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Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 1 UNIDADE 1 POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO POTENCIAÇÃO Definição Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Sendo a R e a 0 e m Z. Tem-se que: a m = a. a. a. a. a..... a. m fatores Casos Particulares a 0 = 1 para a 0 a 1 = a a -n = 1 a n Propriedades Se a e b são números reais e m e n, números inteiros, tem-se: am.an = am + n a a a m n m n (am)n = am.n (a.b)n = an.bn a b a b n n n Potência de base 10 Sabe-se que: 10 0 = 1 10 1 = 10 10 2 = 100 10 3 = 1000 Então 10 n = 100...........00 n zeros Observe ainda que: 10-1 = 10 1 = 0,1 10 -2 = 210 1 = 0,01 10 -3 = 310 1 = 0,001 Então 10 –n = 0,000.............001 n casas decimais RADICIAÇÃO Definição b é a raiz n-ésima de a, se b n = a. Representação n a = b b n = a Nomenclatura Em n a = b, temos: n é o índice a é o radicando b é a raiz Condição de existência Em n a , se n for par, então é necessário que a seja maior ou igual a zero. Se n for ímpar então n a sempre existe. Propriedades n.m a n m a n.p m.p a n m a n m a mn a n b a n b n a n a.bn b.n a nmn m aa Racionalização de denominadores Dada uma fração com denominador contendo radical, racionalizar o denominador é um processo no qual se obtém uma fração equivalente a primeira sem, no entanto, com o radical no denominador. 1º CASO: O denominador é do tipo n ma Neste caso, multiplica-se numerador e denominador pelo fator: n mna . 2º CASO: O denominador é do tipo ba Neste caso, multiplica-se numerador e denominador Pelo fator: ba Matemática B Inclusão para a Vida Pré-Vestibular da UFSC 2 Exercícios de Sala 1. Calcule: a) 2 4 b) – 24 c) (– 2)4 d) 1 7 e) 0 3 f) 214 0 g) 3 -2 h) 4 3 2 2. Transforme cada expressão em uma única potência de base 3. a) 3 7 . 3 -5 . 3 6 = b) 3 3 5 3. 2 3 = c) (3 4 ) 2 = d) 243 = 3. Calcule: a) 25,0 b) 01,0 c) 3 125 d) 3 64 e) 2 4 9 f) 242223250 4. Racionalize: a) 2 3 b) 5 5 c) 5 2 3 d) 35 2 Tarefa Mínima 1. Determine o valor das expressões: a) 3 4 b) – 34 c) (– 3)4 d) 1 201 e) 0 80 f) 500 0 g) 4 -2 h) 3 2 5 i) 2 4 + 1 201 + 0 3 + 4 0 j) 4 2 3 ) 2 (2 4 2)( k) 12 2 3 3 2 2. Transforme cada expressão em uma única potência de base 2. a) 25.23.27 b) 4 2.)2( 2323 3. Sendo A = 2100, obtenha: a) sucessor de A b) o dobro de A c) quádruplo de A d) quadrado de A e) metade de A f) raiz quadrada de A 4. Usando a definição, calcule o valor de cada uma das raízes: a) 4 625 b) 5 32 c) 5 0 d) 3 1 e) 16 81 f) 3 125,0 5. Racionalize: a) 2 5 b) 3 6 c) 3 5 2 d) 23 5 Tarefa Complementar 6. O valor da expressão 01,0 )1,0.(100 3 é equivalente a: a) 10 2 b) 10 3 c) 10 4 d) 10 5 e) 10 7. Assinale a soma dos números associados às proposições corretas: 01. O número 573 é equivalente a 5,73. 10 2 02. O valor da expressão 5.10 8 . 4.10 -2 é 2.10 7 04. Se n é par, então a expressão (– 1)2n + (– 1)2n + 1 é zero. 08. A metade de 4 8 + 8 4 é 17.2 11 8. (Fuvest-SP) Qual desses números é igual a 0,064? 2 2 3 2 3 1 1 2 1 8 a) b) c) d) e) 80 8 5 800 10 9. (FGV-SP) Qual o valor da expressão , ..... ..... 1123 214212 bababa bababa quando a = 10 3 e b = 10 2 a) 10 6 b) 10 2 c) 10 3 d) 10 9 e) 10 7 10. (FGV-SP) Simplificando a expressão 12 124 22 222 nn nnn temos: 3 34 d 3 82 c 4 87 b 4 3 a )))) 11. (Cesgranrio) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998, então (abc) 12 vale: a) 99 12 b) 99 21/2 c) 99 28 d) 99 88 e) 99 99 12. Determine a soma dos números associados às proposições corretas: Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 3 01. A expressão 5 802045 é equivalente a 153 02. O valor de 42222 é 2 04. O valor de 2131 168 é 4 08. Racionalizando 2 4 obtém-se 2 2 16. A expressão 3 5 5 3 é igual a 15 158 13. Calculando 35 1213 2:2 33 , acha-se: a) 32 b) 34 c) 36 d) 38 e) n.d.a. 14. (UEL-PR) A expressão 1 22 1 22 1 é equivalente a: a) – 1 b) 2 – 2 c) 2 + 2 d) 2 – 1 e) 2 + 1 15. (UEL-PR) Seja o número real x = 15 522203500 . Escrevendo x na forma x = a + b c , tem-se que a + b + c é igual a: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 UNIDADE 2 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Considere o triângulo retângulo ABC Nesse triângulo podemos destacar os seguintes elementos: ___ AB e AC ____ são os catetos ___ BC é a hipotenusa C e B são os ângulos agudos Pelo teorema angular de Thales prova-se que os ângulos agudos são complementares, ou seja, C B = 90º RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS: SENO: seno de um ângulo agudo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e a hipotenusa. CO-SENO: co-seno de um ângulo é o quociente entre o cateto adjacente ao ângulo e a hipotenusa. TANGENTE: tangente de um ângulo é o quociente entre o cateto oposto ao ângulo e o cateto adjacente. Sendo assim, temos que: sen = a b cos = a c tg = c b Observação: Se + = 90° tem-se que sen = cos Tabela de arcos notáveis Observe o triângulo equilátero. Traçando uma de suas alturas, dividimos o triângulo em dois triângulos retângulos congruentes. Observe, agora, o quadrado. Nele traçamos a diagonal e obtemos dois triângulos retângulos isósceles. Em resumo, temos: Matemática B Inclusãopara a Vida Pré-Vestibular da UFSC 4 Exercícios de Sala 1. (FUVEST) Obter o valor de x na figura: 2. No triângulo ABC, o valor do ângulo , em graus, é: a) 60° b) 45° c) 30° d) 90° e) n.d.a. 3. (UFSC) Dois pescadores P1 e P2 estão na beira de m rio de margens paralelas e conseguem ver um bote B na outra margem. Sabendo que P1P2 = 63 m, os ângulos P1P2 = e BP2P1 = e que tg = 2 e tg = 4, a distância entre as margens (em metros) é: Tarefa Mínima 1. Nas figuras abaixo, determinar o valor de x a) 30° X 12 b) 60° X 6 c) 45° x 5 2. Na cidade de pisa, situada na Itália, está localizada a Torre de Pisa, um dos monumentos mais famosos do mundo. Atualmente a torre faz, na sua inclinação, um ângulo de 74º com o solo. Quando o sol está bem em cima da torre (a pino) ela projeta uma sombra de 15 m de comprimento. A que distância se encontra o ponto mais alto da torre em relação ao solo? (dados: sen 74º = 0,96 cos 74º = 0,28 tg74º = 3,4) a) 55 metros b) 15 metros c) 45 metros d) 42 metros e) 51 metros 3. (UFSC) Num vão entre duas paredes, deve-se construir uma rampa que vai da parte inferior de uma parede até o topo da outra. Sabendo-se que a altura das paredes é de 4 3 m e o vão entre elas é de 12m, determine o ângulo, em graus, que a rampa formará com o solo. 4. Na figura abaixo, determinar o valor de x e y. Tarefa Complementar 5. Com base na figura abaixo é correto afirmar: 01. h = 2 m 02. h = 3 m 04. a = (1 + 3 ) m 08. O triângulo ACD é isósceles Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 5 16. O lado ____ AC mede 6m 6. Um barco navega seguindo uma trajetória retilínea e paralela à costa. Num certo momento, um coqueiro situado na praia é visto do barco segundo um ângulo de 20º com sua trajetória. Navegando mais 500 m, o coqueiro fica posicionado na linha perpendicular à trajetória do barco. Qual é a distância do barco à costa? (sen 20º = 0,34; cos 20 = 0,93; tg 20º = 0,36) 7. Determine o valor de x e y na figura abaixo: 8. (Unicamp-SP) Uma pessoa de 1,65 m de altura observa o topo de um edifício conforme o esquema abaixo. Para sabermos a altura do prédio, devemos somar 1,65m a: a) b cos b) a cos c) a sen d) b tg e) b sen 9. (UEPG-PR) Na figura abaixo, em que o ponto B localiza-se a leste de A, a distância ___ AB = 5 km. Neste momento, um barco passa pelo ponto C, a norte de B, e leva meia hora para atingir o ponto D. A partir destes dados, assinale o que for correto. 01. ___ AC = 10km 02. ___AD = 2,5 km 04. ____ BC = 5 3 km 08. O ângulo DAB ˆ mede 60° 16. A velocidade média do barco é de 15km/h 10. (UFSC) Na figura, abaixo, determine o valor de x 30° 60° A B CD AD = x DC= x - 38 BD = y UNIDADE 3 TEOREMA DOS CO-SENOS Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas destes lados pelo co-seno do ângulo formado por eles. TEOREMA DOS SENOS Num triângulo qualquer, os lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos. A razão de proporção é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. Exercícios de Sala 1. Determine o valor de x na figura abaixo: 2. (FUVEST) Em um triângulo ABC, AB = 4 2 e o ângulo C oposto ao lado AB mede 45°. Determine o raio da circunferência que circunscreve o triângulo 3. Determine o valor de x na figura abaixo 4. Determine o valor da diagonal BD do paralelogramo abaixo, é: Matemática B Inclusão para a Vida Pré-Vestibular da UFSC 6 Tarefa Mínima 1. Determine o valor de x na figura abaixo: 2. (UFSC) Na figura, a medida do lado AC é 75 2 cm. A medida, em cm, do lado AB será: A B C 45° 30° 3. O triângulo ABC está inscrito na circunferência de centro O e raio R. Dado que AC = 2 3 cm, determine a soma dos números associados às proposições verdadeiras: 75° 60° O A B C 01. O triângulo ABC é equilátero 02. o raio da circunferência vale 2cm 04. ___AB = 2 2 cm 08. O comprimento da circunferência é 4 cm 4. (PUC-SP) Dois lados consecutivos de um paralelogramo medem 3 2 cm e 5cm e formam um ângulo de 45°. Podemos afirmar que a diagonal menor, em centímetros, mede: a) 4 b) 11 c) 3 d) 13 e) 4 2 5. (FUVEST) Um triângulo T tem os lados iguais a 4, 5 e 6. O co-seno do maior ângulo de T é: a) 5/6 b) 4/5 c) 3/4 d) 2/3 e) 1/8 Tarefa Complementar 6. (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem respectivamente 8cm e 6cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30°. O seno do ângulo B vale: a) ½ b) 2/3 c) 3/4 d) 4/5 e) 5/6 7. (FUVEST-SP) Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC; seu lado ___ BC é igual ao raio da circunferência. O ângulo B Aˆ C mede: a) 15° b) 30° c) 36° d) 45° e) 60° 8. (ITA-SP) Um navio, navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C. O comandante, quando o navio está em A, observa o farol L e mede o ângulo L Aˆ C = 30°. Após navegar 4 milhas até B, verifica o ângulo L Bˆ C = 75°. Quantas milhas separam o farol do ponto B? a) 2 2 b) 3 c) 2 3 d) 3 2 e) 4 2 9. Num triângulo ABC, AB = 5cm, AC = 7cm e BC = cm. Calcule o comprimento da mediana relativa ao lado BC. 10. (FUVEST) No quadrilátero dado a seguir, BC = CD = 3cm, AB = 2cm, A Dˆ C = 60° e A Bˆ C = 90°. A B D C O perímetro do quadrilátero, em cm, é: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15 Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 7 UNIDADE 4 e 5 INTRODUÇÃO À CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA ARCO DE UMA CIRCUNFERÊNCIA Arco de uma circunferência é cada uma das partes que ficam divididas uma circunferência por dois quaisquer de seus pontos. A cada arco corresponde um ângulo central (ângulo que possui vértice no centro da circunferência). Para medir arcos e ângulos usaremos o grau e o radiano. Graus: Um arco de um grau (1º) é aquele cujo comprimento é igual a 1 360 do comprimento da circunferência. Logo, a circunferência tem 360º. Os Submúltiplos do Grau são os minutos e segundos: 1º = 60' 1'= 60'' Radiano: Um radiano é um arco cuja medida é igual ao raio da circunferência onde está contido. Uma circunferência de raio unitário possui 2 radianos. Pode-se, então, estabelecer uma relação entre graus e radianos. 360º 2 rad Portanto: 180º rad CICLO TRIGONOMÉTRICO Quando numa circunferência de raio unitário se estabelece um sentido de deslocamento, diz-se que se define o ciclo trigonométrico.Os eixos x e y dividem o ciclo em quatro partes denominadas quadrantes. ORIENTAÇÃO Negativo Horário Positivo Horário Anti ARCOS CÔNGRUOS Dois ou mais arcos são côngruos quando a diferença entre seus valores é um múltiplo de 360º. Exemplo: 1) 30º, 390º, 750º, 1110.......... Veja que esses arcos possuem a mesma extremidade e diferem apenas no número de voltas. A expressão x = 30º + 360º . k, com k Z, é denominada expressão geral do arco de 30º, onde 30º é a primeira determinação positiva. A expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: + k . 360º, com k Z. Se um arco mede radianos, a expressão geral dos arcos côngruos a ele é dada por: + k . 2 , com k Z. SENO e CO-SENO DE UM ARCO DEFINIÇÃO Considere o arco que possui extremidades na origem do ciclo trigonométrico e no ponto M o qual corresponde o ângulo central . Matemática B Inclusão para a Vida Pré-Vestibular da UFSC 8 Denomina-se sen a projeção do raio OM, pela extremidade M do arco sobre o eixo y. Denomina-se cos a projeção do raio OM, sobre o eixo x. 2. Sinais TABELA Note que: – 1 sen 1 e – 1 cos 1 OBSERVAÇÃO: Com o auxílio da simetria de arcos é possível determinar os valores de seno e co-seno de arcos do 2º, 3º e 4º quadrantes. Equações trigonométricas num intervalo dado: Equações Trigonométricas são aquelas que envolvem as funções Trigonométricas em seus membros. São exemplos de equações trigonométricas: 1) sen x = 1 2) 2cos 2 x + 3cos x - 2 = 0 Não é possível estabelecer um método para resolver todas as equações trigonométricas, pois, existe uma infinidade delas. Para isso apresentaremos alguns tipos básicos: sen x = sen a x a k x a k 2 2 (congruos) (suplementares) cos x = cos a x a k a k 2 2 (congruos) x (suplementares) Exercícios de Sala 1. Expresse em radianos os seguintes arcos: a) 300º b) 60º c) 12º 2. Um arco de 200° equivale em radianos a: a) 3 2 b) 2 5 c) 4 d) 9 10 e) 6 Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 9 3. Calcule a 1ª determinação positiva e escreva a expressão geral dos arcos côngruos a: a) 930º b) 23 6 rad 4. Determine o valor de: a) sen 150° b) cos 150° c) sen 210° d) cos 210° e) sen 330° f) cos 330° 5. Para que valores de m a equação cos x = 2m – 5 admite solução. a) - 1 m 1 b) - 2 m 5 c) 2 m 3 d) 2 < m < 3 e) 1 < m < 2 Tarefa Mínima 1. Obter a medida em graus dos seguintes arcos: a) 3 2 b) 6 2. (UFMG) Transformando 7º30' em radianos, teremos: a) /24 b) /25 c) /30 d) 3 /25 e) 5 /32 3. Determine o valor da expressão 180cos0sen 270sen.180cos0cos.90sen 22 4. Se sen x > 0 e cos x < 0, então x é um arco do: a) 1º quadrante b) 2º quadrante c) 3º quadrante d) 4º quadrante e) n.d.a. 5. A equação sen x = 2m – 5 admite solução para: a) 2 m 3 b) 1 m 4 c) -1 m 1 d) 2 < m < 3 e) 0 m 1 6. Resolver, no intervalo 0 x < 2 , as seguintes equações: a) sen x = 1 b) cos x = 0 c) sen x = 2 1 d) cos x = 2 2 7. Sabendo que 0 x < 2 , o conjunto solução da equação: sen 2 x 3sen x 4 = 0 é: a) {90º} b) {-90º} c) {270º} d) {180º} e) {30º} Tarefa Complementar 8. (Mack-SP) A menor determinação positiva de 4900º é: a) 100° b) 140º c) 40º d) 80º e) n.d.a. 9. (UFPA) Qual a 1ª determinação positiva de um arco de 1000º? a) 270º b) 280º c) 290º d) 300º e) 310º 10. (SANTO AMARO-SP) Às 9 horas e 10 minutos, o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio é: a) 135º b) 140º c) 145º d) 150º e) n.d.a. 11. (UFPR) O maior ângulo formado entre os ponteiros de um relógio, às 23h45min, vale: a) 189º30' b) 277º30' c) 270º d) 254º45' e) 277º50' 12. (UFSC) O maior valor numérico que y pode assumir quando y 37 2senx 3 , é: 13. (UFPA) O menor valor positivo que satisfaz a equação 2 sen x = 1 é: a) /6 b) /4 c) /3 d) /2 e) n.d.a. Matemática B Inclusão para a Vida Pré-Vestibular da UFSC 10 14. (UM-SP) O menor valor positivo de x para o qual 9 - cos x = 1 3 é: 2 6 4 3 2 3 a) b) c) d) e) 15. Determinar o número de soluções da equação 2sen x cos x = sen x no intervalo 0 x < 2 . UNIDADE 6 RELAÇÕES FUNDAMENTAL DA TRIGONOMETRIA sen2 + cos2 = 1 (Relação Fundamental) A relação acima também vale para arcos com extremidades fora do primeiro quadrante. Exemplos: sen 2 30° + cos 2 30° = 1 sen 2 130° + cos 2 130° = 1 Convém lembrar que se + = 90°, sen = cos . Logo, vale também relações do tipo: sen 2 50° + sen 2 40° = 1 sen 2 10° + sen 2 80° = 1 TANGENTE DE UM ARCO DEFINIÇÃO Associa-se a circunferência trigonométrica mais um eixo, a reta t, que tangencia a circunferência no ponto P de coordenadas (1,0). Define-se como tangente do arco PM ao segmento PQ determinado sobre o eixo das tangentes. SINAIS TABELA EQUAÇÃO TRIGONOMÉTRICA tg x = tg a x a k2 Exercícios de Sala 1. Sabendo que sen x = 3 2 e que x 2 , calcule cos x: 2. (FCChagas-BA) As sentenças sen x = a e cos x = 2 a 1 são verdadeiras para todo x real, se e somente se: a) a = 5 ou a = 1 b) a = -5 ou a = -1 c) a = 5 ou a = 1 d) a = 1 e) n.d.a. Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 11 3. Resolver no intervalo 0 x < 2 , a equação 2cos 2 x = – 3sen x 4. Determina o valor de: a) tg 120° b) tg 210° c) tg 330° 5. Resolva no intervalo 0 x < 2 as seguintes equações: a) tg x = 3 3 b) tg 2 x – 1 = 0 Tarefa Mínima 1. No intervalo 2 2 3 x se sen x = 3 1 , calcule cos x. 2. (UFSC) O valor, em graus, do arco x 0 2 x na equação: 1 cos 2 x + sen x = 0 é: 3. O valor de tg 315° + tg 225° é 4. (UFSC) Considere o ângulo x = 1215°. Determine |tg x | 5. Resolva as seguintes equações no intervalo 0 x < 2 a) tg x = 3 b) tg2x + tg x = 0 Tarefa Complementar 6. Determine m de modo que se obtenham simultaneamente, sen x = m e cos x = m33 7. No intervalo 0 x < 2 , determine o número de soluções para a equação 2cos 2 x = 5 – 5sen x. 8. (FURG-RS) O valor numérico da função f(x) = sen2x – tg x + 2cos 3x para x = 4 3 é: 9. (PUC-RS) O valor numérico de x x tg x cos34 3 2 2 sen para x = 3 é: a) 5/2 b) 5/3 c) 3/2 d) 2/5 e) 0 10. No intervalo 0 x < 2 , a equação 3 tg 2 x + tg x = 0 possui quantas soluções? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 UNIDADE 7 RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS sen2 x + cos2 x = 1 (Relação Fundamental) As demais Relações Trigonométricas com as condições de existência obedecidas são: tg x = sen x cos x cotg x = 1 tg x sec x = 1 cos x cossec x = x sen 1 A partir da relação sen 2 x + cos 2 x = 1 podemos estabelecer duas relações derivadas. Dividindo a Relação Fundamental por sen 2 x temos: 1 + cotg 2 x = cossec 2 x E dividindo a Relação Fundamental por cos 2 x temos: tg 2 x + 1 = sec 2 x Sinais das Funções Trigonométricas 1°Q 2°Q 3°Q 4°Q seno e cossecante + + cosseno e secante + + tangente e cotangente + + Exercícios de Sala 1. Determine o valor de: a) cossec 30° b) sec 30° c) cotg 30° d) cossec 210° e) sec 315° f) cotg 300° 2. Sendo sen = 5 4 e 2 2 3 , calcular: a) cos b) tg c) cotg d) sec e) cosec Matemática B Inclusão para a Vida Pré-Vestibular da UFSC 12 Tarefa Mínima 1. Determine o valor de: a) sec 60 o b) cossec 150 o c) cotg 315 o 2. (Faap-SP)Se sen x = 3/5, com x 4º quadrante, então tg x é: a) 3/4 b) 1/2 c) 4/5 d) 3/4 e) 4/5 3. ( UFSC ) Dados sen x = 3 5 e 2 x , determine o valor de: 32 tg x + 1 4. ( FGV-SP ) Simplificando-se a expressão sena tga coseca cosa cotga seca , obtém-se: a) 0 b) sec 2 a c) sen 2 a d) 1 e) tg 2 a Tarefa Complementar 5. (UFSC)Sabendo que cossec x = 5/4 e x é do primeiro quadrante, então o valor da expressão 9.(sec 2 x + tg 2 x) é: 6. (UFSC) Calcule o valor numérico da expressão: sen30 cos120 cosec150 cotg330 sec300 tg60 cotg225 7. (UFCE) Para todo x 1º quadrante, a expressão (sec x - tg x)(sec x + tg x) sen 2 x é igual a: a) cos 2 x b) 1 + sen 2 x c) cos x - sen x d) sec x + cos x e) n.d.a. 8. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). 01. A medida em radianos de um arco de 225º é 6 11π rad. 02. A menor determinação positiva de um arco de 1000° é 280°. 04. Os valores de m, de modo que a expressão sen x = 2m – 5 exista, estão no intervalo [2,3]. 08. sen x > cos x para 44 x . 16. Se tg x = 4 3 e x 2 3 , então o valor de sen x – cos x é igual a 5 1 . 32. Se sen x 0, então cosec x 0. 64. A solução da equação 2sen 2 x + 3sen x = 2 para 0 x 2 é x = 6 ou x = 6 5 . 9. (UFSC) Dado sen x = 3 5 e x 0 2 , calcule o valor numérico da expressão: sec x cotgx cosecx tgx 6 senx cosec x 2 2 1 10. (FATEC) Se x e y são números reais tais que y = xxtgx xtgee xx sec.sec 2 4 , então: a) y = e x b) y = e x (1 + tg x) c) y = x ex cos d) y = x ex sec e) n.d.a. UNIDADES 8 e 9 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO O sistema cartesiano ortogonal, como já vimos em funções, é composto por duas retas x e y perpendiculares entre si, no ponto O (origem). A reta x é denominada eixo das abscissas, e a reta y é denominada eixo das ordenadas. Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes numerados no sentido anti- horário. A cada ponto do plano cartesiano está associado um par ordenado (x, y). Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 13 Dizemos que (xp, yp) são as coordenadas do ponto P, onde o número real xp é chamado abscissa do ponto e o número real yp é chamado ordenada do ponto. OBSERVAÇÕES Se um ponto pertence ao eixo das abscissas, então sua ordenada é nula. P (xp, 0) Se um ponto pertence ao eixo das ordenadas, então sua abscissa é nula. P (0, yp) Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, então suas coordenadas são iguais xp = yp Se um ponto P pertence à bissetriz dos quadrantes pares, então suas coordenadas são simétricas. xp = - yp DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) no plano cartesiano, a distância entre eles pode ser calculada em função de suas coordenadas. Observe a figura abaixo: O triângulo ABC é retângulo em C, então: AB AC BC2 2 2 Daí vem a fórmula que calcula a distância entre dois pontos: d x x y yAB B A B A 2 2 PONTO MÉDIO DE UM SEGMENTO Considere um segmento AB de extremidades A(xA, yA) e B(xB, yB). Encontrar as coordenadas do ponto Médio M(xM, yM) é encontrar a média aritmética entre as coordenadas de A e B. Observe a figura: Pelo teorema de Tales temos que AM = MB, logo, no eixo x tem-se: xM xA = xB xM x x x M A B 2 no eixo y tem-se: yM yA = yB yM y y y M A B 2 Dessa forma as coordenadas do Ponto Médio terão as seguintes coordenadas: M x x y yA B A B 2 2 ÁREA DE UM TRIÂNGULO CONHECENDO AS COORDENADAS DO VÉRTICE Considere o triângulo abaixo: y x yC xA B yA xB A yB xC C Quando conhecemos as coordenadas dos vértices A, B e C podemos demonstrar que a área desse triângulo é dada por: A = 1 1 1 . 2 1 CC BB AA yx yx yx OBSERVAÇÕES: O determinante x y x y x y A A B B C C 1 1 1 foi tomado em módulo, pois a área é indicada por um número positivo. Se o determinante x y x y x y A A B B C C 1 1 1 for nulo, dizemos que os pontos estão alinhados. Exercícios de Sala 1. Dados os pontos A(3, 6) e B(8, 18), determine: a) distância entre A e B b) Ponto Médio do segmento AB Matemática B Inclusão para a Vida Pré-Vestibular da UFSC 14 2. Sabe-se que o ponto P(a,2) é eqüidistante dos pontos A(3,1) e B(2,4). Calcule a abscissa a do ponto P. 3. Considere o triângulo de vértices A(6,8); B(2,3); C(4,5). O valor da medida da mediana AM do triângulo ABC é: a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 c) 7 4. Os pontos A(2, 4), B(-6, 2) e C(0, -2) são os vértices de um triângulo ABC. Calcule a área desse triângulo. Tarefa Mínima 1. (Mack-SP) Identifique a sentença falsa: a) o ponto (0,2) pertence ao eixo y. b) o ponto (4,0) pertence ao eixo x. c) o ponto (500,500) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. d) o ponto (80,-80) pertence à bissetriz dos quadrantes pares. e) o ponto ( 3 + 1, 3 + 1) pertence à bissetriz dosquadrantes pares. 2. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale: 3. (UFRGS) A distância entre os pontos A(-2,y) e B (6,7) é 10. O valor de y é: a) -1 b) 0 c) 1 ou 13 d) -1 ou 10 e) 2 ou 12 4. ( Cescea-SP ) O ponto do eixo das abscissas, eqüidistantes dos pontos P(-2,2) e Q(2,6), é: a) A(2,0) b) B(5,0) c) C(3,0) d) D(0,2) e) E(4,0) 5. Calcular a área do triângulo ABC. Dados: A(8, 3); B(4, 7) e C(2, 1) Tarefa Complementar 6. (UFSC) Dados os pontos A(-1,-1); B(5,-7) e C(x,2), determine x sabendo que o ponto C é eqüidistante dos pontos A e B. 7. (FCC-BA) O triângulo cujos vértices são os pontos (1,3), (-2,-1) e (1, -2) é: a) eqüilátero b) escaleno c) isósceles d) retângulo e) n.d.a. 8. (PUC-SP) Dados A(4,5), B(1,1) e C(x,4), o valor em módulo de x para que o triângulo ABC seja retângulo em B é: 9. (UFJF-MG) Se (2,1), (3,3) e (6,2) são os pontos médios dos lados de um triângulo, quais são os seus vértices? a) (-1,2), (5,0), (7,4) b) (2,2), (2,0), (4,4) c) (1,1), (3,1), (5,5) d) (3,1), (1,1), (3,5) 10. (UCP-RJ) A distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de extremos (-2,-7) e (-4,1) é: a) 3 b) 2 c) -3 d) 1 e) 3 2 11. (Mack-SP) A área de um triângulo é 25/2 e os seus vértices são (0,1), (2,4) e (-7,k). O valor de k pode ser: a) 3 b) 2,5 c) 2 d) 4 e) 5 12. A área do polígono, cujos vértices consecutivos são: A(10,4), B(9,7), C(6,10), D(-2,-4) e E(3,-5) em unidades de área, é: UNIDADE 10 ESTUDO DA RETA Pode-se associar a cada reta no plano cartesiano uma equação. Com tal equação podemos determinar se um ponto pertence ou não a uma reta. Dois tipos de equação merecem destaque: A Equação Geral A Equação Reduzida EQUAÇÃO GERAL DA RETA A Equação Geral da reta pode ser obtida pela condição de alinhamento de 3 pontos. Sejam A(xA, yA), B(xB, yB) e um ponto genérico P(x, y). A, B e P estão alinhados se e só se: x y x y x y A A B B 1 1 1 0 Desenvolvendo 0 1 1 1 BB AA yx yx yx temos: x . yA + xA . yB + y . xB yA . xB x . yB y . xA = 0 (yA yB) x + (xB xA) y + xAyB xByA = 0 a b c Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 15 Logo: ax + by + c = 0 equação geral da reta. 2. Equação Reduzida da Reta Pode-se obter a equação reduzida da reta se isolando na equação geral y. Veja: ax + by + c = 0 by = ax c y a b c b substituindo a b por m e c b por n temos: y = mx + n Equação Reduzida da Reta No qual o coeficiente m é denominado coeficiente angular da reta, e n o coeficiente linear da reta. 3. Coeficiente Angular e Linear da Reta Vamos considerar a equação y = mx + n. Sabemos que m é o coeficiente angular da reta e n, o coeficiente linear da reta. Vejamos, agora, o significado geométrico deles. COEFICIENTE LINEAR O coeficiente linear vai indicar o ponto em que a reta corta o eixo y. COEFICIENTE ANGULAR Define-se como coeficiente angular da reta a tangente do ângulo , onde indica a inclinação da reta em relação ao eixo x. m = tg ou A x B x A y B y m CASOS PARTICULARES Quando a reta é paralela ao eixo x o ângulo é igual a 0, logo, o coeficiente angular será nulo, pois tg 0º = 0. Quando a reta é paralela ao eixo y o ângulo é igual a 90º, logo, o coeficiente angular não existe, pois tg 90º não é definido. 4. Equação do Feixe de Retas Pode-se conhecer a equação de uma reta r, quando é dado um ponto Q(xo, yo) e o coeficiente angular dessa reta. Para isso, usa-se a relação: y yo = m(x xo) Exercícios de Sala 1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(2, 5) e B(4, 9), determine: a) equação geral b) equação reduzida c) coeficiente angular e linear da reta 2. Determine o coeficiente angular das retas abaixo: a) r: 2x + 3y + 1 = 0 b) c) 3. Determine a equação da reta representada pela figura abaixo: Matemática B Inclusão para a Vida Pré-Vestibular da UFSC 16 Tarefa Mínima 1. Em relação à reta r que passa pelos pontos A(1, 2) e B(2, - 3), determine: a) equação geral b) equação reduzida c) coeficiente angular e linear da reta 2. Considere a reta r indicada pela figura abaixo Assinale a soma dos números associados às proposições corretas: 01. A equação da reta r é y = x – 1 02. o coeficiente linear da reta r é – 1 04. o menor ângulo que a reta r determina no eixo x é 45 o 08. a reta r passa pelo ponto de coordenadas (5, 3) 16. a reta r intercepta o eixo x no ponto de coordenadas (1,0) 3. Determine a equação da reta r indicada abaixo 4. (FGV-SP) Os pontos A(-1, m) e B(n, 2) pertencem à reta 2x - 3y = 4. A distância entre A e B é: a) 3 b) 3,25 c) 2 13 d) 2 e) 9 5. (Fac. Moema-SP) O coeficiente linear e angular da reta 2x 3y + 1 = 0 são, respectivamente: a) 2 e 3 b) 2/3 e 1 c) 2/3 e 1/3 d) 1/3 e 2/3 e) n.d.a. Tarefa Complementar 6. A equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem coeficiente angular 3. 7. Considere as retas r e s indicadas abaixo: Determine a soma dos números associados às proposições corretas: 01. A equação da reta r é x + 2y – 4 = 0 02. A equação da reta s é x – y – 1 = 0 04. o ponto de intersecção das retas r e s possui coordenadas (2, 1) 08. A reta s passa pelo ponto de coordenadas (6,3) 8. (UFSC) As retas r, dada pela equação 3x - y + 7 = 0, e s, dada pela equação 4x - y - 5 = 0, passam pelo ponto P(a,b). O valor de a + b é: 9. Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5, 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0. 10. (UFPR) No plano cartesiano os pontos A(1, -1), B(3,1), C(3,5) e D(-1, 5) são os vértices de um quadrado. É correto afirmar que: 01. a origen do sistema de coordenadas está no interior do quadrado. 02. a reta r que passa por A e B tem coeficiente angular 1/2 04. a reta cuja equação é x + y – 4 = 0 contém a diagonal BD do quadrado. 08. a reta r do item 04 intercepta o eixo y no ponto (0, -4) 16. o centro do quadrado é o ponto (1,3) UNIDADE 11 ESTUDO DA RETA POSIÇÃO RELATIVA ENTRE 2 RETAS No plano cartesiano duas retas r e s podem ser: Concorrentes Paralelas Coincidentes Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 17 Considere as retas r e s de equações: r = m1x + n1 e s = m2x + n2 Assim, podemos ter as seguintes situações: PARALELAS DISTINTAS: m1 = m2 PARALELAS COINCIDENTES:m1 = m2 e n1 = n2 CONCORRENTES m1 m2 CONCORRENTES E PERPENDICULARES: m1 . m2 = 1 DISTÂNCIA DE PONTO À RETA Considere um ponto P(x0 , y0) e uma reta r: ax + by + c = 0, a distância do ponto P a reta r pode ser calculada pela expressão: Exemplo: Calcular a distância entre o ponto P(4, 3) e a reta r de equação 5x + 2y 6 = 0. Resolução: 4 5 20 34 63.24.5 22 ddd Portanto a distância entre P e r é de 4 unidades. Exercícios de Sala 1. Considere a reta r indicada pela figura abaixo: Determinar: a) a equação da reta s que passa pelo ponto P(3, 5) e é paralela à reta r. b) a equação da reta t que passa pelo ponto P(4, 3) e é perpendicular à reta r. 2. Determine a distância do ponto A(2, 3) à reta r de equação y = 2x + 5. 3. (UFSC) Considere as retas r: kx + 5y -7 = 0 e s: 4x + ky -5 = 0. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. O valor de k para que a reta r passe pelo ponto (1, -2) é 17. 02. O valor de k para que as retas r e s se interceptam no ponto 0 7 5 é 25/7. 04. As retas r e s são paralelas para k = 2 5 . 08. A equação geral da reta que é perpendicular à reta s no ponto (2,1) é 3x + 4y -10 = 0. 16. Sendo k = 0, então a distância do ponto (-1,3) à reta r é 20. Tarefa Mínima 1. (UFRGS) As retas com equações respectivas 4x + 2y - 4 = 0 e 4x - 3y + 12 = 0: a) são paralelas b) são coincidentes c) são concorrentes mas não perpendiculares. d) interceptam-se no 1º quadrante e são perpendiculares. e) interceptam-se no 4º quadrante e são perpendiculares. 2. A equação da reta que passa pelo ponto P(-3, 5) e é paralela à reta de equação 5x + y = 0 é: a) 5x + y + 10 = 0 b) – 5x + y + 10 = 0 c) 5x – y + 10 = 0 d) 5x – y – 10 = 0 e) – 5x + y – 10 = 0 3. (Cesgranrio-RJ) Se as retas (r) x + 2y + 3 = 0 e (s) ax + 3y + 2 = 0 são perpendiculares, então o parâmetro a vale: a) – 2 b) 2 c) – 6 d) 6 e) – 3 4. Considere o triângulo de vértices A(0,0), B(1,4) e C(4,1). A altura em relação à base BC mede: 5. (UEL-PR) A distância entre as retas de equações x - y + 2 = 0 e 2x - 2y + k = 0 é igual a 2 se, e somente se: a) k = 0 b) k = 4 c) k = 8 d) k = 0 ou k = 8 e) k = -4 ou k = 8 Matemática B Inclusão para a Vida Pré-Vestibular da UFSC 18 Tarefa Complementar 6. (UFSC) Dados os pontos A(1, 1), B( 1, 3) e C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC. 7. (UFSC) De acordo com o gráfico abaixo, assinale a(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. A equação da reta s é 3x – 2y + 6 = 0. 02. A reta s e a reta r são perpendiculares. 04. As retas r e s se interceptam no ponto de abscissa 5 4 . 08. A distância da origem do sistema de coordenadas cartesianas à reta r é de 2 2 unidades. 16. A área da região do plano limitada pelas retas r, s e pelo eixo das abscissas é igual a 10 3 unidades de área. 8. (UFRGS) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) são extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A equação da reta suporte da outra diagonal é: a) 2x - 3y - 1 = 0 b) 2x + 3y - 7 = 0 c) 3x + 2y - 8 = 0 d) 3x - 2y - 4 = 0\ 9. A medida da altura do trapézio cujos vértices são os pontos A(1, 1), B(6, 1), C(2, 3) e D(4, 3) é: 10. ( U. E. Maringá-PR ) Considere as retas r, s e t, dadas no gráfico ao lado. Sabe-se que a equação de r é 2y = x – 3, que os pontos B e C são simétricos em relação ao eixo das abscissas, que as retas r e s são paralelas e que t é perpendicular a r. Nessas condições, é correto afirmar que: 01. o ponto A sobre o eixo x, interseção de r e t, é (2,0). 02. o ponto C é (0, 2 3 ). 04. a distância entre r e s é 3. 08. os coeficientes angulares das retas r, s e t são, respectivamente, 2 1 , 2 1 e –2. 16. a equação da reta t é y = –2x + 6. 32. a equação da reta horizontal que passa por A é x = 0. 64. a equação da reta vertical que passa por A é x = 3. UNIDADE 12 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA DEFINIÇÃO Recebe o nome de circunferência o conjunto de pontos de um plano que se equidistam de um ponto C denominado centro da circunferência. Essa distância é denominada raio da circunferência. R C EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA Seja C(a, b) o centro da circunferência e P(x, y) um ponto genérico pertencente à circunferência, a distância de C a P é o raio da circunferência. Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 19 Pode-se escrever a equação da circunferência das seguintes formas: Equação Reduzida: (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 Exemplo: Determine equação da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5): Resolução: (x ) 2 + (y ) 2 = R 2 (x 2) 2 + (y 5) 2 = 3 2 Logo, a equação procurada é: (x 2) 2 + (y 5) 2 = 9 CASO PARTICULAR: Se a circunferência possuir centro na origem então a equação (x ) 2 + (y ) 2 = R 2 fica reduzida a: x 2 + y 2 = R 2 Equação Geral: A Equação Geral da circunferência é obtida desenvolvendo a equação reduzida. Veja: (x a) 2 + (y b) 2 = R 2 x 2 2ax + a 2 + y 2 2by + b 2 = R 2 x 2 + y 2 2ax 2by + a 2 + b 2 R 2 = 0 x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 onde: A = 2a; B = 2b; C = a 2 + b 2 R 2 Exemplo: Determinar a equação geral da circunferência de raio 3 e centro C(2, 5) Resolução: (x ) 2 + (y ) 2 = R 2 (x 2) 2 + (y 5) 2 = 3 2 (x 2) 2 + (y 5) 2 = 9 x 2 4x + 4 + y 2 10y + 25 9 = 0 Logo, a equação geral é x 2 + y 2 4x 10y + 20 = 0 CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA Vamos comparar a equação de uma circunferência com uma equação do 2º grau completa. x 2 + y 2 + Kxy + Ax + By + C = 0 Sendo assim, essa equação só irá representar a equação de uma circunferência se e só se: Os coeficientes de x2 e y2 forem iguais e diferentes de zero. Não existir termo em xy, ou seja ter K = 0. A2 + B2 4AC > 0 POSIÇÕES RELATIVAS DA CIRCUNFERÊNCIA Ponto e Reta Dado um ponto P(xP, yP) do plano e uma circunferência (x ) 2 + (y ) 2 = R 2 . Em relação a circunferência, o ponto P pode assumir as seguintes posições: Para determinar a posição do ponto P em relação a circunferência, substitui-se as coordenadas de P na equação da circunferência.Assim, podemos ter: (xP ) 2 + (yP ) 2 R 2 < 0 P interior à circunferência (xP ) 2 + (yP ) 2 R 2 = 0 P pertence à circunferência (xP ) 2 + (yP ) 2 R 2 > 0 P exterior à circunferência Reta e Circunferência Dada uma reta ax + by + c = 0 do plano, e uma circunferência (x ) 2 + (y ) 2 = R 2 . Em relação à circunferência, a reta pode assumir as seguintes posições: Para determinar a posição da reta r em relação à circunferência, substitui-se a equação da reta na equação da circunferência. Assim, teremos uma equação do 2º Grau. Então, se: < 0 reta externa (não existe ponto de intersecção) = 0 reta tangente (existe um ponto de intersecção) > 0 reta secante (existe dois pontos de intersecção) Caso exista o(s) ponto(s) de intersecção, esse(s) são obtidos por um sistema de equações. Exercícios de Sala 1. Determinar a equação da circunferência na forma reduzida de centro C e raio R nos seguintes casos: a) C(4, 7) e R = 2 b) C(2, -3) e R = 5 c) C(3, 0) e R = 5 d) C(0, 3) e R = 5 e) C(0, 0) e R = 3 Matemática B Inclusão para a Vida Pré-Vestibular da UFSC 20 2. A soma das coordenadas do centro da circunferência de equação x 2 + y 2 - 4x - 6y - 12 = 0, é: a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 3. (UFSC) Seja C uma circunferência de equação x2 + y2 - 2x -2y -6 = 0, e seja r a reta de equação x + y = 6. Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) VERDADEIRA(S). 01. Em coordenadas cartesianas, o centro e o raio da circunferência C são (1,1) e 2 2 respectivamente. 02. A circunferência C limita um círculo cuja área é 8 . 04. Com relação à posição de C e r, pode-se afirmar que C e r são secantes. 08. A circunferência de centro no ponto (0,0) e raio 2 é tangente externamente à circunferência C. 16. Com relação à posição do ponto P(2,3) e C, pode- se afirmar que o ponto P é exterior à C. Tarefa Mínima 1. A equação da circunferência de centro C(-2,2) e tangente aos eixos coordenados é: a) (x + 2) 2 + (y – 2)2 = 4 b) (x – 3)2 + (y – 3)2 = 4 c) (x + 2) 2 + (y + 2) 2 = 2 d) (x – 2)2 + (y – 2)2 = 4 e) (x + 2) 2 – (y – 2)2 = 4 2. (ACAFE-SC) A circunferência de equação x2 + y2 + 6x – 4y – q = 0 tem raio igual a 4. O valor de q é: a) 2 b) – 3 c) 3 d) – 2 e) – 1 3. O centro da circunferência x2 + y2 – 8x – 4y + 15 = 0 é um ponto localizado no: a) primeiro quadrante b) segundo quadrante c) terceiro quadrante d) quarto quadrante e) eixo x 4. (UECE) Sejam M(7,-2) e N(5,4). Se C1 é uma circunferência que tem o segmento MN como um diâmetro, então a equação de C1 é: a) x 2 + y 2 - 12x - 2y + 27 = 0 b) x 2 + y 2 + 12x - 2y + 27 = 0 c) x 2 + y 2 + 12x + 2y + 27 = 0 d) x 2 + y 2 - 12x + 2y + 27 = 0 5. (PUC-SP) Seja a circunferência , de equação x2 + y2 - 4x = 0. Determinar a área da região limitada por . a) 4 b) 2 c) 5 d) 3 e) n.d.a. Tarefa Complementar 6. (Mack-SP) O maior valor inteiro de k, para que a equação x 2 + y 2 + 4x - 6y + k = 0 represente uma circunferência, é: a) 10 b) 12 c) 13 d) 15 e) 16 7. (UFRGS) O eixo das abscissas determina no círculo x 2 + y 2 - 6x + 4y – 7 = 0 uma corda de comprimento 8. (FGV-SP) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na circunferência x 2 + y 2 - 2x - 4y + 1 = 0 uma corda de comprimento igual a: a) 3 b) 3 c) 2 3 d) 6 e) 2 2 9. Calcule a área do círculo de centro (2, 5) sabendo que a reta 3x + 4y - 6 = 0 é tangente a circunferência. a) 16 b) 4 c) 2 d) 32 e) n.d.a. 10. (UFSC) Considere a circunferência C: 1634 22 yx e a reta r: 4x + 3y 10 = 0. Assinale no cartão-resposta a soma dos números associados à(s) proposição(ões) correta(s). 01. r C = . 02. O centro de C é o ponto (3, 4). 04. A circunferência C intercepta o eixo das abscissas em 2 (dois) pontos e o das ordenadas em 1 (um) ponto. 08. A distância da reta r ao centro de C é menor do que 4. 16. A função y dada pela equação da reta r é decrescente. Inclusão para a vida Matemática B Pré-Vestibular da UFSC 1 GABARITO Unidade 1 1) a) 81 b) – 81 c) 81 d) 1 e) 0 f) 1 g) 16 1 h) 125 8 i) 18 j) – 5 k) 35/12 2) a) 2 15 b) 2 13 3) a) 2100 + 1 b) 2101 c) 2102 d) 2200 e) 299 f) 250 4) a) 5 b) 2 c) 0 d) 1 e) 9/4 f) – 0,5 5) a) 2 25 b) 32 c) 5 2523 d) 5( 23 ) 6) e 7) 15 8) c 9) d 10) e 11) e 12) 31 13) c 14) d 15) e Unidade 2 1) a) 6 b) 3 c) 5 2 2) e 3) 30° 4) x = 2 y = 2 3 5) 14 6) 180 m 7) x = 100 3 y = 100 8) e 9) 31 10) 57 Unidade 3 1) 4 2 2) 75 3) 14 4) d 5) e 6) b 7) b 8) a 9) 2 7 10) b Unidades 4 e 5 1) a) 120° b) 30° 2) a 3) 2 4) b 5) a 6) a) S = 2 b) S = 2 3 , 2 c) S = 18 33 , 6 7 d) 4 7 , 4 7) c 8) c 9) b 10) c 11) b 12) 13 13) c 14) c 15) 04 Unidade 6 1) 3 22 2) 00 3) 00 4) 01 5) a) 4) 3 4 , 3 b) 3 7 0 4 4 , , , 6) 01 7) 01 8) 2 9) b 10) d Unidade 7 1) a) 2 b) 2 c) – 1 2) a 3) 25 4) e 5) 41 6) 01 7) a 8) 86 9) 12 10) c Unidades 8 e 9 1) e 2) 13 3) e 4) e 5) 16 6) 08 7) c 8) 03 9) a 10) e 11) a 12) 81 Unidade 10 1) a) 5x + y – 7 = 0 b) y = - 5x + 7 c) – 5 e 7 2) 23 3) y = x 3 - 2 4) c 5) d 6) y = 3x – 2 7) 07 8) 55 9) 90 10) 20 Unidade 11 1) c 2) a 3) c 4) 2 25 5) d 6) 04 7) 09 8) d 9) 02 10) 90 Unidade 12 1) a 2) c 3) a 4) a 5) a 6) c 7) 08 8) c 9) a 10) 28
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