ( emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5]&), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de zxx"], { dep⋯After, topoTop}]],
gráfico 3D
Plot3D[14+24 x2 y, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
função de cores
ColorFunction →
ma⋯Hue, legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, zyy}, legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automáticoAutomatic,
tamanho do marcador da ⋯LegendMarkerSize → 80, função de legendaLegendFunction → ( emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5] &), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de zyy"], { dep⋯After, topoTop}]],
gráfico 3D
Plot3D[24 x y2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3},
função de cores
ColorFunction →
ma⋯Hue, legenda dos eixosAxesLabel → {x, y, zxy}, legenda do gr⋯PlotLegends → situ⋯Placed[ legenda ⋯BarLegend[ automáticoAutomatic,
tamanho do marcador da ⋯LegendMarkerSize → 80, função de legendaLegendFunction → ( emoldur⋯Framed[#, raio de arredondamentoRoundingRadius → 5] &), etiqueta de legendaLegendLabel → "Valor de zxy"], { dep⋯After, topoTop}]]}

Valor de z
-200-100
0
100
200
,
Valor de zx
-200-100
0
100
200
,
Valor de zy
0
100
200
300
400
500
,
Valor de zxx
-200-100
0
100
200
,
Valor de zyy
-400-200
0
200
400
,
Valor de zxy
-400-200
0
200
400 
Nem todas as funções satisfazem a identidade fxy = fyx, embora muitas o satisfazem na prática. Em realidade, existe um teorema devido a
Clairaut que estabelece as condições para uma função satisfazer essa identidade.
Teorema de Clairaut: Suponha que f é definido sobre um disco D que contém o ponto (a,b). Se as funções fxy e fyx são ambos continuos
sobre D, logo fxy(a, b) = fyx(a, b).
Exemplo 2. Verifique que a conclusão do teorema de Clairaut é válida para as funções:
36 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
a) u = x sin(x+2 y) b) u = x4 y2 -2 xy5. 
Solução. Em sala de aula.
1.5.3 Derivadas parciais em equações implícitas
Considere uma função z que depende das variáveis x e y através de uma relação do tipo F(x, y, z) = 0. De fato, qualquer uma das
variáveis pode ser considerada como função implícita das outras duas. Assumindo x e y para ser variáveis independentes, escrevemos a
diferencial de F(x, y, z) e de z como função de x e y (a diferencial de uma função de duas variáveis será tratado mais âmplamente na
seção 1.6) :
dz = ∂ z∂ x dx + ∂ z∂ y dy e dF = ∂ F∂ x dx + ∂ F∂ y dy + ∂ F∂ z dz = 0
inserindo dz dentro de dF temos
dF = ∂ F∂ x dx + ∂ F∂ y dy + ∂ F∂ z ∂ z∂ x dx + ∂ z∂ y dy = 0 ⟹ ∂ F∂ x + ∂ F∂ z ∂ z∂ x dx + ∂ F∂ y + ∂ F∂ z ∂ z∂ y dy = 0.
Como dx e dy são diferenciais independentes, a relação anterior é válida para todos os valores de dx e dy, por tanto, segue que∂ F∂ x + ∂ F∂ z ∂ z∂ x = 0, ∂ F∂ y + ∂ F∂ z ∂ z∂ y = 0
Se ∂ F∂ z ≠ 0, estas equações podem ser resolvidas para dar∂ z∂ x = -
∂F∂x∂F∂z ,
∂ z∂ y = -
∂F∂y∂F∂z .
Outra técnica do cálculo de derivadas implícitas consiste em derivar a equação F(x, y, z) = 0 com relação à variável que se deseja,
digamos x, se queremos encontrar a derivada parcial ∂ z∂ x, ou y, se queremos encontrar a derivada parcial ∂ z∂ y. Ilustramos isto nos
seguintes exercícios.
Exemplo 3. Use diferenciação implícita para encontrar ∂z/∂x, ∂z/∂y das equações:
a) y2 z+x sin(x+2 y) = 0 b) sin(z) (x2+1)-y3 ln(x+z) = 0.
Solução. 
a) Método 1. Derivando toda a equação em relação a x, temos∂∂ x (y2 z)+ ∂∂ x [x sin(x+2 y)] = 0 ⟹ ∂∂ x (y2 ) z+y2 ∂ z∂ x + ∂∂ x (x) sin(x+2 y)+x ∂ sin(x+2 y)∂ x = 0
como x e y são independentes ∂y/∂x = 0. Para a derivada ∂sin(x+2y)/∂x usamos a regra da cadeia, para o qual, fazemos u = x+2 y,
e ∂u/∂x =1, ∂ sin(x+2 y)∂ x = ∂ sin(u)∂ u ∂ u∂ x = cos(u) = cos(x+2 y), ⟹ y2 ∂ z∂ x +sin(x+2 y)+xcos(x+2 y) = 0.
Assim:∂ z∂ x = -(sin(x+2 y)+xcos(x+2 y))y2 .■
Derivando toda a equação em torno de y:∂∂ y (y2 z)+ ∂∂ y [x sin(x+2 y)] = 0 ⟹ ∂∂ y (y2 ) z+y2 ∂ z∂ y + ∂∂ y (x) sin(x+2 y)+x ∂ sin(x+2 y)∂ y = 0
como ∂x/∂y = 0. Para a derivada ∂sin(x+2y)/∂y usamos a regra da cadeia, para o qual, fazemos u = x+2 y, e ∂u/∂y =2, logo ∂ sin(x+2 y)∂ y = ∂ sin(u)∂ u ∂ u∂ y = cos(u) = cos(x+2 y) 2, ⟹ 2 yz+ y2 ∂ z∂ x +2 xcos(x+2 y) = 0.
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 37
Assim:∂ z∂ y = -(2 xcos(x+2 y)+2 yz)y2 ■.
Método 2. Usando as fórmulas.
a) Temos
F(x, y, z) = y2 z+x sin(x+2 y) = 0,
calculamos ∂ F∂ x, ∂F/∂y e ∂F/∂z{∂x(y2 z + x
seno
Sin[x + 2 y]), ∂y(y2 z + x
seno
Sin[x + 2 y]), ∂z(y2 z + x
seno
Sin[x + 2 y])}
{x Cos[x + 2 y] + Sin[x + 2 y], 2 y z + 2 x Cos[x + 2 y], y2}
encontramos ∂ F∂ x = x cos(x+2 y)+ sin(x+2 y), ∂ F∂ y = 2 y z+2 x cos(x+2 y) e ∂ F∂ z = y2. Logo∂ z∂ x = - x cos(x + 2 y) + sin(x + 2 y)y2 , ∂ z∂ y = -2 y z + 2 x cos(x + 2 y)y2 .
Agora vejamos o comportamento da função z definida implícitamente pela equação y2 z+x sin(x+2 y) = 0, junto com suas derivadas ∂z/∂
x, ∂z/∂y que temos encontrado neste exercício.
apaga tudo
ClearAll["Global`*"];

gráfico 3D de contornos
ContourPlot3D[y2 z+x
seno
Sin[x+2 y] == 0, {x, -6.0, 6.0}, {y, -6, 6}, {z, -3, 3},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
função de cores
ColorFunction →
matiz
Hue,
intervalo do⋯PlotRange → ⋯All, malhaMesh → nen⋯None], gráfico 3D de contornosContourPlot3D-Sin[x+2 y] +x Cos[x+2 y]y2 , {x, -6.0, 6.0}, {y, 0, 0.0000004}, {z, -3, 3},
AxesLabel → {x, y, zx},
função de cores
ColorFunction →
ma⋯Hue, intervalo do⋯PlotRange → ⋯All, malhaMesh → nen⋯None, gráfico 3D de contornosContourPlot3D-(2 x Cos[x+2 y] -2 y z)y2 ,
{x, -6.0, 6.0}, {y, 0, 0.0000004}, {z, -3, 3},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, zy},
função de cores
ColorFunction →
ma⋯Hue, intervalo do⋯PlotRange → ⋯All, malhaMesh → nenhumNone
 , , 
b) F(x, y, z) = sin(z) (x2 + 1) - y3 ln(x + z) = 0. Calculamos ∂ F∂ x, ∂F/∂y e ∂F/∂z
∂x Sin[z]x2 + 1 - y3 logaritmoLog[x + z] , ∂y Sin[z]x2 + 1 - y3 logaritmoLog[x + z] , ∂z Sin[z]x2 + 1 - y3 logaritmoLog[x + z] 
- y3x + z - 2 x Sin[z](1 + x2)2 , -3 y2 Log[x + z], - y3x + z + Cos[z]1 + x2 
encontramos ∂ F∂ x = - y3
x+z - 2 x sin(z)(1+x2)2 , ∂ F∂ y = -3 y2 ln(x+z) e ∂ F∂ z = - y3x+z + cos(z)1+x2 . Logo∂ z∂ x = --
y3
x+z - 2 x sin(z)(1+x2)2- y3
x+z + cos(z)1+x2 =
y3
x+z + 2 x sin(z)(1+x2)2- y3
x+z + cos(z)1+x2 ,
∂ z∂ y = --3 y2 ln(x + z)- y3
x+z + cos(z)1+x2 =
3 y2 ln(x + z)
- y3
x+z + cos(z)1+x2 .
Em geral, se u é uma função de n variáveis, u = f(x1, x2, ..., xi, ... xn), sua derivada parcial com relação a i-éssima variável xi é
38 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
∂u∂xi = limh→0 f(x1,...,xi-1, xi+h ,xi+1,...,xn)-f(x1,..., xi ,...,xn)h 
1.5.4 Interpretações das derivadas parciais
Lembre-se que a função z = f(x, y) representa uma superfície, digamos S, no espaço 3-d (o gráfico de f). Se no ponto (a, b) do plano xy a
função assume o valor c = f(a, b), logo o ponto P(a, b, c) jaz sobre a superfície S. Fixando y = b, restringimos nossa atenção à curva C1 na
qual o plano vertical y = b intersecta S. Em outras palavras, C1é a curva que S produz no plano y = b. De outro modo, o plano vertical x = a
intersecta S em uma curva C2. Ambas as curvas C1 e C2 passam através do ponto P. Veja Fig.15
Fig.15 As derivadas parciais de f em (a, b) são coeficientes angulares das tangentes em C1e C2.
Note que a curva C1 é o gráfico da função g(x) = f(x, b), assim o coeficiente angular de sua tangente T1 em P é g´(a) = fx(a, b). A curva
C2 é o gráfico da função G(y) = f(a, y), assim o coeficiente angular de sua tangente T2 em P é G´(b) = fy(a, b). 
Assim, as derivadas parciais fx(a, b) e fy(a, b) podem ser interpretados geométricamente como os coeficientes angulares das linhas
tangentes aos traços C1 e C2 de S no ponto P(a, b, c) nos planos y = b e x = a.
As derivadas parciais podem também ser interpretados como taxas de variação. Se z = f(x, y), logo ∂ z∂ x representa a taxa de
variação de z com relação a x quando y é fixo. Similarmente, ∂z/∂yrepresenta a taxa de variação de z com relação a y quando x é
fixo.
Na seguinte animação computacional mostra-se uma função z = f(x, y), e uma superfície tangente num ponto na qual encontra-se a reta
tangente ilustrada antes. Você pode deslizar as barras horizontais para visualizar o plano tangente, seja fixando x e variando y ou
fixando y e variando x.
[http://demonstrations.wolfram.com/TangentToASurface/ Contributed by: Jeff Bryant and Yu-Sung Chang]
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 39
apaga tudo
ClearAll["Global`*"];
TangentSurface[a_, b_] :=
módulo
Module{nv, pt, tangentsurface, func, tanpt, x, y, z, tanexpr, gr1, gr2, xyline, xyplane, xticks, xlabel, yticks, normalv, r = 2},
func[x_, y_] := 3 ⅇ-x210-y210;
nv = {
derivada
D[func[x, y], x],
derivada
D[func[x, y], y], -1};
nv = nv /
norma
Norm[nv] /. {x → a, y → b};
pt = {a, b, func[a, b]};
tanpt = {x, y, z};
gr1 =
gráfico 3D
Plot3D[func[x, y], {x, -6, 6}, {y, -6, 6},
fu⋯MeshFunctions → {#1 &, #2 &, #1 &, #2 &}, malhaMesh → {{a}, {b}, 5}, estilo de malhaMeshStyle → {{ espessuraThickness[.007], cores do sistema RGBRGBColor[.2, .4, 0]},{
espessura
Thickness[.007],
cores do sistema ⋯RGBColor[1, .4, 0]}, { pretoBlack, controle ativoControlActive[ opacidadeOpacity[1], opacidadeOpacity[.5]], controle ativoControlActive[ espessuraThickness[.0001], espessuraThickness[.0001]]},{
preto
Black,
controle ativo
ControlActive[
opacidade
Opacity[1],
opacidade
Opacity[.5]],
controle ativo
ControlActive[
espessura
Thickness[.0001],
espessura
Thickness[.0025]]}},
estilo do grá⋯PlotStyle → { controle ativoControlActive[ opacidadeOpacity[1], opacidadeOpacity[.9]], cores do sistema ⋯RGBColor[.9, .9, .3], especular⋯Specularity[ brancoWhite, 50]}, recursão máximaMaxRecursion → controle ativoControlActive[0, 2],
número de pont⋯PlotPoints → 50, intervalo do gráficoPlotRange → {{-6, 6}, {-6, 6}, t⋯All}, eixosAxes → { ve⋯True, ve⋯True, falsoFalse}, borda dos eixosAxesEdge → {{-1, -1}, {1, -1}, nenhumNone},
legenda dos eixos
AxesLabel → {x, y, z},
rodead⋯Boxed → ve⋯True, tema do gráficoPlotTheme → "Marketing", função de coresColorFunction → "Rainbow", tamanho da imagemImageSize → 250];
tanexpr = (tanpt- (pt+ .05 nv)).nv;
tangentsurface = z /.
prime⋯First@ resolveSolve[tanexpr ⩵ 0, z];
gr2 =
gráfico 3D
Graphics3D[{
cores do sistema⋯RGBColor[1, .4, 0], controle ativoControlActive[ opacidadeOpacity[0.5], opacidadeOpacity[.9]],
polígono
Polygon[{{a+ r, b+ r, tangentsurface /. {x → a+ r, y → b+ r}}, {a+ r, b- r, tangentsurface /. {x → a+ r, y → b- r}},
{a- r, b- r, tangentsurface /. {x → a- r, y → b- r}}, {a- r, b+ r, tangentsurface /. {x → a- r, y → b+ r}}}]}];
xyline =
gráfico 3D
Graphics3D[{{
espessura
Thickness[.007],
cores do sistema ⋯RGBColor[.2, .4, 0]}, linhaLine[{{a, -6, -3}, {a, -6, func[a, -6]}}],{
espessura
Thickness[.007],
cores do sistema ⋯RGBColor[1, .4, 0]}, linhaLine[{{6, b, -3}, {6, b, func[6, b]}}]}];
xyplane =
gráfico 3D
Graphics3D[{
preto
Black,
linha
Line[{{-6, -6, -3}, {-6, 6, -3}, {6, 6, -3}, {6, -6, -3}, {-6, -6, -3}}]}];
xticks =
gráfico 3D
Graphics3D
Join
tab⋯Table linhaLine[{{i, -6, -3}, {i, -6+ .3+ .3 fun⋯Boole[ operação do móduloMod[i, π] ⩵ 0], -3}}], i, -6, 6, π4 , { tab⋯Table[ textoText[i, {i, -6-1, -3}], {i, -6, 6, π}]};
yticks =
gráfico 3D
Graphics3D
junta
Join
tab⋯Table linhaLine[{{6, i, -3}, {6- .3- .3 fun⋯Boole[ operação do móduloMod[i, π] ⩵ 0], i, -3}}], i, -6, 6, π4 ,
{
tab⋯Table[ textoText[i, {6+1, i, -3}], {i, -6, 6, π}]};
normalv =
gráfico 3D
Graphics3D[{
especular⋯Specularity[ brancoWhite, 50], cores do sistema ⋯RGBColor[.2, .4, 0], cilindroCylinder[{pt, pt-nv}, .07],
Black,
especular⋯Specularity[ brancoWhite, 50], esferaSphere[{a, b, func[a, b]}, .2]}];
Show[normalv, gr1, gr2, xyline, xyplane, xticks, yticks,
tamanho da imagem
ImageSize → {300, 300},
intervalo do gráfico
PlotRange → {{-6- r, 6+ r}, {-6- r, 6+ r}, {-2 r, 2 r}},
Boxed →
ve⋯True, região esféricaSphericalRegion → ve⋯True, ângulo de vistaViewAngle → π /12, centro de vistaViewCenter → {{0.5, 0.5, 0.5}, {0.5, 0.6}}]
40 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
manipula
Manipulate[
TangentSurface[a, b],{{a, 0, "x"}, -2π, 2π,
aparência
Appearance → "Open"},
{{b, 0, "y"}, -2π, 2π,
aparência
Appearance → "Open"},
salva definições
SaveDefinitions →
verdadeiro
True]
x
1.16867
y
1.04301
Global`TangentSurface[1.16867, 1.04301]
Exemplo 4. Se u = f(x, y, z), use diferenciação implícita para encontrar ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂u/∂z a partir da equação
ln(u) = xy2 z +u sin(x+2 y).
Solução. Método 1. Note que, neste caso as fórmulas tomam a forma∂u∂ x = -
∂F∂x∂F∂u ,
∂u∂ y = -
∂F∂y∂F∂u ,
∂u∂ z = -
∂F∂z∂F∂u .
Derivando toda a equação em relação a x, temos∂∂ x ln(u) = ∂∂ x [xy2 z ]+ ∂∂ x [u sin(x+2 y) ] ⟹ ∂ u∂ x 1u = y2 z ∂∂ x [x]+ ∂ u∂ x sin(x+2 y)+
u cos(x+2 y) ∂ (x+2 y)∂ x , ⟹ ∂ u∂ x 1u = y2 z + ∂ u∂ x sin(x+2 y)+u cos(x+2 y)
de onde , isolando ∂u∂x∂ u∂ x 1u - sin(x+2 y) = y2 z+u cos(x+2 y), ∂ u∂ x = y2 z+u cos(x+2 y) 1
u
- sin(x+2 y) ■
Derivando toda a equação em relação a y, temos∂∂ y ln(u) = ∂∂ y [xy2 z ]+ ∂∂ y [u sin(x+2 y) ] ⟹ ∂ u∂ y 1u = xz ∂∂ y [y2]+ ∂ u∂ y sin(x+2 y)+
u cos(x+2 y) ∂ (x+2 y)∂ y , ⟹ ∂ u∂ y 1u = 2 xy z + ∂ u∂ y sin(x+2 y)+2 u cos(x+2 y)
de onde , isolando ∂u∂y∂ u∂ y 1u - sin(x+2 y) = 2 xy z +2 u cos(x+2 y), ∂ u∂ y = 2 xy z +2 u cos(x+2 y) 1
u
- sin(x+2 y) ■
Derivando toda a equação em relação a z, temos∂∂ z ln(u) = ∂∂ z [xy2 z ]+ ∂∂ z [u sin(x+2 y) ] ⟹ ∂ u∂ z 1u = xy2 ∂∂ z [z]+ ∂ u∂ z sin(x+2 y), ∂ u∂ z 1u = xy2 + ∂ u∂ z sin(x+2 y)∂ u∂ z 1u - sin(x+2 y) = xy2, ∂ u∂ z = xy2 1
u
- sin(x+2 y) ■
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 41
Método 2. F(x, y, z, u) = x y2 z + u sin(x + 2 y) - ln(u) = 0. Calculamos ∂ F∂ x, ∂F/∂y, ∂F/∂z e ∂F/∂u{∂x(x y2 z + u
seno
Sin[x + 2 y] -
logaritmo
Log[u]), ∂y(x y2 z + u
seno
Sin[x + 2 y] -
logaritmo
Log[u]),
∂z(x y2 z + u
seno
Sin[x + 2 y] -
logaritmo
Log[u]), ∂u(x y2 z + u
seno
Sin[x + 2 y] -
logaritmo
Log[u])}
y2 z + u Cos[x + 2 y], 2 x y z + 2 u Cos[x + 2 y], x y2, - 1u + Sin[x + 2 y]
encontramos ∂ F∂ x = y2 z+u cos(x+2 y), ∂ F∂ y = (2 x y z+2 u cos(x+2 y)), ∂ F∂ z = x y2 e ∂ F∂ u = - 1
u
+ sin(x+2 y). Logo∂u∂ x = - y2 z + u cos(x + 2 y)- 1
u
+ sin(x + 2 y) , ∂u∂ y = - (2 x y z + 2 u cos(x + 2 y))- 1
u
+ sin(x + 2 y) , ∂u∂ z = - x y2- 1
u
+ sin(x + 2 y) .
1.6. Incrementos, diferencial total e derivada total
1.6.1 Incrementos e diferencial total
Considere uma placa retangular de lados x e y, como mostrada na Fig.16. Suponha que a área original seja A0. As linhas tracejadas da
figura representam uma expansão da área da figura original. Desejamos encontrar a variação na área da placa.
Fig.16. Área da placa em expansão.
Se os lados da placa original x e y sofrem incrementos pequenos, digamos Δx eΔy respectivamente, e a área original foi A0 = xy, a nova
área será A = (x+Δx) (y+Δy) = xy+xΔy+yΔx+ΔxΔy. Por tanto, o incremento da área será:
A-A0 = xy+xΔy+yΔx+ΔxΔy-xy = xΔy+yΔx+ΔxΔy = ΔA x +ΔA y +ΔxΔy
onde y e x significam que os lados da placa com comprimentos y e x não mudaram. Se o comprimento y é fixado, logo ΔAy = yΔx ou
y = ΔAy/Δx. Se o comprimento x é fixado, ΔAx = xΔy ou x = ΔAx/Δy. Substituindo estas expressões no incremento ΔA dá
ΔA = ΔA yΔx Δx+ ΔA xΔy Δy+ΔxΔy.
Se permitimos Δx → 0 e Δy → 0, obtemos a chamada diferencial de A(x, y) expandido em termos das derivadas parciais∂A∂ x, ∂A∂ y e as diferenciais (dx,dy) tal que
dA = ∂A∂ x y dx+∂A∂ y x dy
onde temos desprezado o termo ΔxΔy por ser de segunda ordem mais pequeno. Agora damos a definição formal.
Definição: Dada a função z = f(x, y), o incremento de z é a variável dependente Δz dado por Δz = f(x+Δx, y+Δy)- f(x, y).
O incrementoΔz depende das quatro variáveis independentes x, y, Δx, Δy, e é igual a variação em z como x varia em Δx e y varia emΔy. AssimΔz = Δf(x, y, Δx, Δy),
onde Δf é a funçãoΔf(x, y, Δx, Δy) = f(x+Δx, y+Δy) - f(x, y)
Definição: Dada a função z = f(x, y), a diferencial total de z é a variável dependente dz dada por dz = fx(x, y) dx+ fy(x, y) dy, ou
equivalentemente dz = ∂z∂x dx + ∂z∂y dy.
42 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
Da definição anterior podemos afirmar que dz depende das quatro variáveis independentes x, y, dx, dy. Assim
dz = df(x, y, dx, dy),
onde df é a função
df(x, y, dx, dy) = fx(x, y) dx+ fy(x, y) dy.
Na Fig.17 mostramosΔz “debaixo do microscopio”.
Fig.17 
A extensão do conceito de diferencial total para o caso de uma função de n variáveis, f(x1, x2, ..., xn);
df =
∂ f∂ x1 dx1+ ∂ f∂ x2 dx2+ ...+ ∂ f∂ xn dxn.
Exemplo 1. Encontrar o incremento e a diferencial total de z = x3-3 xy2. 
Solução. Para o incrementoΔz = (x+Δx)3-3 (x+Δx) (y+Δy)2-x3-3 xy2 = 3 x2 Δx-3 y2 Δx+3 xΔx2+Δx3-6 x yΔy-6 yΔxΔy-3 xΔy2-3ΔxΔy2 =3 x2 -3 y2 )Δx+3 xΔx2+Δx3-6 x yΔy-6 yΔxΔy-3 ( x + Δx )Δy2
A diferencial total∂ z∂ x = 3 x2-3 y2, ∂ z∂ y =-6 xy, dz = ∂ z∂ x dx +∂ z∂ y dy = (3 x2-3 y2) dx-6 xydy.■
1.6.2 Derivada total
Considere uma função de n variáveis z = f(t, x1, x2, ..., xn-1) e, suponha também que cada uma das variáveis x1, x2, ..., xn-1 dependem da
variável t, de tal modo que as seguintes relações são válidas
xi = xi(t), i = 1, 2, 3, ..., n.
Defíne-se como derivada total da função z a expressão
df
dt
=
∂ f∂ t + ∂ f∂ x1 dx1dt + ...+ ∂ f∂ xn-1 dxn-1dt .
Note-se que o lado esquerdo definindo a derivada total df
dt
, contém como um termo particular a derivada parcial ∂f∂t no lado direito. Este
termo somente aparecerá quando a função z = f(t, x1, x2, ..., xn-1) depende explícitamente de t.
Exemplo 2. Encontrar a derivada total de f(x, y) = x2+3 xy com relação a x, dado que y = sin-1(x).
Solução. Neste caso, t = x e x1 = y. Assim
df
dx
=
∂ f∂ x + ∂ f∂ y dydx ,
onde
Calculo para engenheiros-2016-v1.nb 43
∂ f∂ x = 2 x+3 y, ∂ f∂ y = 3 x, dydx = 1(1-x2)1/2
pelo que
df
dx
=
∂ f∂ x + ∂ f∂ y dydx = 2 x+3 y+3 x 1(1-x2)1/2 = 2 x+3 sin-1(x)+ 3 x(1-x2)1/2 .■
1.7. Regra da cadeia
De maneira semelhante como o caso de funções de uma variável, aplica-se a funções compostas. 
Teorema: Se z = f(x, y) e x = g(t), y = h(t). Logo dz
dt
= ∂z∂x dxdt + ∂z∂y dydt . Se z = f(x, y) e x = g(u, v), y = h(u, v), logo ∂z∂u = ∂z∂x ∂x∂u + ∂z∂y ∂y∂u ,∂z∂v = ∂z∂x ∂x∂v + ∂z∂y ∂y∂v , .
Em geral, se z = f(x1, x2, ..., xn) e x1 = g(u, v, w, ...), x2 = h(u, v, w, ...), x3 = p(u, v, w, ...), logo
∂ z
∂ u
=
∂ z∂ x1 ∂ x1∂ u + ∂ z∂ x2 ∂ x2∂ u + ∂ z∂ x3 ∂ x3∂ u + ...
∂ z
∂ v
=
∂ z∂ x1 ∂ x1∂ v + ∂ z∂ x2 ∂ x2∂ v + ∂ z∂ x3 ∂ x3∂ v + ...
∂ z
∂ w
=
∂ z∂ x1 ∂ x1∂w + ∂ z∂ x2 ∂ x2∂w + ∂ z∂ x3 ∂ x3∂w + ...
Estas regras, conhecidas como “regra da cadeia”, são o básico para o cálculo de derivadas de funções compostas. 
Exemplo 3. Dado que x (u) = 1 + a u e y(u) = b u3, encontrar a taxa de variação de f(x, y) = x ⅇ-y com relação a u. 
Solução. Usando a regra da cadeia
df
du
=
∂ f∂ x dxdu + ∂ f∂ y dydu ,
temos∂ f∂ x = ⅇ-y, ∂ f∂ y = -x ⅇ-y, dxdu = a, dydu = 3 b u2
pelo que
df
du
= ⅇ-y(a)-x ⅇ-y(3 b u2) = ⅇ-y(a-3 bxu2) = ⅇ-b u3(a-3 b(1 + au) u2)
= , ⅇ-b u3(a-3 bu2-3 ab u3).■
1.7.1 Exercícios. Lista 3. Data: 21-03/ 08-05
I. Cálculo de derivadas parciais 
1. Verificar que a função u(x, t) = e-α2 k2 t sin(kx) é uma solução da equação de condução do calor ut = α2 uxx.
2. Determine qual das funções a seguir é uma solução da equação de Laplace uxx + uyy = 0.
a) u = x2+y2, b) u = x2-y2, c) u = x3+3 xy2, d) u = sin(x) cosh(y)+ cos(x) sinh(y), e) u = e-x cos(y)-e-y cos(x).
3. Mostrar que cada uma das seguintes funções é uma solução da equação utt = a2 uxx.
a) u = sin(kx) sin(akt), b) u = t  (a2 t2-x2), c) u = (x-at)6+(x+at)6, d) u = sin(x-at)+ ln(x+at).
4. Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma variável, mostre que a função u(x, t) = f(x + at) + g(x - at) é uma solução da
equação de onda utt = a2 uxx.
5. Se u = ea1 x1+a2 x2+...+an xn , onde a12+a22+ ...+an2 = 1, mostre que ∂2u∂x12 + ∂2u∂x22 + ...+ ∂2u∂xn2 = u.
44 Calculo para engenheiros-2016-v1.nb
6. Mostre que a função de produção de Cobb-Douglas P = bLα Kβ, satisfaze a equação L ∂P∂L +K ∂P∂K = (α+β) P.
7. A temperatura num ponto (x,y) sobre uma placa de metal é dada por T(x, y) = 60 (1+x2+y2), onde T é medido em oC e x,y em
metros. Encontre a taxa de variação da temperatura com relação a distância no ponto (2,1) em a) na direção x e b) na direção y.
8. A lei do gás ideal para um gás de número de mol n a uma temperatura absoluta T, pressão P, e volume V é PV =nRT, onde R é a
cosntante do gás. Mostre que: a) ∂P∂V ∂V∂T ∂T∂P = -1, b) T ∂P∂T ∂V∂T = nR.
9. Dado z(x, y) = ln x + y ; prove que x ∂z∂x +y ∂z∂y = 12 .
10. Dado u(t, x) = et x/2 ; prove que 2 x ∂u∂x + t ∂u∂t = 0.
11. Dado z(t, x) = ex/2 sin π
4
- y
2
; prove que  ∂z∂x + ∂z∂y 2 = 12 ex sin2 y2 .
12. Se u(x, y, z) = ln(x3+y3+z3-3 xyz), mostrar que  ∂∂x + ∂∂y + ∂∂z   ∂u∂x+ ∂u∂y + ∂u∂z  = -9(x+y+z)2 .
13. Em um estudo de penetração da geada, verificou-se que a temperatura T no tempo t (medido em dias), a uma profundidade x
(medida em pés) pode ser modelada pela função T(x, t) = T0+T1 e-λx sin(ωt-λx), onde ω = 2 /365 e λ é uma constante possitiva.
a) Encontrar ∂T/∂x. Qual é o significado físico?, b) Encontrar ∂T/∂t. Qual é o significado físico? c) Mostre que T satisfaz a equação de
calor Tt = k Txx para uma certa constante k. d) Se λ = 0.2, T0 = 0, T1 = 10, use um computador para traçar o gráfico T(x, t).
II. Derivadas parciais em equações implícitas 
14. Se y uma função de x, determinada pela equação x
2
a2
+ y2
b2
= 1. Encontrar: dy
dx
, d
2 y
dx2
e
d3 y
dx3
.
15. Seja y uma função determinada pela equação x2+y2+2 axy = 0 (a > 1). Mostrar que d2 y
dx2
= 0.
16. Encontrar dy
dx
, d
2 y
dx2
 se y = 1+yx.
17. Encontrar dy
dx
, d
2 y
dx2
e
d3 y
dx3
 se y = x+ ln(y).
18. Se z é uma função de x e y, encontrar ∂z∂x e ∂z∂y , se x cos(y)+y cos(z)+z cos(x) = 1.
19. Se z é uma função de x e y dada através da equação x2+y2-z2-xy = 0, encontrar ∂z∂x e ∂z∂y , para os valores x = -1, y = 0, z = 1.
20. Encontrar ∂z∂x , ∂z∂y , ∂2z∂x2 , ∂2z∂x ∂y , ∂2z∂y2 , se x2a2 + y2b2 + z2c2 = 1.
21. A função u depende de x e y de acordo com a equação ln(u) = y ln(x). Mostrar que ∂3u∂2x ∂y = ∂3u∂x ∂y ∂x .
22. Se a, b, c são os lados de um triângulo e A, B, C são os ângulos opóstos, encontre ∂A/∂a, ∂A/b, ∂A/∂c por diferenciação implícita da
lei de cosenos.
III. Incrementos e diferencial total
23. Encontre a diferencial total da função: a) z = x3 ln(y), b) υ = y cos(xy), c) m = p5 q3, d) T = ν
1+uνω , e) R = αβ2 cos(γ), f) w = xyexz.
24. Se z = 5 x2+y2 e (x,y) varia desde (1,2) até (1.05,2.1), compare os valores de Δz e dz.
25. Calcular as diferenciais totais das funções:
a) z = x+x ln(y) para x = 2, y = 1, dx = 0.05, dy = 0.02; b) υ = ⅇxy, para x = 1, y = 2, dx = -0.01, dy = 0.03.
26. Calcular dz eΔz para a função z = xy em x = 3, y = 1, Δx = 0.1, Δy = -0.2. Assuma queΔx = dx, Δy = dy.
27. Calcular aproximadamente o incremento da função ϕ(x, y) = arctan y
x
, quando x varia desde 2 até 2.1 e y desde 3 até 2.5.
IV. Derivada total
28. Encontrar a derivada total dz
dt
 das seguintes funções
a) z = y
x
, x = et, y = 1-e2 t;
b) z = xy, x = sin(2 t), y = cos(3 t);
c) z = (2 t+1) x ey, x = ln(2 t+1), y = ln(t2+1);
d) z = Ax2+2 Bxy+Cy2, x = sin(t), y = cos(t);
e) Uma partícula descreve uma trajetória tal que sua coordenada z varia em função de suas coordenadas x e y com a equação,
z = arctan y