Teorema_da_Incerteza

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Teorema da Incerteza 
 
Cosme Aristides de Souza 
 
 
 
Departamento de Física, Faculdade de Física, Universidade Federal Fluminense, Niterói, RJ. 
 
Introdução 
 
 
Por que Teorema da Incerteza ao invés de Princípio da Incerteza como é comumente 
conhecido e consagrado pelo uso? 
 
Faço isso para evitar a tendência enganosa e recorrente, baseada apenas nesta 
nomenclatura, de dar status de princípio a algo que não passa de uma decorrência dedutiva 
dos postulados de uma teoria; estes, sim, autênticos princípios. Tomar o Teorema da 
Incerteza como se fosse um princípio na estrita acepção do termo, leva a idéia de que 
devemos procurar fora da teoria um fator que o motive; uma justificação empírica ou 
fenomenológica para ele. Então, de posse de conhecimentos superficiais e incompletos 
sobre o tema, muitos se julgam autorizados para considerar a inferência de Heisenberg como 
o resultado de uma convicção filosófica do nosso limitado poder de observação. 
 
Visões como esta são justificadas valendo-se apenas da descrição de um caso 
específico relacionado ao fóton, que foi proposto por Heisenberg apenas como exemplo para 
que o teorema pudesse ser compreendido de uma maneira simplificada sem recorrer a 
conceitos quânticos. Com isso, imputam uma origem empírica para o Teorema da Incerteza, 
afirmando que ele deriva da análise de certas experiências com a luz. Embora, possamos ter 
uma compreensão qualitativa de um aspecto particular do Teorema da Incerteza e de suas 
conseqüências observacionais através desta experiência imaginária; ele continua sendo uma 
conseqüência teórica inelutável dos postulados da Mecânica Quântica. 
 
Apesar de o Teorema da Incerteza estabelecer uma impossibilidade teórica para 
obtenção de medidas totalmente precisas e, conseqüentemente, impor um limite para o 
nosso poder de observação; isto não legitima a conclusão de que seja o limite de nosso 
poder de observação que imponha o Teorema da Incerteza. Seria o mesmo que afirmar que 
a gravidade, por impor a queda dos corpos, seja imposta pela queda dos corpos. Essa 
"intromissão" do observador em toda descrição da Natureza é uma conseqüência imprevista 
de uma teoria formulada para o estudo quantitativo de fenômenos em escala atômica e não a 
causa, como querem ver alguns. 
 
O Teorema da incerteza é, assim, aplicado particularmente para explicar a 
impossibilidade de se ignorar a interação entre observador e sistema observado. Contudo, 
essa impossibilidade não dá conta de todas as implicações relacionadas ao arcabouço 
teórico de onde ele se originou. Arcabouço este que tem como propósito “modelizar” a 
realidade física, conferindo a esta descrição da natureza todas as conseqüências teóricas de 
sua estrutura matemática. Inclusive a incerteza manifestada pelas desigualdades de 
Heisenberg, que são várias; a que relaciona momento e posição é apenas uma delas. O 
problema é que esta veio a ficar tão famosa que disseminou a noção improcedente de ser 
ela o próprio “princípio da Incerteza”, a ponto de intelectuais leigos em física tecerem 
conclusões advindas da certeza enganosa de que a incerteza só aparece na ligação entre 
momento e velocidade. Aliás, a descontextualização é um procedimento corriqueiro entre 
certos filósofos e sociólogos que querem impor suas conclusões às descobertas da física, 
sem ir além de um apanhado indireto de alguns pontos da teoria; que, em muitos casos, não 
passam de tentativas de explicações, necessariamente incompletas e simplificadas, feitas 
por físicos que evitavam recorrer à linguagem matemática. 
 
 
Desigualdades de Heisenberg 
 
 
As desigualdades de Heisenberg aparecem dentro da teoria quântica num contexto 
bem mais amplo, que não se circunscreve apenas à interação entre fóton e elétrons. Há que 
se partir do fato que a mecânica quântica tem uma modelagem matemática baseada num 
espaço vetorial dotado de produto escalar (também conhecido como produto interno) e, em 
todos eles, vale um resultado conhecido como Desigualdade de Cauchy-Schwartz. 
 
|(A,B)| ≤ |A||B| 
 
Ela diz que o módulo do produto escalar entre dois elementos do espaço é menor ou 
igual ao produto dos módulos desses mesmos elementos. Podemos compreender essa 
relação, se supormos que estamos trabalhando num espaço cujos elementos são vetores 
geométricos clássicos: seguimentos de reta orientados e com norma ou módulo igual ao seu 
comprimento. Assim; 
 
|(A,B)| = |A||B|| cos(a) 
 
||A| |B| cos(a)| ≤ |A||B| 
 
Onde cos(a) é o co-seno do ângulo entre os dois vetores; 
 
|cos(a)| ≤ |A||B|/|A||B| 
 
|cos(a)| ≤ 1 
 
Há um modo alternativo de expressar a Desigualdade de Cauchy-Schwartz, valendo-
se da seguinte propriedade do produto escalar ou interno: 
 
|A|2 =(A,A) 
 
|(A,B)|2 ≤ |A|2 |B|2 se transforma, então, em: 
 
|(A,B)|2 ≤ (A,A) (B,B) (2) 
 
O produto escalar é definido segundo as características dos elementos do espaço. No 
caso de serem funções e não vetores na sua concepção clássica, o produto escalar se torna 
um pouco mais complicado ao exigir operações com integrais das funções envolvidas. 
 
(A(x),B(x)) = ∫A(x)*B(x)dx 
 
Onde A(x)* representa o conjugado complexo da função, que na maioria dos casos 
não é real. Quando essa função é uma função de onda que caracteriza um estado do 
sistema quântico, usa-se grafá-las apenas com uma letra grega e impor a seguinte regra de 
normalização: 
 
(Ψ,Ψ) = ∫Ψ*Ψdx = 1 
 
O produto interno pode ainda ser apresentado na formulação dos bra´s e ket´s de 
Dirac; 
(A(x),B(x)) = ∫A(x)*B(x)dx = <A(x)||B(x)> 
 
E a regra de normalização ficaria assim: 
 
(Ψ,Ψ) = ∫Ψ*Ψdx = <Ψ||Ψ> = 1 
 
O valor esperado ou média instantânea, notado por <X>, de uma variável física é dado 
pela soma de todos os valores possíveis ponderados por suas respectivas probabilidades. 
Ele pode ser calculado através do conceito de produto interno como se segue: 
 
<X> = (Ψ, XΨ) = ∫Ψ*XΨdx = <Ψ|X|Ψ> 
 
A desigualdade de Cauchy-Schwartz e mais os postulados quânticos que associam as 
quantidades físicas com operadores hermitianos levarão ao que mais apropriadamente é 
chamado pelos físicos e matemáticos como Relação de Incerteza de Heisenberg. Faremos a 
seguir uma demonstração dela; que, apesar de ser longa, é simples e não requer 
conhecimentos de matemática além daqueles visto no segundo grau. Ficou extensa 
justamente porque não pulei nenhuma passagem e não me preocupei em ser redundante 
com a intenção de deixar claro cada passo. 
 
Começaremos pela definição estatística de variância ou erro quadrático médio, cuja 
raiz quadrada define o desvio padrão ou incerteza da variável: 
 
(ΔA)2 = <(A - <A>)2> 
 
Que diz simplesmente que o quadrado da incerteza (ou desvio padrão) associada a uma 
variável física A é igual à média dos quadrados das diferenças entre os valores possíveis de 
A e a média de A. 
 
Definindo o operador auto adjunto A’: 
 
A’ = A - <A> 
 
Com a propriedade: 
 
(Ψ, A’Ψ) = (A’Ψ, Ψ) 
 
Desta forma, 
 
(ΔA)2 = <A’2> 
 
O Valor esperado <X> de uma variável física associada ao operador X é dado por; 
 
<X> = (Ψ, XΨ) 
 
Do mesmo modo então, 
 
(ΔA)2 = (Ψ, A’2Ψ) = (Ψ, A’A’Ψ) 
 
Por 
 
(Ψ, A’Ψ) = (A’Ψ, Ψ) 
 
Podemos fazer 
 
(Ψ, A’A’Ψ) = (A’Ψ, A’Ψ) 
 
O que nos apresenta 
 
(ΔA)2 = (A’Ψ, A’Ψ). 
 
Seguindo raciocínio semelhante, definimos outro operador auto adjunto B’; 
 
B’ = B - <B> 
 
(ΔB)2 = (B’Ψ, B’Ψ) 
 
A Desigualdade de Cauchy-Schwartz estabelece que 
 
|(A’Ψ, B’Ψ)|2 ≤ (A’Ψ, A’Ψ) (B’Ψ, B’Ψ) = (ΔA)2(ΔB)2 
 
Ou 
 
|(A’Ψ, B’Ψ)|2 ≤ (ΔA)2(ΔB)2 
 
Do que sabemos sobre um número complexo z qualquer; 
 
z = R(z) + I(z)i 
 
z* = R(z) - I(z)i 
 
z - z*= (R(z) + I(z)i) – (R(z) - I(z)i) = 2I(z)i 
 
|z|2 = (R(z))2 + (I(z))2≥ (I(z))2 = ((z - z*)/2i)2 
 
|z|2 ≥ ((z - z*)/2i)2 
 
Fazendo: 
 
z = (A’Ψ, B’Ψ) 
 
Segue que 
 
|(A’Ψ, B’Ψ)|2 ≥ {((A’Ψ, B’Ψ) - (A’Ψ, B’Ψ)*)/2i}2 
 
Levando em conta a seguinte propriedade do produto interno; 
 
(A’Ψ, B’Ψ)* = (B’Ψ, A’Ψ) 
 
Temos: 
 
(A’Ψ, B’Ψ) - (A’Ψ, B’Ψ)* = (A’Ψ, B’Ψ) - (B’Ψ, A’Ψ) 
 
Por A’ e B’ serem operadores auto adjuntos; 
 
(A’Ψ, B’Ψ) = (Ψ, A’B’Ψ) 
(B’Ψ, A’Ψ) = (Ψ, B’A’Ψ) 
 
Logo, 
 
(A’Ψ, B’Ψ) - (A’Ψ, B’Ψ)* = (Ψ, A’B’Ψ) - (Ψ, B’A’Ψ) 
 
De acordo com a propriedade distributiva do produto interno; 
 
(Ψ, A’B’Ψ) - (Ψ, B’A’Ψ) = (Ψ, (A’B’ - B’A’)Ψ) 
 
Obtemos: 
 
(A’Ψ, B’Ψ) - (A’Ψ, B’Ψ)* = (Ψ, (A’B’ - B’A’)Ψ). 
 
Existe uma operação chamada comutador definida como; 
 
[A’,B’] = (A’B’ - B’A’). 
 
O que nos deixa com a relação: 
 
(A’Ψ, B’Ψ) - (A’Ψ, B’Ψ)* = (Ψ, [A’B’]Ψ). 
 
Levando-a para o resultado já obtido; 
 
|(A’Ψ, B’Ψ)|2 ≥ {((A’Ψ, B’Ψ) - (A’Ψ, B’Ψ)*)/2i}2 
 
|(A’Ψ, B’Ψ)|2 ≥ {(Ψ, [A’B’]Ψ)/2i}2 
 
ou 
 
{(Ψ, [A’B’]Ψ)/2i}2 ≤ |(A’Ψ, B’Ψ)|2 
 
Comparando com 
 
|(A’Ψ, B’Ψ)|2 ≤ (ΔA)2(ΔB)2 
 
{(Ψ, [A’B’]Ψ)/2i}2 ≤ |(A’Ψ, B’Ψ)|2 ≤ (ΔA)2(ΔB)2 
 
{(Ψ, [A’B’]Ψ)/2i}2 ≤ (ΔA)2(ΔB)2 
 
Como 
[A’,B’] = (A’B’ - B’A’) = ((A - <A>)( B - <B>) – (B - <B>)( A - <A>)) = 
= ((AB - A<B> - <A>B + <A><B> - BA + B<A> + <B>A - <B><A> = 
= (AB - BA) = [A,B] 
 
(Isso porque <A> e <B> são números e não operadores como A e B) 
 
Assim; 
 
[A’,B’] = [A,B] 
 
e 
 
{(Ψ, [A,B]Ψ)/2i}2 ≤ (ΔA)2(ΔB)2 
 
mas, 
 
(Ψ, [A,B]Ψ) = <[AB]> 
 
Então: 
 
(<[A,B]>/2i)2 ≤ (ΔA)2(ΔB)2 
 
Eis a Relação de Incerteza de Heisenberg que pode ser simplificada para 
 
 |<[A,B]>|/2 ≤ ΔAΔB. 
 
Posta em termos da Formulação de Dirac; 
 
|<Ψ|[A,B]|Ψ>|/2 ≤ ΔAΔB. 
 
 
No caso particular em que A e B são os operadores associados ao momentum e à posição, 
obtemos a desigualdade impropriamente conhecida como Princípio da Incerteza de 
Heisenberg: 
 
|<Ψ|[P,X]|Ψ>|/2 ≤ ΔpΔx 
 
É sabido que 
 
[P,X] = ih/2π 
 
Sendo um número, esse resultado pode sair do interior dos brakets 
 
|<Ψ||Ψ> ih/2π|/2 ≤ ΔpΔx 
 
Pela regra de normalização, 
 
<Ψ||Ψ> = 1 
 
|ih/2π|/2 ≤ ΔpΔx. 
 
Como o módulo de um número imaginário puro é o argumento de sua parte imaginária; 
 
h/4π ≤ ΔpΔx 
 
Ou 
 
ΔpΔx ≥ h/4π 
 
Conclusão 
 
Para chegar a esses resultados teóricos só nos valemos de concepções puramente 
matemáticas, não nos reportamos a nenhuma experiência específica. Recorremos às 
contingências geradas pela álgebra sobre a qual a mecânica é formulada. Utilizamos as 
propriedades do produto interno próprio ao espaço de Hilbert e vimos que as imposições de 
limites na incerteza derivam do fato de se trabalhar com variáveis não compatíveis, isto é, 
que não comutam, que possuem resultados não nulos nas operações de comutadores. 
Partimos de uma caracterização formal da incerteza; que se revelou não ser nada mais que a 
definição estatística de desvio padrão, uma medida da dispersão dos valores prováveis em 
torno do valor esperado. A incerteza nos informa sobre a largura da curva de distribuição das 
probabilidades, até onde ela se estende com intensidade significativa ao longo dos valores 
adjacentes ao seu pico. De forma que a relação de incerta estabelece uma ligação entre 
curvas de distribuição estatística de variáveis não compatíveis: o estreitamento de uma 
condiciona um estreitamento máximo na outra, não é possível estreitar ambas o quanto se 
queira. 
 
Se as peculiaridades da teoria quântica geram uma visão da natureza que inclui a 
existência de órbitas proibidas no átomo, a inexistência do conceito de trajetória e outras 
estranhezas para uma perspectiva clássica, a relação de incerteza também deve ser 
colocada dentro desse rol de esquisitices. Pois, afinal, ela também, como vimos, é fruto 
direto de sua forma especial de descrever a realidade, ela está intrinsecamente ligada ao 
modo como a estrutura matemática da mecânica quântica faz essa "modelagem" do mundo 
microscópico. Tanto que, modelagens diferentes não fazem uso dela, como, por exemplo, a 
"Mecânica Quântica de Nelson" ou a "Interpretação de Bohm" da mecânica quântica. Com 
isso quero dizer o seguinte: se a natureza for tal qual como a teoria quântica padrão a 
modela (se não for é outros quinhentos); coisas como órbitas quantizadas, partículas que se 
deslocam sem trajetória, tunelamentos devidos às incertezas das variáveis físicas, tudo isso 
fará parte do funcionamento da realidade. 
 
É claro que nada impede que as órbitas na realidade não sejam quantizadas, que as 
partículas trafeguem em trajetória perfeitamente delineadas, que os tunelamentos aconteçam 
porque não conseguimos medir com a precisão requerida. Do mesmo modo que nada 
impede também que os elétrons sejam bolinhas cor de rosa e tenham rabinho, já que 
podemos sempre explicar que não vemos ou não medimos assim por uma debilidade no 
nosso poder de observação. Com isso podemos explicar tudo que imaginarmos: “tal coisa 
existe, o problema não está nela, está na nossa incapacidade para observá-la”. Esse tipo de 
interpretação tosca não leva a nada, não pode ser falseada, portanto não é científica. Uma 
teoria pressupõe uma realidade anterior à observação. E para a mecânica quântica também 
é assim, apenas que ela prevê teoricamente modificações nesta realidade quando é 
observada. O estado do sistema físico é descrito sem precisar supor um observador; o fato é 
que ao introduzi-lo, ele não será uma entidade neutra como o era na mecânica clássica, ele 
vai alterar sensivelmente as variáveis do estado do sistema. Se não pudéssemos conceber 
pela teoria uma realidade anterior à observação, não teríamos como mensurar a influência 
advinda desta observação.