Lista para estudo em introdução à álgebra linear

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LISTA DE EXERCI´CIOS GEX 251 - INTRODUC¸A˜O A
A´LGEBRA LINEAR
16 de abril de 2018
1 Espac¸os Vetoriais
Questao 1. Seja V o conjunto de todos os pa-
res ordenados de nu´meros reais e considere as
operac¸o˜es de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar
definidas em u = (u1, u2) e v = (v1, v2) por
u+v = (u1 + v1 + 1, u2 + v2 + 1),
au = (au1, au2)
(a) Calcule u+v e au, com u = (0, 4),
v=(1,−3) e a = 2
(b) Calcule u+v e au, com u = (0, 1),
v=(1, 0) e a = 1
3
(c) Mostre que (0, 0) 6= 0
(d) Mostre que (−1,−1) = 0
Questao 2. No conjunto V={(x, y)|x, y ∈ R}
definimos ”adic¸a˜o” assim:
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y2, 0)
e multiplicac¸a˜o por escalares como no R2, ou
seja, para cada a ∈ R,
a(x, y) = (ax, ay).
Nessas condic¸o˜es V e´ um espac¸o vetorial de
R2 ? Por queˆ ?
Questao 3. No conjunto V do exerc´ıcio ante-
rior definimos a ”adic¸a˜o”como o fazemos habi-
tualmente no R2 e a multiplicac¸a˜o por escalares
assim :
a(x, y) = (ax, 0).
E´ enta˜o V um espac¸o vetorial sobre R Por queˆ ?
Questao 4. Em um espac¸o vetorial v, com 0¯
sendo o vetor nulo, prove que:
(a) 0v = 0¯,∀ ∈ V
(b) α0¯ = 0¯,∀ ∈ K
(c) (−1)v = −v,∀ v ∈ V
(d) Se αv = 0¯, enta˜o α = 0 ou v = 0¯
2 Sub-Espac¸os Vetoriais
Teorema
Se W e´ um conjunto de um mais ve-
tores de um espac¸o vetorial V, enta˜o
W e´ um subespac¸o de V se, e somente
se, valem as seguintes condic¸o˜es :
a) Se u e v sa˜o vetores em W, enta˜o
u+v esta´ em W;
b) Se k e´ um escalar qualquer e u um
vetor qualquer em W, enta˜o ku esta´
em W.
Questao 1. Use a definic¸a˜o de para determi-
nar se os conjuntos sa˜o subespac¸os de R2
(a) Todos os vetores da forma (a, 3a)
(b) Todos os vetores da foram (a, b)
com b = 1− a
Questao 2. Use a definic¸a˜o de para determi-
nar se os conjuntos sa˜o subespac¸os de R3
(a) Todos os vetores da forma (b, 1, 1)
(b) Todos os vetores da forma (a, b, c) com
b = a+ c+ 1
(c) Todos os vetores da forma (a, b, c) com
b = a+ c
Questao 3. Use a definic¸a˜o de para determi-
nar se os conjuntos sa˜o subespac¸os de M22
1
(a) Todas as matrizes 2x2 com entradas in-
teiras
(b) Todas as matrizes da forma :
A =
[
a b
0 c
]
Questao 4. Seja F = (x,R) = {F : x → R,
F e´ uma func¸a˜o}, x 6= 0. com a soma e multi-
plicac¸a˜o por escalar usual. Prove que:
(a) F = (x,R) e´ um espac¸o vetorial.
(b) W = {F ∈ f/f ′ existe} e´ um sub-espac¸o
de F .
(c) S = {F ∈ f/ ∫ f(x)dx existe} e´ um sub-
espac¸o de F .
3 Combinac¸a˜o linear
Teorema
Dizemos que um vetor w e´ uma
combinac¸a˜o linear dos vetores
v1, v2 · · · , vr se w pode ser escrito na
forma:
w = k1v1 + k2v2 + krvr
onde k1,+k2 · · · , kr sa˜o escalares.
Questao 1. Considere os vetores u=(1, 2,−1)
e v = (6, 4, 2) em R3. Mostre que w=(9, 2, 7)
e´ uma combinac¸a˜o linear de u e v e que
w’=(4,−1, 8) na˜o e´ uma combinac¸a˜o linear de
u e v.
Questao 2. Quais dos seguintes sa˜o com-
binac¸o˜es lineares de u = (0,−2, 2) e v =
(1, 3,−1) ?
(a) (2, 2, 2) (b) (3, 1, 5) (c) (0, 4, 5) (d) (0, 0, 0)
Questao 3. Qualquer elemento v = (a, b, c)
∈ R3 e´ combinac¸a˜o linear dos vetores
canoˆnicos de R3, i = (1, 0, 0), j =(0, 1, 0) e k
=(0, 0, 1).
Questao 4. O elemento v=(2, 4,−3) ∈ R3 e´
combinac¸a˜o linear dos elementos z = (1, 0, 0),
x = (0,−1, 0), c = (0, 0, 2).
Questao 5. Quais dos seguintes sa˜o com-
binac¸o˜es lineares de :
A =
[
4 0
−2 −2
]
B =
[
1 −1
2 3
]
C =
[
0 2
1 4
]
(a)
[
6 −8
−1 −8
]
(b)
[
0 0
0 0
]
(c)
[
6 0
3 8
]
(d)
[−1 5
7 1
]
Questao 6. Considere v1 = 1, v2 = cos
2 t e
v3 = cos 2t ∈ f(x,R). Mostre que v3 e´ uma
combinac¸a˜o linear de v1 e v2.
4 Geradores
Questao 1. Em cada parte, determine se os
vetores dados geram R3.
(a) v1=(2, 2, 2), v2=(0, 0, 3), v3=(0, 1, 1)
(b) v1=(3, 1, 4), v2=(2,−3, 5), v3=(5,−2, 9),
v4=(1, 4,−1)
Questao 2. Sejam :
v1=(2, 1, 0, 3),v2=(3,−1, 5, 2),
v3=(−1, 0, 2, 1).
Em cada parte, verifique se o vetor esta´ em
ger{v1, v2, v3}.
(a) (2, 3,−7, 3)
(b) (0, 0, 0, 0)
Questao 3. Encontre conjuntos geradores
para os seguintes subespac¸os:
(a) (a, b, c) ∈ R3|3a− 5b+ 2c = 0
(b) A ∈M22|3a11 = 2a12
(c) p ∈ P3|p(2) = 0
2
5 Dependeˆncia Linear
Questao 1. Quais dos conjuntos de vetores
em R3 sa˜o linearmente dependentes ?
(a) (4,−1, 2), (−4, 10, 2)
(b) (8,−1, 3), (4, 0, 1)
(c) (3, 0, 4), (5,−1, 2), (1, 1, 3)
(d) (−2, 0, 1), (3, 2, 5), (6,−1, 1), (7, 0, 2)
Questao 2. Verifique se o vetor nulo { #»0 } de
R3 e´ L.D.
Questao 3. Verifique a dependeˆncia linear
dos vetores canoˆnicos de R3{ #»i , #»j , #»k }.
Questao 4. Use o wronskiano para mostrar
que os seguintes conjunto de vetores sa˜o line-
armente independentes.
(a) 1, x, ex (c) sen(x), cos(x), x sen(x)
(b) 1, x, x2 (d) ex, xex, x2ex
Questao 5. Mostre que {2, t+1, t2+1, ..., tn+
1, ...} e´ um conjunto de polinoˆmios linearmente
independente.
6 Base
Se V e´ um espac¸o vetorial qualquer
de S = {v1, v2 · · · , vn} e´ um conjunto
de vetores V, dizemos que S e´ uma
base de V se valerem as seguintes
condic¸o˜es:
1. S e´ linearmente independente.
2. S gera V.
Questao 1. Sejam v1=(1, 2, 1), v2=(2, 9, 0),
v3=(3, 3, 4). Mostre que o conjunto
S=(v1, v2, v3) e´ uma base de R
3.
Questao 2. Quais dos seguintes conjuntos de
vetores sa˜o bases de R2 ?
(a) (2, 1),(3, 0) (c)(0, 0), (1, 3)
(b) (0, 0), (1, 3) (d)(3, 9), (−4,−12)
Questao 3. Demonstre que a matriz canoˆnica
e´ uma base do espac¸o vetorial M22
Questao 4. Mostre que o conjunto de vetores
dados e´ uma base de M22[
3 6
3 −6
] [
0 −1
−1 0
] [
0 −8
−12 −4
] [
1 0
−1 2
]
Questao 5. Encontre o vetor de coordenadas
de v em relac¸a˜o a base S={v1, v2, v3}.
(a) v = (2,−1, 3); v1 = (1, 0, 0),v2 = (2, 2, 0),
v3 = (3, 3, 3)
(b) v=(5,−12, 3); v1=(1, 2, 3),v2 = (−4, 5, 6),
v3 = (7,−8, 9)
Questao 6. Dar uma base e a dimensa˜o do
sub-espac¸o W de R4 onde W = {(x, y, z, t) ∈
R4|x− y = y e x− 3y + t = 0}
Questao 7. Mostrar que os polinoˆmios
1, 1 + t, 1 − t2 e 1 − t − t2 − t3 formam uma
base de P3(R).
3
	Espaços Vetoriais
	Sub-Espaços Vetoriais
	Combinação linear
	Geradores
	Dependência Linear
	Base