Prévia do material em texto

1': Jose Milton de Araujo
u
Volume 1
CURSODE
CONCRETO ARMADO
Volume 1
JOSE MILTON DE ARAUJO
Professor Titular - Escola de Engenharia da FURG
Doutor em Engenharia
CURSODE
CONCRETO ARMADO
Volume 1
Editora DUNAS
CURSO DE CONCRETO ARMADO
© Copyright Editora DUNAS
A663c Araujo, Jose Milton de
Curso de concreto armado / Jose Milton
de Araujo. - Rio Grande: Dunas, 2010. v.l, 3.ed.
Bibliografia
I. Concreto armado. 1. Titulo
CDU 624.012.45
COD 624.1834
ISBN do volume I: 978-85-86717-09-3
ISBN da colecao: 978-85-86717-08-6
Editora DUNAS
Rua Tiradentes, 105 - Cidade Nova
96211-080 RIO GRANDE - RS - Brasil
www.editoradunas.com.br
e-mail: contato@editoradunas.com.br
JU edicao, Novembro/20 10
APRESENTA<;AO
Este Curso de Concreto Armado edirigido aos estudantes de
graduacao em Engenharia Civil e aos profissionais Iigados aarea de
projeto estrutural. Para uma melhor apresentacao, a obra foi dividida
em quatro volumes, com uma sequencia que nos parece apropriada
do ponto de vista didatico.
Nao e nossa intencao abordar todos os aspectos relativos ao
terna, 0 que seria impraticavel em virtude de sua abrangencia. Nosso
unico objetivo eapresentar urn curso completo e atualizado sobre os
metodos de calculo das estruturas usuais de concreto armado. Em
particular, 0 Curso ededicado ao projeto das estruturas dos ediffcios.
Nesta terceira edicao de Curso de Concreto Armado, fizemos
diversas alteracoes, alem da inclusao de novos conteiidos e exemplos
numericos. 0 leitor ira constatar que novos procedimentos de projeto
foram adotados, em relacao a edicao anterior. No volume I, por
exemplo, foram alterados os limites para 0 dimensionamento aflexao
simples com armadura dupla, para garantir que as vigas tenham uma
maior ductilidade no estado limite ultimo. Diversas inovacoes sobre
o calculo de lajes macicas, lajes nervuradas e lajes cogumelo foram
introduzidas nos volumes 2 e 4. No volume 3, inclufmos novos
conteiidos sobre 0 contraventamento dos ediffcios e 0
dimensionamento dos pilares. No volume 4, acrescentamos urn
capitulo sabre 0 projeto estrutural em situacao de incendio. Alem
disso, foram incorporados ao texto os mais recentes resultados de
nossas pesquisas relacionadas ao projeto das estruturas de concreto
armado. Enfim, esta edicao sofreu uma completa reestruturacao,
tanto em termos de conteudo, quanta em termos de procedimentos de
projeto.
Rio Grande, Setembro de 20 IO.
Jose Milton
PLANO DA OBRA
Volume 1: Propriedades dos materiais para concreto armado. Fun-
damentos de seguranca. Flexao normal simples: dimensionamento e
verificacao de secoes retangulares e secoes T.. Esforco cortante.
Ancoragem e emendas das armaduras..
Volume 2: Calculo de lajes macicas, Calculo de vigas. Estados
limites de utilizacao,
Volume 3: Flexo-compressao normal e oblfqua: dimensionamento e
verificacao de secoes, Calculo de pilares curtos e moderadamente
esbeltos. Pilares-parede. Pilares esbeltos. Acoes horizontais nas
estruturas de contraventamento.
Volume 4: Dimensionamento a torcao, Flexo-tracao. Escadas.
Vigas-parede e consolos. Reservat6rios. Lajes nervuradas. Lajes
cogumelo. Fundacoes. Projeto em situacao de incendio.
SUMARIO
I. MATERIAlS PARA CONCRETO ARMADO I
1.1 - Introducao I
1.2 - Concreto em cornpressao simples 2
1.3 - Concreto em tracao simples 8
I .4 - 0 modulo de deformacao longitudinal do concreto II
1.5 - Relacoes tensao-deformacao para 0 concreto 16
1.6 - Evolucao das propriedades do concreto 19
1.7 - Resistencia do concreto sob carga de longa duracao 27
1.8 - Comportamento reol6gico do concreto 30
1.9 - Fluencia do concreto 32
1.10- Retracao do concreto 39
I .1 1- Acos para concreto armado .42
I .12- Consideracoes sobre 0 concreto armado .46
1.13- A durabilidade das estruturas de concreto armado .49
2. FUNDAMENTOS DE SEGURAN<;A DAS ESTRUTURAS
DE CONCRETO ARMADO 59
2.1 - Estados limites 59
2.2 - As acoes nas estruturas 63
2.3 - Acoes de calculo e combinacoes de acoes 65
2.4 - Resistencias de calculo 76
2.5 - Avaliacao da seguranca estruturaI... 77
3. FLEXAo NORMAL SIMPLES
Dimensionamento de Secoes Retangulares 85
3.1 - Hip6teses basicas do dimensionamento 85
3.2 - Diagramas tensao-deformacao dos materiai s 86
3.3 - Domfnios de dimensionamento 88
3.4 - Diagrama retangular para 0 concreto 92
3.5 - Determinacao do momenta limite para secoes
retangulares com armadura simples 93
3.6 - Dimensionamento de secoes retangulares com
armadura simples 101
3.7 - Dimensionamento de secoes retangularcs com
arrnadura dupla lOS
3.8 - Roteiro para 0 dimensionamento de secoes
retangulares I 12
3.9 - Exemplos de dimensionamento 113
3.10- Tabelas para 0 dimensionamento de secoes
retangulares I 19
3.11- Calculo da armadura minima 122
4. FLEXA.O NORMAL SIMPLES
Dimensionamento de Secoes T 127
4.1 - Geometria da secao transversal 127
4.2 - Determinacao do momenta limite 128
4.3 - Dimensionamento com armadura simples 136
4.4 - Dimensionamento com armadura dupla 140
4.5 - Roteiro para 0 dimensionamento de secoes T 143
4.6 - Exemplos de dimensionamento 144
4.7 - Deterrninacao da largura efetiva da mesa 147
5. FLEXA.O NORMAL SIMPLES
Verificacao da Capacidade Resistente 155
5.1 - Definicao do problema ISS
5.2 - Secao retangular com armadura simples 157
5.3 - Secao retangular com varias camadas de armadura 164
5.4 - Outras formas de secao sob flexao normal simples 172
6. ESFOR<;O CORTANTE 175
6.1 - Introducao 175
6.2 - Trelica generalizada de Morsch 179
6.3 - Trelica classica de Morsch 185
6.4 - Criteria de projeto da NBR-6118 187
6.5 - Forca na armadura longitudinal de tracao 193
6.6 - Pecas de altura variavel.; 197
6.7 - Secoes pr6ximas aos apoios 200
6.8 - Armadura de suspensao 202
6.9 - Armadura de costura 205
6.10- Lajes sem armadura de cisalhamento 213
7. ANCORAGEM E EMENDAS DAS BARRAS
DA ARMADURA 217
7.1 - Ancoragem por aderencia 2 I7
7.2 - Tensao de aderencia 220
7.3 - Tensao ultima de aderencia 223
7.4 - Comprimento de ancoragem reta 226
7.5 - Barras com ganchos 227
7.6 - Outros fatores de reducao do comprimento de
ancoragem 233
7.7 - Ancoragem em apoios de extremidade 237
7.8 - Armadura transversal nas ancoragens 247
7.9 - Emendas das barras da armadura 249
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS : 255
Capitulo 1
MATERIAlS PARA CONCRETO ARMADO
1.1 - Introducao
Concreto e 0 material resultante da mistura dos agregados
(naturais ou britados) com cimento e agua, Em funcao de
necessidades especfficas, sao acrescentados aditivos qufmicos
(retardadores ou aceleradores de pega, plastificantes e
superplastificantes, etc.) e adicoes minerais (esc6rias de alto-forno,
pozolanas, meres calcarios, microssflica, etc.) que melhoram as
caracterfsticas do concreto fresco ou endurecido.
A resistencia do concreto endurecido depende de varies
fatores, como 0 consumo de cimento e de agua da mistura, 0 grau de
adensamento, os tipos de agregados e de aditivos, etc. Quanto maior
e 0 consumo de cimento e quanta menor e a relacao agua-cimento,
maior e a resistencia a compressao. A relacao agua-cirnento
determina a porosidade da pasta de cimento endurecida e, portanto,
as propriedades mecanicas do concreto. Concretos feitos com
agregados de seixos arredondados e lisos apresentam uma menor
resistencia do que concretos feitos com agregados britados'!'.
Concreto armado e 0 material composto, obtido pela
associacao do concreto com barras de aco, convenientemente
colocadas em seu interior. Em virtude da baixa resistencia a tracao
do concreto (cerca de 10% da resistencia acompressao), as barras de
aco cumprem a funcao de absorver os esforcos de tracao na estrutura.
As barras de aco tambern servem para aumentar a capacidade de
carga das pe<;as comprimidas.
o funcionamento conjunto desses dois materiais s6 e possfvel
gracas aaderencia, De fato, se nao houvesseaderencia entre 0 aco e
o concreto, nao haveria 0 concreto armado. Devido a aderencia, as
deforrnacoes das barras de aco sao praticamente iguais as
deformacoes do concreto que as envolve. Em virtude de sua baixa
resistencia a tracao, 0 concreto fissura na zona tracionada do
2 Curso de Concreto Armada
elemento estrutural. Desse momenta em diuntc. os csforco- de tr,lI;ao
passam a ser absorvidos pela armadura. Isso impede a ruina hruxcu
da estrutura, 0 que ocorreria, por exemplo, em uma viga de concreto
simples.
Alem de absorver os esforcos de cornpressao, 0 concreto
protege as armaduras contra a corrosao. Apesar da fissuracao, quase
sempre inevitavel em uma estrutura de concreto armado, a
durabilidade das armaduras nao fica prejudicada, desde que as
aberturas das fissuras sejam limitadas. Urn cobrimento mfnimo de
concreto, dependente da agressividade do meio, tambem enecessario
para garantir a durabilidade.
as coeficientes de dilatacao termica do concreto e do aco sao
aproximadamente iguais. Dessa forma, quando uma estrutura de
concreto armado for submetida a moderadas variacoes de
temperatura, as tens6es internas entre 0 aco e 0 concreto (geradas
pela diferenca entre os coeficientes de dilatacao termica) serao
pequenas. Nos casos em que a estrutura possa ficar submetida a
elevadas temperaturas (incendios, por exemplo), deve-se adotar urn
maior cobrimento de concreto para reduzir a variacao de temperatura
no nfvel das armaduras.
o concreto armado tern iruimeras vantagens sobre os demais
materiais estruturais, como" : economia; facilidade de execucao em
diversos tipos de formas; resistencia ao fogo, aos agentes
atmosfericos e ao desgaste mecanico; praticamente nao requer
manutencao ou conservacao; permite facilmente a construcao de
estruturas hiperestaticas (estruturas com reservas de seguranca).
Dentre as desvantagens do concreto armado, podem ser
citadas: 0 elevado peso das construcoes; dificuldades para a
execucao de reformas ou demolicoes; menor protecao terrnica.
Neste capitulo, sao discutidas apenas as propriedades dos
materiais que interessam ao projeto das estruturas usuais de concreto
armado. As propriedades do concreto fresco, os metodos de
dosagem, as propriedades termicas, dentre outras, podem ser
encontradas em bibliografia especffica':".
1.2 - Concreto em compressao simples
A resistencia a compressao do concreto edeterminada atraves
de ensaios padronizados de curta duracao (carregamento rapido). Em
Materiais para concreto armada 3
alguns regulamentos de projeto, adota-se a resistencia ciibica, obtida
em cubos de 15 ern ou 20 em de lado. No Brasil e nas
recomendacoes do CEB'+I.S), adota-se a resistencia obtida em corpos
de prova cilfndricos. Em geral, os ensaios sao realizados na idade
padrao de 28 dias, convencionando-se que esta e a idade em que a
estrutura devera entrar em carga.
as COl'pOS de prova cilfndricos devem possuir uma relacao
altura/diametro igual ou maior do que 2 (em geral, adota-se uma
relacao igual a 2). Para concretos feitos com agregados de diametro
maximo igual ou inferior a 38 mrn, adota-se 0 corpo de prova
cilfndrico com 15 em de diametro e 30 em de altura. No caso de
concretos com agregados de diametro maximo superior a 38 mm
(concreto massa), adotam-se corpos de prova maiores.
Alternativamente, faz-se 0 peneiramento do concreto, para eliminar
os agregados com diametros superiores a 38 mm, e adotam-se
correlacoes entre as resistencias obtidas nos corpos de prova l5x30
com as resistencias do concreto integral':",
Devido a fatores de natureza aleatoria, como a falta de
homogeneidade da mistura. graus de compactacao diferentes para
corpos de prova diferentes, dentre outros, verifica-se
experimental mente uma razoavel dispersao dos valores da resistencia
obtidos em urn lote de corpos de prova. Assim, reconhecendo que a
resistencia do concreto, fe' e uma variavel aleat6ria, deve-se
recorrer a Teoria das Probabilidades para uma analise racional dos
resultados. Usual mente, admite-se que a funcao densidade de
probabilidade das resistencias segue a curva normal de Gauss,
conforme e indicado na fig. I .2.1.
De acordo com a fig. 1.2.1, definem-se a resistencia media a
compressao do concreto, L«. e a resistencia caracterfstica a
.cornpressao, l'k' A resistencia caracterfstica e urn valor tal que
existe uma probabilidade de 5% de se obter resistencias inferiores a
mesma. De acordo com a equacao da distribuicao normal de
probabilidades, tem-se que
l'k =f e/11 -1,645S (1.2.1)
.,. CEB - Cornite Euro-International du Beton Ioi dissolvido em 1998 e,
juntamente com a FIP. dcu origem a FIB - Federation lnternationale du
Beton. com scde na Sufca.
4 Curso de COl/creta Armada
onde S e0 desvio padrao das resistencias, dado por
S= (1.2.2)
sendo t.. os valores genericos da resistencia obtidos em Il corpos
de prova de concreto.
f
em
fe
Fig. 1.2.1 - Densidade de probabilidade da resistencia
acornpressao do concreto
Assim, conhecendo-se 0 valor do desvio padrao S , utiliza-se a
equacao (1.2.1) para 0 calculo da resistencia de dosagem (f('111 ) em
fuii~ao do valor de fck especificado no projeto. Deve ser salientado
que 0 desvio padrao esta intimamente relacionado ao controle de
qualidade adotado na producao do concreto. Quando 0 desvio padrao
nao e conhecido, podem-se adotar valores tipicos, estabelecidos em
funcao do controle de qualidade.
Em algumas verificacoes, e necessario fazer referencia ao
valor medic da resistencia acornpressao, associado a uma resistencia
Matcriois par« ('O//(T('(O ilI"/IWc!O
.5
caracterfstica especificada no projeto. Neste caso, frill pode ser
estimada por
.f~'111 = fck +4f (1.2.3)
onde 4t eurn valor definido nas normas de projeto.
Os concretos sao classificados em grupos de resistencia, grupo
I e grupo II, conforme a resistencia caracterfstica acompressao fck'
Dentro dos grupos, os concretos normais sao designados pela letra C
seguida do valor da resistencia caracterfstica a compressao aos 28
dias de idade, expressa em MPa.
Os concretos de massa especffica normal sao aqueles que,
depois de secos em estufa, apresentam uma massa especffica
compreendida entre 2000 kg/m' e 2800 kg/rrr'. Geralmente, para
efeito de calculo, adota-se 0 valor 2400 kg/rrr' para 0 concreto
simples e 2500 kg/m'' para 0 concreto armado.
Na tabela 1.2.1, indicam-se os grupos e as classes de
resistencia padronizados pela NBR-8953(6).
Para concreto armado, deve-se empregar a classe C20 ou
superior( fck ~ 20 MPa). Para concreto protendido, deve-se
empregar a classe C25 ou superior.
Segundo a NBR-6118(7), a classe CIS pode ser usada apenas
em fundacoes e em obras provisorias,
A resistencia a cornpressao do concreto depende de varios
fatores, como':";
- cornposicao (consumo e tipo de cimento, fator agua-cimento, etc.);
- condicoes de cura (temperatura e umidade);
- velocidade de aplicacao da carga (ensaio estatico ou dinamico);
- duracao do carregamento (ensaio de curta ou de longa duracao);
- idade do concreto (efeito do envelhecimento);
- estado de tensoes (cornpressao simples ou multiaxial);
- forma e dimensoes dos corpos de prova.
6 Curso de Concreto Armada
Em relacao a forma dos corpos de prova, 0 CEB/90(S)
apresenta os valores da tabela 1.2.2, que permitem correlacionar a
resistencia caracteristica obtida em corpos de prova cilfndricos,
t,«.«. com a resistencia caracterfstica obtida em corpos de prova
cubicos de 15 em de lado, ick.cub' Observa-se que 0 CEB define a
classe CI2 no lugar da classe CIO da NBR-8953.
Tabela 1.2.2 - Valores da resistencia caracteristica (MPa)
Classe CI2 C20 C30 C40 C50 C60 C70 C80
ick.cil 12 20 30 40 50 60 70 80
ick.cub 15 25 37 50 60 70 80 90
Na fig. 1.2.2, indica-se a variacao da resistencia acornpressao,
ic' com as dimens6es adotadas para 0 corpo de prova cilfndrico':".
Nessa figura, j~'2 representa a resistencia obtidaem urn corpo de
prova com relacao altura/diarnetro hid = 2 .
3
N
~2
.....
o
lctl
0'
ctl
Q)1
CC
\
\
-
-
4
o
o 1 2 3
Relacao hid
Fig. 1.2.2 - Variacao da resistencia acornpressao com as
dimens6es do corpo de pro va
Materials para concreto armada 7
Observa-se que, reduzindo a altura do corpo de prova, ocorre
urn aumento da resistencia a cornpressao. Esse aumento de
resistencia decorre do impedimento a deformacao transversal,
causado pelas placas de aco da rnaquina de ensaio. Entretanto, esse
efeito e pequeno quando a relacao altura/diametro do corpo de pro va
e superior a 2.
Em vista desses fatos, a norma brasileira NBR-6118{7} e 0
CEB*<-l·5) padronizam suas recomendacoes em funcao de uma
resistencia a cornpressao obtida em COl1JOS de prova cilfndricos de
15 ern de diametro e de 30 cm de altura.
E interessante salientar que, do ponto de vista mecanico, a
qualidade do concreto e definida pelo valor de sua resistencia
caracteristica t,«. ja que a resistencia media sozinha nao fornece
inforrnacoes sobre a variabilidade dessa propriedade. Esse fato e
ilustrado na fig. 1.2.3, onde sao indicadas as distribuicoes de
probabilidade das resistencias de dois concretos com a mesma
resistencia media fem .
concreto 1
Fig. 1.2.3 - Densidades de probabilidade da resistencia acornpressao
de dois concretos
'" A citacao eEB e utilizada em todos os volumes desta obra para referenciar
os codigos-rnodelo do extinto Cornite Euro-International du Beton.
8 Curso de Concreto Annada
Conforme se observa na fig. 1.2.3, as resistencias do concreto
I apresentam uma menor dispersao em torno do valor medio. Isto
reflete diretamente no valor da resistencia caracterfstica, indicando
que fcu > fd.2' Logo, apesar de possufrem a mesma resistencia
media, 0 concreto I e de melhor qualidade que 0 concreto 2.
A resistencia do concreto dependente do estado de tens6es.
Por exemplo, em urn estado de cornpressao biaxial, verifica-se
experimentalmente que ocorre urn aumento da resistencia'". Para
duas tens6es de compressao iguais, a resistencia a cornpressao e
acrescida em cerca de 16%.
Quanto a velocidade de aplicacao da carga, observa-se que a
resistencia depende da taxa de tensao. Quanto maior for a taxa de
tensao aplicada, maior sera a resistencia. 0 conhecimento do efeito
da taxa de ten sao na resistencia e importante para a analise dinamica
das estruturas. A formulacao para a consideracao desses efeitos pode
ser encontrada no CEB/90()I.
1.3· Concreto em tracao simples
A resistencia a tracao do concreto pode ser determinada em
tres ensaios diferentes: ensaio de tracao axial, ensaio de cornpressao
diametral ou ensaio de flexao. Normalmente, 0 termo resistencia a
traciio constante nas normas de projeto (NBR-6118, CEB) refere-se
a resistencia a tracao axial (tracao direta), .f~.t. Na fig. 1.3.1,
indicam-se os esquemas dos tres ensaios utilizados.
De maneira analoga aresistencia acornpressao, a resistencia a
tracao do concreto apresenta uma significativa variabilidade em
torno de urn valor medic. Em geral, essa variabilidade e maior do
que a verificada para a resistencia a cornpressao. Assim, podem-se
definir urn valor medic, f o m' e urn valor caracterfstico, t,«. de
forma identica ao que foi feito para a resistencia acompressao.
Segundo 0 CEB/90, 0 valor medic da resistencia a tracao,
f ctm ' pode ser obtido da relacao
(
t.
)
2/3
. ckfom =1,40 10 ' MPa (1.3.1)
fct,sp=2 P J{1tdh)
Mcttrriai« pam concreto annada
Tracao direta
-r. D=J~
~
Compressao diametral
! ! !p,
Flexao de vigas
9
Fig. 1.3.1 - Ensaios para a deterrninacao da resistencia atracao
o CEB/90 define dois valores caracterfsticos para a resistencia
a tracao: urn valor inferior, fe1k.inf' e urn valor superior, fetk.sup'
Esses valores caracterfsticos correspondem aos quantis de 5% e 95%,
respectivamente, e sao dados por
fe/Un!' == 0,7 f('//11 fe/k .sup == 1,3 f(,/111 (1.3.2)
Os valores caracterfsticos da resistencia a tracao sao
empregados no projeto no sentido desfavoravel. Por exemplo, 0 valor
10 Curso de Concreto Armada
caracterfstico inferior fe/k.inf e usado para determinar a resistencia
da aderencia entre 0 concreto e as barras da armadura (capitulo 7).
Por outro lado, para 0 calculo da area mfnima da armadura de flexao
(capftulo 3), emprega-se 0 valor caracterfstico superior fe/k.sup'
Nas verificacoes relativas aos estados limites de utilizacao
(Volume 2), interessa e a resposta media da estrutura. Assim, para 0
calculo da abertura das fissuras e para a avaliacao das f1echas de
vigas, emprega-se a resistencia media atracao l'IIIl'
Em virtude das dificuldades de realizacao do ensaio de tracao
direta, normal mente realiza-se 0 ensaio de cornpressao diametral
(conhecido como ensaio brasileiro). De acordo com 0 CEB/90, a
resistencia media a tracao axial, fe/Ill' pode ser estimada a partir da
resistencia media obtida no ensaio de cornpressao diametral, f et .sp ,
atraves da relacao
fe/Ill =0,9f~·/.sp ( 1.3.3)
Se a resistencia a tracao for determinada em urn ensaio de
flexao de vigas, a resistencia media a tracao axial pode ser obtida
por'"
. 1,5(h/100 )0.7
fe/Ill = fe/.f! (/)071+1,5 h 100 . (1.3.4)
onde fet -.1l e a resistencia media atracao na flexao e h > 50 mm e a
altura da viga.
Se a viga tern uma altura h = 200 mm, resulta a relacao
r-; =0,7l·/. fI .
Todas essas expressoes relacionadas com a resistencia a tracao
do concreto foram incorporadas ao texto da NBR-6118.
Assim como ocorre com a resistencia a compressao, a
resistencia a tracao aumenta com 0 crescimento da taxa de ten sao.
Por outro lado, em urn estado biaxial de tens6es (tracao-compressao)
ocorre uma reducao da resistencia a tracao com 0 crescimento da
tensao de cornpressao'".
Materials para concreto armado 11
No dimensionamento dos elementos estruturais, a resistencia a
tracao e desprezada, pois ela tern pouca irnportancia na capacidade
de carga da estrutura. Entretanto, na verificacao das deforrnacoes da
estrutura sob as cargas de service. e importante levar em conta a
colaboracao do concreto tracionado. Nesses casos, pode-se empregar
a equacao (1.3.1) para a estimativa de t-; em funcao da resistencia
caracterfstica Iek adotada no projeto.
1.4 - 0 modulo de deformacao longitudinal do concreto
o concreto apresenta urn comportamento ndo linear, quando
submetido a tensoes de certa magnitude. Esse comportamento e
decorrente da microfissuracao progressiva que ocorre na interface
entre 0 agregado graiido e a pasta de cimento.
o diagrama tensao-deformacao (CTc - ce ) , obtido em urn
ensaio de compressao simples, e da forma indicada na fig. 104.1,
onde se observa que nao ha proporcionalidade entre tensao e
deformacao (0 material nao obedece a Lei de Hooke). 0 trecho
descendente do diagrama e obtido em urn ensaio com velocidade de
deformacao controlada.
Na fig. 104.1, E; e 0 modulo de deformacao longitudinal
tangente, representando a inclinacao da reta tangente a curva na
origem do diagrama. Analogamente, 0 modulo secante Ees
representa a inclinacao da reta que passa pela origem e corta 0
diagrama no ponto correspondente a uma tensao da ordem de 0,4I, ,
sendo I. a resistencia acompressao simples.
Experimentalmente, verifica-se que 0 modulo de deforrnacao
tangente, Ee , depende do valor da resistencia a compressao do
concreto. 0 mesmo ocorre com as deforrnacoes Co e ClI indicadas
na fig. 104.1. Como uma simplificacao, e usual admitir os valores
medics Co == 2 %0 e ClI == 3,5%0 . Para 0 coeficiente de Poisson do
concreto, normal mente adota-se 0 valor 0,2.
12 Curso de Concreto Annada
I
Co Cu Cc
Fig. I04.1 - Diagrama tensao-deforrnacao do concreto
(cornpressao simples)
Diversas correlacoes entre 0 modulo de deformacao
longitudinal e a resistencia a cornpressao do concreto tern sido
encontradas em trabalhos de pesquisa,estando algumas delas
recomendadas nas normas de projeto. Essas correlacoes sao validas
para concretos de massa especffica normal e para carregamento
estatico. Para cargas dinamicas, ocorre urn aumento no valor do
modulo de deforrnacao longitudinal. A seguir sao apresentadas as
relacoes indicadas pelo CEB/90(5l, pelo ACI(IOl e pela NBR-6118(7).
a) Rela~ao do CEB/90
Segundo 0 CEB/90, 0 modulo tangente pode ser obtido atraves
da expressao
( t: )
1/3
E =21500~ MPa
r 10' (1.4.1)
onde i.; = I,k + 8 MPa e a resistencia media a compressao,
estimada a partir da resistencia caracterfstica Irk aos 28 dias.
Materiais para concreto armada
o modulo secante edado por
13
(104.2)
A expressao (104.1) e valida para concretos feitos com
agregados de quartzo (granito e gnaisse). Essa expressao deve ser
multiplicada por 1,2 se forem usados agregados de basalto, por 0,9
para agregados de calcario e por 0,7 para agregados de arenito.
b) Relacao do ACt
Segundo 0 ACt, 0 modulo secante Ecs edado por
u., =4730~fck ' MPa (104.3)
Considerando a equacao (104.2), obtern-se a expressao do
modulo tangente (Ec =Ecs /0,85), na forma
s, = 5565~fck.' MPa
c) Rela<;ao da NBR-6118
(1.404)
A expressao para 0 modulo de deformacao longitudinal do
concreto adotada pela NBR-6118 ederivada do ACI. Na verdade, a
NBR-6118 adota a mesma expressao do ACt, fazendo apenas urn
pequeno arredondamento no coeficiente 5565. Assim, a expressao
para 0 calculo do modulo tangente, apresentada na NBR-61 t 8, e
dada por
e, = 5600~fck ' MPa (1.4.5)
De acordo com a NBR-6118, 0 modulo secante eobtido com 0
emprego da expressao (104.2).
Observa-se que, nas express6es do ACI e da NBR-6118, 0
modulo de deforrnacao longitudinal edado em funcao de fck .
14 Curso de Concreto Armada
A rigor, 0 modulo de deforrnacao longitudinal do concreto e
uma funcao de sua resistencia media i-; e nao da resistencia
caracteristica fek' Desse modo, quando a resistencia media real do
concreto for conhecida, ela deve ser usada diretamente na expressao
(1.4.1). Na fase de projeto, a resistencia media deve ser estimada,
podendo-se adotar felll = fek + 8 MPa, conforme sugere 0 CEB/90.
Tern sido mostrado em diversos estudosllI.l2.UI que os modelos
de previsao do modulo de deformacao longitudinal do concreto, com
base na raiz cubica da resistencia (CEB/90), se ajustam melhor aos
resultados experimentais do que os modelos com base na raiz
quadrada da resistencia (ACI e NBR-61 18). 0 proprio CEB
abandonou sua forrnulacao original, baseada na raiz quadrada da
resistencia'!".
Alem disso, tern sido verificado' 11.14) que a equacao do ACI
superestima 0 valor do modulo de deforrnacao longitudinal para
concretos de resistencia a cornpressao mais elevada (acima de
40MPa).
Nas figuras 1.4.2 e 1.4.3 apresentam-se as variacoes do
modulo secante com a resistencia a compressao do concreto, de
acordo com as formulacoes da NBR-6118 e do CEB/90,
respectivamente. Os pontos indicados nas figuras correspondern aos
resultados experimentais obtidos por diversos autores. No total,
foram catalogados 424 resultados de ensaios, todos realizados no
Brasil, cujas descricoes podem ser obtidas na referencia [II].
Na fig. 1.4.2, apresentam-se as variacoes de Ees com a raiz
quadrada da resistencia acompressao, ff. Areta B corresponde a
reta de mfnimos quadrados e a reta A corresponde ao modelo da
NBR-6118. Conforme se observa, esse modelo diverge dos
resultados experimentais, havendo a tendencia de superestimar 0
modulo secante para concretos de maior resistencia.
Na fig. 1.4.3, apresentam-se as variacoes de EO" com a raiz
cubica da resistencia a compressao, ere /10)1/3 . Areta B
corresponde a reta de mfnimos quadrados e a reta A corresponde ao
modelo do CEB/90. Conforme se observa, esse modelo se ajusta
muito bern aos resultados experimentais.
50
..-
CO
o, 40
<9
--I/)
o
ill 30Q)
-CCO
o 20Q)
CJ)
0
::::s
"'0 10
-0
::2:
Materials para concreto armada
•
A =NBR-6118
B =melhor ajuste
15
0&-------------
0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0
(fern)1/2 , com fern em MPa
Fig. 1.4.2 - Relacao entre Ers e .[l;
50
..-
CO
n, 40
<9
--I/)
o
ill 30Q)
.-
C
CO
o 20Q)
CJ)
0
::::s
"'0 10
-0
::2:
•
A=CEB
B =melhor ajuste
"8
0.5 1.0 1.5 2.0
(fem/10)1/3 , com fern em MPa
Fig. 1.4.3 - Relacao entre e., e Cre /1 0 yt:.
2.5
16 Curso de Concreto Annada
o modulo de deformacao longitudinal do concreto dcpcndc de
diversos fatores, sendo a resistencia a compressao upcna- lllll deks.
As propriedades elasticas dos agregados, por exemplo, tern lima
grande influencia sobre 0 modulo de deformacao do concreto e sao
consideradas na forrnulacao do CEB/90.
Assim, nenhum modelo teorico e capaz de prever exatamente
o valor do modulo de deforrnacao longitudinal do concreto. Esses
modelos sao empregados na fase de projeto. Durante a execucao da
estrutura, e necessario realizar ensaios, na idade especificada no
projeto, para comprovar que 0 concreto empregado apresenta 0
modulo de deformacao requerido.
Em vista de todas as consideracoes apresentadas, e do amplo
estudo realizado pelo Autor (ver ref. [II]), recomenda-se 0 emprego
das express6es do CEB/90 (equacoes (104.1) e (1.4.2». Essas
express6es serao utilizadas em todos os volumes desta obra.
1.5 - Relacoes tensao-deformacao para 0 concreto
Conforme foi visto anteriormente, 0 diagrama tensao-
deformacao do concreto, obtido em urn ensaio de compressao
simples, e nao linear desde 0 infcio do carregamento. Para efeito de
analise estrutural, e necessario adotar relacoes simples que
representem de maneira satisfatoria esse cornportarnento nao linear.
Diversas equacoes tern sido propostas para representar 0 diagrama
tensao-deforrnacao do concreto, sendo algumas delas apresentadas a
seguir.
a) Diagrama parabola-retangulo
Uma expressao muito simples foi desenvolvida por Hognestad,
admitindo-se que 0 trecho ascendente do diagrama pode ser
representado por uma parabola do segundo grau. Essa expressao foi
introduzida na norma brasileira NBR-6118 e no CEB, dando origem
ao denominado diagrama parabola-retangulo. As equacoes sao as
seguintes:
(1.5.1)
(1.5.2)
Materials para concreto armada 17
(1.5.3)
onde, na equacao (1.5.1), '7 = e, / Co .
Con forme sera visto no capitulo 3, essas expressoes sao
empregadas no dimensionamento de secoes de concreto armado.
Nesses casos, no lugar da resistencia media f e/1l ' deve ser adotada
uma resistencia reduzida, con forme sera mostrado no capitulo
seguinte. Entretanto, aqui sera adotado 0 valor medio da resistencia
para fazer uma comparacao entre as varias expressoes.
b) Equac;ao de Desayi e Krishnan
Desayi e Krishnan!I)) propuseram a seguinte expressao para
representar 0 diagrama tensao-deforrnacao do concreto:
(1.5.4)
onde E; e 0 modulo de deforrnacao longitudinal tangente.
Para que a expressao (1.5.4) forneca uma tensao igual a t.;
quando e; =Co' isto e, '7 = I , e necessario que E; =2fc/1l / Co .
Assim, a equacao (1.5.4) e escrita na forma
c) Equa~ao do CEB
t. 2'7(J'c =, em --2-
1+'7
(1.5.5)
o CEBH.5) adota a seguinte relacao tensao-deformacao para 0
concreto em cornpressao simples:
(1.5.6)
onde
18 Curso de Concreto Armada
k = Erco
fCIIl
(1.5.7)
Na expressao (1.5.6), nao e necessano introduzir nenhuma
restricao quanto .ao valor do modulo de deformacao longitudinal.
Assim, 0 modulo. E; pode ser obtido atraves da equacao (1.4.1).
Na fig. 1.5.1, sao apresentados os diagramas tensao-
deformacao obtidos com essas tres expressoes, considerando uma
resistencia media frill = 20 MPa e Co = 2 %0 .
Observando a fig.I.5.1, verifica-se uma boa concordancia
entre as diferentes express6es para 0 trecho ascendente do diagrama.
A parte descendente do diagrama tensao-deforrnacao, na verdade,
depende do comprimento sobre 0 qual sao feitasas medicoes. Em
outras palavras, este trecho nao representa uma propriedade do
material, ja que ele varia em funcao do tamanho do elemento
estrutural. Assim, para efeito de projeto, e razoavel admitir 0
diagrama parabola-retangulo, em vista de sua simplicidade.
25
4.0
Desa .e Krishnan
1.0 2.0 3.0
Detormacao (por mil)
(?
a.
620
o
lct:l
C/)
~ 15
....
o,
E
8 10
Q)
"t:l
o
lct:l 5
C/)
c
Q)
I- O-+--~--r-"""T'"--r---r"'--r--r----,
0.0
Fig. 1.5.1 - Diagramas tensao-deformacao para 0 concreto
em compressao simples
Mutctiai» para ('01/('/"('(0 arnuulo 19
Para 0 concreto tracionado, normalmente, admite-se urn
comportamento elastico linear com ruptura fragil. Entretanto,no caso
do concreto armado, 0 concreto tracionado entre fissuras fornece
uma significativa contribuicao para a rigidez da estrutura. Assim, na
verificacao das deformacoes da estrutura sob as cargas de service, e
necessario elaborar algum modelo capaz de representar esse
comportamento. Esse assunto e tratado em detalhes no Volume 2.
Conforme ja foi dito, para 0 dimensionamento dos elementos
estruturais, a resistencia atracao do concreto e desprezada.
1.6 . Evolucao das propriedades do concreto
As propriedades do concreto, como 0 modulo de deformacao
longitudinal e as resistencias a tracao e a cornpressao, sofrem uma
continua variacao no tempo, em virtude das reacoes qufrnicas
decorrentes da hidratacao do cimento. Esse fenorneno, denominado
envelhecimento, ocorre durante praticamente toda a vida uti! da
estrutura, sendo muito acentuado nos primeiros dias apos a
concretagem.
As propriedades do concreto em uma idade t dependem do
tipo de cimento e das condicoes de cura (temperatura e umidade).
Segundo 0 CEB/90(S" para uma temperatura de cura igual a 20°C, a
resistencia media a cornpressao do concreto em uma idade t dias,
t-; (t), pode ser obtida atraves da expressao
t.; (t) = /3('(' {t )f(,/71 (1.6.1 )
onde f('/11 e a resistencia media aos 28 dias de idade.
A funcao /3ee (t), que representa a evolucao da resistencia no
tempo, e dada por
(1.6.2)
onde s e urn coeficiente que depende do tipo de cimento empregado
e tern os seguintes valores:
20 Curso de Concreto Armada
s = 0,20 para cimentos de endurecimento rapido (cimento de
alta resistencia inicial CP V-ARI);
s =0,25 para cimentos de endurecimento normal (cirnento
comum CPI e cimento composto CP II) ;
s = 0,38 para cimentos de endurecimento lento (cimento de
alto fomo CP III e cimento pozolanico CP IV).
Na fig. 1.6.1, representa-se a variacao da resistencia a
compressao do concreto com a idade, de acordo com a equacao
(1.6.1). Os pontos indicados na figura correspondem aos resultados
experimentais extrafdos da referencia [3]. Nesses concretos foi
utilizado cimento pozolanico e, portanto, s =0,38 .
Conforme pode ser observado, a equacao (1.6.1) ajusta-se bern
a esses resultados experimentais.
1.6
1.4
1.2
E
..,2 1.0
-
..-
+-'
'--'
..,2 0.8
0lCO()'l 0.6co
Ci5
0:: 0.4
s=0,38
Agregado: gnaisse
0.2
o 50 100 150 200 250 300 350 400
Idade do concreto (dias)
Fig. 1.6.1 - Variacao da resistencia acornpressao com a idade
A expressao (1.6.1) evalida para temperatura de cura em tomo
de 20°e. Temperaturas de cura inferiores retardam 0 endurecimento,
enquanto que temperaturas mais elevadas aceleram 0 processo.
Abaixo de -12°C 0 concreto nao mostra sinais de aumento da
Materials para concreto armado 21
resistencia com 0 tempo' I), Por isso, sao necessanas algumas
precaucoes ao se fazer a concretagem em dias muito frios. Se a
temperatura ambiente for inferior a SoC, e recomendavel suspender a
concretagem. Caso isto nao seja possfvel, devem ser tomadas
algumas medidas para aumentar a temperatura de lancamento do
concreto, como 0 aquecimento da agua de amassamento e dos
agregados'v'?',
Quando se deseja acelerar 0 processo de endurecimento do
concreto, pode-se realizar a denominada cura a vapor. Neste caso,
depois de transcorridas cerca de 4 horas da concretagem, eleva-se
gradualmente a temperatura ambiente (por meio de vapor) ate uma
temperatura limite. Essa temperatura e mantida durante urn certo
perfodo, reduzindo-se em seguida ate atingir a temperatura ambiente.
Por sua natureza, a cura a vapor e adequada para pecas pre-
fabricadas,
No caso das estruturas de concreto massa (as barragens sao urn
exemplo tfpico), 0 problema se inverte. Nessas estruturas, nao ha a
necessidade de uma grande resistencia nos primeiros dias, ja que as
tens6es de compressao no concreto durante a fase construtiva sao
muito pequenas. A grande preocupacao consiste em reduzir 0 calor
gerado na massa de concreto devido a hidratacao do cimento. Em
vista do grande volume de concreto que e lancado em cada etapa da
concretagem, a temperatura do concreto pode subir muito alem da
temperatura ambiente. Ao se resfriar para atingir 0 equilfbrio terrnico
com 0 ambiente, surgem tensoes de tracao que podem fissurar 0
concreto. Assim, nessas estruturas 0 que se faz e a pre-refrigeracao
do concreto (adicionando gelo a agua de amassamento e resfriando
os agregados) para que a temperatura maxima atingida nao fique
muito acima da temperatura ambiente.
Para levar em conta a historia de temperatura a que 0 concreto
e submetido durante 0 perfodo de envelhecimento, deve-se
considerar sua maturidade em vez de sua idade real. Concretos com a
mesma idade real, mas que foram curados em temperaturas
diferentes, possuem maturidades diferentes e, portanto, resistencias
diferentes.
Em geral, as formulacoes disponfveis nos codigos de projeto
sao limitadas a urn valor maximo da temperatura. Por exemplo, a
forrnulacao do CEB/90 para levar em conta os efeitos da temperatura
nas propriedades do concreto e valida ate uma temperatura maxima
de 80°e.
22 Curso de Concreto Annada
Segundo 0 eEB/90, 0 efeito da temperatura na maturidadc do
concreto pode ser levado em conta, substituindo-se a idade real I pOI"
uma idade equivalente Ie' dada por
Il [ 4000]te =LL\tiexp 13,65----
i=l 273+~
( 1.6.3)
5
O-l-~--r-"""T'"---,r--"'T"""~--r---,
o fO 1CO 1fO 2J) 2D ao 3D .:rn
Idade real do concreto (dias)
o
leel
(/)(/) 2)
~
a.
E 15o
o
'eel
eel 10
'u
c
cO)
..-.(/)
'w
0)
a::
onde L\ti e0 mimero de dias em que a temperatura foi igual a T, "C.
Na fig. 1,6.2, apresenta-se a evolucao da resistencia a
compressao do concreto com a idade, considerando temperaturas de
cura constantes e iguais a 10oe, 200e e 40oe. 0 coeficiente s que
define 0 tipo de cimento foi tomado igual a 0,25 e a resistencia aos
28 dias, quando T=20oe, e fCIIl = 20 MPa.
(O:Il
a..
~
-25
Fig. 1.6.2 - Variacao da resistencia a cornpressao do concreto
com a idade e com a temperatura de cura
Observa-se pela fig. 1.6.2 que temperaturas mais elevadas sao
favoraveis para 0 aumento da resistencia, principalmente nos
primeiros dias ap6s a concretagem. Entretanto, a resistencia final
;\/lIlaillj.\ patu C(}//('/"('fO annada 23
sofre pouca influencia da temperatura existente durante 0 perfodo de
endurecimento.
Na fig. 1.6.3, representa-se uma hist6ria de temperatura tfpica,
empregada nos processos de cura a vapor. Na fig. 1.6.4, apresenta-se
a variacao te6rica da resistencia a cornpressao com a idade,
considerando-se essa hist6ria de temperatura. A curva te6rica,
correspondente a uma temperatura constante T=20°C, tambem e
apresentada. 0 coeficiente s que define 0 tipo de cimento foi
considerado igual a 0,25.
Con forme se observa na fig. 1.6.4, a cura a vapor acelera
significativamente 0 processo de endurecimento do concreto. Para a
hist6ria de temperatura considerada, a idade te6rica equivalente
(dada pela expressao (1.6.3)) ao final da cura (duracao de 14h) e
superior a 2 dias.
8J
/ \
I \
\
\.
I \
o
024 6 8 m ~ M ~
Idade (horas)
Fig. 1.6.3 - Hist6ria de temperatura (cura a vapor)24 Curso de Concreto Armada
1.2
1.0
E
-.2 08
-
-
.....
---.2
0 06
ICIJ
U"
CIJ I
(l) 04 I
0:: I
I Idade equivalente ao02 I final da cura a vapor
00
:/
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Idade real (dias)
Fig. 1.6.4 - Evolucao da resistencia acornpressao do concreto
(cura a vapor)
A evolucao da resistencia atracao do concreto pode ser obtida,
ernpregando-se a equacao (1.3.1) e ajustando 0 valor de Ilk para
levar em conta a idade e os efeitos da temperatura.
Segundo 0 CEB/90, 0 modulo de deforrnacao longitudinal do
concreto em uma idade t dias, E; (t), pode ser estimado atraves da
equa<;ao
(1.6.4)
onde E; e 0 modulo de deformacao longitudinal aos 28 dias de
idade, obtido por meio da equacao (1.4.1).
as efeitos da temperatura sao considerados tomando-se a
idade equivalente dada na equacao (1.6.3).
Na fig. 1.6.5, indica-se a variacao do modulo de deformacao
longitudinal do concreto com a idade, de acordo com a equacao
(1.6.4). as pontos experimentais foram extrafdos da referencia [3].
Materiais para concreto armado
1.6
••
1.4 • I •• Io 12 5=0,38 •w
--+-' 1.0 5=0,20..........o
W
0 08
!C\l
o-
C\l 06
Q)
a: 04
Q2
00
0 1m zn 3X) 4Il
Idade do concreto (dlas)
Fig. 1.6.5 - Variacao do m6dulo de deformacao longitudinal do
concreto com a idade
25
Conforme se observa, a equacao (1.6.4) superestima 0 modulo
nas primeiras idades e subestima 0 mesmo em idades mais
avancadas.
As equacoes anteriores devem ser usadas apenas como uma
estimativa da evolucao das propriedades do concreto com a idade.
Elas sao bastante uteis na fase de projeto. Para uma avaliacao mais
precisa, enecessario realizar ensaios em varias idades e determinar a
lei de evolucao para 0 concreto a ser empregado na obra.
Exemplo: Durante a execucao de uma estrutura, sao moldados
diversos COl"POS de prova para determinacao das propriedades
mecanicas do concreto. 0 concreto usado deve atender aos valores
especificados no projeto para a resistencia caracteristica a
compressao e para 0 modulo de deformacao longitudinal. Em geral, a
idade de referencia ede 28 dias.
Entretanto, se 0 construtor efetuar a concretagem e esperar 28
dias para realizar os ensaios, ele podera ter a desagradavel surpresa
de constatar que 0 concreto usado nao atende aos valores mfnimos
26 Curso de Concreto Annada
exigidos no projeto. Neste caso, as interveucocs ncccss.iria- para
corrigir 0 problema poderao ser muito onerosas, em virtude do
adiantado estagio da construcao. Por outro lado, ele niio pode parar a
execucao da obra e ficar esperando 28 dias para saber se 0 concreto
empregado e satisfat6rio.
Por isso, e sempre conveniente realizar ensaios em idades de
controle inferiores aquela especificada no projeto. Com base nos
valores obtidos em uma determinada idade, podem-se empregar as
equacoes anteriores para estimar as propriedades do concreto na
idade especificada em projeto.
Suponha que na idade t = 7 dias foram rompidos alguns
COl"POS de prova e determinado que a resistencia media acornpressao
do concreto e t.; (7) = 23 MPa. Com base nesse valor, e possfvel
estimar a resistencia a compressao e 0 m6dulo de deforrnacao
longitudinal aos 28 dias.
A) Estimativa da resistencia acompressao
Supondo que 0 concreto foi feito com cimento pozolanico, 0
coeficiente s = 0,38 . Da equacao (1.6.2), obtem-se
Da equacao ( I .6.1), tem-se
f' =fclII(7)=~=336MPa
JCIII /3('c(7) 0,684 '
A resistencia caracterfstica fck aos 28 dias pode ser estimada
como fck = f CI11 - 8 = 25,6 MPa.
B) Estimativa do m6dulo de deforma9ao longitudinal
Materials para concreto armado 27
A partir do valor estimado l'111 =33,6 MPa, pode-se
empregar a equacao (1.4.1) para obter E; aos 28 dias:
E,. = 21500e~~6r' = 32202 MP,
Alternativamente, pode-se empregar a equacao (1.6.4). Para
isto, deve-se primeiro calcular 0 modulo E; (7) em funcao da
resistencia .f~'111 (7) = 23 MPa:
(
23J 1/3E('(7) =21500 10 =28380 MPa
Se 0 valor experimental de E; (7) for conhecido, ele deve ser
utilizado no lugar deste valor calculado.
Empregando a equacao (1.6.4), obtern-se
Observa-se que a primeira alternativa e mais conservadora.
Logo, 0 valor E; =32202 MPa deve ser considerado como uma
estimativa do modulo tangente aos 28 dias.
Esses valores estimados de .f~'k e de E; devem ser
considerados apenas para uma tomada de decisao quanta a
continuidade normal da obra. Na idade especificada no projeto,
usual mente 28 dias, e necessario realizar os ensaios para atestar a
conformidade do concreto empregado.
1.7 - Resistencia do concreto sob carga de tonga duracao
Outro fenorneno que ocorre com 0 concreto ea reducao de sua
resistencia sob carga de longa duracao. Esse fen6meno, descrito por
Rusch' 17\ e conhecido como Efeito RUsch. A reducao da resistencia e
28 Curso de Concreto Armada
contrariada pelo aumento de resistencia decorrente do
envelhecimento. Devido a esses efeitos contraries, a resistencia do
concreto passa por urn minimo, cujo valor depende da idade de
aplicacao da carga.
No ensaio convencional para a determinacao da resistencia a
cornpressao, 0 concreto e levado a rufna em POllCO tempo ap6s 0
infcio do carregamento (ensaio rapido). Se a velocidade de aplicacao
da carga for reduzida, resultando em uma maior duracao do ensaio,
ocorre uma diminuicao da resistencia, conforme e ilustrado na fig.
1.7.1.
E
o
::t::
o
-o
lct:l
0>
ct:l
(l)
a::
Limite de
reslstencia
\EnsaiO muito lento
Deforrnacao
Fig. 1.7.1 - Efeito ROsch
De acordo com a fig. 1.7.1, se 0 corpo de prova for carregado
rapidamente ate 0 ponto A e a tensao for mantida constante, ocorre
urn aumento da deformacao ate ser atingido 0 limite de resistencia,
com a consequente ruptura do corpo de prova. A tensao de ruptura,
neste caso, e inferior a resistencia fell! obtida no ensaio rapido
convencional.
Se 0 corpo de prova for carregado rapidamente ate 0 ponto B e
a tensao for mantida constante, as deformacoes aumentam (devido a
fluencia) ate a estabilizacao, Neste caso, nao havera a ruptura do
corpo de prova.
Material» para concreto armada 29
Em uma estrutura de concreto armado, uma parcela
significativa das cargas e aplicada e mantida constante durante
praticamente toda a vida da estrutura. Assim, 0 projeto deve ser
elaborado de forma a se obter uma situacao semelhante aquela
representada pelo ponto B. Em outras palavras, devem-se limitar as
tens6es de cornpressao no concreto em 0,8/cl/1 '
Segundo 0 CEB/90, a resistencia a compressao sob carga
mantida, /cm.sus (t,to)' pode ser obtida atraves da expressao
(1.7.1 )
onde l'll1 e a resistencia media aos 28 dias de idade obtida no ensaio
rapido, Pec (t) e a funcao de enve1hecimento dada na equacao
(1.6.2) e !3c.sus(t,to) leva em conta a reducao da resistencia com a
duracao do carregamento.
A funcao Pc.sus(t,to) e dada por
Pc.sus (t, to) =0,96 - 0,12{ln[72(t - to )]}1/4 (1.7.2)
onde tea idade do concreto no instante considerado e toe a idade
no momenta da aplicacao da carga.
Na fig. 1.7.2, apresenta-se a variacao da resistencia a
compressao com a idade, de acordo com a equacao (1.7.1). Nessa
figura, 0 concreto apresenta uma resistencia media aos 28 dias
l'/71 = 20 MPa (obtida no ensaio convencional) e e carregado em
dois instantes diferentes (to =28 dias e to =180 dias).
Conforme se observa na fig. 1.7.2, a resistencia passa por urn
rninimo, A duracao do carregamento, t - to' em que 0 minima
ocorre e de aproximadamente 2,8 dias para to = 28 e de 41 dias para
to = 180. Os valores rnfnimos da resistencia sao 0,79/cm e
0,89/C/71 ' conforme a carga seja aplicada aos 28 dias ou aos 180 dias
de idade, respectivamente.
30 Curso de Concreto Armada
Para levar em conta esse efeito, e considerando que em uma
estrutura real nem todas as cargas sao aplicadas na idade
convencional de 28 dias (e alern do mais, nem todas as cargassao de
longa duracao), as normas de projeto limitam a maxima tensao de
compressao no concreto em 85% de sua resistencia (os fatores de
seguranca sao introduzidos no capitulo seguinte).
0,89 tem
a79t \ to=28 dias, em
5
o 2)
lCO
(/)
(/)
~ 15
0..
E
o
o 10
-co
co
·0
c
<(1)
.....(/)
·00
(1)
a: O-t---,.-.,.-.....,.--r---r-r---,----,
o eo 1m 1m zn 2:D 3D an 4Cl)
Idade do concreto (dias)
Fig. 1.7.2 - Variacao da resistencia do concreto com a idade
(efeito da carga de longa duracao)
1.8 - Comportamento reol6gico do concreto
o comportamento reol6gico do concreto, isto e, sua
deformabilidadedependente do tempo, tern uma consideravel
importancia na analise estrutural. As deformacoes diferidas do
concreto, ou seja, as deformacoes dependentes do tempo, sao
convencionalmente separadas em duas: a fluencia e a retracao. A
fluencia e 0 acrescirno continuo das deformacoes que ocorre mesmo
para uma tensao constante. A retracao e a reducao de volume do
material na ausencia de uma carga externa. Tanto a fluencia, quanto
a retracao, diminuem com a reducao do fator agua-cirnento e do
consumo de cimento.
Materials para concreto armado 31
Em virtude dos efeitos do envelhecimento, a fluencia do
concreto depende, alern da duracao do carregarnento, da idade de
aplicacao das cargas, 0 comportamento do material tambem e
influenciado pela troca de agua com 0 meio ambiente. Quanto mais
seco for 0 meio externo, maiores serao a fluencia e a retracao. Uma
vez que a troca de agua e facilitada em urn elemento estrutural
esbelto, a fluencia e a retracao serao tanto maiores, quanta menores
forem as dimensoes do elemento.
A temperatura ambiente eoutro fator que afeta as deforrnacoes
do material. A elevacao da temperatura acelera 0 processo de
envelhecimento e tambem 0 fenomeno da fluencia. Para temperaturas
abaixo de SoC, a fluencia praticamente cessa. Dentre os outros
fatores que afetam 0 comportamento reologico do concreto incluem-
se 0 tipo de cimento, os aditivos e as propriedades elasticas dos
agregados':".
A fluencia e a retracao apresentam uma serie de efeitos
indesejaveis, como: aumento das flechas de lajes e vigas; perdas de
protensao em estruturas de concreto protendido; aumento da
curvatura de pilares devido a fluencia, 0 que introduz momentos
fletores adicionais; fissuracao das superffcies externas devido a
retracao; introducao de esforcos indesejaveis em estruturas
aporticadas devidos a retracao (e, tambem, a dilatacao terrnica), 0
que exige a adocao de juntas; etc.
Por outro lado, a fluencia do concreto contribui
favoravelmente para a elirninacao de concentracoes de tensoes (em
nos de porticos, por exemplo) e de tensoes impostas por recalques de
apoios em estruturas hiperestaticas'".
Diversas formulacoes tern sido propostas para representar esse
complexo fenomeno(5.ISl. Neste livro, apresenta-se a forrnulacao
proposta pelo CEB/90. Nessa forrnulacao, a deforrnacao total em urn
instante t , e;(t), de urn elemento de concreto carregado no instante
to com uma ten sao constante a;(to)' edada por
(1.8.1)
onde
ceJfo )=deforrnacao inicial no instante de aplicacao da carga;
32 Curso de Concreto Armada
Cee(t) =deformacao de fluencia no instante t > to ;
ces (t) =deformacao de retracao;
CeT(t)= deforrnacao terrnica (dilatacao).
Da equacao (1.8.1), observa-se que uma parcela da
deforrnacao total depende da tensao aplicada, cC(Y (t) , e outra parcela
e independente da tensao, Cell (t). Essas parcelas sao dadas por
(1.8.2)
(1.8.3)
A deforrnacao e.; (t) e volumetrica, ou seja, s6 causa
expansao ou contracao do elemento estrutural. A deformacao c,O" (t)
pode introduzir distorcoes no elemento e depende das tens6es
aplicadas.
A deformacao termica, ceT' e dada por
(1.8.4)
onde a = 10-5°el e0 coeficiente de dilatacao terrnica do concreto e
!1T e a variacao de temperatura em "C.
1.9 . Fluencia do concreto
A fluencia do concreto pode ser classificada em fluencia
basica e fluencia por secagem. A fluencia basica e a que se
desenvolve sem transferencia de agua entre 0 concreto e 0 meio
ambiente. Nos ensaios de Iaborat6ri0, a fluencia basica e
determinada em COl'POS de pro va selados. Para isto, 0 corpo de prova
eenvolvido por uma tira de borracha que e colada com resina ep6xi.
Dessa forma, evita-se a perda de umidade para 0 meio exterior.
Mutcriais part! concrcto annudo 33
Em estruturas de grandes dimens6es como, por exemplo, as
barragens de concreto massa, a fluencia basica e predominante. Em
estruturas esbeltas, como as estruturas usuais dos ediffcios, a fluencia
por secagem torna-se irnportante.
Alem disso, verifica-se experimentalmente que uma parcela da
deforrnacao de fluencia e recuperavel (a deforrnacao elastica
diferida) e outra parcela e irrecuperavel (a deformacao plastica
diferida).
Na fig. 1.9.1, indicam-se as variacoes da deformacao de urn
corpo de pro va de concreto carregado no instante to' A ten sao
aplicada e mantida con stante ate 0 instante t j , quando 0 corpo de
prova e descarregado. Conforme esta indicado na figura, a
deformacao inicial (imediata ao carregamento) e cd' As
deformacoes aumentam com 0 passar do tempo, devido ao fenomeno
da fluencia.
t
Fig. 1.9.1 - Parcelas da deformacao de fluencia
Quando 0 corpo de prova edescarregado, ocorre a recuperacao
imediata de uma parcela da deformacao. Esta parcela sera
aproximadamente igual a Cd' se a tensao aplicada for pequena em
relacao a resistencia a cornpressao do concreto. Com 0 passar do
tempo, havera a recuperacao da parcela ced da fluencia, Entretanto,
a parcela C pd sera residual.
34 Curso de Concreto Armada
Segundo 0 CEB/90, a deforrnacao de fluencia e dada por
(1.9.1)
onde E; e 0 modulo de deforrnacao longitudinal do concreto aos 28
dias de idade e rp{t,to) eo coeficiente de fluencia.
A linearidade entre a deformacao de fluencia e a tensao,
representada na equacao (1.9.1), e valida para as tensoes de service
(com 10-1' (to ~ < 0,4/('/11 (to))' Para tensoes mais elevadas a relacao e
nao linear.
A deforrnacao dependente da tensao, cee; (t ), e dada por
(1.9.2)
onde E; (to) e 0 modulo de deforrnacao longitudinal na idade to'
obtido com 0 emprego da equacao (1.6.4), e J (t,to) e a funcao de
fluencia.
A funcao J (t, to) representa a deformacao total dependente
da tensao, para uma tensao unitaria aplicada em to'
o coeficiente de fluencia e dado por
com t e to em dias.
o coeficiente rp0 e escrito na forma
rp0 = rpRH f3(fcl1l )f3{t0)
onde
1 l-RH/IOOrpRH = +
0,46{ho /1 00Y/3
(1.9.3)
( 1.9.4)
(1.9.5)
Materials para concreto armado
p(fem )= ( ~,3 f5f em 10
35
(1.9.6)
(1.9.7)
Nessas expressoes, RH e a umidade relativa do ambiente
(%), t.; ea resistencia media acompressao do concreto aos 28 dias
de idade (em MPa) e ho e uma espessura equivalente do elemento
estrutural (em mm). A resistencia media, fem' e obtida em funcao
da resistencia caracterfstica atraves da equacao
j~/11 = frk +8 , MPa
A espessura ho e definida por
(1.9.8)
(1.9.9)
onde A(. e a area da secao transversal do elemento e u e 0 perfmetro
em contato com a atmosfera.
A funcao Pc (t - to)' que representa 0 desenvolvimento da
fluencia com 0 tempo, e dada por
onde
PH =150{1+(1'2 RH )18} ho +250:::;1500
100 100
(1.9.10)
(1.9.11)
36 Curso de Concreto Annada
Para levar em conta os diferentes tipos de cimcnto. a eqlla~ao
(1.9.7) deve ser avaliada com uma idade modificada fo.l"' dada pOI'
(1.9.12)
onde to e a idade de aplicacao da carga, corrigida de acordo com a
equacao (1.6.3) para levar em conta os efeitos da temperatura de cura
na rnaturidade do concreto.
o coeficiente a vale -I para cimentos de endurecimento
lento, 0 para cimentos de endurecimento normal e I para cimentos de
alta resistencia inicial. A idade corrigida, dada em (1.9.12), deve ser
usada na equacao (1.9.7).A duracao do carregamento 1 - 10 , a ser
considerada na equacao (1.9.10), e 0 tempo real sob a carga.
Nas figuras 1.9.2 a 1.9.4, sao apresentadas as variacoes do
coeficiente de fluencia com a idade para um concreto com
irk = 20 MPa aos 28 dias de idade. Nessas figuras, admite-se que a
temperatura ambiente e igual a 200e e 0 cimento ede endurecimento
normal. Assim, nao e necessario fazer nenhuma correcao na idade
to'
Na fig. 1.9.2, mostra-se 0 efeito da idade de aplicacao da
carga, to' no coeficiente de fluencia, Nessa figura, foram fixados os
valores RH = 70% (umidade relativa) e ho = 150 mm (espessura
da peca). Observa-se que, quanto mais jovem for 0 concreto quando
da aplicacao do carregamento, maior sera 0 coeficiente final de
fluencia.
Na fig. 1.9.3, indica-se a variacao do coeficiente de fluencia
com a espessura do elemento estrutural. Nessa figura, sao fixados os
valores RH =70% e to = 28 dias. Observa-se que, quanta mais
esbelto for 0 elemento estrutural, maior sera 0 valor do coeficiente
final de fluencia, Admitindo uma peca de secao quadrada, os valores
ho =50 mm e ho =600 mm corresponderiam a secoes de lados
iguais a 10 ern e 120 em, respectivamente. 0 coeficiente de fluencia
para ho =50 mm e cerca de 60% superior ao correspondente a
Materiais para concreto armada 37
ho = 600 mm, 0 que mostra a grande influencia das dimens6es dos
elementos estruturais no valor desse coeficiente.
3.0
2.5
co
:~ 2.0
~
ti=
-S
1.5(1)
~
'0
~ 1.0 FH=70%
0.5
h:>=150mn
0.0
0 200 400 600 800
ldade cb C01a'eto (das)
Fig. 1.9.2 - Efeito da idade de aplicacao da carga
no coeficiente de fluencia
3.0
2.5
co
:~ 2.0
~q::
-S
1.5~
'0
~ 1.0 FH=70%
0.5 to=2Bclias
800
0.0 -I-l-._--.--.,.....-,.-"'T"""--.,r---r---,
o 200 400 600
ldade cb C01a'eto (das)
Fig. 1.9.3 - Efeito da espessura no coeficiente de fluencia
38 Curso de Concreto Armada
Na fig. 1.9.4, sao mostradas as variacoes do coeficiente de
fluencia com a umidade relativa do ambiente para ho = 150 mm e
to = 28dias. Verifica-se que, quanto mais seco for 0 ambiente,
maior sera 0 coeficiente de fluencia.
3.0
2.5
C1:l
'0
,!D 2.0
:::J
~
~ 1.5~
'0
~ 1.0 hF150mn
0.5
to=28das
0.0
0 200 400 600 800
ldace do cmaeto (das)
Fig. 1.9.4 - Efeito da umidade ambiente no
coeficiente de fluencia
Conforme se observa, a formulacao do CEB/90 leva em conta
os principais fatores que afetam a fluencia do concreto: idade do
carregamento, espessura do elemento estrutural, umidade e
temperatura ambiente, tipo de cimento, resistencia do concreto.
A forrnulacao adotada pela NBR-6118 e a mesma forrnulacao
proposta pelo CEBI78(4,18). Essas duas formulacoes sao equivalentes
e levam a valores muito proximos para 0 coeficiente de fluencia.
Neste livro, optou-se pelo modelo do CEB/90 pOl' ser este urn
modele mais atualizado, Alern disso, 0 modele do CEB/90 e mais
simples do que 0 modelo anterior do CEBI78, 0 que facilita a analise
estrutural. Isto e particularmente importante, quando a analise e feita
com 0 emprego de metodos nurnericos, como 0 metodo dos
elementos finitos. Neste contexto, e importante que a funcao de
fluencia possa ser facilmente substituida pOl' lima expansao em serie,
Materiais para concreto armada 39
denominada sene de Dirichlet, para facilitar 0 seu uso em uma
formulacao incremental. 0 modelo do CEB/90 e apropriado para
esse fim.
o coeficiente final de fluencia, rpoo' pode ser obtido da
equacao (1.9.3), tomando-se urn valor muito alto para a idade t.
Observa-se que, quando t cresce, 0 valor da funcao /3r (t - to)
tende a I. Logo, 0 coeficiente final de fluencia, rpoo = rp(too,to), e
igual a rpo' E facil verificar que, para 0 caso em que to = 28dias,
resulta a seguinte expressao
rpoo == 8,2 ~ rpRH , com irk em MPa
irk +8
(1.9.13)
Na tabela 1.9.1, sao apresentados alguns valores de tp.; para
urn concreto com irk =20 MPa, de acordo com a equacao (1.9.13).
Tabela 1.9.1- Valoresde rpoo para Irk =20MPa
ho (mm) RH =50% RH =70% RH=90%
50 3,7 2,8 2,0
100 3,2 2,6 1,9
150 3,0 2,4 1,8
200 2,9 2,4 1,8
250 2,8 2,3 1,8
300 2,7 2,3 1,8
1.10 - Retracao do concreto
Retracao e a reducao de volume do concreto durante 0
processo de endurecimento, devido adirninuicao do volume de agua
dos poros. Usualmente, a retracao edividida em retracao autogena e
retracao par secagem (ou retracao hidraulica), A retracao autogena
ocorre sem perda de agua para 0 exterior e e consequencia da
remocao da agua dos poros capilares pela hidratacao do cirnento' J). A
retracao hidraulica e influenciada pelas condicoes ambientais
40 Curso de Concreto Annada
(umidade relativa, temperatura, vente, etc.). Na pranca, a rctracao
hidraulica inclui, tarnbern, a variacao autogena de volume.
Uma cura prolongada retarda 0 inicio da retracao, permirindo
que 0 concreto alcance uma resistencia a tracao satisfatoria. Com
isso, pode-se evitar uma fissuracao prematura. As armaduras tambern
sao eficientes para a limitacao das aberturas das fissuras decorrentes
. da retracao,
Quando 0 concreto e colocado dentro d' agua, ocorre urn
aumento de volume pela absorcao de agua. Entretanto, 0 valor
absoluto da expansao dentro d'agua e bem menor do que a retracao
ao ar (cerca de seis vezes menor para umidade relativa do ar igual a
70%, conforme a referencia [I]).
De acordo com 0 CEB/90, a deforrnacao de retracao, ccs (t) ,
pode ser calculada por
(1.1 0.1)
onde tea idade do concreto e t s e a idade ao final da cura (t > t s )'
o coeficiente ccso e dado por
(1.1 0.2)
onde fCIIl (em MPa) e a resistencia media acompressao do concreto
aos 28 dias de idade e
(1.10.3)
o coeficiente Psc depende do tipo de cimento e vale Psc = 4
para cimentos de endurecimento lento, !3sc = 5 para cimentos de
endurecimento normal e Psc =8 para cimentos de alta resistencia
iniciaI.
o coeficiente PRH leva em conta a umidade ambiente e e
dado por
Materials para concreto armada 41
fJRH = -1,5{-(~~ )'] , se 40%:0; RH < 99% (1.10.4)
fJRH =+0,25 , se RH 299% (1.10.5)
Conforme se observa na equacao (1.10.4), ate uma umidade
relativa do ambiente proxima de 99%, ocorre retracao (fJRH < 0).
Apos esse valor, 0 que oconoe e urn aumento de volume do concreto,
como e indicado na equacao (1.10.5).
A funcao fJs (t - t,I")' que define 0 desenvolvimento da
retracao com 0 tempo, e dada por
[ ]
Q5
) t-t/31" (t - t I" = S
, , 350(h
o/100)2 +t-ts
(1.10.6)
onde ho e a espessura equivalente do elemento estrutural, definida
na equacao (1.9.9).
Quando 0 tempo t tende ao infinito, a deformacao de retracao
ccsoo =e.; (too) tende ao valor ccso. Considerando urn concreto
com fck = 20 MPa e fJsc = 5 (cimento de endurecimento normal),
resulta
ccsoo = -63xl 0-5 para RH =50%;
ccsoo =-48xl 0-5 para RH=70%;
ccsoo =-20xlO-5 para RH =90%.
A formulacao adotada pela NBR-6II8 e igual a formulacao
anterior do CEBI78(-W).
42 Curso de Concreto Armada
1.11 - Acos para concreto armado
De acordo com a NBR-7480(l9" as armaduras para concreto
armado podem ser c1assificadas em barras e fios. As barras possuem
diametros mfnimos de 6,3 mm, sendo obtidas por laminacao a
quente. Os fios apresentam diametros maximos de 10 mm, sendo
obtidos por trefilacao ou laminacao a frio. Na nomenclatura usual de
projeto, tanto as barras laminadas, quanto os fios trefilados, sao
designados simplesmente por barras da armadura.
Na tabela 1.11.1, indicam-se as barras e os fios padronizados
pela NBR-7480. Conforme esta indicado nessa tabela, 0 mimero
relativo ao fio ou abarra (isto e, a bitola) corresponde ao diarnetro
nominal da secaotransversal, em milfmetros. A massa linear da barra
ou do fio (em kg/m) e obtida pelo produto da area da secao nominal
(em m2) pela massa especffica do aco, igual a 7850 kg/rrr',
A forma do diagrama tensao-deformacao dos acos, obtido em
urn ensaio detracao simples, e influenciada pelo processo de
fabricacao, As barras, obtidas exclusivamente por laminacao a
quente, apresentam urn patamar de escoamento no diagrama tensao-
deforrnacao, como esta indicado na fig. 1.11.1.
.--_fst
Fig. 1.11.1 - Diagrama tensao-deforrnacao dos acos com
patamar de escoamento
MUleriuis para concreto annada
Tabela 1.1 1.1 - Caracterfsticas das barras e fios de acordo
eom a NBR-7480
43
Fios Barras Diametro Area da Massa Perfmetro
nominal sec;ao linear (em)
(mm) (ern") (kg/rn)
2,4 2,4 0,045 0,036 0,75
3,4 3,4 0,091 0,071 1,07
3,8 3,8 0,113 0,089 1,19
4,2 4,2 0,139 0,109 1,32
4,6 4,6 0,166 0,130 1,45
5 5,0 0,196 0,154 1,75
5,5 5,5 0,238 0,187 1,73
6 6,0 0,283 0,222 1,88
6,3 6,3 0,312 0,245 1,98
6,4 6,4 0,322 0,253 2,01
7 7,0 0,385 0,302 2,20
8 8 8,0 0,503 0,395 2,51
9,5 9,5 0,709 0,558 2,98
10 10 10,0 0,785 0,617 3,14
12,5 12,5 1,227 0,963 3,93
16 16,0 2,011 1,578 5,03
20 20,0 3,142 2,466 6,28
22 22,0 3,801 2,984 6,91
25 25,0 4,909 3,853 7,85
32 32,0 8,042 6,313 10,05
40 40,0 12,566 9,865 12,57
Os fios, obtidos por trefilacao, nao apresentam urn patamar de
escoamento definido, como e mostrado na fig. 1.11.2.
44 Curso de Concreto Armada
Fig. 1.11.2 - Diagrama tensao-deformacao dos acos sem
patamar de escoamento
De acordo com as figuras 1.11.1 e 1.11.2, sao definidos:
I, =tensao de escoamento;
ISl =tensao de ruptura;
Es = modulo de elasticidade longitudinal;
" eu =deformacao de ruptura;
Paraos acos que nao apresentam urn patamar de escoamento, a
tensao de escoamento I, e 0 valor convencional que corresponde a
uma deformacao residual de 2 %0 .
Segundo a NBR-61180i, na falta de ensaios ou valores
fornecidos pelo fabricante, 0 modulo de elasticidade longitudinal dos
acos para concreto armado pode ser admitido igual a 210 GPa. 0
CEB, 0 ACr, 0 Eurocode 2 e todas as demais normas internacionais
consideram E s = 200 GPa para efeito de calculo. A mesma NBR-
6118 adota 0 valor de 200 GPa para 0 modulo de elasticidade dos
acospara concreto protendido (acos para armadura ativa).
Deve ser salientado que essa diferenca de 5% no valor do
modulo de elasticidade dos acos nao ocasiona alteracoes
significativas no dimensionamento dos elementos de concreto
armado. Entretanto, e conveniente padronizar 0 valor dessa
Materials para concreto armada 45
propriedade, como fazem as demais normas de projeto. Por isto, em
vista da falta de justificativa para 0 valor de 210 GPa (ver ref. [20]),
neste livro considera-se sempre E, = 200 GPa.
Para 0 coeficiente de dilatacao terrnica dos acos, considera-se
o valor 10-5 °c I, que e 0 mesmo valor adotado para 0 concreto.
De forma analoga ao que foi apresentado para 0 concreto,
define-se uma tensao de escoamento caracterfstica dos acos, fyk'
obtida em urn conjunto de corpos de prova submetidos a tracao.
Assim, as barras de aco sao classificadas nas categorias CA-25, CA-
50 e CA-60, onde 0 prefixo CA indica acos para concreto armado e 0
ruimero e 0 valor de frk expresso em kNlcm2•
Dessa forma, ao ser especificado 0 aco CA-50, significa que se '
trata de urn aco para concreto armado cuja tensao de escoamento
caracterfstica e fyk = 50 kNlcm2•
As barras sao das categorias CA-25 e CA-50 e os fios sao da
categoria CA-60.
As barras podem ser lisas ou nervuradas. As barras lisas
possuem baixa aderencia ao concreto e sao restritas acategoria CA-
25. As barras da categoria CA-50 devem ser nervuradas,
obrigatoriamente. A configuracao geometric a das nervuras e dada na
NBR-7480. Os fios da categoria CA-60 podem ser lisos, entalhados
ou nervurados, para melhorar sua aderencia ao concreto.
Alem do ensaio de tracao, as barras de aco devem ser
submetidas ao ensaio de dobramento a 1800 sem que ocorra ruptura
nem fissuracao na zona tracionada. 0 diametro do pino de
dobramento para cada categoria e indicado na tabela 1.11.2.
A NBR-7480 exige que as barras da categoria CA-50 e os fios
CA-60 nervurados tenham marcas de larninacao em relevo,
identificando 0 fabricante, a categoria do material e 0 respectivo
diametro nominal. Por exemplo, na marca IF-50, IF e a identificacao
do fabricante e 50 e a categoria do aco. A identificacao dos fios lisos
e entalhados da categoria CA-60 tambern deve ser feita por marcas
em relevo. Porern, neste caso, a indentificacao do fabricante pode ser
feita por meio de etiqueta. A identificacao das barras lisas da
categoria CA-25 deve ser feita por etiqueta.
o comprimento de fornecimento das barras e dos fios deve ser
de 12 m, admitindo-se lima tolerancia de ± 1% . 0 fornecimento de
46 Curso de Concreto Annada
outros comprimentos deve ser acordado entre 0 forncccdor c o
consumidor, mantendo-se a tolerancia de ± I(k .
Na tabela 1.11.2, encontram-se indicadas as caracterfsticas
mecanicas exigfveis para as barras e os fios de aco destinados a
armaduras para concreto armado.
Tabela 1.11.2 - Caracterfsticas exigfveis das armaduras
(NBR-7480)
Catezoria CA-25 CA-50 CA-60
i\'k (kN/cm2) 25 50 60
1st 1,2Oi \' 1,08 f.\' 1,05f\'*
lOu ** 18% 8% 5%
Diametro do 2¢J I 3¢ I 5¢ I
pino de 4¢J 2 6¢J 2
dobramento
I para barras com ¢J < 20; 2 para barras com ¢J 2 20.
* f5t mfnimo de 66 kN/cm2•
** e; e a deforrnacao de ruptura (alongamento) medida em urn
comprimento de IO¢J.
Nota: ¢J eo diametro (em mm), conforme a tabela 1.11.1.
Nas estruturas usuais de concreto armado, profbe-se 0
emprego simultaneo de diferentes categorias de aco, para evitar
possfveis trocas no canteiro de obras. Entretanto, permite-se 0
emprego simultaneo de diferentes categorias, desde que uma delas
seja empregada como armadura longitudinal e outra como armadura
transversal"!'. Assim, as armaduras Iongitudinais das vigas e dos
pilares podem ser da categoria CA-50 e os estribos da categoria CA-
60.
1.12 . Consideracoes sobre 0 concreto armado
Con forme ja foi salientado no infcio deste capitulo, 0 trabalho
conjunto do concreto e do aco so e possfvel gracas aaderencia entre
esses materiais. De fato, so existe concreto armado por causa da
aderencia, Isto e evidenciado na fig. 1.12.1.
Mi/ter;i/;.,· para 1'0/11'1'('/0 annada 47
8 s>0
Deforrnacoes
t=~~ci:
Tensoes em
equilibrio
8s=0
Deform acoes
~=:jcrs=O
Equilibrio
impossivel
no Estadio II
Fig. 1.12.1 - Efeito da aderencia no comportamento de vigas
Na fig. 1.12.I-a, representa-se uma viga de concreto armado
construfda da maneira usual: as armaduras sao colocadas dentro da
forma e 0 concreto e lancado posteriormente. Neste caso, existe 0
contato direto entre 0 concreto e as barras de aco e,
consequenternente, uma ligacao entre os dois materiais.
Ao ser aplicado 0 carregamento, a viga se deform a, resultando
uma distribuicao linear das deformacoes normais ao longo da altura
viga, como e indicado na figura. Em virtude da aderencia, a
deformacao da. arrnadura, e., e igual a deformacao da fibra de
concreto situada no mesmo nfvel. Desse modo, surge uma tensaode
tracao na armadura, a, = a, (s.), que, juntamente com as tensoes
de cornpressao no concreto, equilibra 0 momento fletor solicitante.
Considere-se agora uma situacao sem aderencia, como a
indicada na fig. 1.12.I-b. Nesse caso, foi colocada uma bainha dentro
das formas antes do lancamento do concreto. Posteriormente, a barra
de aco e introduzida na bainha sem que haja nenhuma amarracao da
mesma. Ao ser aplicado 0 carregamento, a viga se deforma, mas a
48 Curso de Concreto Annada
barra de aco escorrega livremente dentro da bainha. A deforrnacao
especffica da armadura e nula e as = O. Nessa situacao, 0 que se
tern euma viga de concreto simples.
Em uma peca fletida de concreto armado, quando a tensao
maxima de tracao atinge 0 valor da resistencia a tracao do concreto,
surge uma fissura perpendicular adirecao da tracao. A fissuracao e
urn processo discreto, ou seja, as fissuras estao espacadas em
intervalos mais ou menosregulares ao longo do eixo da peca. Nas
secoes fissuradas, apenas 0 aco resiste aos esforcos de tracao. Essas
secoes estao no denominado Estddio II. Porern, nas secoes entre
fissuras, 0 concreto tracionado (nao fissurado) continua a colaborar
na resistencia. Essas secoes estao no denominado Estddio I. A
contribuicao do concreto tracionado entre fissuras pode ser
importante nas verificacoes do comportamento da estrutura sob as
cargas de service. Entretanto, no dimensionamento, todo 0 esforco de
tracao deve ser resistido pelas armaduras.
Na fig. 1.12.2, indicam-se algumas disposicoes usuais das
armaduras das vigas de concreto armado.
se9ao
transversal
\
armadura longitudinal de compressao
armadura longitudinal de tracao
l J o
estribos para
cisalhamento
barra dobrada (ver restricoes no Cap.6)
Fig. 1.12.2 - Arranjos usuais das armaduras das vigas
Materials para concreto armada
1.13 - A durabilidade das estruturas de concreto armado
49
A durabilidade das estruturas de concreto e um dos aspectos
de maior relevancia, dentro da filosofia das modernas normas de
projeto. As exigencias relativas a durabilidade estao se tornando cada
vez mais rfgidas, tanto na fase de projeto, quanta na fase de execucao
da estrutura.
Essas novas exigencias introduzidas nas normas decorrem, em
grande parte, da falta de atencao com que muitos projetistas e
construtores tern tratado esse tema. Esse descuido com a durabilidade
tern contribufdo para acelerar a deterioracao de diversas estruturas
relativamente novas. Por outro lado, 0 conhecimento dos diversos
mecanismos de deterioracao das estruturas de concreto tern levado a
essa nova concepcao de durabilidade introduzida nas atuais normas
de projeto, dentre as quais se inclui a norma brasileira NBR-6118.
As exigencias relativas a durabilidade destinam-se a garantir a
conservacao das caracteristicas das estruturas ao longo de toda a sua
vida iitil. Durante esse perfodo, niio devem ser necessarias medidas
extras de manutencao ou reparo das estruturas.
Geralmente, as normas de projeto consideram uma vida util
mfnima de 50 anos. Para obras de maior importancia, pode ser
necessario estabelecer criterios correspondentes a uma vida iitil
maior.
Na consideracao da durabilidade, devem ser levados em conta
os mecanismos mais importantes de deterioracao da estrutura de
concreto.
Dentre os mecanismos de deterioracao relativos ao concreto
incluem-se a lixiviacao provocada pela agua, a expansiio devida a
acao de aguas e solos contaminados e expansoes decorrentes de
reacoes entre os alcalis do cimento e certos agregados reativos. A
corrosao eurn mecanismo relativo as armaduras.
Alern disso, ha varies mecanismos de deterioracao
relacionados as acoes mecanicas, movimentacoes de origem termica,
impactos, acoes ciclicas, etc. Por ultimo, devem-se considerar as
acoes ffsicas e qufmicas relacionadas a agressividade do ambiente.
Segundo a NBR-6ll8, a agressividade do ambiente pode ser
classificada de acordo com a tabela 1.13.1.
50 Curso de Concreto Armada
Tabela I 13 I - Classes de aaressividadc amhicntal.. ..
-
. .
Classe de Agressi vidade Risco de dctcrioracao
agressividade da estrutura
ambiental
I fraca insignificante
II moderada pequeno
III forte grande
IV muito forte elevado
As classes de agressividade ambiental, dadas em funcao das
condicoes de exposicao da estrutura ou de suas partes, podem ser
obtidas da tabela 1.13.2
as con icoes e exposicao
Regiao onde se Tipo de ambiente
localiza a estrutura Ambientes internos Ambientes externos
A B C D
Rural I I I I
Urbana I II I II
Marinha II III --- III
Industrial II III II III
Industrial (*) III IV IV IV
Respingos de mare --- --- --- IV
Submersa --- --- --- I
Solo --- --- Ver (**) ver(***)
Tabela 1.13.2 - Classes de agressividade ambiental em funcao
d di - d
(*) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais,
galvanoplastia, branqueamento em industrias de celulose e papel,
armazens de fertilizantes, indiistrias qufmicas.
(**) Adotar a c1asse I se 0 solo for seco e nao agressivo.
(***) Adotar a classe II, III ou IV se 0 solo for umido e agressivo.
as ambientes A, B, C, D, indicados na tabela 1.13.2, sao
descritos como segue:
Materials para concreto armada 51
Ambiente A: ambientes internos secos (com umidade relativa do ar
menor ou igual a 65%).
Exemplos: interiores de apartamentos residenciais e de conjuntos
comerciais, ou ambientes com concreto revestido com argamassa e
pintura.
Ambiente B: ambientes internos iirnidos ou caracterizados por ciclos
de molhagem e secagem.
Exemplos: vestiarios e banheiros coletivos, cozinhas e lavanderias
industriais, garagens.
Ambiente C: ambientes externos secos (com umidade relativa do ar
menor ou igual a 65%).
Exemplos: obras em regioes de clima seco, partes protegidas da
chuva em ambientes predominantemente secos.
Ambiente D: ambientes externos umidos ou caracterizados por
ciclos de molhagem e secagem.
Exemplos: obras externas em geral, partes nao protegidas da chuva.
Para evitar a deterioracao prematura e satisfazer as exigencias
quanta a durabilidade, devem ser observados diversos criterios, nas
fases de projeto, de execucao e de utilizacao da estrutura. Dentre os
principais criterios a serem observados na fase de projeto, devem-se
incluir a especificacao de urn concreto de qualidade apropriada, de
cobrimentos mfnimos para as armaduras, a verificacao da abertura
das fissuras e 0 correto detalhamento das armaduras.
A durabilidade das estruturas e altamente dependente das
caracterfsticas do concreto e da espessura e qualidade do concreto do
cobrimento. A qualidade do concreto esta intimamente ligada a
relacao agua-cimento, pois e esta que determina a porosidade da
massa endurecida e, portanto, a facilidade de penetracao de agua ou
de gases no concreto. Uma vez que existe uma forte correspondencia
entre a relacao agua-cimento e a resistencia a compressao do
concreto, a NBR-6118 apresenta a tabela 1.13.3, a qual permite
escolher a resistencia acompressao do concreto em funcao da classe
de agressividade ambiental.
Alern das exigencias de qualidade do concreto, e necessario
especificar urn cobrimento mfnimo para as armaduras. Para garantir
52 Curso de Concreto Annada
o cobrimento minimo (cmin)' 0 projeto e a execucao devern
considerar 0 cobrimento nominal (C/ lOlIl ) , que e 0 cobrimento
minimo acrescido da tolerancia (Ac ). Assim, as dimensoes das
!
barras das armaduras e os espacadores de formas devem respeitar 0
cobrimento nominal.
Quando houver urn adequado controle de qualidade e rigidos
limites de tolerancia da variabilidade das medidas durante a
execucao, pode ser adotado urn valor ~c = 0,5 em. Em caso
contrario, nas obras correntes, esse valor deve ser de no minimo
~c= tern.
Na tabela 1.13.4, indicam-se os cobrimentos nominais em
funcao da c1asse de agressividade ambiental, para os casos usuais em
que ~c =tern.
.,,'
Concreto Classe de agressividade
(ver tabela I. I3.2)
Tipo I II III IV
relacao agua-cimento CA 0,65 0,60 0,55 0,45
maxima (em massa) CP 0,60 0,55 0,50 0,45
c1asse de resistencia CA C20 C25 C30 C40
, . CP C25 C30 C35 C40rrnmrna
CA: elementos estruturais de concreto armado
CP: elementos estruturais de concreto protendido
Tabela I. I3.3 - Exigencias de qualidade do concreto em funcao
da azressividade do ambiente
para concreto arma 0
Elernento Classe de aaressividade (ver tabela I. I3.2)
I II III IV
Laje 2,0 2,5 3,5 4,5
Viga e pilar 2,5 3,0 4,0 5,0
Tabela 1.13.4 - Cobrimento nominal (em) das armaduras
d
Nos casos em que 0 controle de qualidade for rigoroso, os
valores da tabela 1.13.4 podem reduzidos de 0,5cm, mas a exigencia
de controle rigoroso deve ser explicitada nos desenhos de projeto.
Em todos os casos, 0 cobrimento nominal de uma determinada
barra deve ser, no minimo, igual ao diametro da propria barra.No
Materiai.\· para concrrto lIl'II/IIl/O 53
caso de feixes de barras, 0 cobrimento nominal nuo deve ser menor
que 0 diametro do cfrculo de mesma area do feixe (diametro
equivalente).
A dirnensao maxima caracterfstica do agregado graiido
utilizado no concreto, dmax ' nao pode superar 20% do cobrimento
nominal, ou seja, dmax :s; 1,2c/10111'
Para a face superior de lajes e vigas que serao revestidas com
argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos do tipo
carpete, madeira, pisos ceramicos, dentre outros, os cobrimentos
nominais da tabela 1.13.4 podem ser substitufdos pelo valor de
1,5cm. De qualquer forma, esse cobrimento nominal nao pode ser
menor que 0 diametro da barra ou que 0 diametro equivalente, no
caso de feixes de barras.
A abertura maxima caracterfstica das fissuras, desde que nao
ultrapasse valores da ordem de 0,2 a 0,4 mm, nao tern importancia
significativa na evolucao da corrosao das armaduras para concreto
armado. No caso de pecas de ediffcios usuais, podem ser adotados os
seguintes limites para a abertura das fissuras, em funcao da c1asse de
agressividade ambiental:
Classe de agressividade I: abertura maxima de 0,4 mm;
Classes de agressividade II e III: abertura maxima de 0,3 mm.
Classe de agressividade IV: abertura maxima de 0,2 mm.
Em casos especfficos, esses Iimites devem ser reduzidos. Isto
ocorre, por exemplo, nos reservat6rios. Nesses casos, os !imites para
a abertura das fissuras devem ser especificados de modo a garantir a
estanqueidade e nao afetar a funcionalidade da estrutura.
Urn born detalhamento das armaduras tambem e necessario
para garantir a durabilidade. As barras devem ser dispostas dentro do
elemento estrutural de modo a permitir e facilitar 0 lancamento e 0
adensamento do concreto. 0 congestionamento das barras dificulta 0
lancamento, propicia a segregacao dos componentes do concreto e
impede urn born adensamento, ao dificultar a passagem da agulha do
vibrador. Tudo isto compromete a compacidade final do concreto
endurecido, 0 que facilita a sua deterioracao.
Com 0 objetivo de garantir a durabilidade das estruturas de
concreto, devem ser tomadas diversas medidas adicionais, como:
54 Curso de Concreto Armada
- prever uma drenagem eficiente, capaz de evitar 0 aciimulo de agua
sobre as superffcies de concreto;
- prever acessos de inspecao e manutencao de partes da estrutura
com vida util menor, tais como aparelhos de apoio, caixoes,
impermeabil izacoes:
- prever espessuras de sacriffcio ou revestimentos protetores em
regioes sob condicoes de exposicao ambiental muito agressivas;
- definir um plano de inspecao e manutencao preventiva.
A identificacao da c1asse de agressividade ambiental deve ser
uma das primeiras providencias a serem tomadas na elaboracao do
projeto estrutural. Isto e necessario, pois a escolha da resistencia
caracterfstica do concreto, dos cobrimentos nominais e das aberturas
limites das fissuras depende da c1asse de agressividade adotada.
Todo 0 dimensionamento dos elementos estruturais sera alterado,
caso haja uma alteracao na c1asse de agressividade ambiental.
Na fig. 1.13.1, apresenta-se uma se<;ao transversal tfpica das
vigas com as dimensoes necessarias para 0 dimensionamento. Nessa
mesma figura apresenta-se, tarnbem, uma secao transversal das lajes
macicas dos ediffcios.
h d h dx 1• • • •
Laje
d',5~
~ b ~I
Viga
Fig. 1.13.1 - Secoes transversais de vigas e lajes macicas
Uma dimensao de muito interesse no dimensionamento e a
denominada altura util d, que e dada por d =h - d ' , sendo h a
Materiais para concreto armada 55
altura total da secao da viga. Conforme se verifica na fig. 1.13.1, 0
parametro d' para as vigas edado pOl'
d'=c+¢t+O,5¢ (1.13.1)
onde C = cobrimento nominal; ¢t= diametro dos estribos; ¢ =
diametro da armadura longitudinal de tracao.
A equacao (1.13.1) e valida se todas as barras da armadura
longitudinal de tracao estiverem dispostas em uma iinica camada,
como na fig. 1.13.1. Essa armadura e colocada na face inferior da
viga, nos trechos de momenta f1etor positivo. Uma expressao
semelhante pode ser obtida para 0 parametro a", em funcao do
diflmetro ¢' da armadura de compressao (colocada na face superior,
nos trechos de momenta fietor positivo).
Em geral, d" e menor que a', pois a armadura de
compressao possui um diametro menor que a armadura de tracao,
Entretanto, para efeito de dimensionamento podem-se desconsiderar
essas diferencas e adotar .r: = d' .
Na tabela 1.13.5, apresentam-se os valores de el' calculados
com a equacao (1.13.1), considerando os seguintes dados:
- cobrimento c: igual aos cobrimentos nominais exigidos para vigas
e pilares na tabela 1.13.4; - estribos: diametro ¢t = 5 mm.
)'1dTabela 1.13.5 - Parametro ' para vIgas e PI ares (em
Classe de agressividade ¢= lOmm ¢= 20mm
I 3,5 4,0
II 4,0 4,5
III 5,0 5,5
IV 6,0 6,5
No caso das lajes, a altura uti! e diferente em cada direcao
(dr e d y indicadas na fig. 1.l3.1), ja que uma armadura esta
disposta sobre a outra, formando lima malha. Do ponto de vista
pratico, pode-se considerar um valor iinico d =h - d' para as duas
direcoes. De acordo com a fig. 1.13.1, tem-se
56 Curso de Concreto Armada
d'=c+fjJ (1.13.2)
onde fjJ e 0 diametro medic das armaduras.
Na tabela 1.13.6, apresentam-se os valores de d' calculados
atraves da equacao 1.13.2.
(I .d'Tbl 1136 P Aa e a - arametro para ales macicas cm
Classe de agressividade fjJ=5mm fjJ =10 mm
I 2,5 3,0
II 3,0 3,5
III 4,0 4,5
IV 5,0 5,5
Na maioria dos exemplos numencos apresentados ao longo
desta obra, admite-se a classe I de agressividade ambiental. Neste
caso, pode-se considerar d ' = 4 em para as vigas e os pilares,
ficando-se a favor da seguranca para secoes armadas com barras de
diametro menorque 20 mm (sempre que a armadura puder ser
disposta em uma unica camada). Para as lajes macicas dos ediffcios,
pode-se adotar d ' = 2,5 em, pois, em geral, empregam-se barras de
pequeno diametro.
Do mesmo modo, em muitos exemplos numericos admite-se
urn concreto com fck = 20 MPa, que ea resistencia minima exigida
para a classe I. Em alguns exernplos, sao feitas variacoes no valor de
fck para mostrar a influencia dessa propriedade do concreto nos
resultados do dimensionamento.
E importante salientar que urn concreto de maior resistencia
garante uma maior durabilidade da estrutura. Alern disso, 0 emprego
de urn concreto de maior resistencia pode resultar em economia da
estrutura como urn todo, mesmo que haja urn aumento de custo do
concreto. Isto ocorre com os pilares, especialmente nos ediffcios
altos. Por outro lado, 0 projetista deve levar em conta as condicoes
de desenvolvimento tecnol6gico da regiao onde a estrutura sera
executada. De nada adianta elaborar urn projeto com base em urn
concreto de alta resistencia, para uma obra de pequeno porte, que
sera executada em uma localidade onde nao ha adequadas condicoes
Mutcriais /W/"{/ concreto annada 57
de producao e controle da qualidade do concreto. Ao contrario, tal
procedimento pode resultar em urn verdadeiro desastre.
Em todo caso, deve-se estar atento para 0 fato de que os
parametres adotados nos exemplos numericos nao servem como
regra geral. Eles devem ser definidos para cada situacao particular,
considerando todos os fatores envolvidos.
Capitulo 2
FUNDAMENTOS DE SEGURAN<;A DAS
ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO
2.1 - Estados limites
Alern dos aspectos economicos e esteticos, uma estrutura de
concreto armado deve ser projetada para atender aos seguintes
requisitos de qualidade:
1) seguranca: dentro de urn nfvel de seguranca preestabelecido, a
estrutura deve suportar as acoes que Ihe sao impostas durante a sua
vida util (incluindo a fase construtiva), sem a ocorrencia de ruptura
ou perda do equilibrio estatico;
2) hom desempenho em service: nas condicoes normais de utilizacao,
as deforrnacoes da estruturadevem ser suficientemente pequenas
para nao provocar danos inaceitaveis em elementos nao estruturais,
nao afetar 0 seu usa ou a sua aparencia, nem causar desconforto aos
usuaries: 0 grau de fissuracao nao deve afetar 0 usa ou a aparencia
da estrutura, nem prejudicar a protecao da armadura;
3) durabilidade: a estrutura deve se manter em born estado de
conservacao sob as influencias ambientais previstas, sem necessidade
de reparos de alto custo ao longo de sua vida titil.
Para certos tipos de estruturas, sao fixadas condicoes
especfficas, como a exigencia de resistencia ao fogo, a explosao, ao
impacto ou as acoes sfsmicas, ou exigencias relativas a
estanqueidade, ao isolamento termico ou acustico, AMm disso,
podem ser fixadas exigencias referentes ao impacto ambientaI.
Quando algum dos requisitos relativos aos itens (1) e (2) nao e
atendido, considera-se que foi alcancado urn estado limite. As
exigencias relativas a durabilidade deixam de ser atendidas quando
60 Curso de Concreto Armada
nao sao observados os criterios de projeto definidos na sc~ao 1.1 J do
capitulo I.
Assim, em funcao dos requisitos estabelecidos nos itens (I) e
(2), sao definidos os seguintes estados limites:
• Estados limites ultimos (ou de ruina): sao aqueles relacionados ao
colapso, ou a qualquer outra forma de ruina estrutural que determine
a paralisacao, no todo ou em parte, do usa da estrutura.
No projeto das estruturas de concreto armado, deve-se
verificar a seguranca em relacao aos seguintes estados limites
ultimos:
a) ruptura ou deformacao plastica excessiva dos materiais;
b) instabilidade do equilfbrio, considerando os efeitos de segunda
ordem;
c) perda de equilfbrio da estrutura, admitida como urn corpo rfgido;
d) estado limite ultimo provocado pOl' solicitacoes dinamicas;
e) transformacao da estrutura, no todo ou em parte, em urn sistema
hipostatico.
• Estados limites de utilizacdo (ou de servico): correspondem aos
estados em que a utilizacao da estrutura torna-se prejudicada, pOI'
apresentar deformacoes excessivas (incluindo vibracoes
indesejaveis), ou por urn nfvel de fissuracao que compromete a sua
durabilidade.
Assim, no projeto das estruturas usuais de concreto armado,
sao considerados 0 estado limite de deforrnacoes excessivas e 0
estado limite de abertura das fissuras.
Observa-se que 0 requisito da seguranca esta relacionado com
os estados limites ultimos, enquanto a durabilidade, a aparencia e 0
conforto estao ligados aos estados limites de utilizacao,
Os pr6ximos capftulos deste livro sao dedicados aos
procedimentos de projeto necessaries para garantir urn adequado
nfvel de seguranca (portanto, no estado limite ultimo). Os estados
limites de utilizacao sao abordados no Volume 2.
Conforme foi dito, urn estado limite ultimo pode ser atingido
por ruptura de uma ou mais partes da estrutura ou porinstabilidade
do equilfbrio, A ruptura pode ocorrer por esmagamento do concreto
Ftuidantentos de seguranca das estruturas de concreto armada 6I
ou por uma deforrnacao plastica excessiva das armaduras (esta ultima
sendo uma ruptura convencional).
De acordo com os procedimentos da NBR-61 18 e do eEB,
admite-se que, em uma pe~a fletida, 0 esmagamento do concreto
ocorre quando:
a) em secoes parcialmente comprimidas, a deformacao da borda
comprimida atinge 0 valor 3,5 %0 ;
b) em secoes totalmente comprimidas, a deformacao da fibra situada
a 311/7 da borda mais comprimida atinge 0 valor 2%0' onde h ea
altura da secao transversal da peca.
Esses valores \imites para a deformacao de compressao do
concreto correspondem aos valores medics das deforrnacoes Co e
CIf que aparecem no diagrama tensao-deformacao da fig. 104.1 (ver
secao 104 do capitulo I).
A deformacao maxima de tracao das armaduras e igual a
10%0' Observa-se que esse valor e bern inferior a deformacao de
ruptura dos acos (ver tabela 1.11.2 do capitulo 1). Entretanto, esse
limite e introduzido para evitar deformacoes plasticas excessivas.
Na fig. 2.1.1, sao indicados os tres casos possfveis de ruptura
de uma secao de concreto armado.
62 Curso de Concreto Armada
1- ....._3...:.'750/00
secao parcialmente
comprimida
h
se<;ao
totalmente
comprimida
10% 0
detormacao
excessiva da
armadura
Fig. 2.1.1 - Situacoes de ruptura de uma secao de
concreto armado (flexao)
A rufna por instabilidade do equilfbrio e uma situacao tfpica
dos pilares. Considere-se, por exemplo, 0 pilar birrotulado da fig.
2.1.2, submetido a uma forca normal de compressao P, excentrica
em relacao ao seu eixo. Aumentando 0 valor da forca de cornpressao,
os deslocamentos transversais do eixo do pilar, W, crescem ate que
o equilfbrio torna-se instavel, quando a forca atinge 0 valor crftico
Per. Isto pode ser constatado pelo crescimento acentuado dos
deslocamentos, como e indicado na fig. 2.1.2.
Para fazer uma analise correta desse elemento estrutural, e
necessario considerar 0 equilfbrio na configuracao deformada.
Conforme se observa na fig. 2.1.2, 0 momenta f1etor solicitante na
configuracao indeformada do pilar (barra reta) e M = Pel' onde el
e a excentricidade inicial da forca de cornpressao. Na configuracao
deform ada, 0 momento solicitante e M = P(el + W) e cresce muito
rapidamente it medida que a forca normal se aproxima do valor
critico. Eevidente que, para urn determinado valor de M , ocorrera a
ruptura da secao mais solicitada do pilar. Entretanto, a origem do
Fundamentos de seguranca das estruturas de concreto armado 63
estado limite ultimo foi a instabilidade do equilibrio. Esse problema
eanalisado em detalhes no Volume 3.
w
Per = carga de Euler
instabilidade do
______e..9~i!!brio
p
L
Fig. 2. J.2 - Instabilidade do equilibrio
2.2 - As a~oes nas estruturas
POl' definicao, as acoes sao as causas que provocam esforcos
ou deformacoes nas estruturas. Usualmente, as forcas e as
deforrnacoes impostas pelas acoes sao consideradas como se elas
fossem as proprias acoes. De acordo com a NBR-868 J(22', as forcas
sao designadas pOl' acoes diretas e as deforrnacoes impostas por
acoes indiretas.
Em funcao de sua variabilidade no tempo, as acoes podem ser
classificadas como permanentes, variaveis ou excepcionais'i",
a) Ar;oes permanentes
As acoes permanentes sao aqueJas que ocorrem com vaJores
constantes, ou de pequena variabilidade, durante praticamente toda a
vida iitil da construcao, Tambem sao consideradas como
permanentes as acoes que crescem no tempo, tendendo a urn valor
limite constante.
64 Curso de Concreto Annada
As a<;6es permanentes diretas correspondent ao peso proprio
da estrutura, peso dos demais elementos pcrmancntcs du construcilo
(alvenarias, revestimentos, etc.), peso de equipamentos fixos,
empuxos de terra e de outros materiais granulosos nao removfveis,
dentre outros.
As a<;6es permanentes indiretas podem ser os recalques de
apoio, a retracao ,e a fluencia do concreto, a protensao (no caso do
concreto protendido) e irnperfeicoes geornetricas de pilares.
A variabilidade das acoes permanentes em torno de sua media
e medida num conjunto de construcoes semelhantes.
b) A90es varidveis
As acoes variaveis sao aquelas que ocorrem com valores que
sofrem significativas variacoes durante a vida da construcao,
Consideram-se como acoes variaveis as cargas acidentais que atuam
nas construcoes em funcao de sua finalidade, como 0 peso das
pessoas, m6veis, vefculos, etc. Outras acoes variaveis sao as forcas
de frenacao, de impacto e centrffugas, os efeitos do vento e das
variacoes de temperatura, e as press6es hidrostaticas e
hidrodinamicas, de urn modo gera!.
Em funcao de sua probabilidade de ocorrencia durante a vida
da construcao, as acoes variaveis podem ser classificadas em normais
ou especiais. As aciies variaveis nonnais sao aquelas com
probabilidade de ocorrencia suficientemente elevada para que as
mesmas sejam consideradas obrigatoriamenteno projeto das
estruturas de urn dado tipo de construcao (cargas acidentais em
ediffcios, por exemplo). Como aciies varidveis especiais, tem-se as
acoes sfsmicas ou algumas cargas acidentais de natureza ou de
intensidade especiais que devem ser definidas para as situacoes
especfficas.
c) A~'oes excepcionais
As acoes denominadas excepcionais sao aquelas que tern uma
duracao muito curta e uma probabilidade de ocorrencia muito
pequena durante a vida da construcao, mas que devem ser
consideradas no projeto de determinados tipos de estruturas
(explosoes, choques de vefculos, incendios, enchentes, sismos
excepcionais).
Fundamentos de seguranca das estruturas de concreto armada 65
As acoes sao quantificadas por seus valores caracteristicos,
Fk ' que sao definidos em funcao de suas variabilidades.
Para as acoes variaveis, os valores caracterfsticos sao
indicados em normas especfficas e correspondem a valores que tern
de 25% a 35% de probabilidade de serem ultrapassados no sentido
desfavoravel, durante um perfodo de 50 anos. No caso das cargas
acidentais dos ediffcios, os valores caracterfsticos sao fornecidos na
NBR-6120 (Apendice I do Volume 2).
As acoes variaveis que produzem efeitos favoraveis nao sao
consideradas como atuantes na estrutura.
Os valores caracterfsticos das acoes permanentes
correspondem avariabilidade existente em um conjunto de estruturas
analogas. Para essas acoes, 0 valor caracterfstico e 0 valor medic,
correspondente ao quantil de 50%, seja quando os efeitos forem
favoraveis, seja quando os efeitos forem desfavoraveis'I",
No caso dos ediffcios, as acoes permanentes caracterfsticas
podem ser obtidas a partir dos pesos especfficos dos materiais de
construcao fornecidos na NBR-6120 (Apendice I do Volume 2).
No caso das acoes excepcionais, os valores caracterfsticos sao
valores convencionais que devem ser estabelecidos pOl' consenso
entre 0 proprietario da obra e as autoridades competentes.
Nas verificacoes relativas aos estados Iimites iiltimos, quando
existirem acoes variaveis de diferentes origens, adotam-se va/ores
reduzidos de combinaciio dados por If0 Fk . Os coeficientes If0 < 1,
definidos para cada a~i.io variavel em particular, levam em conta que
e pequena a probabilidade de ocorrencia simultanea dos valores
caracterfsticos de acoes variaveis de origens diferentes.
2.3 - A~oes de calculo e combinacoes de a~oes
As acoes de calculo Fd sao obtidas multiplicando-se os seus
valores caracteristicos pelos coeficientes parciais de seguranca rI'
No estado limite ultimo, pode-se ainda considerar rI = rfl rf2'
onde rII leva em conta a variabilidade das acoes e rr: considera
os possfveis erros de avaliacao dos efeitos das a~6es, por exemplo,
por deficiencia do metodo de calculo empregado.
66 Curso de Concreto Armada
Para identificar 0 tipo de a~ao considerada, 0 coeficiente Yf
pode ser representado por Yg para as acoes permanentes, por rq
para as acoes variaveis diretas e por YE: para as deformacoes
irnpostas. Esses coeficientes sao fornecidos na NBR-868l para as
diferentes cornbinacoes de acoes consideradas no projeto.
Urn carregamento e definido pela combinacao das acoes que
tern probabilidade nao desprezfvel de atuarern simultaneamente
sobre a estrutura, durante urn deterrninado periodo, As combinacoes
devern ser feitasde diferentes maneiras, de forma que possam ser
deterrninados os efeitos rnais desfavoraveis para a estrutura. Em cada
cornbinacao, considerarn-se os valores caracterfsticos integrais das
acoes perrnanentes e os valores reduzidos de cornbinacao das acoes
variaveis ou excepcionais.
As verificacoes relativas aos estados limites ultimos e aos
estados limites de utilizacao sao feitas para as cornbinacoes ultimas e
para as combinacoes de utilizacao, respectivamente. As combinacoes
de utilizacao sao apresentadas no capftulo 6 do Volume 2.
Em funcao das cornbinacoes ultirnas admitidas, sao definidos
os seguintes tipos de carregamento: carregamento normal,
carregarnento especial, carregamento de construcao e carregamento
excepcionaI.
a) Carregamento normal
E 0 carregarnento decorrente do uso previsto para a
construcao, admitindo-se que ele possa ter uma duracao igual avida
iitil da estrutura. Neste caso, devem ser considerados os valores
caracterfsticos das acoes permanentes e as cornbinacoes das diversas
acoes variaveis envolvidas. Em cada cornbinacao, uma das acoes
variaveis e considerada como a principal, admitindo-se que ela atue
com 0 seu valor caracteristico Fk . As demais acoes variaveis atuam
com os seus valores reduzidos de cornbinacao lj/oFk '.
Assim, se na estrutura atuam m acoes permanentes
caracterfsticas Fgk . j juntamente com n acoes variaveis Fqk •i , a
Fundcnncntos c!l' scguranca das cstruturas de concreto annada 67
a<;ao de calculo Fd a ser considerada no estado limite ultimo edada
por
III II
Fd = L Yg.jFgk. j + r.,Fqk.l + LYq.ilf/oiFqk.i
j=1 i=2
(2.3.1)
onde Fqk.l e 0 valor caracterfstico da a<;ao variavel considerada
como principal e 'l/oiFqk.i representa os valores reduzidos de
combinacao das demais acoes variaveis (consideradas secundarias),
as valores de '1/oi sao dados na tabela 2.3.1.
b) Carregamento especial e de construcdo
as carregamentos especiais sao transitorios, com uma duracao
muito pequena em relacao a vida uti! da estrutura, e seus efeitos
podem superar os efeitos produzidos pelo carregamento normal. a
carregamento de construcao e urn carregamento transit6rio
decorrente das diferentes etapas do processo construtivo, sendo
considerado apenas quando ha risco de ocorrencia do estado limite
nessa fase.
Nesses casos, a a<;ao de calculo edada por
III II
Fd = LYg.jFgk. j + Yq.lFqk.l + LYq.i'l/Oi.e.fFqk.i
j=1 i=2
(2.3.2)
onde Fgk , j representa os valores caracterfsticos das acoes
perrnanentes, Fqk.l e 0 valor caracterfstico da ac;ao variavel especial
e 'l/oi.e( e 0 fator de cornbinacao efetivo de cada uma das demais
acoes variaveis na situacao transitoria,
Em geral, 'l/oi.ef = 'l/oi' onde 'l/oi e 0 fator de combinacao
adotado para 0 carregamento normal. Entretanto, quando 0 tempo de
68 Curso de Concreto Armada
atuacao da a<;ao principal Fqk.l for muito pequeno, If/oi.ef = If/2i '
sendo If/2i dado na tabela 2.3.1.
do limi '1'dTbl 231 Fa e a .. - atores e com macae no esta 0 mute u timo
A~oesVariaveis Ijf() 'h
Variacoes uniformes de temperatura 0,6 0,3
Pressao dinamica do vento 0,6
°Cargas acidentais dos ediffcios quando nao ha 0,5 0,3
predorninancia de pesos de equipamentos que
permanecem fixos por longos perfodos de tempo,
nem de elevadas concentracoes de pessoas
(ediffcios residenciais)
Cargas acidentais dos ediffcios, nos casos 0,7 0,4
contraries (ediffcios comerciais e de escrit6rios)
Cargas acidentais em bibliotecas, arquivos, oficinas 0,8 0,6
e garagens
c) Carregamento excepcional
o carregamento excepcional e transit6rio, com uma duracao
extremamente curta, podendo provocar efeitos catastr6ficos. Ele
deve ser considerado no projeto quando a ocorrencia das acoes
excepcionais nao possa ser desprezada e quando, na concepcao do
projeto, nao possam ser tomadas medidas para minimizar os efeitos
dessas acoes. Este e 0 caso, por exemplo, de acoes sfsrnicas em
barragens. Mesmo em regioes de baixa atividade sismica, essa a<;ao
deve ser considerada, pois a rufna de uma grande barragem pode
causar danos extraordinarios.
Nesse caso, a a<;ao de calculo edada por
m n
r, ="LYg.jFgk,j + F q.ex, + "LYq,i'f/oi.efFqk,i
j=l i=2
(2.3.3)
onde Fq.exc e 0 valor representativo da a<;ao transit6ria excepcional
e os demais termos sao os mesmos ja definidos anteriormente. ,
Fundamentos de seguranca das estruturas de concreto armado 69
Os coeficientes parciais de seguranca, Ys , majoram as acoes
permanentes quando elas provocam efeitos desfavoraveis para a
estrutura. Em caso contrario, eles sao tornados com 0valor Yg = 1.
Na tabela 2.3.2, encontram-se os valores de Ys recomendados
pela NBR-6118 para as acoes permanentes de urn modo geraJ. Para
as cargas permanentes de pequena variabilidade, como 0 peso
proprio da estrutura, especialmente as pre-moldadas, 0 coeficiente
Yg = 1,4 pode ser reduzido para Yg = 1,3.
Tbl232 C ficia e a .- . - oe rcien es parciars para as acoes permanentes
Carregamentos Para efeitos Para efeitos
desfavoraveis favoraveis
Normais Yg =1,4 r« =1,0
Especiais ou de Yg =1,3 r« =1,0
construcao
Excepcionais r, =1,2 Yg =1,0
Os coeficientes Y£ a serem aplicados as acoes permanentes
indiretas (recalques de apoio e retracao) sao indicados na tabela
2.3.3.
Tabela 2.3.3 - Coeficientes parciais para os efeitos de recalques
d . de apoio e e retracao
Carregamentos Para efeitos Para efeitos
desfavoraveis favoraveis
Normais Y£ =1,2 Y£ =0
Especiais ou de Y£ = 1,2 Y£ =0
construcao
Excepcionais Y -0 Y -0£- £-
Os coeficientes parciais Yq majoram os valores
representativos das acoes vanaveis que provocam efeitos
desfavoraveis para a seguranca da estrutura. Quando a acao variavel
70 Curso de Concreto Armada
provoca urn efeito favoravel ela nao e considcruda na combinucao
das acoes. Esses coeficientes sao indicados na tabcla 2..\.-L de acordo
com a NBR-6118.
Tbl 234 C fi'a e a - oe icientes parciais para as acoes vanaveis
Carregamentos Acoes variaveis em Acao variavel
geral, inclufdas as ternporaria
cargas acidentais (variacao de
m6veis temperatura)
Normais Yq =1,4 YE =1,2
Especiais ou de Yq =1,2 YE =1,0
construcao
Excepcionais Yq =1,0 Y -0E-
o nfvel d'agua adotado para calculo de reservat6rios deve ser
igual ao maximo possfvel compativel com 0 sistema de extravasao,
considerando apenas 0 coeficiente Yq = 1,1 .
Como exemplo de aplicacao, considera-se 0 caso dos ediffcios
residenciais submetidos as seguintes acoes caracteristicas:
Ac;6es permanentes:
Fgk =cargas permanentes; FEgk =retracao.
Ac;6es variaveis:
Fqk.l = carga acidental; Fqk.2 = vento; FEqk = variacao de
temperatura.
Neste caso, devem ser verificadas pelo menos as duas
cornbinacoes iiltimas normais indicadas a seguir:
Combinac;ao I: a carga acidental ea acao variavel principal
A ac;ao de calculo edada pOI'
Fundiuucntos til' .\Cgll/'W/(li tlt/S cstruturas tie concreto arnuulo 71
Fd = (l,4Fgk +1,2Fegk )+ l,4Fqk .1 +
(1,4xO,6Fqk.2 +1,2xO,6Feqk )
(2.3.4)
onde se observam os diferentes valores para os coeficientes parciais
de seguranca e para os coeficientes de combinacao das diversas
acoes.
Combinac;ao 2: 0 vento ea a<;ao variavel principal
Neste caso, a a<;ao de calculo edada por
Fd = (l,4Fgk +1,2Fegk )+ 1,4Fqk•2 +
(I,4xO,5Fqk .l +1,2xO,6Feqk )
(2.3.5)
No caso de ediffcios residenciais, de escritorios e casas
comerciais nao destinadas a depositos, permite-se reduzir os efeitos
da carga acidental FqkJ nos pilares e nas fundacoes para levar em
conta a pequena probabilidade de todos os andares estarem
completamente carregados ao mesmo tempo. Isso pode ser feito
reduzindo-se as cargas acidentais com os percentuais indicados na
tabela 2.3.5.
Tabela 2.3.5 - Reducao das cargas acidentais para a obtencao
f . I NBR 6120das orcas normals nos pi ares (
-
)
Ntimero de pisos que atuam Reducao das cargas
sobre 0 elemento acidentais (%)
1,2 e 3 0
4 20
5 40
6 ou mais 60
Para efeito de aplicacao da tabela 2.3.5, 0 forro econsiderado
como piso.
Nos procedimentos de projeto, e usual separar a estrutura dos
ediffcios em duas subestruturas com funcoes distintas. Uma
72 Curso de Concreto Armada
subestrutura, composta por elementos de maior rigidez, tem por
finalidade resistir as acoes do vento, bem como servir de
contraventamento para 0 ediffcio, Esta e a denominada subestrutura
de contraventamento (ver Volume 3). A outra subestrutura,
denominada subestrutura contraventada, resiste apenas ao
carregamento vertical, devido as cargas permanentes e as cargas
acidentais.
Logo, os esforcos na subestrutura de contraventamento devem
ser calculados para as combinacoes de acoes dadas nas expressoes
(2.3.4) e (2.3.5). Em muitos casos, os efeitos da retracao e da
temperatura podem ser desprezados.
Em geral, para a subestrutura contraventada, podern-se
considerar apenas as cargas permanentes e a carga acidental. Nestes
casos, a a~ao normal de calculo edada por
(2.3.6)
onde Fgk representa as acoes permanentes (peso proprio da
estrutura, alvenarias, revestimentos, etc.) e Fqk.l representa as cargas
acidentais (definidas na NBR-6l20 em funcaodo tipo de edificacao),
as coeficientes parciais de seguranca sao rg = 1,4 e
Yq = 1,4 , como se observa nas tabelas 2.3.2 e 2.3.4.
Assim, quando os calculos forem feitos para 0 carregamento
total (sem a separacao das cargas em permanentes e acidentais, como
eusual), a carga de calculo Fd edada pOI'
(2.3.7)
onde Fk ea carga total caracteristica (ou de service) e Yf = 1,4.
Deve ser salientado que, de um modo geral, os coeficientes
parciais Yf devem ser introduzidos para ponderar as acoes
caracterfsticas, como foi feito anteriormente. Apos a obtencao das
acoes de calculo e que sao determinados os esforcos solicitantes de
calculo, os quais sao empregados no dimensionamento da estrutura.
Fundatnentos de seguranca das estruturas de concreto armado 73
Entretanto, se os esforcos solicitantes forem obtidos atraves de
uma analise linear, os coeficientes Yf podem ser aplicados
diretamente aos esforcos solicitantes caracterfsticos. De fato, se a
analise e linear, urn esforco solicitante generico S e diretamente
proporcional ao carregamento dado. Assim, se 0 carregamento de
calculo for Pd =Yf Pk ' onde Pk representa as cargas de service, 0
esforco de calculo Sd sera
(2.3.8)
onde ceo fator de proporcionalidade entre as cargas e 0 esforco
solicitante.
Fazendo a analise com as cargas de service Pk ' resulta 0
esforco caracterfstico (ou de service), Sk ' dado por
(2.3.9)
Comparando as equacoes (2.3.8) e (2.3.9), verifica-se que
Sd = Yf S k . Neste caso, tanto faz aplicar Yf nas cargas de service
e obter diretamente os esforcos de calculo, quanto obter os esforcos
de service e depois introduzir os coeficientes Yf .
Quando a analise for nao linear, seja pela nao Iinearidade
ffsica, decorrente do comportamento mecanico dos materiais, seja
pela nao linearidade geometrica, decorrente das alteracoes da
geometria da estrutura, resulta Sd :I:- Yf Sk . Nesses casos, Yf deve
ser aplicado diretamente sobre as cargas de service.
Para as vigas e as lajes, e suficiente adotar uma analise linear
para 0 calculo dos esforcos solicitantes. Nesses casos, trabalha-se
com as cargas de service, obtendo-se os esforcos solicitantes de
service. Os esforcos solicitantes de calculo sao determinados quando
do dimensionamento das armaduras. No caso dos pilares, para os
quais e necessario considerar as niio linearidades, deve-se trabalhar
diretamente com as cargas de calculo,
, 74 CUfSO de Concreto Annada
Exemplo I: Calculo de vigas
Considere-se a viga biapoiada indicada na fig. 2.3.1,
submetida a uma carga uniformemente distribufda.
A maneira correta de se efetuar a analise da viga econforme
consta na alternativa I. Neste caso, a viga ecarregada com a carga de
calculo Pd = rf Pk . 0 momenta fletor de calculo na secao central
da viga vale
onde l e0 vao.
') /2p//- r»,
M d =-'8-=---'::"'-8-- (2.3.10)
Alternativa 1 Alternativa 2
Fig. 2.3.1 - Viga biapoiada com carga uniforme
Entretanto, se a viga for analisada para a carga de service Pk '
conforme a alternativa 2, obtern-se 0 momenta fletor de service
(2.3.11 )
Comparando as equacoes (2.3.10) e (2.3.11), verifica-se que
M d = rf M k : Relacoes analogas sao obtidas para 0 esforco
cortante e para as reacoes de apoio.
Neste caso, pode-se resolver a viga para as cargas de service e,
ao final dos calculos, multiplicar osesforcos solicitantes pelo
coeficiente rf . As duas alternativas de calculo levarao aos mesmos
resultados finais.
Futidamentos de seguranca das estruturas de concreto armada 75
Exemplo 2: Calculo de pilares
Na fig. 2.3.2 apresenta-se um pilar submetido a uma forca
normal com uma excentricidade inicial e, .
Alternativa 1 Alternativa 2
Fig. 2.3.2 - Pilar com forca normal excentrica
No procedimento correto de analise, 0 pilar e submetido a
forca normal de calculo ~I = rf Pk , conforme a alternativa I.
Devido a excentricidade el, 0 pilar esta sob flexao composta. A
tlecha maxima na secao central do pilar vale Wd e depende da forca
de calculo ~/' 0 momento tletor de calculo na secao central do
pilar, em sua configuracao deformada, edado por
(2.3.12)
Adotando a alternativa 2, pode-se determinar 0 momenta tletor
de service
(2.3.13)
'76 Curso de Concreto Armada
onde Wk ea flecha na secao central do pilar, correspondente aforca
de service Pk .
Comparando as equacoes (2.3.12) e (2.3.13), verifica-se que
M d > YfM k » pois Wd > Wk' Neste caso, a iinica alternativa
correta ea alternativa I. A alternativa 2 fica contraria aseguranca e
nao deve ser empregada.
2.4 . Resistencias de calculo
As resistencias de calculo dos materiais (aco e concreto) sao
obtidas, dividindo-se as resistencias caracteristicas pOl' urn
coeficiente parcial de seguranca. Assim, para 0 concreto adota-se a
resistencia de calculo acornpressao fed' dada por
f. - fek. cd ---
Ye
(2.4.1)
onde fck e a resistencia caracteristica a compressao e Ye e 0
coeficiente de minoracao da resistencia.
o coeficiente Yc cobre os desvios das dimensoes dos
elementos estruturais, bern como as diferencas entre as resistencias
obtidas em laborat6rio e as resistencias do concreto na estrutura real.
Conforme foi visto no capftulo I, a resistencia do concreto
sofre uma reducao em virtude da duracao do carregamento (efeito
Rusch). Assim, no dimensionamento dos elementos estruturais deve-
se trabalhar com uma resistencia de calculo aed = afed' onde
a < 1. Segundo a NBR-6118, a =0,85 quando a largura da secao
transversal, medida paralelamente a linha neutra, nao diminuir a
partir desta para a borda comprimida (caso de secoes retangulares,
por exemplo). Nos casos contraries, deve-se adotar a =0,80.
A tensao de escoamento de calculo dos acos, t,«. edada por
frkfwl =-"-
. Y
s
(2.4.2)
FlllldWI/C'IIII1S de ,ICglllWI('CI das cstruturas de concreto annada 77
onde fyk e a tensao de escoamento caracterfstica e rs e 0
coeficiente de minoracao,
Os valores de rc e rs' indicados na NBR-6118, sao
apresentados na tabela 2.4.1 .
Para a execucao de pecas nas quais estejam previstas
condicoes desfavoraveis (como mas condicoes de transporte,
adensamento manual ou concretagem prejudicada por concentracao
de armadura), 0 coeficiente rc deve ser multiplicado por 1,1.
Tabela 2.4.1 - Coeficientes parciais rc e rs
Carregamentos Concreto ( rc ) Ago (rs)
Normais 1,4 1,15
Especiais ou de 1,2 1,15
construcao
Excepcionais 1,2 1,0
2.5 . Avaliacao da seguranca estrutural
Dentro do que foi apresentado anteriorrnente, a seguranca
estrutural e obtida atraves da introducao dos coeficientes de
ponderacao r.r, rc e rs e, por isso, esse metodo de projeto e
denominado metoda dos coeficientes parciais de seguranca. Nas
estruturas usuais, a seguranca e verificada isoladamente em relacao a
cada urn dos esforcos solicitantes (momento f1etor, esforco normal,
esforco cortante e momenta torcor). Assim, se Sd representa os
esforcos solicitantes de calculo, a seguranca e garantida desde que
(2.5.1)
onde Rd representa os esforcos resistentes no estado limite ultimo,
obtidos corn as resistencias de calculo.
Esse metoda leva em conta as caracteristicas probabilfsticas do
problema. De fato, os valores representativos das variaveis
envolvidas no projeto sao definidos a partir de suas distribuicoes de
78 Curso de Concreto Armada
probabilidades. Assim, as resistencias dos materiais e as acoes sao
consideradas variaveis aleat6rias.
Entretanto, algumas quest6es sao tratadas de uma maneira
determinfstica. POl' exemplo, nenhuma referencia e feita as variacoes
das resistencias dos materiais no domfnio da estrutura, ou seja,
consideram-se as mesmas resistencias em todos os pontos da
estrutura. Da mesma forma, as condicoes de vinculacao e as posicoes
das cargas sao consideradas deterrninisticas. Assim, as secoes crfticas
sao fixadas a priori. POI' exemplo, em uma viga com armadura
longitudinal constante, admite-se que a ruptura por flexao ocorre na
sec;ao onde 0 momenta fletor solicitante e maximo. Na verdade, a
ruptura pode ocorrer em uma secao que nao seja a de maior momenta
solicitante, desdeque esta seja uma se~ao menos resistente. Observa-
se, assim, que 0 metodo dos coeficientes parciais e urn metodo
semiprobabilistico.
A adocao do metoda dos coeficientes parciais de seguranca,
apesar de ser conveniente do ponto de vista pratico, nao e suficiente
para que se tenha uma ideia clara a respeito do nfvel de seguranca
obtido no projeto. De fato, a seguranca da estrutura depende do seu
comportamento frente as acoes, 0 que envolve uma interdependencia
das diversas variaveis aleat6rias.
Uma avaliacao consistente do nfvel de seguranca requer 0
calculo da probabilidade de 0 estado limite ultimo ser alcancado.
Essa probabilidade, denominada probabilidade de falha, pode ser
estimada quando se conhece a distribuicao de alguma variavel
aleat6ria que represente certa margem de seguranca da estrutura.
Infelizmente, nem sempre e possfvel, ou pelo menos pratico, obter
essa distribuicao de probabilidade.
Urna alternativa para a avaliacao do nfvel de seguranca
consiste na deterrninacao do indice de confiabilidade. Esse fndice
leva em conta todas as variaveis aleat6rias envolvidas e,
principalmente, a maneira como a estrutura se comporta frente as
acoes, Apesar de nao ficar explfcito, 0 Indice de confiabilidade esta
associado a uma determinada probabilidade de falha.
A seguranca de uma estrutura pode ser avaliada comparando-
se sua capacidade de carga com as acoes que a solicitam. A diferenca
entre elas e uma medida da distancia ao estado limite ultimo. Uma
vez que tanto a capacidade de carga, quanto as a~6es solicitantes, sao
variaveis aleat6rias, 0 problema deve ser formulado em termos de
alguma probabilidade.
Fundantentos de seguranca das estruturas de concreto armado 79
Seja ~I uma variavel aleatoria representando a capacidade de
carga da estrutura. Evidentemente, ~I depende de todas as variaveis
aleatorias basicas que contribuem para a resposta estrutural, como as
resistencias dos materiais, as dirnensoes dos elementos estruturais,
etc. Logo,
~I =~I(XJ, i =I,....n (2.5.2)
onde Xi' com i=l, ....n , sao as variaveis aleatorias basicas que
contribuem para a capacidade de carga.
Se P, representa as acoes impostas a estrutura, a
probabilidade de falha, Pf, ea probabilidade que as acoes superem
a capacidade de carga, isto e,
(2.5.3)
Inversamente, a confiabilidade c, isto e, a probabilidade de
nao ocorrencia do estado limite ultimo, edada por
(2.5.4)
Esse problema pode ser formulado, por exemplo, em termos
da margem de seguranca. A margem de seguranca, M , e definida
como M = ~I - p.~, sendo ela propria uma variavel aleatoria, Neste
caso, a falha corresponde aocorrencia do evento M < O.
Se f M (m) representa a distribuicao de probabilidade de M ,
a probabilidade de falha edada por
(2.5.5)
Admitindo-se que a margem de seguranca tem uma media
11M e urn desvio padrao aM e definindo a variavel reduzida
s = (m - I'M )/aM ' a equacao (2.5.5) pode ser escrita na forma
80 Curso de Concreto Annada
(2.5.6)
onde j3 =11M IaM e 0 indice de confiabilidade.
Observa-se que, quanta maior for 0 valor de j3, menor sera a
probabilidade de falha, independentemente da distribuicao fM(s).
Por isso, 0 fndice j3 e uma medida importante do nivel de
seguranca ja que, ao menos qualitativamente, ele da uma ideia sobre
a confiabilidade da estrutura.
Para mostrar como obter 0 Indice de confiabilidade, considera-
se 0 caso elementar do dimensionamento de uma secao de concreto
simples submetida a urn esforco normal de compressao. Se Pk e a
forca normal de cornpressao caracterfstica, a area da secao
transversal, Ae , obtida no dimensionamento e dada por
A = ~I
e 0,85fed
onde ~I =rfPk e fed = f;'k Ire·
A margem de seguranca e obtida da expressao
M =0,85Aefe - P
(2.5.7)
(2.5.8)
onde I, e a resistencia a compressao do concreto e Pea forca
normal solicitante.
Admitindo-se que I, e P sao independentes e tern
distribuicao normal de probabilidades, a media 11M e dada por
11M =0,85Aefe/ll - ~II (2.5.9)
onde fem e a resistencia media acornpressao e ~II e 0 valor medic
da forca normal solicitante.
o desvio padrao aM e obtido da relacao
Fundanicutos de S£'.~II/WI(O das (,s(I"II(lIr(/,\' de concreto annada 81
(2.5.10)
onde a.fc e 0 desvio padrao da resistencia e (J'p e 0 desvio padrao
da forca normal solicitante.
Entao, dados os valores caracterfsticos f~k e Pk , obtem-se a
area da secao transversal de concreto com 0 emprego da equacao
(2.5.7). Se V,fe =a fej t.; e 0 coeficiente de variacao da
resistencia, tern-se t.; = !c'kj(I-I,645V,fe)' Se Vp = ap/~n eo
coeficiente de variacao da forca normal, tem-se
~n = Pk/(l +1,645Vp ) . Dessa forma, dados Vfe e Vp podem-se
obter todos os termos das equacoes (2.5.9) e (2.5.10) e calcular 0
Indice de confiabilidade f3 = liM / aM'
Na fig. 2.5.1, apresentam-se os resultados obtidos
considerando os coeficientes parciais de seguranca Yf = 1,4 e
Yc = 1,4. Nessa figura, admite-se urn concreto com fck = 20 MPa e
uma forca normal caracterfstica Pk = 300 kN. 0 coeficiente de
variacao da forca normal e Vp = 0,1 e 0 valor medic correspondente
e ~I/ = 257,62 kN.
Conforme se observa na fig. 2.5.1, 0 Indice de confiabilidade
diminui com 0 crescimento do coeficiente de variacao da resistencia
do concreto, Vfe' Isso indica que 0 metodo dos coeficientes parciais
de seguranca introduz diferentes mveis de confiabilidade,
dependendo da variabilidade das variaveis de projeto.
Entretanto, 0 Indice de confiabilidade e relativamente alto.
Para urn concreto com V,fc = 0,2, esse Indice e f3 = 3,5. Sabendo
que, neste caso, a margem de seguranca tambem e normalmente
distribufda, a probabilidade de falha pode ser obtida integrando a
equacao (2.5.6). Feito isto, resulta P] =10-4
Na fig. 2.5.2, apresenta-se a variacao da probabilidade de falha
com 0 Indice de confiabilidade (considerando uma distribuicao
normal para a margem de seguranca).
82
12
Q) 10
"0
CO
"0
:0 8
CO
;;=
c
0 6
o
Q)
"0
Q) 4
o
'5
,E
2
Curso de Concreto Armada
-ft fCk=2m Par--- 1--.----Pk=~OOkN; Vp=0,1
\
;
""
13==3,5
r:
<,
<,
---
o
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Coeficiente de variacao Vtc
Fig. 2.5.1 - Efeito da variabilidade da resistencia do concreto
no fndice de confiabilidade
10
r-, pt=1 p-s
.':
'\
I\.
\
,
I-20
o
o
ci: -5
Q)
"0
~
~ -10
~
'E
.§> -15
2 4 6 8
Indice deoonfiabilidade
Fig. 2.5.2 - Variacao da probabilidade de falha com
o fndice de confiabilidade
Fundamentos de seguranca das estruturas de concreto armado 83
No problema anterior (secao de concreto simples sob
compressao centrada), foi bastante facil encontrar 0 Indice de
confiabilidade correspondente aos criterios de projeto adotados.
Entretanto, em situacoes mais gerais nem sempre e tao simples
calcular esse indice. Nesses casos, podem-se adotar metodos
numericos de otimizacao (denominados metodos de confiabilidade)
ou podem-se empregar simulacoes (rnetodo de Monte Carlo) para
avaliar 0 Indice de confiabilidade.
o metodo de Monte Carlo foi empregado pelo Autor(23.24.251
para avaliar os indices de confiabilidade obtidos com os
procedimentos de projeto de vigas e pilares, recomendados pelo CEB
e pela NBR-6118. Nesses estudos verificou-se que, na grande
maioria dos casos, 0 fndice de confiabilidade esuperior a 4. Mesmo
em casos extremos de variabilidade da resistencia acornpressao do
concreto, 0 Indice de confiabilidade foi superior a 3,5, indicando
uma probabilidade de falha inferior a 10-4 .
Da analise realizada, conclui-se que os valores dos
coeficientes parciais de seguranca, rf' rc e rs ' recomendados
anteriormente sao suficientes para assegurar uma probabilidade de
falha pequena. Porem, nao e uma tarefa simples, muito menos
comoda, estabelecer limites aceitaveis para a probabilidade de falha.
Isto decorre das consequencias que a ruina de uma estrutura pode
trazer. Alern dos prejuizos economicos, vidas humanas podem ser
perdidas e, neste caso, nao epossfvel quantificar 0 dano causado pela
falha da estrutura.
Entretanto, deve ficar claro que, reconhecendo 0 carater
aleatoric das variaveis envolvidas, e impossfvel projetar uma
estrutura absolutamente segura. Como se observa na equacao (2.5.6),
a probabilidade de falha so sera nula quando f3 ~ 00 • Da definicao
do Indice de confiabilidade, verifica-se que essa condicao so seria
possivel se u M > 0 e se todas as variaveis fossem deterministicas
(caso em que aM =0). Evidentemente, essa nao e uma situacao
real.
Assim, apesar das dificuldades levantadas, e necessario
estabelecer uma probabilidade de falha limite, ou seja, e necessario
aceitar certo risco de insucesso. Reconhecendo a subjetividade da
84 Curso de Concreto Annada
questao, 0 CEBI78(-I1 sugere a udocao dos valores de rclcrencia
constantes na tabela 2.5.1.
T b I 25 I P b bilid d d f Iha i licia e a - 1'0 all a es e a a rmpucitamente acertas
Niimero de Consequencias Consequencias Consequencias
pessoas econornicas economicas economicas
atinzidas pequenas graves muito graves
pequeno 10-3 10--1 10-5
medic 10-4 10-5 10-6
grande 10-5 10-6 10-7
Nos casos correntes, pode-se aceitar uma probabilidade de
falha da ordem de 10-5, 0 que requer urn Indice de confiabilidade
aproximadamente igual a 4. Os atuais procedimentos de projeto, com
os coeficientes parciais YJ = 1,4, Yc = 1,4 e Ys = 1,15, garantem a
obtencao desse Indice na maioria das situacoes de interesse.
Entretanto, quando necessario, os coeficientes parciais podem ser
ajustados para assegurar 0 nivel de confiabilidade requerido.
Capitulo 3
FLEXAO NO:Q.MAL SIMPLES
Dimensionamento de Se~oes Retangulares
3.1 - Hipoteses basicas do dimensionamento
As hip6teses basicas admitidas no dimensionamento de uma
secao transversal de concreto armado, submetida Ii flexao simples ou
composta, sao as seguintes:
a) Hip6tese das selt6es planas
Admite-se que uma secao transversal ao eixo do elemento
estrutural indeformado, que inicialmente era plana e normal a esse
eixo, permanece nessa condicao ap6s as deformacoes do elemento.
Essa e a hip6tese fundamental da teoria de flexao de barras esbeltas.
Em consequencia da hip6tese das secoes planas, resulta uma
distribuicao linear das deforrnacoes normais ao lange da altura das
secoes transversais. Assim, a deformacao em uma fibra generica da
secao e diretamente proporcional a sua distancia ate a linha neutra.
b) Aderencia perfeita
Admite-se a existencia de uma aderencia perfeita entre 0
concreto e 0 aco, ou seja, nenhum escorregamento da armadura e
considerado. Com isso, as armaduras vao estar sujeitas as mesmas
deformacoes do concreto que as envolve. Logo, a deformacao em urn
ponto da sec;ao transversal sera calculada de acordo com a hip6tese .!!,
independentemente de este ponto corresponder ao aco ou ao
concreto.
c) Concreto em tra£ao
86 Curso de Concreto Armada
Despreza-se totalmente a resistencia it tracao do concreto.
Com isso, todo 0 esforco de tracao e resistido pelas armaduras.
Essa hipotese e perfeitamente justificada em vistada baixa
resistencia it tracao do concreto. De fato, 0 concreto tracionado so e
importante nas condicoes de service da estrutura. No estado limite
ultimo, para 0 qual se faz 0 dimensionamento, 0 concreto tracionado
da uma colaboracao muito pequena para a resistencia.
3.2 - Diagramas tensao-deformacao dos materiais
a) Concreto em compressao
Conforme foi mostrado no capitulo I, 0 diagrama tensao-
deformacao do concreto, obtido em urn ensaio de cornpressao
simples, enao linear desde 0 infcio do carregamento. De acordo com
a NBR-6118, para efeito de dimensionamento, pode-se adotar 0
diagrama parabola-retangulo indicado na fig. 3.2.1. Esse diagrama
tambem erecomendado pelo CEB.
Fig. 3.2.1 - Diagrama parabola-retangulo
o diagrama tensao-deformacao e descrito pelas seguintes
expressoes:
Flexiio normal simples - dimensionatnento de secoes retangulares 87
(3.2.1)
(3.2.2)
(3.2.3)
onde Co =0,002(=2%), Cu =0,0035(=3,5%0), ce e a
deforrnacao de cornpressao e ace a tensao correspondente.
Conforme se observa, a maxima tensao de cornpressao e igual
a 0,85fed' sendo fed a resistencia acornpressao de calculo.
b) AlioS para concreto armado
De acordo com a NBR-6118, pode-se adotar 0 diagrama
tensao-deformacao indicado na fig. 3.2.2, para os acos com ou sem
patamar de escoamento. Admite-se identico comportamento em
tracao e cornpressao.
Fig. 3.2.2 - Diagrama tensao-deforrnacao dos acos
As relacoes tensao-deforrnacao para os acos sao as seguintes:
88 Curso de Concreto Annada
(3.2.5)
onde £s e a deformacao (com 0 sinal positivo) e as e a tensao
correspondente.
A deforrnacao de escoamento de calculo, £.w/' edada por
f)'{/
£\'(/ =-'-
. E
s
(3.2.6)
sendo Es 0 modulo de elasticidade e /.\'(/ a tensao de escoamento
de calculo do ace.
Neste livro, adota-se E,)' = 20.000 kN/cm2, como ja foi
discutido no capitulo I.
3.3 - Dominios de dimensionamento
o estado limite ultimo, correspondente a ruina de uma secao
transversal, pode ocorrer por ruptura do concreto ou por uma
deforrnacao excessiva da armadura. Admite-se a ocorrencia da rufna,
quando a distribuicao das deformacoes ao longo da altura de uma
secao transversal se enquadrar em urn dos domfnios da fig. 3.3.1.
Os dornfnios caracterizam os seguintes tipos de ruina:
a) deforrnacao excessiva da armadura: quando a deformacao na
armadura mais tracionada atingir 0 valor 10%0 (dornfnios I e 2);
b) esmagamento do concreto em secoes parcialmente comprimidas:
quando a deforrnacao na fibra mais comprimida atingir 0 valor
3,5%0 (domfnios 3, 4 e 4a);
c) esmagamento do concreto em secoes total mente comprimidas:
quando a deformacao na fibra situada a 3h/7 da borda m.iis
comprimida atingir 0 valor 2 %0' sendo h a altura da seca.
(domfnio 5).
Flexiio normal simples - dimensionamento de secoesretangulares 89
h
Cyd t + -racao compressao
Fig. 3.3.1 - Domfnios de dimensionamento
Alem disso, nesses dominios distinguem-se as seguintes
solicitacoes:
- reta a: tracao uniforme;
- dominic I: tracao nao uniforme (flexo-tracao) sem tens6es de
compressao;
- dominio 2: flexao simples ou composta sem ruptura a compressao
do concreto (CC < 3,5%J e com 0 maximo alongamento permitido
para as armaduras (CS = 10%J; .
- domfnio 3: flexao simples ou composta com ruptura acompressao
do concreto e com escoamento do aco (cs ;::: cyd ):
- domfnio 4: flexao simples ou composta com ruptura acornpressao
do concreto e 0 aco tracionado sem escoamento (CS < cyd);
- domfnio 4a: flexao composta com armaduras comprimidas;
- dominic 5: compressao nao uniforme (flexo-cornpressao), sem
tens6es de tracao;
- reta b: cornpressao uniforme.
Logo, na flexao simples a ruptura pode ocorrer nos domfnios
2, 3 e 4. Na flexo-tracao, podem ocorrer os domfnios I, 2, 3 e 4 e, na
90 Curso de Concreto Armada
flexo-compressao, os dominios possiveis van do 2 ao 5. Essas
restricoes decorrem das condicoes de equilfbrio da secao transversal.
Considere-se, por exemplo, a secao da fig. 3.3.2 submetida a
flexao simples. Para haver 0 equilfbrio, e necessario que uma parte
da secao esteja comprimida e outra parte esteja tracionada. Dessa
forma, a resultante das tensoes de cornpressao no concreto, R('(',
juntamente com a resultante de tracao nas armaduras, Rsd ' podem
formar urn binario capaz de equilibrar 0 momenta fletor solicitante
de calculo Md' as dornfnios 2, 3 e 4 sao os unicos onde e possfvel
obter essa condicao.
1-- -1 5
Ree
z
• •
Fig. 3.3.2 - Equilfbrio em flexao simples
Secao 5
Na fig. 3.3.3, estao indicados os domfnios correspondentes a
flexao simples.
Em funcao do tipo de ruptura em flexao simples, as pecas de
concreto armado podem ser c1assificadas como subarmadas,
normalmente armadas e superarmadas.
F!l'xt/o normal .Iil/I/I/I'S - dhnensionamcnto de s('{'(IeS retuugularcs 91
h
Eyd
Fig. 3.3.3 - Dornfnios possfveis em flexao simples
Pe<;as subarmadas: sao aquelas que, por possufrem uma taxa de
armadura muito pequena, rompem no domfnio 2. Neste caso, a
ruptura ocorre por deforrnacao excessiva da armadura (ruptura
convencional) sem haver 0 esmagamento do concreto. 0 tipo de
ruptura e drictil, tambern denominado de ruptura com aviso previo,
em virtude da intensa fissuracao que precede a ruptura.
Pe<;as normal mente armadas: neste caso a ruptura ocorre no domfnio
3, com esmagamento do concreto e com escoamento da armadura. 0
tipo de ruptura e semelhante ao das pecas subarmadas.
Pel(as superarmadas: sao as pecas cuja ruptura ocorre no domfnio 4.
Em virtude do excesso de armacao, 0 aco nao chega a escoar e a
ruptura ocorre por esmagamento do concreto. A ruptura e fragil,
brusca ou sem aviso previo, Essas pecas devemser evitadas, pois,
alem de nao darem aviso previo da ruptura, 0 aco nao e
integralmente aproveitado. No projeto de vigas, consegue-se evitar
esse tipo de situacao com 0 emprego de armadura dupla (uma
armadura tracionada e outra comprimida).
92 Curso de Concreto Annada
3.4 - Diagrama retangular para 0 concreto
Para simplificar 0 trabalho de calculo, a NBR-6 I 18 permite
substituir 0 diagrama parabola-retangulo por urn diagrama retangular
de tensoes no concreto, como e indicado na fig. 3.4. I.
h
o.e»
y
Fig. 3.4. I - Distribuicao das tensoes no concreto
Conforme se observa na fig. 3.4. I, pode-se admitir que a
tensao no concreto e igual a acd desde a borda comprimida da secao
ate uma distancia 0,8x, onde x e a profundidade da linha neutra.
A tensao a cd tern os seguintes valores:
a cd =0,85led' quando a largura da secao, medida paralelamente a
linha neutra, nao diminuir a partir desta para a borda comprimida
(caso de secoes retangulares em flexao normal, por exemplo);
aed =0,80Ied , nos casos contraries (secoes circulares, dentre
outras).
A utilizacao do diagrama retangular simplifica sensivelmente
as equacoes do dimensionamento. AIem disso, os resultados sao
muito proximos dos obtidos com 0 diagrama parabola-retangulo, POI'
isto, neste livro sera adotado 0 diagrama retangular de tensoes para 0
concreto.
Flexiio normal simples - dimensionamento de seciies retangulares 93
3.5 - Determinacao do momento limite para se.;;oes
retangulares com armadura simples
Na fig. 3.5.1, indica-se uma secao retangular de concreto
armado submetida ao momenta fletor de calculo Md' 0 plano de
a<;uo do momento fletor contern urn eixo de simetria da secao
transversal e a flexao e dita normal. Assim, a linha neutra e
perpendicular a esse eixo de simetria.
d
eixo de sirnetria
h
I
Md :
• ~ I • Iinha neutra_________I:L _
I
I As
MI
I
b
Fig. 3.5.1 - Secao retangular sob flexao normal simples
Para caracterizar a secao transversal, e introduzida a seguinte
notacao:
b = largura da secao; h = altura da secao;
d = altura iitil (e a distancia do centroide da armadura ate a borda
cornprirnida);
As=area da se<;ao da armadura tracionada.Conforme ja foi salientado, no domfnio 4 ocorre uma ruptura
fragil que deve ser evitada. A ruptura nos domfnios 2 e 3 e do tipo
ductil, ou com aviso previo, 0 que esempre desejavel,
Entretanto, para garantir uma maior ductilidade das vigas, e
conveniente limitar a profundidade da linha neutra, de modo a se
obter uma ruptura distante do domfnio 4. Isto e feito impondo-se a
condicao x:::; xlim ' onde a profundidade limite da linha neutra, xlim'
e indicada na fig. 3.5.2.
94 Curso de Concreto Annada
3,5°10 0I--z------------........---.,
d
I
Eyd
Fig. 3.5.2 - Profundidade limite da linha neutra para garantir
ductilidade adequada
De acordo com 0 CEB/90(S" a profundidade relativa da linha
neutra, ¢lim = xlim / d , deve ser limitada aos valores
¢lim =0,45 , se fck ::; 35 MPa
¢lim =0,35 , se fck > 35 MPa
(3.5.1)
(3.5.2)
Esses valores de ¢lim sao validos sempre que 0
dimensionamento for feito para os momentos fletores obtidos em
uma analise elastica linear (sem redistribuicao de esforcos).
Se for utilizado 0 recurso da redistribuicao dos esforcos,
conforme eapresentado no capitulo 5 do Volume 2, enecessario que
as secoes onde se formam as rotulas plasticas (normalmente as
secoes dos apoios internos das vigas contfnuas) apresentem maior
ductilidade. Para essas secoes, devern-se adotar
¢lim = 0,8f3 - 0,35, se j~k ::; 35 MPa
¢lim =0,8f3- 0,45, se t.. > 35 MPa
onde f3 ::; 1 eurn coeficiente de redistribuicao.
(3.5.3)
(3.5.4)
F/cxtio normal ,Iilllllles - dimcnsionumento de seciies retangnlares 95
As equacoes (3.5.3) e (3.5.4) coincidem com (3.5.1) e (3.5.2),
quando f3 = I .
Na NBR-6118(7), os valores de ~lim dados em (3.5.1) e (3.5.2)
sao substitufdos por 0,50 e 0,40, respectivamente. Entretanto, a
NBR-6118 utiliza as mesmas equacoes (3.5.3) e (3.5.4), 0 que leva a
uma descontinuidade da formulacao para f3 = I . Por isso, neste livro
adotam-se as restricoes originais extrafdas do CEB, representadas
nas equacoes (3.5.1) e (3.5.2).
A distribuicao de deformacoes no limite entre os domfnios 3 e
4 e usual mente denominada de "deforrnacao balanceada'Y". A
profundidade da linha neutra nessa condicao balariceada edada por
(
35
0
/ Jx = '100 d
b 3,5%0 +cyd
(3.5.5)
Durante muito tempo, 0 dimensionamento aflexao simples foi
feito impondo a restricao x~, xb, ou seja, utilizando-se todo 0
domfnio 3. Esse procedimento, inclusive, foi adotado na edicao
anterior deste livro. Neste caso, a profundidade relativa da linha
neutra e
3,50 /~b = /00
3,50 / +cvd
100 .
(3.5.6)
e s6 depende do aco empregado.
Considerando os acos CA-50 e CA-60, fyd = fyk /1,15 e
E,I' = 200 GPa, obtem-se os seguintes valores:
r;b = 0,617 para 0 aco CA-50;
r;b =0,573 para 0 aco CA-60.
Observa-se que esses valores sao bern maiores que
r;lim =0,45 e r;lim =0,35, conforme as equacoes (3.5.1) e (3.5.2).
96 Curso de Concreto Armada
Eimportante ressaltar que as vigas projetadas com ;lim =;b
possuem alguma 'ductilidade, ja que os estribos, sempre existentes,
conferem certo grau de confinamento ao concreto, aumentando a
ductilidade da estrutura. Alem disso, sempre existem armaduras de
compressao, mesmo que elas sejam armaduras construtivas, 0 que faz
com que a linha neutra suba, afastando-se urn pouco do dorninio 4.
Entretanto, com 0 usa atual de concretos cada vez mais
resistentes, torna-se necessario urn maior cuidado com 0 tipo de
ruptura das vigas, devendo-se impor restricoes mais severas para a
profundidade da linha neutra, como aquelas dadas nas equacoes
(3.5.1) e (3.5.2). A condicao balanceada, que funcionava bern como
urn limite entre ruptura ductil e ruptura fragil para concretos de baixa
resistencia, deve ser evitada para os concretos de elevada resistencia
utilizados atualmente.
Conforme se demonstra no capitulo 7 do Volume 2, a abertura
das fissuras de uma viga de concreto armado e diretamente
proporcional a deforrnacao da armadura tracionada. Assim, quanto
maior for a deformacao cs da armadura tracionada, maior sera 0
aviso previa da ruptura, manifestado por uma fissuracao intensa.
Na fig. 3.5:3, apresenta-se 0 grafico da variacao de e, com a
~
profundidade relativa da linha neutra ; =x]d , para os acos CA-50.
Conforme se observa, para os valores ¢ = 0,45 e ¢ = 0,35, a
deformacao na armadura de tracao e aproximadamente igual ao
dobro e ao triplo da deforrnacao de escoamento de calculo do aco,
respectivamente. Desse modo, garante-se que a ruptura da peca seja
precedida de uma fissuracao intensa, com grandes aberturas de
fissuras, 0 que permite 0 seu escoramento e a execucao do reforco
estrutural necessario.
Na fig. 3.5.4, apresentam-se as relacoes entre 0 momenta
fIetor reduzido Ii (a ser definido mais a frente) e a curvatura
adimensional <1> = X d , onde a curvatura X e igual ao inverso do
raio de curvatura. A curvatura pode ser obtida diretamente da fig.
3.5.2, em funcao da profundidade da linha neutra ¢. 0 momento
reduzido 11 tambem pode ser obtido em funcao de ¢, como sera
visto mais a frente. Com esses valores, pode-se plotar 0 grafico da
fig. 3.5.4.
Flexdo normal simples - dimensionamento de secoes retangulares 97
10.00.....,..--_
9.00
o 8.00
c;2
1.00
oOO,-+-.....--r--r-.....--r--r--h-+.,.....,-.,L.,.....,-r-.,.....,,........~
0.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90 1.00
Profundidade da linha neutra ~=x/d
Fig. 3.5.3 - Variacao da deformacao no aco tracionado com a
profundidade da linha neutra
0.50
0.45
0.40
:::1. 0.35
0
"0
'N 0.30
:::l
"0 0.25~
0 0.20...c:
<ll
E 0.15
0
:2: 0.10
0.05
0.001+ -...--..----.- .--....-.....--.---1-.......-.-,........,
2.0 4.0 6.0 8.0 10.0 12.0 14.0
Curvatura adimensional <I>=Xd (x1000)
Fig. 3.5.4 - Relacoes momento-curvatura na ruptura e ductilidade
minima
98 Curso de Concreto Annada
Observa-se que, para ¢::::: ¢h ' nao hti um paturnar na rclacao
momento-curvatura, indicando uma ruptura fragil. Por outre ludo,
consegue-se visualizar esses patamares para ¢ < ¢b' 0 limite
¢lim =0,45 garante uma ductilidade mfnima para concretos com
fck ~ 35 MPa. Para concretos de resistencia mais elevada,
fck > 35 MPa, exige-se uma maior ductilidade, devendo-se adotar
¢lim =0,35. Um estudo detalhado sobre esse tema esta disponfvel
na ref. [20].
Na fig. 3.5.5, sao representadas as tens6es de compressao no
concreto, admitindo-se 0 bloco retangular de tens6es
(acd =0,85 fed)' A tensao na armadura e f.w/' ja que sua
deformacao esempre Es > Eyd .
~-~O,8X1im O"cd O,8xlimd -'<--
As ~dlim
A )
I~ b .1
fYd
Fig. 3.5.5 - Tens6es na secao transversal quando x = Xlim
Na fig. 3.5.6, sao apresentados 0 momenta solicitante M d lim'
a resultante de cornpressao no concreto, Ree lim ' e a forca de tracao
na armadura, Rsd = As f.wl .
Flesiio normal simples - dimensionamento de secties retangulares 99
d
0,4X1im1
~dlim
Fig. 3.5.6 - Momento solicitante e resultantes das tensoes na situacao
limite x = xlim
De acordo com a fig. 3.5.5, verifica-se que a resultante de
compressao no concreto e dada por
(3.5.7)
Essa resultante atua no centroide da area: comprimida pelo
bloco retangular. Assim, 0 brace de alavanca Zlim edado por
(3.5.8)
Aplicando a equacao de equilfbrio de momentos, tem-se que
(3.5.9)
Introduzindo as expressoes de Rcc lim e de Zlim' resulta 0
momenta limite
M d lim = O,8bxlim (d - O,4xlim )acd
Definindo 0 momento limite reduzido
(3.5.10)
100 Curso de Concreto Armada
Ji - M d limlim - 2
bd (Jed
(3.5.11)
e lembrando que Xlim = qlimd , chega-se a
(3.5.12)
A expressao (3.5.12) fomece 0 momenta limite adimensional,
o qual depende do concreto utilizado e do coeficiente de
redistribuicao de esforcos j3. Se for empregada a analise linear sem
redistribuicao, como e usual, j3 = 1.
Na tabela 3.5.1, encontram-se os valores de qlim e Jilim'
validos para analise linear sem redistribuicaode esforcos,
Tabela3.5.1- Valoresde qlim e Jilim
T Ii di ibui - d f~para ana ise mear sem re istn uicao e es on;os
Concreto fek s 35 MPa fek > 35MPa
qlim 0,45 0,35
Jilim 0,2952 0,2408
Assim, 0 dimensionamento a flexao normal simples e feito de
acordo com 0 seguinte criterio:
- dado 0 momenta fletor solicitante M d » calcula-se 0 momenta
solicitante reduzido
MJi= d2bd (Jed
(3.5.13)
- se Ji =::;; ,lllim ' 0 dimensionamento e feito com armadura simples;
- se Ji > Jllim ' 0 dimensionamento efeito com armadura dupla.
nextio nomtal sitnplcs - dimcnsionamcnto tie sl'{'iies retaugulares 101
Observa<;ao: Se, na equacao (3.5.12), for utilizado ~lim = ~b' como
era usual, obtern-se os seguintes momentos Iimites reduzidos:
,ulim = 0,372 para aco CA-50;
,ulim = 0,353 para aco CA-60.
Esses valores tradicionais sao maiores que aqueles
apresentados na tabela 3.5.1, os quais sao necessaries para garantir
adequada ductilidade as vigas. Desse modo, 0 procedimento atual,
baseado nos valores de ,ulim da tabela 3.5.1, ira fornecer urn
pequeno acrescimo na area total de aco, quando resultar armadura
dupla. Enquanto resultar armadura simples, nao havera alteracao na
area de aco.
3.6 . Dimensionamento de se~oes retangulares com armadura
simples
Na fig. 3.6.1, representa-se uma secao retangular de concreto
armado com armadura simples. 0 momento fletor solicitante de
calculo e M d e As e a area da secao da armadura tracionada. As
demais variaveis sao as mesmas definidas anteriormente.
h d
b+-------iJ
Fig. 3.6.1 - Secao retangular com armadura simples
Na fig. 3.6.2, sao indicados as diagramas de deformacoes, as
tensoes e as resultantes das tensoes na secao transversal.
102 Curso de Concreto Armada
deformacoes tensoes
resultantes
fYd
;)
Ree
z
Fig. 3.6.2 - Deforrnacoes, tens6es e resultantes das tens6es
na secao transversal
Conforme se observa, a deformacao da armadura e e, > 8"'1 '
ja que 0 dimensionamento esta sendo feito nos dornfnios 2 e 3 (a
secao e subarmada ou normalmente armada). Alern disso, a
profundidade da linha neutra e representada genericamente por x (ja
que, em geral, M d '# M d lim ).
A resultante de compressao no concreto, Rcc ' edada por
eo brace de alavanca e
Z=d-O,4x
(3.6.1)
(3.6.2)
Flexiio normal simples - dimensionamento de seciies retangulares 103
A forca de tracao na armadura, Rsd ' edada pOl'
Rsd =As/wI
uma vez que 0 aco escoa nos dominios 2 e 3.
As equacoes de equilibrio sao as seguintes:
Equilibrio de momentos:
(3.6.3)
Fazendo 0 equilibrio de momentos em relacao ao centroide da
armadura, resulta
e substituindo as expressoes de Rcc e de Z , obtem-se
M d - O,8bx(d - O,4x)o-cd =°
(3.6.4)
(3.6.5)
que euma equacao do segundo grau em x .
A equacao (3.6.5) pode ser resolvida para a obtencao da
profundidade x da Iinha neutra. Essa equacao pode ser
adimensionalizada, definindo-se os parametres
M
J1 = 2 d (3.6.6)
bd O'cd
c; =x/d (3.6.7)
Introduzindo (3.6.6) e (3.6.7) na equacao (3.6.5) e eliminando
,..,
os termos bd "O'cd ' resulta uma equacao do segundo grau em funcao
do adimensional ;. Essa equacao possui duas rafzes, Entretanto,
apenas uma delas tern 0 significado correto (apenas uma raiz indica
que a linha neutra cai dentro da secao transversal). A solucao
procurada e
c; =1,25(1-~l- 2J1 ). (3.6.8)
104
Equilibrio de forcas:
Curso de Concreto Annada
Conforme indicado na fig. 3.6.2, a equacao de equilfbrio de
forcas e
(3.6.9)
Introduzindo as expressoes de Rcc e de Rsd dadas nas
equacoes (3.6.1) e (3.6.3), resulta
(3.6.10)
Lembrando que x = qd , a area de aco edada por
As =O,8qbd O'cd (3.6.11)
f.wl
com q obtido da equacao (3.6.8).
Assim, 0 dimensionamento com armadura simples fica
reduzido ao emprego das equacoes (3.6.8) e (3.6.11).
Para a confeccao de tabelas para 0 dimensionamento, e
·conveniente definir a taxa geornetrica de armadura
Asp=-
bd
(3.6.12)
Comparando as equacoes (3.6.11) e (3.6.12), verifica-se que
p=O,8q(J'cd
.t.wl
(3.6.13)
Logo, os valores de p podem ser tabelados para uma
determinada categoria de aco e para uma dada resistencia a
compressao do concreto.' Entrando na tabela com 0 momenta
solicitante reduzido J1 ' retira-se 0 valor de p e calcula-se a area de
aco As = pbd.
Fln'lIo nonual .1';1//1/11',1' - dimensionutncnto til' .I'q'iie,I' retuugulures J05
Para tornar a tabela independente do concreto empregado,
pode-se trabalhar com a taxa mecanica de armadura
Observando a equacao (3.6.11), verifica-se que
(V =0,8;
(3.6.14)
(3.6.15)
Neste caso, a tabela fornece 0 valor de OJ (que independe do
concreto utilizado) com 0 qual se calcula a area de aco atraves da
expressao
A = wbd eYed
s fyd
(3.6.16)
Algumas tabelas que fornecem diretamente a taxa mecanica de
armadura sao apresentadas na Se~ao 3.10.
3.7· Dimensionamento de se~oes retangulares com armadura
dupla
Como foi visto anteriormente, quando Ii > ,ulim 0
dimensionamento e feito com armadura dupla, para evitar uma
ruptura fragil. Nesse caso, alern da armadura tracionada de area As'
deve-se prever uma armadura comprimida com area A;. Na fig.
3.7.1, indica-se a secao transversal considerada.
106 Curso de Concreto Armada
h
I~
A's
b
d'
d
Fig. 3.7.1 - Secao retangular com armadura dupla
Ao contrario do dimensionamento com armadura simples,
nesse caso nao existe uma solucao iinica para 0 problema. Isto ocorre
porque 0 mimero de incognitas emaior do que 0 mimero de equacoes
disponiveis. As equacoes disponfveis sao as duas equacoes de
equilfbrio, enquanto que a profundidade da linha neutra, x, e as
areas de ace, As e A:, sao as incognitas.
o problema pode ser resolvido eliminando-se uma das
incognitas. Por exemplo, fazendo A; = 0 sobram as incognitas x e
As' Entretanto, essa e a solucao com ruptura fragil que se quer
evitar.
Outra possibilidade consiste na adocao de armaduras
simetricas, com As = A;. Essa e a solucao que normal mente e
adotada para os pilares (problema de flexo-compressao). No caso da
flexao simples,· essa solucao e antieconomica e nao deve ser
empregada.
A solucao usual para a flexao simples consiste em fixar 0 valor
da profundidade da Iinha neutra. Assim, fixando x =xlim' tern-se
que a resultante de cornpressao no concreto e Rcc lim e 0 braco de
alavanca e Zlim' As incognitas do problema sao as areas de aco A,I'
e A;.
Flexiio normal simples - dimensionamento de seciies retangulares 107
Na fig. 3.7.2, encontram-se representadas as deforrnacoes e as
resultantes das tensoes na secao transversal, para 0 caso em que
x=xlim'
deformacoes
d'
I
:1"d ~dL
resultantes
<R'sd
Rcclim
llim
Fig. 3.7.2 - Deformacoes e resultantes das tens6es na secao
Conforme esta indicado na fig. 3.7.2, a deformacao na
armadura tracionada e Cs > cyd . Logo, a tensao nessa armadura e
igual atensao de escoamento de calculo f.vd .
A profundidade da linha neutra xa ' correspondendo ao final
do domfnio 2, e obtida por sernelhanca de triangulos, onde se pode
escrever que
Xa _3,5%0
d -Xa - 10%0
=> ¢(J =~ == 0,26
d
(3.7.1)
o dimensionamento com armadura dupla somente sera
considerado para 0 caso em que ¢lim 2 ¢a' Se for utilizado 0
recurso da redistribuicao de momentos, pode ocorrer que ¢lim < ¢a'
dependendo do valor adotado para 0 coeficiente de redistribuicao p
(ver equacoes (3.5.3) e (3.5.4)). Nesse caso, e recomendavel
108 Curso de Concreto Annada
aumentar as dirnensoes da secao transversal. cvitando-se () lIS(} de
armadura dupla no domfnio 2. Observa-se que essa silua~',10 nunca
ira ocorrer se for adotado f3 = I (analise sem redistribuicao de
momentos).
A deformacao c; na armadura de cornpressao pode ser obtida
por semelhanca de triangulos, resultando
'=35 0 / (Xlim -d/Je, '/00
xlim
(3.7.2)
Lembrando que xlim =qlimde definindo 0 parametro
geometrico
chega-se a
d '5=-
d
e': =35 0 / (qlim -5J
s '/00 j:
'='lim
(3.7.3)
(3.7.4)
A equacao (3.7.4) e valida para os casos em que qlim ;::: qa e
qlim >5.
A tensao a;d na armadura de cornpressao e calculada como
a:d = Esc: ~ f.w/' onde E, = 20.000kN/cm2 e om6dulo de
elasticidade do aco,
Na tabela 3.7.1, encontrarn-se os valores de a;d para os acos
CA-50 e CA-60 e para varios valores do parametro 5. Os valores de
qlim considerados sao aqueles da tabela 3.5.1, ou seja, valores
validos para analise linear sem redistribuicao de esforcos.
Flexiio normal simples - dimensionamento de seciies retangulares 109
Tabela 3.7.1 - Tensao a~d (kN/cm2) na armadura de compressao
Concreto fck ~ 35 MPa fck > 35MPa
<5 CA-50 CA-60 CA-50 CA-60
0,01 43,48 52,17 43,48 52,17
0,02 43,48 52,17 43,48 52,17
0,03 43,48 52,17 43,48 52,17
0,04 43,48 52,17 43,48 52,17
0,05 43,48 52,17 43,48 52,17
0,06 43,48 52,17 43,48 52,17
0,07 43,48 52,17 43,48 52,17
0,08 43,48 52,17 43,48 52,17
0,09 43,48 52,17 43,48 52,00
0,10 43,48 52,17 43,48 50,00
0,11 43,48 52,17 43,48 48,00
0,12 43,48 51,33 43,48 46,00
0,13 43,48 49,78 43,48 44,00
0,14 43,48 48,22 42,00 42,00
0,15 43,48 46,67 40,00 40,00
0,16 43,48 45,11 38,00 38,00
0,17 43,48 43,56 36,00 36,00
0,18 42,00 42,00 34,00 34,00
0,19 40,44 40,44 32,00 32,00
0,20 38,89 38,89 30,00 30,00
Assim, as forcas nas armaduras representadas na fig. 3.7.2 sao
I
dadas por
(3.7.5)
As equacoes de equilfbrio sao apresentadas a seguir.
Equilibrio de momentos:
Fazendo 0 equilfbrio de momentos em relacao ao centroide da
armadura tracionada (vel' fig. 3.7.2), resulta
110 Curso de Concreto Armada
(3.7.6)
Lembrando, da equacao (3.5.9), que M d 1im =RcclimZlim e
substituindo a expressao de R;d ' obtem-se
A' = M d -Mdlim
S (d -d')a;d (3.7.7)
Da equacao (3.7.7), conclui-se que a funcao da armadura de
cornpressao e absorver a diferenca entre 0 momenta fletor solicitante
e 0 momenta limite. Essa equacao pode ser escrita em forma
adimensional, definindo-se a taxa geometrica da armadura de
cornpressao como
(3.7.8)
Lembrando que M d lim =J.ilimbd2a('d(equa~ao (3.5.11)),
M d = J.ibd2acd (equacao (3.6.6)) e d' = od (equacao (3.7.3)),
obtern-se
(3.7.9)
A expressao (3.7.9) fornece a taxa p' , com a qual se calcula a
area da armadura de compressao A,~. = p'bd .
Alternativamente, pode-se definir a taxa mecanica da
armadura de cornpressao
(3.7.10)
Fazendo as substituicoes necessarias na equacao (3.7.7),
chega-se a
Flexiio normal simples - dimensionamen to de secoes retangulares III
onde se observa que 0 valor de 0/ pode ser tabelado
independentemente do concreto empregado.
Equilibrio de forcas:
A equacao de equilfbrio das forcas indicadas na fig. 3.7.2 e
dada por
(3.7.12)
Substituindo as expressoes das resultantes, obtern-se
(3.7.13)
As equacoes (3.7.7) e (3.7.13) permitem caJcular as areas das
armaduras.
Introduzindo (3.7.7) em (3.7.13) e fazendo as substituicoes
pelos adimensionais, obtern-se a taxa geometrica da armadura
tracionada na forma
P = (08]: . + fl- fllim ) (jed
, ':>hm 1- s: f
v yd
(3.7.14)
sendo AI' = pbd .
De forma analoga, obtem-se a taxa mecanica da armadura
tracionada como
m=08]: . + I' -I'lim
, ':>hm I-tS
sendo As = OJbd(jed / I.\'(/ .
(3.7.15)
112 Curso de Concreto Armada
A seguir, apresenta-se um roteiro para o di mcnsion.uucnio de
secoes retangulares sob flexao normal simples.
3.8 - Roteiro para 0 dimensionamento de se~oes retangulares
Os dados do problema sao os seguintes:
a) dimens6es da secao transversal: b , h , d , d' ;
b) propriedades dos materiais: I«. f.)'k;
c) momento fletor de service: M k (valor caracterfstico na hip6tese
de uma analise linear).
Os valores requeridos sao as areas de aco As e A;.
Os calculos necessaries sao os seguintes:
1) fed = fek , com rc = 1,4 em geral; O"ed = 0,85fed;
Ye
f)'k
fVd = _.-, com rs = 1,15 (para 0 emprego da tabela 3.7.1);
. Ys
2)
M d =rjMk,com rj =1,4 emgeral;
MdJ1 = ? '
bd-O"cd
3) Sem redistribuicao de esforcos:
~lim = 0,45 ,se fek :::; 35 MPa
~lim = 0,35 , se t.. > 35 MPa
Se usar redistribuicao de esforcos, ;Iim e dado nas equacoes
(3.5.3) e (3.5.4) em funcao de f3.
Jllim = 0,8~lill1 (1- O,4~lim)·
Flexile normal simples - dimensionamento de secoes retangulares 113
Os valores de ¢lim e de /llim podem ser lidos diretamente da
tabela 3.5.1, para 0 caso fJ = I (sem redistribuicao de esforcos),
4) Se u ::; /llim => armadura simples
¢ = 1,25(1-~1- 2/1); A = 0 8]:b(,! (jed. A' 0
s ' ':t f ' S = .
.I'd
5) Se u > lilim => armadura dupla
d'
Calcular 8 =d e IeI' (j;d da tabela 3.7.1;
A =(08]:. Ii-lilim Jbd(jed
.\' ' ':thm + .
1-8 fyd
Observa9ao: Empregando redistribuicao de momentos (fJ < 1), se
resultar ¢lim < 0,26 e, simultaneamente, /l > ,ulim' devem-se
alimental' as dirnensoes da se~ao transversal. 0 mesmo deve ser feito
se ¢Iim ::; 8 eli> /llim .
3.9 - Exemplos de dimensionamento
Os exemplos apresentados a seguir referern-se a viga
biapoiada da fig. 3.9.1. A viga esta submetida a uma carga de service
Pk ' uniformemente distribuida ao tonga do vao, A secao transversal
da viga emostrada na figura.
Nos dois exemplos seguintes, considera-se urn concreto com
fek =20 MPa e 0 aco CA-50. As resistencias de calculo sao dadas
por:
114 Curso de Concreto Armada
J.cd = fck = 20 -_-14MPa .( 14 ?~ J cd = , kN/cm-;rc 1,4
a cd = 0,85 fcd = 12 MPa; ~ a cd = 1,2 kN/cm 2;
fvk 50 ?fVd =-·-=-=43,48kN/cm-.
. rs 1,15
Pk
·v·
= 40 A'IS. /n S A 36S
I~ 1=4m
·1 ./')
k 15cm .1
Fig. 3.9.1 - Viga dos exemplos
Exemplo 1: Carga de service Pt. = 15 kN/m
. p.12 15x42
- momento fletor de service: M k = _k- = = 30 kNm
8 8
- momento fletor de calculo: M d = rfM k = l,4x30 = 42 kNm
MJ1.= d2bd eYcd
=
4200 =018
2 '15x36 xl,2
J1.lim = 0,2952 (da tabela 3.5.1)
J1. :5 J1.lim ~ armadura simples
F/('xi7ol/orll/u/ simpk-s - dituensiotuuncnto til' .I('('<ies retangulares 115
Av = 0,8r;bd aed = 0,8xO,25xI5x36x~
'f,w! 43,48
Logo, A; =°e As = 2,98 em".
Exemplo 2: Carga de service P; = 35 kN/m
M k = Pk
Z2
= 35x4
2
=70kNm
8 8
M d = rfM k = l,4x70 = 98 kNm
u = M d = 9800 =°42
l Z2...... 15x362xl,2 'J(, ved
u » I'lim = 0,2952 ~ armadura dupla
s: d' 4 , 4 ?
U = - = - = O,ll~ard = 43, 8 kN/cm- (da tabela 3.7.1)
d 36 "
r;lim = 0,45 (da tabela 3.5.1)
A', = (p -I'lim yx/acd . A = (0 8,t:, + I' - JLlhn) bdacd
s (1- s:)' 'S ' ':>hm 1- J to ascI , yd
A' =(0,42-0,2952)15x36xl,2 =2,09 ern'
S (1_ 0,11)43,48
A, = (0 8xO 45 + 0,42 - 0,2952J 15x36xl ,2 = 7,46 em"
,\ " I - 0,1 I 43,48
116 Curso de Concreto Armada
Observa<;ao: Se for utilizado 0 procedimento tradicional apresentado
na edicao anterior deste livro, no qual ~lim = ~b corresponde ao
limite entre os dominios 3 e 4, obtem-se os seguintes resultados:
A; = 0,80cm2 e As = 8,16 em",
Observa-se que, pelo processo atual, ha uma reducao na area
da armadura tracionada e urn aumento da armadura de compressao.
A area total de ace, obtida com 0 processo atual, e
As•tot = 2,09 + 7,46 = 9,55 ern'. A area total obtida com 0 processo
anterior e As.tot = 0,80 +8,16 = 8,96cm
2
•
Logo, 0 procedimento atual de dimensionamento, para
garantir adequada ductilidade as vigas, Jevou a urn aumento de 7%
na area total de aco. Na pratica, esse aumento podera nem existir,
pois 0 consumo final de aco da viga vai depender do detalhamento
das armaduras (ver capitulo 5 do Volume 2);
Exemplo 3: Repetir os dimensionamentos anteriores para diferentes
resistencias do concreto, man tendo os demais dados inalterados.
Na tabela 3.9.1, apresentam-se os resultados do
dimensionamento da viga para diferentes valores de Ick .
Tabela 3.9.1 - Resultados para varies valores de j~'k
Ilk (MPa) Pk =15kN/m Pk =35kN/m
As (ern')As (em") A' ?S (em")
20 2,98 7,46 2,09
25 2,91 7,57 0,78
30 2,86 7,51 0,00
35 2,84 7,26 0,00
40 2,81 7,10 0,00
45 2,80 6,98 0,00
50 2,79 6,89 0,00
Flexiio normal simples - dimensionamen to de seciies retangulares 117
Conforme se observa, as areas de aco sofrem uma pequena
reducao com 0 aumento do valor de frk' Para 0 exemplo I, a
reducao no valor de As' com a passagem de fck = 20 MPa para
frk = 50 MPa, e de apenas 7%. No exemplo 2, essa reducao e de
38% (na pratica a reducao sera menor, pois havera necessidade de
usar uma armadura construtiva de cornpressao em todos os
exemplos). Entretanto, essa economia em relacao £10 consumo de aco
sera facilmente anulada pela diferenca de preco entre os dois
concretos.
Conclui-se que a especificacao de concretos de maior
resistencia nao resulta em economia significativa, em problemas de
flexao simples. A economia e conseguida nos pilares, onde se tern
urn problema de flexo-compressao, como emostrado no Volume 3.
Entretanto, 0 uso de urn concreto de maior resistencia e
sempre vantajoso no que se refere adurabilidade da estrutura, como
foi discutido no capftulo I.
Exemplo 4: Repetir os dimensionamentos anteriores para diferentes
classes de agressividade ambiental.
Para considerar diferentes classes de agressividade ambiental e
necessario variar a resistencia caracterfstica do concreto, fck' e 0
cobrimento nominal das armaduras, Cl lO ln , de acordo com as tabelas
1.13.3 e 1.13.4 do capftulo 1. Urn aumento no valor do cobrimento
nominal ira ocasionar uma reducao na altura util d da viga.
Na tabela 3.9.2, apresentam-se os dados que sao alterados em
funcao da classe de agressividade ambiental.
.'"
,. c
Classe de frk cl lO l11 d
agressividade (MPa) (em) (cm)
I 20 2,5 36,0
II 25 3,0 35,5
III 30 4,0 34,5
IV 40 5,0 33,5
Tabela 3.9.2 - Dados alterados conforme a c1asse de
azressividade ambiental
118 Curso de Concreto Annada
Os demais dados sao mantidos, como indicado na fig. _1.9.1.
Evidentemente, seria inviavel projetar a secao da viga com I:) em de
largura para as classes de agressividade mais elevadas, pois nao
sobraria espaco para 0 lancamento e a vibracao do concreto.
Entretanto, sera mantida a largura de 15 em, pois isto nao altera as
conclusoes a que se pretende chegar.
Na tabela 3.9.3, apresentam-se os resultados do
dimensionamento.
. id dda e a .. - esu a os para 1 eren es c asses e agresslvl a e
C1asse de Pk =15 kN/m Pt; =35 kN/m
agressividade
As (em') A,I' (em') A' ?s(cm-)
I 2,98 7,46 2,09
II 2,96 7,68 0,99
III 3,01 7,96 0,16
IV 3,05 7,82 0,00
Tbl 393 R ltd
Conforme se observa, as areas de aco calculadas sofrem uma
alteracao muito pequena em funcao da classe de agressividade
ambiental. Isto ocorre porque a reducao da altura iitil da secao
transversal, em virtude da adocao de urn maior cobrimento, e
compensada pelo emprego obrigatorio de urn concreto de maior
resistencia. Desse modo, as armaduras se man tern praticamente
ina1teradas. Logo, 0 acrescimo no custo da estrutura, em virtude da
consideracao de uma classe de agressividade ambiental mais elevada,
e devido, dentre outros fatores, ao custo do concreto de maior
resistencia.
Alem disso, as dimensoes dos elementos estruturais devem
sofrer alteracao em funcao da classe de agressividade, para
possibilitar 0 Iancamento e a vibracao do concreto. A viga da fig.
3.9.1, por exemplo, deveria possuir uma largura mfnima de 25 em,
caso fosse considerada a classe IV de agressividade. Isto tambern
acarretara urn aumento no volume de concreto e na area de formas, 0
que se refletira no custo final da estrutura.
F!cxi/o /10/"11/01 simples - dimcnsionamento de s('{'{ies retangulares 119
3.10 - Tabelas para 0 dimensionamento de secoes retanguIares
Para facilitar 0 trabalho de calculo, foram preparadas as
tabelas 3.10.1 e 3.10.2. Essas tabelas sao validas para 0 aco CA-50 e
para concretos com fck :::; 35 MPa e concretos com frk > 35 MPa,
respecti vamente.
Para entrar nas tabelas, calcula-se 0 momenta reduzido
MJl= d
bd 2(jed
(3.10.1)
Entrando com 0 valor de u , obtem-se diretamente as taxas
mecanicas de armadura 0) e 0)', com as quais sao calculadas as
areas de aco
A = OJbd (jed
S fyd
, , (jedA =OJbd-
S f yd
(3.10.2)
(3.10.3)
Estao previstos quatro valores do parametro t5. Se 0 valor de
t5 do problema nao corresponder a nenhum dos valores
considerados, pode-se fazer uma interpolacao linear ou pode-se
adotar 0 valor tabelado imediatamente superior, a favor da
seguranca, 0 mesmo procedimento pode ser adotado em relacao ao
momenta reduzido u . As linhas nas quais nao sao fomecidos os
valores de 0/ correspondem aarmadura simples, ou seja, A,; =0 .
As tabelas foram preparadas considerarido-se os valores
flim =0,45, para concretos com fek :::; 35 M?a, e flim =0,35,
para concretos com frk > 35 MPa. Logo, elas podem ser usadas
quando nao eutilizado 0 recurso da redistribuicao de esforcos,
120 Curso de COl/creta Armada
Tabela 3.10.1 - Concretos com fck ::; 35 MPa e Aco CA-50
t5~ 0,05 0,10 0,15 0,20
,LiD 0) 0)' 0) , 0) 0)' 0) ,0) 0)
0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
0,04 0,04 0,04 0,04 0,04
0,06 0,06 0,06 0,06 0,06
0,08 0,08 0,08 0,08 0,08
0,10 0,11 0,11 0,11 0,11
0,12 0,13 0,13 0,13 0,13
0,14 0,15 0,15 0,15 0,15
0,16 0,18 0,18 0,18 0,18
0,18 0,20 0,20 0,20 0,20
0,20 0,23 0,23 0,23 0,23
0,22 0,25 0,25 0,25 0,25
0,24 0,28 0,28 0,28 0,28
0,26 0,31 0,31 0,31 0,31
0,28 0,34 0,34 0,34 0,34
0,30 0,37 0,01 0,37 0,01 0,37 0,01 0,37 0,01
0,32 0,39 0,03 0,39 0,03 0,39 0,03 0,39 0,03
0,34 0,41 0,05 0,41 0,05 0,41 0,05 0,42 0,06
0,36 0,43 0,07 0,43 0,07 0,44 0,08 0,44 0,09
0,38 0,45 0,09 0,45 0,09 0,46 0,10 0,47 0,12
0,40 0,47 0,11 0,48 0,12 0,48 0,12 0,49 0,15
0,42 0,49 0,13 0,50 0,14 0,51 0,15 0,52 0,17
0,44 0,51 0,15 0,52 0,16 0,53 0,17 0,54 0,20
0,46 0,53 0,17 0,54 0,18 0,55 0,19 0,57 0,23
0,48 0,55 0,19 0,57 0,21 0,58 0,22 0,59 0,26
0,50 0,58 0,22 0,59 0,23 0,60 0,24 0,62 0,29
0,52 0,60 0,24 0,61 0,25 0,62 0,26 0,64 0,31
0,54 0,62 0,26 0,63 0,27 0,65 0,29 0,67 0,34
0,56 0,64 0,28 0,65 0,29 0,67 0,31 0,69 0,37
0,58 0,66 0,30 0,68 0,32 0,70 0,34 0,72 0,40
0,60 0,68 0,32 0,70 0,34 0,72 0,36 0,74 0,43
Flexdo normal simples - dimensionamento de seciies retangulares 121
Tabela 3.10.2 - Concretos com Irk > 35 MPa e Aco CA-50
J~ 0,05 0,10 0,15 0,20
JlJJ OJ I OJ I OJ ' I OJ IOJ OJ OJ OJ
0,02 0,02 0,02 0,02 0,02
0,04 0,04 0,04 0,04 0,04
0,06 0,06 0,06 0,06 0,06
0,08 0,08 0,08 0,08 0,08
0,10 0,11 0,11 0,11 0,11
0,12 0,13 0,13 0,13 0,13
0,14 0,15 0,15 0,15 0,15
0,16 0,18 0,18 0,18 0,18
0,18 0,20 0,20 0,20 0,20
0,20 0,23 0,23 0,23 0,23
0,22 0,25 0,25 0,25 : 0,25
0,24 0,28 0,28 0,28 0,28
0,26 0,30 0,02 0,30 0,02 0,30 0,()2 0,30 0,03
0,28 0,32 0,04 0,32 0,04 0,33 0,05 0,33 0,07
0,30 0,34 0,06 0,35 0,07 0,35 0,08 0,35 0,11
0,32 0,36 0,08 0,37 0,09 0,37 0,10 0,38 0,14
0,34 0,38 0,10 0,39 0,11 0,40 0,]3 0,40 0,18
0,36 0,41 0,13 0,41 0,13 0,42 0,15 0,43 0,22
0,38 0,43 0,15 0,43 0,15 0,44 0,18 0,45 0,25
0,40 0,45 0,17 0,46 0,18 0,47 O,~O 0,48 0,29
0,42 0,47 0,19 0,48 0,20 0,49 0,23 0,50 0,32
0,44 0,49 0,21 0,50 0,22 0,51 0,25 0,53 0,36
0,46 0,51 0,23 0,52 0,24 0,54 0,28 0,55 0,40
0,48 0,53 0,25 0,55 0,27 0,56 0,31 0,58 0,43
0,50 0,55 0,27 0,57 0,29 0,58 0,33 0,60 0,47
0,52 0,57 0,29 0,59 0,31 0,61 0,36 0,63 0,51
0,54 0,59 0,31 0,61 0,33 0,63 0,38 0,65 0,54
0,56 0,62 0,34 0,63 0,35 0,66 0,41 0,68 0,58
0,58 0,64 0,36 0,66 0,38 0,68 0,43 0,70 0,61
0,60 0,66 0,38 0,68 0,40 0,70 0,46 0,73 0,65
122 Curso de Concreto Arnuulo
Empregando a tabela 3.10.1 para fazcr os dimcnsionamcntos
dos exemplos anteriores, obtern-se:
Exemplo 1: f1 = 0,18
Neste easo, a solucao independe do parametro is (easo de
armadura simples). Entrando na tabela 3.10.1, obtem-se (1J =0,20 e
0/ = o. As areas das armaduras sao
A' =0s
b I aed 20 36 1,2 29 2As =(jJ (;--=0, xl5x x--~A\. = ,8emf.vcl 43,48'
Exemplo2: 11.= 0,42
Neste easo, a solucao sera com armadura dupla e, portanto,
dependente do parametro is. 0 parametro is = 0,1 I para este
problema nao e tabelado, mas pode-se empregar a tabela 3.10] com
is = 0,10. Entrando na tabela, obtern-se OJ = 0,50 e OJ' = 0,14. As
areas das armaduras sao
aed 1,2 JAs = OJbd-- = 0,50xI5x36x--~As = 7,45 em-f.wl 43,48
, , aed 1,2, 7As =OJbd-- =0,l4xI5x36x--~A\.=2,09 em-
f,wI 43,48'
3.11 • Calculo da armadura minima
Alern do dimensionamento das secoes transversais no estado
limite ultimo, eonforme foi apresentado, deve-se espeeifiear urna
area minima da armadura tracionada. Isto se faz necessario para
evitar uma ruptura brusea da secao na passagem do estado nao
fissurado (Estadio I) para 0 estado fissurado (Estadio II). Assirn, a
armadura tracionada deve ser suficiente para absorver 0 momenta de
fissuracao,
Flexiio normal simples - dlmensionamento de secoes retangulares 123
Na fig. 3.11.1, indicam-se as tensoes no concreto no Estadio I,
juntamente com as resultantes na secao transversal. Nessa figura, as
armaduras nao foram inclufdas, para simplificar os calculos,
h z
Fig. 3.11.1 - Deformacoes e resultantes na secao
de concreto simples
As equacoes de equilfbrio da secao transversal sao escritas na
forma
(3.11.1)
Do diagrama de tensoes representado na fig. 3.11.1, obtern-se
(3.11.2)
onde Iz ea altura e h ea largura da secao,
A fissuracao ocorrera quando a maxima ten sao de tracao, (Jet'
for igual a resistencia a tracao do concreto, let. Substituindo
(jet = lei nas equacoes (3.11.1) e (3.11.2), obtem-se
hh 2
M r =61ct
que e0 momento de fissuracao da secao de concreto simples.
(3.11.3)
124 Curso de Concreto Armada
A area minima da armadura de tracao, As. min' e obtida
dimensionando-se a secao transversal de concreto armado para 0
momenta fletor M r ' como indicado na fig. 3.11.2.
z
Fig. 3.11.2 - Solicitacao e resultantes das tens6es
ap6s a fissuracao
Aplicando a equacao de equilfbrio de momentos, resulta
A 0 =~
s.mm Z [,
o yd
e substituindo a expressao de M r ' chega-se a
A _ bh2 i.,
r.rnin - 6Z -to
o vd
(3.11.4)
(3.11.5)
Adotando Z == 0,83h, obtem-se a expressao da armadura
minima
As . min = (0,20 .f~ol Jbhf re/ (3.1 1.6)
Conforme foi salientado no capitulo I, para 0 calculo da
armadura minima, deve-se adotar 0 valor caractenstico superior da
(3.11.7)
Flcxii«) //0,.,,/(// simple» - dintcnsionautcnto tic se('iies rctangulares 125
resistencia a tracao. Assim, na equacao (3.11.6), deve-se adotar
.f~·f = .f~'lk. sup'
Empregando as relacoes entre .f~tk.sup e irk dadas no
capitulo I, pode-se escrever
[
O,0784iJ3JAs•min = bh = Pminbh
iyd
onde .f~'k e f.wl sao dados em MPa.
Em todo caso, deve-se respeitar 0 limite Pmin :::: 0,15% .
Na tabela 3.11.1, sao fornecidas as taxas mfnimas Pmin para
os acos CA-50 e CA-60 e para diversos valores de ick' Nessa
tabela, considera-se iyd = iyk /1,15 .
Tabela 3.11.1 - Taxas minimas da armadura de flexao Pmin (%)
AGO irk (MPa)
20 25 30 35 40 45 50
CA-50 0,15 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23 0,25
CA-60 0,15 0,15 0,15 0,16 0,18 0,19 0,20
Logo, se a area da armadura tracionada, As' obtida no
dimensionamento for inferior a area minima, deve-se adotar
A~ =As .min .
Nos exemplos apresentados anteriormente, tinha-se uma secao
retangular com dirnensoes b = 15 cm e h =40 em. Para urn concreto
com irk = 20 MPa e 0 aco CA-50, a armadura minima de tracao e
A = 0,15 bh = 0,15 x15x40=°90 ern".
s.min 100 100 '
Esse valor e inferior aos obtidos pelo dimensionamento nos
dois primeiros exemplos. Portanto, irao prevalecer as armaduras
efetivamente calculadas.
Capitulo 4
FLEXAO NORMAL SIMPLES
Dimensionamento de Se~oes T
4.1 - Geometria da se.;ao transversal
Apesar de nao serem tao usuais quanta as secoes retangulares,
as secoes em forma de T sao bastante empregadas em pontes, em
vigas pre-moldadas e mesmo nas estruturas de ediffcios compostas
por lajes macicas e vigas. Nestes casos, as dimensoes da mesa da
secao transversal sao determinadas de acordo com as consideracoes
da NBR-6118, apresentadas ao final deste capitulo.
Na fig. 4.1.1, representa-se uma secao T submetida ao
momenta fletor de calculo Md'
d
.~ .... e----u---e..t..d'hf
-'<- A's
Md~
As
I'e
h
Fig. 4.1.1 - Geometria da secao T
De acordo com a fig. 4.1.1, sao definidas as seguintes
variaveis:
bw =largura da nervura;
130 Curso de Concreto Annada
Aw1im =b.; (0,8Xlim - h f ) (area da parte comprimida da
nervura);
h I
Z f = d _---1- (distancia do centroide de Af ate a armadura2
tracionada);
Zwlim = d -0,4ilim- hf (distancia do centroide de AlI'lim ate2
a armadura tracionada).
Introduzindo as relacoes (4.2.2) e (4.2.3) e lembrando que
xlim =¢Iimd , obtem-se
(4.2.4)
(4.2.5)
(4.2.6)
(4.2.7)
A resultante de compressao nesta situacao limite, Rcc lim' e
dada por
(4.2.8)
onde a cd = 0,85 fed'
I
Flexiio normal simples - dimensionamento de seciies T 131
Introduzindo as expressoes de A/ e Aw lim dadas em (4.2.4)
e (4.2.5), resulta
(4.2.9)
onde
(4.2.10)
o momenta f1etor M d lim edado por
(4.2.11)
Substituindo as expressoes (4.2.4) a (4.2.7), chega-se a
(4.2.12)
onde
!J];m = Pr(1- P; )+s; (O,8~I;m - Pr{I- O,4~];m - P; )
(4.2.13)
Nas tabelas 4.2.1 e 4.2.2 encontram-se os valores de ree lim e
de ,ulim' para diversos valores de fJ/ e de fJlI" Para identificar a
tabela, enecessario observar se l'k ::; 35 MPa ou j~'k > 35 MPa.
As tabelas foram preparadas, considerando-se os valores de
~lim dados na equacao (4.2.1), ou seja, sem levar em conta 0 recurso
da redistribuicao de esforcos,
132 Curso de Concreto Annada
Tabela 4.2.1(a) - Valores de I~.(' lim para sccilo T (I." ::;.35 I\IPa)
pfU
PwU 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22
0,04 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23
0,06 0,12 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 0,23
0,08 0,12 0,14 0,16 0,18 0,19 0,21 0,23
0,10 0,13 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22 0,23
0,12 0,13 0,15 0,17 0,18 0,20 0,22 0,24
0,14 0,14 0,15 0,17 0,19 0,21 0,22 0,24
0,16 0,14 0,16 0,18 0,19 0,21 0,23 0,24
0,18 0,15 0,16 0,18 0,20 0,21 0,23 0,25
0,20 0,15 0,17 0,18 0,20 0,22 0,23 0,25
0.22 0,16 0,17 . 0,19 0,20 0,22 0,24 0,25
0,24 0,16 0,18 0,19 0,21 0,22 0,24 0,25
0,26 0,17 0,18 0,20 0,21 0,23 0,24 0,26
0,28 0,17 0,19 0,20 0,22 0,23 0,24 0,26
PfU
PwU 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36
0,04 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36
0.06 0,25 0,27 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36
0,08 0,25 0,27 0,29 0,30 0,32 0,34 0,36
0,10 0,25 0,27 0,29 0,31 0,32 0,34 0,36
0,12 0,25 0,27 0,29 0,31 0,32 0,34 0,36
0,14 0,26 0,27 0,29 0,31 0,33 0,34 0,36
0,16 0,26 0,28 0,29 0,31 0,33 0,34 0,36
0,18 0,26 0,28 0,29 0,31 0,33 0,34 0,36
0,20 0,26 0,28 0,30 0,31 0,33 0,34 0,36
0,22 0,27 0,28 0,30 0,31 0,33 0,34 0,36
0,24 0,27 0,28 0,30 0,31 0,33 0,34 0,36
0,26 0,27 0,29 0,30 0,32 0,33 035 0,36
0,28 0,27 0,29 0,30 0,32 0,33 0,35 0,36
Flexiio normal simples - dimensionamento de secoes T 133
Tabela 4.2.1 (b) - Valores de rcr lim para secao T (fck > 35 MPa)
fJ/JJ
fJll'JJ 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18' 0,20 0,22
0,04 0,11 0,13 0,15 0,16 0,18 i 0,20 0,22
0,06 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19: 0,20 0,22
0,08 0,11 0,13 0,15 0,17 0,19 0,21 0,22
0,10 0,12 0,14 0,15 0,17 0,19; 0,21 0,23
0,12 0,12 0,14 0,16 0,17 0,19 0,21 0,23
0,14 0,13 0,14 0,16 0,18 0,19 0,21 0,23
0,16 0,13 0,15 0,16 0,18 0,20, 0,21 0,23
0,18 0,13 0,15 0,17 0,18 0,20' 0,21 0,23
0,20 0,14 0,15 0,17 0,18 0,20, 0,22 0,23
0,22 0,14 0,16 0,17 0,19 0,20 0,22 0,23
0,24 0,14 0,16 0,17 0,19 0,20, 0,22 0,23
0,26 0,15 0,16 0,18 0,19 0,21 : 0,22 0,24
0,28 0,15 0,16 0,18 0,19 0,21 0,22 0,24
fJI JJ
fJH. JJ 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36
0,04 0,24 0,26 0,28
0,06 0,24 0,26 0,28
0,08 0,24 0,26 0,28
0,10 0,24 0,26 0,28
0,12 0,24 0,26 0,28 Dimensionar uma secao
0,14 0,25 0,26 0,28 retangular com largura bI e
0,16 0,25 0,260,28 altura iitil d(ver capitulo 3)
0,18 0,25 0,26 0,28
0,20 0,25 0,26 0,28
0,22 0,25 0,26 0,28
0,24 0,25 0,26 0,28
0,26 0,25 0,27 0,28
0,28 0,25 0,27 0,28
134 Curso de Concreto Armada
Tabela 4.2.2(a) - Valores de Jilim para secao T (j~k ::; 35 MPa)
fljJJ
flw JJ 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22
0,04 0,10 0,12 0,14 0,15 0,17 0,18 0,20
0.06 0,11 0,12 0,14 0,16 0,17 0,19 0,20
0.08 0,11 0,13 0,14 0,16 0,17 0,19 0,20
0.10 0,12 0,13 0,15 0,16 0,18 0,19 0,21
0.12 0,12 0,13 0,15 0,16 0,18 0,19 0,21
0.14 0,12 0,14 0,15 0,17 0,18 0,20 0,21
0.16 0,13 0,14 0,16 0,17 0,18 0,20 0,21
0.18 0,13 0,15 0,16 0,17 0,19 0,20 0,21
0,20 0,14 0,15 0,16 0,18 0,19 0,20 0,22
0.22 0,14 0,15 0,17 0,18 0,19 0,21 0,22
0.24 0,14 0,16 0,17 0,18 0,20 0,21 0,22
0,26 0,15 0,16 0,17 0,19 0,20 0,21 0,22
0.28 0,15 0,16 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22
flI JJ
flw JJ 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36
0.04 0,21 0,23 0,24 0,26 0,27 0,28 0,30
0.06 0,22 0,23 0,24 0,26 0,27 0,28 0,30
0,08 0,22 0,23 0,25 0,26 0,27 0,28 0,30
0,10 0,22 0,23 0,25 0,26 0,27 0,28 0,30
0.12 0,22 0,23 0,25 0,26 0,27 0,28 0,30
0,14 0,22 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,30
0,16 0,22 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,30
0,18 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,30
0.20 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,28 0,30
0,22 0,23 0,24 0,25 0,26 0,27 0,29 0,30
0,24 0,23 0,24 0,25 0,26 0,28 0,29 0,30
0.26 0,23 0,24 0,25 0,27 0,28 0,29 0,30
0,28 0,23 0,25 0,')6 0,27 0,28 0,29 0,30
Flexiio normal simples - ditnensionamento de secoes T 135
Tabe1a 4.2.2(b) - Valores de jllim para secao T (fck > 35 MPa)
fJfJJ
fJw JJ 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 0,20 0,22
0,04 0,10 0,12· 0,13 0,15 0,17 0,18 0,20
0,06 0,10 0,12 0,14 0,15 0,17 0,18 0,20
0,08 0,11 0,12 0,14 0,15 0,17 0,18 0,20
0,10 0,11 0,13 0,14 0,16 0,17 0,19 0,20
0,12 0,11 0,13 0,14 0,16 0,17. 0,19 0,20
014 0,12 0,13 0,15 0,16 0,17 ' 0,19 0,20
0,16 0,12 0,13 0,15 0,16 0,18 0,19 0,20
018 0,12 0,14 0,15 0,16 0,18 ' 0,19 0,20
0,20 0,12 0,14 0,15 0,17 0,18 0,19 0,20
0,22 0,13 0,14 0,15 0,17 0,18 0,19 0,21
0,24 0,13 0,14 0,16 0,17 0,18 0,19 0,21
0,26 0,13 0,15 0,16 0,17 0,181 0,20 0,21
0,28 0,14 0,15 0,16 0,17 0,19 0,20 0,21
fJfJJ
fJw JJ 0,24 0,26 0,28 0,30 0,32 0,34 0,36
0.04 0,21 0,23 0,24
0,06 0,21 0,23 0,24
0,08 0,21 0,23 0,24
0,10 0,21 0,23 0,24
0,12 0,21 0,23 0,24 Dimensionar uma secao
0,14 0,22 0,23 0,24 retangu1ar com 1argura hf e
0,16 0,22 0,23 0,24 altura iitil d (ver capftulo 3)
0,18 0,22 0,23 0,24
0,20 0,22 0,23 0,24
0,22 0,22 0,23 0,24
0,24 0,22 0,23 0,24
0.26 0,22 0,23 0,24
0,28 0,22 0,23 0,24
136 Curso de Concreto Armada
Assim, 0 dimensionamento da secao T e Icito de acordo COil! a
seguinte sequencia:
a) dado 0 momento fletor solicitante de calculo Md' calculu-se 0
momento reduzido
(4.2.14)
b) com 0 emprego da equacao (4.2.13), calcula-se ,ulim' 0 qual
r depende da resistencia a cornpressao do concreto e dos parametres
geometricos P.f e Pw' 0 valor de ,ulim pode sel' lido diretamente
das tabelas 4.2.2(a) e 4.2.2(b);
c) se resultar ,u ~.ulim' adota-se armadura simples ( A~. = 0);
d) se resultar J.1 >J.1lim' adota-se armadura dupla.
4.3 - Dimensionamento com armadura simples
o primeiro passo do dimensionamento com armadura simples
consiste em verificar se a mesa sozinha e capaz de absorver 0
momenta f1etor solicitante de calculo, Para isto, e necessario
determinar 0 momenta tletor resistente de calculo que corresponde a
situacao indicada na fig. 4.3.1.
Conforme se observa na fig. 4.3.1, 0 momenta resistido pela
mesa, M elf ' edado por
(4.3.1)
Substituindo as expressoes de Ar e Zr dadas nas equacoes
(4.2.4) e (4.2.6), resulta
(4.3.2)
Flexiio normal simples - dimensionameuto de secoes T 137
onde
(4.3.3)
Fig. 4.3.1 - Mesa comprimida com tensao acd
Logo, se Il ~ Ilt : significa que a mesa sozinha e capaz de
absorver 0 momenta f1etor solicitante de calculo. Se f1 > Ilj , toma-
se necessaria a colaboracao de parte da nervura.
A) Caso 1: Il ~ Il r
Neste caso, apenas uma parte da mesa estara comprimida com
o bloco retangular de tensoes. A situacao e identica a de uma secao
retangular com largura hf e com altura iitil d. Assim, podern-se
empregar as mesrnas expressoes deduzidas no capitulo 3 para as
secoes retangulares, substituindo b por bj' .
o adimensional 4= x]d , que caracteriia a posicao da Iinha
neutra, e dado por
(43.4)
com u caJculado atraves da equacao (4.2.14).
138
e vale
Curso de Concreto Annada
A taxa mecanica de armadura, OJ, edefinida como
())=~ !.wl
bId (jed
OJ =O,8~
(4.3.5)
(4.3.6)
Encontrado 0 valor de OJ, calcula-se a area de aco atraves da
expressao
(4.3.7)
B) Caso 2: u > Il/
Neste caso, uma parte da nervura tambern estara comprimida
com a tensao O'ed' Na fig. 4.3.2, indica-se a parte da secao que e
comprimida com 0 bloco retangular de tensoes para uma
profundidade generica da linha neutra igual a x.
bf
o.ex
Fig. 4.3.2 - Parte da secao comprimida com 0 bloco retangular
F/exlio 1/II/"I//II!.Iill/p!e.l - dimcnsionamcnto tie .Iq'iie.l T 139
Por sernelhanca com as equacoes (4.2.5) e (4.2.7), tem-se
(4.3.8)
(4.3.9)
As equacoes de equilfbrio sao as seguintes:
I) Equilibrio de momentos:
Observando a fig. 4.3.2, tem-se
(4.3.10)
Como indicado na equacao (4.3.1), M df = AfZfO'rd e 0
momento resistido pela mesa. Logo, a nervura devera absorver a
parcela do momento solicitante M d - M df .
Substituindo as expressoes de Aw e Zw na equacao (4.3.10),
obtern-se
M a : M,I =p",(0,8'; - Pr{1- 0,4'; - P; }rd20"cd
(4.3.11)
Introduzindo as definicoes dos adimensionais f.1 e f.1f '
resulta a equacao do segundo grau
onde
O,32~2 - O,8~+p* = 0 (4.3.12)
140 Curso de Concreto Armada
A solucao da equacao (4.3.12) e dada por
(4.3.13)
(4.3.14)
II) Equilibrio de[orcas:
Fazendo 0 equilfbrio de forcas (ver fig. 4.3.2), tem-se
(4.3.15)
Considerando as express6es (4.2.4), (4.3.5) e (4.3.8), obtem-se
a taxa mecanica de armadura
OJ = /lf (1- /lw) +O,8q/lw (4.3.16)
e a area de aco ecalculada com 0 emprego da equacao (4.3.7).
4.4 - Dimensionamento com armadura dupla
Nesse caso, a profundidade da linha neutra e fixada como
x = xlim' Assim, 0 dimensionamento da secao T com armadura
dupla e feito com as mesmas equacoes deduzidas para a secao
retangular, bastando adotar as express6es corretas de Rcc lim e de
M d lim ·
Na fig. 4.4.1, indica-se a secao transversal com armadura
dupla e as resultantes das tens6es.
Flexiio normal simples - dimensionamento de secoes T 141
d'
R'Sd
<
RSd
Fig. 4.4.1 - Resultantes das tensoes na secao com armadura dupla
A forca na armadura de compressao e R;a = A;O';d' onde a
tensao O';d e calculada exatamente como foi feito no capitulo 3. A
forca na armadura de tracao e Rsd = As/wi'
as valores de 0';(/, em funcao do parametro £5 = .r/d , sao
novamente reproduzidos na tabela 4.4.1.
Logo, aplicando a equacao de equilfbrio de momentos, resulta
a taxa mecanica da armadura de compressao (ver equacao (3.7.10) do
capitulo 3)
, (Ji- Jilim )f)'dOJ= .(1-O)O';d (4.4.1)
sendo que os momentos reduzidos Jilim e Ji sao definidos nas
equacoes (4.2.13) e (4.2.14), respectivamente,
A area da armadura de cornpressao edada por
(4.4.2)
142 Curso de Concreto Armada
Aplicando a equacao de equilfbrio de Iorcas c suhstituindo a
expressao de Rcc lim dada em (4.2.9), obtern-se a taxa rnccanica da
armadura tracionada (ver a semelhanca com a equacao (3.7.14) do
capitulo 3)
_ Ll>: f.1lim
OJ - rcc lim + -=---------'----~1-0
(4.4.3)
Tabela 4.4.1 - Tensao a~'d (kN/cm2) na armadura de compressao
di ibui - d ~sem re istn uicao e es on;os
Concreto fck ::; 35 MPa fck > 35 MPa
0 CA-50 CA-60 CA-50 CA-60
0,01 43,48 52,17 43,48 52,17
0,02 43,48 52,17 43,48 52,17
0,03 43,48 52,17 43,48 52,17
0,04 43,48 52,17 43,48 52,17
0,05 43,48 52,17 43,48 52,17
0,06 43,48 52,17 43,48 52,17
0,07 43,48 52,1743,48 52,17
0,08 43,48 52,17 43,48 52,17
0,09 43,48 52,17 43,48 52,00
0,10 43,48 52,17 43,48 50,00
0,11 43,48 52,17 43,48 48,00
0,12 43,48 51,33 43,48 46,00
0,13 43,48 49,78 43,48 44,00
0,14 43,48 48,22 42,00 42,00
0,15 43,48 46,67 40,00 40,00
0,16 43,48 45,11 38,00 38,00
0,17 43,48 43,56 36,00 36,00
0,18 42,00 42,00 34,00 34,00
0,19 40,44 40,44 32,00 32,00
..
0,20 38,89 38,89 30,00 30,00
.-.'.
Fll'xi7o normal simples - diinensionamento de seciies T 143
4.5 - Roteiro para 0 dimensionamento de secoes T
o dimensionamento de secoes T pode ser feito de acordo com
a seguinte sequencia de calculos:
M
a) u = / (momento reduzido solicitante)
bj'd acd
hI'P =-,..
.r a ' P = b
w
.
w b 'f
{
qr;m: 0,45 , ~e lek :5, 35 MPa
¢'lim - 0,35 , .\e f,ck > 35MPa
Se P.r > 0,8¢'lim' dimensionar uma se~ao retangular com
largura b.r e altura.iitil d , como no capftulo 3.
b) Calcular rcclim e fllilll atraves das equacoes (4.2.10) e (4.2.13),
ou ler esses valores diretamente das tabelas 4.2.1 e 4.2.2.
c) Dimensionamento com armadura simples (u :::; fllim):
Caso 2) u > uf
A area da armadura de tracao e As =wb I'd acd .
, fyd
144 Curso de Concreto Armada
d) Dimensionamento com armadura dupla (JI > Jllim ):
Calcular t5 =d'/d e retirar a tensao a:'d da tabela 4.4.1.
oJ' = (JI- Jllim ) f.~d ~
I-J CYsd
(j)= r ' + JI- Jllim ~
cchm I-J
A, - 'b I aeds -(j) t{,--
, f.wl
Observas:ao: Empregando-se redistribuicao de esforcos, se resultar
~lim < 0,26, ou ~lim::; t5, e JI> ,ulim' devern-se aumentar as
dimens6es da secao transversal (ver capitulo 3).
e) Armadura minima: As,min = PminAe' onde Ac ea area da secao
transversal, considerando-se a mesa e a nervura.
Nos casos em que a mesa esta comprimida, podern-se adotar
os mesmos valores de Pmin das secoes retangulares, fornecidos na
tabela 3.11. I.
Se a mesa estiver tracionada, 0 momenta de fissuracao sera
maior que no caso de mesa comprimida. Assim, para secoes T com a
mesa tracionada, os valores de Pmin da tabela 3.11.1 devem ser
multiplicados por 1,5. Evidentemente, se a mesa estiver tracionada, a
secao deve ser dimensionada como uma secao retangular de largura
bw e altura h .
Se As < A s.min ' adota-se As = A'\',min .
4.6 . Exemplos de dimensionamento
Os exemplos apresentados a seguir referem-se a secao
indicada na fig. 4.6.1. Em todos os exemplos, adota-se urn concreto
com l'k = 20 MPa e 0 aco CA-50.
Fiexiio normal simples - dimensionamento de seciies T 145
60
40
11 •___¥_--t~4
s
Md~
As
Ie
36cm
Fig. 4.6.1 - Dimensoes da secao T
Neste caso, tem-se:
20
(J'ed = 0,85 fed = 0,85- = 12 MPa => (J'cd = 1,2kN/cm2
1,4
f"k 50 ?f"d = -'- = - = 43,48 kN/cm-
. Ys 1,15
as adimensionais que definem a geometria sao:
hr 10P =-' =-=0,28
I d 36 P = b
w
=Q=O 20
w br 60 '
;lim = 0,45 , pois .t:'k s 35 MPa
PI < 0,8;lim = 0,36 => dimensionamento como secao T
Entrando nas tabelas 4.2.1 e 4.2.2 com Pf = 0,28 e
PI\' = 0,20, obtem-se rcelim = 0,30 e ,lllim = 0,25 .
146 Curso de Concreto Armada
A) Exemplo 1: M d =150 kNm
/I = _M-..::.:.d_ = 15000 =°16
r-- 2 2'bid acd 60x36 xl,2
Como Il < Illim' 0 dimensionamento sent feito com armadura
simples.
( f3rJ (0,28)f.1I = f3I 1- 2 =0,28 1--2- =0,24
Como Il < Ill' a mesa sozinha e capaz de resistir ao
momenta fletor de calculo.
m=I-~1-21l =1-~1-2xO,16 =0,175
Ac = 12x30+ 60x10 = 960 ern' (area da secao transversal)
Pmin =0,15% (tabela 3.11.1)
Logo, a solucao e As =10,43 em'.
Flexiio normal simples - dimensionamento de secoes T 147
B) Exemplo 2: M d =250 kNm
= 25000 =°27
60x36 2 xl,2 '
Como f.1 > f.1lim = 0,25, a solucao sera com armadura dupla.
s: d ' 4 I J
U = d = 36 = 0,11 => (Jsd = 43,48 kN/cm- (da tabela 4.4.1)
0/ = (f.1- f.11im) .l.~d = (0,27 -0,25) 43,48 = 0,022
1- 8 (Jwl I - 0,11 43,48
A' 'l d (Jed 0 1,2 I Js = ()) ')f -.- = ,022x60x36x-- => As = 1,31 ern
. fyd 43,48
()) = r . + f.1- f.1lim = °30 + 0,27 - 0,25 = 0 322
cc11m 1- 8 ' 1- 0,11 '
Como As > As.min ' adota-se As = 19,20 em',
4.7 - Determinaeao da largura efetiva da mesa
Na fig. 4.7.1, indica-se uma secao transversal tfpica dos pisos
de ediffcios constitufdos por vigas e por lajes macicas. Havendo uma
ligacao adequada entre a laje e a nervura da viga, uma parte da laje
colaborara para a resistencia e para a rigidez da viga. Assim, as vigas
podem ser projetadas como vigas T com uma mesa de largura bf .
148
h
Curso de Concreto Annada
mesa colaborante
armadura de costura
estribos verticais
Fig. 4.7.1 - Secao tfpica dos pisos de ediffcios
A ligacao entre a mesa e a nervura e conseguida atraves de
uma armadura decostura formada por estribos horizontais, conforme
e indicado na figura. 0 calculo da armadura de costura e dos estribos
verticais para cisalhamento e apresentado no capitulo 6.
Conforme ja foi salientado, a viga s6 funcionara como uma
viga T se a mesa estiver comprimida. Assim, nos casos de mesa
superior, como indicado na fig. 4.7.1, tern-se uma secao T nos
trechos de momentos fletores positivos. Nos trechos onde 0 momenta
fletor e negativo, a viga funcionara como uma viga de secao
retangular com largura bw e altura h .
Evidentemente, se a mesa for inferior (caso de vigas
invertidas) tem-se uma secao T nos trechos de momentos negativos e
uma secao retangular nos trechos de mornentos positivos. Para haver
o funcionamento como viga T, independentemente do sinal do
momenta fletor solicitante, e necessario executar 0 piso com laje
dupla, conforme indicado na fig. 4.7.2.
F/l'xi7n norma! simples - dimensionumcnto de se~'iies T )49
laje superior
DD
laje :infe rior
Fig. 4.7.2 - Piso com laje dupla
A solucao indicada na fig. 4.7.2, apesar de ser ideal do ponto
de vista da capacidade resistente, tern 0 inconveniente da perda de
formas, alem de nao permitir lima unica concretagem do piso.
Considerando a flexao do conjunto formado pelas nervuras e
pela laje do piso, tem-se lima distribuicao variavel das tensoes de
cornpressao na mesa, como eindicado na fig. 4.7.3.
YI
b!2
Fig. 4.7.3 - Variacao das tensoes de compressao na mesa
150 Curso de Concreto Armada
Conforme se observa, a tensao de cornpressao e maxima na
nervura, onde ela alcanca 0 valor de calculo (Jed' Em seguida, a
tensao sofre uma reducao, valendo ax a uma distancia y da face da
nervura. Uma vez que 0 dimensionamento da secao e feito com a
tensao maxima aed' torna-se necessario definir a largura efetiva da
mesa, bf ' de tal forma que a resultante das tens6es de cornpressao
seja igual ao valor obtido considerando as variacoes de (Jx' Para que
isto ocorra, e necessario que
(4.7.1)
oode b2 e a distancia entre as faces de duas nervuras sucessivas.
A integral dada em (4.7.1) e feita apenas ate uma distancia
b2/2, para que uma mesma parte da laje nao seja considerada para
duas nervuras distintas.
De modo analogo, pode-se obter a dirnensao b3 e a largura
efeti va da mesa sera dada por
(4.7.2)
A largura efetiva da mesa depende de uma serie de fatores,
como 0 tipo de viga (isolada ou continua), 0 tipo de carga aplicada
(conceotrada ou distribufda), a existencia de mfsulas, etc. Para 0
calculo de bI : de acordo com a NBR-6ll8, sao definidas as
seguintes variaveis:
bw =largura real da nervura;
ba = largura da nervura fictfcia, obtida aumentando-se a largura real
para cada lado de valor igual ao menor cateto da mfsula
correspondente;
b2 = distancia entre as faces das nervuras fictfcias sucessivas.
Essas dimensoes sao indicadas na fig. 4.7.4.
Flexiio normal simples - dimensionamento de seciies T 151
~I
Fig. 4.7.4 - Largura efetiva da mesa segundo a NBR-6118
Os trechos b, e b'j indicados na fig. 4.7.4, medidos a partir da
face da nervura fictfcia, sao dados pOI'
(4.7.3)
em que a representa a distancia entre os pontos de momento fletor
nulo.A distancia a pode ser estimada em funcao do comprimento 1
do tramo considerado, como:
- viga simples mente apoiada: a = 1
- tramo com momenta em uma so extremidade: a = 0,751
- tramo com momentos nas duas extrernidades: a = 0,601
- tramo em balance: a = 21
Alternativarnente, a distancia a pode ser obtida mediante 0
exame dos diagramas de momentos fletores na estrutura.
152 Curso de Concreto Armada
Portanto, a largura efetiva da mesa e dada por
(4.7.4)
Evidentemente, para uma nervura central tem-se
bf =br +ba +btl, onde br e btl correspondem aos valores de b,
medidos a partir das faces esquerda e direita da nervura fictfcia,
respectivamente. Para uma nervura isolada, a largura efetiva da mesa
e bf = ba +2b] .
Na fig. 4.7.5, indica-se a situacao de uma nervura lateral.
Neste caso, a largura efeti va da mesa e br =ba +b] e a secao e
assimetrica. Devido a falta de simetria, a flexao sera oblfqua.
Entretanto, se existirem vigas transversais de amarracao que
impecam 0 giro da secao, a mesma pode ser dimensionada em flexao
normal com os procedimentos ja apresentados.
I
I
/ Ib1 III
,-I
/
I. ba viga transversal/
r
Fig. 4.7.5 - Nervura lateral
Quando a laje apresentar aberturas ou interrupcoes na regiao
da mesa colaborante, a largura efetiva da mesa e calculada como
anteriormente, respeitando-se as limitacoes impostas pelas aberturas.
Este caso e ilustrado na fig. 4.7.6, onde se observa que a variacao da
largura efetiva edeterminada considerando-se mfsulas de inclinacao
1 para 2.
Flcxdo norma! simples - duncnsiontunento til' sq'iies T 153
abertura
I 1
~~~ I
2
Fig. 4.7.6 - Largura efetiva da mesa na presenca de abertura na laje
Exemplo: Determinar a largura efetiva da mesa das vigas indieadas
na fig. 4.7.7. As vigas sao simplesmente apoiadas eom vao 1=5 m.
Para todas as vigas, tern-se:
a =1=500 em (vigas simplesmente apoiadas);
hI = 5 em (espessura da mesa);
b2 =50 em (distancia entre nervuras);
ba =bw =8 em (Iargura da nervura fictfcia, pois nao ha rnfsulas).
5
30
V1
50
V2
50
V3
Fig. 4.7.7 - Piso do exemplo (Iaje nervurada)
{
O,la = 0,lx500 = 50cmb, ::; , => b, = 25 em
0,5b2 =0,5x50 =25cm
154 Curso de Concreto Annada
Viga VI: bf =ba +b) =8+25=33cm
Vigas V2, V3, etc.: b f = ba + 2b( = 8 + 2x25 = 58 em
As secoes das vigas sao indicadas na fig. 4.7.8.
30
viga V1
30
58
demais vigas
~I
Fig. 4.7.8 - Secoes das vigas do piso (nervuras da laje)
Capitulo 5
FLEXAO NORMAL SIMPLES
Veriflcaeao da Capacidade Resistente
5.1 . Definieao do problema
Os capftulos 3 e 4 foram dedicados ao dimensionamento de
secoes de concreto armado submetidas a flexab normal simples.
Conforme foi apresentado, 0 dimensionamento consiste em
determinar as dimensoes da secao transversal e as armaduras
necessarias para garantir 0 equilfbrio no estado limite ultimo
(definido atraves dos domfnios de dimensionamento).
Na realidade, ao enfrentar esse problema procura-se, de infcio,
fazeI' um pre-dimensionamento da secao de' concreto. Assim,
conhecidas as dimens6es da secao, 0 que se faz e calcular as areas
das armaduras para um momento fletor solicitante de calculo Md' A
seguranca global obtida nesse processo e dada pela cornbinacao dos
coeficientes parciais Yf' Y(' e Ys .
o dimensionamento constitui 0 trabalho diario dos projetistas
das estruturas de concreto armado. Entretanto, em muitas situacoes,
ha a necessidade de resolver um outro tipo de problema: a
verificacao da capacidade resistente.
o problema da verificacao da capacidade resistente na flexao
normal simples pode ser colocado da seguinte forma: "dada uma
secao transversal de concreto armado com todasas dimens6es e as
armaduras conhecidas, procura-se 0 momenta fletor que leva a se<;ao
a rufna". Esse problema surge, pOI' exemplo, em reformas e
ampliacoes, quando se pretende mudar as condicoes de carregamento
de vigas e lajes. Interessa saber se a viga jri construfda resistira as
novas cargas decorrentes da ampliacao.
A principio, pode-se pensar em realizar urn dimensionamento
da secao transversal da viga (com 0 momento f1etor devido ao novo
carregamento) e comparar as armaduras calculadas com as
156 Curso de Concreto Annada
armaduras existentes na secao, Entretanto, podc ocorrer que a vign
tenha sido projetada com criterios diferentes daquclcs uprc-cuuulox
nos capftulos 3 e 4. POl' exemplo, a viga pode possuir armaduru
simetrica (As = A;). Urn dimensionamento com 0 novo momenta
fletor levara sempre a uma armadura assirnetrica (conforme os
capitulos 3 e 4) e a questao podera permanecer sem resposta.
Suponha uma viga de secao retangular com b =15 ern,
h = 40 em, As = A; = 6,03 ern' (3 barras de 16 mm em cada face),
aco CA-50 e concreto com fck = 20 MPa. 0 dimensionamento
realizado para 0 novo carregamento indicou A,I' = 6,52 ern' e
A; = 1,15 ern'. A viga resiste ou nao resiste ao novo carregamento?
A resposta nao pode ser dada apenas comparando-se as armaduras. E
necessario determinar 0 momenta fletor de rufna da secao com
As = A.~ =6,03 ern' e compara-lo com 0 novo momenta tletor
solicitante.
Esse mesmo problema surge nos casos de revisao de projetos.
Considere-se, por exemplo, a ocorrencia da rufna da viga anterior
(com As = A,~ = 6,03cm2) . 0 projetista, chamado para revisar 0
projeto estrutural, refez os calculos e chegou a solucao
As =6,52 em" e A; =1,15 ern". Baseando-se apenas nesses
resultados, ele nao pode concluir que a rufna ocorreu devido a urn
dimensionamento "errado". De fato, neste exemplo, as duas secoes
apresentam a mesma capacidade resistente e a ruina da viga ocorreu
por outro motivo.
De urn modo geral, 0 momento de ruina nao pode ser obtido
de maneira explfcita, mesmo para as secoes retangulares.
Normal mente, deve-se empregar urn processo iterativo para
encontrar a posicao da linha neutra e, em seguida, calcular 0
momenta de ruina. Entretanto, em alguns casos particulares pode-se
obter 0 momenta de ruina diretamente, conforme se apresenta a
seguir.
Flexiio normal simples - verificactio da capacidaderesistente 157
5.2 - Se~ao retangular com armadura simples
Na fig. 5.2.1, indica-se uma secao retangular submetida a
flexao normal simples. As dimens6es da secao, b e h , a altura iitil,
d , e a area da armadura tracionada, As' sao conhecidas.
d
h
Fig. 5.2.1 - Secao transversal
o diagrama tensao-deforrnacao do aco eindicado na fig. 5.2.2.
Ey Es
Fig. 5.2.2 - Diagrama tensao-deformacao do aco
No diagrama tensao-deforrnacao da fig. 5.2.2, a tensao de
escoamento e representada genericamente par Iv' Logo, a
158 Curso de Concreto Armada
deformacao de escoamento e cy =I, / E, ' onde E, e0 modulo de
elasticidade do aco.
Analogamente, a resistencia a compressao do concreto sera
designada por fe' adotando-se 0 valor 0,85f(' no diagrama
retangular simplificado.
Quando se procura 0 momenta de rufna de calculo, Mild,
deve-se trabalhar com as resistencias de calculo, isto e, I, = f.w/ e
I, = fed' Se 0 momenta de rufna caracterfstico for de interesse,
adota-se f." = fyk e [; = fek .
Na fig. 5.2.3, sao representados os domfnios correspondentes a
flexao simples. Observa-se que 0 domfnio 4 tambem deve ser
considerado, pois a secao dada pode ser superarmada.
10% 0 Cy
Fig. 5.2.3 - Dominios em flexao simples
A profundidade da linha neutra, xb' na condicao balanceada e
dada por
(5.2.1 )
A tensao na armadura varia conforme a rufna ocorra nos
domfnios 2 e 3 (secao subarmada e normal mente armada) ou no
domfnio 4 (secao superarmada).
Flexdo normal simples - verificaciio da capacidade resistente 159
Caso 1) Domfnios 2 e 3
Neste caso, a profundidade da linha neutra, x, fica Iimitada ao
intervalo
(5.2.2)
A deformacao da armadura e e, ~ cy e, consequentemente, a
tensao na armadura e (js = t, .
Caso 2) Domfnio 4
A profundidade da linha neutra esta situadano intervalo
(5.2.3)
e 0 aco nao atinge 0 escoamento.
A deformacao da armadura e obtida do diagrama indicado na
fig. 5.2.4.
3,50/ 0 0
x
£8
Fig. 5.2.4 - Deformacao da armadura no domfnio 4
De acordo com a fig. 5.2.4, tem-se
Cs d-x
3,5%0 x
de onde resulta
(5.2.4)
160 Curso de Concreto Armada
(d-X)e. =3,5%0 -x-'- (5.2.5)
Considerando 0 diagrama tensao-deformacao do aco indicado
na fig. 5.2.2, a tensao na armadura edada por
(d-X)as = 3,5%0 E I· -x- (5.2.6)
Logo, dada a profundidade x da linha neutra, empregam-se as
equacoes (5.2.1) a (5.2.3) para verificar em qual dos casos 0
problema se enquadra. Identificado 0 caso, obtern-se a tensao na
armadura.
Na fig. 5.2.5, indicam-se as resultantes das tensoes na secao
transversal, juntamente com 0 momenta de rufna Mil'
O'c
z
Rs
Fig. 5.2.5 - Resultantes das tens6es na secao transversal
A resultante das tensoes de compressao no concreto, Rcc' e
dadapor
onde ac = 0,85fc e 0 brace de alavanca e
Z=d-O,4x
A forca na armadura edada por
(5.2.7)
(5.2.8)
Flexiio normal simples - verificaciio da capacidade resistente 161
Aplicando as equacoes de equilfbrio, resulta:
a) Equillbrio de for£as:
(5.2.10)
Substituindo as express6es de ReI' e Rs' chega-se a
(5.2.11)
onde a, = i., se x S xb, e as e uma funcfio de x (equacao
(5.2.6)), se x> xb'
b) Equillbrio de momentos:
Substituindo as express6es de ReI' e de Z , resulta
Mil = O,8bx(d - O,4x)a('
(5.2.12)
(5.2.13)
A equacao (5.2.11) fornece a profundidade ida linha neutra, x,
e a equacao (5.2.13) fornece 0 momenta de ruina, M u . Entretanto,
como existem dois casos possfveis para 0 calculo da tensao na
armadura, e necessario fazer urn teste para saber se a ruptura ocorre
nos domfnios 2 e 3 ou no domfnio 4.
o seguinte procedimento pode ser empregado:
I) Adrnite-se que a ruptura ocorre no domfnio 2 ou no domfnio 3,
isto e, adota-se as = I\' . A equacao (5.2.11) fornece a posicao da
linha neutra, na forma
162 Curso de Concreto Annada
x= 125 As!y
, ba; (5.2.14)
2) Se resultar x::; xb' significa que a hip6tese anterior estava
correta. Com este valor de x, calcula-se 0 momenta de ruina atraves
da equacao (5.2.13).
3) Se resultar X> xb' significa que a ruptura ocorre no dominio 4 (a
secao e superarmada) e 0 valor de x dado em (5.2.14) esta errado.
Substituindo (5.2.6) em (5.2.11), obtem-se
(5.2.15)
Com este valor de x, calcula-se 0 momenta de ruina atraves
da equacao (5.2.13).
Exemplo 1:
Considere-se a secao retangular indicada na fig. 5.2.6.
h=40 A =3cm2s
A
d=36
Fig. 5.2.6 - Secao transversal
rtl'.rtlll 11111'1//(/1 ,Iil/I11IC,I' - \'crifi('(/~·tI(J do cupacidade resisteute 163
o concreto possui uma resistencia acornpressao caracterfstica
Ick = 20 MPa e 0 aco e 0 CA-50. Determinar 0 momenta de ruina
de calculo M lid, adotando os coeficientes parciais de seguranca
y; = 1,4 e r, = I,l5.
Neste caso, deve-se trabalhar com as resistencias de calculo
dos materiais:
a; =0,85Ie =12MPa ~(je =1,2kN/cm2
Irk 50 ?t, =-'-=-=43 48kN/cm-
, .\ 115'rs '
C, = I y = 43,48 =2174 0 /
,\ E, 20.000 ' /00
Da equacao (5.2.1), obtern-se xb = 22,2 em.
A primeira estimativa da profundidade da Iinha neutra edada
pOI' (equacao (5.2.14))
A f'
x = I25~ = 1 25 3x43,48 9,06 em
, hac ' 15xl,2
Como x < xb, significa que esse resultado esta correto (a
secao nao e superarmada), Da equacao (5.2.13), obtem-se 0
momenta de rufnade calculo
M lid = 0,8xI5x9,06(36-0,4x9,06)1,2 = 4224 kNcm
Logo, Mud = 42,24kNm.
164
Exemplo 2:
Curso de Concreto Armada
Resolver o exemplo anterior considerando uma area de aco
As =9cm2•
A primeira estimativa da posicao da linha neutra edada por
= 1 25 Asf.v = 1')5 9x43,48 = 27 ')x , ,_ ,_cm.
hac 15xl,2
Como resultou x > xb' significa que a secao e superarmada. 0
valor correto de x, dado na equacao (5.2.15), e x =23,44cm.
Substituindo x = 23,44 na equacao (5.2.13), resulta
Mud =89,87 kNm.
5.3 - Se-;ao retangular com varias camadas de armadura
Em geral, 0 calculo do momenta de ruina de secoes com mais
de uma camada de armadura nao pode ser feito da forma explfcita
apresentada anteriormente. Nesses casos, deve-se empregar urn
processo iterativo para a obtencao da profundidade da linha neutra.
Considere-se a secao retangular com 11 camadas de armadura,
indicada na fig. 5.3.1. A camada I e a mais proxima da borda
tracionada.
Para generalizar a forrnulacao, e conveniente admitir que todas
as camadas da armadura estejam comprimidas. Assim, se uma
camada estiver tracionada, resultara uma deforrnacao negativa e,
consequentemente, uma tensao negativa nessa camada. Dessa forma,
o sentido correto das forcas nas camadas de aco ficara
automaticamente garantido.
Observando os domfnios da fig. 5.2.3, verifica-se que no
domfnio 2 a deformacao da camada 1 e fixada (igual a 10%0)' Nos
dominies 3 e 4, a deformacao da borda comprimida e fixada (igual a
Flexdo normal simples - verificaciio da capacidade resistente 165
3,5 %0)' Assim, devem ser considerados os dois casos seguintes
para 0 calculo das deformacoes nas diversas camadas da armadura.
h
• •
• •
• •
Fig. 5.3.1 - Secao transversal
Caso I) Domfnio 2
Neste domfnio, tem-se
O 3,5 I:s:x:S:--Gl
13,5
conforme pode ser deduzido da fig. 5.2.3.
(5.3.1)
Na fig. 5.3.2, indica-se a distribuicao das deformacoes no
domfnio 2.
Empregando a sernelhanca de triangulos, verifica-se que a
deformacao csi da camada generica da armadura edada por
(
x - d . )
csi =10%0 . 1
d1-x
(5.3.2)
166 Curso de Concreto Annada
10°/00
Fig. 5.3.2 - Deforrnacao da camada i (domfnio 2)
Caso 2) Domfnios 3 e 4
A profundidade da linha neutra varia no intervalo
3,5 I I
--c] <x~c]
13,5
(5.3.3)
A distribuicao das deforrnacoes na secao transversal e
representada na fig. 5.3.3.
Fig. 5.3.3 - Deformacao da camada i (dorninios 3 e 4)
De acordo com a fig. 5.3.3, tern-se
F!l'X(/O nonnal sitnplcs - ,'aU/corcio da capacidadc resistente
(
x - d . )
csi =3,5%0 --x-'
167
(5.3.4)
Logo, dada a profundidade da linha neutra, calcula-se a
deformacao em cada camada da armadura corn 0 emprego das
equacoes (5.3.2) e (5.3.4), conforme 0 caso. Entrando no diagrama
tensao-deforrnacao do aco, obtem-se a tensao (jsi em cada camada
de ace,
Na fig. 5.3.4, indicam-se a resultante de compressao no
concreto e a forca na camada generica da armadura,
z
Fig. 5.3.4 - Resultantes das tensoes na secao
A resultante de compressao no concreto, R('(', e 0 brace de
alavanca, Z, sao dados por
Z =d, -O,4x
A forca na camada generica de armadura e
onde A,I'i ea area de aco da camada i.
(5.3.5)
(5.3.6)
(5.3.7)
168 Curso de Concreto Armada
Empregando as equacoes de equilfbrio, resulta
II
s.. + LAsiO"Si =0
i=l
II
M ll =RccZ+ LAsiO"si(dl-di)
i=l
(5.3.8)
(5.3.9)
A equacao (5.3.8) fornece a profundidade da linha neutra e a
equacao (5.3.9) fornece 0 momento de ruina. Entretanto, a incognita
x, que define a posicao da Iinha neutra, nao pode ser obtida
diretamente da equacao (5.3.8). Para encontrar x, deve-se empregar
urn algoritmo iterativo.
A equacao (5.3.8) pode ser escrita genericamente na forma
f(x)=O,onde
II
f(x)= Rcc(x)+ L AsiO"si (x)
i=l
(5.3.10)
A raiz dessa equacao deve se situar no intervalo [0, d1], que
engloba os domfnios da flexao simples. Para encontrar a raiz, pode-
se empregar 0 processo da bissecante, ilustrado na fig. 5.3.5.
as limites do intervalo onde se situa a raiz procurada sao
Xo = ° e Xu = d I . A funcao f (x) nos extremos do intervalo vale
i; = f(xo ) e t; = f(xJ.
A primeira aproximacao xl para a raiz da funcao f(x) e
tomada como a intersecao da reta que passa pelos pontos (xo' fo) e
(xu, fu) com 0 eixo das abscissas. 0 valor de xl e dado pOl'
(5.3.11)
Flexiio normalsimples - verificaciio da capacidade resistente 169
Em seguida, calcula-se fl = f(x)) e testa-se a convergencia.
Se if, I< tol, onde tol e uma tolerancia preestabelecida, a
convergencia foi alcancada e xI e considerada a solucao do
problema.
Se a convergencia nao for alcancada, ideve-se reduzir 0
intervalo solucao e iterar novamente. Para isto, avalia-se 0 produto
PI =t.J, . Se resultar PI > 0, como indicado mt fig. 5.3.5, adotam-
se Xo = xI e fo = f,. Se PI < 0, devem-se fazer Xu = xl e
fu =f,·
Com 0 novo intervalo, desta vez menor que 0 anterior, repete-
se 0 calculo de xI com 0 emprego da equacao (5.3.11) e assim,
sucessivamente, ate a convergencia. Encontrada ia profundidade da
linha neutra, caJcula-se 0 momenta de ruina com 0 emprego da
equacao (5.3.9).
f(x)
x
Fig. 5.3.5 - Processo da bissecante
Exemplo 1:
Determinar 0 momenta de ruina de calculo da se<;ao
transversal indicada na fig. 5.3.6. A secao e armada com 7 barras de
170 Curso de Concreto Armada
16 mm na zona tracionada e 2 barras de 16 nun na borda
comprimida. 0 concreto possui t., = 20 MPa e 0 uco e0 CA-50.
40
•
I4
28
32
•
•
• •
36
Area de 1 barra =2,01cm 2
Fig. 5.3.6 - Secao transversal
Como se procura 0 momenta de rufna de calculo, deve-se
trabalhar com as resistencias de calculo [; = fed e t- = f,w! .
Empregando 0 algoritmo da bissecante (implementado em urn
programa de eomputador), resulta
x=21,43em; Mud =129,14kNm.
Considerando toda a armadura de tracao (As =14,07 em')
eoneentrada na eamada inferior (d =36 em), resulta
x=23,59cm; Mud =147,22kNm.
o momento de rufna nesta segunda hip6tese IS maior do que 0
momenta de rufna obtido com a disposicao real das barras, como era
esperado.
Considerando a armadura de tracao eoneentrada no seu
eentroide (d =32,57 em), resulta
Flexiio normal simples - verificaciio da capacidade resistente 171
x=21,73cm; Mud = 125,54 kNm.
o momento de ruina obtido desta forma e igual a 97% do
momenta de rufna com a disposicao real das barras.
Exemplo 2:
Considere-se a secao retangular com duas camadas de
armadura indicada na fig. 5.3.7 e os seguintes dados:
- momento fIetor de servico: M k = 30 kNm;
- concreto: .f~'k = 20 MPa;
- aco CA-50;
- coeficientes parciais: Yf = 1,4; Yc = 1,4; Ys =1,15.
Dimensionar a secao e calcular 0 coeficiente de seguranca
global.
4
A's
15 ~I
36
Fig. 5.3.7 - Secao com duas camadas de armadura
Dimensionando a secao, obtern-se As =2,98 cm 2 e
(solucao com armadura simples).
o coeficiente global de seguranca, S , edefinido por
A' =0s
(5.3.12)
172 Curso de Concreto Annada
onde M k e 0 momenta solicitante caracterfstico e M uk e 0
momenta de rufna obtido com as resistencias caracterfsticas.
Logo, para a deterrninacao do momenta de rufna, deve-se
trabalhar com I, = fek e I, =i«. Empregando 0 algoritmo
anterior, resulta
M uk = 49,29 kNm; s = 49,29 =1 64.30 '
Exemplo 3: Repetir 0 exemplo anterior com M k = 70kNm.
- Dimensionamento: As =7,46 ern" e A; = 2,09 em"
- Momento de ruina: M uk = 115,80 kNm
- Coeficiente de seguranca : S = 115,80 =165
70 '
5.4 . Outras formas de se~ao sob flexao normal simples
A forrnulacao apresentada para as secoes retangulares
permanece valida para outras formas de secao transversal, desde que
a resultante de compressao no concreto, Rei" e 0 brace de alavanca,
Z, sejam corretamente avaliados. Assim, 0 problema geral fica
representado pelas equacoes (5.3.8) e (5.3.9).
Considere-se, por exemplo, a secao T da fig. 5.4.1.
Para esta secao devern-se considerar dois casos, conforme foi
mostrado no capitulo 4.
F/t'xtio normal S;II1/1/es - \'crU/('(I(tio da capucidad« rcsistente 173
I~
h
I O"c I o.sx
.-
--=-
Fig. 5.4.1 - Secao T
Caso I) O,8x::; hf =>x::; 1,25hf
Neste caso, apenas a mesa esta comprirnida com a tensao
constante a c . As expressoes necessarias sao
Z=d,-O,4x (5.4.2)
Caso 2) x> 1,25hf
A nervura tambem estara comprimida, resultando
(5.4.3)
(5.4.4)
hrZ r =d, --'-
. 2
(5.4.5)
(5.4.6)
Capitulo 6
ESFOR<;O CORTANTE
6.1 - Introducao
Considere-se a viga biapoiada da fig. 6.1.1, submetida a duas
cargas concentradas iguais e equidistantes dos apoios. Na mesma
Figura estao indicados os diagramas de momentos fletores e de
esforcos cortantes na viga.
p~
a 1-2a a
+~_MM[7
V I + I
Fig. 6.1.1 - Carregamento e esforcos solicitantes
No trecho entre as cargas, 0 iinico esforco solicitante e 0
momenta fletor M , enquanto nos trechos de comprimento a atuam
o momenta fletor e 0 esforco cortante V .
176 Curso de Concreto Armada
Na fig. 6.1.2, estao indicadas as componentes das tens6es em
urn elemento infinitesimallocalizado entre as duas cargas.
o x
Fig. 6.1 .2 - Tensoes no trecho entre as cargas
A tensao normal ax e obtida em funcao do momenta fletor,
da forma usual. Abaixo da linha neutra, ax e positiva (tensao de
tracao) e acimada linha neutra ela e negativa (cornpressao). A
componente a y edesprezada na teoria de vigas esbeltas.
Logo, ax e a pr6pria tensao principal na direcao do eixo da
viga. Assim, no trecho entre as cargas, as trajet6rias das tens6es
principais sao paralelas ao eixo da viga.
Nos trechos onde ha esforco cortante, surgem tens6es de
cisalhamento rxy =Tyx ' conforme e indicado na fig. 6.1.3. As
componentes das tensoes, ax e r.I:.\" sao obtidas em funcao do
momenta fletor e do esforco cortante com as f6rmulas classicas da
Resistencia dos Materiais.
As tens6es principais a j e a2 estao inclinadas em relacao ao
eixo da viga. Na altura da linha neutra, 0 angulo de inclinacao e e
igual a 45°.
cryj cr1
'tyx
+--:._-
crx crx
'txy jz!
1-'tYX / cr2 -cry=o
Fig. 6.1.3 - Tens6es normais e de cisalhamento
177
Enquanto nao aparecer a primeira fissura, a viga se encontra
no Estadio I e a analise pode ser feita com as formulas classicas da
Resistencia dos Materiais. Quando a tensao principal de tracao, 0'1'
atinge a resistencia atracao do concreto, surge uma fissura inclinada
e a viga entra no Estadio II. No estado fissurado, rrao mais se aplicam
as f6rmulas mencionadas.
Na fig. 6.].4, indicam-se as trajet6rias das tens6es principais e
as orientacoes das fissuras ao longo do eixo da viga.
-- cornpressao ~ fissuras
Fig. 6.].4 - Trajet6rias das tens6es principais e orientacao das
fissuras em uma viga fletida
178 Curso de Concreto Armada
Excluindo-se fatores de natureza aleat6ria, pode-se dizer que
as fissuras sao perpendiculares a direcao das tensoes principais de
tracao 0"1 . Assim, no trecho entre as cargas as fissuras sao verticais,
pois 0 esforco cortante e nulo nesse trecho. Entre as cargas e os
apoios, as fissuras sao inc1inadas devido ao esforco cortante.
Em virtude da baixa resistencia a tracao do concreto, a
fissuracao de uma viga de concreto armado eurn processo inevitavel.
Dessa forma, a analise deve ser feita sempre no Estadio II, atraves de
algum modelo comprovado experimentalmente.
Assim, para 0 concreto armado, 0 dimensionamento ao esforco
cortante e feito de acordo com 0 modelo de trelica idealizado por
Morsch. Nesse modelo imagina-se que, ap6s a fissuracao, 0 esforco
cortante e equilibrado pela associacao de bielas comprimidas de
concreto e de diagonais tracionadas acompanhando as trajet6rias das
tensoes principais. As tensoes de compressao nas bielas inc1inadas
devem ser limitadas, para nao haver a ruptura por esmagamento do
concreto. As diagonais tracionadas sao formadas por estribos,
convenienternente dimensionados para 0 esforco de tracao de
calculo.
Na fig. 6.1.5, sao representadas as trelicas idealizadas no
interior da viga, nos casos em que as diagonais tracionadas sao
formadas por armadura inc1inada e por estribos verticais. Conforme
se observa, 0 espacamento entre as barras da armadura transversal
deve ser limitado a urn valor maximo, paraque as mesmas possam
costurar as fissuras inc1inadas.
No modelo original, Morsch admitiu que as bielas de
compressao estivessem inc1inadas a 45() em relacao ao eixo da viga,
acompanhando a inclinacao das tensoes principais na altura da linha
neutra. A trelica assim formada econhecida como trelica classica de
Morsch. Atualmente, sabe-se que a teoria classica da trelica fornece
uma armadura transversal superior a necessaria. Por isso, 0 modelo
de Morsch sofreu pequenas alteracoes que permitem considerar
diferentes inclinacoes para as bielas de cornpressao. Assim, 0
dimensionamento atual e feito de acordo com a denominada trelica
generalizada de Morsch.
Esforco cortante
estribos
banzo tracionado
banzo de cornpressao
Fig. 6.1.5 - Analogia da trelica de Morsch
6.2 - Trelica generalizada de Morsch
z
z
]79
Na fig. 6.2.1, indica-se urn trecho da viga submetido ao
esforco cortante de calculo Vd e a trelica idealizada em seu interior.
o angulo de inclinacao das bielas e igual a () e os estribos estao
inclinados de urn angulo a em relacao ao eixo da viga.
180 Curso de Concreto Armada
" 8 1\
\
\
\
\
\
I
I
I
\
\
\
I
I
z
Fig. 6.2.1 - Analogia da trelica generalizada
A distancia ae entre duas bielas sucessivas edada por
(Ie =Z(cotg8+cotga) (6.2.1 )
(6.2.2)
onde Z e 0 brace de alavanca obtido no dimensionamento a flexao
simples.
As condicoes de equilfbrio sao estabelecidas considerando-se
as secoes 51 e 52' As forcas atuantes nas barras da trelica sao
representadas na fig. 6.2.2.
As equacoes de equilfbrio sao dadas por
F=~
c sen8
F=~s
sena
(6.2.3)
onde Fe e a forca de cornpressao na biela e F.~ e a forca de tracao
nas diagonais da trelica.
ElfOI{O cortante 181
Secao 8 1 Secao 82
Fig. 6.2.2 - Forcas nas barras da trelica
Na fig. 6.2.3, representa-se uma biela simples submetida a
forca de compressao Fe' Essa forca atua em uma area Ac = bwho'
onde b.; e a largura da viga e ho e a dimensao normal aforca Fe'
dada por
(6.2.4)
Fig. 6.2.3 - Solicitacao na biela inclinada
182 Curso de Concreto Armada
Introduzindo a expressao de Qe dada na equacao (6.2.1),
obtem-se a tensao de compressao na biela, a e = Fe / Ae ' na forma
F
a = e
e bwZ(cotgB+cotga)senB
Substituindo a expressao de Fe dada em (6.2.2), resulta
v
a = d
e 2bwZ(cotg B+ cotga )sen B
(6.2.5)
(6.2.6)
Particularizando a expressao (6.2.6) para a = 45°, obtern-se
(6.2.7)
Empregando estribos verticais (a =90° ), chega-se a
(6.2.8)
Comparando as equacoes (6.2.7) e (6.2.8), verifica-se que a
cornpressao no concreto e menor quando se utilizam estribos
inclinados a 45°. Entretanto, por razoes praticas, empregam-se quase
sempre os estribos verticais.
Adotando como uma aproximacao Z = 0,90d, sendo d a
altura util da viga, a expressao (6.2.6) pode ser escrita na forma
onde
r.nZ"wd
ae = ?(cotgB+cotga)sen- B
(6.2.9)
(6.2.10)
Esforco cortante 183
(6.2.11)
A tensao dada em (6.2.9) deve ser limitada para evitar 0
esmagamento da biela de compressiio. Para levar em conta a reducao
da resistencia a compressiio do concreto provocada pelas fissuras
inclinadas, deve-se limitar o; ::::; fedl"' onde fedr e a resistencia a
compressao reduzida. De acordo com 0 CEB/90, essa resistencia
reduzida edada por
fedr = 0,60(1- ;;~ )fed = 0,60a1J ed
com fck em MPa.
Fixando (J = 45° , a = 90° e fazendo a; $ fedr' resulta
(6.2.12)
onde TW lI =0,27av f cd '
A tensao convencional de cisalhamento Twd deve ser
calculada para a menor largura bw da secao transversal da peca
(quando a largura for variavel),
A trelica apresentada na fig. 6.2.1 ecomposta por diagonais de
tracao simples, com urn espacamento igual a ac ' A partir desse
modelo, foi obtida a forca de tracao na diagonal, conforme a equacao
(6.2.3). Entretanto, 0 espacamento real dos estribos deve ser menor
que ac ' para evitar 0 surgimento de uma fissura nao interceptada por
barras da armadura transversal. Assim, e necessario fazer a
correspondencia entre 0 modelo idealizado e a situacao real.
Na fig. 6.2.4, indicam-se os estribos da armadura transversal
na configuracao idealizada e a disposicao realmente adotada no
projeto. A area da se~iio transversal de urn estribo, considerados
todos os seus ramos, e igual a A,d e 0 espacamento dos mesmos ao
longo do eixo da viga e s. Logo, a area total da armadura no trecho
de comprimento Qe edada por
A=5:-As sl
s
(6.2.13)
184 Curso de Concreto Annada
diagonais
tracionadas
modelo
estribo
cisposicao real
Fig. 6.2.4 - Disposicao dos estribos ao longo da viga
A forca de tracao transversal resistida pelos estribos, no
comprimento ac ' e igual a
(6.2.14)
onde f.wi ea tensao de escoamento de calculo do aco.
A condicao de equilfbrio eexpressa por
(6.2.15)
onde F.5 e a forca de tracao solicitante dada na equacao (6.2.3).
Fazendo as substituicoes necessarias na equacao (6.2.15),
obtem-se
Asl _ Vel
-s- Zfyd(CotgB+cotga)sena (6.2.16)
A equacao (6.2.16) fornece a area de aco necessaria em urn
comprimento s da viga, sendo expressa em cmvcm. Logo, a area de
aco, ASH!' por metro de comprimento da viga edada pOI'
Esforco cortante
A _ IOOVd :?
\'1\' - ( )'em 1m
. Z/\'(/ cotg B+ cotga sen a .
185
(6.2.17)
Substituindo Z = O,90d e a equacao (6.2.10), chega-se a
A -_ 100bw(I,llrwd) ~, crrr/m
Sll' /\'(/(cotgB+cotga)sena
6.3 . Trelica classica de Morsch
(6.2.18)
No modelo da trelica classica de Morsch, admite-se que as
bielas de cornpressao estejam inclinadas a 45° em relacao ao eixo da '
viga. Substituindo B= 45° na equacao (6.2.18), resulta
A - IOObw(I,llrwd) 2\'11' - ( ) , em 1m
, /\'(/ 1+cotga sena
(6.3.1 )
as resultados experimentais indicam que esta equacao fornece
uma armadura excessiva. Isto ocorre porque no modelo da trelica
classica nao sao considerados diversos fatores que contribuem para a
resistencia ao esforco cortante, como a contribuicao do concreto
tracionado entre fissuras, 0 engrenamento do agregado gratido, a taxa
da armadura longitudinal, a inclinacao do banzo comprimido, dentre
outros.
Esses efeitos podem ser considerados, especificando-se um
fmgulo B< 45° para a inclinacao das bielas de compressao.
Alternativamente, a armadura transversal podeser calculada com
uma tensao convencional de cisalhamento reduzida. Adotando-se
esse segundo procedimento, a equacao (6.3.1) eescrita na forma
(6.3.2)
onde
186 Curso de Concreto Annada
(6.3.3)
e Tc eurn fator de reducao.
Adotando a = 90° , chega-se a
O b Td 2A sIV =1 0 IV -- ,cm 1mf.vd
e para a =45° , resulta
(6.3.4)
(6.3.5)
Assim, 0 dimensionamento ao esforco cortante consiste na
limitacao da tensao de cornpressao inclinada no concreto (atraves da
equacao (6.2.12)) e no calculo das armaduras transversais (com a
equacao (6.3.4) ou (6.3.5)).
A armadura transversal pode ser constitufda par estribos
inclinados, estribos verticais ou estribos e barras dobradas. Os
estribos inclinados reduzem a compressao na biela de concreto, mas
acarretam dificuldades construtivas associadas a necessidade de urn
rigoroso controle para evitar a inversao do sentido de inclinacao dos
mesmos.
o uso de barras dobradas (cavaletes) apresenta inconvenientes
relacionados a concentracao de tensoes e a possibilidade de
fendilhamento do concreto, alern de exigir maior mao-de-obra.
Segundo a NBR-6118, as barras dobradas nao podem resistir mais
que 60% do esforco cortante de calculo (os 40% restantes devem ser
resistidos por estribos). Alem disso, as barras dobradas devem ser
dimensionadas considerando apenas 70% do valor de calculo da
tensao de escoamento do aco.
Dessa forma, nas construcoes usuais, a armadura transversal
das vigas e constituida, quase que exclusivamente, por estribos
verticais.
Lsjil/"('o cortante
6.4 - Criterio de projeto da NBR-6118187
A seguir sao apresentadas as consideracoes da NBR-6118
sobre 0 dimensionamento ao esforco cortante de vigas de concreto
armado. Essas consideracoes sao aplicaveis as pecas Iineares com
armaduras de cisalhamento e nas quais bw ~ 5d , sendo bw e d a
largura e a altura uti I da secao transversal, respectivamente.
A tensao convencional de cisalhamento, '"Cwd ' edada por
(6.4.1)
onde Vd e0 esforco cortante de calculo.
A dirnensao bw representa a largura das secoes retangulares
ou a largura da nervura das secoes T. Se a largura da nervura for
variavel, deve-se adotar a menor largura ao longo da altura util.
Para evitar 0 esmagamento da biela de compressao, deve-se
impor a restricao
(6.4.2)
A tensao limite Twu edada por
(6.4.3)
sendo fed a resistencia de calculo it compressao do concreto e
a, =1- fck
I 250
(6.4.4)
com fek em MPa.
Se a desigualdade dada em (6.4.2) nao for atendida, devem-se
alterar as dirnensoes da secao transversal da peca,
A tensao '"Cd ' para 0 calculo da armadura transversal, e dada
por
(6.4.5)
188 Curso de Concreto Armada
onde rc edado na NBR-6118 em funcao da resistencia a tracao de
calculo do concreto.
Adotando-se 0 coeficiente de minoracao da resistencia
rc = 1,4, pode-se escrever
t; = '1/3 (fck )2/3, MPa
o coeficiente 1f/3 tem os seguintes valores:
(6.4.6)
- Na flexao simples e na flexo-tracao com a linha neutra cortando a
secao:
1f/3 =0,09
- Na flexo-cornpressao:
'1/3 =0,09(1+ MoJ~0,18Md
(6.4.7)
(6.4.8)
onde Moe 0 valor do momento fletor que anula a tensao normal na
borda menos comprimida e M d e 0 momenta tletor solicitante no
trecho considerado.
- Na flexo-tracao com a linha neutra fora da secao:
1f/3 =0 (6.4.9)
A flexao composta (flexo-tracao e flexo-compressao) e
abordada em outros volumes deste Curso. Assim, nos exemplos que
se seguem adota-se 1f/3 =0,09.
As armaduras necessarias sao obtidas com as equacoes
(6.4.10) e (6.4.11).
Esforco cortante
- Estribos verticais:
A -1001 Td 2SlV - ~~\v-- , cm /rn
fyd
- Armadura inclinada a 45°:
A -1001) --==Td:.:.-_, cm2/mSlV - HI r::;
" 2f.wl
189
(6.4.10)
(6.4.11)
A tensao de escoamento f."d a ser adotada nos calculos nao
deve ser maior que 435MPa (igual atensao de escoamento dos acos
CA-50). Logo, mesmo que 0 aco empregado seja 0 CA-60, 0 calculo
dos estribos deve ser feito como se 0 aco fosse 0 CA-50.
A se<;ao da armadura calculada nao deve ser menor que a
armadura minima, AslV,min, especificada na NBR-6118. Os valores
de AslV,min sao:
- Estribos verticais:
A.nv,min = Pw,minlOOblV' cmvm
- Armadura inclinada a 45°:
100bw ?A - P .cm'zmsw.rnin - w.rnin .fi
onde
O2 .f~·f111PlI'.min= ,--
fyk
(6.4.12)
(6.4.13)
(6.4.14)
sendo frlm a resistencia media atracao do concreto e fyk a tensao
de escoamento caracterfstica do aco.
Se a largura da nervura for variavel, adota-se para bw ' nas
equacoes (6.4.12) e (6.4.13), a largura media ao lange da altura iitil.
190 Curso de Concreto Arnuulo
Na tabela 6.4.1, apresentam-se os valores de PII'.l1lin para
algumas classes de concreto.
Tabela 6.4.1 - Valores de PH',min (%) para 0 aco CA-50
fck (MPa) 20 25 30 35 40 45 50
PHi,min 0,09 0,10 0,12 0,13 0,14 0,15 0,16
Exemplo 1:
Dimensionar os estribos verticais da viga indicada na fig,
6.4.1. 0 concreto eda classe C20 e 0 aco e0 CA-60.
Pk=15kN/m
·v·
= 40 A't:1 A7 S A 36S
~ 1=4m
·1 .~
I~ 12cm J
Fig, 6.4.1 - Geometria e carregamento de service
Concreto: fek =20 MPa
Aco: f.vk = 60 kN/cm 2 -7 fyk = 600 MPa
- Resistencias de calculo:
f.('k 20
-I' =-'-=-=14MPa
Jed 14Ye '
f = fyk = 600 =521MPa
,yd r lIS
s '
Esjil/{O cortante 191
Segundo a NBR-6118, a tensao de escoamento do a90 a ser
adotada nos calculos nao pode ser superior a 435MPa. Logo,
f w/ = 435 MPa.
- Esforco cortante maximo (caracterfstico):
- Esforco cortante de calculo:
- Tensao convencional de cisalhamento:
Vd 42 2
'wd =--=--=0,097 kN/cm => 'wd == 0,97 MPa
bwd 12x36
- Tensao de cisalhamento limite:
'It'll =o,27(1- .f~k )fCd =0,27(1- 20 )14 = 3,5 MPa
250 250
- Verificacao da biela de compressao:
Uma vez que 'wd =0,97 MPa e menor que 'wu =3,5MPa,
nao ha necessidade de modificar as dimens6es da secao,
- Calculo da armadura transversal:
'd =1,11('wd - t; )=1,11(0,97 - 0,66) =0,34 MPa
192 Curso de Concreto Armada
Asw = IOObw-!..L = IOOxl2x 0,34 =0,94 cmvrnf.vd 435
Pw.min = 0,09% (tabela 6.4.1)
Asw.min =Pw.minlOObw =0,09x12 =1,08cm2/m
Uma vez que a armadura calculada, A~w' e menor que a
armadura minima, Anv.min' deve-se adotar a armadura minima.
Logo, a solucao e ASH' = 1,08cm2/m. Com essa area da armadura,
sera escolhido 0 diametro da barra de aco e sera calculado 0
espacamento dos estribos, respeitando-se urn espacamento maximo
prescrito na NBR-6118. Esse assunto e tratado em detalhes no
Volume 2 deste Curso.
Exemplo 2:
Realizar 0 dimensionamento da viga anterior, considerando
diferentes valores para 0 esforco cortante e para .t~'k .
Os resultados numericos sao apresentados na tabela 6.4.2.
Esses resultados sao apresentados em forma de grafico na fig. 6.4.2.
Tabela 6.4.2 - Armadura transversal A,nv cmvm
Vk (kN) fck =20MPa .t~k =30MPa fck =40MPa
30 1,08 1,44 1,68
40 1,94 1,44 1,68
50 2,93 2,30 1,74
60 3,92 3,29 2,73
70 4,92 4,29 3,72
80 5,91 5,28 4,72
90 6,90 6,27 5,71
100 7,89 7,26 6,70
£.1/0/"(;0 cortante 193
8.00
-E
--
N
E 6.00~ fck=20 MPa~
<Jl
«
<U
~(1) 4.00>(/)
c:
<U fck=40 MPa.........
<U
....
::l 2.00....
"0
<U
E
....
-c
0.00
20 40 60 80 100
Esforco cortante Vk (kN)
Fig. 6.4.2 - Variacao da area de estribos com a resistencia a
compressao do concreto
Con forme se observa na fig. 6.4.2, as tres retas sao paralelas,
exceto quando 0 dimensionamento resulta em armadura minima.
Assim, 0 aumento no valor de frk ocasiona uma reducao constante
no valor de A.nv ' independentemente do esforco cortante Vk . Isto
ocorre devido aparcel a Tc na expressao (6.4.5).
Entretanto, no caso do esforco cortante, 0 aumento do valor de
j~'k pode ser decisivo para garantir a seguranca contra 0
esmagamento das bielas, em virtude da equacao (6.4.2).
6.5 - Forca na armadura longitudinal de tracao
Na fig. 6.5.1, indica-se urn trecho de viga com uma fissura
inclinada passando pelo ponto medic entre duas bielas sucessivas
(ponto A).
194 Curso de Concreto Armada
Z
,
,
A/
~ Rsdiv, Zcot e
Fig. 6.5.1 - Viga com uma fissura inclinada
Conforme esta indicado na figura, a distancia at entre 0 ponto
A e a secao S2 edada por
(6.5.1 )
sendo Cl(' a distancia entre bielas sucessivas, dada na equacao
(6.2.1).
Substituindo a expressao de a.; resulta
Z
at =-(cotgB-cotga)
2
(6.5.2)
Na fig. 6.5.2, representam-se duas secoes transversais da viga
separadas pela distancia at .
Esforco cortante
fissura
inclinada
~I z
195
Fig. 6.5.2 - Forca na armadura longitudinal
I
A forca de tracao na armadura longitudinal no ponto A,
situado na se~iio SI, e Rsd ' Entretanto, essa forca, juntamente com a
resultante de compressao R('(', deve equilibrar 0 momento fletor
solicitante na secao S2.
Logo, a forca R,I'd edada por
(6.5.3)
onde M d = Vd x e0 momenta fletor na secao S I e~ d = Vd at .
Observa-se que a forca na armadura tracionada em uma secao
de abscissa x e proporcional ao momenta fletorsolicitante em uma
secao vizinha, dela afastada de uma distancia igual a at. Assim, ao
detalhar a armadura longitudinal de tracao da viga, deve-se
considerar urn diagrama de momentos fletores deslocado de at no
sentido desfavoravel, conforme eindicado na fig. 6.5.3.
196 Curso de Concreto Armada
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/~diagrama
deslocado
,
,
\
\
\ ,
,
,
\
\
Fig. 6.5.3 - Deslocamento do diagrama de momentos fletoresAo deslocar 0 diagrama, 0 momento fletor na secao de
abscissa x sofre urn acrescimo !:i.M d dado por
(6.5.4)
onde
dM,tg¢=--~
dx
(6.5.5)
ea inclinacao do diagrama de momentos fletores.
Lembrando que Vd = dM d / dx , resulta
Com esse procedimento, a forca de tracao na armadura
longitudinal sera a mesma indicada na equacao (6.5.3).
Como uma sirnplificacao a favor da seguranca (fazendo
z = d), 0 deslocamento a, pode ser escrito na forma
da, =-(cotg8-cotga) (6.5.7)
2
onde d ea altura uti1da viga.
Igualando as expressoes (6.2.18) e (6.3.2), resulta
cotgB-cotga=( 'fwd ](I+Cot ga)-2cot ga
'\I'd - 'r
Substituindo (6.5.8) em (6.5.7), chega-se a
a, =d[ ('\Vd )(l+cotga)-cotga]
2 '\Vd - t;
197
(6.5.8)
(6.5.9)
Segundo a NBR-6118, 0 valor de a, e obtido da equacao
(6.5.9), devendo-se respeitar os seguintes limites:
a) se toda a armadura transversal for inclinada a 45°
at ~O,2d
b) nos outros casos (estribos verticais)
a, ~O,5d
c) para lajes sem armadura transversal calculada
a, = 1,5d
6.6 - Pecas de altura variavel
(6.5.10)
(6.5.11)
(6.5.12)
Considere-se a viga com altura variavel indicada na fig. 6.6.1.
A altura da viga e 0 momenta f1etor, em valor absoluto, crescem no
mesmo sentido.
A forca de tracao na armadura pode ser decomposta em uma
componente horizontal Rsd cos f3 e em uma cornponente vertical
(6.6.1)
onde f3 eo angulo de inclinacao da face da viga.
198 Curso de Concreto Armada
s
Fig. 6.6.1 - Viga com altura acompanhando 0 aumento
do momenta fletor
Equilibrando 0 momenta fletor na secao S situada a uma
distancia x do apoio, tem-se
R . - M d ::::: M d
sd - Z cos j3 d cos j3
o esforco cortante Vrd adireita da seciio S e
e considerando as equacoes (6.6.1) e (6.6.2), chega-se a
(6.6.2)
(6.6.3)
(6.6.4)
Logo, 0 dimensionamento pode ser feito com 0 esforco
cortante reduzido Vrd .
Considere-se, agora, a viga da fig. 6.6.2, cuja altura diminui no
sentido crescente do momento fletor.
Esforco cortante
s
Fig. 6.6.2 - Viga com altura e momento f1etor crescendo
em sentidos opostos
199
A decomposicao da forca de tracao na arrnadura longitudinal e
identica ao caso anterior. Entretanto, 0 esforco cortante na secao S e
dado por
(6.6.5)
e a variacao da altura da viga tern urn efeito desfavoravel.
Logo, em pecas de altura variavel deve-se considerar 0 esforco
cortante corrigido indicado nas equacoes (6.6.4) e (6.6.5), onde 0
momenta fletor e dado em valor absoluto.
Nessas expressoes, nao deve ser considerada uma inclinacao
em cada face da viga superior a I :3. Quando Q valor absoluto do
esforco cortante tiver sido diminufdo pelo emprego da equacao
(6.6.4), a armadura transversal deve ser calculada considerando
'c =O. Nas pecas curvas tambern deve ser adotado f, =O.
Deve ser observado que lui a necessidade de se fazer uma
correcao nas armaduras longitudinais, calculadas com as equacoes
dos capftulos anteriores. Isto ocorre porque a cornponente horizontal
da forca na armadura e apenas R,wl cos j3= Asfwl cos j3. Entao, a
200 Curso de Concreto Armada
armadura obtida no dimensionamento a flexao simples deve ser
multiplicada pelo fator 1/cos j3 .
6.7 - Se~oes pr6ximas aos apoios
Considere-se a viga da fig. 6.7.1, submetida a uma carga
uniformemente distribufda em sua face superior. A viga esta apoiada
em pilares, de forma que a carga e as reacoes de apoio estao
aplicadas em faces opostas da peca. Este tipo de apoio edenominado
apoio direto. .
81
I
I
I
Fig. 6.7.1 - Secoes pr6ximas aos apoios - carga distribuida
Fazendo uso da analogia da trelica de Morsch, verifica-se que
uma parcela da carga situada entre 0 apoio e a secao S e transmitida
diretamente ao pilar atraves de bielas inclinadas. Dessa forma, as
tensoes nos estribos serao menores que aquelas calculadas com 0
esforco cortante maximo Vd .
201
Para 0 caso indicado na fig. 6.7.1, aNBR-6118 permite
calcular a armadura transversal com 0 esforco cortante reduzido Vrd
na se<;;ao S situada adistancia d/2 da face do apoio, Assim, a tensao
Td ' empregada no dimensionamento da arrnadura, sera dada por
(6.7.1)
Entretanto, para a verificacao da tensao no concreto, nao e
permitida tal reducao, Logo, essa verificacao permanece dada por
(6.7.2)
Em geral, a reducao do esforco cortante devido ao
carregamento distribufdo e pequena, nao resultando em uma
economia significativa da armadura. Por isso, usualmente essa
reducao edesconsiderada no projeto das vigas dos ediffcios.
Na fig. 6.7.2, indica-se uma viga submetida a duas cargas
concentradas aplicadas pr6ximas aos apoios. Novamente, as cargas e
as reacoes de apoio estao aplicadas em faces opostas da viga.
Se a distancia a do ponto de aplicacao da carga ate 0 centro
do apoio for pequena, uma parcela da carga seratransmitida ao pilar
atraves de bielas inclinadas e, portanto, as forcas nos estribos serao
reduzidas. Evidentemente, quando a = 0, a carga esta aplicada
diretamente no pilar e nao ha necessidade de estribos na viga para
esse carregamento. I
Assirn, quando a carga concentrada estiver aplicada a uma
distancia a ~ 2d do centro do apoio, a NBR-611,8 permite calcular a
arrnadura transversal com 0 esforco cortante reduzido Vrd dado por
(6.7.3)
202 Curso de Concreto Armada
Vd Vrd
Fig. 6.7.2 - Secoes pr6ximas aos apoios - carga concentrada
Para a verificacao da tensao no concreto, deve-se adotar 0
esforco cortante Vd sem a reducao. Portanto, 0 dimensionamento
pode ser feito corn as equacoes (6.7.1) e (6.7.2).
As reducoes efetuadas para as cargas distribuidas e para as
cargas concentradas pr6ximas aos apoios se superpoem.
Essas reducoes nao sao permitidas no caso de apoios indiretos.
6.8 - Armadura de suspensao
Na secao anterior, foi salientado que as reducoes do esforco
cortante para 0 calculo da armadura transversal sao permitidas
somente se a carga e a reacao de apoio estiverem aplicadas em faces
opostas da peca. Em outras palavras, a viga deve estar sabre as
apoios (geralmente pilares) e a carga deve ser aplicada em sua face
superior. Essa ea condicao implfcita no desenvolvimento do modelo
de trelica de Morsch, conforme se observou na fig. 6.2.1.
Na fig. 6.8.1, indica-se outra situacao em que a viga Vs se
apoia na viga Vp. Os pilares 1, 2 e 3 constituem apoios diretos para
as vigas. Porern, no ponto A tem-se urn apoio indireto.
Esforco cortante
t ,"
"Vdl
"
Viga Vs,
"l I "Ijt
Fig. 6.8.1 - Apoio indireto
3
203
Esse sistema estrutural pode ser calculado da seguinte
maneira:
- a viga secundaria Vs esta apoiada no pilar 3 e no ponto A da
viga Vp e recebe a carga concentrada Pd ; a reacao no apoio A e
igual a Vd ;
- a viga principal Vp esta apoiada nos pilares I e 2 e recebe a
forca de calculo Vd aplicada no ponto A.
A forca Vd e transmitida a viga principal atraves de bielas
inclinadas, conforme indicado na fig. 6.8.1. Entretanto, essa forca
esta aplicada no banzo inferior da viga principal e e necessario
transferi-Ia para 0 banzo superior, atraves de uma "armadura de
suspensao". A area da armadura de suspensao, As' edada por
A 5 = V
d
,cm2 (6.8.1)
. f.wl
onde f.\'(1 ea tensao de escoamento de calculo do aco,
204 Curso de Concreto Armada
Geralmente, a armadura de suspensao e dimcnsionuda para a
totalidade da reacao de apoio Vd . Quando as duas vigas tivercm suas
faces superiores no mesmo nivel, como indicado na fig. 6.8.1, pode-
se considerar uma forca reduzida'<"! dada por
(6.8.2)
onde hs e a altura da viga secundaria e hpea altura da viga
principal (a viga que serve de suporte).
A armadura de suspensao econstituida preferencialmente por
estribos, devendo ser disposta 0 mais pr6xima possfvel do ponto de
ligacao entre as vigas. A armadura do banzo inferior da viga
secundaria deve ser ancorada na viga principal e deve ser colocada
sobrea armadura do banzo da viga principal.
Na fig. 6.8.2, indica-se a regiao onde a armadura de suspensao
pode ser distribufda'".
h/2>b/2 : h/2>b/2
I~ .:~ ·1
I
C\I }f--1--- --1---1--1 l'h
.0 • •
A
C\I
-", • •£
• •
Fig. 6.8.2 - Distribuicao da armadura de suspensao
Esforco cortante
6.9 - Armadura de costura
205
No capftulo 4 foi mostrado que, em pisos de concreto armado,
uma parte da laje colabora como mesa de compressao de uma viga T.
Entretanto, para haver 0 funcionamento como viga T, essa patte da
laje deve ser Iigada a nervura da viga atraves: de uma armadura,
denominada armadura de costura.
Considere-se urn elemento infinitesimal tornado ao longo do
eixo de uma viga T, como indicado na fig. 6.9.1. Na sec;ao S 1 atuam
o momento f1etor de calculo M d e 0 esforco cortante de calculo Vd .
A resultante de cornpressao no banzo superior de concreto e R('(', a
forca de tracao na armadura longitudinal e Rsd e 0 brace de
alavanca e Z .
8 1 82 Md+L1Md
Md(J J)
Vd+L1Vd
I~ dx ~
Ree Ree+L1Ree
I l:~z
RSd Rsd+L1RSd
Fig. 6.9.1 - Esforcos em urn elemento de viga
Do equilfbrio de momentos f1etores na secao S 1, tem-se
(6.9.1 )
206 Curso de Concreto Armada
Analogamente, a equacao de equilfbrio na secao 52 edada por
(6.9.2)
onde ;).Md : M ee e t!.Z sao variacoes infinitesimais.
Introduzindo (6.9.1) em (6.9.2) e desprezando a variacao t!.Z
do brace de alavanca, resulta
onde
M =;).Md
cc Z
AD = dRee dLli\.ee Xdx
AU _ dM d d
OJ.Y1d-~ x
(6.9.3)
(6.9.4)
(6.9.5)
Lembrandoque Vd = dM d / dx , a equacao (6.9.3) e escrita na
forma
dRee _ Vd
dx Z
(6.9.6)
Na fig. 6.9.2, indica-se a secao Tea parte comprimida com a
tensao constante (jed = 0,85 fed do bloco retangular de tens5es. A
profundidade da linha neutra, XII' e obtida no dimensionamento da
armadura longitudinal, conforme apresentado no capitulo 4.
A resultante de cornpressao, Ree , edada pOI'
(6.9.7)
onde A ea area total comprimida com a tensao constante (jed'
Esforco cortante
c
X
ex>
o
d
• ~I---z_
207
Fig. 6.9.2 - Tensoes de compressao no banzo superior
A resultante de compressao pode ser decornposta em uma
parcel a, atuante na nervura, e em outras duas, atuantes nas abas
laterais de area AI' A resultante de cornpressao em cada uma das
abas laterais e Rei = AjO"cd e considerandoa equacao (6.9.7),
resulta
(6.9.8)
Na fig. 6.9.3, representa-se urn segmento infinitesimal de uma
das abas laterais da mesa de compressiio.
Devido ao esforco cortante Vd , a forca de compressiio Rei
sofre uma variacao Mel ao longo do comprimento infinitesimal
dx. Considerando a equacao (6.9.8), tem-se
AD _ AI dRr(' dLli"c1 - --- x
A dx
(6.9.9)
o equilfbrio so e possivel na presenca das tens6es de
cisalhamento To nas ligacoes entre a mesa e a nervura da viga,
208 Curso de Concreto Annada
conforme e indicado na fig. 6.9.3. A equacao de cquilfbrio I? cxcritu
na forma
onde hf ea espessura da mesa.
(6.9.10)
Fig. 6.9.3 - Tens6es de cisalhamento na ligacao mesa-nervura
Introduzindo a equacao (6.9.9), obtern-se
I Al dRccr =----
o hr A dx
e considerando a equacao (6.9.6), chega-se a
Substituindo Z == 0,90d e Vd = rIVdbwd , resulta
(6.9.11)
(6.9.12)
Esforco cortante 209
(6.9.13)
o dimensionamento da armadura de costura e feito com base
no modelo de trelica representado na fig. 6.9.4.
biela
estribo
Fig. 6.9.4 - Trelica na mesa da viga T
Considerando um trecho da viga de comprimento Q(' igual ao
espacarnento entre as bielas de compressao, obtern-se as seguintes
equacoes de equilibria:
(6.9.14)
(6.9.15)
210 Curso de COl/creta Armada
onde F, ea forca de compressao na biela, F.~ ea forca de tracao na
armadura de costura e G,hf e a area de contato entre a nervura e a
aba lateral, na qual atua a tensao de cisalhamento To.
A forca de cornpressao Fe atua na area Ae == hf ho' onde
ho == G, senB ea dimensao normal aforca (ver a semelhanca com
a fig. 6.2.3). Considerando a equacao (6.9.14), a tensao na biela de
compressao, a; == Fe / Ae ' edada por
T
a == 0
c sen BcosB
(6.9.16)
Impondo a restricao a, ~ fedr' fixando B=45° e
substituindo a expressao de To dada em (6.9.13), chega-se a
(6.9.17)
onde
(6.9.18)
e
(6.9.19)
Observa-se que a expressao de Twu e a mesma utilizada no
dimensionamento ao esforco cortante com estribos verticais
(equa~ao(6.4.3».
Considerando as equacoes (6.9.13) a (6.9.15) e fixando
B=45° , pode-se obter a forca de tracao transversal
(6.9.20)
Esforco cortante 211
Essa forca deve ser resistida pelos estribos colocados
horizontal mente na mesa. Portanto, 0 calculo da armadura de costura
segue os mesmos passos apresentados na secao 6:2.
Se A.I"! e a area da secao transversal de um estribo,
considerados todos os ramos que fazern a ligacao mesa-nervurae w
e 0 espacamento dos mesmos ao lange do eixo da viga, a forca de
tracao resistente edada pOI'
Qc A fF.~/· = - S(. I'ds .
Fazendo F.~r = F.~ , chega-se a
A.51 = I I lb ~ 'iwd
S ' IV A f.w/
(6.9.21)
(6.9.22)
Essa equacao fornece a area de aco em urn comprimento s da
viga, sendo expressa em cmvcm, Para obter a se~ao da armadura em
urn metro de comprimento, A.~f ' basta multiplicar a equacao (6.9.22)
pOl' 100. Com isto, chega-se aexpressao
(6.9.23)
onde
(6.9.24)
Neste caso, a tensao 'id ecalculada sem 0 fator de reducao 'ic
empregado no dimensionamento ao esforco cortante, ja que as bielas
de compressao estao inclinadas a 45°.
A armadura calculada deve ser maior que a armadura minima,
estabelecida na NBR-6118 como
A.~r.min =1,5cm'/m (6.9.25)
2]2 Curso de Concreto Armada
Observa-se que 0 dimensionamento da mesa de uma viga T e
analogo ao dimensionamento de sua nervura. A nervura e
dimensionada ao esforco cortante, com 0 procedimento da se~ao 6.4.
Desse dimensionamento, resultam os estribos verticais a serem
colocados na nervura. Alern disso, e necessario verificar as tens6es
de compressao inclinadas na mesa (equacao (6.9.17)) e calcular os
estribos horizontais da armadura de costura (equacao (6.9.23)).
Na fig. 6.9.5, indica-se 0 detalhe das armaduras na secao T.
estribos horizontais de costura
k I
I~
~ •• ~
I b1
r
.....
estribos verticais para
o estorco cortante
Fig. 6.9.5 - Armaduras da secao T
Quando 0 dimensionamento a flexao simples indicar que a
mesa sozinha e capaz de resistir ao momenta f1etor solicitante,
resultara O,8xn 5:hf , onde xn e a profundidade da linha neutra.
Nesse caso particular, a relacao entre as areas AI e A que aparecem
nas equacoes anteriores edada por
(6.9.26)
onde hi e b f sao indicados na fig. 6.9.5.
Esforco cortante
6.10· Lajes sem armadura de cisalhamento
213
As lajes podem ser executadas sem armadura transversal,
desde que a tensao convencional de cisalhamento 'fwd seja menor
que urn determinado valor limite. A tensao limite, 'fwul' depende da
resistencia do concreto, da espessura da laje e da taxa de armadura
longitudinal do banzo tracionado.
A NBR-6118 dispensa 0 usa de armadura transversal nas lajes
quando
(6.10.1)
onde 'f'l'd = Vd /(bll'd) e a tensao convencional de cisalhamento.
Para lajes submetidas aflexao simples, tem-se
(6.10.2)
onde 'frd =0,25 feld' sendo feld a resistenciaa tracao de calculo
I
do concreto, obtida pOI' feld = felkjnf / rc .
Considerando as express6es para felk.inf dadas no Capitulo 1
e adotando rc =1,4, resulta
(6.10.3)
Na equacao (6.10.2), PI representa a taxa de armadura
longitudinal de tracao que se estende ate nao menos que d + lb.llec
alem da secao considerada. Quando a verificacao e feita na secao do
apoio, PI representa a armadura que chega ao apoio e af e ancorada,
conforme indicado na fig. 6.10.1.
o coeficiente k que aparece na equacao (6.10.2) tern os
seguintes valores:
- para lajes onde 50% da armadurainferior nao chegam ate 0
apoio: k = I ;
214 Curso de Concreto Annada
- para os demais casos: k = 1,6 - d ~ I , onde d ~ a altura
uti! da laje em metros.
S~I::::::::::=::::==3 ~Id
lAs: I Secao S
P1=A/(bwd) s 0,02
Fig. 6.10.1 - Definicao da taxa de armadura longitudinal
Exemplo:
Considere-se uma laje retangular de urn piso residencial cujo
menor vao de calculo e 1=5 m. A espessura da laje e h =10em e 0
concreto possui uma resistencia caracterfstica a cornpressao
!ck =20 MPa. Determinar a tensao de cisalhamento limite TWill
para a dispensa da armadura transversal.
Evidentemente, TWill depende da armadura longitudinal da laje
(calculada para os momentos fletores), como indicado na equacao
(6.10.2). Entretanto, a favor da seguranca, sera adotada uma taxa
mfnima PI = 0,1% . Para a altura util de uma laje nessas condicoes,
pode-se adotar d = h - 2,5 =7,5 ern.
Trd =0,038(.rck ?/3 =0,28 MPa
k = 1,6-d = 1,6-0,075 = 1,53
Como resultou k > I , adota-se 0 valor calculado k =1,53.
EsjiJI{O cortantc
TH'lIl =1,53(1,2 + 40xO,IjlOO)xO,28 =0,53 MPa
215
No limite, quando T\I'd = 1"\1'111 ' 0 esforco cortante de calculo
sera Vd ,max = blVd TWill'
as esforcos solicitantes nas lajes sao ca1culados para urna
faixa de largura unitaria, de modo que bw = I m. Assim, adotando
bw=100cm, d=7,5cm e TwlIl =0,053kN/cm2, resulta Vd,max
em kN/m.
Logo, 0 maximo esforco cortante de calculo, para 0 qual ainda
e permitido dispensar 0 usa de armadura transversal, edado pOI'
Vd .max =1OOx7 ,5xO,053 =39,8 kN/m
a maximo esforco cortante caracterfstico e
v - Vd,max = 39,8 = 28 4 kN/m
k,max - 14'
Yc '
Supondo que a laje esimplesmente apoiada nas quatro bordas,
a carga uniformernente distribufda Pk que corresponde a esse
esforco cortante sera sempre maior que 2Vk.max II, Logo,
> 2Vk ,max = 2x28,4 =114 kN/m2
Pk I 5 ,.
Em uma laje do tipo considerado, a carga de service usual eda
ordem de 5 kN/m2 (considerando 0 peso pr6prio, 0 revestimento e a
carga acidental). Essa carga e muito inferior a carga limite e,
portanto, nao havera necessidade de armadura transversal.
Assirn, nos casos correntes dos ediffcios residenciais e de
escrit6rios, a espessura das lajes e determinada pela flexao (para
resultar armadura simples e para satisfazer os estados limites de
utilizacao). POI' isso, geralmente nao e necessario verificar 0 esforco
cortante no projeto das lajes rnacicas dos ediffcios.
Capitulo 7
ANCORAGEM E!EMENDAS DAS
BARRAS DA ARMADURA
7.1· Ancoragem por aderencia
A ancoragem das barras da armadura pode ser feita por
aderencia au por dispositivos especiais, como placas de ancoragem.
As ancoragens por aderencia sao mais baratas e por isso sao sempre
usadas, quando se disp6e de um comprimentol necessario para as
mesmas.
Na fig. 7.1.1, representa-se uma barra de a90 solidaria a um
bloco de concreto e submetida a uma forca de tracao de calculo Rsd '
Devido a aderencia entre 0 concreto e 0 aoo, surgem tens6es
tangenciais 'b na interface entre os dois materiais. Dessa maneira, a
forca de tracao na barra de a90 e transferida ao concreto ao longo do
comprimento lb .
.1.<1>
T
Fig. 7.1.1 - Tensoes de aderencia
As tens6es de aderencia 'b sao variaveis ao longo do
comprimento de ancoragem lb' Entretanto, para efeito de projeto e
suficiente considerar 0 valor media de calculo flJil .
218 Curso de Concreto Arnuulo
Se a tensao na barra e igual a tensao de escoamcnto de c.ilculo
do aco, fVd' a forca Rsd e dada por
(7.1.1)
onde rjJ e0 diametro da barra.
Essa forca deve ser equilibrada pelas tensoes de aderencia que
atuam na superffcie de contato entre 0 aco e 0 concreto. Logo, a
equacao de equilfbrio eescrita na forma
(7.1.2)
onde Us =JrrjJ e 0 perfrnetro da secao da barra.
Dessas duas equacoes, obtem-se 0 comprimento de ancoragem
(7.1.3)
A expressao (7.1.3) fornece 0 menor comprimento necessario
para que a barra de aco, com uma tensao igual a f.w/' possa ser
ancorada por aderencia. 0 comprimento lb e denominado
"cornprimento basico de ancoragem".
Da equacao (7.1.3), verifica-se que uma forma de reduzir 0
comprimento de ancoragem consiste no emprego de barras de menor
diametro. Se a area de aco efetivamente empregada for superior
aquela exigida pelo calculo, a tensao na armadura sera inferior a
f.vd ' 0 que tambern permite reduzir 0 comprimento de ancoragem.
Por ultimo, 0 comprimento de ancoragem sera tanto menor, quanto
maior for a tensao de aderencia fbd . 0 valor da tensao fbd depende
da qualidade da aderencia, como sera mostrado mais adiante.
Na regiao da ancoragem, surgem tensoes principais de tracao e
de compressao, cujas trajet6rias encontram-se representadas na fig.
7.1.2.
Ancoragem e emendas das barras da armadura 219
....-.----!......~...i-+-.. ___.
RSd
- +-
+-
+-
1.- ---1 +-
__ - cornpressao
Fig. 7.1.2 - Trajet6rias das tens6es principais na ancoragem
As tensoes de compressao a r' necessarias ao equilfbrio,
. ,
propagarn-se pelo concreto a partir da extremidade da barra, I
conforme indicado na fig. 7.1.2. Na direcao transversal a barra
surgem tensoes de tracao, cuja resultante produz: 0 esforco de tracao
transversal denominado esforco de fendilhamento, 0 valor maximo
do esforco de fendilhamento eaproximadamente iigual a Rut /4, nos
casos de ancoragem por aderencia'",
Em virtude das tensoes de tracao, surge sempre 0 risco de
aparecerem fissuras longitudinais ou de fendilhamento na regiao da
ancoragem. Se 0 cobrimento de concreto, C, for pequeno em relacao
ao diarnetro da barra, ele pode romper-se, como indicado na fig.
7.1.3.
Os efeitos desfavoraveis do fendilhamento podem ser
eliminados quando existe uma compressao transversal na zona da
ancoragem, como ocorre nos apoios diretos das vigas. Se essa
compressao nao existir, e necessario colocar uma armadura
transversal, ao longo do comprimento de ancoragem, capaz de
absorver os esforcos de fendilhamento.
220 Curso de Concreto Armada
Por isso, a NBR-6118 exige que, a excecao das regioes sobre
apoios diretos, as ancoragens por aderencia sejam confinadas por
armaduras transversais ou pelo proprio concreto. Neste ultimo caso,
enecessario que 0 cobrimento da barra ancorada seja maior ou igual
a 3¢ e que a distancia entre barras ancoradas tambem seja no
mfnimo igual a 3¢ .
fissuras
~-----
I
ruptura do
cobrimento I
Fig. 7.1.3 - Fendilhamento na zona da ancoragem
7.2· Tensao de aderencia
Convencionalmente, a aderencia entre 0 aco e 0 concreto e
separada em tres componentes: a aderencia por adesao, a aderencia
por atrito e a aderencia mecanica. Essa separacao serve apenas para
ilustrar 0 fenomeno, pois nao e possivel determinar cada uma delas
separadamente" ).
A aderencia por adesao decorre das ligacoes ffsico-qufrnicas
que se estabelecem no contato entre 0 aco e 0 concreto (efeito de
colagem) durante 0 processo de pega do cimento. Esse efeito e
destrufdo para pequenos deslocamentos da barra de aco e, portanto,
da uma contribuicao muito pequena para a resistencia da aderencia.
A aderencia por atrito decorre do deslocamento da barra de
a<;o em relacao ao concreto. As forcas de atrito dependem da
rugosidade superficial da barra e das pressoes transversais as
armaduras. Assim, uma compressao transversal tambern e favoravel
para aumentar a aderencia por atrito.
A aderencia.mecanica ocorre em barras nervuradas, atraves do
contato direto entre 0 concreto e as saliencias na superffcie da barra.
Nas regioes de contato, formam-se consolos de concreto solicitados
/1/1('01"0.1:1'111 I' ('III('lldOS das barras do urnuulura 221
ao corte, 0 que permite uma ligacao efetiva entre 0 aco e 0 concreto.
A aderencia mecanica tambern ocorre nas barras lisas, devido a
irregularidades superficiais sempre existentes, porem 0 seu efeito e
bern menor que nas barras nervuradas.
A resistencia da aderencia e determinadaem ensaios de
arrancamento, como ilustrado na fig. 7.2.1.
eta
11.\
caner
'0
I("'v
i
T T T-:-+ .- T T T
<I>
Fig. 7.2.1 - Ensaio de arrancamento
A barra de aco esta Iigada ao bloco de concreto atraves do
comprimento de ancoragem 10 . A forca de tra<;ad P e incrementada
ate a barra ser extrafda do corpo de prova. Durante 0 ensaio, mede-se
o deslocamento relativo da barra de aco, 1.\, na extremidade
indicada.
A tensao de aderencia media, rb' e dada por
(7.2.1)
222 Curso de Concreto Armado
Na fig. 7.2.2, indicam-se as relacoes entre a tensao de
aderencia, 'b' e 0 deslocamento relativo, d, para as barras lisas e
.para as barras nervuradas.
A tensao de aderencia de calculo, fbd' e aquela que
corresponde a urn deslocamento convencional da extremidade da
barra, como indicado na fig. 7.2.2. Observa-se que, para as barras
lisas, a forca ultima de ancoragem eatingida logo depois de vencida
a adesao e iniciado 0 escorregamento. Por isso, as normas de projeto
exigem 0 emprego de ganchos nas extremidades das barras lisas
tracionadas.
~Ictl -+-__....L... ......
O,1mm
Fig. 7.2.2 - Relacao tensao de aderencia - escorregamento
A resistencia da aderencia depende, ainda, da posicao das
barras de ago na estrutura. Barras verticais estao sempre em uma
posicao favoravel, enquanto que barras horizontais podem estar em
uma situacao desfavoravel, dependendo de sua Iocalizacao. Devido a
sedirnentacao do concreto fresco, pode ocorrer urn aciimulo de agua
sob as barras horizontais, com a consequente formacao de vazios na
parte inferior das mesmas. POl' causa disto, a resistencia da aderencia
fica reduzida.
Aticoragem e emeudas das barras da armadura 223
7.3 - Tensao ultima de aderencia
a valor ultimo da tensao de aderencia de calculo, Ibd' e
i
definido na NBR-6118 em funcao da qualidade da aderencia, Essa
qualidade emedida pela conformacao superficialle pelo diametro das
barras de aco, pela resistencia do concreto e pela localizacao das
barras na estrutura.
Nos easos de coneretagem sobre formas fixas, consideram-se
em uma situacao de boa aderencia, os trechos das barras que estejam
em uma das posicoes seguintes:
- com inclinacao nao inferior a 45° em relacao a horizontal;
- horizontais ou com inclinacao menor que 45°. sobre a horizontal,
desde que localizadas no maximo 30 em acimalda face inferior da
pec;a ou da junta de concretagem mais pr6xima,quando h ~ 60 em,
ou desde que loealizadas a mais de 30 cm abaixo da face superior ou
da junta de coneretagem mais pr6xima, quando h> 60 em.
as trechos das barras em outras posicoes, e quando do uso de
formas deslizantes, devem ser considerados em uma situacao de rna
aderencia,
Na fig. 7.3.1, sao ilustrados os casos possfveis para
concretagem sobre formas fixas.
a valor de calculo da tensao ultima de aderencia eobtido com
I
o emprego da expressao
(7.3.1)
onde ICld e0 valor de calculo da resistencia a trac;iio do concreto,
obtido a partir da resistencia caracterfstica inferior .f~'lk.inf' e os
coeficientes 17 levam em conta os demais fatoresque influenciam na
resistencia da aderencia,
224 Curso de Concreto Annada
® boa adersncia @ rna aderencia
M
Ir E iI:ruB I 0 'rI C'), I ~ B I Ul J 0I C')
M
'1 5, 0C')
Fig. 7.3.1 - Posicoes de boa e de rna aderencia
Esses coeficientes tern os seguintes valores:
771 = 1,0 para barras lisas (CA-25 e CA-60 liso);
771 =1,4 para barras entalhadas (CA-60 entalhado);
771 = 2,25 para barras nervuradas (CA-50 e CA-60 nervurado);
772 = 1,0 para situacoes de boa aderencia;
772 = 0,7 para situacoes de rna aderencia;
773 =1,0 para barras de diarnetro ¢::;; 32 rnrn;
132-¢
773 = 100 (com ¢ em rnrn) para ¢ > 32 rnrn.
A resistencia atracao de calculo e dada por
/\lIcorilgelll e ctnctultts dus barras du arniadura
t. - j~'IUnf
J ctd -
Ye
225
(7.3.2)
onde Yc e0 coeficiente de minoracao da resistencia do concreto.
E conveniente escrever a expressao (7.3.1) em termos da
resistencia a cornpressao de calculo do concreto fed' Para isto,
adota-se a relacao entre felk.inf e fek dada no capitulo 1.
Considerando as expressoes (1.3.1) e (1.3.2) do capitulo I,
pode-se escrever
fUUnf = 0,21fck 2/3, MPa (7.3.3)
Considerando os valores 'I, = 2,25 (para barras nervuradas),
'72 =1,0(para situacoes de boa aderencia), '73 =1,0 (para barras com
rjJ ~ 32 mm) e 0 coeficiente de rninoracao da resistencia do concreto
Yc=1,4, combinando as equacoes (7.3.1), (7.3.2) e (7.3.3), e
lembrando que fck = r.t.«. chega-se aexpressao
fi)(1 = 0,42(.red ?/3, MPa (7.3.4)
A expressao (7.3.4) e valida para barras nervuradas em uma
situacao de boa aderencia, desde que rjJ ~ 32 mm.
Considerando apenas os casos usuais em que rjJ ~ 32 mm, para
as situacoes de boa aderencia, a tensao de calculol fbd edada por
fbd = k 0,42(.rcd )2/3, MPa (7.3.5)
onde k =1,00 para barras nervuradas, k =0,62 para barras
entalhadas e k = 0,44 para barras Iisas.
Para as barras em situacoes de rna aderencia, a expressao
(7.3.5) deve ser multiplicada por 0,7. Logo, p comprimento de
ancoragem sera 43% maior para as barras em posicoes de rna
aderencia,
226 Curso de Concreto Armada
7.4 - Comprimento de ancoragem reta
Quando a area de aco efetivamente adotada no projeto, Ase '
for superior a area de aco exigida pelo calculo, A,\',ca!' 0
comprimento de ancoragem pode ser reduzido, ja que a tensao na
armadura e inferior a tensao de escoamento. Nesses casos, 0
comprimento de ancoragem necessario, Ib,lIec' edado por
(7.4.1)
onde Ib e0 comprimento basico de ancoragem, obtido da relacao
1 - rfJ fydb----
4 fbd
(7.4.2)
Em geral, na transforrnacao da area de aco calculada em urn
dado mimero de barras de determinado diametro, resulta
A se > As,ca!' Logo, 0 comprimento de ancoragem, dado na equacao
(7.4.1), sera menor que 0 comprimento basico lb' No entanto, se a
escolha dos diametros das barras e feita com cuidado para evitar
desperdfcios, a diferenca entre Ib e Ib.llec sera pequena.
De qualquer forma, para evitar a adocao de valores muito
baixos para 0 comprimento de ancoragem, a NBR-6118 exige urn
'comprimento mfnirno, dado por
Ib,min ~ 0,31b ; lOrfJ ; lOcm (7.4.3)
No caso de feixes de barras, 0 comprimento basico de
ancoragem Ib ecalculado considerando-se 0 diametro do circulo de
mesma area do feixe. Por exemplo, para urn feixe de n barras de
diametro rfJo' 0 diametro equivalente e rfJlI = rfJo.j;; .
Ancoragem e emendas das harms da armadura 227
As barras constituintes de feixes devem ter ancoragem reta,
sem ganchos, e devem atender as seguintes condicoes:
a) quando 0 diametro equivalente do feixe for menor ou igual
a 25 mrn, 0 feixe pode ser tratado como uma barra unica, de diametro
¢n ' valendo todas as prescricoes para ancoragem' de barras isoladas;
b) quando 0 diametro equivalente for maior que 25 mm, a
ancoragem deve ser calculada para cada barra isolada, defasando as
suas extremidades para reduzir os efeitos de concentracoes de
tens6es de aderencia; essa defasagem das extremidades nao deve ser
inferior a 1,2 vezes 0 comprimento de ancoragem de cada barra
isolada;
c) quando, por razoes construtivas, nao for possfvel proceder
como recomendado no item (b), 0 feixe pode ser tratado como uma
barra unica de diametro ¢n; neste caso, e obrigat6rio 0 emprego de
armadura transversal adicional na regiao da ancoragem.
o comprimento de ancoragem das barras comprimidas
tarnbem ecalculado com a expressao (7.4.1). Nesses casos, as barras
s6 podem ser ancoradas com ancoragem reta.
7.5 . Barras com gauchos
Uma maneira eficiente para reduzir 0 comprimento de
ancoragem consiste no emprego de barras : com ganchos de
extremidade. Nesse caso, uma parcela da forca' na barra de aco e
transmitida ao concreto por meio das press6es db contato no trecho
curvo da barra, conforme eindicado na fig. 7.5.1 .
A tensao de compressao acbno plano dogancho depende da
tensao na armadura, a,w/' do diametro da barra, ¢, e do raio de
dobramento, R. De uma forma simplificada, essa tensao pode ser
representada pOI'
<J'cb == k) !f<J'Sd
R
onde k, eurn fator de proporcionalidade.
(7.5.1 )
228 Curso de Concreto Armada
C 0
B A
Fig. 7.5.1 - Tens6es de contato no gancho
A ancoragem efeita atraves do trecho reto AB, onde atuam as
tens6es tangenciais de aderencia, e do gancho BC. 0 trecho reto CD
nao colabora na ancoragem, servindo apenas para aumental' a rigidez
aflexao do gancho, impedindo que ele se abra quando solicitado'?".
Resultados experimentais revelam que 0 trecho CD fica comprimido,
embora a barra esteja submetida a uma forca de tracao. Logo, de
nada adianta aumentar demasiadamente 0 comprimento do trecho
CD.
Alem das tens6es de cornpressao (J'cb no plano do gancho,
surgem tens6es transversais de tracao que podem provocar 0
fendilhamento do concreto.
Observa-se que a tensao no concreto na regiao do gancho e
tanto menor, quanto maior for 0 raio de dobramento. Assim, para
manter 0 mesmo nfvel de tensao no concreto, 0 raio de dobramento
devera ser funcao do diametro da barra e da categoria do aco
(expressa na tensao (J'sd ).
Segundo a NBR-6118, os ganchos das extremidades das barras
da armadura longitudinal de tracao podem ser semicirculares (Tipo
1), em angulo de 45° (Tipo 2) ou em angulo reto (Tipo 3). As
extremidades retas desses ganchos devem tel' os comprimentos
Ancoragetn e emendas das harms da armadura 229
mfnimos indicados na fig.7.5.2. Para as barras lisas, os ganchos
deverao ser sempre semicirculares.
Nos ganchos dos estribos, os comprirnentos mfnimos sao de
5fjJ ~ 5 em para 0 Tipo leo Tipo 2 e de IOfjJ ~ 7 em para 0 Tipo 3.
Este ultimo tipo de gancho nao deve ser utilizado para estribos de
barras e fios lisos.
Tipo 1 Tipo2
...
\
I
I
I
Tipo 3
Fig. 7.5.2 - Tipos de ganchos:
Os diarnetros mfnimos de dobramento dos ganchos e estribos
exigidos pela NBR-6118 sao indicados na tabela 7.5.1.
Tabela 7.5.1 - Diarnetros mfnimos de dobramento
(ganchos e estribos)
Bitola CA-25 CA-50 CA-60
fjJ < 20 4fjJ 5fjJ 6fjJ
fjJ ~ 20 5fjJ 8fjJ
Para estribos de bitola nao superior a 10, 0 diametro mfnimo
de dobramento eigual a 3fjJ .
As barras lisas tracionadas devem ser ancoradas com gancho,
obrigatoriamente. Porern, as barras que forem sempre comprimidas
devem ser ancoradas apenas com ancoragens iretilfneas, pois os
ganchos aumentam 0 risco de fendilhamento na extremidade da
barra. Nas barras sujeitas a esforcos alternados de tracao e de
compressao, deve-se fazer a ancoragem sem ganchos. Nao e
recomendado 0 emprego de gancho para barras de fjJ> 32 mm.
230 Curso de Concreto Armada
Para levar em conta 0 efeito favoravel do gancho, 0
comprimento de ancoragem pode ser reduzido em relacao a
ancoragem reta, como indicado na fig. 7.5.3.
l~
T
r 5?';
_____~ ,,/ RSd
1----- -~---s::=====:==t==~~
Fig. 7.5.3 - Ancoragem de barras tracionadas com ganchos
Segundo a NBR-6118, 0 comprimento do trecho reto da
ancoragem com gancho, [b.llN-' edado por
(7.5.2)
o coeficiente al tern os seguinte valores:
al =0,7 se 0 cobrimento de concreto na direcao normal ao plano do
gancho for maior ou igual a 3rjJ ;
aj =1,0 se 0 cobrimento for menor que 3rjJ .
Os demais termos na equacao (7.5.2) sao os mesmos
apresentados anteriormente.
Uma situacao excepcional ocorre na ancoragem das barras de
arranque dos pilares dentro das sapatas ou dos blocos de fundacao
rfgidos. Nesses casos, a carga do pilar e transferida para 0 solo ou
para as estacas, atraves de bielas de compressao inclinadas, como
esta indicado na fig. 7.5.4.
Ancoragetn e etnendas das barras da armadura 231
Devido ao espraiamento das tensoes de compressao
decorrentes do esforco normal Nd ' as armaduras do pilar ja seriam
desnecessarias em uma secao situada a uma profundidade x do topo
da sapata ou do bloco (ver capitulo 8 do Volume 4). Ou seja, as
armaduras podem ser efetivamente ancoradas na regiao superior do
bloco" '. Entretanto, por prudencia, procura-se garantir que a sapata
ou 0 bloco permitam que as barras do pilar tenham urn comprimento
de ancoragem minimo igual a O,61b ' aproximadamente.
I X I
,
.0 .0
I II <0 I II i \ \ \ <0
I I I 0 I II " , 0I I I II I II \ \ \ II
II I I 1\ V II \\\ I 1\/ , I, >\ \
o=o=J t Bleee tSapata
Fig. 7.5.4 - Ancoragem das barras de arranque dos pilares
Observa-se que as extremidades das barras do pilar sao
dobradas com ganchos a 90° e apoiadas sobre a arrnadura horizontal
da sapata ou do bloco. Se a armadura do pilar estiver comprimida,
ela sera ancorada no seu trecho superior, de modo que 0 gancho
estara livre de tensao, Assim, nao se esta fazendo' uma ancoragem de
barras comprimidas com gancho, pois 0 gaucho tern a unica
finalidade de facilitar 0 posicionamento das barras do pilar.
Por outro lado, se algumas barras do pilar estiverem
tracionadas, devido a presen<;a de momentos fletores, 0 gancho
entrara em acao, permitindo que se adote Ib.llec == O,61b (neste caso,
tern-se a superposicao dos efeitos favoraveis do gancho e de urn
grande cobrimento de concreto).
Devido aampliacao da area carregada dentro da sapata ou do
bloco, a ten sao na armadura do pilar diminui muito rapidamente com
a profundidade x, como se mostra na fig. 7.5.5 para urn pilar de
232 Curso de Concreto Armada
secao quadrada com 20 cm de lado e dois valorcs du laxa de
armadura p.
Topo da sapata
o
2
4
-E 6 Ib,nec=lb,mino
'-'
x 8
(])
"0 10co
"0
:0 12c
:::J
'+-0 14...
a..
16
18
0
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0
Relacao crs/fYd
Fig. 7.5.5 - Variacao da tensao nas barras do pilar dentro da sapata
Conforme se observa na fig. 7.5.5, a uma profundidade
inferior a 5 em, a tensao as nas barras do pilar ja e menor que
0,3 fyd' A armadura necessaria nessa secao e As.ral = 0,3Ase .
Logo, se as barras do pilar forem ancoradas a partir dessa secao,
bastara adotar 0 comprimento de ancoragem minimo lb.min' Assim,
a adocao do criterio indicado na fig. 7.5.4 fica a favor da seguran<;a.
Nos blocos sobre uma estaca, deve-se garantir a ancoragem de
todo 0 lb.llec' pois so ocorre uma pequena ampliacao da area
carregada, quando 0 diametro ¢ da estaca e maior que a largura a
do pilar, como se observa na fig. 7.5.6.
Ancoragetn e emendas das barras da armadura 233
a
<j>=a
t
<j»a
Fig. 7.5.6 - Ancoragem das barras de arranque do pilar nos blocos
sobre uma estaca
7.6· Outros fatores de reducao do comprimento de ancoragem
Alem dos ganchos, permite-se considerar outros fatores de
reducao do comprimento de ancoragem. Dentre os fatores favoraveis
para a ancoragem incluem-se a colocacao de barras transversais,
soldadas ou nao, 0 emprego de maior cobrimento de concreto e a
existencia de pressao transversal na regiao da ancoragem.
No caso do emprego de barras transversais soldadas a barra
que esta sendo ancorada, devem ser obedecidas as seguintes
condicoes, conforme a fig. 7.6.1:
a) 0 diametro ¢Jr da barra soldada deve ser maior ou igual a O,6¢J,
sendo ¢J 0 diametro da barra que esta sendo ancorada;
b) a distancia da barra transversal ao ponto de inicio da ancoragem
deve ser maior ou igual a 5¢J;
c) a resistencia ao cisalhamento da solda deve superar a forca
mfnima de O,3As .f.wl (isto e, 30% da resistencia da barra que esta
sendo ancorada).
234 Curso de Concreto Armada
<1>t~O,6<1>
•
Fig. 7.6.1 - Ancoragem com barras transversais soldadas
Segundo 0 CEB/90, 0 comprimento de ancoragem necessario e
dado pOl'
(7.6.1)
as cinco coeficientes introduzidos na equacao (7.6.1) levam
em conta os seguintes fatores favoraveis para a ancoragem:
a 1: efeito de gancho ou laces;
az : efeito de barras transversais soldadas;
a3: efeito do cobrimento das armaduras;
a4 : efeito de barras transversais nao soldadas;as : efeito da pressao transversal.
as valores dos coeficientes de reducao para barras tracionadas
sao dados na tabela 7.6.1.
'\I/("(}wgC/II (' ('/IICI/c/a,I' das b(/I'I'(/.\' da (/1'/11(/(//11'(/ 235
Tabela 7.6.1 - Coeficientes de reducao do cornprimento de
b .ancorazem para arras tracionadas
Coeficiente al : Forma das barras
barras retas, sem gancho al=l
barras com gancho ou laco al =0,7 se Cd '23rjJ
al =Jise Cd < 3rjJ
Coeficiente a2: Barras transversais soldadas
barras retas, com gancho ou laco a2 =0,7
Coeficiente a3: Cobrimento das armaduras
barras retas, sem gancho
a = 1~ 0 15 cd - rjJ
3 ' rjJ
com Q,7 ~a3 ~1
barras com gancho ou laco
a::; = 1~0,15cd -3rjJ
. , rjJ
com 0,7 s a3 ~ 1
Coeficiente a4: Barras transversais nao soIdadas
barras retas, com gancho ou laco a4 ,=1-~A.
com 0,7 ~ a4 s 1
Coeficiente as: Pressao transversal p em MPa
barras retas, com gancho ou laco as =1-0,04p
0,7~as s 1
Ao usar a tabela 7.6.1, deve-se impor a restricao
a3a4aS '20,7 .
No caso de ancoragem de barras comprimidas, so as reducoes
relativas aos coeficientes a2 e as sao permitida~. Neste caso, deve-
se considerar al = a3 = a4 = 1. Os coeficientes a2 e as sao os
mesmos indicados na tabela 7.6.1 .
Da tabela 7.6.1, observa-se que barras retas com cobrimento
Cd superior ao diametro rjJ permitem reducao (a3 < 1). No caso de
236 Curso de Concreto Armado
barras com gancho, esse cobrimento deve ser superior a 3rjJ para se
considerar essa reducao, Nesse caso, os coeficientes al e a3 se
sobrepoem,
Na fig. 7.6.2, indica-se a determinacao do cobrimento cd para
barras retas, ganchos e laces horizontais.
barras retas ganchos lagos
r
c1
.., i+-
., a ,-
I~I
•• C i: .:::.
'f
cd=min(a/2,c1) cd=c
Fig. 7,6.2 - Deterrninacao do cobrimento cd
o coeficiente A. que aparece na expressao de a4 (ver tabela
7.6.1) edado por
"A -"A .A.= ~ .1'1 ~ sl.mm
A.~
(7.6.2)
onde
LAS1 e a area da secao das barras transversais nao soldadas
dispostas ao longo do comprimento de ancoragem lb. nee ;
L Ast.min e a area minima da armadura transversal, igual a
O,25As para vigas e 0 para lajes;
As ea area da barra ancorada de maior diametro.
Os valores do coeficiente k para a determinacao de a4 sao
indicados na fig. 7.6.3. Esse coeficiente depende da posicao da barra
ancorada em relacao aarmadura transversal nao soldada.
Ancoragem e emendas das barras da armadura 237
-~ As Ast ~1". I , I/I I I
I I I
i I I
k=O,1 k=O,05 k=O
Fig. 7.6.3 - Valores do coeficiente k
Nas ancoragens de telas soldadas cornpostas por fios lisos ou
com mossas, podem-se adotar os mesmos criterios de barras
nervuradas, desde que 0 mimero n de fios transversais soldados ao
longo do comprimento de ancoragem atenda a relacao
11 2 4As.rat / Ase .
7.7· Ancoragem em apoios de extremidade
No capftulo anterior, foi mostrado que, em decorrencia das
fissuras inclinadas, a forca na armadura longitudinal de tracao em
uma secao transversal da peca e proporcional ao momenta fletor
solicitante em uma secao vizinha, dela afastada de uma distancia at .
Assim, nos apoios de extremidade deve-se considerar uma forca de
tracao na armadura longitudinal dada por
R - /).M d _ /).M d
sd --Z-=-d-.- (7.7.1)
onde Z e 0 brace de alavanca, que pode ser tornado como sendo
aproximadamente igual aaltura util d da secao transversal da peca.
o incremento de momento, /).Md ' e igual a
(7.7.2)
onde Vd eo esforco cortante de calculo (igual ar~a<;ao de apoio).
Assim, a forca a ser ancorada nos apoios de extremidade das
vigas e das lajes e dada por
238 Curso de Concreto Annada
17.7.3)
onde at e obtido da equacao (6.5.9) do capitulo anterior.
Portanto, a armadura calculada, As,cal' para a determinacao
do comprimento de ancoragem nos apoios de extremidade, e
(7.7.4)
eAse ea armadura que realmente chega ao apoio.
o comprimento de ancoragem e medido a partir da face do
apoio, conforme esta indicado na fig. 7.7.1.
y-
I
d l
14 'b,nec ~ <>
,
~
Vd
./
Fig. 7.7.1 - Ancoragem em apoio de extremidade
o comprimento de ancoragem Ib.llec e obtido da expressao
(7.6.1), considerando-se os fatores de reducao indicados na tabela
7.6.1. No caso de ancoragem reta, 0 valor mfnimo lb.min e dado na
equacao (7.4.3). Porern, quando a barra termina em gancho no apoio,
deve-se verificar que
,1//c(lmgclII C C///C/Il/0S das harms do anuadura
{
R +5,5¢
'b,nec 2 6cm
239
(7.7.5)
sendo ¢ 0 diametro da barra e R 0 raio de dobramento do gancho.
o limite R+5,5¢ tern por finalidade garantir que 0 infcio da
curva de dobramento do gancho fique dentro da regiao do apoio,
conforme indicado na fig. 7.7.2. ,
o trecho reto que e exigido antes do infcio da dobra de
ancoragem tern por finalidade evitar que 0 gancho atue aplena carga,
possibilitando 0 fendilhamento do concreto. Na verdade, 0 gancho
sozinho ecapaz de ancorar toda a forca de tra~aQ(2,21). Em virtude da
compressao transversal existente nos apoios, essetrecho reto pode ter
apenas 0 comprimento indicado na equacao (7.7.5). 0 mesmo nao
ocorre se 0 gancho terminar fora do apoio e, neste caso, 0
comprimento mfnimo do trecho reto edado na equacao (7.4.3) .
...R ...
\,
I,
I
I
"
"
4,5<l>
R+5,5<l> ~ 6 em
Fig. 7.7.2 - Gancho nos apoios de extremidade
Quando 0 apoio de extremidade da viga for estreito, podera
resultar lb,nec > lb,disp' onde lb,nec eo comprimento de ancoragem
com gancho, respeitados os limites da equacao (7.7.5), e 'b,disp eo
comprimento disponfvel dentro do apoio. Neste caso, nao epossfvel
fazer a ancoragem com gancho. Urna alternativa para fazer a
ancoragem e 0 emprego de grampos adicionais, conforme indicado
na fig. 7.7.3.
240 Curso de Concreto Armada
grampos de
diametro <1>1 '-1 _
AI
//
: /
d
Fig. 7.7.3 - Grampos de ancoragem em apoios de extremidade de
pequena largura
Os grampos devem ser dimensionados para a forca minima
Fsd dada pOI'
F = R (1- lb.disp J
sd sd I
b.nec
(7.7.6)
onde Rsd e a forca total na armadura longitudinal de tracao que
chega ao apoio.
Desse modo, os grampos deverao tel' uma area total
As1 = F.5d IfYd' onde f.\'(/ e a tensao de escoamento do aco
empregado como grampo. 0 comprimento de ancoragem dos
grampos, lb.l' marcado a partir da face do apoio, edado pOI'
I - ¢I 1'.w/b I - --- (7.7.7)
, 4 fbd
onde ¢I e0 diametro da barra dos grampos.
A expressao (7.7.6) e obtida do modelo de biela e tirante
representado na fig. 7.7.4.
Ancoragem e emendas das barras da armadura 241
Fsd
Rsd n,
Ib,diSP
---~R RSd
.------ ~~--....,.----
~ Ib,nae ' ~
Fig. 7.7.4 - Modelo de biela e tirante para ancoragern com grampos
em apoios de extremidade
A forca nao ancorada e igual a
Rsd.1I = Rsd (1-lb,disP Ilb.llee ) . Essa forca ~ transferida aos
grampos atraves da biela de compressao, a qual esta submetida a
I
forca Fe = RSd .1I [co« O. A resultante de tra~ao nos grampos e
I
F'\'d = Fe eosO , de onde resulta a expressao (7.7.6).
Exemplo:
Considere a viga biapoiada indicada na fig .. 7.7.5.
A viga se apoia nos pilares PI e P2, ambos com 20 em de
largura. 0 vao livre e 10 = 580 em e 0 vao de calculo, definido como
a distancia entre os eixos dos pilares de apoio, e I = 600 em
(I = 6 m). A viga e solicitada por uma icarga de service
uniformemente distribufda Pk = 20 kN/m. As dimensoes da Sel;ao
transversal tambem sao indicadas na fig. 7.7.5. I
o concreto possui .f~k = 30 MPa e 0 I aco da armadura
longitudinal e0 CA-50.
242 Curso de Concreto Armada
P11,1 1,1 P2
60 552~:~ 10=580 em I.I~O
I I As
I I
I Pk=20 kN/m II I I~ 20 ~
I~ 1=600 em secao transversal
·1
Fig. 7.7.5 - Viga biapoiada com earga uniforme
A) Dimensionamento da armadura longitudinal
o momento tletor maximo de service, no meio do vao da viga,
edado por
Dimensionando a secao da viga para esse momento tletor,resulta As = 5,61 ern' (armadura simples).
Armando a viga com barras de ¢ = 16 mm, tem-se:
1l¢2 2
- area de uma barra: A I =-- = 2 01 em
s 4 '
/ d b / . 5,61 2 79 3
- numero e arras neeessanas: II = --=, z> 1l = barras
2,01
- area de aco adotada: As,ado! =3x2,0 I =6,03 em"
B) Esealonamento das armaduras longitudinais
Uma vez que 0 momento tletor solieitante diminui em direcao
aos apoios, nao ha neeessidade de passar as tres barras eorridas em
toda a extensao da viga. Para eeonomizar no eonsumo de a'50, pode-
se fazer 0 esealonamento das armaduras. Neste easo, uma barra pode
Attcoragetn e emendas das barras da armadura 243
ser cortada, ficando com um comprimento reduzido, e as outras duas
barras passam corridas de apoio a apoio.
Todas as tres barras da viga devem ser ancoradas. Para a barra
mais curta, deve-se fazer uma ancoragem no yam Para as duas barras
que passam corridas, devern-se fazer as ancoragens nos apoios de
extremidade. Em todos os casos, tem-se ancoragem em zona de boa
aderencia. 0 estudo detalhado do escalonamento das armaduras das
vigas eapresentado no Volume 2. I
C) Ancoragem no vao
Neste caso, a area de aco calculada e igual a area obtida no
dimensionamento para 0 momento fietor, ou seja, As,ral = 5,61 em'.
A area de aco existente corresponde a secao das tres barras, isto e,
Ase = 6,03 em".
- resistencia da aderencia:
t. = frk = 30 =21 43 MPh
cd 14 14 ' •, ,
fbd =0,42(frd f/3 =0,42(21,43 )2/3 => fbd =3,24 MPa
- comprimento basico de ancoragem:
onde f.wl =500/1,15 =434,8 MPa e a tensao de escoamento de
calculo do aco CA-50.
- comprimento minimo de ancoragem:
Para ancoragem no vao, reta ou com gancho, ° comprimento
rninimo de ancoragem edado pelo maior dos valores
244 Curso de Concreto Annada
{
0'3Ib = 0,3x54 = 16,2em
lb,min ~ lO¢ = lOx1,6 = 16cm
lOem
Logo, lb,min == 17 em.
- cornprimento de ancoragem reta:
I = I A,\',cal = 54x 5,61 I 50
b.nec b A 6 03 => b.nec = em
se '
Como Ib,llec > lb,min' adota-se Ib,llec = 50cm.
- comprimento de ancoragem com gancho:
o comprimento de ancoragem com gancho edado na equacao
(7.5.2), sendo Ib,min = 17 cm. Entretanto, nao compensa fazer 0
gancho nas ancoragens situadas ao longo dos vaos das vigas, pais
nemsempre epossivel garantir 0 cobrimento de 3¢ no plano normal
ao gancho, devendo-se adotar al =1,0 como nas ancoragens retas.
AMm disso, nessas regioes nao ha restricao de espaco para fazer a
ancoragem, como ocorre nos apoios de extremidade.
D) Ancoragem nos apoios de extremidade
o esforco cortante de service nos apoios de extremidade da
viga edado por
Vk = Pk
l
= 20x6 = 60 kN.
2 2
o esforco cortante de calculo e Vd = l,4Vk = 84 kN.
Ancoragcn: C cmendas dus barras da ainuulura 245
- armaduras nos apoios de extremidade:
A area da armadura ealcula nos apoios e dada por
A _ al Vd
-«>:-f
.I'd
onde al e 0 desloeamento horizontal do diagrama de momentos
f1etores, con forme apresentado na se~ao 6.5 do capftulo 6.
Para as vigas dos ediffcios, pode-se adotar: al =d , como uma
simplificacao a favor da seguranca, Desse modo, obtern-se
I
I
A _ Vd _ 84I - -- - -- ~ A,O.~/ll = 1,93 ern"S,CG f 4348 '.<L'
.I'd '
Como apenas duas barras de 16 mm ehegam ate os apoios da
viga, tem-se Ase = 2x2,01 = 4,02 em".
- eomprimento de aneoragem reta:
As.cal 1,93
lb.llec =lb --- =54x-- ~ Ib,lIet- =26 em
Ase 4,02
o eomprimento mfnimo de ancoragem reta e lb,min =17 em,
como foi visto anteriormente.
Como lb.llec > lb,min ' deve-se adotar Ib,lIec = 26 em.
Observa-se que nao e possfvel fazer a ancoragem reta, pois 0
pilar tern apenas 20 em de largura. Deseontando 3 em do eobrimento
das barras (supondo a classe II de agressividade ambiental), sobram
apenas 17 em para se fazer a aneoragem, 0 que e bern menor que
Ib,lIec = 26 em. Neste easo, deve-se fazer a ancoragem com ganeho.
246 Curso de Concreto Armada
- comprimento de ancoragem com gancho:
A,I',caf 1,93
Ib,llec =0,71b--=0,7xS4x-- => Ib,llec = 18cmAse 4,02
o comprimento rmmmo de ancoragem com gancho, nos
apoios de extremidade das vigas, e
{
R + S,SrjJ
Ib,min ~ 6cm
onde Reo raio de dobramento do gancho.
Da tabela 7.5.1, verifica-se que 0 diametro de dobrarnento e
igual a 5rjJ . Logo, R = 2,5rjJ ,r=8xl,6 =12,8
Ib,min ~ => Ib,min = l3cm6cm
Como resultou Ib,llec > Ib,min ' deve-se adotar Ib,llec = 18 em.
Observa-se que, mesmo com gancho, nao e possivel fazer a
ancoragem, ja que 0 comprimento disponfvel ede apenas 17 em,
Uma alternativa para resolver 0 problema seria 0 usa de
grampos adicionais, como indicado na fig. 7.7.3.
Outra opcao seria passal' as tres barras corridas por toda a
extensao da viga (sem fazer escalonamento). Neste caso, a area de
aco existente nos apoios seria Ase =3x2,01 =6,03cm
2
• 0
comprimento de ancoragem necessario seria
! As.cal 1,93
Ib,llec =0,71b--=0,7x54x-- => Ib.llec =12cm.Ase 6,03
Assim, corn a opcao de tres barras corridas, bastaria adotar 0
comprimento minirno de ancoragem com gancho Ib,llec = 13 em. Na
Ancoragetn e emendas das barras da armadura 247
pratica, as barras seriam prolongadas ate a extremidade do pilar,
adotando-se todo 0 comprimento disponfvel, ou seja, Ib,f1er = 17 em.
7.8 - Armadura transversal nas ancoragens
Con forme foi indicado na fig. 7.1.2, na regiao das ancoragens
surgem tens6es de tracao transversais que podem provocar 0
fendilhamento do concreto e, consequentemente, prejudicar as
condicoes de ancoragem. 0 esforco maximo de fendilhamento ocorre
no terco extremo do comprimento de ancoragem e vale
aproximadamente 25% da forca ancorada'".
As tensoes de tracao podem ser eliminadas quando ha uma
compressao transversal abarra ancorada, como ocorre nos apoios das
vigas. Entretanto, nos locais onde essa compressao nao existe ou e
insatisfatoria, deve-se prever uma armadura capaz de resistir ao
esforco de tracao transversal. A armadura transversal deve ser
distribufda ao longo do comprimento de ancoragem Ib,f1er e deve ser
capaz de resistir a 25% do esforco de uma das barras ancoradas.
Havendo barras de diametros diferentes, considera-se a barra de
maior diametro.
Em geral, a armadura transversal ja existente, como as estribos
para 0 cisalhamento ou a armadura de suspensao nos apoios
indiretos, e suficiente para absorver a esforco] de fendilhamento.
Porem, quando a armadura longitudinal e disposta em varias
camadas, e necessaria prever uma armadura transversal adicional. Se
as estribos ja existentes tiverem um espacamerito pequeno (de no
maximo 10 em), a armadura transversal pode ser constitufda par
barras suplementares, como indicado na fig. 7,8.1. Entretanto, e
sempre preferfvel 0 emprego de estribos adicionais, de altura
reduzida, envolvendo a armadura longitudinal'I".:
Nas ancoragens das barras comprimidas, uma parcela da forca
e transmitida ao concreto atraves da ponta da berra. As pressoes de
ponta introduzem um esforco transversal de tra~ao que pode romper
o cobrimento de concreto. 0 esforco de fendilhatnento (igual a 25%
da forca ancorada) deve ser resistido par estribos colocados ao longo
do comprimento Ib,f1er +4¢>. Pelo menos urn estribo deve ser
248 Curso de Concreto Annada
colocado ao longo do comprimento 4¢ alem da extremidade da
barra, conforme esta indicado na fig. 7.8.2.
\ }
barras
suplementares o
estribos de
costura
Fig. 7.8.1 - Armadura transversal nas ancoragens
!
,
,
- H ~
-
\fissura
Fig. 7.8.2 - Armadura transversal nas ancoragens
das barras comprimidas
Ancoragctu « emendas das barras da armadura 249
7.9· Emendas das barras da armadura
1
As emendas das barras da armadura devern ser evitadas
sempre que possfvel. Quando necessario, as ernendas podem ser
feitas por traspasse, atraves de solda, com luvas irosqueadas ou com
outros dispositivos devidamente justificados. As ernendas com soldaou luvas rosqueadas exigem urn controle especial para garantir a
resistencia da emenda. I
A emenda por traspasse e mais barata, por ser de facil
execucao, e faz uso da propria aderencia entre 0 a<;o e 0 concreto. De
acordo com a NBR-6118, esse tipo de emenda n~o epermitido para
barras de bitola superior a 32 (¢ > 32 mm), nern para tirantes e
pendurais (pecas Iineares de secao inteiramente tracionada).
No caso de feixes, 0 diametro do cfrculo de mesma area, para
cada feixe, nao pode ser superior a 45 mm. Ah~m disso, as barras
constituintes do feixe devem ser emendadas uma de cada vez sem
que, em qualquer secao do feixe emendado, resultem mais de quatro
barras. I
Nas emendas pOI' traspasse, a transferencia da forca de uma
barra para outra se faz atraves de bielas com~rimidas inclinadas,
como indicado na fig. 7.9.1. A distancia livre entre as barras
emendadas deve ser no maximo igual a 4¢.
I~
Fig. 7.9.1 - Emenda por traspasse
250 Curso de Concreto Armada
o comprimento do traspasse, '01' das barras tracionadas e
dado por
(7.9.1)
onde 'b.nec e 0 comprimento de ancoragem, dado na expressao
(7.6.1), e a OI ;;::1 e urn coeficiente que leva em conta as piores
condicoes na regiao da emenda, em relacao a ancoragem de uma
barra isolada.
Segundo a NBR-6118, 0 comprimento minimo da emenda de
barras tracionadas e dado por
{
20cm
'ol.min ;;:: 15¢
O,3aot'b
onde 'b e0 comprimento basico de ancoragem.
(7.9.2)
Na tabela 7.9.1, sao indicados os valores de a O! em funcao da
porcentagem de barras emendadas na mesma secao.
Tabela 7.9.1 - Valores do coeficiente aOI
Porcentagem de barras S;20% 25% 33% 50% >50%
emendadas na mesma secao
Valores de aOI 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
Consideram-se como na mesma secao transversal, as emendas
que se superpoem ou cujas extremidades mais pr6ximas estejam
afastadas de menos que 20% do comprimento do trecho de traspasse,
conforme indicado na fig. 7.9.2. Assim, para reduzir 0 comprimento
das emendas, elas devem ser distribufdas de maneira defasada ao
longo do eixo da peca.
Aticoragem e emendas das barras da armadura 251
: I
M
<0,2101
Fig. 7.9.2 - Emendas na mesma se~ao
A NBR-6118 estabelece uma propon;ao] maxima de barras
tracionadas que podem ser emendadas na mesma secao, conforme a
tabela 7.9.2. ,
,
Quando se tratar de arrnadura permanenternente comprimida
ou de distribuicao, permite-se que todas as barras sejam emendadas
na mesma secao.
d d'1 dd bTbl792 Pa e a - roporcao maxima e arras tracrona as emen a as
Tipo de barra Situacao !Carrecramento
estatico dinamico
alta aderencia em uma camada 100% 100%
em mais de uma camada 5P% 50%
lisa ¢< 16mm 5P% 25%
¢;::: 16mm 2?% 25%
o comprimento do trecho de traspasse das barras
comprimidas, loc' edado por
(7.9.3)
com 0 valor mfnimo dado por
{
20Cm
loe.min;::: 15¢
0,61&
(7.9.4)
252 Curso de Concreto Annada
Para as barras comprimidas, a()(' = I , rcsultando f(}(. = '''.11<'<''
porque uma parte da forca eancorada pelo efeito de ponta.
Na regiao das emendas por traspasse surgem esforcos de
tracao que devem ser resistidos por uma armadura transversal. A
armadura transversal melhora a ductilidade na regiao da emenda,
evitando uma ruptura brusca por descolamento do cobrimento de
concreto, como indicado na fig. 7.9.3.
..L
-I "1\ I
'7 \ \ /1
l \\ 'I\ \ II
-I
:;...-
j
Emenda costurada por
armadura transversal
Ruptura do cobrimento
pela falta da armadura
transversal
Fig. 7.9.3 - Ruptura do cobrimento na regiao da emenda de urn
elemento fletido
De acordo com a NBR-61 18, a area da armadura transversal,
AS1 ' e calculada com os seguintes criterios:
a) Quando ¢ < 16 mm e a proporcao de barras emendadas na mesma
secao for menor que 25%, a armadura transversal deve ser capaz de
resistir a 25% da forca atuante em uma das barras emendadas.
Assim, se 0 aco da armadura de costura for da mesma categoria da
armadura emendada, e se a armadura emendada esta com tensao
igual a fyd' AS1 deve ser igual a 25% da area da secao de uma
barra emendada. Em geral, a armadura transversal ja existente por
outras razoes, como os estribos para cisalhamento, e suficiente para
funcionar como armadura de costura.
b) Quando ¢ ~ 16 mm ou quando a proporcao de barras emendadas
na mesma secao for maior ou igual a 25%, a armadura transversal
deve ser capaz de resistir a 100% da forca atuante em uma das barras
emendadas.
Ancoragem e emendas das barras da artnadura 253
c) Se a < 1O¢' onde a e a distancia entre as duas barras mais
pr6ximas de duas emendas na mesma secao, como na fig. 7.9.2, a '
armadura transversal de costura deve ser constituida por estribos
fechados, como indicado na fig. 7.8.1.
A armadura transversal deve concentrar-se nos tercos
extremos da emenda e seu espacamento, medido na direcao das
barras emendadas, nao deve ser maior que 15 em. No caso de
emendas de barras comprimidas, pelo menos uma barra da armadura
transversal deve ser colocada ao longo do cornprimento 4¢ alern da
extremidade da emenda.
Na fig. 7.9.4, indicam-se as disposicoes das armaduras
transversais nas emendas por traspasse.
.:s15cm
H
.~~====
~ 101/3 ~
Barras tracionadas
Barras comprimidas
Fig. 7.9.4 - Armadura transversal nas emendas
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
I. NEVILLE, A. M. Propriedades do Concreto. Traducao de
Salvador E. Giammusso, Sao Paulo: PINI, 1997.
2. LEONHARDT, F.; MONNIG, E. Construcoes de Concreto. Rio
de Janeiro: Interciencia, v.l, 1977; v.3, 1978.
3. EQUIPE DE FURNAS: Laborat6rio de Concreto. Concretos -
Ensaios e Propriedades. Editor: Walton Pacelli de Andrade. Sao
Paulo: PINI, 1997.
4. COMITE EURO-INTERNATIONAL DU [BETON. Code-modele
CEBIF/P pour les Structures en Beton. Bulletin d'Information
124/125, Paris, 1978.
5. COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. CEB-F/P
Model Code 1990. Published by Thomas Telford, London, 1993.
6. ASSOCIA<;Ao BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. NBR-
8953: Concreto Para Fins Estruturais - Classificacdo por grupos
de resistencia. Rio de Janeiro, 1992.
7. ASSOCIA<;Ao BRASILEIRA DE NORMI'\S TECNICAS. NBR-
6118: Projeto de Estruturas de Concreto. Rio de Janeiro, 2003.
8. SANTOS, L. M. Cdlculo de Concreto Armado. v. I, 2. ed., Sao
Paulo: Ed. LMS Ltda., 1983.
9. KUPFER, H.B.; GERSTLE, K. H. Behavior of concrete under
biaxial stresses. Journal of the Engineering Mechanics Division,
ASCE, v.99, p.852-866, Aug. 1973.
10.AMERICAN CONCRETE INSTITUTE. Building, Code
Requirements for Structural Concrete (ACl 318-95) and
Commentary (AC/3l8R-95). Detroit, 1995. .
II.ARAUJO, J. M. Modelos para previsiio do modulo de
defonnaciio longitudinal do concreto: NBR-6118 versus CEB.
Revista Teoria e Pratica na Engenharia Civil, Rio Grande: Ed.
256 Curso de Concreto Annada
Dunas, n.12, p.81-91, out. 200H. Disponivcl em:
<www.editoradunas.com.br/revistatpec>.
12.COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. Selected
Justification Notes. Bulletin d'Information n.2'17, Lausanne, 1993.
13.HELENE, P. R. L. Estudo da variaciio do modulo de elasticidade
do concreto com a composictio e caracteristicas do concreto
fresco e endurecido, Relat6rio aABCP, Sao Paulo, jan. 1998.
14.CARRASQUILLO, R. L.; NILSON, A. 1-1.; SLATE, F. 0.
Properties of high strength concrete subject to short-term loads.
ACIJournal, v. 78, n. 3, p. 171-178, May, 1981.
15.DESAYI, K.; KRISHNAN, S. Equation for the stress-strain
curve of concrete. Journal of the American, Concrete Institute.
v.61, n.3, p.345-350, 1964.
16.JIMENEZ MONTOYA, P.; GARCIA MESEGNER, A.;
MORAN CABRE, F. Hormigon Armada. v.l, Barcelona:
Gustavo Gili, 1979.
17.ROSCH, H. Researches toward a general flexural theory for
structural concrete. Journal of the American Concrete Institute,
v.57, p.I-28, 1960.
18.COMITE EURO-INTERNATIONAL DU BETON. CEB Design
Manual on Structural Effects of Time-Dependent Behaviour of
Concrete. Switzerland,1984.
19.ASSOCIAc;AO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. NBR-
7480:Aro Destinado a Armaduras Para Estnuturas de Concreto
Armada. Rio de Janeiro, 2007.
20.ARAUJO, J. M. Dimensionamento (I j7exii(~ simples de seciies
transversais de concreto armada com enj(;lse na ductilidade.
Revista Teoria e Pratica na Engenharia Civil, Rio Grande: Ed.
Dunas, n.14, p.I-13, out. 2009. Disponivel em:
<www.editoradunas.com.br/revistatpec>.
21.FUSCO, P. B. Tecnica de Armor as Estruturas de Concreto. Sao
Paulo: PINI, 1995.
22.ASSOCIAc;AO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS. NBR-
8681: Aroes e Seguranca nas Estruturas. Rio de Janeiro, 2003.
Referencias Bibliogrdficas 257
23.ARAUJO, J. M. Analise probabilistica de vigas de concreto
annada. Parte 1: Avaliaciio das deformaciies. Revista Portuguesa
de Engenharia de Estruturas, Lisboa, n.42, p.19-24, 1997.
24.ARAUJO, J. M. Analise probabilistica 'de vigas de concreto
annada. Parte 2: Avaliaciio da segurancas Revista Portuguesa de
Engenharia de Estruturas, Lisboa, n.43, p.35-39, 1998.
25.ARAUJO, J. M. A confiabilidade no projeto de pilares de
concreto armado. Revista Teoria e Pratica na Engenharia Civil,
Rio Grande: Ed. Dunas, n.2, p.I-8, maio,' 200 I. Disponfvel em:
<www.editoradunas.com.br/revistatpec>.
Impressao:
UFt.S
GRAFICA
Oil UNflIEllSIOAOE FEDEItAl.
DO RIO GRANOE00 SUl