Ábacos - Pilares - Completo

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8.3 - PILAR - DIMENSIONAMENTO 
Fernando Musso Junior musso@npd.ufes.br Estruturas de Concreto Armado 125
 
PILAR - DIMENSÕES LIMITES DE PILARES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[NBR 6118] 
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PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL x MOMENTO FLETOR 
Hipóteses básicas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Força normal e momento fletor resistentes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo de aplicação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[MUSSO] 
s 
tan= Es 
10‰ 
 s 
yd = fyd/Es 
fyd = fyk/s 
-3,5‰ -yd 
-fyd 
- aço 
linha 
neutra 
retangular 
= ,8 0,85; =0
x 
fcd 
x 
parábola 
retângulo 
- concreto
dh As 
b
Seção sup 
inf 
 Es = 210 GPa 
10‰
s
-3,5‰ yd 0 
4 
3 
2 3h
/7
 
A
B
Domínios de Deformações 
-2‰ 
C
5 
1
M 
N 
a
b
4a 
yys
Deformações 
 
(+) 
fcd = fck/c 
Distribuição de Deformações 



y
)seçãodacurvatura(
d
Fazendo
dy
:figuraDa
sup
supinf
supinfsup

Ordenada da Linha Neutra 
 /yy0 supn 
Esforços resistidos pelo Concreto 
Altura comprimida da seção 
)]h;y(mínimo;0;0y[sex nn  
Tensão 
cckc /f  
Força Normal e Momento Fletor (eixo S) 
xbN cc  ; M 2/xNcc 
Esforços resistidos pelo Aço 
Deformação da armadura na ordenada ys 
 ssups y 
Tensão na armadura na ordenada ys 
]/f);E(abs[mínimo*)(alsin sykssss  
Força Normal e Momento Fletor (eixo S)  sss AN ; sss yNM 
Esforços Resistentes Totais 
Aplicados na parte superior da seção 
sc
sc
MMM
NNN


 
Aplicados no centróide da seção 
)2/h(NMM
NN
o
o


 
Pilar de 30x30 cm com 4 barras de 16 mm submetido a NSd= -750 kN, MSdx = 60 kNm e MSdy = 30 kNm. 
 fck = 25 MPa, fyk = 500 MPa, Es = 210 GPa, ys1 = 3,8 cm, As1 = 4,02 cm2, ys2 = 26,2 cm e As2 = 4,02 cm2 
 
 sup inf   cm-1 s1 ‰ s1 kN/cm2 Ns1 kN Ms1 kNm s2 ‰ s2 kN/cm2  Ns2 kN Ms2 kNm 
reta a 9,99‰ 10‰ 3,82E-15 10,00 43,48 174,8 6,6 10,00 43,48 174,8 45,8 
1-2 0 10‰ 3,82E-04 1,45 30,46 122,5 4,7 10,00 43,48 174,8 45,8 
2-3 -3,5‰ 10‰ 5,15E-04 -1,54 -32,38 -130,2 -4,9 10,00 43,48 174,8 45,8 
3-4 -3,5‰ fyd/Es 2,13E-04 -2,69 -43,48 -174,8 -6,6 2,07 43,48 174,8 45,8 
4-4a -3,5‰ 0 1,34E-04 -2,99 -43,48 -174,8 -6,6 0,00 0,00 0,0 0,0 
4a-5 -3,5‰ -3,5‰(h-d)/h 1,17E-04 -3,06 -43,48 -174,8 -6,6 -0,44 -9,31 -37,4 -9,8 
reta b -2‰ -1,99‰ 3,82E-15 -2,00 -42,00 -168,9 -6,4 -2,00 -42,00 -168,9 -44,2 
 Ns kN Ms kNm x cm Nc kN Mc kNm No kN Mo kNm 
reta a 349,7 52,5 0,00 0,0 0,0 349,7 0,0 
1-2 297,3 50,5 0,00 0,0 0,0 297,3 5,9 
2-3 44,6 40,9 5,43 -247,4 -6,7 -202,8 64,6 
3-4 0,0 39,2 13,17 -599,7 -39,5 -599,7 89,6 
4-4a -174,8 -6,6 20,96 -954,4 -100,0 -1129,3 62,7 
4a-5 -212,3 -16,5 24,00 -1092,9 -131,1 -1305,1 48,2 
reta b -337,8 -50,7 30,00 -1366,1 -204,9 -1703,9 0,0 
Verificação da Segurança 
 
1
M
M
M
M
2,1
Rdyy
Sdy
2,1
Rdxx
Sdx 






 
Diagrama de Interação NRd x MRdx
M Sdx; 60,0
M Rdxx; 
82,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-2000 -1000 0 1000
Força Normal (kN) + tração
 
Diagrama de Interação NRd x MRd
M Sdy; 30,0
M Rdyy; 
82,0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
-2000 -1000 0 100
Força Normal (kN) + tração
y
0
Diagrama de Interação MRdx x MRdy
60,0; 30,0
M Rdxx
M Rdyy
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 50
Momento Fletor x (kNm)
100
 
PILAR - DIAGRAMA DE INTERAÇÃO FORÇA NORMAL E MOMENTO FLETOR - FLEXÃO RETA 
 
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