Aulas de probabilidade completa - Parte I

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE 
CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA E CIÊNCIAS ATUARIAIS 
 
NOTAS DE AULA – Probabilidades (Parte I) 
Disciplina: Estatística Aplicada a Química 
Professora: Vanessa K. Santos 
 
1. Espaço Amostral 
 
Encontramos na natureza dois tipos de fenômenos: determinísticos e aleatórios. 
Os fenômenos determinísticos são aqueles em que os resultados são sempre os mesmos, 
qualquer que seja o número de ocorrências verificadas. 
Se tomarmos um determinado sólido, sabemos que a uma certa temperatura haverá a 
passagem para o estado líquido. Este exemplo caracteriza fenômenos determinísticos. 
Nos fenômenos aleatórios, os resultados não serão previsíveis, mesmo que haja um grande 
número de repetições do mesmo fenômeno. Por exemplo: se considerarmos um pomar com 
centenas de laranjeiras, as produções de cada planta serão diferentes e não previsíveis, mesmo 
que as condições de temperatura, pressão, umidade, solo, etc..., sejam as mesmas para todas 
as árvores. Podemos, assim, definir fenômenos aleatórios como segue: 
 
Definição 1: Experimentos aleatórios 
Todo e qualquer fenômeno produzido pelo homem pode ser chamado de experimento 
(fenômeno) aleatório. 
 
Em suma, nos experimentos aleatórios, mesmo que as condições iniciais sejam sempre as 
mesmas, os resultados finais de cada experimento serão diferentes e não previsíveis. 
 
Exemplos: 
a) O lançamento de uma moeda não viciada; 
b) O lançamento de um dado honesto; 
c) A retirada de uma carta de um baralho com 52 cartas; 
d) A determinação do tempo de vida útil de um componente eletrônico; 
 
Definição 2: Espaço Amostral 
O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento é chamado espaço amostral, 
representado por  ou S. 
 
Exemplo: 
a)  = {Cara, Coroa} 
b)  = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
c)  = {AO,..., KO, AE,..., KE, AP,..., KP, AC,..., KC} 
d)  = {t  | t ≥ 0} 
 
Os elementos do espaço amostral são chamados pontos amostrais. 
 
 
 
Para cada caso abaixo, descreva o espaço amostral correspondente e conte seus elementos: 
 
a) Uma moeda é lançada duas vezes e as faces obtidas são observadas; 
b) Um dado é lançado 2 vezes e a ocorrência de face par ou impar é observada; 
c) Uma urna contém 10 bolas azuis e 10 vermelhas com dimensões rigorosamente iguais; 
d) Dois dados são lançados simultaneamente e estamos interessados na soma das faces 
observadas; 
e) Em uma cidade, famílias com 3 crianças são selecionadas ao acaso, anotando-se o sexo 
de cada uma; 
f) Uma máquina produz 20 peças por hora. Escolhe-se um instante qualquer e observa-se 
o número de defeituosas na próxima hora; 
g) Uma moeda é lançada consecutivamente até o aparecimento da primeira cara; 
h) Contagem do número de clientes em uma fila única de banco, que chegam durante 1h; 
i) Medição da temperatura, em ºC, numa estação meteorológica da cidade de Aracaju. 
 
Definição 3: Eventos 
Qualquer subconjunto do espaço amostral é chamado de evento, ou seja, se E   então E é 
um evento de . 
 
Tipos de eventos 
- Se E = , E é chamado evento certo; 
- Se E  e E é um conjunto unitário, E é chamado evento elementar; 
- Se E = , E é chamado evento impossível. 
 
Exemplo: 
Ao lançar 2 dados, é possível classificar como evento: 
A: Saída de faces iguais; 
B: Saída de faces cuja soma seja menor que 3; 
C: Saída de faces em que uma face é o dobro da outra; 
D: Saída de faces cuja soma seja menor que 2; 
E: Saída de faces cuja soma seja menor que 15; 
F: Saída de faces cuja soma seja igual a 10; 
 
Solução: 
O evento D é dito impossível, o evento E é dito certo, o evento B é dito elementar e os demais, 
A, C e F são apenas eventos. 
 
Já que o espaço amostral é: e os eventos são: 

 = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6) 
 (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6) 
 (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6) 
 (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6) 
 (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6) 
 (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)} 
 
 
A = {(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(5,5);(6,6)} 
B = {(1,1)} 
C = {(1,2);(2,1);(2,4);(3,6);(4,2);(6,3)} 
D =  
E =  
F = {(4,6);(5,5);(6,4)} 
Tente Você 1 
 
 
Considere que você vai cronometrar o tempo, em segundos, para carregar uma página da web. 
a) Represente, em forma de conjuntos, os seguintes eventos: 
 A = mais do que 5 e, no máximo, 10 segundos; 
 B = mais do que 10 segundos; 
 C = Mais do que 8 segundos; 
 
Operações com eventos aleatórios 
 
Considere um espaço amostral finito  e sejam A e B eventos de . Assim, é possível definir as 
seguintes operações: 
 União (A U B) 
O evento união é formado pelos pontos amostrais que pertencem a, pelo menos, um dos 
eventos, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 Interseção (A ∩ B) 
O evento interseção é formado pelos pontos amostrais que pertencem, simultaneamente, aos 
eventos A e B, ou seja, 
 
 
 
 
 
 
CASO ESPECIAL: 
Se A ∩ B = , A e B são ditos eventos mutuamente excludentes (exclusivos). 
 
 Complementação (Ac) 
O evento complementação é formado pelos pontos amostrais que não pertencem ao evento A 
(evento de interesse), ou seja, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no tente você 2, represente os eventos 
D = A  B; E = A  B; 
F = A  C ; G = A. 
Tente Você 2 
Tente Você 3 
Exercícios 
1. Suponha que um conjunto seja formado pelos inteiros positivos de 1 a 10 e sejam: 
A = {2,3,4}; B = {3,4,5} e C = {5,6,7}. Enumere os elementos dos seguintes conjuntos: 
 
a) A ∩ B b) A U B c) (A ∩ B) 
d) (A ∩ (B ∩ C)) e) (A ∩ (B U C)) 
 
2. Empregue Diagramas de Venn para estabelecer as seguintes relações: 
 
a) A  B e B  C implica que A  C. 
b) A  B implica que A = A ∩ B. 
c) A  B implica que B  A. 
d) A  B implica que A U C  B U C. 
e) A ∩ B =  e C  A implicam que B ∩ C = . 
 
3. Dados os conjuntos A = {1,2,3}, B = {3,4,5}, C = {1,5,6} e D = , efetue as operações: 
(Obs: Se preferir use o diagrama de Venn). 
 
a) A ∩ B b) B ∩ C 
c) A – C d) C – A 
e) (A U B) ∩ D f) (B ∩ C) – (A ∩ B) 
g) (A U C) – (B ∩ D) h) (A ∩ B ∩ C) U (B ∩ C ∩ D) 
 
4. Considerando os conjuntos A = {3, x, 8, 11}, B = {7, x, 11, 33, z} e A ∩ B = {6, 8, 11}, 
obtenha o valor de z + x. 
 
5. Numa pesquisa realizada num colégio, perguntou-se aos alunos se preferiam shows de rock 
ou concertos de música clássica. Obtiveram-se os dados apresentados no quadro abaixo: 
 
 Número de preferências 
Rock 458 
Música Clássica 112 
Ambos 62 
Nenhum 36 
 
 
6. Numa cidade, foi feito um levantamento para saber quantas crianças haviam recebido as 
vacinas Sabin, tríplice e contra o sarampo. Os dados obtidos foram: 
 
Vacinas Número de crianças 
Sabin 5428 
Tríplice 4346 
Sarampo 5800 
Sabin e Tríplice 812 
Sabin e Sarampo 904 
Tríplice e Sarampo 721 
As Três 521 
Nenhuma 1644 
 
 
 
Com base nesses dados, 
determine o número de 
alunos consultados. 
 
Determine o número de crianças 
abrangidas pela pesquisa e, entre 
elas, quantas receberam: 
 
a) Apenas Sabin; 
b) Apenas a Tríplice; 
c) Apenas a vacina contra Sarampo; 
d) Pelo menos duas vacinas. 
 
2. Probabilidades 
 
O cálculo das probabilidades pertence ao campo da Matemática. Sua inclusão, neste curso, 
cujo objetivo é essencialmente a Estatística, encontra explicação no fato de que a maioria dos 
fenômenos de que trata a Estatística é de natureza aleatória ou não determinística. 
 
Definição 4: Frequência Relativa 
Representa o nº de vezes que o(s) evento(s) de interesse ocorre(m) nas n repetições do 
experimento. 
 
Propriedades: 
 
i. 0 ≤ fa ≤ 1; 
ii. fa = 1, se o evento de interesse ocorrer todas as vezes; 
iii.fa = 0, se o evento de interesse nunca todas as vezes; 
iv. Se A e B forem mutuamente excludentesf(A U B) = f(A) + f(B) 
 
v. Com base nas n repetições fa  P(A) quando n  ∞. 
 
Definição 5: Probabilidade 
Seja  um experimento e  o espaço amostral associado a ele. A cada evento A associamos um 
número real P(A), denominado probabilidade de A, que satisfaça as seguintes condições: 
 
1. P(A) ≥ 0; 2. P() = 1; 
3. Se A1, A2, ..., Ai,... forem eventos mutuamente excludentes 02 a 02, ou seja, se Ai ∩ Aj = , 
i,j = 1,2,...,k; i ≠ j, então 
 
 
P(A1 U A2 U ... U Ai U ...) = P(A1) + P(A2) + .... + P(Ai) + ... 
ou seja, 
 
 
Propriedades: 
 
i. Para todo A  , P(Ac) = 1 – P(A); 
ii. Se  é o evento impossível  P() = 0; 
iii. Se os eventos A e B são, tais que, A  B  P(A) ≤ P(B); 
iv. Para cada evento A  0 ≤ P(A) ≤ 1; 
v. Se A e B são dois eventos quaisquer, então 
 
 
P(A U B) =P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 
 
 
vi. Se A, B e C são eventos quaisquer, então 
 
 
P(A U B U C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ B) 
 – P(A ∩ B) – P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) 
 
Usando o Diagrama de Venn para representar os itens v. e vi., respectivamente, tem-se que: 
 
 
 
Exercícios 
7. Qual a probabilidade de retirar-se, ao acaso: 
a) Um rei de espadas de um baralho de 52 cartas? 
b) Um rei de qualquer naipe? 
c) Um rei ou um carta de espadas? 
 
8. Uma caixa de bombons tem 3 chocolates brancos e 2 ao leite. Extraindo-se dois 
bombons, simultaneamente, calcule a probabilidade de serem: 
 
a) Um branco e um ao leite; 
b) Ambos do mesmo tipo. 
 
9. Uma caixa contém 25 bolas numeradas de 1 a 25. Extraindo-se uma bola ao acaso, qual 
a probabilidade de que seu número seja 
 
a) par; b) ímpar; 
c) par e maior que 10; d) primo e maior que 3; 
e) múltiplo de 3 e 5. 
 
10. Resolva o problema anterior admitindo que as duas bolas são extraídas uma a uma 
com reposição. 
 
11. Para brincarem de amigo secreto, 3 jovens – João (J), Marta (M) e Rafael (R) – 
Escrevem seus nomes em 3 pedaços de papel, um nome em casa pedaço. (Os pedaços de 
papel são iguais em tudo: tamanho, cor, espessura e peso). Cada pedaço de papel é, em 
seguida, dobrado em quatro e colocado numa urna para sorteio. Calcular: 
 
a) A probabilidade de alguém sortear o próprio nome; 
b) A probabilidade de ninguém sortear o próprio nome; 
 
12. Considere o quadro abaixo em que figuram 25 dezenas formadas pelo agrupamento 
dos cinco primeiros dígitos. Os quadradinhos com as dezenas são recortados e colocados 
numa urna para sorteio. Calcular: 
 (2º Dígito) 
 
 
 
 (
1º
 D
íg
ito
) Dígito das Unidades () 1 2 3 4 5 Dígito das Dezenas () 
1 11 12 13 14 15 
2 21 22 23 24 25 
3 31 32 33 34 35 
4 41 42 43 44 45 
5 51 52 53 54 55 
 
a) A probabilidade de, na dezena sorteada, os 2 dígitos serem iguais; 
b) A probabilidade de, na dezena sorteada, o 1º dígito ser menor que o 2º; 
c) A probabilidade de, na dezena sorteada a soma dos dígitos ser maior que 7. 
Definição 6: Probabilidade Condicional 
Seja A um evento de  e seja P(A) > 0. A probabilidade de um evento B ocorrer dado que A 
ocorreu, é dita probabilidade condicional, sendo expressa por: 
 
P(B|A) = P(A ∩ B) 
 P(A) 
Exemplo: 
Dois dados honestos são lançados, registrando-se o par de resultados como (x1, x2), onde xi é o 
resultado do i-ésimo dado, i = 1, 2. Considere os seguintes eventos: A = {(x1, x2)/ x1 + x2 = 
10} e B = {(x1, x2)/ x1 > x2}. Determine: P(A), P(B), P(A ∩ B), P(A/B) e P(B/A). 
 
Solução: 
Definição do espaço Amostral  = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6) 
(2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6) 
 (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6) 
#n() = 36 (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6) 
 (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6) 
 (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); (6,6)} 
 
A = {(5,5); (4,6); (6,4)} #n(A) = 3 
 
B = {(2,1); (3,1); (3,2); (4,1); (4,2); (4,3); (5,1); (5,2); 
(5,3); (5,4); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4);(6,5)} #n(B) = 15 
A ∩ B = {(6,4)} #n(A ∩ B) = 1 
 
Portanto, 
P(A) = 3/36; P(B) = 15/36; P(A ∩ B) = 1/36 
P(A|B) = P(A ∩ B) = 1/36  P(A|B) =1/15. 
 P(B) 15/36 
 
Similarmente 
P(B|A) = P(A ∩ B) = 1/36  P(A|B) =1/3. 
 P(A) 3/36 
 
Representando, assim, as probabilidades de ocorrência de cada evento (A; B), a probabilidade 
de ambos os eventos acontecerem (A ∩ B) e, por fim, a probabilidade do evento A acontecer 
dado que B já aconteceu P(A|B) e a probabilidade de B acontecer dado que o evento A já 
aconteceu. 
 
Exercícios: 
13. Sendo P(A) = 1/3; P(B) = 3/4 e P(A U B) = 11/12, calcular P(A/B). 
 
14. Considere dois eventos A e B, tais que: 
 
P(A) = 1/4; P(B|A) = 1/2 e P(A|B) = 1/4. 
 
a) Os eventos A e B são mutuamente exclusivos? 
b) Os eventos A e B são independentes? 
c) Calcule P(A|B), P(A|B) + P(A|B) e P(A|B). 
 
#TEOREMA DA MULTIPLICAÇÃO (ou do produto): 
Aplicado quando houver interesse em calcular a ocorrência simultânea de vários eventos a 
partir de probabilidades condicionais, ou seja, 
 
P(A ∩ B) = P(A)P(B|A) 
 
Generalizando, 
 
P(A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An) = P(A1) x P(A2|A1) x P(A3| A1 ∩ A2) x … x P(An |A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An-1) 
 
Exemplo: 
Em uma sala de aula com 12 alunos, 4 são do sexo masculino e 8 são do sexo feminino. Três 
alunos são escolhidos, aleatoriamente, pela professora, um após o outro, a fim de ganharem 
alguns pontos na disciplina, caso tenham resolvido o exercício de classe de forma correta. 
Sendo assim, determine a probabilidade dos três alunos serem do sexo masculino sabendo-se 
que a probabilidade da 1ª pessoa ser do sexo feminino é 8/12. 
 
Solução: 
Seja o evento 
Ai  O i-ésimo aluno é do sexo masculino e 
Aj  O i-ésimo aluno é do sexo feminino, em que P(Aj) = 8/12 
Logo, 
 
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = P(A1) x P(A2|A1) x P(A3| A1 ∩ A2) 
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = (4/12) x (3/11) x (2/10) 
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 24/ 1320 
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) = 1/55 
 
Ou seja, a probabilidade de que os três alunos sorteados em sala de aula sejam do sexo 
feminino é de 1/55. 
 
Exercícios: 
14. Duas moedas são retiradas de uma gaveta que contém 2 moedas de 25 centavos, 3 de 
cinqüenta centavos e 4 de um real. Qual a probabilidade de que ambas: 
 
a) Sejam da mesma cor? 
b) Sejam de R$ 1,00? 
 
15. Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Duas peças são 
escolhidas ao acaso, uma após a outra, sem reposição da primeira. Determine a probabilidade 
de: 
 
a) As duas peças serem defeituosas; 
b) A primeira ser nova e a segunda ser usada. 
 
16. Uma sala contém 10 alunos do sexo masculino. Estes alunos vestem camisas de diversas 
cores, e apenas 4 alunos usam a cor branca. Seleciona-se dois alunos, ao acaso, um após o 
outro. Qual a probabilidade de que ambos estejam usando camisas que não sejam brancas? 
Mais Tipos de Eventos 
 
Equiprováveis: 
Os eventos A1, A2, ..., An são ditos equiprováveis quando apresentam a mesma probabilidade de 
ocorrência, ou seja, 
 
P(A1) = P(A2) = ... = P(An) = 1/n 
 
Exemplo: 
O lançamento de uma moeda, sendo A: A face é cara e B: A face é coroa. 
P(A) = P(B) = 1/2. 
 
 
 
O seguinte grupo de pessoas está numa sala: 5 rapazes com mais de 21 anos, 4 rapazes com 
menos de 21 anos, 6 moças com mais de 21 anos e 3 moças com menos de 21 anos. Uma 
pessoa é escolhida ao acaso entre as 18. Os seguintes eventos são definidos: 
 
A: a pessoa tem mais de 21 anos; 
B: a pessoa tem menos de 21 anos; 
C: a pessoa é um rapaz; 
D: a pessoa é uma moça. 
 
Calcular: 
a) P(B U D) b) P(A ∩ C) 
 
Independentes: 
Sejam A e B eventos de . Diz-se que A e B são eventos independentes se: 
 
P(A ∩ B) = P(A)P(B) 
 
Sejam A, B e C eventos de . Diz-se que A, B e C são eventos independentesse: 
i. P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) 
ii. P(A ∩ B) = P(A)P(B) 
P(A ∩ C) = P(A)P(C) 
P(B ∩ C) = P(B)P(C) 
 
Exemplo: 
Seja W = {1,2,3,4} cada ponto amostral com probabilidade de ocorrência de 1/4. Seja A = 
{1,2}; B = {1,3} e C= {1,4}. É possível afirmar que A, B e C são eventos independentes? 
 
Solução: 
(A ∩ B) = {1} P(A ∩ B) = P(A)P(B) = 1/4 
(A ∩ C) = {1} P(A ∩ C) = P(A)P(C) = 1/4 
(B ∩ C) = {1} P(B ∩ C) = P(B)P(C) = 1/4 
 
Mas 
(A ∩ B ∩ C) = {1} P(A ∩ B ∩ C) ≠ P(A)P(B)P(C) 
 1/4 ≠ (1/2) (1/2) (1/2) 
 1/4 ≠ 1/8 
 
Logo, os eventos A, B e C não são independentes, pois apesar de serem independentes 2 a 2 a 
condição i. P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C) é violada. 
Tente Você 4 
OBS: Para que os eventos A, B e C sejam independentes, tanto a condição i. quanto a ii. 
Devem ser atendidas, caso um item não seja satisfeito, não é possível classificar os eventos 
como independentes. 
 
 
 
A probabilidade de que um homem esteja vivo daqui a 30 anos é 2/5; a de sua mulher é de 
2/3. Determine a probabilidade de que daqui a 30 anos: 
 
a) Ambos estejam vivos; 
b) Somente o homem esteja vivo; 
c) Somente a mulher esteja viva; 
d) Nenhum esteja vivo; 
e) Pelo menos um esteja vivo. 
 
Exercícios: 
17. Um dado honesto tem suas seis faces numeradas de 1 a 6. Joga-se este dado duas vezes 
consecutivas. A probabilidade de obter um número par no primeiro lançamento e um número 
maior ou igual a 5 no segundo lançamento é: 
 
18. A probabilidade de que João resolva um problema é 1/3, e a de que José resolva é de 1/4. 
Se ambos tentarem independentemente resolver, qual a probabilidade de que o problema seja 
resolvido? 
 
 
3. Variáveis Aleatórias 
 
Na prática é, muitas vezes, mais interessante associarmos um número a um evento aleatório e 
calcularmos a probabilidade da ocorrência desse número do que a probabilidade do evento, 
sendo assim, a variável aleatória fornece um meio de descrever resultados experimentais 
usando-se valores numéricos. 
 
Exemplos: 
a) Número de coroas obtido no lançamento de 2 moedas; 
b) Número de itens defeituosos em uma amostra retirada, aleatoriamente, de um lote; 
c) Número de defeitos em um azulejo que sai da linha de produção; 
d) Número de pessoas que visitam um determinado site, num certo período de tempo; 
e) Volume de água perdido por dia, num sistema de abastecimento; 
f) Resistência ao desgaste de um certo tipo de aço, num teste padrão; 
g) Tempo de resposta de um sistema computacional; 
h) Grau de empeno em um azulejo que sai da linha de produção. 
 
Definição 8: Variável aleatória 
É uma função que associa um único número real a cada possível resultado do experimento. 
 
Exemplo 1: 
Lançam-se 03 moedas. Seja X: número de ocorrências da face cara. Determinar a distribuição 
de probabilidade da variável aleatória X. 
 
 
 
 
Tente Você 5 
Solução: 
O espaço amostral do experimento é: 
 = {(Cara,Cara,Cara);(Cara,Cara,Coroa);(Cara,Coroa,Cara);(Coroa,Cara,Cara); 
(Cara,Coroa,Coroa);(Coroa,Cara,Coroa);(Coroa,Coroa,Cara); Coroa,Coroa,Coroa)} 
e 
sabemos que X é o número de faces caras, assim, 
X = {0,1,2,3} 
 
É possível associar o número de ocorrências de cada resultado do evento como segue: 
 
 X Evento correspondente #n(X) 
 
 0 A1 = {(Coroa, Coroa, Coroa)} 1 
 1 A2 = {(Cara, Coroa, Coroa); (Coroa, Cara, Coroa); (Coroa, Coroa, Cara)} 3 
 2 A3 = {(Cara, Cara, Coroa); (Cara, Coroa, Cara); (Coroa, Cara, Cara)} 3 
 3 A4 = {(Cara, Cara, Cara)} 1 
 
 
 Total 8 
 
 
Em termos matemáticos, observe que foi feito o seguinte tipo de associação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos também associar as probabilidades de X assumir tais valores de duas formas 
diferentes: 
 
1. Esquematicamente 
 
 
 
X #n(X) P(X = x)
0 1 1/8 
1 3 3/8 
2 3 3/8 
3 1 1/8 
Total 8 1 
 
2. Graficamente 
 
Uma variável aleatória pode ser classificada como discreta ou contínua, a depender dos valores 
numéricos que ela pode assumir. 
 
 
Variável Aleatória Discreta 
Uma variável aleatória é dita discreta se assume valores em um conjunto finito ou infinito 
enumerável. 
 
Função de Probabilidade 
É a função que associa uma probabilidade a cada valor assumido pela variável aleatória do 
evento correspondente, isto é, 
 
P(X = xi) = P(xi); i = 1,2, ..., n 
 
Ou ainda, 
 
 X x1 x2 x3 ...
 P(X = xi) p1 p2 p3 ...
 
Uma função de probabilidade satisfaz as condições: 
i. 0 ≤ pi ≤1; 
ii. Σ pi = 1 em que i=1, 2, ... 
 
Exemplo: 
Suponha que um dado possui 10 faces. Seja X: Número de possíveis divisores da face sorteada. 
Construa a função de probabilidade para a variável aleatória X. 
 
Solução: 
Sabe-se que  = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} e X: Número de divisores do número sorteado. Sendo 
assim 
 
 X 1 2 3 4 Total 
 P(X = xi) 1/10 4/10 2/10 3/10 1 
 
 
Função de Distribuição de Probabilidade 
A função de distribuição ou função acumulada de probabilidade de uma variável aleatória 
discreta X é definida para qualquer número real x, pela seguinte expressão: 
 
F(x) = P(X ≤ x) 
 
Exemplo: 
Suponha que um número seja sorteado de 1 a 10, inteiros positivos. Seja X: Número de 
divisores do número sorteado. Construa a distribuição de probabilidade acumulada para a 
variável aleatória X. 
 
Solução: 
Sabe-se que  = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} e X: Número de divisores do número sorteado. Assim, 
 
X 1 2 3 4 Total 
P(X = xi) 1/10 4/10 2/10 3/10 1 
P(X ≤ x) 1/10 5/10 7/10 1 - 
Existem características numéricas que são muito importantes em uma distribuição de 
probabilidade de uma variável aleatória discreta. São os parâmetros1 da distribuição. 
 
Esperança Matemática 
É um número real, também chamada média aritmética da variável aleatória, cuja definição 
formal é dada abaixo: 
 
  
n
1i ii
)xP(XxE(X) 
 
Variância 
Representa a medida que dá o grau de dispersão (ou concentração) de probabilidade em torno 
da média. É definida por: 
 
Var(X) = E(X2) – E2(X) 
em que 
  
n
ii
2 )xP(Xx)E(X
1
2
i
 
OBS: 
Para minimizar unidades de medidas “incoerentes” aplica-se o conceito de desvio padrão, em 
que 
 
)Var(XDP(X) 
 
Ex: A altura média de um grupo de pessoas é 1,70m e variância 25cm2. (cm2) fica esquisito em 
altura. 
 
Exercício: 
Num jogo de dados, A paga R$ 20,0 a B e lança 3 dados. Se sair face 1 em um dos dados 
apenas, A ganha R$ 200,0. Se sair face 1 em dois dados apenas A ganha R$ 50,0 e se sair face 
1 nos três dados, A ganha R$ 80,0. Calcular o lucro líquido médio de A em uma jogada. Há alta 
variabilidade?