Slides-Cap3

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Capítulo 3
 Diagramas, Boole, Karnaugh
Interseção (E)
União (OU)
Negação
*
Operações Compostas
E = AND
OU = OR
Negação do E = NE = NAND
Negação do OU = NOU = NOR
Determine a tabela verdade para as operações NAND e NOR
Determine a tabela verdade da expressão a seguir e identifique as funções NAND e NOR na mesma:
*
Tabela verdade ⇒ Expressão Lógica
Já sabemos: Expressão Lógica ⇒ Tabela verdade
Que expressão descreve uma TV?
Quando há mais combinações em zero do que em um:
Juntar com OR várias operações AND
Cada AND tem uma linha em 1 no resultado
Os OR “acumulam” as linhas em 1
Técnica denominada MINTERMOS
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
B
A
Saídas (Produtos)
Entradas
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
0
0
X
B
A
Saídas (Produtos)
Entradas
*
Tabela verdade ⇒ Expressão Lógica
Já sabemos: Expressão Lógica ⇒ Tabela verdade
Que expressão descreve uma TV?
Quando há mais combinações em um do que em zero:
Juntar com AND várias operações OR
Cada OR tem uma linha em 0 no resultado
Os AND garantem que a saída só será 1 nas linhas qur têm tudo em 1
Técnica denominada MAXITERMOS
0
1
1
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
0
0
0
B
A
Saídas (somas)
Entradas
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
1
0
0
X
B
A
Saídas (Produtos)
Entradas
*
Exercício
Determine a expressão lógica que traduz cada tabela verdade dada a seguir.
F(A,B,C,D)=(0,3,14) 1 nas linhas 0, 3 e 14, ordem padrão
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Mais funções compostas
Determine a expressão lógica que traduz cada tabela verdade dada a seguir.
Funções de comparação:
A  B ⇒ OU exclusivo ou X-OR (Exclusive OR)
A = B ⇒ NOU exclusivo, X-NOR (NOR exclusivo) ou E exclusivo
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Ex-OR e Ex-NOR (Ex-AND)
A  B ⇒ Ex-OR ⇒
A = B ⇒ Ex-NOR ⇒
Outras comparações:
Faça a tabela-verdade de cada expressão a seguir e identifique que operações testam igualdade ou diferença.
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Circuitos de Chaveamento
Exemplos Anteriores
NOT
AND
OR
NAND
NOR
(A+C).(B+D)
*
Portas Lógicas
Circuitos integrados que implementam as funções lógicas
Símbolos básicos:
*
Diagramas esquemáticos
Exemplos
Determine as expressões lógicas que traduzem exatamente cada circuito dado a seguir:
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Exercícios
Desenhe o diagrama que implementa cada expressão lógica dada a seguir.
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Circuitos Integrados
*
Portas Lógicas
Exemplo: 7408 (AND)
Vb
Entradas e saídas sempre relacionadas ao terra 
(GND – ground - referência)
Vy
Condição de funcionamento: alimentação (Vcc e terra, com ddp de +5Vcc)
Va
*
Portas Lógicas
Exemplo: 7408 (AND)
*
Portas Lógicas
Observações
Referência (terra) única para todos os circuitos;
Estados lógicos medidos em relação ao terra;
Códigos de baixo nível, camadas inferiores
Vcc conectado a todos os circuitos;
Alimentação raramente é representada (a não ser em diagramas detalhados);
Limites reais de corrente e tensão
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Diagrama de temporização
“Tabela verdade gráfica”
Entradas apresentadas em qualquer ordem.
A
0
1
*
Diagrama de Temporização
Saídas decorrentes representadas junto às entradas
Exemplo:
X
A
B
C
A+B
*
Diagrama de Temporização
Determine o diagrama de temporização para o circuito a seguir para:
As entradas apresentadas na figura;
As entradas apresentadas na seqüência padrão da tabela verdade.
A
B
C
*
Solução
A
B
C
A.B
A+B
Y
W
Z
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Expressões equivalentes
Uma tabela verdade = n expressões lógicas
Exemplo:
Como provar a igualdade (equivalência)?
Como simplificar expressões?
*
Álgebra de Boole
Álgebra binária
Propriedades
Associativa
Identidade
Distributiva
Absorção
De Morgan
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Propriedade: Associativa
A.B.C = (A.B).C = A.(B.C) = B.(A.C)
A+B+C = (A+B)+C = A+(B+C) = B+(A+C)
Condições para AND e OR verdadeiras não dependem de ordem:
AND: todas as variáveis devem ser verdadeiras;
OR: pelo menos uma variável deve ser verdadeira.
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Propriedade: Identidade
A.1 = A
A.0 = 0
A+1 = 1
A+0 = A
A+A = A
A.A = A
A+A = 1
A.A = 0
Dupla negação: A = A
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Propriedade: Distributiva
A.(B+C) = A.B + A.C
A+BC = (A+B) . (A+C)
Pode ser usada em qualquer sentido:
“de trás para frente” = botar em evidência
A.B + A.C = A.(B+C)
(A+B) * (A+C) A+ B * C =
*
Propriedade: Absorção
A.(A+B) = A
A+A.B = A
Demonstração (usando igualdade e distributiva)
A.(A+B) = (A+0).(A+B) = A+B.0 = A+0 = A
A+A.B = A.1 + A.B = A. (1+B) = A.1 = A
Absorção x distributiva: parece, mas não é!!!
A.(B+C) = A.B + A.C		A+BC = (A+B) . (A+C)
A.(A+B) = A			A+A.B = A 	
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Propriedade: De Morgan
A.B = A + B
A.B será 1 se “ambos verdadeiros”. 
Se PELO MENOS um não for verdadeiro, saída será 0 
“Pelo menos” = OR. 
A + B = A . B
A+B será 1 se “pelo menos um for verdadeiro”.
Para não se ter “pelo menos um”, teremos AMBOS falsos.
“Ambos” = AND 
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Raciocínio em blocos
Aplicação de propriedades nem sempre é óbvia!
Procure pelos grandes blocos!
Use o bom senso para avaliar seus cálculos!
O risco de comparar tabelas verdade:
Uma linha igual nada prova...
Uma linha diferente comprova a diferença!
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Exclusividade
Não há propriedades específicas para Ex-OR e Ex-AND;
Algumas propriedade se aplicam a elas – verifique quais são!
Para simplificar: expandir definição da operação:
Exemplo:
*
Resumo das propriedades:
Procure desenvolver seu “instinto”
Pense em blocos!
A.B.C = B.(A.C)
A+B+C = B+(A+C)
A.1 = A
A.0 = 0
A+1 = 1
A+0 = A
A = A 
A.(B+C) = A.B + A.C
A+BC = (A+B) . (A+C)
A.(A+B) = A
A+A.B = A
A.B = A + B
A + B = A . B
A+A = A
A.A = A
A+A = 1
A.A = 0
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Exercícios
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Exercícios
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Ex-OR e Ex-NOR por Boole
Novamente, identifique que operações testam igualdade ou diferença. Desta vez, utilize Álgebra de Boole.
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Mapas de Karnaugh
Tabela verdade ⇒ expressão ⇒ simplificação :
Analisando a tabela verdade, Muda-se 1 variável de cada vez:
B constante, muda A ⇒ X constante: não X depende de A
A constante, B muda ⇒ X muda: dependo de B
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Mapas de Karnaugh
Uma tabela verdade onde é fácil analisar uma variável por vez:
Verdadeiro quando
B=0, donde X=não B
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Mapas de Karnaugh – 2 variáveis
*
Mapas de Karnaugh – 3 variáveis
Como mudar 1 variável de cada vez? Princípio básico de funcionamento do MK
1
1
A
00 01 11 10
0
1
BC
VIZINHOS: apenas 1 variável muda de valor
Grupo de vizinhos: n variáveis assumem todas as combinações possíveis
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Alguns exemplos
Obtenha a expressão mais simples que traduz cada MK
1
1
A
00 01 11 10
0
1
BC
*
Alguns exemplos
Obtenha a expressão mais simples que traduz cada MK
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Mapa de 4 variáveis
O princípio deve ser mantido;
2 variáveis na vertical, 2 na horizontal
Grupos de 1 a 4 variáveis
-1 variável
-2 variáveis
-3 variáveis
*
Mapas de 5 variáveis
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
E=0
E=1
AB
CDE
00
01
11
10
000 001 011 010 110 111 101 100
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Mapas de 6 variáveis
E
F
0
1
0
1
*
Simplificando expressões
OU (or) = união
A
00 01 11 10
0
1
BC
A
00 01 11 10
0
1
BC
A
00 01 11 10
0
1
BC
A
00 01 11 10
0
1
BC
A
00 01 11 10
0
1
BC
A
B
A+B
AB
+
=
A+B
+
=
+
=
+
=
*
Simplificando expressões
E (and) = interseção
A
00 01 11 10
0
1
BC
A
00 01 11 10
0
1
BC
1
1
A
00 01 11 10
0
1
BC
A
00 01 11 10
0
1
BC
A
00 01 11 10
0
1
BC
1
A
00 0111 10
0
1
BC
A
B
A.B
AB
A.B.C
*
Simplificando expressões
Negação = inversão de valores
A+B
A.B
A.B
A+B
Negação
Negação
*
Simplifique:
*
Simplifique:
*
Simplificando expressões
Funções exclusivas
: 1 quando resultados são iguais (0 ou 1)
: 1 quando resultados são diferentes
*
Simplifique:
Funções exclusivas
*
Estados Irrelevantes (Don’t care)
BCD 8421
XS-3
Gray
*
Estado irrelevante (Don’t care)
Um circuito tem 4 entradas independentes. As entradas representam um dígito BCD 8421 = ABCD. Projete o circuito que determina se o número é igual a 4 ou 5.
Tudo pode acontecer com as entradas A, B, C e D (16 combinações de valores)
AB
CD
00 01 11 10
00
01
11
10
*
Estado irrelevante (Don’t care)
Combinações inexistentes podem ser usadas para simplificar um projeto.
Combinações inexistentes identificadas com X.
X pode ser 0 ou 1, como mais simplificar o circuito
De fato: algumas combinações não ocorrem: 10 a 15.
Comparar:
*
Estado irrelevante (Don’t care)
Um circuito tem 4 entradas independentes. O segundo, tem também 4 entradas, geradas como mostra o desenho a seguir:
Tudo pode acontecer com as entradas A, B, C e D (16 combinações de valores)
Algumas combinações não ocorrem para A, X, Y, Z
*
Estados irrelevantes (Don’t care)
Combinações inexistentes podem ser usadas para simplificar um projeto.
Identifique as combinações inexistentes do exemplo anterior no MK a seguir:
Exemplo: projete um circuito que detecta quando há pelo menos 3 entradas em 0. Faça o projeto com e sem o uso de Estados irrelevantes e compare a complexidade dos circuitos finais.
*
Exercícios
Obtenha a expressão lógica que traduz cada MK. Em seguida, determine o circuito mais simples que pode ser implementado com o uso de portas EX-OR ou EX-AND, sempre que possível.