Demonstrando que sigma^2 é viesado e encontrando um S^2 não-viesado para a variância

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Demonstrando que é viesado e 
encontrando um não-viesado para a 
variância.
 
Essa é uma demonstração, um pouco diferente da demonstrada em sala por Breno, que
demonstra que o encontrado para auxiliar no cálculo da variância dos coeficientes da
regressão, termo muito importante para futuras análises de teste de hipóteses e intervalos
de confiança, além do é realmente viesado e também mostra como achar um estimador
 para estimar esta variância de modo não viesado. Boa sorte, abs.
Lembrando que esta é uma demonstração, que poderá ser encurtada em atividades ou nas
provas, basicamente dá pra fazer esta atividade com umas quinze linhas. Então, não façam
passo a passo, só tentem entender. Abs.
Considere, inicialmente, o modelo mais básico de regressão linear:
Se resolvermos esta equação para os resíduos:
Sabemos que , logo podemos desenvolver esta equação e dizer que:
Agora continuando, vamos expandir os resíduos:
Relembremos, novamente, que: .
Vamos observar a expressão: 
Consequentemente:
Podemos multiplicar ambos os lados para acharmos a variância do resíduo
Vamos analisar a expressão :
Consequentemente:
Se colocarmos a esperança em ambos os lados adquirimos a seguinte expressão:
Lembrando que a matriz dos resíduos é uma e, consequentemente, sua transposta é
uma .
Poderiamos abrir a matriz para analisar suas dimensões, contudo, sabemos que esta
matriz precisa ter linhas (para que a multiplicação exista) e colunas (para que a
multiplicação exista). Consequentemente sabemos que .
Vamos analisar a dimensão da expressão :
Este fato nos mostra que esta expressão tem dimensão , consequentemente sendo uma
contante. Logo, podemos afirmar que .
Sabemos que , ou seja, a ordem não
importa.
Também há o fato de que o traço é comutativo, ou seja, .
Deste modo, podemos fazer com que:
Neste ponto, a questão é descobrir qual é o traço de . Vamos, abri-la:
Se considerarmos uma matriz dos coeficientes genericas com variáveis, logo:
Consequentemente, 
Deste modo, podemos dizer que:
Isto demonstra que a esperança da variância dos resíduos é viesada, contudo, se
considerarmos um novo estimador , ficamos com a expressão:
 
	Demonstrando que \sigma^2 é viesado e encontrando um S^2 não-viesado para a variância.