12181-Solidos 2 - exercicios resolvidos

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APOSTILA 02 
DEFORMAÇÃO AXIAIL – COEFICIENTE DE POISSON – DEFORMAÇÃO NA FLEXÃO 
PURA – FLEXÃO SIMPLES - TORÇÃO 
 
ENGENHARIA CIVIL 
2019 
 
 
 
 
 
MECÂNICA DOS 
SÓLIDOS I 
ENGENHARIA CIVIL – Prof. MSc. Sílvio Maurício Beck 
 
 
 
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EXERCÍCIOS – DEFORMAÇÃO / MÓDULO DE ELASTICIDADE / COEFICIENTE DE POISSON 
 
1- Um tubo de ferro fundido é usado para suportar uma força de compressão. Sabendo que 
E = 69 GPa, e que a máxima alteração admissível no comprimento é de 0,025%, determine: 
 A tensão normal máxima no tubo (em MPa); 17.25 MPa 
 A espessura mínima da parede (em mm) para uma carga de 7,2 kN se o diâmetro 
externo do tubo for de 50 mm. 0.00282 m 
 
2- Duas marcas de referência são colocadas exatamente 250 mm uma da outra, em uma 
barra de alumínio com diâmetro de 12 mm, E = 73 GPa e limite de resistência de 140 MPa. Sabendo 
que a distância entre as marcas de referência é de 250,18 mm depois que a força foi aplicada, 
determine, em MPa, a tensão da barra. 52.52 MPa 
 
3- Uma barra de alumínio tem ø = 70 mm, L = 300 mm e está tracionada. Em certo instante a 
força aplicada P é de 17250 kgf, enquanto que o alongamento medido na barra é de 0.240 mm, e o 
encurtamento do diâmetro é de 0.0159mm. Determine: 
 A constante de Poisson; 0.284 
 O módulo de elasticidade do material (em MPa). 56025 MPa 
 
4- Uma força de tração de 9 kN é aplicada a um fio de aço de 50 m de comprimento com E = 
200 GPa. Determine o menor diâmetro do fio (em mm) que pode ser usado, sabendo que a tensão 
normal não deve exceder 150 MPa e que o aumento no comprimento do fio deverá ser no máximo 
de 25 mm. D = 10.70 mm 
 
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5- A haste CE de 10 mm de diâmetro e a haste DF de 15 mm de diâmetro são ligadas à barra 
rígida ABCD como na figura. Sabendo-se que as hastes são de alumínio e usando-se E= 70 GPa, 
determinar: 
 A força provocada em cada haste pelo carregamento indicado (em kN); FDF = 24 kN 
FCE = 8 kN 
 O deslocamento do ponto D (em mm); S = 1.45 mm 
 
 
 
 
 
 
 
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6- O conjunto consiste de uma haste CB de aço A-36 e de uma haste BA de alumínio 6061-T6, 
cada uma com diâmetro de 2,54 cm. Se a haste está sujeita a uma carga axial de P1= 53,4 kN em A e 
P2= 80 kN na conexão B, determinar o deslocamento da conexão e da extremidade A. O 
comprimento de cada segmento sem alongamento é mostrado na figura. Desprezar o tamanho das 
conexões em B e C e supor que sejam rígidas. Eaço = 200 GPA e Eal = 69 GPA. SA = 0.00183 mm; SB = -
0.00015mm 
 
 
 
7- Um conjunto é composto por uma haste CB de aço A-36 e uma haste BA de alumínio 6061-
T6, cada uma com diâmetro de 25 mm. Determine as cargas aplicadas P1 e P2 se A se deslocar 2 
mm para a direita e B se deslocar 0,5 mm para a esquerda quando as cargas forem aplicadas. 
Despreze o tamanho das conexões em B e C e considere que elas são rígidas. Utilize Eaço = 200 GPA 
e Eal = 70 GPA. P1 = 71.46 kN; P2 = 153.12 kN 
 
 
 
 
 
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8- A barra rígida BDE é suspensa por duas hastes AB e CD. A haste AB é de alumínio, com E= 
70 GPa e área da seção transversal de 500 mm²; a haste CD é de aço com E= 200 GPa e área de seção 
transversal de 600 mm². Para uma força de 30 kN, determinar: 
 O deslocamento de B, em metros; 0.514 mm 
 O deslocamento de D, em metros; 0.03 mm 
 
 
 
 
 
9- Cada uma das quatro hastes de ligação verticais, conectadas às duas vigas horizontais, são 
de alumínio, com E= 70 GPa, e tem uma seção transversal retangular de 10x40 mm. Para o 
carregamento mostrado, determinar: 
 O deslocamento no ponto E, em metros; 0.00008035 m 
 O deslocamento no ponto F, em metros; 0.0002089 m 
 O deslocamento no ponto G, em metros; 0.0003898 m 
 
 
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10- A viga rígida está apoiada por um pino em A e pelos arames BD e CE. Se a deformação 
normal admissível máxima em cada arame for 𝜀máx = 0.002 mm/mm, qual será o deslocamento 
vertical máximo provocado pela carga P nos arames (em mm)? S = 11.2 mm 
 
 
 
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11- A barra da figura abaixo tem seção transversal de área A=10 cm² e está solicitada pelas 
forças axiais indicadas. Determinar o alongamento da barra, dados: 
E = 2.1x10^6; F1=10.000 kgf; F2=3.000 kgf; F3=2.000 kgf; F4=9.000kgf. S = 0.366 cm 
 
 
 
12- Uma barra de 60 mm de diâmetro é tracionada. Em certo instante, a força aplicada P é de 
16.000 kgf, e o alongamento medido na barra é de 0.238 mm em um comprimento de 300 mm, 
tendo o diâmetro diminuído de 0.0149 mm. 
Calcular a constante E e o coeficiente de Poisson do material. E = 713401.57 kgf/cm²; v=0.313 
 
13- A barra de aço da fig. abaixo tem secção transversal de área A = 10 cm 2 e está solicitada 
pelas forças axiais que aí se indicam. Determinar o alongamento da barra, sabendo - se que E Aço = 
2,1 x 10 6 Kgf/cm2. S = 0.3665 REPETIDA 
 
 
 
14- O conjunto mostrado na figura abaixo é composto por um tubo de alumínio AB com área 
de seção transversal de 400 mm². Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um 
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colar rígido e passa pelo tubo. Se uma carga detração de 80 kN for aplicada a barra, determine o 
deslocamento da extremidade C da barra. Considere Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa. S = 0.0042 m 
 
 
 
 
 
15- O parafuso de 8 mm de diâmetro é feito de uma liga de alumínio e está instalado em uma 
luva de magnésio com diâmetro interno de 12 mm e diâmetro externo de 20 mm. Se os 
comprimentos originais do parafuso e da luva forem 80 mm e 50 mm, respectivamente, determine as 
deformações específicas na luva e no parafuso se a porca do parafuso for apertada de tal modo que a 
força no parafuso seja de 8 kN. Considere que o material em A é rígido. Eal = 70 GPa, Emg = 45 GPa. 
εLUVA = 0.000884 mm/mm; εPARAFUSO = 0.00227 mm/mm 
 
 
16- A barra de aço mostrada na figura é composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas 
de seção transversal AAB = 600 mm² e ABD = 1200 mm², respectivamente. Determine o deslocamento 
vertical da extremidade A e o deslocamento de B em relação a C. 
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17- Uma viga rígida AB está apoiada em dois postes curtos como mostrado na figura abaixo. 
AC é feito de aço e tem diâmetro de 20 mm, e BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40 mm. 
Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical de 90 kN for aplicada neste 
ponto. Considere Eaço = 200 GPa, Eal = 70 GPa. 
 
 
 
18- A haste de aço mostrada na figura abaixo tem diâmetro de 5 mm e está presa a parede 
fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B’ e a haste. Determine as 
reações em A e B’ se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kN. Considere Eaço = 200 GPa 
 
 
 
19- O poste de alumínio é reforçado com um núcleo de latão. Se este conjunto suportar uma 
carga de compressão axial resultante P = 45 kN, aplicada na tampa rígida, determine a tensão normal 
média no alumínio e no latão.Considere Eal = 70(10³) MPa e Elat = 105(10³) MPa. 
 
 
20- As três barras de aço mostradas na figura estão conectadas por pinos a um elemento 
rígido. Se a carga aplicada ao elemento for de 15 kN, determine a força desenvolvida em cada barra. 
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Cada uma das barras AB e EF tem área de seção transversal de 25 mm², e a barra CD tem área de 
seção transversal de 15 mm². 
 
 
 
EXERCÍCIOS - FLEXÃO 
 
16- Dada a seção da viga bi-apoiada abaixo, determinar: 
 O momento fletor máximo aplicável a seção (em MN.m); 0.0424 MNm 
 A máxima tensão de tração e compressão (em MPa); 0.998; -1.909 
 A flecha apresentada pela estrutura (em m). 0.0158 
Dados: R = 505 m; E = 2.1x10³ MPa; L = 8 m 
 
 
 
17- A partir da seção da viga bi apoiada abaixo, determinar: 
 Momento fletor máximo aplicável a seção; 50.73 MNm 
 Máxima tensão de tração e compressão; σT = σC = 1.24 MPa 
 A flecha apresentada pela estrutura. 0.0158 m 
Dados: R= 505 m; E= 2.1x10³ MPa; L= 8 m 
 
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18- Dada a seção da viga bi-apoiada abaixo, determinar: 
 O momento fletor máximo aplicável a seção, em kN.m; 33.12 
 A máxima tensão de tração e compressão, em MPa; 1.23; -1.67 
 A flecha apresentada pela estrutura, em m. 0.0158 m 
Dados: R = 505 m; E = 2.1x10³ MPa; L = 8 m 
MEDIDAS EM METROS 
 
 
19- Uma ponte rolante (composta de duas vigas perfil “I” simplesmente apoiadas) tem um 
carregamento concentrado P de 120 kN correndo em um vão de 10 m. A seção da viga Perfil I está 
representada na figura abaixo. Sendo o módulo de elasticidade igual a 70 GPa, determinar: 
 Tensão de flexão máxima na viga; 76.5 MPa 
 O raio de curvatura; 192.17 m 
 A flecha, considerando a pior situação de carregamento. 0.065 m 
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DADOS: B = 0.20 m; H = 0.38 m; h = 0.02 m; b = 0.02 m 
 
 
 
20- Dada a seção da viga bi-apoiada abaixo, determinar: 
a- Momento fletor máximo aplicável a seção, em kN.m; 23.9 
b- As máximas tensões de flexão, em MPa; σc = σt = 0.969 
c- A flecha apresentada pela estrutura, em m. 0.0123 
Sendo: R= 650 m; E= 2.1x10³ MPa; L= 8 m 
 
 
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21- A viga simplesmente apoiada tem um carregamento uniformemente distribuído de 7 
kN/m, e um carregamento concentrado de 15 kN em L/2 do primeiro apoio. A seção transversal está 
representada na figura abaixo. Sendo o módulo de elasticidade igual a 2.1x104MPa, determine: 
 Tensões de flexão máxima na viga (em MPa); 15.62; -18.17 
 Raio de curvatura (em m); 217.53 
 Flecha (em m). 0.0367 
Dados: A= 0.2 m; B= 0.25 m; C= 0.3 m; D= 0.35 m; L= 8 m 
 
 
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22- Considere a viga metálica bi-apoiada, com seção transversal apresentada abaixo, 
submetida a um carregamento de 7kN/m. Determinar a tensão de flexão máxima, o raio de curvatura 
e a flecha. L = 4 m e E= 21000 MPa. (L= 4 m; E=21000 MPa) σ = 10.7 MPa; R = 315.06 m; f= 6.35 mm 
 
 
 
23- Dada a seção da viga bi-apoiada abaixo, determinar: 
 O momento fletor máximo aplicável a seção (em MN.m); 1.1264 MNm 
 A máxima tensão de tração e compressão (em MPa); σc = σt = 10.92 MPa 
 A flecha apresentada pela estrutura (em m). 0.0225 m 
Dados: R = 1250 m; E = 2.1x10⁴ MPa; L = 15 m 
Medidas em metros 
 
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24- A viga simplesmente apoiada tem um carregamento uniformemente distribuído de 120 
kN/m, e um carregamento concentrado de 50 kN em L/3 e L/1.5 do primeiro apoio. A seção 
transversal está representada na figura abaixo. Sendo o módulo de elasticidade igual a 2.1x104MPa, 
determine: 
 Tensões de flexão (tração e compressão) máximas na viga (em MPa); 216.17; -116.40 
 Raio de curvatura (em m); 31.57 
 Flecha (em m). 0.903 
Dados: L= 15 m 
Medidas em metros 
 
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25- A viga representada abaixo tem um carregamento distribuído W de 70 kN/m. Sendo o 
módulo de elasticidade igual a 200 GPa, determine: 
 Tensões de flexão máxima na viga (em MPa); 18.93; -9.46 
 Raio de curvatura (em m); 4226.18 
 Flecha (em mm). 0.38 
Dados: a= 1.2 m 
 
(medidas da seção em centímetros) 
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EXERCÍCIOS - TORÇÃO 
 
26- Um eixo vertical AD é engastado a uma base fixa D, e fica submetido aos momentos 
torçores indicados. A parte CD do eixo tem seção transversal vazada de 44 mm de diâmetro interno. 
Sabendo que o eixo efeito de aço, com G = 80 GPa, calcular o ângulo de torção no ponto A, em graus. 
2.22° 
 
 
27- O eixo circular BC é vazado e tem diâmetros de 90 mm e 120 mm, respectivamente 
interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro “d”. Determinar: 
 O valor máximo da tensão de cisalhamento no eixo BC, em MPa; 86.33 
 O valor mínimo da tensão de cisalhamento no eixo BC, em MPa; 64.74 
 O diâmetro necessário para os eixos AB e CD se a tensão admissível no material é 65 MPa. 
0.077 m 
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28- O eixo de aço é composto pelos tubos AB e CD e uma seção maciça BC. Está apoiado em 
mancais lisos que permitem que ele gire livremente. Se as engrenagens, presas nas extremidades dos 
eixos forem submetidas a torques de 85 N.m, determine o ângulo de torção da extremidade B da 
seção maciça em relação a extremidade C. Os tubos têm diâmetro externo de 30 mm e diâmetro 
interno de 20 mm. A seção maciça tem diâmetro de 40 mm. G = 75 GPa. 0.0646° 
 
 
 
29- O elo funciona como parte do controle do elevador de um pequeno avião. Se o tubo de 
alumínio conectado tiver 25 mm de diâmetro interno e parede de 5 mm de espessura, determine a 
tensão de cisalhamento máxima no tubo quando a força de 600 N for aplicada aos cabos. O 
comprimento entre o centro do elo e os cabos é de 75 mm. 14.58 MPa 
 
 
 
30- O tubo de bronze tem diâmetro externo de 37.5 mm e espessura de 0.3 mm. A conexão 
em C está sendo apertada com uma chave de torque. Se for aplicada uma força de 100 N, determine 
a tensão de cisalhamento máxima no tubo. 25.75 MPa 
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31. O eixo AB é feito de aço adotado como sendo elastoplástico, com G= 80 GPa e tensão de 
cisalhamento a torção de 150 MPa. Um momento de torção T é aplicado ao eixo. Determinar: 
 A intensidade T do momento torçor, em kN.m; 5.105 
 O correspondente ângulo de torção, em graus; 5.37° 
 
 
 
32. Uma barra de alumínio AB (G=26 GPa) é ligada a uma barra de latão (G=39 GPa). 
Sabendo-se que o trecho CD da barra é vazado e tem diâmetro interno de 40 mm, determinar o 
ângulo de torção em A. 6.2° 
 
 
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33. Um eixo de seção circular vazadaestá submetido a um momento torçor de 500 kg.cm. A 
relação entre os diâmetros interno e externo do eixo é d/D=0.7. 
Dimensionar o eixo sabendo que a tensão admissível ao cisalhamento é de 600 kgf/cm². 
D = 1.77 cm; d = 1.24 cm 
 
34- Qual o valor do ângulo de torção do eixo circular da figura abaixo, sabendo-se que na 
extremidade do mesmo é aplicado um momento torçor de 19000 kgf. cm. 
Adotar par o aço, módulo de elasticidade transversal de 8,0 x 10 5 kgf/cm2. 2° 
 
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35- O eixo mostrado na figura está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. 
Determine a máxima tensão de cisalhamento desenvolvida na seção “a-a” do eixo. Considerar o øext 
= 150 mm. 1.89 MPa 
 
 
36- O eixo mostrado na figura é composto por um tubo de aço unido a um núcleo de latão. 
Se um torque de T =250 Nm for aplicado em sua extremidade, determine a distribuição da tensão de 
cisalhamento ao longo da linha radial de sua área de seção transversal. Considere Gaço = 80 GPa e Glat 
= 36 GPa. 
 
37- O eixo maciço de aço tem diâmetro de 20 mm. Se for submetido aos dois torques, 
determine as reações nos apoios fixos em A e B. 
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