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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL 
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA 
ECO 277 TEORIA MICROECONÔMICA I 
PROF. MARCELO S. PORTUGAL 
 
 
LISTA DE EXERCÍCIOS NÚMERO 3 - Resolução 
 
1. Seja CT q= φ( ) a função de custo total. Pede-se: 
a) escreva as expressões para o custo marginal (CMg) e para o custo médio (CMe); 
Resposta: 
 
CMg = )(' q
dq
dCT φ= 
CMe = 
q
CT =
q
q)(φ 
 
b) mostre que quando o CMe é mínimo temos CMe=CMg; qual é a explicação econômica 
deste resultado; 
Resposta: 
Min.: CMe = 
q
q)(φ 
 
A condição de 1ª. ordem é dada por: 
 ( ) 0)(' 2 =−= q
q
q
q
dq
dCMe φφ 
 
Assim: 
 ( )
2
)('
q
q
q
q φφ = 
( )
q
qq φφ =)(' 
CMg = CMe 
 
 Ou seja, no ponto de mínimo do custo médio, deve-se verificar a igualdade entre o 
custo médio e o custo marginal. A explicação econômica disso está no fato de que enquanto 
o CMg estiver abaixo do CMe, a produção de uma unidade adicional de produto fará com 
que o CMe diminua. Se o CMg for superior ao CMe, produzir uma unidade adicional de 
produto aumentará o CMe. Podemos fazer uma analogia com o cálculo da média das notas: 
só consigo aumentar a média das notas se tirar notas maiores que a média, ou seja, a média 
só aumenta quando a nota marginal é maior que a nota média. Se a nota marginal é menor 
que a nota média, a média irá diminuir. E se a nota marginal é igual à média, esta última 
não se altera. 
 Dessa forma, temos o seguinte gráfico para o CMe e o CMg: 
 
 
 
c) o que se pode dizer a respeito da elasticidade da função de custo total no ponto em que o 
CMe é mínimo. 
Resposta: 
A elasticidade da função de custo total é dada por: 
CTε = %%
CT
CT CT
qq
q
Δ
Δ = ΔΔ =
CT q
CT q
Δ
Δ =
CT q
q CT
Δ
Δ 
 
Se a variação for infinitesimal, podemos escrever a expressão acima como: 
 
CTε = CT
q
dq
dCT 
 
E dado que CMg
dq
dCT = e 1q
CT CMe
= (já que CMe = CT
q
), temos: 
 
CTε = dCT qdq CT = 
1CMg
CMe
× 
 
Como no ponto de mínimo do CMe, CMg = CMe, então: 
 
CTε = dCT qdq CT = 1 
 
Portanto, a elasticidade da função de custo total é igual a 1 quando o custo médio é mínimo. 
 
 
2.Dada a função de produção e os preços dos insumos abaixo, pede-se: 
 
q K L
p pK L
=
= =
10
28 10
0 7 0 1. .
 e 
 
 
a) ache o produto máximo possível para um gasto de 4000 reais; 
Resposta: 
Max.: q = 1,07,010 LK
 s.a.: 28K + 10L = 4000 
 
O Lagrangeano desse problema é dado por: 
 [ ]LKLKl 1028400010 1,07,0 −−+= λ 
 
E as condições de 1ª. ordem: 
 
0287 1,03,0 =−=∂
∂ − λLK
K
l (I) 
0109,07,0 =−=∂
∂ − λLK
L
l (II) 
010284000 =−−=∂
∂ LKlλ (III) 
 
De (I) temos: 
28
7 1,03,0 LK −=λ 
 
E de (II): 
10
9,07,0 −
= LKλ 
 
Como λλ = : 
 
28
7 1,03,0 LK − =
10
9,07,0 −LK 
 
2,5 = 
L
K 
LK 5,2= 
 
Substituindo em (III): 
 
28K + 10L = 4000 
400010)5,2(28 =+ LL 
400080 =L 
50=L 
 
Então: 
505,2 ×=K 
125=K 
 
Assim, as quantidades de capital e trabalho que maximizam o nível de produto nesse caso 
são 125 e 50, respectivamente. E o produto máximo será: 
 
( ) ( ) 1,07,0 5012510 ××=máximoq 
434≅máximoq 
 
 
b) verifique as condições de segunda ordem; 
Resposta: 
 
Para verificarmos a condição de 2ª. ordem, montamos o hessiano orlado: 
0058,01,2 1,03,1
50,125
2
2
−=−=∂
∂ −
==
LK
K
l
LK
 
0156,09,0 9,17,0
50,125
2
2
−=−=∂
∂ −
==
LK
L
l
LK
 
0049,07,0 9,03,0
50,125
2
==∂∂
∂ −−
==
LK
LK
l
LK
 
 
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
−
−=
0058,00049,028
0049,00156,010
28100
H 
 
05544,1558,02304,12372,1372,1
0049,028
0156,010
100
0058,00049,028
0049,00156,010
28100
2 >=+++=−
−
−=H
 
 
Assim, como 2H >0, trata-se de um ponto de máximo. 
 
c) como você interpreta o multiplicador de Lagrange neste problema. 
Resposta: 
O multiplicador de Lagrange sempre nos fornece em quanto aumenta a função-objetivo 
quando “afrouxamos” a restrição em uma unidade. Nesse caso, temos que o multiplicador 
de Lagrange nos dá o aumento na quantidade produzida quando o dispêndio da firma é 
aumentado em unidade monetária. 
 
3. Minimize o custo para a produção de 434 unidades de uma mercadoria quando os preços 
e a função de produção são: 
 
q K L
p pK L
=
= =
10
28 10
0 7 0 1. .
 e 
 
 
Como você interpreta seus resultados a luz do que foi obtido no execício anterior. 
Resposta: 
Este é o problema dual do exercício anterior. Assim, obviamente, vamos obter os mesmos 
resultados. 
 
Min: 28K + 10L 
s.a.: 10K0,7L0,1 = 434 
 
O Lagrangeano desse problema é: 
L = 28K + 10L + λ (434 - 10K0,7L0,1) 
 
As condições de 1a. ordem são dadas por: 
0,3 0,128 7 0l K L
K
λ −∂ = − =∂ (i) 
0,7 0,910 0l K L
K
λ −∂ = − =∂ (ii) 
0,7 0,110 434 0l K Lλ
∂ = −∂ = (iii) 
 
De (i), temos que: 
0,3
0,1
28
7
K
L
λ = =
0,3
0,1
4K
L
 
 
De (ii): 
0,9
0,7
10L
K
λ = 
 
Como λ = λ: 
 
0,3
0,1
4K
L
 = 
0,9
0,7
10L
K
 
4K = 10L 
L = 0,4K (iv) 
 
Substituindo (iv) em (iii), temos: 
0,7 0,110 434K L = 
0,7 0,110 (0,4 ) 434K K = 
0,89,1244 434K = 
0,8 47,56K = 
( ) 10,847,56K = 
125K ≅ 
 
Substituindo o valor de K em (iv): 
L = 0,4(125) 
L = 50 
 
A combinação ótima de insumos é, portanto: (K,L) = (125,50) 
 
E o custo nesse ponto será: 
CT = 28(125) + 10(50) = 4000 
 
Os resultados obtidos são idênticos aos encontrados no exercício anterior, já que se tratam 
de problemas duais. 
 
4. Considerando a função de produção abaixo e sabendo-se que o preço do capital, trabalho 
e terra são, respectivamente, 6, 4 e 1 reais, e que a quantidade de terra é fixa e igual a 125 
acres, obtenha a combinação ótima de K e L supondo-se que a firma deseja produzir 100 
unidades do produto. 
 
q K L T= 0 5 0 5 1 3. . / 
 
Resposta: 
Aqui, devemos resolver o seguinte problema de minimização de custos: 
 
Min: 6K + 4L + 1T 
s.a.: 0.5 0.5 1/3 100K L T =
 
Como T é fixo e igual a 125, temos que: 
 
Min: 6K + 4L + 125 
s.a.: 0,5 0,55 100K L =
 
O Lagrangeano é: 
l = 6K + 4L + 125 + λ( ) 0,5 0,5100 5K L−
 
As condições de 1a. ordem são: 
l
K
∂ =∂ 6 – 2,5λK
-0,5L0,5 = 0 (i) 
l
L
∂ =∂ 4 – 2,5λK
0,5L-0,5 = 0 (ii) 
l
L
∂ =∂
0,5 0,5100 5K L− = 0 (iii) 
 
De (i), temos que: 
λ = 
0,5
0,5
6
2,5
K
L
 
 
De (ii), temos: 
λ = 
0,5
0,5
4
2,5
L
K
 
 
Como λ = λ: 
 
0,5
0,5
6
2,5
K
L
 = 
0,5
0,5
4
2,5
L
K
 
6K = 4L 
K = 2
3
L (iv) 
 
Substituindo (iv) em (iii): 
0,5 0,55 100K L = 
0,5
0,525 100
3
L L⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
0,525 100
3
L⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 
L 24,49 ≅
 
Substituindo o valor de L em (iv), temos: 
K ≅ 16,33 
 
Assim, a combinação ótima de insumos é (K,L) = (16,33 ; 24,49) 
 
 
5. Um produto pode ser produzido usando-se os insumos K e L, e o volume de produção 
atual da firma indica que PMg(L)=3, PMg(K)=5, pk =2 e pL =1. A firma esta empregando 
uma combinação de K e L que minimiza os custos? Caso não esteja, o que deveria fazer? 
Analise graficamente. 
Resposta: 
Para minimizar custos, a empresa deve produzir num ponto em que a isoquanta é tangente à 
isocusto: 
 
 
A inclinação da isocusto é dada por: w
r
. E a inclinação da isoquanta: PMgL
PMgK
. Portanto, se 
a empresa está minimizando custos, a seguinte condição deve ser verificada: 
 
w
r
= PMgL
PMgK
 
 
Nesse caso, tem-se que: 
5
3
2
1 ≠ 
 firma deve substituir capital por trabalho, 
 que possibilitará atingir isoquantas mais altas. 
do que dois insumos (capital e trabalho) sejam necessários à produção de um 
a de 
suponha, logicamente, que deseje-semanter o mesmo nível de produção). 
l de produção seria 
mbém dobrado. A condição de maximização do produto é dada por: 
 
 
Assim, para passar a produzir a custos mínimos, a
o
 
 
6. Supon
produto. 
a) Se os preços de ambos os insumos dobrarem, como isso afetaria a combinação ótim
insumos? ( 
Resposta: 
Se quisermos manter o mesmo nível de produção, a combinação ótima de insumos não se 
alteraria. Apenas o dispêndio necessário para atingir o mesmo níve
ta
r
w
r
w
PMg
PMg
K
L ==
2
2 
 
Assim, a inclinação da isocusto não é modificada. Ela apenas se desloca para baixo em 2 
unidades. Portanto, para manter o mesmo nível de produção, precisaríamos dobrar o 
dispêndio, o que deslocaria a isocusto à sua posição original: 
 
 
 
b) Suponhamos que a razão entre os preços do capital e trabalho se reduza. Qual será o 
impacto desta mudança sobre a combinação ótima de insumos escolhida (o nível de 
ntinua o mesmo). 
r tanto pela redução 
de r (preço do capital), quanto pelo aumento de w (preço do trabalho): 
produção co
Resposta: 
A redução da razão entre os preços do capital e do trabalho pode ocorre
rw
r
w ↑↓⇔↓ ou 
 
Vamos trabalhar com uma redução em w: 
 
 
 
 Nesse caso, haveria, obviamente, uma substituição de insumos: capital seria 
substituído por trabalho, pois este último ficou relativamente mais barato. Porém, mantendo 
o mesmo nível de produção, a firma não estaria produzindo no ponto economicamente 
eficiente (custo mínimo), visto que seria possível atingir agora uma isoquanta mais alta, ou 
seja, seria possível produzir uma quantidade maior com o mesmo custo. 
 
 Supondo agora um aumento em r: 
 
 
 Nesse caso, obviamente, haveria também uma substituição de insumos: capital seria 
novamente substituído por trabalho, visto que este último ficou relativamente mais barato. 
Porém, para manter o mesmo nível de produção, seria necessário agora aumentar o 
dispêndio (c), a fim de atingir novamente a isoquanta original. Sem o aumento no 
dispêndio, a firma mudaria a proporção de insumos utilizados e, além disso, produziria 
uma quantidade menor. 
 
7. A partir da função de produção e dos preços de insumos abaixo e sabendo-se que a 
empresa dispõe de 100.000 reais para custear a produção, determine a quantidade 
produzida e as quantidades de capital e trabalho a serem empregadas. 
 
q K
p p
L
K L
= +
= =
20 5
1 1
2 2
 e 
 
Resposta: 
Max.: 20K2 + 5L2 
s.a.: K + L = 100.000 
 
O Lagrangeano é: 
L = 20K2 + 5L2 + λ (100.000-K-L) 
 
As condições de 1a. ordem: 
 
l
K
∂
∂ = 40K - λ = 0 (i) 
l
L
∂
∂ = 10L - λ = 0 (ii) 
l
λ
∂
∂ = K + L - 100.000 = 0 (iii) 
 
De (i), temos: 
λ = 40 K 
 
De (ii), temos: 
λ = 10L 
 
Como λ = λ, temos: 
40K = 10L 
L = 4K (iv) 
 
Substituindo (iv) em (iii): 
 
K + L = 100.000 
K + 4K = 100.000 
5K = 100.000 
K = 20.000 
 
Substituindo K em (iv), temos: 
L = 4(20.000) 
L = 80.000 
 
A quantidade produzida será então: 
( ) ( 22 000.805000.2020 ×+×=q ) 
10104×=q 
 
 
8. Complete os espaços em branco na tabela abaixo. 
 
Produto Custo Total Custo Fixo Custo 
Variável 
Custo 
Variável 
Médio 
Custo Fixo 
Médio 
0 50 50 0 - - 
1 70 50 20 20 50 
2 100 50 50 25 25 
3 120 50 70 23,3 16,67 
4 135 50 85 21,25 12,4 
5 150 50 100 20 10 
6 160 50 110 18,3 8,3 
7 165 50 115 16,43 7,14 
 
9. Dada a função de custo médio de curto prazo abaixo, determine: 
 
CMe q= +10 5 
 
a) o custo total; 
Resposta: 
Temos que: 
q
CTCMe = 
CT = CMe q×
Nesse caso: ( )qqCT 510 += 
2510 qqCT += 
 
b) o custo marginal; 
Resposta: 
dq
dCTCMg = 
qCMg 1010 += 
 
c) o custo fixo e o custo fixo médio; 
Resposta: 
Não há custo fixo. 
 
d) o custo variável e o custo variável médio. 
Resposta: 
2510 qqCV += 
q
qqCVMe
2510 += 
qCVMe 510 += 
 
 
10. Seja a função de produção tipo Cobb-Douglas abaixo, pede-se: 
 
q AK La b= 
 
a) determine a produtividade média e a produtividade marginal para ambos os insumos e 
represente graficamente; 
Resposta: 
ba
ba
K LAKK
LAK
K
qPMe 1−=== 
K
ba
K aPMeLaAKdK
dqPMg === −1(.) 
 
1−=== ba
ba
L LAKL
LAK
L
qPMe 
L
ba
L bPMeLbAKdL
dqPMg === −1(.) 
 
 Supondo A =1, b = 0,5, a = 0,5 e K fixo, temos a seguinte representação gráfica 
para o insumo trabalho: 
 
 
 
b) qual é o requisito para que esta função seja homogênea de grau um; 
Resposta: 
 
Para que a função seja homogênea de grau 1, deve-se verificar: 
),(),( LKfLKf λλλ = 
ou seja, a função deve apresentar retornos constantes de escala. Assim, a + b=1: 
( ) ( )ba LKALKf λλλλ =),( 
),(),( LKfLKf ba+= λλλ = ),( LKfλ ⇔ 1=+ ba 
 
c) determine a taxa marginal de substituição técnica. 
Resposta: 
AL
bK
LaAK
LbAK
PMg
PMgTMgST ba
ba
K
L === −
−
1
1
 
 
11. Como é possível compatibilizar as idéias de retornos constantes de escala e 
produtividade marginal decrescente. 
Resposta: 
A existência de retornos constantes de escala é perfeitamente consistente com a lei dos 
rendimentos marginais decrescentes, já que estes conceitos são distintos. O conceito de 
retornos de escala está relacionado ao longo prazo, período no qual todos os insumos são 
variáveis. Já o conceito de produto marginal decrescente é ligado ao curto prazo, período 
no qual pelo menos um insumo é fixo. A lei dos rendimentos marginais decrescentes diz 
que, a partir de um certo ponto, quantidades adicionais do insumo variável aumentarão o 
produto a taxas decrescentes; os retornos de escala nos mostram o que acontece com o 
produto total quando eu vario todos os insumos na mesma proporção. 
 
 
12. (Anpec-95) Com relação à teoria da produção e dos custos é correto afirmar que: 
 
a) Se a tecnologia de produção for do tipo Leontief, a produtividade marginal dos insumos 
será não negativa. 
Resposta: 
A afirmativa é verdadeira. A tecnologia de produção do tipo Leontief pode ser representada 
por { 21 ,min XXY }βα= . Esse tipo de função de produção refere-se a insumos que são 
complementares, assim, tais insumos são utilizados em proporções fixas. Dessa forma, o 
aumento na quantidade de um insumo apenas, mantendo o outro constante, não irá alterar o 
nível de produto. Nesse caso, o produto marginal seria zero. 
No caso em que a proporção utilizada dos insumos não é a ótima: se eu aumento o insumo 
que está sendo utilizado em uma quantidade menor que a ótima, o produto marginal 
obviamente será positivo. Caso eu aumente o insumo que está sendo utilizado em 
quantidade maior, o produto não irá se alterar e, assim, o produto marginal será zero. 
Dessa forma, no caso da função de produção do tipo Leontief, a produtividade marginal dos 
insumos será sempre não negativa. 
 
b) Se a função de produção for homogênea linear, o custo marginal de longo prazo será 
sempre igual aos valores mínimos dos custos médios de curto-prazo. 
Resposta: 
A afirmativa é verdadeira. Nesse caso, trata-se de uma tecnologia com retornos constantes 
de escala. Assim, a mudança na escala de produção não altera o custo médio da firma. 
Portanto, sob retornos constantes de escala, o custo médio de longo prazo é uma constante, 
igual aos valores mínimos dos custos médios de curto prazo. E a curva de custo marginal de 
longo prazo é igual à curva de custo médio de longo prazo, já que o custo adicional de se 
produzir uma unidade de produto, no longo prazo, é constante e igual ao custo médio. 
 
c) Se a função tem retornos constantes de escala, a taxa marginal de substituição técnica 
depende da relação entre as quantidades de insumos e não de seus valores absolutos. 
Resposta: 
A afirmativa é verdadeira. Para qualquer tipo de função de produção, independentemente 
dos retornos de escala, a TMgST vai depender das quantidades relativas. 
 
d) Seos preços de todos os insumos se elevarem na proporção λ, o custo total mínimo de 
qualquer que seja o nível de produto aumentará em uma proporção maior, igual ou menor 
que λ, dependendo se a função de produção tiver retornos decrescentes, constantes ou 
crescentes de escala, respectivamente. 
Resposta: 
A afirmativa é falsa. Independentemente do tipo de função de produção, o custo total 
mínimo também aumentará na proporção λ . 
Graficamente, temos: 
 
 
 
 
 
 Com o aumento dos preços dos insumos na proporção λ , os preços relativos 
permanecem os mesmos. Assim, a isocusto se desloca paralelamente para a esquerda. Para 
mantermos o mesmo nível de produção, com estes novos preços, é preciso aumentar o 
dispêndio (c) na proporção λ , de modo que a isocusto retorne à sua posição original. 
 
Matematicamente, temos: 
 ( ) ( )
),(:..
:.min
LKfqas
KrLw
=
+ λλ
 
 
 A condição para a minimização dos custos é dada por: 
r
w
r
w
PMg
PMg
K
L == λ
λ 
 
 Assim, as quantidades ótimas de K e L necessárias para a produção de q unidades de 
produto permanecerão as mesmas. Porém, substituindo os valores ótimos de K e L na 
função objetivo, veremos que o custo total mínimo de se produzir q unidades se elevará em 
λ , independentemente da função de produção: ( )rKwLc += λ . 
 
 
13. (Anpec-95) São corretas as afirmativas: 
 
a) Uma função de produção indica a quantidade produzida de um bem como função das 
quantidades e dos preços dos fatores. 
Resposta: 
A afirmativa é falsa. Uma função de produção indica a quantidade produzida de um bem 
como função apenas das quantidades dos fatores: . ),( LKf
 
b) A função de oferta de um produto em concorrência perfeita é gerada pela soma 
horizontal das curvas de custo marginal de produção, a partir do ponto em que estas 
cortarem as respectivas curvas de custo fixo médio. 
Resposta: 
A afirmativa é falsa. A função de oferta de um produto em concorrência perfeita, no curto 
prazo, é gerada pela soma horizontal das curvas de custo marginal de produção, a partir do 
ponto em que estas cortarem as respectivas curvas de custo variável médio. 
 
c) A área sob a curva de custo marginal é igual ao custo variável total. 
Resposta: 
A afirmativa é verdadeira. 
O custo marginal é dado por: 
dq
dCV
dq
dCTCMg == , 
visto que o custo fixo não depende da quantidade produzida. 
Assim: 
 
CVdq
dq
dCVCMgdqdq
dq
dCT === ∫∫∫ 
 
ou seja, a área sob a curva de CMg é igual ao custo variável total. 
 
d) A curva de custo variável médio fica sempre abaixo da curva de custo médio. 
Resposta: 
A afirmativa é verdadeira. O custo médio contém também os custos fixos médios. Assim: 
q
CV
q
CFCMe += 
Dessa forma, a curva de CVMe fica abaixo da curva de CMe. Quando ∞→q , 
. CVMeCMe →