Critérios de divisibilidade

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20/07/2019 Um pouco sobre divisibilidade – Critérios de divisibilidade – Clubes de Matemática da OBMEP
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Um pouco sobre divisibilidade – Critérios de divisibilidade

Critérios de divisibilidade
Nesta Sala, apresentaremos alguns dos tradicionais critérios de divisibilidade e suas respectivas
justificativas. Fixado um número natural não nulo , um critério de divisibilidade é uma condição 
necessária e suficiente para que um número natural seja divisível por , portanto algo do tipo:
Um número natural n é divisível por d se, e somente se, a condição P é
satisfeita.
Isso não só significa que “se for satisfeita, então é divisível por ”, mas também significa que “se a
condição não for satisfeita, então não é divisível por ”.
Os critérios de divisibilidade conhecidos são consequências da maneira como representamos usualmente os
números naturais: utilizando o sistema decimal. 
Como é bem conhecido, no sistema decimal representamos os números naturais por uma sequência finita de um
ou mais dentre os dez algarismos que caracterizam o sistema: .
Em cada sequência, os algarismos (também chamados de dígitos) representam múltiplos de potências de dez, o
que caracteriza o sistema que utilizamos como um sistema posicional. A soma dos múltiplos das potências de dez
relativas a uma dada sequência determina, de modo único, o número que ela representa. Confiram os exemplos:
;
;
.
Assim, assumiremos que se é um número natural, então existem um número natural (único) e
algarismos (também únicos) tais que
.
 Voltar para .Teoria dos Números – Um pouco sobre divisibilidade (Parte 2) (http://clubes.obmep.org.br/blog/teoria-
dos-numeros-um-pouco-sobre-divisibilidade-parte-2/)
d P
d
P n d
P n d
  0   1   2   3   4   5   6   7   8   9
                324 = 3 ⋅ + 2 ⋅ + 4 ⋅10
2
10
1
10
0
                58017 = 5 ⋅ + 8 ⋅ + 0 ⋅ + 1 ⋅ + 7 ⋅10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
                2222222 = 2 ⋅ + 2 ⋅ + 2 ⋅ + 2 ⋅ + 2 ⋅ + 2 ⋅ + 2 ⋅10
6
10
5
10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
n r
, ,… ,a
0
a
1
a
r
                                n = ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ + ⋅ + ⋅a
r
10
r
a
r−1
10
r−1
a
2
10
2
a
1
10
1
a
0
10
0
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Rigorosamente, deveria ser essa a maneira utilizada para representar um número natural nas nossas
justificativas; mas, para todos tentarem entender as ideias utilizadas, em algumas situações consideraremos que
 é um número natural de, no máximo, cinco algarismos.
Para evitar possíveis confusões, nesta Sala não indicaremos produtos pela justaposição de seus fatores: para
indicar um produto utilizaremos, apenas, os símbolos ou . Assim, por exemplo, a notação 
não indicará o produto , já que essa notação será utilizada para representar o número natural 
tal que .
Divisibilidade por 2
Um número natural é divisível por se, e somente se, terminar em , ou ,
ou , ou , ou .
Ocultar
15638748 é divisível por 2, pois termina em 8.
6749029876539871375986 é divisível por 2, pois termina
em 6.
7629817 não é divisível por 2, pois termina em 7.
2578014971 não é divisível por 2, pois termina em 1.
Ocultar
Justificativa 1: Se você tem familiaridade com linguagem matemática e demonstrações, podemos
justificar rapidamente esse primeiro critério, observando que se é um número natural da forma
então podemos reescrevê-lo na forma , com .
Como é divisível por , então será divisível por se, e somente se, for divisível por . Como 
é um algarismo, será divisível por se, e somente se, for , ou , ou , ou , ou .
Assim, será divisível por se, e somente se, terminar em , ou , ou , ou , ou .
Justificativa 2: Vamos fazer uma justificativa mais detalhada deste resultado; para tanto, vamos
considerar o número natural .
Assim, , com .
Portanto
ou seja,
.
Assim, se , então
, com 
a)( ) Suponha que seja divisível por .
Assim, , para algum número natural e, dessa forma, por , .
Observe que , logo é um número natural; assim , com , ou seja, é
par.
Mas é um algarismo, logo as possibilidades de valores para são e, portanto, termina
em , ou , ou , ou , ou .
Logo, se é divisível por , então termina em , ou , ou , ou , ou .
(“ é divisível por ” “ termina em , ou , ou , ou , ou ”)
n
n
⋅ × abc
a ⋅ b ⋅ c n
n = a ⋅ 100 + b ⋅ 10 + c 
n 2 0 2
4 6 8
n
        n = ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ + ⋅ + ⋅a
r
10
r
a
r−1
10
r−1
a
2
10
2
a
1
10
1
a
0
10
0
n = 10 ⋅ k+ a
0
k ∈ N
10 2 n 2 a
0
2 a
0
a
0
2 a
0
0 2 4 6 8
n 2 0 2 4 6 8
abcde
 n = a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ + d ⋅ + e ⋅10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
a ≠ 0
        n = a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ + d ⋅ + e = 10× (a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ + d) + e10
4
10
3
10
2
10
1
10
3
10
2
10
1
        n = 2× (5× (a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ + d)) + e10
3
10
2
10
1
k = 5× (a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ + d)10
3
10
2
10
1
        n = 2 ⋅ k+ e k ∈ N  (i)
⇒ n 2
n = 2 ⋅ t t (i) e = 2 ⋅ t−2 ⋅ k = 2 ⋅ (t− k)
n ≥ 2 ⋅ k m = t− k e = 2 ⋅m m ∈ N e
e e 0,  2,  4,  6,  8 n
0 2 4 6 8
n 2 n 0 2 4 6 8
n 2 ⇒ n 0 2 4 6 8
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b)( ) Suponha, agora, que termina em , ou , ou , ou , ou .
Então, é par, ou seja, , para algum número natural e, dessa forma, por , 
.
Mas é um número natural, portanto é um múltiplo de e, então, divisível por .
Logo, se termina em , ou , ou , ou , ou , então é divisível por .
( “ terminando em , ou , ou , ou , ou ” “ divisível por ” )
Por (a) e (b), segue, pois, o critério.
Divisibilidade por 3
Um número natural é divisível por se, e somente se, a soma de seus algarismos
for divisível por .
Ocultar
3741 é divisível por 3, pois 3+7+4+1=15 e 15 é divisível por 3.
100104053 não é divisível por 3, pois 1+0+0+1+0+4+0+5+3=14 e 14 não é divisível por 3.
80200010103 é divisível por 3, pois 8+0+2+0+0+0+1+0+1+0+3=15 e 15 é divisível por 3.
738295698 não é divisível por 3. Observe que
7+3+8+2+9+5+6+9+8=57
e
5+7=12.
Como 12 é divisível por 3, 57 é divisível por 3, portanto 738295698 também o é.
19274654327498765128376538476253849631 também é divisível por 3. Observe que
1+9+2+7+4+6+5+4+3+2+7+4+9+8+7+6+5+1+2+8+3+7+6+5+3+8+4+7+6+2+5+3+8+4+9+6+3+1=190
e
1+9+0=10.
Como 10 não é divisível por 3, 190 não é divisível por 3, portanto
19274654327498765128376538476253849631 também não é.
Ocultar
Justificativa 1: Considere o número natural . Assim,
, com .
Como ; ; ; ;
podemos reescrever da seguinte forma:
ou ainda,
.
Agora, se e então
, com 
a)( ) Suponha que seja divisível por .
Assim, , para algum número natural e, dessa forma, por , .
Note que , logo é um número natural. Assim , com e, então, é
divisível por .
Mas , ou seja, é a soma dos algarismos de ; portanto essa soma é divisível por 
⇐ n 0 2 4 6 8
e e = 2 ⋅ x x (i)
n = 2 ⋅ k+2 ⋅ x = 2 ⋅ (k+ x)
k+ x n 2 2
n 0 2 4 6 8 n 2
n 0 2 4 6 8 ⇒ n 2
n 3
3
n abcde
 n = a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ + d ⋅ + e ⋅10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
a ≠ 0
= 10000 = 9999+ 110
4
= 1000 = 999+ 110
3
= 100 = 99+ 110
2
= 10 = 9+ 1101
n
        n = a ⋅ (9999+ 1)+ b ⋅ (999+ 1)+ c ⋅ (99+ 1)+ d ⋅ (9 + 1)+ e = 9999 ⋅ a+ a+999 ⋅ b+ b+99 ⋅ c+ c+9 ⋅ d+ d+ e
        n = 3 ⋅ (3333 ⋅ a+333 ⋅ b+33 ⋅ c+3 ⋅ d) + (a+ b+ c+ d+ e)
k = 3333 ⋅ a+333 ⋅ b+33 ⋅ c+3 ⋅ d   t = a+ b+ c+ d+ e
        n = 3 ⋅ k+ t k,  t ∈ N  (i)
⇒ n 3
n = 3 ⋅ x x (i) t = 3 ⋅ x−3 ⋅ k = 3 ⋅ (x− k)
n ≥ 3 ⋅ k z = x− k t = 3 ⋅ z z ∈ N t
3
t = a+ b+ c+ d+ e t n
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.
Logo, se é divisível por , então a soma dos algarismos de é divisível por .
(“ é divisível por ” “soma dos algarismos de é divisível por ”)
b)( ) Suponha, agora, que soma dos algarismos de seja divisível por .
Então, é divisível por 3 e, dessa forma, , para algum número natural .
Portanto, por , .
Mas é um número natural, portanto é um múltiplo de , ou seja, é divisível por .
Pelo exposto, se a soma dos algarismos de for divisível por , então é divisível por .
( “a soma dos algarismos de divisível por ” “ divisível por ” )
Portanto, por (a) e (b), segue o critério.
Justificativa 2: Para quem tem familiaridade com a linguagem matemática, a justificativa do critério
decorre rapidamente da igualdade .
, com .
Nesse caso, bastaria observar que é divisível por se, e somente se, for divisível por .
Como é a soma dos algarismos de , então é divisível por se, e somente se, a soma de seus
algarismos for divisível por .
Podemos ver um caso particular da Justificativa 1 que fizemos, assistindo a um vídeo da Khan
Academy. É só clicar no próximo botão. Terminado o vídeo, não se esqueça de fechar a
janelinha que se abriu.
Vídeo (//www.youtube.com/embed/9asev62TnmM?rel=0&)
Divisibilidade por 4
Um número natural , com mais de dois algarismos, é divisível por se, e
somente se, o número formado por seus dois últimos algarismos for
divisível por .
Ocultar
1289824 é divisível por 4, pois 24 é divisível por 4.
78961287453616 é divisível por 4, pois 16 é divisível por 4.
248768564518 não é divisível por 4, pois 18 não é divisível por 4.
7512398756902405975012587434 não é divisível por 4, pois 34 não é divisível por 4.
Ocultar
Justificativa: Faremos uma justificativa rápida observando que, se é um número natural da forma
,
podemos reescrever como
, com ,
já que .
Assim, como é divisível por , então será divisível por se, e somente se, for
divisível por .
3
n 3 n 3
n 3 ⇒ n 3
⇐ n 3
t = a+ b+ c+ d+ e t = 3 ⋅ x x
(i) n = 3 ⋅ k+3 ⋅ x = 3 ⋅ (k+ x)
k+ x n 3 n 3
n 3 n 3
n 3 ⇒ n 3
(i)
        n = 3 ⋅ k+ t k, t ∈ N
n = 3 ⋅ k+ t 3 t 3
t n n 3
3
n 4
4
n
        n = ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ + ⋅ + ⋅a
r
10
r
a
r−1
10
r−1
a
2
10
2
a
1
10
1
a
0
10
0
n
        n = 100 ⋅ k+ ( ⋅ 10+ )a
1
a
0
k ∈ N
100 = < < <⋯< <10
2
10
3
10
4
10
r−1
10
r
100 4 n 4 10 ⋅ +a
1
a
0
4
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Mas , ou seja, o número cujo algarismo das unidades é e o das dezenas é .
Com isso, será divisível por se, e somente se, o número formado por seus dois últimos algarismos
for divisível por .
Divisibilidade por 5
Um número natural é divisível por se, e somente se, terminar
em , ou .
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2346560 é divisível por 5, pois termina em 0.
98387468597839789354905698115 é divisível por 5, pois termina em 5.
889977556699881234 não é divisível por 5, pois termina em 4.
18635987356259875410397602397423029737 não é divisível por 5, pois termina em 7.
Ocultar
Justificativa: Esta justificativa é idêntica à anterior; assim, seja um número natural da forma
.
Se , podemos reescrever como
, com .
Assim, como é divisível por , então será divisível por se, e somente se, for divisível por .
Como é um algarismo, então é divisível por se, e somente se, ou . Sendo o
algarismo das unidades de , então será divisível por se, e somente se, terminar em ou em .
Divisibilidade por 6
Um número natural é divisível por se, e somente se, for divisível,
simultaneamente, por e .
Ocultar
618024 é divisível por 6, pois
618024 é divisível por 2 (termina em 4);
618024 é divisível por 3 (6+1+8+0+2+4=21, que é divisível por 3).
87400012 não é divisível por 6, pois, embora seja divisível por 2 (termina em 2), 87400012 não
é divisível por 3 (8+7+4+0+0+0+1+2=22 e 22 não é divisível por 3).
2451093 não é divisível por 6, pois, embora seja divisível por 3 (2+4+5+1+0+9+3=24 e 24 é
divisível por 3), 2451093 não divisível por 2 (termina em 3).
Ocultar
⋅ 10+ =a
1
a
0
a
1
a
0
a
0
a
1
n 4
4
n 5
0 5
n
        n = ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ + ⋅ +a
r
10
r
a
r−1
10
r−1
a
2
10
2
a
1
10
1
a
0
k = ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ 10+a
r
10
r−1
a
r−1
10
r−2
a
2
a
1
n
        n = 10 ⋅ k+ a
0
k ∈ N
10 5 n 5 a
0
5
a
0
a
0
5 = 0a
0
= 5a
0
a
0
n n 5 n 0 5
n 6 n
2 3
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Justificativa: Seja um número natural. Nesta justificativa não utilizaremos a representação de no
sistema decimal.
a)( ) Suponha que seja divisível por . Assim, existe um número natural de modo que .
Observe que:
. Se fizermos , então , com , e assim é divisível por 
.
. Se fizermos, agora, , então , com , e assim é
divisível por .
Pelo exposto, se for divisível por , então será divisível por e por .
(“ divisível por ” “ divisível por e por ”)
b)( ) Suponha, agora, que seja divisível por e por . Como , então existe tal que 
.
Mas, note que , assim , donde .
Por outro lado, existe também tal que , pois .
Assim, por e temos que .
Finalmente, se fizermos , como , então , com .
Logo, , com e isso garante que é divisível por .
Concluímos, portanto, que se for divisível por e por , então será divisível por .
(“ divisível por e por ” “ divisível por ”)
Por (a) e (b), temos o critério.
Divisibilidade por 7
Um número natural é divisível por se, e somente se, a diferença entre o número
obtido de retirando-se o algarismo das unidades e o dobro do algarismo das
unidades for divisível por .
Para evitar o aparecimento de números negativos, a diferença entre o número obtido de n retirando-se o algarismo das unidades e o dobro do
algarismo das unidades, deve ser tomada positivamente, ou seja, devemos fazer a diferença entre o maior e o menor dos números obtidos.
Para este critério, os exemplos e as justificativas serão apresentados em um vídeo do Programa
de Iniciação Científica da OBMEP. É só clicar no próximo botão. Terminado o vídeo, não se
esqueça de fechar a janelinha que se abriu.
Exemplos e justificativa (//www.youtube.com/embed/SnesXs9xlmg?rel=0&)
Divisibilidade por 8
Um número natural , com mais de três algarismos, é divisível por se, e
somente se, o número formado por seus três últimos algarismos for
divisível por .
Ocultar
2088 é divisível por 8, pois 088=88 é divisível por 8.
47680114 não é divisível por 8, pois 114 não é divisível por 8.
n n
⇒ n 6 t n = 6 ⋅ t
n = 6 ⋅ t = 2 ⋅ (3 ⋅ t) x = 3 ⋅ t n = 2 ⋅ x x ∈ N n
2
n = 6 ⋅ t = 3 ⋅ (2 ⋅ t) z = 2 ⋅ t n = 3 ⋅ z z ∈ N n
3
n 6 n 2 3n 6 ⇒ n 2 3
⇒ n 2 3 2 ∣ n k ∈ N
n = 2 ⋅ k
3− 2 = 1 3 ⋅ k−2 ⋅ k = k 3 ⋅ k− n = k (i)
t ∈ N n = 3 ⋅ t 3 ∣ n (ii)
(i) (ii) k = 3 ⋅ k− n = 3 ⋅ k−3 ⋅ t = 3 ⋅ (k− t)
y = k− t k− t ≥ 0 k = 3 ⋅ y y ∈ N
n = 2 ⋅ k = 2 ⋅ (3 ⋅ y) = 6 ⋅ y y ∈ N n 6
n 2 3 n 6
n 2 3 ⇒ n 6
n 7
n
7
n 8
8
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892398745632156789664 é divisível por 8, pois 664 é divisível por 8.
859356874523698230002116 não é divisível por 8, pois 116 não é divisível por 8.
Ocultar
Justificativa: Seja um número natural da forma
,
então podemos reescrever como
, com ,
já que .
Como é divisível por , então será divisível por se, e somente se, for
divisível por .
Mas é o número cujo algarismo das unidade é , o das dezenas é e
o algarismo das centenas é , assim será divisível por se, e somente se, for divisível por .
Isso significa que será divisível por se, e somente se, o número formado por seus três últimos
algarismos for divisível por .
Divisibilidade por 9
Um número natural é divisível por se, e somente se, a soma de seus algarismos for
divisível por .
Ocultar
5607801 é divisível por 9, pois 5+6+0+7+8+0+1=27 e 27 é divisível por 9.
310579 não é divisível por 9, pois 3+1+0+5+7+9=25 e 25 não é divisível por 9.
80200010103 não é divisível por 9, pois 8+0+2+0+0+0+1+0+1+0+3=15 e 15 não é divisível
por 9 (embora 15 seja divisível por 3 e, consequentemente, o número 80200010103 seja
divisível por 3).
347382956988716576985 é divisível por 9. Observe que
3+4+7+3+8+2+9+5+6+9+8+8+7+1+6+5+7+6+9+8+5=126
e
1+2+6=9.
Como 9 é divisível por 9, 126 é divisível por 9, portanto 347382956988716576985 também o é.
29174654327498765128376538476253849637 não é divisível por 9. Observe que
2+9+1+7+4+6+5+4+3+2+7+4+9+8+7+6+5+1+2+8+3+7+6+5+3+8+4+7+6+2+5+3+8+4+9+6+3+7=196
e
1+9+6=16.
Como 16 não é divisível por 9, 196 não é divisível por 9; portanto
29174654327498765128376538476253849637 também não é divisível por 9.
Ocultar
n
        n = ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅a
r
10
r
a
r−1
10
r−1
a
3
10
3
a
2
10
2
a
1
10
1
a
0
10
0
n
        n = 1000 ⋅ k+ ( ⋅ + ⋅ 10+ )a
2
10
2
a
1
a
0
k ∈ N
1000 = < < <⋯< <10
3
10
4
10
5
10
r−1
10
r
1000 8 n 8 100 ⋅ + 10 ⋅ +a
2
a
1
a
0
8
100 ⋅ + ⋅ 10+ =a
2
a
1
a
0
a
2
a
1
a
0
a
0
a
1
a
2
n 8 a
2
a
1
a
0
8
n 8
8
n 9
9
20/07/2019 Um pouco sobre divisibilidade – Critérios de divisibilidade – Clubes de Matemática da OBMEP
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As duas justificativas que faremos são idênticas às que fizemos no Critério para Divisibilidade por .
Justificativa 1: Considere o número natural . Assim,
, com .
Como ; ; ; ;
podemos reescrever assim:
e, também,
.
Agora, se e então
, com 
a)( ) Suponha que seja divisível por .
Assim, , para algum número natural e, dessa forma, por , .
Note que , logo é um número natural. Assim , com e, então, é
divisível por .
Mas , ou seja, é a soma dos algarismos de ; portanto essa soma é divisível por 
.
Logo, se é divisível por , então a soma dos algarismos de é divisível por .
(“ é divisível por ” “a soma dos algarismos de é divisível por ”)
b)( ) Suponha, agora, que soma dos algarismos de seja divisível por .
Então, é divisível por 9 e, dessa forma, , para algum número natural .
Portanto, por , .
Mas é um número natural, portanto é um múltiplo de , ou seja, é divisível por .
Pelo exposto, se a soma dos algarismos de for divisível por , então é divisível por .
(“a soma dos algarismos de divisível por ” “ divisível por ” )
Portanto, por (a) e (b), segue o critério.
Justificativa 2: Para quem tem familiaridade com a linguagem matemática, a justificativa do critério
decorre rapidamente da igualdade .
, com .
Nesse caso, bastaria observar que é divisível por se, e somente se, for divisível por .
Como é a soma dos algarismos de , então é divisível por se, e somente se, a soma de seus
algarismos for divisível por .
A Khan Academy também disponibilizou um vídeo para uma demonstração de um caso
particular de Divisibilidade por 9. Assista a esse vídeo, clicando no próximo botão. Terminado o
vídeo, não se esqueça de fechar a janelinha.
Vídeo (//www.youtube.com/embed/VDiDYX5rJc8?rel=0&)
Divisibilidade por 10
Um número natural é divisível por se, e somente se, terminar em .
Ocultar
47238520470 é divisível por 10, pois termina em 0.
2587460123698520369750687268469793613678 não é divisível por 10, pois termina em 8.
3
n abcde
 n = a ⋅ + b ⋅ + c ⋅ + d ⋅ + e ⋅10
4
10
3
10
2
10
1
10
0
a ≠ 0
= 10000 = 9999+ 110
4
= 1000 = 999+ 110
3
= 100 = 99+ 110
2
= 10 = 9+ 110
1
n
        n = a ⋅ (9999+ 1)+ b ⋅ (999+ 1)+ c ⋅ (99+ 1)+ d ⋅ (9 + 1)+ e = 9999 ⋅ a+ a+999 ⋅ b+ b+99 ⋅ c+ c+9 ⋅ d+ d+ e
        n = 9 ⋅ (1111 ⋅ a+111 ⋅ b+11 ⋅ c+1 ⋅ d) + (a+ b+ c+ d+ e)
k = 1111 ⋅ a+111 ⋅ b+11 ⋅ c+1 ⋅ d   t = a+ b+ c+ d+ e
        n = 9 ⋅ k+ t k,  t ∈ N  (i)
⇒ n 9
n = 9 ⋅ x x (i) t = 9 ⋅ x−9 ⋅ k = 9 ⋅ (x− k)
n ≥ 9 ⋅ k z = x− k t = 9 ⋅ z z ∈ N t
9
t = a+ b+ c+ d+ e t n
9
n 9 n 9
n 9 ⇒ n 9
⇐ n 9
t = a+ b+ c+ d+ e t = 9 ⋅ x x
(i) n = 9 ⋅ k+9 ⋅ x = 9 ⋅ (k+ x)
k+ x n 9 n 9
n 9 n 9
n 9 ⇒ n 9
(i)
        n = 9 ⋅ k+ t k, t ∈ N
n = 9 ⋅ k+ t 9 t 9
t n n 9
9
n 10 0
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Justificativa: Esta justificativa é idêntica a outras já feitas. Seja, então, um número natural da
forma
.
Se , podemos reescrever como
, com .
Assim, como é divisível por , então será divisível por se, e somente se, for divisível por 
.
Mas é um algarismo, portanto é divisível por se, e somente se, . Como é o algarismo
das unidades de , então será divisível por se, e somente se, terminar em .
Para finalizar, vamos assistir a mais um vídeo da Khan Academy. Com este último vídeo podemos
verificar se os números , e são divisíveis por e .
Depois de assistir ao vídeo, verifique se os três números analisados são divisíveis por e por , como
exercício.
Testes de divisibilidade para 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10
Vídeo disponibilizado pela Khan Academy
Para conferir a resposta da verificação se os números , e são
divisíveis por e por , é só clicar no botão abaixo.
Resposta
Testes de divisibilidade para 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10Testes de divisibilidade para 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10
n
        n = ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ + ⋅ +a
r
10
r
a
r−1
10
r−1
a
2
10
2
a
1
10
1
a
0
k = ⋅ + ⋅ +⋯+ ⋅ 10+a
r
10
r−1
a
r−1
10
r−2
a
2
a
1
n
        n = 10 ⋅ k+ a
0
k ∈ N
10 10 n 10 a
0
10
a
0
a
0
10 = 0a
0
a
0
n n 10 n 0
2799588 5670 100765 2,  3,  4,  5,  6,  9 10
7 8
2799588 5670 100765
7 8
20/07/2019 Um pouco sobre divisibilidade – Critérios de divisibilidade – Clubes de Matemática da OBMEP
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