Lista 1 2015 1 - Calculo de reatores - Equacoes para fluidos puros

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Lista 1 de exercícios 
 
Neste capítulo de balanços microscópicos, sempre que for possível, são analisados 
problemas desde o início do processo, passando pelo regime transiente, até chegar ao 
estado estacionário ou regime permanente. 
Uma das vantagens deste procedimento é que resulta fácil analisar qualquer 
processo em estado estacionário, partindo do processo em regime transiente. 
Por outro lado, se começamos nossa análise pelo estado estacionário, resulta muito 
difícil compreender que o processo pode ou poderia ter sido transiente. 
As equações para fluidos puros podem ser usadas para calcular perfil de 
velocidade, queda de pressão etc. Servem como base para a obtenção de solução de 
problema para fluido contendo vários componentes, por exemplo, para analisar a 
influência do tipo de fluido na queda de pressão em um reator, resolvendo a 
equação correspondente para a mistura reativa. Dependendo do tipo de fluido e da 
queda de pressão resultante, se obtém uma potência para a movimentação do fluido 
ou da mistura reativa fluida na tubulação. 
As equações para vários componentes estão baseadas nas equações para um 
fluido puro, com as devidas adaptações. Para um problema com reação química, 
por exemplo, do tipo A  B, o citado perfil de velocidade influencia no perfil de 
concentração e, portanto, na transformação do componente (A) em (B), em função 
da posição radial e axial, porque a reação depende do tempo que cada componente 
permanece dentro do reator. 
Além disto, o perfil de velocidade pode influenciar no perfil de temperatura. E 
se em vez de um fluido puro, estiver se movendo uma mistura reativa ou não, o 
perfil de velocidade pode influenciar no perfil de temperatura e no perfil de 
concentração. Teoricamente, em algumas situações, pode existir interação do perfil 
de temperatura no de concentração e vice-versa. 
1) Equações básicas para fluido puro. 
Referências: Bird et al, 1960, cap. 3, 4, 10 e 11, Bird et al, 2002, cap. 3, 4, 11 e 12, 
Welty et al, 1969, cap. 8, 9, 16, 17 e 18. 
Obtenha a para um fluido puro, a equação microscópica da: 
a) Continuidade. 
b) Quantidade de movimento. 
c) Energia. 
Solução: 
Existem várias maneiras de obter as equações microscópicas de transporte, tais 
como a partir de balanços intuitivos ou selecionando um elemento de volume genérico a 
partir das equações macroscópicas integradas no volume e obtendo cada equação 
microscópica. 
Para iniciar a análise podemos visualizar as conexões entre balanços microscópicos 
e macroscópicos, como apresentado a seguir. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fig.1. Volumes de controle usados em balanços microscópicos e macroscópicos. 
a) Equação microscópica da continuidade para um fluido puro. 
Seja a obtenção da equação unidimensional em (x) da continuidade para um fluido 
puro, partindo de um balanço intuitivo, dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (1) 
Considerando um elemento de volume dV = dxdydz, com fluxo em (x), 
perpendicular às áreas dydz em x = x e em x = x + dx, resultando após dividir por 
dxdydz: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2) 
Considerando que pode existir fluxo nas três dimensões (x), (y) e (z), e que a 
velocidade genericamente é dada por v = vxi + vyj + vzk, resulta na equação 
tridimensional da continuidade para um fluido puro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (3) 
Podemos realizar as diferenciações da Eq.(3) e reorganizá-la, para obter: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (4) 
Na Tabela (B.4) de Bird et al (2006) são apresentadas as equações da continuidade 
em coordenadas cartesianas retangulares, cilíndricas e esféricas; correspondentes à 
Eq.(4). 
b) Equação microscópica da quantidade de movimento para um fluido puro. 
Para obter o primeiro membro da equação da quantidade de movimento, por 
analogia com a equação da continuidade podemos substituir a concentração mássica ou 
densidade (kg/m3) por v = [mv/Volume] que é a quantidade de movimento por unidade 
de volume: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (5) 
A partir da equa o da continuidade para um fluido puro ∂ /∂t + ∙( v) = 0, 
podemos escrever dois termos da equação da quantidade de movimento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (7) 
Nas Eqs.(6) e (7), respectivamente, v[kg/(m2s)] representa um fluxo de matéria e 
 vv[kg(m/s)/(m2s)] representa um fluxo de quantidade de movimento. 
Substituindo os dois termos da equação da quantidade de movimento das Eqs.(6) e 
(7), resultam várias formas da da segunda lei de Newton do movimento para um fluido 
puro (Bird et al., 1960, 2002, Welty et al., 1969): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (8) 
A equação de quantidade de movimento pode ser usada de várias maneiras, por 
exemplo, empregando o primeiro e segundo membros, ou o primeiro e terceiro membros, 
ou o segundo e terceiro membros. 
Na última forma da equação macroscópica da quantidade de movimento foram 
usadas como ∑f, as forças de pressão, a gravitacional e a de cisalhamento τ; que depende 
do modelo de fluido escolhido; tais como Newtoniano e pseudoplástico (Bird et al., 1960, 
2002). 
Desenvolvendo o segundo membro da Eq.(8) e substituindo a equação da 
continuidade Eq.(3), resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (9) 
Para fluido Newtoniano com densidade ( ) e viscosidade (μ) constantes, 
considerando v = 0 para fluido incompressível, obtemos a conhecida como equação de 
Navier-Stokes: 
 
 
 
  (10) 
A componente(x) da Eq.(10) em coordenadas retangulares é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 μ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (11) 
Na Tabela (B.5) de Bird et al (2006) é apresentada a Eq.(9) em função da tensão de 
cisalhamento ( ), em coordenadas cartesianas retangulares, cilíndricas e esféricas. 
Na Tabela (B.6) de Bird et al (2006) é apresentada a Eq.(10) em função da 
velocidade, gradiente e Laplaciano de velocidade, em coordenadas cartesianas 
retangulares, cilíndricas e esféricas. 
c) Equação microscópica da energia para um fluido puro. 
Para obter o primeiro membro da equação da equação da energia, por analogia com 
o primeiro membro da equação da continuidade, podemos substituir a concentração 
m ssica ou densidade (kg/m3) por (kg/m3)E(J/kg) = [Energia/Volume] que é energia 
por unidade de volume; tendo sido usada a energia específica E(J/kg), obtendo o primeiro 
membro da equação da energia, que são equações similares às Eqs.(6) e (7). 
A partir da primeira lei da termodinâmica, podemos obter uma forma da equação da 
energia, usando como energia específica E(J/kg), para um fluido puro (Bird et al., 1960, 
2002, Welty et al., 1969), que após substituir, no primeiro membro, equações similares às 
Eqs.(6) e (7), ∂( E)/∂t e ( vE), resulta em uma forma da equação da energia, por 
unidade de volume: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (13) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (15) 
A energia potencial gravitacional pode ser incluída no termo de energia específica 
como (gy), com foi apresentada na Eq.(15) ou do lado direito da Eq.(15) como ( g∙v). 
Na Eq.(15) estão presentes tanto a energia mecânica assim como a energia 
calorífica. A Eq.(15) pode ser usada, pelo menos, de duas maneiras: 
i) Eliminando ou desprezando os termos que influenciam na transferência de energia. 
Em cada processo podem ser analisados, por exemplo, a importância ou não da 
energia cinética, da potencial etc., obtendo a equação simplificada para cada 
situação. 
ii) Se da Eq.(15) for subtraída a equação da energia mecânica ou equação isotérmica 
da energia, obtemos somente os efeitos caloríficos, que são responsáveis pelas 
modificações de temperatura no fluido. 
Podemos obter a equação da energia mecânica a partir da equação da quantidade de 
movimento, fazendo o produto escalar do vetor velocidade (v) pela equação da 
quantidade de movimento. As dimensões e unidades resultantes são de 
energia/(tempo.volume): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (16) 
Multiplicando escalarmente a equação da quantidade de movimento Eq.(8) pelo 
vetor velocidade (v), resulta: 
 
 
 
 
 
 
 – – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(17) 
Subtraindo da Eq.(15) a Eq.(17), são eliminados, além de outros termos, o termo de 
energia cinética e potencial gravitacional, resultando em: 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (18) 
A Eq.(18) escrita em função da temperatura é adequada para uso em engenharia. 
Por exemplo, para um fluido puro Fourieriano q = -kT, o termo de dissipação viscosa 
τ:v depende do modelo de fluido, tal como Newtoniano ou pseudoplástico e o termo 
P∙v depende da equação para pressão do fluido (P) assim como da equação da 
continuidade para o fluido, que contém o termo ∙v. 
Para um para um fluido de Fourier q = -kT, Newtoniano, com densidade constante 
( ), ou seja, ∙v = 0, resulta da Eq.(18): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(19) 
Reescrevendo a Eq.(19) em coordenadas cartesianas retangulares, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 μ 
 
 (20) 
Para um fluido Fourieriano q = -kT com condutividade térmica constante (k), 
fluido Newtoniano com densidade constante ( ), ou seja, ∙v = 0, resulta da Eq.(20): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 μ 
 
 (21) 
A Eq.(B.9-1) de Bird et al (2002) é similar à Eq.(21), mas não inclui o termo de 
geração de potência por radiação eletromagnética (GE). 
O termo da dissipação viscosa para fluido Newtoniano (μviscosa), em coordenadas 
cartesianas retangulares, é dado pela Eq.(B.7-1) de Bird et al (2002). 
Na Tabela (B.9) de Bird et al (2002) é apresentada a Eq.(21), sem o termo de 
geração (GE), mas em função da temperatura, de gradiente e Laplaciano da temperatura; 
al m do termo (μviscosa), em função de velocidade e gradientes de velocidade; 
dependendo do sistema de coordenadas. 
Na Tabela (B.8) de Bird et al (2002) é apresentada uma equação da energia em 
função do fluxo de energia (q), e da temperatura, de gradiente da temperatura etc. 
6) Perfil transiente de velocidade vz(r,t) em um fluido Newtoniano que se move 
em um tubo devido a um gradiente de pressão. 
Um fluido está inicialmente em repouso, a uma temperatura constante, mas começa 
a se mover em um tubo longo e horizontal, de raio R e comprimento L, devido a uma 
queda de pressão P = PL – P0, sendo P0 e PL as pressões na entrada e na saída da 
tubulação, respectivamente, com P0 > PL. O regime é transiente, o fluxo é laminar, ou 
seja, o número de Reynolds Re = <v>D/ < 2.100, o fluido é Newtoniano,com 
propriedades constantes , k e . 
a) Como é o perfil transiente de velocidade do fluido dentro do tubo vz = f(r,t). 
Esta solução é apresentada no Exemplo (4.1-2) de Bird et al. (1960) ou no problema 
(4D.2) de Bird et al. (2002). 
b) Obtenha uma solução numérica para o perfil transiente de velocidade vz = f(r,t), 
desenvolva um programa computacional e realize algumas simulações para 
comparar os resultados obtidos com a solução analítica e a numérica. 
c) A partir do perfil transiente vz = f(r, t), obtenha o perfil de velocidade em estado 
estacionário vz = f(r); que é a equação conhecida como de Hagen-Poiseuille, para o 
escoamento laminar de um fluido em um tubo. 
Solução: 
a) Como é o perfil transiente de velocidade do fluido dentro do tubo vz = f(r, t). 
Esta solução é apresentada no Exemplo (4.1-2) de Bird et al. (1960) ou no problema 
(4D.2) de Bird et al. (2002). 
A equação básica para densidade constante do fluido é a componente (z) da equação 
da quantidade de movimento em um tubo, com propriedades constantes, com a condição 
inicial e as condições de contorno: 
 
 
 
 
 
 
 μ
 
 
 
 
 
 
 
 (1) 
 
 (2) 
 (3) 
 (4) 
 (5) 
 μ
 
 
 (6) 
A solução da Eq.(4) usando as condições de contorno Eqs.(2) a (6) (Bird et al, 1960, 
2002), está dada pela Eq.(7), na qual as funções de Bessel do primeiro tipo, de ordem 
zero e um, são, respectivamente, J0 e J1 e os autovalores s o βn, obtidos da equação de 
autovalores J0(βn) = 0, Eq.(8): 
 
 – 
 
 
 μ
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 
 μ
 
 
β 
 β 
 
 β 
 
 
 β 
 μ
 
 
 
 (7) 
 β 
β 
 
 
 
β 
 
 
 
β 
 
 
 (Equação de autovalores) (8) 
 β 
β 
 
 
β 
 
 
 
β 
 
 
 
β 
 
 
 (9) 
Alguns autovalores da função de Bessel de ordem zero da Eq.(8), J0(βn) = 0, são 
(Crank, 1976) β1 = 2,4048, β2 = 5,5201, β3 = 8,6537, β4 = 11,7915, β5 = 14,9309 e β6 = 
18,0711. A função de Bessel de ordem um, para os autovalores anterior, vale J1(β1) = 
J1(2,4048)  0,5192, J1(5,5201)  -0,3403, J1(8,6537)  0,2714, J1(11,7915)  -0,2325, 
J1(14,9309)  0,2065 e J1(18,0711)  -0,1877. Estes valores podem ser calculados pelo 
Excel; e alguns destes valores podem ser obtidos no livro de Spiegel et al. (Mathematical 
handbook of formulas and tables, 2009). 
b) Obtenha uma solução numérica para o perfil transiente de velocidade vz = 
f(r,t), desenvolva um programa computacional e realize algumas simulações 
para comparar os resultados obtidos com a solução analítica e a numérica. 
c) A partir do perfil transiente vz = f(r, t), obtenha o perfil de velocidade em 
estado estacionário vz = f(r); que é a equação conhecida como de Hagen–
Poiseuille, para o escoamento laminar de um fluido em um tubo. 
A partir da Eq.(7) com t  , resulta: 
 
 – 
 
 
 μ
 
 
 
 
 
 (10) 
Se r = R, obtemos da Eq.(10) que vz = 0 m/s; recuperando uma condição de 
contorno. Se r = 0 m, da Eq.(10), obtemos que vz = vzmáx; recuperando outra condição de 
contorno. 
7) Perfil de velocidade no estado estacionário e em regime laminar para fluido 
Newtoniano em um tubo devido a uma queda de pressão. 
Em vários livros (Bird et al, 1960, 2002, Walas, p. 254 a 255, 1995) é apresentada a 
seguinte equação para o perfil de velocidade em um tubo de raio R(m), devido a uma 
diferença de pressão, em função da posição radial (r), para um fluido Newtoniano, que se 
move em regime laminar: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 
 μ
 
 
 
 
 
 (1) 
A velocidade máxima, vmáx, ocorre equidistante das paredes do tubo, em r = 0 m. 
a) Obtenha a velocidade média vméd e a relacione com a vazão Q(m
3
/s). 
b) Discuta influência do perfil de velocidade no projeto de um reator homogêneo. 
Solução: 
a) Obtenha a velocidade média vméd e a relacione com a vazão Q(m
3
/s). 
A velocidade média, vmédia, é obtida integrando a o perfil de velocidade vz(r) no 
elemento de área perpendicular ao fluxo dA = rdrd e dividindo pela área perpendicular 
Atransv = R
2
. 
Para uma propriedade genérica P = vz(r), podemos obter o valor médio de uma 
propriedade Pm = vmédia, sendo Pm uma constante para a faixa de integração considerada e, 
portanto, pode sair do sinal de integração: 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 
 
 μ
 (2) 
A vazão pode ser obtida multiplicando a velocidade média pela área transversal: 
  
 
 – 
 
 
 μ
 
 
 
 
 
 
 (3) 
Experimentalmente a velocidade média, vméd., pode ser obtida como a quantidade de 
l quido ∆V(m3) em dado tempo ∆t(s), que é coletada em um recipiente na saída da 
tubulação: 
 
 
 
 
 
 
 
 (4) 
Um valor similar ao obtido pela Eq.(2) ou (3) ou (4) é obtido experimentalmente, 
medindo a velocidade em um número muito grande de pontos (n), somando estas (n) 
velocidades radiais e dividindo pelo número (n). 
 
 
 
 
 
 (5) 
Quando este número (n)  a velocidade m dia experimental pode coincidir ou 
ser similar à obtida pela Eq.(2) ou (3) ou (4); por exemplo, dependendo dos erros em 
cada um dos experimentos citados, assim como da concordância ou não do modelo de 
perfil parabólico comparado com os dados experimentais etc. 
A vazão também pode ser obtida pela integral da velocidade no elemento de área 
perpendicular ao fluxo dA = rdrd: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
  
 
 
  
 
 – 
 
 
 μ
 
 
 
 
 
 
 (6) 
b) Discuta influência do perfil de velocidade no projeto de um reator homogêneo. 
Aqui estamos analisando um fluido puro, mas também em um sistema reativo 
existe um perfil parabólico de velocidade em um tubo quando o regime é laminar, 
com queda de pressão similar à Eq.(1). 
Por exemplo, para uma reação do tipo A  B, o citado perfil de velocidade 
influencia no perfil de concentração e, portanto, na transformação do componente 
(A) em (B), em função da posição radial e axial, que está relacionado ao tempo que 
cada componente permanece dentro do reator. 
8) Perfil de velocidade no estado estacionário e em regime laminar para fluido 
não Newtoniano do tipo Ostwald-De Waele, em um tubo devido a uma queda 
de pressão. 
(O fluido em análise neste problema pode ser um polímero líquido, uma 
solução aquosa etc., mas a maneira de realizar o desenvolvimento teórico e a solução 
do problema é parecida à realizada para um fluido puro ou para uma solução.) 
No livro de Bird et al (cap.1, 1960) é apresentada a seguinte equação para a tensão 
de cisalhamento rz em um tubo, para um fluido com modelo de Ostwald-De Waele: 
 
 
 
 
 
 
 (1) 
De acordo com Bird et al (1960) esta equaçãotambém é conhecida como lei da 
potência ou modelo de Ostwald-De Waele. Se m = μ e n = 1, ela se transforma na lei ou 
equação da viscosidade de Newton. Se n < 1, o fluido é denominado pseudoplástico e se 
n > 1 é chamado dilatante. 
a) Obtenha o perfil de velocidade em função do raio para um fluido de Ostwald-De 
Waele. 
b) Obtenha a velocidade média vméd e a relacione com a vazão Q(m
3
/s). 
c) Discuta influência do perfil de velocidade no projeto de um reator homogêneo. 
Solução: 
a) Obtenha o perfil de velocidade em função do raio para um fluido de Ostwald-
De Waele. 
A equação básica para densidade constante do fluido é a componente (z) da equação 
da quantidade de movimento em um tubo, com propriedades constantes, com as 
condições de contorno, no estado estacionário: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (2) 
 (3) 
 (4) 
 (5) 
 
 
 
 (6) 
Bird et al. (p. 242, 2002) considera que no fluido dentro do tubo dvz/dr < 0 e da 
Eq.(1), resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (7) 
Substituindo a Eq.(7) na Eq.(2) é integrando de z = 0 até z = L, e usando as 
condições de contorno das Eqs.(3) e (4), obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (8) 
Integrando a Eq.(8) e usando a Eq.(6) em r = 0, resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (9) 
Como C1 = 0, tirando a raiz n-ésima de ambos lados da equação resultante, 
integrando novamente a Eq.(9) e usando a condição de contorno da Eq.(5) em r = R: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (10) 
Substituindo C2 na Eq.(10), resulta: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (11) 
Se r = R, obtemos da Eq.(11) que vz = 0, recuperando a condição de contorno da 
Eq.(5). Se derivarmos a Eq.(11) em relação a (r) e fizermos r = 0, recuperamos a 
condição de contorno da Eq.(6). 
A Eq.(11) coincide com a Eq.(8.3-8) apresentada por Bird et al (2002); que é a 
equação do perfil de velocidade para um fluido de Ostwald-De Waele. 
Se r = 0 na Eq.(11) obtemos a velocidade máxima: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (12) 
b) Obtenha a velocidade média vméd e a relacione com a vazão Q(m
3
/s). 
A velocidade média para um fluido de Ostwald-De Waele é obtida integrando a 
Eq.(11): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (13) 
Dividindo a Eq.(13) pela (12): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (14) 
Relacionando a vméd com a vazão Q, usando a área transversal A = R
2
 e a Eq.(13), 
obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 (15) 
Considerando n = 1 e m = μ na Eq.(11), recuperamos a equação para a velocidade 
para um fluido Newtoniano: 
 
 
 
 
 – 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 
 
 
 
 
 (16) 
Se n = 1, da Eq.(14) recuperamos relação de velocidades para um fluido 
Newtoniano: 
 
 
 
 
 
 
 (17) 
c) Discuta influência do perfil de velocidade no projeto de um reator homogêneo. 
Também em um sistema reativo existe um perfil parabólico de velocidade em 
um tubo, em regime laminar, com queda de pressão similar à Eq.(11). 
Por exemplo, para uma reação do tipo A  B, o citado perfil de velocidade 
influencia no perfil de concentração e, portanto, na transformação do componente 
(A) em (B), em função da posição radial e axial, que está relacionado ao tempo que 
cada componente permanece dentro do reator. 
9) Comparação de fluxos em tubos em regime laminar para fluido Newtoniano e 
de Ostwald-Waele. 
Seja um fluido que se move em um tubo de comprimento L = 0,3048 m e diâmetro 
interno R = 0,00127 m, devido a uma diferença de pressão -∆P = (P0 – PL) = 
40(6,8947.10
3
) N/m
2
, à temperatura de T = 26,5 
o
C. 
a) Calcule a vazão e o número de Reynolds para o fluido Newtoniano. 
Se o fluido é a glicerina, admitido como Newtoniano, a T = 26,5 
o
C, com densidade 
 = 1.261 kg/m3, viscosidade μ = 492 cP = 4,92 g/(cm.s) = 0,492 kg/(m.s), calcule a 
vazão com a Eq.(1) e o número de Reynolds com as Eqs.(2) e (3). Considere que vmédia = 
Q/Atransv 
 
 – 
 
 
 μ
  
 – 
 
 
 μ
 (1) 
 
 
μ
 
 
μ
 – 
 
 
 μ
 
 – 
 μ 
 (2) 
 
 
μ
 
 
 
 
 
μ
 
 
 μ
 (3) 
b) Calcule a vazão para o fluido de Ostwald-Waele. 
Se o fluido é uma solução a 1,0 % de óxido de polietileno a T = 26,5 
o
C = 299,65 K, 
admitido de Ostwald-Waele, com parâmetro de viscosidade m = 0,898 Pa.s
n
 = 0,898 
(N/m
2
)s
n
 = 0,898 kg/(m.s
2-n
), parâmetro n = 0,536 e calcule a vazão pela equação a 
seguir. Estes dados foram interpolados da Tabela (8.3-1) de Bird et al (2002, p.241); que 
foram retiradas do trabalho de Turian, R. M. Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, 
Madison (1964, p.142 a 148). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 (3) 
c) Calcule relação entre a vazão para um fluido Newtoniano e a de Ostwald-Waele. 
10) Comparação entre o torque para mover um fluido Newtoniano e o para 
movimentar um fluido de Ostwald-Waele, contidos entre dois tubos. 
a) Compare a equação do torque para um fluido Newtoniano contido em uma região 
anular entre dois tubos, com a para um fluido de Ostwald-Waele. Estas equações 
são apresentadas no Exemplo (3.6-3) e Exemplo (8.3-3) de Bird et al. (p. 104 e 244, 
2002), respectivamente. 
b) Calcule o torque para cada fluido, usando os valores de (m), (n) e (μ) para os fluidos 
do problema anterior. Além disto, considere que o comprimento dos tubos, que 
formam a espéciede viscosímetro, L = 0,5 m, velocidade angular do tubo externo 
Ω0 = 50 rpm, raio interno do tubo externo R2 = R = 0,30 m, raio externo do tubo 
interno R1 = kR = 0,06 m. 
c) Nas condições citadas, qual dos dois fluidos necessita de maior potência para ser 
movido entre os dois cilindros, com o cilindro externo se movendo a Ω0 = 50 rpm? 
11) Perfil transiente de velocidade vz(r,t) e temperatura T(r,t) em um fluido que se 
move em um tubo devido a um gradiente de pressão. 
Um fluido a uma temperatura constante circula num tubo longo e horizontal, de raio 
R e comprimento L, devido a uma queda de pressão P = PL – P0, sendo P0 e PL as 
pressões na entrada e na saída da tubulação, respectivamente. O fluido está em t = 0 s à 
temperatura T0(
o
C) e velocidade v(r, t = 0 s) = 0 m/s. Subitamente a superfície do tubo 
em r = R(m) é mantida à temperatura T1(
o
C), sendo T1 > T0. O regime é transiente, o 
fluxo é laminar, ou seja, o número de Reynolds Re = <v>D/ < 2.100, o fluido é 
Newtoniano, com propriedades constantes , k e . 
a) Obtenha a perfil transiente de velocidade do fluido dentro do tubo vz = f(r,t). 
b) Compare a solução obtida no item anterior com a solução analítica fornecida no 
Exemplo (4.1-2) de Bird et al. (1960) ou no problema (4D.2) de Bird et al. (2002). 
c) Obtenha uma solução numérica para o perfil transiente de velocidade vz = f(r,t), 
desenvolva um programa computacional e realize algumas simulações para 
comparar os resultados obtidos com a solução analítica e a numérica. 
d) A partir do perfil transiente vz = f(r,t), obtenha o perfil de velocidade em estado 
estacionário vz = f(r); que é a equação conhecida como de Hagen–Poiseuille, para o 
escoamento laminar de um fluido em um tubo. 
e) O perfil transiente de temperatura T = g(r,t). 
[Existem dificuldades matemáticas para resolver analiticamente este problema? 
Poderia ser substituída a solução do perfil analítico de velocidade vz = f(r,t), na equação 
da energia para T = g(r,t), e resolver o problema combinando a solução numérica para T 
= g(r,t) com a analítica para vz = f(r,t). Ou, então, uma solução simplificada para vz = 
f(r,t) usando só um ou dois termos da série infinita e combinando com a solução para T = 
g(r,t) etc.] 
f) O perfil de temperatura no estado estacionário T = g(r). 
g) Existem locais (r), onde a temperatura é máxima, no fluido dentro do tubo? Estes 
máximos podem se deslocar versus (t)? 
12) Trocador genérico de tubos concêntricos. (Este é um problema aberto, ou seja, 
que pode ser modelado genericamente.) 
Referências: Bird et al, 1960, 2002, Carslaw e Jaeger, 1980, Franks, 1972 - Neste 
livro é apresentada modelagem e simulação numérica de trocadores, Seborg et al, 1989, 
Silebi e Schiesser, 1992. 
Admita que para cada fluido de um trocador de calor bitubular, existe dada queda de 
pressão Pi = -(PL - P0)i, sendo P0 e PL as pressões na entrada e na saída da tubulação, 
respectivamente, para cada um dos fluidos considerados. O fluxo é transiente, os fluidos 
são Newtonianos, com propriedades k, , Cp e μ. 
a) Analise as equações microscópicas da continuidade, quantidade de movimento e 
energia, para cada fluido puro, elimine os termos que considerados desprezíveis e 
obtenha equações gerais para obtenção da temperatura de cada fluido em regime 
transiente, dentro do trocador de calor. Estude a possibilidade de substituir o termo 
de condição radial de calor pelo termo contendo um coeficiente global de 
transferência de calor Ui[W/(m
2o
C)]; sendo que este coeficiente é um coeficiente 
local e teoricamente pode ser função da temperatura, da geometria e das condições 
de fluxo. 
(Podem ser consideradas diferenças de pressão entre entrada e saída do 
trocador etc. Este é um problema aberto, ou seja, que pode ser modelado 
genericamente e, posteriormente, ser simplificado de acordo com cada situação 
particular, por exemplo, se o trocador está no estado estacionário.) 
b) Proponha metodologias de solução do problema, dependendo das simplificações 
que você admitir para o problema. 
c) A equação da entropia pode ter um papel importante no projeto e/ou na otimização 
de um trocador de calor bitubular? Discuta. 
13) Trocador transiente de tubos concêntricos com fluxo concorrente e em 
contracorrente. 
Referências: Bird et al, 1960, 2002, Carslaw e Jaeger, 1980, Franks, 1972 - Neste 
livro é apresentada modelagem e simulação numérica de trocadores, Seborg et al, 1989, 
Silebi e Schiesser, 1992. 
Admita que, para cada fluido de um trocador de calor bitubular, o fluxo de calor é 
transiente, os fluidos são Newtonianos, com propriedades médias k, , Cp e μ. Empregue 
a nomenclatura TQ, TF, vzQ, vzF, assim como os subíndices necessários para outras 
propriedades, tais como Q, F, CpQ, CpF etc. 
a) Considere fluxo concorrente dos dois fluidos. 
Parta do apêndice (B) de Bird et al (2002), Eq.(B.9-2) para coordenadas cilíndricas, 
com movimento dos fluidos em (z); elimine os termos que considerados desprezíveis e 
obtenha equações gerais para obtenção da temperatura de cada fluido em regime 
transiente, dentro do trocador de calor, ou seja, TQ e TF. 
Substituir o termo de condição radial de calor pelo termo contendo um coeficiente 
global de transferência de calor Ui[W/(m
2o
C)], sendo este termo similar ao que já foi 
usado para trocador no estado estacionário. 
Pode ser adicionado um termo do tipo UidALateral∆TAdequada, notando que este termo 
tem unidades de (W); mas os outros termos da equação diferencial Eq.(B.9-2) tem 
unidades de (W/m
3
). Portanto, deve ser dividido o primeiro termo pelo volume 
diferencial do trocador de calor, de raio (Ri) e espessura (dz), para obter o termo contendo 
(Ui). 
Reveja as dimensões de cada termo, para que todos tenham as mesmas dimensões, 
ou seja, o de acumulação, o convectivo e o de condução de calor pela parede. 
b) Simplifique as duas equações anteriores, para obter as equações no estado 
estacionário. 
Use os dados seguintes de um trocador concorrente, para analisar se tem sentido 
físico os valores das temperaturas que são calculadas para cada fluido, a partir das 
equações obtidas por você, no estado estacionário. 
Ou seja, tomando (z) como positivo para a direita, supondo que os dois fluidos se 
movam para a direita, então o fluido quente deve diminuir sua temperatura de TQ1 em z = 
0 m até TQ2 em z = L(m). Assim como o fluido frio deve aumentar sua temperatura na 
mesma faixa de (z). 
O tubo interno do trocador concorrente tem Di = 0,025 m, wF = 0,694 kg/s, CpF = 
4.184 J/(kg
o
C), wQ = 1,389 kg/s, CpQ = 2.508,59 J/(kg
o
C), Ui = 1.162 W/(m
2o
C), TQ1 = 95 
o
C, TF1 = 15 
o
C, TQ2 = 38 
o
C, TF2 = 83,4 
o
C, L = 130,67 m e PF = 198.612,8 W. 
c) Considere fluxo em contracorrente dos dois fluidos e obtenha as duas equações 
transientes correspondentes. 
d) Simplifique as duas equações anteriores, para obter as equações no estado 
estacionário. 
Use os dados seguintes de um trocador em contracorrente, para analisar se tem 
sentido físico os valores das temperaturas que são calculadas para cada fluido, a partir das 
equações obtidas por você, no estado estacionário. 
O tubo interno do trocador em contracorrente tem Di = 0,025 m, wF = 0,694 kg/s, 
CpF = 4.184 J/(kg
o
C), wQ = 1,389 kg/s, CpQ = 2.508,59 J/(kg
o
C), Ui = 1.162 W/(m
2o
C), 
TQ1 = 95 
o
C, TF1 =83,4 
o
C, TQ2 = 38 
o
C, TF2 = 15 
o
C, L = 130,67 m e PF = 198.612,8 W. 
Tomando (z) como positivo para a direita, supondo que o fluido quente se mova 
para a direita e o fluido frio para a esquerda, então o fluido quente deve diminuir sua 
temperatura de TQ1 em z = 0 m até TQ2 em z = L(m). Assim como o fluido frio deve 
aumentar sua temperatura de TF2 em z = L(m)até TQ1 em z = 0 m.