Geometria_Descritiva_Retas Material completo

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Índice
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Índice Geral
INCLINAÇÃO DE UM PLANO
A inclinação de um plano é o ângulo formado entre um plano no espaço e o Plano Horizontal de Projeção e é determinada em um plano de projeção perpendicular ao P.H. e que o plano em questão esteja em projeção linear.
O plano, não tem direção, por não ser um elemento retilíneo que possa ser direcionado.
Índice 
Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Duas retas são paralelas quando suas projeções de mesmo nome sobre pelo menos dois planos são paralelas. Com exceção as retas de perfil, que necessita da projeção no plano de perfil.
 
RETAS PARALELAS
Índice 
Índice Geral
A distância entre duas retas paralelas é determinada em um plano de projeção em que se encontram as projeções pontuais das retas. Para as retas do 1o Grupo, as projeções são encontradas em um dos Planos Principais, podemos dizer que a solução é imediata. Já para as retas do 2o Grupo as projeções pontuais são encontradas num Plano Auxiliar Primário colocado perpendicularmente as retas no espaço.
Em Épura, isto significa colocar o eixo perpendicular à projeção que está em V.G. encontrando, portanto as projeções pontuais das retas. Para as retas quaisquer se faz necessário o uso de um Plano Auxiliar Secundário, colocado também, perpendicular à projeção que esteja em V.G. e encontrando as projeções pontuais, consequentemente a distância entre as retas.
 
DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS PARALELAS
Índice 
Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular
c
c'
a
a'
d'
d
b'
b
p
p'
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS CONCORRENTES
RETAS REVERSAS
o
Y
Z
PV
PH
X
c
d'
c'
d
a
a'
b'
b
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Índice 
Índice Geral
RETAS PERPENDICULARES
Duas retas concorrentes são perpendiculares quando num plano de projeção as duas retas aparecem perpendiculares entre si e pelo menos uma delas aparece em V.G., neste plano.
Para as retas do 1o e 2o Grupos esta perpendicularidade é vista em um dos planos principais. No caso de duas retas quaisquer, a perpendicularidade deverá ser determinada onde encontrarmos a V.G. de pelo menos uma das retas, isto poderá ser determinado no P.A.1.
Índice 
Índice Geral
Índice 
Índice Geral
INCLINAÇÃO DAS RETAS 
DO TERCEIRO GRUPO
ESTUDO DA RETA
PROPRIEDADES:
Retas do 3o Grupo: São retas oblíquas aos três planos principais de projeção. 
Não apresentam projeção em V. G. (Verdadeira Grandeza).
Índice 
Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS PARALELAS
RETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
Z
PV
PH
X
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice Geral
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS PARALELAS
RETAS COINCIDENTES
d
d'
b
b'
a
a'
c
c'
o
Y
Z
PV
PH
X
b
a
b'
a'
d
c
d'
c'
Índice 
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
  Verdadeira Grandeza da Reta
  V. G. por Mudança de Plano de Projeção
  V. G. por Rotação
Índice Geral
PLANO AUXILIAR PRIMÁRIO 
E PROJEÇÃO PONTUAL DE RETA
  Projeção Pontual da Reta nos Planos Principais
  Projeção Pontual das Retas: Vertical e Horizontal – no PA1
  Projeção Pontual da Reta Qualquer – no PA2
Índice Geral
Interseção entre Planos (Visibilidade)
Ângulo entre Planos (Ângulo Diedro)
Interseção entre Planos
ÍNDICE
Estudo do Plano
Verdadeira Grandeza de um Plano
Inclinação de um Plano
Distância Perpendicular entre Ponto e Plano
Interseção entre Reta e Plano
Ângulo entre Reta e Plano
Interseção entre Reta e Plano (Visibilidade)
Posições Relativas das Retas no Espaço 
Índice Geral
Tópico 13
Tópico 15
Tópico 16
Tópico 17
Tópico 14
Tópico 12
Tópico 22
Tópico 20
Tópico 18
Tópico 19
Tópico 21
DIREÇÃO DE RETA
  Direção de Reta
  Direção da Reta Horizontal 
  Direção das Retas do Primeiro Grupo
  Direção das Retas do Segundo Grupo
  Direção das Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
INCLINAÇÃO DE RETA
  Inclinação de Reta
  Inclinação de uma Reta Frontal
  Inclinação das Retas do Primeiro Grupo
  Inclinação das Retas do Segundo Grupo
  Inclinação das Retas do Terceiro Grupo
Índice Geral
No Brasil as representações podem ser feitas pelos dois sistemas, com preferência para a projeção ortogonal no 1o diedro.
Os diedros estão formados pela interseção de dois planos, um vertical e outro horizontal, a reta interseção entre os dois planos é chamada de Linha de Terra e é comum aos quatro semi-planos:
 PVS - Plano Vertical Superior
 PVI - Plano Vertical Inferior
 PHA Plano Horizontal Anterior 
 PHP - Plano Horizontal Posterior
Índice 
Índice Geral
Z
Y
X
PH
PV
O
No 2o Diedro acontece 
superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 2o DIEDRO
PV
PH
Índice 
Índice Geral
Z
Y
X
PH
PV
O
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 3o DIEDRO
PH
PV
Índice 
Índice Geral
PH
PV
Z
Y
X
PH
PV
O
No 4o Diedro acontece 
superposição de imagem.
PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS NO 4o DIEDRO
Índice 
Índice Geral
PH
PH
PV
PV
Z
PP
Y
PH
X
Y
O
POSIÇÃO DO PONTO EM RELAÇÃO AOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
Abscissa
a
a''
Afastamento
Cotas
a
a''
Abscissa
Cota
Afastamento
ÉPURA
A(30, 15, 20)
Abscissa
Afastamento
Cota
a'
a
PP
PP
a''
a
a'
a''
A
a'
PH
PV
PP
X
Z
Y
Y
O
Afastamento
Índice 
Índice Geral
Quando um ponto pertence a um dos planos de projeção, é representado em Épura através de suas duas projeções e do próprio ponto.
O ponto pertencente a um dos eixos é representado por este e por mais duas projeções, se coincidir com o ponto “O” de origem a representação em Épura é o próprio ponto e suas projeções.
A representação de um ponto no espaço é feita através das três projeções, nos planos: vertical, horizontal e de perfil.
POSIÇÕES DO PONTO
Índice 
Índice Geral
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
Y
PH
X
Z
PP
PV
RETA VERTICAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''
a'
b'
b
a
VG
VG
a''
b''
A
a
B
b'
a'
b
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c''
d''
d'
c
d
RETA DE TOPO
Z
Y
Y
X
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
VG
VG
d''
c'
d'
c''
C
d
D
c
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e'
f'
e
f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f''
e''
E
F
e'
f
f'
e
e''
f''
VG
VG
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PERPENDICULARESA UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA VERTICAL
RETA DE TOPO
RETA FRONTO-
HORIZONTAL
A
a’’
a
B
b'
a'
b
b''
VG
VG
c'
d'
c''
d''
C
d
D
c
VG
VG
E
F
e'
f
f'
e
e''
f''
VG
VG
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
b''
a''
b
a
a'
b'
VG
VG
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
c''
d''
c'
d'
o
c
d
VG
VG
e'
f'
e
f
e''
f''
o
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTAL
b''
a
b
a''
b'
a'
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
a
a'
a''
B
b'
b''
b
A
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''
d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C
d
D
c
c'
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
e''
F
f
e
f''
e'
f'
E
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETAS PARALELAS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA HORIZONTAL
RETA FRONTAL
RETA DE PERFIL
a'
A
a’’
a
B
b'
b''
b
VG
d'
c''
d''
C
d
D
c
c'
VG
f''
f
E
F
e'
f'
e''
e
VG
e''
f''
e'
f'
e
f
X
PP
Y
Y
Z
o
PV
PH
VG
X
PP
Y
Y
Z
o
PV
PH
c
c''
d
d''
d'
c'
VG
b''
PV
PH
X
PP
Y
Y
Z
o
a
b
a''
b'
a'
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
b'
a'
a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
RETA QUALQUER
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
Índice 
Índice Geral
RETAS CONCORRENTES E REVERSAS
Duas retas são concorrentes quando em Épura as projeções do ponto de concorrência estiverem sobre uma mesma perpendicular
c
c'
a
a'
d'
d
b'
b
p
p'
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS CONCORRENTES
RETAS REVERSAS
o
Y
Z
PV
PH
X
c
d'
c'
d
a
a'
b'
b
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
Índice 
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DA RETA
POR ROTAÇÃO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
b
a
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
b
a
a'
a
VG
a
VG
a'
Método de Rotação
Reta Frontal
Reta Horizontal
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c''
d''
d'
c
d
RETA DE TOPO
Z
Y
Y
X
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
VG
VG
qcd = 180o
qdc = 0o ou 360o
qdc = 0o ou 
 360o
qcd = 180o
d''
c'
d'
c''
C
d
D
c
VG
VG
qdc = 0o ou 
 360o
qcd = 180o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e'
f'
e
f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f''
e''
E
F
e'
f
f'
e
e''
f''
VG
VG
VG
VG
qef = 90o
qfe = 270o
qfe = 270o
qef = 90o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''
d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C
d
D
c
c'
VG
VG
qcd = 90o
qdc = 270o
qdc = 270o
qcd = 90o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
e''
F
f
e
f''
e'
f'
E
VG
VG
qef = 180o
qfe = 0o ou 360o
qef = 180o
qfe = 0o ou 
 360o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c''
d''
d'
c
d
RETA DE TOPO
Z
Y
Y
X
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
c'
VG
VG
d''
c'
d'
c''
C
d
D
c
VG
VG
fcd = 0o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e'
f'
e
f
RETA FRONTO-HORIZONTAL
Z
Y
X
Y
PV
PH
PP
o
RETAS DO 1O GRUPO: PERPENDICULARES A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
f''
e''
E
F
e'
f
f'
e
e''
f''
VG
VG
VG
VG
fef = 0o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c
c''
d
d''
d'
c'
RETA FRONTAL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
d'
c''
d''
C
d
D
c
c'
VG
VG
fcd = 45o
fab = 45o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
e''
f''
e'
f'
e
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
o
RETA DE PERFIL
RETAS DO 2O GRUPO: PARALELAS A UM 
DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PV
e''
F
f
e
f''
e'
f'
E
VG
VG
fef = 35o
fab = 35o
Índice 
Índice Geral
PA1
PH
d1
POSIÇÕES RELATIVAS DAS RETAS NO ESPAÇO
o
Y
Z
PV
PH
X
RETAS PERPENDICULARES
o
Y
Z
PV
PH
X
d
b'
b
d'
c
c'
a
a'
e'
e
b1
c1
a1
a
b'
b
c'
c
d
a'
d'
e'
e
e1
VG
Índice 
Índice Geral
D
D
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE 
RETAS DO 1O GRUPO
 RETAS VERTICAIS
 RETAS DE TOPO
o
Y
Z
PV
PH
X
o
Y
Z
PV
PH
X
a,b
a’
b’
VG
c’
c,d
d’
VG
b’a’
a
b
VG
d’c’
c
d
VG
Índice 
Índice Geral
a”b”
d’
d
a’
a
c’
c
b’
b
c”d’’
Distância
Perpendicular
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
RETAS DO 1O GRUPO 
 RETAS FRONTO-HORIZONTAIS
VG
VG
VG
VG
o
Y
Z
PV
PH
X
Y
PP
Índice 
Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
 RETAS DO 2O GRUPO 
d
d'
c
c'
a
a'
b
b'
o
Y
Z
PV
PH
X
Distância
Perpendicular
o
Y
Z
PV
PH
X
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
Distância
Perpendicular
PH
PA1
PV
PA1
 RETAS HORIZONTAIS
 RETAS FRONTAIS
VG
VG
VG
VG
b1a1
d1c1
a1b1
c1d1
Índice 
Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
 RETAS DO 2O GRUPO 
 
RETAS DE PERFIL
PP
Y
Y
X
PV
PH
Z
Distância
Perpendicular
c''
a''
c'
d'
c
d
a'
b'
a
b
b''
d''
c1d1
a1b1
PP
PA1
VG
VG
Índice 
Índice Geral
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE
 RETAS DO 3O GRUPO 
 RETAS QUAISQUER
o
Y
Z
PV
PH
X
c
c'
d
d'
a
a'
b
b'
Distância
Perpendicular
PH
PA1
PA1
PA2
a1
c1
d1
b1
b1a1
d1c1
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
o
Z
Y
X
PV
PH
PP
b''
a''
a'
b'
c'
c''
b
a
c
PERTINÊNCIA DE PONTO E RETA
o
Z
Y
X
PV
PH
PP
b'
a'
a''
b''
a
b
c
c''
c'
Y
b''
o
Z
Y
X
PV
PH
PP
a
b
a''
b'
a'
c
c''
c'
Y
Índice 
Índice Geral
Y
PH
X
Z
PV
PP
A
a''
a
B
a'
b
b''
b'
p
P
p'
p''
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
RETA VERTICAL
b''
a''
a'
b'
a
b
p´
p´´
p
o
Z
Y
X
PV
PH
PP
Y
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
RETA HORIZONTAL
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE PONTO E RETA
b''
a
b
a''
b'
a'
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PA1
PH
Distância
Perpendicular
a1
b1
p
p'
p''
p1
a
a'
a''
B
b'
b''
b
A
p
P
p'
p''
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
b'
a'
a''
b''
a
b
RETAS OBLÍQUAS AOS TRÊS PLANOS DE PROJEÇÃO
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
RETA QUALQUER
Distância
Perpendicular
PA1
PH
PA1
PH2
p
p'
p''
p1
a1
b1
a1
b1
p2
b'
A
a''
a
B
a'
b''
b
p'
p''
p
P
VG
q1
q
q'
q''
Índice 
Índice Geral
c'
d'
c
Distância
Perpendicular
b'
a
a'
b
PA1
PH
PA2
PA1
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE RETAS REVERSAS
c1
d1
b1
a1
•
c2d2
b2
a2
q2
q1
r1
r
q
r'
q'
d
X
PV
PH
Z
Y
o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO HORIZONTAL
b''
a'
a
b'
b
c'
c
c''
a''
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO HORIZONTAL
b''
c
A
a'
b'
c'
a''
c''
b
B
C
a
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
f'
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO FRONTAL
e''
d''
f''
d'
d
e'
e
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO VERTICAL
d''
f''
e'
f'
d'
d
e
E
f
F
D
e'
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h''
i''
h'
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE PERFIL
h
g
i
g'
i'
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PARALELO AO PLANO DE PERFIL
g''
h''
i''
g'
h'
i'
h
g
i
G
I
H
VG
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PHPP
X
Z
PV
A
a'
b'
c'
a''
c''
b''
b
c
B
C
a
VG
PLANOS PARALELOS A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO HORIZONTAL
PLANO FRONTAL
PLANO DE PERFIL
Y
PH
PP
X
Z
PV
d''
e'
f'
d'
e
E
f
F
D
VG
f''
d
X
PV
PP
Y
Y
Z
PH
o
a'
b'
c'
c''
b''
a
b
c
a''
VG
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
g''
h''
i''
g'
h'
i'
i
g
h
VG
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h''
i''
g'
h'
i'
h
g
i
G
I
H
VG
f
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
e''
d''
f''
e'
f'
d'
d
e
VG
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
c'
a'
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO VERTICAL
b'
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO HORIZONTAL
c
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE TOPO
c'
a'
b'
c''
A
b
c
B
a''
b''
C
a
c
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO VERTICAL
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
a
b''
c''
a''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE RAMPA
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C
b
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PERPENDICULAR AO PLANO DE PERFIL
Índice 
Índice Geral
PLANOS PERPENDICULARES A UM DOS PLANOS DE PROJEÇÃO
PLANO VERTICAL
PLANO DE TOPO
PLANO DE RAMPA
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
Z
PV
PH
PP
o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
X
PV
PP
Y
Y
Z
PH
o
c'
a'
b'
c
a
c''
a''
b''
b
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
b
c
B
a''
b''
C
a
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C
b
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUER
c
PLANOS DO 3O GRUPO: OBLÍQUOS AOS TRÊS 
PLANOS DE PROJEÇÃO – PH, PV e PP
a''
c'
a'
b
c
b''
a
b'
A
c''
B
C
c
Índice 
Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
Escolhe-se uma das projeções em que uma das arestas esteja em V.G., determina-se a projeção pontual desta aresta e projetando também os outros pontos, determinado assim, a projeção linear do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se processará igual aos planos do 2o Grupo. Se não tivermos nenhuma das arestas do plano no espaço em V.G. teremos que criar uma reta que pertença ao plano e que mostra a sua V.G. em um dos planos principais.
Escolhe-se uma projeção do plano no espaço desde que a projeção da aresta esteja paralela ao plano, daí encontra-se no plano adjacente a V.G., com este elemento procederá segundo a descrição anterior.
Índice Geral
ESTUDO DO PLANO
VERDADEIRA GRANDEZA
Os planos do 1o Grupo estão paralelos a um dos planos principais de projeção e perpendiculares aos planos adjacentes. No plano em que estiver paralelo encontra-se a V.G. do plano no espaço e nos outros encontram-se as projeções lineares deste plano.
Já a V.G. dos planos do 2o Grupo determina-se quando se coloca um plano auxiliar paralelo a projeção linear do plano no espaço. E é notável as características do 1o Grupo com este.
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
b'
b
a'
a
VG
c'
c
PH
PA1
c1
a2
b2
PLANO VERTICAL
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
c'
b'
b
a
c
a1
b1
c1
c2
a2
b2
PH
PA1
PA1
PA2
VG
A V.G. do plano do 3o Grupo é determinada como se segue: Escolhemos em um dos planos principais uma das projeções de uma aresta que esteja em V.G. determina-se a projeção pontual desta aresta (reta) projetando os outros pontos determinando assim a projeção linear do plano no espaço, agora a resolução da V .G. se processará igual aos planos do 2o Grupo.
Índice Geral
VERDADEIRA GRANDEZA DO PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
c'
b
a
c
c2
b2
a2
PH
PA1
PA1
PA2
c1
a1
e'
e
VG
b1
e1
Se não tivermos nenhuma 
das arestas do plano no 
espaço em V.G. teremos 
que criar uma reta que 
pertença ao plano e que 
mostra a sua V.G. em um 
dos planos principais. Em 
seguida determina-se a 
projeção pontual desta 
reta e a projeção dos 
outros pontos, obtendo 
assim a sua projeção 
linear, daí determina-se a 
sua V.G. segundo a 
descrição anterior.
Índice Geral
INCLINAÇÃO DE UM PLANO
o
Y
Z
PV
PH
X
a'
b'
c'
b
a
c
PH
PA1
c1
a1
e'
e
o
Y
Z
PV
PH
X
O
a'
b'
c'
c
b
a
O
b1
e1
PLANO DE TOPO
PLANO QUALQUER
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
f'
f
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO FRONTAL
e''
d''
f''
d'
d
e'
e
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
d''
f''
e'
f'
d'
d
e
E
f
F
D
e'
VG
VG
fabc = 90o
fabc = 90o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
g''
h''
i''
h'
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE PERFIL
h
g
i
g'
i'
PLANOS DO 1O GRUPO: PARALELO A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
g''
h''
i''
g'
h'
i'
h
g
i
G
I
H
VG
VG
fab = 90o
fab = 90o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE TOPO
c'
a'
b'
c''
A
b
c
B
a''
b''
C
a
c
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
fabc = 48o
fabc = 48o
Índice 
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
b'
c
a
b''
c''
a''
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO DE RAMPA
c'
a'
b'
c
A
a
c''
B
a''
b''
C
b
PLANOS DO 2O GRUPO: PERPENDICULARES A UM DOS 
PLANOS DE PROJEÇÃO
fabc = 48o
fabc = 48o
Índice 
Índice Geral
PH
Y
PH
PP
X
Z
PV
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO HORIZONTAL
b''
a'
a
b'
b
c'
c
c''
a''
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO HORIZONTAL
p''
p'
p
b''
c
A
a'
b'
c'
a''
c''
b
B
C
a
p''
p'
p
P
PH
Distância
Perpendicular
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
c'
a'
a
c''
a''
b''
c
b
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
PLANO VERTICAL
b'
p
p'
p''
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO VERTICAL
Distância
Perpendicular
c'
a'
b'
c
A
b
b
c''
B
a''
b''
C
P
p'
p''
p
Índice Geral
Y
PH
PP
X
Z
PV
Y
Y
X
PV
PH
PP
Z
a'
c'
b'
a
c''
a''
b''
b
PLANO QUALQUER
c
p''
p'
p1
p
PH
PA1
a1
b1
c1
x'
DISTÂNCIA PERPENDICULAR ENTRE UM 
PONTO E UM PLANO QUALQUER
c'
a'
b
c
a''
b''
a
b'
A
c''
B
C
c
P
p'
p''
p
Distância
Perpendicular
q1
q
q'
q''
x
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE RETA E PLANO
a'
c'
b'
a1
c
a
b
b1
c1
d'
e'
d
e
d1
e1
PA1
PH
p'
p
p1
o
Y
Z
PV
PH
X
f'
f
Índice Geral
o
Y
Z
PV
PH
X
ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO
PA1
PH
PA2
PA1
PA2
PA3
a1
e1
a'
a
b'
b
b1
d1
e'
e
d'
d
a2
b2
c2
a3
b3
c3
e2
d2
e3
d3
p'
p
p2
p3
VG
VG
c'
c
f'
f
c1
p1
Índice Geral
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS
f1
o
Y
Z
PV
PH
X
f'
f
e'
e
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
d1
b1
e1
a1
c1
z
x
z'
x'
PH
PA1
g'
g
x1
z2
Índice Geral
f'
f
g'
g
f1
o
Y
Z
PV
PH
X
d'
d
c'
c
a'
a
d1
b1
e1
a1
c1
z
x
PH
PA1
x1
z2
INTERSEÇÃO ENTRE PLANOS (VISIBILIDADE)
x'
e'
e
b'
b
z'
Índice Geral
a2
d2
e2
f2
b2
c2
a2
d2
c2
b2
f2
x2
z2
z3
x3
PA1
PA2
PA2
PA3
f1
o
Y
Z
PV
PH
X
f'
f
e'
e
d'
d
c'
c
b'
b
a'
a
d1
b1
e1
a1
c1
z
x
z'
x'
PH
PA1
g'
g
x1
z2
e2

ÂNGULO ENTRE PLANOS 
(ÂNGULO DIEDRO)
Índice Geral