MOVIMENTO RELATIVO

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MOVIMENTO RELATIVO 
1. 
y 
Obs.: 
2. 
c 
B 
X 
v C/V = v C/T + v T/B + v B/V 
'r:__________j''r:__________j' 
r OJA = - r AJO 
r AJO + r 0/A = r AJA = õ 
A e B pertencem a } ~ 
um mesmo corpo y---v 
rígido 
Distância de } 
A até B, 
IABI, é 
~ Ir! I = cTE. ~ v! j_ r! 
A A A 
Se~ Ir! I= CTE. ~v! j_ r!, então o movimento de B em 
A A A 
relação a A é uma "ROTAÇAO PURA" como vemos a seguir: 
y. ~'· 
. 
B 
X 
u, e u8 são os vetores na direção radial e perpendicular a esta, 
em cada posição considerada 
v = v,G, + V8u8 
'-,--' .._,_., 
V, Va 
1 
V, mede a variação de ~~ } 
V 9 = ro X r mede a variação 
da direção de r. 
Facilmente 
demonstrável por 
CÁLCULO. 
lrl = CTE. ~V, = ô ~V =V e _1_ r 
Observações: 
No movimento plano de um corpo rígido, em um certo 
instante há apenas um vetor Cõ para ele, não fazendo sentido 
pensar em ro de um ponto do corpo em relação a outro. 
Se~ A e B no corpo I VA=Vs::::>V% =Ô, mas 
v% = ro X r%' pela condição do corpo ser rígido. Então, 
ro = ô =>v% = ô => Vp =V o , v os pontos P e o do corpo, 
portanto, o corpo descreve somente uma TRANSLAÇAO, em 
um certo instante todos os pontos do corpo têm mesma V e 
descrevem trajetórias paralelas. 
o 
Da condição de corpo rígido: v% = Cõ X r%" 
Podemos escolher um certo ponto O de forma que "na-
quele instante", possamos ter v A/ = Cõ X r A/ • Observa-se 
/TERRA /0 
facilmente que o ponto O satisfazendo tal condição é único. 
Vemos, portanto, que a velocidade do ponto A pode ser en-
tendida como uma rotação em torno de O e mostramos que 
a velocidade de qualquer outro ponto do corpo rígido (em 
relação à Terra) também pode, naquele instante, ser escrita 
como uma rotação com co em torno do mesmo ponto O que, 
por conseguinte, é chamado de CIR, Centro Instantâneo de 
Rotação. 
Vs =v%+ VA 
vs =;;; x r% +;;; x r% =;;; x (r% +r% ) 
~ 
Vs = Cõ X r B/ c.q.d. 
/0 -.......:.....-
'% 
Portanto, se em certo instante, temos co e o CIR do corpo 
rígido, temos as velocidades de "todos" os pontos do corpo 
naquele instante. 
3. Rolamento perfeito 
lv~ l 
'---v---" 
ro·R 
.j, 
ROTAÇÃO 
mostre que O~ CIR 
la entre OP e V i<; = 90 <=> e = ~ V = ro · OP i<; 
2(90 - 8) + 213 = 180 
v v 
Semelhança de ~s: i<; = ~ = ro 
OP PC 
1. Um torpedo é lançado do ponto A no instante em que o navio 
inimigo se encontra no ponto B e navega com a velocidade 
v1 =50 km~uma direção que forma o ângulo 13 = 30° com 
a direção AB . Sabendo que a velocidade do torpedo é 
v2 = 100 km/h, determine o ângulo a no qual ele deve ser 
lançado para atingir o alvo. L v,~ 
A ------------ B 
2. Nos pontos A e B, encontram-se, respectivamente, uma 
canoa e uma lancha que se movem com velocidades cons-
tantes V c e VL, conforme mostra a figura. Determine qua l será 
a mínima distância entre a canoa e a lancha e após quanto 
tempo elas estarão em tal situação. 
Dados: 
a= 13 = 60° 
V c = 40 km/h 
VL = 80 km/h 
AB = 20 km A B 
3. Um homem em uma lancha deve sair do ponto A ao ponto 
B, que se encontra na margem oposta do rio. A distância 
BC é igual a a. A largura do rio AC é igual a b. Com que 
velocidade mínima u, relativa à água, deve mover-se a lancha 
para chegar ao ponto B? A velocidade da corrente é v0 . 
c a B 
A 
4. Em uma cunha, que forma um ângu lo a com o p lano ho-
rizontal, co locaram o corpo A. Que ace leração é preciso 
transmitir à cunha na direção horizontal , para que o corpo 
A caia livremente na vertical? 
S. (ITA/91) A figura representa uma vista aérea de um trecho 
retilíneo de ferrovia. Duas locomotivas a vapor, A e B, deslo-
cam-se em sentidos contrários com ve locidades constantes 
de 50,4 km/h e 72,0 km/ h, respectiva mente. Uma vez que AC 
corresponde ao rastro da fumaça do trem A, BC ao rastro 
da fumaça de B eque AC = BC, determine a velocidade do 
vento. Despreze as distâncias entre os trilhos de A e B. 
~h·160m 
A h' : B 
.. ' s;. 
1 .. 
1360 m 
a) 5,00 m/s d) 18,0 m/s 
b) 4,00 m/s e) 14,4 m/s 
c) 17,5 m/s 
6. Um trem se des loca para oeste com velocidade de 80 km/h. 
Para um passageiro, o vento parece soprar do norte. Quan-
do o trem reduz a velocidade para 20 km/h, o vento parece 
soprar do nordeste. Qua l a ve locidade do vento? 
7. Dois trilhos foram ligados formando entre si um ângulo 
reto. Nesses trilhos, movem-se duas carretas, ligadas por 
uma barra de comprimento Q com articulação. A carreta A 
começa a mover-se do ponto de intersecção dos trilhos, 
uniformemente para cima, com velocidade v. Determinar a 
lei do movimento e a velocidade da carreta B. 
2 
8. Um bastonete AB de comprimento Q move-se no plano do 
desenho de tal modo que em um dado intervalo de tempo 
a direção da velocidade do seu extremo A forma um ân-
gu lo a. e a do extremo B, um ângu lo 13 com o bastonete. A 
velocidade do extremo A é v . Determinar a velocidade do 
extremo B. Determinar a posição do eixo fixo, perpendicular 
ao plano do desenho, em relação ao qual no momento de 
tempo dado o bastonete gira (ou seja, determinar a posição 
do eixo instantâneo de rotação do bastonete). 
B 
·~ 
9. Um tambor de 112,5 mm de raio é montado sobre um ci lindro 
de 150,0 mm de raio. Uma corda está enrolada no tambor 
e sua extremidade D é puxada para a esquerda com uma 
ve locidade constante de 75,0 mm/s, fazendo o ci lindro rolar 
sem deslizamento. Determine: 
a) a velocidade angular do cilindro. 
b) a velocidade do centro do cilindro . 
c) o comprimento da corda, em centímetros, que é enrolada 
ou desenrolada por segundo. 
10. Uma polia dupla rola sem escorregar sobre a placa AB, que 
se desloca para a esquerda com uma velocidade constante 
de 24 mm/s. A polia interna, de 60 mm de raio, está rigida-
mente ligada à polia externa de 80 mm de raio. Sabendo 
que o cabo E é puxado a uma ve locidade constante do 
60 mm/s como ilustrado, determine: 
a) a velocidade angu lar da polia. 
b) a velocidade do centro G da polia. 
E 
----+ 
60 mm/s 
1. Uma ventania forte está soprando com uma ve locidade v na 
direção da seta mostrada na figura. Dois aviões saem simu lta-
neamente do ponto A e ambos voarão com uma velocidade 
constante e em relação ao ar. O primeiro avião voa contra 
o vento até o ponto B e retorna logo em seguida ao ponto 
A, demorando para efetuar o percurso total um tempo t 1 . 
O outro voa perpendicularmente ao vento até o ponto D e 
retorna ao ponto A, num tempo total t 2. As distâncias AB e 
AD são iguais a Q. Qual é a razão entre os tempos de voo 
dos dois aviões? 
D 
f 
A 
a) ~=R) t, c2 
b) ~=A t, c2 
~ v c) 
t, c 
v 
B 
d) ~=1 
t, 
e) ~~ = ~( 2 - ~~ J 
2. Em um rio, do ponto A ao ponto B, os quais se encontram 
em margens opostas, pela reta AB que forma um ângu lo a. 
com a linha da margem, move-se uma lancha. O vento sopra 
com uma velocidade u em direção perpendicular à margem. 
A bandeira no mastro da lancha forma um ângulo 13 com a 
direção de movimento desta. Determinar a velocidade da 
lancha, relativa à margem. É possível com os dados do pro-
blema determinar a velocidade da corrente? 
B 
A 
3. Dois carros movem-se com velocidades constantes v
1 
e v
2 
em estradas que se cruzam num ângu lo a.. Determinar a 
grandeza e a direção da ve locidade de um carro em relação 
ao outro. Depois do encontro dos carros na intersecção 
das estradas, que tempo é necessário esperar para que a 
distância entre eles seja S? 
4. Os automóveis (ver o problema 3) não se encontram no cru-
zamento e ademais o segundo carro passou pelo cruzamento 
num tempo t depois do primeiro. Qual foi a distância mínima 
entre os automóveis? 
5. (ITA) Uma pessoa sobe uma escada ro lante, que está parada, 
em 90s. A mesma escada, agora em movimento, transporta 
a pessoa em 60s. Quanto tempo levaria a pessoa para subircaminhando, se a escada estiver em movimento? 
6. De uma torre alta, lançam-se dois corpos, um após o outro, 
com velocidades iguais a v0. O primeiro corpo é lançado 
verticalmente para cima; decorrido certo tempo t, o segun-
do corpo é lançado verticalmente para baixo. Determinar a 
velocidade dos corpos, um relativo ao outro, e a distância 
entre eles no momento t > t. 
3 
7. No rio Amazonas, a uma distância de 90 m da margem, está 
ancorado um navio. A velocidade da correnteza do rio é nula 
junto à margem, crescendo proporcionalmente à distância 
da margem até que junto ao navio seja de 2 m/s. Um bote 
motorizado que tem velocidade própria de 7,20 km/h vai da 
margem até o navio partindo de um ponto ortogonalmente 
em frente ao navio. Como deve ser orientada a direção do 
bote ao partir, para que, sem ter que ser corrigida depois, 
o bote possa atingir o navio? Quanto tempo o bote levará 
para alcançar o navio? 
As perguntas a seguir referem-se à situação seguinte: 
A plataforma horizontal de um carrossel (figura) está gi-
rando com velocidade angular constante co. João está no 
centro do carrossel e Pedro na periferia. João quer jogar uma 
bola para Pedro, e este, depois de apanhá-la, vai jogá-la de 
volta para João. A velocidade v de lançamento (tanto de João 
como de Pedro) é horizontal. O módulo v de v é suficiente-
mente grande, e o raio R da plataforma suficientemente pe-
queno para que as trajetórias possam ser consideradas como 
horizontais, em primeira aproximação. 
Pedro 
R 
" 
João 
8. Para que a bola lançada por João possa ser apanhada por 
Pedro, João deverá jogar a bola numa direção que faça 
ângulo e com a reta JP (João-Pedro). O ângulo e vale: 
coR coR 
a) - d) arctg-
v v 
coR b) are sen-
v 
coR 
c) are cos-
v 
e) zero 
9. Para que a bola lançada por Pedro possa ser apanhada por 
João, Pedro deverá jogar a bola numa direção que faça o 
ângulo e com a reta PJ (Pedro-João). O ângulo e vale: 
coR coR 
a) - d) arctg-
v v 
coR b) are sen-
v 
coR 
c) are cos-
v 
e) zero 
1 O. O tempo que levará a bola lançada por João para chegar 
até Pedro é igual a: 
R ~v2- co2R2 
a) ~v2 + co2R2 d) R 
R R b) ~v2- co2R2 e)-v 
c) ~v2 + co2R2 
R 
4 
11. O tempo que levará a bola lançada por Pedro para chegar 
até João é igual a: 
R 
a) 
b) 1=::=~7 ~v2- co2R2 
c) ~i+ co2R2 
R 
R 
e)-
v 
12. Para que a bola lançada por Pedro possa ser apanhada por 
João, a velocidade angular da plataforma: 
a) deverá ser maior que R/v. 
b) deverá ser menor que R/v. 
c) deverá ser maior que v/R. 
d) deverá ser menor que v/R. 
e) poderá ter qualquer valor. 
13. (ITA/2009) Um barco leva 1 O horas para subir e 4 horas para 
descer um mesmo trecho do rio Amazonas, mantendo 
constante o módulo de sua velocidade em relação à água. 
Quanto tempo o barco leva para descer esse trecho com os 
motores desligados? 
a) 14 horas e 30 minutos 
b) 13 horas e 20 minutos 
c) 7 horas e 20 minutos 
d) 10 horas 
e) Não é possível resolver porque não foi dada a distância 
percorrida pelo barco. 
14. Uma bobina, constituída de uma parte cilíndrica e de dois 
discos iguais e contínuos, rola sua parte cilíndrica sem des-
lizamento em uma barra áspera, colocada horizontalmente, 
com velocidade constante v. 
O raio da parte cilíndrica é r, o dos discos é R. Que veloci-
dade instantânea têm os pontos A e B localizados na borda 
de um dos discos? 
A 
15. Quais os pontos dos discos (ver o problema anterior) têm 
velocidade instantânea igual, em grandeza, à velocidade do 
eixo da bobina? 
16. Um disco contínuo rola sem deslizamento em um caminho 
horizontal com velocidade constante v. 
A 
D B 
c 
a) Demonstrar que a velocidade linear de rotação relativa-
mente ao centro O de qualquer ponto do disco, que se 
encontra na sua borda, é igual à velocidade do movimento 
de translação do disco. 
b) Determinar a grandeza e a direção das velocidades dos 
pontos A, B, C e D, situados na borda do disco, relativa-
mente a um observador fixo. 
c) Quais pontos do disco têm, relativamente a um observa-
dor fixo, a mesma grandeza absoluta de velocidade que 
o centro do disco? 
17. A engrenagem dupla da figu ra ro la sobre a crema lheira LANÇAMENTO 
inferior estacioná ri a; a ve locidade do seu centro A é 1,2 m/s 
para a direita. Determinar: 
a) a velocidade angu lar da engrenagem. 
b) as ve locidades da cremalheira superi or R e do ponto D 
da engrenagem. 
v A = 1,2 m/ s 
18. Resolva o problema supondo que a crema lhei ra inferior 
não está estacionária, mas desloca-se para a esquerda com 
ve loc idade de 0,6 m/s. 
19. Um ci lindro de madeira de 4,0 em de diâmetro rola sem 
desliza r e ntre duas tábuas horizontais móveis, A e B, como 
mostra a figura. Em determinado insta nte, a tábua A se 
movimenta para a direita com velocidade de 40 cm/s e o 
centro do cilindro se move para a esq uerda com velocidade 
de intensidade 10 cm/s. Qual é, nesse instante, a veloc idade 
da tábua B em módulo e sentido? 
A 
4,0cm 
B 
a) 50 cm/s para a direita. 
b) 50 cm/s para a esquerda. 
c) 60 cm/s para a direita. 
d) 60 cm/s para a esquerda. 
e) 30 cm/s para a esquerda. 
20. Um cone roda sem desl izamento em um pla no . O eixo do 
cone g ira com velocidade m em redor da vertical que passa 
através do seu vértice. A a ltura do cone é h, o ângu lo entre 
o eixo e a aresta é igua l a a. Qual é a velocidade angu lar 
de rotação do cone em redor de seu eixo? Determ in ar a 
ve loc idade li near de um ponto arbitrár io do diâmetro da 
base do cone, loca lizado em um plano vertica l. 
B 
!~n y rC 
: h r 
' 
: a 
o: A 
' 
5 
y 
Vox 
V O.cos a 
!9 
Pela simetria: 
Eixo x: 
Eixo y: 
e, = 2n- 82 
Vtopo = Vx(Vytopo = Õ) 
ax =O => MU em x 
Vx = VOx = V0co~ a= consta nte 
x =/o+ V0t 
X 
x = 0/0 cos a)t => t =.,--V,----0cos a 
ay =- g = constante => MUV em y 
VY=Vay +ayt 
vy =v o sen a- gt 
o a 
y = v + v t + _y__ gt2 
/J o Oy 2 
g 
y = 0/0 sen a)t- 2t2 
Equação da trajetória: 
y = ()fcÍ sen a) x - .2.( x
2 J => Xá cosa 2 v~ sen2 a 
=> y = 2 g 2 · x
2 + (tg a)x 
2Vo sen a 
Tempo de subida: 
vy = o ~ t = t,ub;da 
V0 sen a 
o =v o sen a- gt,ub;da => t,ub;da = g 
ttotal => y = O (neste caso) 
o= v t- .2.t2 
Oy 2 
2Vo sen a 
t = 0: t = ttotal = g 
DaÍ, t total = 2 · t,ub;da 
Altura máxima: 
y = Hm,x ~ VY = O 
V/ = Vot2 + 2a/"Y (eq uação de Torrice lli ) 
V 2 sen2 a Q2 = (V0 sen a)2 - 2g H . =>H . = ~0----::---max max 2g 
X 
32. Uma corrente metálica de comprimento O = 62,8cm, cujos 
extremos estão unidos, foi colocada em um disco de ma-
deira. O disco gira com uma velocidade n = 60 rotações 
por segundo. Determinar a tensão da corrente T, sendo sua 
massa m = 40g. 
Considere n = 3,14 
Dica: utilizar um elemento de corrente do 
33. (IME-73) A figura mostra um bloco prismático triangular 
de massa m1, que se desloca sobre uma superfície polida, 
puxado por um fio inextensível, de massa desprezível. A 
outra extremidade do fio está ligada a um bloco de massa 
m3 pendente de uma polia, de massa desprezível, que gira 
sem atrito. Um terceiro bloco cúbico de massa m 2 repousa 
sobre o bloco de massa m 1• Determinar a relação entre as 
massas m1, m2 e m3, a fim de conservar o bloco de massa 
m2 estacionário em relação ao bloco triangular. Admitir os 
contatos sem atritos. 
34. Um paralelepípedo A apoia-se em um plano horizontal; 
representa-se por J.l o coeficiente de atrito entre ambos. No 
sólido A prende-se uma extremidade de um fio leve, flexível 
e inextensível, que passa por uma roldana ideal e suporta 
um sólido B na outra extremidade. No sólido A apoia-se um 
carro C. Os corpos A, B e C têm massas iguais (m). Determinar 
a maior aceleração a que o motor pode imprimir ao carro, 
sobcondição de permanecer parado o corpo A. 
g = 10 m/s2 
J.l = 0,4 
35. O disco B, na figura, tem em determinado instante, velocida-
de angular co= 2,0 rad/s e aceleração angular a= 3,0rad/s2, 
em torno de um eixo vertical. Oual o menor coeficiente de 
atrito que deve existir entre o pequeno bloco A (colocado 
a 50 em do eixo), e o disco para que o bloco não deslize em 
relação ao mesmo, neste instante? 
g = 10 m/s-2 
SOe m 
GABARITO 
Movimento Relativo 
Exercícios de Sala 
1. a= are sen 1/4 
2. dm;n = 10 km; t = 15 min 
3. vob 
~a2 + b2 
4. a = g . cotg a 
5. a 
6. 100 km/h 
v
2t 
7. Vs = ---r=::===::==::=-~i - v2 . t2 
8. OA l_ VA; OA = cos p C; Vs =v. cosa 
sen(a + Pl cos P 
9. a) co= 2 rad/s; b) VA = 300 mm/s; c) V M B = 225 mm/s e enrolando. 
1 O. a) co = 3/5 rad/s; b) V G = 24 mm/s 
Exercícios de casa 
1. a 
2. lv I = J.l cos(a + Pl ~ sen p 
3. J.12112 = V
2
1 + V
2
2 + 2V1V2 cosa 
s 
t=-
J.l }f 
v1v2 4. smin = -- . 1: sen a 
J.l }f 
5. 36 s 
6. V Rei = const = 2 V0 - g1: 
SRel =v o'- g 1:2/2 + (2Vo- gc). t 
7. a) 30° com a normal; b) 30~ s 
8. a 
9. b 
10. e 
11. b 
12. d 
13. b 
14. VA = v(R +r); Vs = v(R- r) 
r r 
15. Os pontos localizados a uma distância r do eixo instantâneo 
de rotação (ou do seu prolongamento). 
16. a) Demonstrar. 
b) VA = 2v; V8 = v.fi; V c= O; V0 = v.fi 
c) Os pontos localizados a uma distância, em relação ao CIR 
(que é o ponto de contato), igual ao raio do disco. 
17. a) co= 8 rad/s 
b) VR = 2 m/s; V 0 = 1 ,2.J2 m/s ~ 1,7 m/s 
18. a) co= 12 rad/s 
b) VR = 2,4 m/s; V0 = 0,6JG m/s ~ 2,16 m/s 
19. d 
2 
20. n = _ro_; v = (Ü. f. cos a; v (8) 
sen a sen a 
Resolução: 1• forma 
o 
Para a situação anterior temos: 
COresu ltantex = I Ôx I 
'-----,-----' 
Q cosa 
<Oresultante = (Ü - n se n a 
X '-----.r-------
l6yl 
y 
-Q 
X 
X 
7 
Como não há escorregamento: 
ro,esultante = (Ü- n sen a = o~ 1 n = (Ü 1 Y sen a 
Se houvesse COresultante , teríamos dois pontos em OA com 
rotação em relação ao You tro, o que não ocorre. 
Como todos os pontos em OA têm velocidade nula, ele é o 
eixo instantâneo de rotação, e temos cococpa = Q cosa. 
E para um ponto arbitrário D no diâmetro da base do cone 
temos: /{en a ecosa 
~ _v" coi! cos2 a V= COcorpo · d =/ncosa ~ = Qcosa · i! cosa=----
sen a 
2 
V= coi! cos a @ -
sen a v 
Resolução: 2• forma 
o~~-L~---~-~~~~----
.__ ___ h cos a ----1 A 
ITI---c____, 
r sena r sena 
Como o cone não desliza, temos que todos os pontos em 
OA têm velocidade nula, logo para o ponto A: 
- co co Q ·R= co· OA ---t Q = -- = --
RL sena 
/ OA 
Para um ponto arbitrário D1 acima do ponto C temos: 
V = co . r + co . (h cos a- r sen a), fazendo Q = _co_ e 
sen a 
co1!1 cos2 a Q1 = R + r = h tga + r, temos: V = --'---sen a 
Para um ponto arbitrário D2 abaixo do ponto C temos: 
V= co (h cos a + r sen a)- Q . r, fazendo Q =_co_ e 
sen a 
co1! 2 cos2 a 
Q = R- r= h tga- r, temos que: V=--=-----
2 sen a 
Logo, para um ponto qualquer acima ou abaixo de C que 
se encontra a uma distância Q do ponto A temos: 
2 
V= coi! cos a @ -
v sen a 
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	Movimento Relativo-2
	Movimento Relativo-3
	Movimento Relativo-4
	Movimento Relativo-5
	Movimento Relativo-6
	Movimento Relativo-7