Material da Oficina de Matemática

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Oficina de Matemática
Módulo II 
Conjuntos numéricos
Conjunto dos números naturais:
N = {0,1,2,3,4,5,...} N* = {1,2,3,4,5,...}
Conjunto dos números inteiros relativos:
Z = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...} Z* = {..., −3, −2, −1, 1, 2, 3,...}
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}
Z– = {..., −3, −2, −1, 0} Z+* = { 1, 2,3, 4,5,... } Z-* = {..., - 4, - 3, - 2, -1}
Conjunto dos números racionais:
Conjunto dos números irracionais I: São os números que não possuem valor exato, e não 
se permitem ser escritos na forma fracionária. Ex: 5 , 𝝅
Conjunto dos números reais: R = ℚ I
Representação de Conjuntos
• Compreensão: A = {x ∈ N / x > 6}
• Extensão: A = {9, 10, 11...}
• Diagrama de Venn - Euler
Operações com conjuntos
União: Dois conjuntos, A e B: 2
4
1 5
3
6
8
Intersecção: Dois conjuntos A e B
1 5
3
6
8
2
4
Operações com conjuntos
Diferença: Dois conjuntos A e B
1 5
3
2
4
6
8
Operações com conjuntos
Aplicando
CE – 600
ADM – 400
EP – 300
CE e ADM – 200
CE e EP – 150
ADM e EP – 100
CE, ADM e EP - 20
20
CE ADM
EP
180
130 80
270 120
70
270 + 180 + 20+130 + 120 + 80 + 70 = 870
1000 – 870 = 130
Alternativa D do e-book
Exemplo: Represente o subconjunto de R sabendo que são números 
reais compreendidos entre -4 e 1, excluindo o - 4 e incluindo o 1.
Por compreensão: C = 𝑥 ∈ 𝑅| − 4 < 𝑥 ≤ 1
Por intervalo: C = −4, 1
Na reta numérica: 
Intervalos numéricos
13
4
1
2 3
22
2
-4
−9
4
Existem infinitos 
números no 
intervalo −4, 1
Equações Polinomiais ou Algébricas
Resolução de equação de primeiro grau
ax² + bx + c = 0 (equação completa) com a, b e c coeficientes, com a ≠ 0 
e x sendo a variável.
ax² + bx = 0 (equação incompleta com c = 0)
ax² + c = 0 (equação incompleta com b = 0)
Equações Polinomiais de Segundo Grau
Para solucionar equações do 2º grau utilizaremos a Fórmula de Bháskara.
∆ = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐
𝑥 =
−𝑏 ± ∆
2. 𝑎
Resolução de equações de segundo grau
Exemplos:
Resolução da equação 7x² + 13x – 2 = 0
a = 7 b = 13 c = -2
𝑥 =
−13± 132 − 4. 7. (−2)
2.7
𝑥 =
−13± 169 + 56
14
𝑥 =
−13± 225
14
=
−13± 225
14
=
−13±15
14
𝑥′ =
−13+15
14
= 
2
14
= 
1
7
𝑥" =
−13−15
14
= 
−28
14
= -2
Forma Fatorada: 
(x – x’) . (x –x”)
No exemplo:
(x - 1/7) . (x + 2)
Resolução de equação de primeiro grau
Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela 
letra grega ∆ (delta).
Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:
Para ∆ > 0, a equação tem duas raízes reais diferentes;
Para ∆ = 0, a equação tem duas raízes reais iguais;
Para ∆ < 0, a equação não tem raízes reais.
Observação: Cuidar as 
raízes negativas, estamos 
trabalhando com o 
conjunto dos números 
Reais. 
Exemplo:
X² + 16 = 0
X² = -16
X = ± −16 ∉ R
Logo, S =
Discriminante - ∆
Aplicando
Área = Comprimento x Largura
Comprimento: (x + 6) cm
Largura: (x – 6) cm 
Área = 64 cm²
(x + 6)(x – 6) = 64
X² - 6x + 6x – 36 = 64
X² - 36 = 64
X² = 36 + 64
X² = 100
X = ± 100 X = ± 10
Resposta: Alternativa C : 16 cm e 4 cm.
(10 + 6) = 16 cm
(10 - 6) = 4 cm
Matrizes
Operações com Matrizes
Possuem a 
mesma 
ordem.
Operações com Matrizes
Possuem a 
mesma 
ordem.
Operações com Matrizes
Operações com Matrizes
2 3 1
−1 0 2
Dadas as matrizes A = e B = 
1 −2
0 5
4 1
Verificar a definição de 
existência desse produto, ou 
seja, só haverá o produto de AB 
se, e somente se, o número de 
colunas de A é igual ao número 
de linhas de B.
𝐴 2𝑥3 𝑒 𝐵 3𝑥2 = 𝐶 2𝑥2
AxB = 
2 3 1
−1 0 2
x
1 −2
0 5
4 1
= 2.1 + 3.0 + 1.4 2. −2 + 3.5 + 1.1
−1.1 + 0.0 + 2.4 −1. −2 + 0.5 + 2.1
= 
6 12
7 4
Sistemas Lineares
Resolva o sistema linear a seguir:
ቊ
𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 + 3𝑦 = −4
𝑥 = 2𝑦 + 5
2𝑥 + 3𝑦 = −4
2(2𝑦 + 5) + 3𝑦 = −4
4𝑦 + 10 + 3𝑦 = −4
7𝑦 = −4 − 10
7𝑦 = −14
𝑦 =
−14
7
= −2 Logo, y = −2
Substituindo 𝑥 = 2(−2) + 5
𝑥 = −4 + 5 𝑥 = 1 𝑆 = 1,−2
Sistemas Lineares
Resolva o sistema linear a seguir:
ቊ
𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 + 3𝑦 = −4
ቊ
𝑥 − 2𝑦 = 5 (−2)
2𝑥 + 3𝑦 = −4
ቊ
−2𝑥 + 4𝑦 = −10
2𝑥 + 3𝑦 = −4
7𝑦 = −14
𝑦 =
−14
7
= −2 Logo, y = −2
𝑥 − 2𝑦 = 5
𝑥 − 2. (−2) = 5
𝑥 + 4 = 5
𝑥 = 5 − 4 𝑥 = 1
𝑆 = 1,−2
Sistemas Lineares
Resolva o sistema linear a seguir:
ቊ
𝑥 − 2𝑦 = 5
2𝑥 + 3𝑦 = −4
𝑥 =
𝐷𝑥
𝐷
𝑦 =
𝐷𝑦
𝐷
1 −2
2 3
Determinante 𝐷 =
1 −2
2 3
= 1.3 − −2 . 2 = 3 + 4 = 7
𝐷𝑥 =
5 −2
−4 3
= 5.3 − −2 . −4 = 15 − 8 = 7
𝐷𝑦 =
1 5
2 −4
= 1. −4 − 5.2 = −4 − 10 = −14
𝑥 =
7
7
= 1 𝑦 =
−14
7
= −2
𝑆 = 1,−2
Praticando!