Exercícios de Distribuições de Probabilidade

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE LAVRAS
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
GES 101 - Estatística
Prof. Tales Jesus Fernandes
LISTA DE EXERCÍCIOS 4: Distribuições de Probabilidade de Variáveis Aleatórias Discretas
1- Considere ninhadas de n = 3 filhotes de coelhos e que os eventos “nascer macho” e “nascer fêmea”
sejam equiprováveis. Sendo X a variável aleatória que representa a ocorrência de filhotes fêmeas, cons-
trua a distribuição de probabilidades de X e o seu respectivo gráfico.
2- A função de probabilidade da variável aleatória X é: P (X) = 1
5
, para X = 1, 2, 3, 4, 5. Calcular
E(X) e E(X2). Usando esses resultados e as propriedades de esperança disponíveis no campus virtual,
calcule:
a) E(X + 3)2
b) VAR(3X − 2)
3- Uma pessoa vende um determinado tipo de máquina usado em construções. Visita semanalmente
uma, duas ou três construtoras com probabilidades 0,2, 0,5 e 0,3, respectivamente. De cada contato pode
conseguir a venda de 1 máquina por R$ 120.000,00 com probabilidade de 0,3, ou nenhuma venda com
probabilidade 0,7. Determinar o valor total esperado (médio) das vendas semanais.
4- Seja X o número de peças com defeito produzidas em um turno de determinada indústria. A
distribuição de probabilidades de X é dada por:
X 0 1 2 3 4
P (X = xi) 0,41 0,37 p 0,05 0,01
a) Qual a probabilidade de serem encontradas duas peças defeituosas neste turno?
b) Qual a probabilidade de ser encontrada no máximo uma peça defeituosa neste turno? E de serem
encontradas mais de 3 peças defeituosas?
c) Calcule o valor esperado, a variância e o desvio padrão de peças defeituosas neste turno.
5- Na produção de uma peça são empregadas duas máquinas. A primeira é utilizada para efetivamente
produzir as peças, e o custo de produção é de R$50,00 por unidade. Das peças produzidas nessa máquina,
90% são perfeitas. As peças defeituosas (produzidas na primeira máquina) são colocadas na segunda
máquina para uma tentativa de recuperação (torná-las perfeitas). Nessa segunda máquina o custo por
peça é de R$25,00, mas apenas 60% das peças são de fato recuperadas. Sabendo que cada peça perfeita
é vendida por R$90,00, e que cada peça defeituosa é vendida por R$20,00, calcule o lucro por peça
esperado pelo fabricante.
6-De acordo com uma pesquisa da American Demographics (2005), entre jovens que compram online
20% possuem um aparelho celular com acesso a internet. Em uma amostra aleatória de 200 jovens que
fazem este tipo de compra, considere X o número daqueles que possuem um telefone celular com acesso
a internet.
a) Explique porque X é uma variável aleatória Binomial. b) Qual o valor de p? Interprete este valor.
c) Qual o valor esperado de X e qual a variância de X? Interprete estes valores.
7- Suponha que a probabilidade de qualquer peça produzida por uma determinada máquina ser defei-
tuosa seja 0,2. Se 10 peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade
de não mais de uma peça defeituosa ser encontrada?
8- Um processo de produção que fabrica transistores opera, com fração de defeituosos de 2%. Todo
dia extrai-se uma amostra aleatória de 50 transistores deste processo. Se a amostra contiver mais de dois
defeituosos, o processo deve ser interrompido e a máquina regulada novamente. Qual é a probabilidade
do processo ser interrompido?
9- Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em 80% dos casos. Dentre
os que apresentam essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão submetidos à cirurgia. Determine:
(a) A probabilidade de todos serem curados. (b) A probabilidade de, ao menos, 13 ficarem livres da
doença. (c) A probabilidade de, pelo menos, 2 não serem curados. (d) A média e o coeficiente de
variação do número de pacientes curados.
10- Uma transportadora garante que consegue entregar 95% das encomendas sem nenhum dano. Em
um total de 50 entregas feitas por esta empresa, qual a probabilidade de que pelo menos 2 encomendas
tenham avarias no transporte?
11- Vinte por cento dos refrigeradores produzidos por uma empresa são defeituosos. Um comprador
adotou o seguinte procedimento: de cada lote ele testa 20 aparelhos, e se houver pelo menos 2 defeituosos
o lote é rejeitado. Admitindo-se que o comprador tenha aceitado o lote, qual a probabilidade de ter
observado exatamente um aparelho defeituoso?
12- Na indústria têxtil, uma preocupação é com o número de pequenas avarias causadas pelas má-
quinas no processo de construção do tecido, estas avarias devem ser verificadas e concertadas antes de
enviar o tecido para o estoque. Determinada máquina apresenta em média 1 defeito a cada dez metros
quadrados de tecido. Qual é a probabilidade de que em 10 metros quadrados de tecido, produzidos por
esta máquina, não ocorra nenhum defeito? Se esta máquina produz 30 metros quadrados de tecido por
dia, qual a probabilidade de serem encontrados no máximo 2 defeitos na produção diária da máquina.
13- A aplicação de um fundo anti-corrosivo em chapas de aço de 1m2 é feita mecanicamente e pode
produzir defeitos (pequenas bolhas nas pinturas) com média de 1,5 bolhas por m2. Pergunta-se a proba-
bilidade de encontrar: (a) Pelo menos um defeito por m2; (b) No máximo 2 defeitos; (c) Exatamente
um defeito em 2m2; (d) Entre 2 e 4 defeitos em 2m2; (e) Não mais de um defeito em meio m2.
14- Nas competições de arco e flecha o competidor fica atirando flechas durante 1 minuto em cada
alvo. Jhonny é competidor desta categoria e acerta em média 2 flechas por alvo.
(a) Qual a probabilidade de Jhonny acertar pelo menos uma flecha no alvo?
(b) Em determinada fase da competição, Jhonny deve atirar em 5 alvos e avança de fase se acertar pelo
menos uma flecha em 4 desses alvos. Qual é a probabilidade de Jhonny passar de fase?
15- Um certo tipo de máquina utilizada na construção civil possui diversos mini motores que funcio-
nam independentemente. Após 5 anos de uso encontra-se em média 1 destes mini motores com defeito
por máquina. Sabendo que a máquina só funciona corretamente se todos os seus mini motores estiverem
funcionando, qual é a probabilidade de uma máquina estar funcionando corretamente ao fim de 5 anos?
Se você possui 3 destas máquinas, que foram adquiridas na mesma época, qual é a probabilidade de ao
fim de 5 anos de uso você ter pelo menos 2 máquinas funcionando?
16- Um empresário tem dois eventuais compradores de seu produto, que pagam preços em função da
qualidade.
• O comprador A paga R$150,00 por peça se em uma amostra de 100 peças não encontrar nenhuma
peça defeituosa, mas paga somente R$50,00 por peça, se em uma amostra de 100 peças encontrar
uma ou mais peças defeituosas.
• O comprador B paga R$200,00 por peça desde que encontre no máximo uma peça defeituosa em
uma amostra de 120 peças, mas paga somente R$30,00 por peça, se em uma amostra de 120 peças
encontrar duas ou mais peças defeituosas.
Qual dos dois compradores deve ser escolhido pelo empresário, sabendo-se que a proporção de peças
defeituosas pode ser considerada constante e igual a 3%?
17- Suponha que em um recipiente existam 10.000 partículas. A probabilidade de que uma destas
partículas escape do recipiente é igual a 0,0004. Admitindo-se que as partículas escapam de maneiram
independente, qual a probabilidade de que mais de quatro partículas escapem?
Respostas:
2: a) 38 b) 18
3: R$ 75600,00
4: a) 0,16 b) 0,78 e 0,01 c) 0,88; 0,8456 e 0,91956
5: E[x]=R$ 34,70
6: b) p = 0, 20 c) 40 e 32
7: 0,3758
8: 0,0784
9: a) 0,0352 b) 0,3980 c) 0,8329 d) 12 e 12,9%
10: 0,7206
11: 0,8333
12: 0,3678 e 0,4232
13: a) 0,7768 b) 0,8088 c) 0,1493 d) 0,2240 e) 0,8266
14: a) 0,8646 b) 0,8611
15: 0,3679 e 0,3066
16: E[A] = R$54,98; E[B] = R$51,37 Logo deve ser escolhido o comprador A.
17: 0,3711