cap 0 Introdução Cefet

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0-1
Revisão de Números Complexos
• Forma retangular :
• Forma exponencial:
• Forma polar:
1)Im()Re( -===+= jzyzxjyxz
( )
qqqq
q
q
q
sincossincos
tan122
jrrzje
xyyxrrez
j
j
+=+=
=+== -
qÐ= rz
x
jy
eixo real
eixo imag.
r
q
0³x
0³x
0£y0£y
0³y0³y
0£x
0£x
Plano Complexo
1°quad.2°quad.
3°quad. 4°quad.
Operações Matemáticas
• Complexo Conjugado
• Adição/Subtração Dado
• Multiplicação
• Divisão
qq -Ð==-= -* rrejyxz j
222111 jyxzjyxz +=+=
)()(
)()(
212121
212121
yyjxxzz
yyjxxzz
-+-=-
+++=+
)(
212112212121
21
2
212121221121
2121)()(
))((
qqqq +==++-=
+++=++=
jjj errereryxyxjyyxx
yyjxjyyjxxxjyxjyxzz12 -=j
2
2
2
2
2121
2
2
2
2
2121
22
22
22
11
2
1 )()(
yx
yxxy
j
yx
yyxx
jyx
jyx
jyx
jyx
z
z
+
-
+
+
+
=
-
-
´
+
+
=
z
z*
q
-q
)(
2
1
2
1
2
1 21
2
1
qq
q
q
-== j
j
j
e
r
r
er
er
z
z
0-2
• Resumo
( )
222
2
22
90tan
90tan
122tan22
)Re(22
)(
1)(
111
1
1
1
11
90111
1 0, para
90111
1 0, para
tan
1
1
1
yxrrerezz
zxjyxjyxzz
krerrez
jjj
jj
j
eejz
yx
eejz
yx
x
y
yxeyxjyxz
jj
kjkkkjk
jj
jj
x
y
j
+==´=*´
==-++=*+
Ð===
=-=-
-=-=-=--=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-
-
-
=
°-Ð===-=
-==
°Ð====
==
Ð+=+=+=
-
°-¥-
°¥
-
-
-
-
qq
qq q
Regime Permanente Senoidal
• Fontes senoidais
– resposta forçada (estado permanente)
– resposta livre ® dinâmica interna do circuito - decai com o
tempo (transitória)
– fonte de tensão (vs), fonte de corrente (is), w (rad/s)
– função periódica
)sin( tVv ms w= )sin( tIi ms w=
][/1)()( HzTftxTtx ==+
fpw 2=
0-3
Fonte de tensão senoidal
°D=
°
D=°Þ
D=D=Þ=D
=Þ-=®÷
ø
ö
ç
è
æ +=
+=
360
2
360
2][
][2
0)(sin
][)sin(
tfft
radfttt
vttV
radtVv
sm
ms
p
pf
pwf
w
f
w
f
w
f
w
ffw
Vm
t
f
w
T
Fórmulas Trigonométricas
0quando)/(tan180
0quando)/(tanonde
)cos(sincos.
sinsincoscos)cos(.
cossinsincos)sin(.
)90sin(cos.
)90cos(sin.
1
1
22
<--°=
>=
-+=+
=±
±=±
°+=
°-=
-
-
AAB
AAB
tBAtBtAe
tttd
tttc
ttb
tta
q
q
qwww
wqwqqw
wqwqqw
ww
ww
m
0-4
Corrente e Tensão de um elemento de circuito
• A corrente está adiantada em relação a tensão quando
• A resposta forçada vf de um circuito a uma entrada
senoidal vs onde
 é
 sendo que
÷
ø
ö
ç
è
æ +=+== )(sin)sin(sin
w
b
wbww tItIietVv mmm
tVv ms wcos=
)cos(sincos 22 qwww -+=+= tBAtBtAvf
)/(tan1 AB-=q
Vm
Im
t
b
w
Tensão
Corrente
Resposta em estado permanente de um circuito RL a
uma função senoidal
• Resposta puramente
 senoidal quando t ® ¥
• Eq. diferencial circuito RL
• Assumindo que
• A solução da eq. diferencial é dada por
tVvRi
dt
di
L ms wcos==+
tBtAi ww sincos +=
)tancos()cos(
0
cos)sincos()cossin(
1
222
22
222222
R
L
t
LR
V
tBAi
LR
LV
B
LR
RV
A
VRABLRBAL
tVtBtARtBtAL
m
mm
m
m
w
w
w
qw
w
w
w
ww
wwwwwww
--
+
=-+=
+
=
+
=
=+=+-
=+++-
1
0-5
Método excitação exponencial complexa
• Sendo assumimos
• Substituindo na eq. diferencial do circuito RL obtemos
{ }tjms eVv wRe= { }tjIei wRe=
{ } { }
{ }
)tancos(
ReRe
ReRe
1
222
tan
222
tan
222tan222
1
1
1
R
L
t
LR
V
ee
LR
V
Iei
e
LR
V
eLR
V
RLj
V
I
VRILIj
eVRIeLIej
m
tjR
L
j
mtj
R
L
j
m
R
L
j
mm
m
tj
m
tjtj
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
www
-
-
-
-
+
=
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
+
==
+
=
+
=
+
=
=+
=+
-
-
-
tjte tj www sincos +=
{ } tVeVvRi
dt
di
L m
tj
ms w
w cosRe ===+
Fasores
• Corrente e tensão senoidal® amplitude e ângulo de fase
• Resposta em estado permanente, circuitos lineares, fontes
senoidais e com mesma freqüência
• I: fasor ® representa amplitude e fase de um coseno
• simplifica cálculos:
– domínio tempo ® domínio da freqüência
–
{ } { } qwqwqw jmtjtjmm eIeeItIti ===+= + II ondeReRe)cos()( )(
qqw Ð=®+= mm ItIti I)cos()(
2
0-6
• Seja o circuito RL
{ } { }
)tancos()(
tan
Re)(Re
1
222
1
222tan222
1
R
L
t
LR
V
ti
R
L
LR
V
eLR
V
LjR
RLj
eeRLj
vRi
dt
di
L
m
m
R
L
j
m
tjtj
s
w
w
w
w
w
w
w
w
w
w
ww
-
-
-
+
=
-Ð
+
=
+
=
+
=
=+
=+
=+
-
V
I
VII
VII
Dado:
{ } mtjmms VeVtVtv =Þ== Vww Recos)(
Assumimos
{ } { } bwwbbw jmtjtjjmm eIeeeItIti =Þ==+= IIReRe)cos()(
Relações Fasoriais para RLC
{ } { }
)10cos(
55
)10cos(5
ReRe
t
R
i
R
tv
R
eReRiv tjtj
=®=®=
=
==
I
IV
IV ww
tensão em fase com a corrente
resistor
indutor
{ } { }tjtj eiev ww IV Re,Re ==Dado
corrente atrasada de 90°° em relação a tensão
{ } { }
)210cos(
5
)10cos(5
ReRe
p
ww
w
w ww
-=®=®=
=
==
t
L
i
Lj
tv
Lj
eLje
dt
di
Lv tjtj
V
I
IV
IV
3
0-7
{ } { }
)210cos(590)10cos(5
ReRe
pww
w
w ww
+=®Ð=®=
=
==
° tCiCVtv
Cj
eCje
dt
dv
Ci
m
tjtj
I
VI
VI capacitor
corrente adiantada de 90°° em relação a tensão
Relações Fasoriais
Elemento Domínio do TempoDomínio da Freqüência
fonte de correntei t A t( ) cos( )= +w q I( )w q= Aej
fonte de tensãov t B t( ) cos( )= +w f V( )w f= Bej
resistor v t Ri t( ) ( )= V I( ) ( )w w= R
capacitor
v t
C
( ) =
1
V I( ) ( )w
w
w= 1
j C
indutor
v t L
d
dt
i t( ) ( )=
V I( ) ( )w w w= j L
ôdôi
t
)(ò
¥-