Quântica-20190726T170304Z-001

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Quântica/lista 2 - obrigatória.pdf
Lista de problemas 2: Física Quântica 2016.3
Função de onda, poço de potencial.
1. Veri�que que a função
Ψ(x, t) =
{
Asin 4pixa e
−iEt/~ − a/2 ≤ x ≤ a/2
0 x < −a/2 ou x > a/2
é uma solução da equação de de Schrödinger na região −a/2 ≤ x ≤ a/2 para uma partícula que se move
livremente, mas esta con�nada nessa região. Determine a energia associada ao estado cuja a função de onda é
Ψ(x, t) acima. Encontre a constante de normalização A. Resposta: E = 8pi
2~2
ma2 ; A =
√
2
a
2. Um elétron está con�nado em um poço de potencial �nito com largura de 1, 0× 10−9m e altura (do potencial)
de 2,0 eV. Existe um estado ligado correspondente a n = 3 para este caso? Justi�que a sua resposta.
3. Um elétron está con�nado na região entre x = 0 e x = L, onde pode se mover livremente. Fora dessa região
o potencial é in�nito. a) Determine a função de onda normalizada do estado fundamental para este elétron
em todo espaço. b) Qual a probabilidade de encontrar o elétron na região entre 0 e L/3, quando este está no
primeiro estado excitado? Resposta: 0,402
4. Considere um elétron aprisionado em um poço de potencial unidimensional in�nito com largura de L = 300
pm. Qual é a probabilidade para que se possa detectar o elétron no primeiro estado excitado na região entre
x = 0, 5L e x = 0, 75L. Resposta: 0,25
5. Considere uma partícula de massa m con�nada no intervalo −a2 < x < a2 onde o potencial é nulo. Para x ≤ −a2
e x ≥ −a2 o potencial é in�nito. a) Resolva a equação de Schrödinger para esse sistema e mostre que as funções
de onda resultantes são de dois tipos: as funções de onda pares, ψn (−x) = ψn (x), e as funções de onda ímpares
ψn (−x) = −ψn (x). b) Mostre que essas funções de onda são equivalentes às obtidas para o caso em que a
partícula está con�nada no intervalo 0 < x′ < a (dica: observe que as as funções de onda do item anterior
podem seer obtidas deste último deslocando a origem, x′ = x+ a2 ). Resposta: a)
√
2
a sin
(
npi
a x
)
para n par, e√
2
acos
(
npi
a x
)
para n ímpar.
Função de onda, equação de Schrödinger, valores médios.
6. Uma partícula de massa m encontra-se no estado
Ψ(x, t) = Ae−a[(mx
2/~)+it],
em que A e a são constantes positivas e reais. a) Normalize Ψ(x, t).
b) Encontre a função energia potencial V (x) para a qual Ψ(x, t) é solução da equação de Schrödinger.
c) Calcule os valores médios de x, x2, p e p2.
d) Calcule o desvio-padrão σx e o σp. O produto destas quantidades é compatível com o princípio de incerteza?
Resposta:a) A =
(
2am
pi~
) 1
4
; b) V (x) = 2ma2x2;c) 〈x〉 = 0, 〈x2〉 = ~4am , 〈p〉 = 0, 〈p2〉 = am~; d) σx = √ ~4am ,
σp =
√
am~, σxσp = ~2 (compatível com o princípio de incerteza).
7. Em uma região do espaço, uma partícula possui uma função de onda dada por ψ (x) = Ae−
x2
2L2
e energia
E = ~2/2mL2, onde L é um comprimento.
a) Determine a energia potencial em função de x.
2
b) Qual tipo de potencial clássico tem essa forma?
c) Determine a energia cinética em função de x.
d) Mostre que x = L é o ponto de retorno clássico.
e) Seja V (x) = mw2x2/2 a energia potencial de um oscilador harmônico unidimensional, onde w é a frequência
angular. Compare V (x) com o resultado obtido no item a e mostre que a energia total do estado com a função
de onda ψ (x) acima pode ser escrita na forma E = ~w/2.
f) Obtenha o valor médio, 〈x〉, da posição da partícula.
Respostas: a) V (x) = ~
2
2m
x2
L4 ; c) K =
~2
2mL2
(
1− x2L2
)
8. Considerando que 〈x〉 e 〈x2〉 representam o valor médio de x e o valor médio de x2 num dado estado ψ, calcule
σx =
√〈x2〉 − 〈x〉2 , σp =√〈p2〉 − 〈p〉2 e σxσp para o estado fundamental do poço quadrado in�nito. O resul-
tado do produto σxσp é consistente com o princípio de incerteza? Explique. Respostas: σx =
√
− L22pi2 + L
2
12 ;
σp =
h
2L ; σxσp =
√
− 12pi2 + 112 h2
9. A partir da equação de Schrödinger mostre que o valor médio da energia cinética de uma partícula é dado por
〈Ecin.〉 =
ˆ +∞
−∞
ψ∗ (x)
[
− ~
2
2m
d2ψ (x)
dx2
]
dx
10. Para o seguinte estado estacionário de uma partícula com energia E
ψE (x, t) =
[
C+e
i px~ + C−e−i
px
~
]
e−i
Et
~ ,
sendo C± constantes, determine a densidade de probabilidade, ρE =| ψE |2, e a corrente de de densidade de
probabilidade jE = −i ~2m
(
ψ?E
d
dxψE − ψE ddxψ?E
)
. Veri�que que
∂ρE
∂t +
∂jE
∂x = 0.
11. A energia de um oscilador harmônico linear é E = p
2
2m+
1
2mω
2x2, em quem é a massa da partícula em movimento
harmônico simples e ω é a frequência de oscilação.
a) Mostre, usando a relação de incerteza ∆x∆p = ~2 (valor mínimo do produto ∆x∆p), que a energia média
pode ser escrita como
〈E〉 = h
2
32pi2m 〈x2〉 +
1
2
mω2
〈
x2
〉
;
b) mostre então que a energia mínima do oscilador é
1
2~ω. Esta é a chamada energia de ponto zero do oscilador
harmônico linear. (Dica: minimize E em relação ao comprimento (∆x)
2
=
〈
x2
〉
. Observe que a energia mínima
no caso clássico seria zero.)
12. Mostre que, no caso estacionário, i.e., quando Ψ(x, t) = ψ (x) e−iEt/~, em uma dimensão, a corrente de densi-
dade de probabilidade é nula para um estado ligado, em qualquer ponto do espaço. (b) Usando o resultado do
item anterior, mostre que 〈p〉 = 0 para um estado ligado em uma dimensão. Dica: Use integração por partes.
13. A expressão do operador Hamiltoniano do oscilador harmônico é dada por H = p
2
2m +
1
2mω
2x2, onde o primeiro
termo representa a energia cinética e o segundo é a energia potencial. Sabendo que os estados do oscilador são
ligados, e usando o resultado do exercício anterior (b), escreva uma expressão para o valor esperado da energia
em termos das incertezas ∆p e ∆x (use de�nição dessas grandezas e também que, por simetria, 〈x〉 = 0).
14. Mostre, diretamente a partir da equação de Schrödinger independente do tempo, que 〈p2〉 = 〈2m [E − V (x)]〉
para qualquer potencial V (x), e que 〈p2〉 = 〈2mE〉 para o poço quadrado in�nito. Use este resultado para
calcular 〈p2〉 para o estado fundamental, n = 1, e para o primeiro estado excitado, n = 2, do poço quadrado
in�nito. Respostas: 〈p2〉n=1 = h24L2 ; 〈p2〉n=2 = h
2
L2 ;
3
15. Considerando que 〈x〉 e 〈x2〉 representam o valor médio de x e o valor médio de x2 num dado estado ψ, calcule
σx =
√〈x2〉 − 〈x〉2 , σp =√〈p2〉 − 〈p〉2 e σxσp para o estado fundamental do poço quadrado in�nito. O resul-
tado do produto σxσp é consistente com o princípio de incerteza? Explique. Respostas: σx =
√
− L22pi2 + L
2
12 ;
σp =
h
2L ; σxσp =
√
− 12pi2 + 112 h2
16. No tempo t = 0 uma partícula é representada pela função de onda
Ψ(x, 0) =

Axa se 0 ≤ x ≤ a
A b−xb−a se a < x ≤ b
0 se x < 0 ou x > b,
a) Normalize Ψ(x, 0), isto é, calcule o fator de normalização A como função de a e b.
b) Faça um esboço do grá�co de Ψ(x, 0).
c) Qual a probabilidade de encontrar a partícula do lado esquerdo de a?
d) Calcule o valor médio de x. Respostas: a) A =
√
3
b ; c)
a
b ; d)
2a+b
4 .
Barreiras de potencial.
17. Discuta qualitativamente os fenômenos de re�exão e transmissão de ondas na barreira de potencial e no potencial
de poço quadrado.
18. Uma partícula esta sujeita a potencial degrau de altura maior do que a energia cinética dessa partícula. Faça
o esboço do modulo quadrado da função de onda da partícula (dica: Tente chegar na fórmula geral de solução
primeiro. O esboço deve qualitativamente mostrar todas as interferências de ondas!).
19. Uma partícula esta sujeita a potencial degrau de altura menor do que a energia cinética da partícula. (a) Faça
o esboço
do modulo quadrado da função de onda da partícula. (b) Considere agora que a partícula esta sujeita
a um potencial na forma de barreira retangular, com altura maior do que a energia cinética da partícula. Faça
o esboço do modulo quadrado da função de onda da partícula nessa situação.
20. Considere o potencial degrau
V (x) =
 0 se x ≤ 0 (região I)V0 se x > 0 (região II),
em que V0 é uma constante positiva.
a) Sendo E = V0/2 a energia de cada partícula num feixe lançado inicialmente de x < 0 e que se move em
direção a x >, calcule o coe�ciente de re�exão R. Nesse caso qual é o comportamento da função de onda de
uma partícula na região onde x > 0? É possível observar partículas nesta região em algum momento?
b) Para E = 2V0, calcule o coe�ciente de re�exão R e o coe�ciente de transmissão T . Mostre que R+ T = 1.
c) No caso do item b) e considerando que o feixe contém aproximadamente um milhão de partículas, qual seria
o número estimado de partículas re�etidas? Resposta: a) R = 1. Na região onde x > 0 (região II), a função
de onda cai exponencialmente, ψII (x) ∝ e−
√
mV0
~ x
; b) R =
(2−
√
2)
2
(2+
√
2)
2 e T =
8
√
2
(2+
√
2)
2 ; c) 30000
21. Repita o exercício anterior, mas agora com o degrau de potencial de�nido por V = 0 para x < 0 e V = −V0
para x > 0, fazendo a velocidade da partícula aumentar em vez de diminuir. O número de onda da partícula
incidente continua a ser k1, e a energia inicial continua a ser E = 2V0. Responda às questões (a), (b), (c) e (d)
do exercício anterior, discutindo os resultados obtidos.
4
22. Um feixe de elétrons de 1 eV incide sobre uma barreira retangular de 4 eV de altura e 10 Å de espessura.
a) determine as probabilidades de transmissão e de re�exão para os elétrons no feixe.
b) se os elétrons tivessem energia de 3,5 eV quais seriam os valores dessas probabilidades? Respostas: (a)
T = 5, 88× 10−8; (b) T = 1, 25× 10−3
23. Em um dispositivo semicondutor, uma camada de óxido forma uma barreira com 0.5 nm de largura e 10 V de
altura entre os dois �os condutores. Elétrons chegam a barreira depois de serem acelerados por uma tensão de
5 V, partindo aproximadamente do repouso.
a) Qual fração dos elétrons incidentes consegue atravessar a barreira por tunelamento?
b) Qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração dos elétrons incidentes que consegue atravessar a
barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item a)? Respostas: (a) T = 4, 2×10−5; (b) 5, 6V
24. Mostre que o coe�ciente de transmissão é nulo para o caso de partículas incidentes em um degrau potencial de
altura V0 > E, onde E é a energia cinética inicial das partículas.
25. Um feixe de prótons com energia cinética média de 50 MeV incide sobre um degrau de potencial de 30 MeV. (a)
Qual a fração do feixe que é re�etida? (b) Qual a fração do feixe que é transmitida? (c) Como se modi�cam os
resultados encontrados em (a) e (b), se a energia dos prótons for de 20 MeV? Respostas: (a)
(
1−
√
2
5
1+
√
2
5
)2
; (b)
1−
(
1−
√
2
5
1+
√
2
5
)2
Sistema bidimensional, átomo de hidrogênio.
26. Considere uma partícula movendo-se em um espaço bidimensional de�nido por V = 0 para 0 < x < L, 0 < y < L
e V =∞ para quaisquer outros valores de x e y.
a) Determine os autoestados da partícula neste poço de potencial.
b) Determine o espectro de energia da partícula.
c) Quais são os conjuntos de números quânticos do estado degenerado de menor energia? Respostas: (a)
ψn1,n2 (x, y) =
2
L sin
(
n1pi
L x
)
sin
(
n2pi
L y
)
; (b) En1,n2 =
~2pi2
2mL2
(
n21 + n
2
2
)
; (c) (n1, n2) ≡ {(1, 2) , (2, 1)}
27. Para o átomo de hidrogênio no estado fundamental determine:
a) a probabilidade de encontrar o elétron em um intervalo ∆r = 0.02a0 com centro em r = a0; b) a probabilidade
de encontrar o elétron em um intervalo ∆r = 0.02a0 com centro em r = 2a0; c) o valor médio da distância
elétron-núcleo em termos de a0. Respostas: (a) 0, 0107 ; (b) 0, 0059; (c) 〈r〉 = 32a0.
28. Considere as autofunções da equação de Schrödinger para o elétron no átomo tipo hidrogênio ψnlml (r, θ, ϕ) =
Rnl (r)Ylml (θ, ϕ) e os autovalores, En, de energia levando em conta apenas o potencial de Coulomb.
a) Quantos orbitais existem para a energia E2 (n = 2)? Justi�que.
b) Explique com base nos números quânticos a que estados físicos do elétron correspondem essas diferentes
orbitais?
c) Para o orbital em que a função radial é
R21 (r) =
1
2
√
6a30
r
a0
e−
r
2a0 ,
determine o raio mais provável do átomo, isto é, a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Dado:
pnl = R
2
nlr
2
.
d) Considerando agora o spin do elétron, quantos estados diferentes devem existir para o elétron quando n = 2?
Justi�que sua resposta. Respostas: a) quatro orbitais; c) 4a0; d) oito estados
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BC0103 – F´ısica Quaˆntica
Primeiro quadrimestre letivo de 2017
Professor: Michel Mendoza
Lista de Exerc´ıcios 3
1. Bohr postulou a quantizac¸a˜o da energia? O que ele
postulou?
2. Ao emitir um fo´ton, o a´tomo de hidrogeˆnio recua
de forma a que haja conservac¸a˜o do momento. Ex-
plique por que a energia do fo´ton emitido e´ menor
do que a diferenc¸a de energia entre os n´ıveis de en-
ergia envolvidos no processo de emissa˜o.
3. Compare a atrac¸a˜o gravitacional entre um ele´tron e
um pro´ton no estado fundamental de um a´tomo de
hidrogeˆnio com a atrac¸a˜o coulombiana entre eles.
Temos raza˜o ao ignorar a forc¸a gravitacional?
4. Mostre que a frequeˆncia de revoluc¸a˜o (νR) de
um ele´tron no modelo de Bohr para o a´tomo de
hidrogeˆnio e´ dada por νR = 2|E|/hn, em que E e´
a energia total do ele´tron.
5. Mostre que para todas as o´rbitas de Bohr as razo˜es
entre o momento de dipolo magne´tico da o´rbita do
ele´tron e o momento angular orbital teˆm o mesmo
valor.
6. Calcule o menor comprimento de onda da se´rie de
Lyman, da se´rie de Paschen e da se´rie de Pfund
para o hidrogeˆnio. Em qual regia˜o do espectro
eletromagne´tico esta´ cada uma?
7. Quanta energia e´ necessa´ria para remover um
ele´tron de um a´tomo de hidrogeˆnio em um estado
com n = 8?
8. (a) Mostre que quando a energia cine´tica de recuo
do a´tomo, p2/2M , e´ levada em conta, a frequeˆncia
de um fo´ton emitido em uma transic¸a˜o entre dois
n´ıveis atoˆmicos cuja diferenc¸a de energia e´ ∆E fica
reduzida a aproximadamente (1−∆E/2Mc2). (b)
Compare o comprimento de onda da luz emitida
por um a´tomo de hidrogeˆnio na transic¸a˜o dos es-
tados 3 → 1, quando se leva em conta o recuo no
ca´lculo do comprimento de onda, e quando na˜o se
leva em conta esse recuo.
9. Aplique o modelo de Bohr a um a´tomo de he´lio
ionizado, isto e´, a um a´tomo de he´lio do qual um
ele´tron foi removido. Que relac¸o˜es existem entre
esse espectro e o espectro do hidrogeˆnio?
10. Suponha que o momento angular da Terra (de
massa 6, 0 × 1024 kg) devido a seu movimento em
torno do Sol (o´rbita de raio = 1, 5 × 1011 m) seja
quantizado segundo a relac¸a˜o de Bohr L = nh/2pi.
Qual e´ o valor do nu´mero quaˆntico n? Poder´ıamos
detectar tal quantizac¸a˜o?
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Lista de Exerc´ıcios 4
1. Newton deduziu suas equac¸o˜es de movimento ou
mostrou, por meio de argumentos, a sua plausibili-
dade? Quais foram os orgumentos de Schroedinger
para postular a sua equac¸a˜o?
2. Explique com palavras o que significa normalizar
uma func¸a˜o de onda?
3. Enuncie com palavras o significado do valor esper-
ado de x.
4. Por que e´ necessa´rio utilizar um operador diferen-
cial no ca´lculo do valor esperado de p?
5. Se as func¸o˜es de onda Ψ1(x, t), Ψ2(x, t) e Ψ3(x, t)
sa˜o treˆs soluc¸o˜es da equac¸a˜o de Schroedinger para
uma energia potencial particular U(x, t), mostre
que a combinac¸a˜o linear arbitra´ria Ψ(x, t) =
c1Ψ1(x, t) + c2Ψ2(x, t) + c3Ψ3(x, t) tambe´m e´ uma
soluc¸a˜o desta equac¸a˜o.
6. Em um certo instante, uma func¸a˜o de onda de-
pende da posic¸a˜o conforme esta´ mostrado na figura.
(a) Se fosse feita uma medida que possa localizar a
part´ıcula associada em um elemento dx do eixo x
nesse instante, onde seria maior a probabilidade de
encontra´-la? (b) Onde seria menor esta probabil-
idade? (c) As chances de que ela seja encontrada
em qualquer valor positivo do eixo x seriam mel-
hores do que as chances de que seja encontrada em
qualquer valor negativo?
Problema 6
7. (a) Verifique que a func¸a˜o de onda
A sen 2pixa e
−iEt/~
−a/2 < x < +a/2
Ψ(x, t) =
0 x < −a/2 ou x > +a/2
e´ uma soluc¸a˜o para a equac¸a˜o de Schroedinger na
regia˜o −a/2 < x < +a/2, para uma part´ıcula que
se move livremente nessa regia˜o, mas que esta´ con-
finada a ela. (b) Normalize a func¸a˜o de onda,
ajustando o valor da constante multiplicativa A
de forma que a probabilidade total de encontrar
a part´ıcula associada em algum ponto da regia˜o
de comprimento a seja um. (c) Calcule o valor
esperado de x, e o valor esperado de x2, para a
part´ıcula associada a` func¸a˜o de onda. (d) Calcule o
valor esperado de p, e o valor esperado de p2, para
a part´ıcula associada a` func¸a˜o de onda. (e) Use
as grandezas calculadas nos dois problemas prece-
dentes para calcular o produto das incertezas na
posic¸a˜o e no momento da part´ıcula neste estado.
Use ∆x =
√
x2 − x2 e ∆p =
√
p2 − p2 como as
incertezas ∆x e ∆p. O princ´ıpio de incerteza e´
cumprido?
8. No ca´lculo do valor esperado do produto da posic¸a˜o
pelo momento, surge uma ambiguidade, porque na˜o
e´ evidente qual das duas expresso˜es
xp =
∫
∞
−∞
Ψ∗x
(
−i~
∂
∂x
)
Ψdx,
px =
∫
∞
−∞
Ψ∗
(
−i~
∂
∂x
)
xΨdx,
deve ser usada. (Na primeira expressa˜o, ∂/∂x
opera sobre Ψ; na segunda, opera sobre xΨ.) (a)
Mostre que nenhuma das duas e´ aceita´vel, porque
ambas violam a exigeˆncia o´bvia de que devem ser
reais, ja´ que e´ mensura´vel. (b) Mostre enta˜o que a
expressa˜o
xp =
∫
∞
−∞
Ψ∗
[
x
(
−i~ ∂∂x
)
+
(
−i~ ∂∂x
)
x
2
]
Ψdx,
e´ aceita´vel, porque satisfaz a essa exigeˆncia. (Sug-
esta˜o: (i) Uma grandeza e´ real se ela e´ igual a seu
complexo conjugado. (ii) Tente integrar por partes.
(iii) Em qualquer caso real´ıstico, a func¸a˜o de onda
sempre se anula para x = ±∞.)
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BC0103 – F´ısica Quaˆntica
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Professor: Michel Mendoza
Lista de Respostas
Lista 1: 2. λmax = 4997 A˚. 3. T=120
oC. 4. 5466 A˚.
Lista 2: 3. (a) na˜o; (b) 5398 A˚. 4. 19890 A˚. 7. (a) 0,027 A˚, 0,062 MeV; (b) 0,069 A˚, 0,34 MeV. 11. 4, 34 µeV. 13. (a)
398 A˚; (b) 398 µm; (c) 39,8 cm. 14. (a) 2,43 A˚; (b) 25,6 eV; (c) 1, 37× 10−26 kg·m/s; (d) 485 A˚.
Lista 3: 6. Lyman: 91,3 nm (ultravioleta), Paschen: 0,822 µm (infravermelho), Pfund: 2,28 µm (infravermelho). 7.
0,21 eV. 10. n = 2, 5× 1074, na˜o.
Lista 4: 6. (a) x = −1; (b) x = 0,±∞; (c) sim. 7. (b) A =
√
2/a; (c) x = 0, x2 = [(2pi2 − 3)a2]/(24pi2); (d) p = 0,
p2 = 4pi2h¯2/a2; (e) ∆x∆p = 1, 67h¯.
Lista 5: 1. (a) 9 eV; (b) 1 eV. 2. R = (k1 − k2)
2/(k1 + k2)
2, T = 4k1k2/(k1 + k2)
2.
Lista 6: 1. EH/ED = 0, 99973, EH/EHe = 0, 24990, ED/EHe = 0, 24997.
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Lista de problemas 1: Física Quântica 2016.3
Radiação do corpo negro.
1. A temperatura de sua pele é de aproximadamente 35 oC.
a) Considerando que a pele seja um corpo negro, qual é o comprimento de onda corresponde ao pico de emissão de
radiação?
b) Considerando uma área superficial total de 2 m2, qual é a potencia total emitida por sua pele?
c) Baseado em sua resposta ao item anterior, por que você não brilha tão intensamente quanto uma lâmpada
incandescente?
Respostas: a) 9,42 micrometros; b) 1 kW.
2. Considere uma cavidade, mantida à temperatura de 2000 K, com um pequeno orifício através do qual a
radiação eletromagnética em seu interior pode escapar. Em qual comprimento de onda a cavidade irradia com maior
intesidade? Resposta: 1449 nm.
3. Considere que o Sol é um corpo negro de temperatura 5700 K. O diâmetro do Sol é aproximadamente 1, 4×109m
e sua massa é 2, 0× 1030Kg:
a) Use a Lei de Stefan para calcular a energia total radiada pelo Sol em um ano.
b) A fonte de energia solar são fusões termonucleares. Utilizando a expressão E = mc2, calcule a massa transformada
por segundo em radiação pelo Sol.
c) Qual a fração da massa do Sol perdida a cada ano no processo de fusão?
Resposta: a) 1, 2× 1034 J; b) 4, 1× 109kg; c) 6, 5× 10−14
4. O máximo da distribuição espectral da potência irradiada por uma certa cavidade ocorre para o comprimento
de onda de 24, 0µm (na região do infravermelho). A temperatura da cavidade é aumentada até que a potência total
irradiada se torne duas vezes maior. (a) Determine a nova temperatura da cavidade. (b) Determine a nova posição
do máximo da distribuição espectral. Resposta: (a) 143, 6 K; (b) 20, 2µm.
5. A temperatura de um corpo negro diminui de 800 K para 650 K. Determine o quanto mudou o comprimento de
onda que corresponde ao máximo de emissão do espectro de radiação deste corpo. Resposta: aumentou em 23%.
6. A radiância espectral RT (ν) está relacionada com a densidade ρT (ν) da seguinte forma: RT (ν) =
c
4 × ρT (ν).
Calcule a radiância RT =
´∞
0
RT (ν) dν para mostrar a lei de Stefan-Boltzmann
RT = σ T
4,
em que σ =
2pi5k4B
15c2h3 . Dica: você pode extrair fatores da integral e usar o resultado
´∞
0
x3/ (ex − 1) dx = pi4/15. Use
os valores das constantes h e kB para mostrar que σ = 5, 6704× 10−8 W m−2 K−4.
Fótons, efeito fotoelétrico, efeito Compton.
7. Uma estação de rádio transmite em uma frequência de 1 MHz (106Hz) com uma potência radiada total de 5000 W.
a)Qual o comprimento de onda da radiação?
b) Qual a energia de cada fóton individual sendo emitido?
c) Quantos fótons são emitidos por segundo?
d) A antena de um aparelho de rádio deve receber pelo menos 2 µW (2 × 10−6W) de potência para conseguir
funcionar corretamente. Qual o número mínimo de fótons a antena deve receber por segundo em uma frequência de
1 MHz?
e) Os resultados das partes c) e d) indicam que o fenômeno de transmissão e recepção de rádio deve considerar a
radiação como ondas ou partículas? Justifique.Resposta: (a) 300 m; (b) E = 6, 6.10−28J; (c) 7, 5 × 1030 fotons/s;
d)3× 1021 fotons/s;
8. O molibdênio metálico tem de absorver radiação com a frequência mínima de 1, 09 × 1015s−1 antes que ele
emita um elétron de sua superfície via efeito fotoelétrico. (a) Qual é a energia mínima necessária para produzir esse
efeito? (b) Qual comprimento de onda de radiação fornecerá um fóton com essa energia? (c) Se o molibdênio é
2
irradiado com luz com comprimento de onda de 120 nm, qual seria a energia cinética máxima dos elétrons emitidos?
Resposta: (a) 4,51 eV; (b) 275 nm; (c) 5,82 eV.
9. Ilumina-se uma superfície de alumínio com luz de comprimento de onda 2000
o
A (
o
A = 10−10m). No alumínio
são necessários 4,2 eV para remover um elétron.
a) Qual a energia cinética do elétron mais rapido?
b) Qual a energia cinética elétron mais lento?
c) Qual o potencial de corte?
d) Qual a frequência de corte para o alumínio?
e) Se a intensidade da
luz incidente for 2, 0 W/m2, qual o número médio de fótons por unidade de tempo por unidade
de área que atinge a superfície? Resposta: a) 2 eV b) 0 eV c) 2 V d) 1015 Hz e) 2× 1018 fótonsm2s
10. O potencial de corte para foto-elétrons emitidos por uma superfície iluminada por luz com λ =4910
o
A é 0,71
V . Quando o comprimento de luz é mudado para λ1, o potencial de corte passa a ser 1,43 V . Qual o valor de λ1?
Resposta: λ1 =3821
o
A
11. Um aparelho de raio X funciona com uma tensão de 95 kV para aceleração dos elétrons emitidos por um
cátodo. Suponha que os elétrons são emitidos com energia cinética inicial desprezível. Determine o comprimento de
onda mínimo dos raios X produzidos por esse aparelho. Justifique sua resposta explicando como se dá a produção de
raios X. Resposta: 0, 13
o
A
12. Fótons com λ = 0.024
o
A incidem sobre elétrons livres: a)Encontre o comprimento de onda de um fóton
espalhado a 30o em relação à direção de incidência e também a energia cinética transferida ao elétron.b)Faça o
mesmo para a direção 120o . Resposta: a) λ =0,0272
o
A e E = 61,6 keV b) λ =0,0604
o
A e E = 312 keV
13. Raios-X de comprimento de onda 0.25 nm realizam espalhamento Compton com elétrons, que podem ser
considerados no estado inicial de repouso, em uma folha metática. Para o feixe observado de raios-X espalhados a
um ângulo de 60.0o em relação ao feixe incidedente determine:
a) O comprimento de onda dos raios-X espalhados.
b) A energia dos raios-X espalhados.
c) A energia cinética dos elétrons espalhados.
d) A direção de propagação dos elétrons espalhados.
Respostas: a) 0.2512 nm; b) 4936 eV; c) 24 eV; d) 59.7o.
Espectros atômicos, modelo de Bohr, dualidade onda particula.
14. Usando o modelo de Bohr:
a) Mostre que a frequência de revolução de um elétron no átomo de hidrogênio é dada por ν = 2|E|/hn, onde E é a
energia total do elétron no orbital n.
b) Calcule a velocidade do elétron para n = 1 e mostre que ela pode ser escrita como
v = αc, onde α =
1
4pi�0
e2
~c
c) Calcule numericamente o valor de α. Podemos ignorar efeitos relativísticos no átomo de hidrogênio? Justifique.
d) Compare a força gravitacional entre um elétron e um próton no estado fundamental do átomo de hidrogênio (n = 1)
com a força elétrica. Podemos desprezar a força gravitacional neste caso?
15. Um átomo de hélio uma vez ionizado, He+, tem um espéctro análogo ao do hidrogênio, mas seu núcleo tem o
dobro da carga do de hidrogênio. (a) desenvolva a teoria de Bohr para o He+, calculando os níveis de energia En em
função das constantes físicas e, me, c, h, �0. (b) Qual é a previsão para a energia do fóton emitido numa transição de
n = 2 para n = 1. (c) Calcule a energia de ionização do He+. (d) Obtenha uma estimativa da distância entre o núcleo
é o elétron desse átomo calculando o raio da primeira órbita de Bohr. Resposta: (a) En = −2me
(
e2
4pi�0~
)2
1
n2 ; (b)
40,8 eV; (c) 54,4 eV; (d) 0, 264
o
A
3
16. Qual o comprimento de onda mais curto que pode ser emitido pelo hélio uma vez ionizado? Resposta: 23 nm
17. A serie de Pfund resulta da emissão/absorção de fótons em transições do elétron no hidrogênio de (ou para)
níveis mais altos para (ou do) nível n = 5. Quais são os comprimentos de onda mais curtos e mais longo dos fótons
emitidos que correspondem à serie de Pfund? Algum deles é visível? Respostas: 2279 nm; 7460nm
18. a) Determine a energia, o momento e o comprimento de onda de um fóton emitido por um átomo de hidrogênio
quando o elétron faz uma transição direta do estado n = 4 para o estado fundamental (n = 1). b) Obtenha a
velocidade de recuo do átomo neste processo. Resposta: a) 12,75 eV; 6,8 × 10−27 kg m/s ; 97,25 nm; b) 4,07 m/s
19. Um critério aproximado para determinarmos quando a física clássica (newtoniana) pode ser usada é quando o
comprimento de onda de de Broglie (λ) é muito menor que alguma dimensão típica (l) do seu experimento. Porém,
quando l & λ devemos usar física quântica. Considere o elétron no primeiro nível de energia do átomo de hidrogênio.
a)Qual o comprimento de onda do elétron?
b) Qual a razão entre o comprimento de onda e o raio de sua órbita?
c) Baseado no resultado acima, devemos usar física quântica ou clássica para descrevermos o comportamento do
elétron no átomo de hidrogênio?
20. Um nêutron possui uma energia cinética de 10 MeV. Que tamanho de objeto é necessário para observar
efeitos de difração com nêutrons. Existe algo na natureza desse tamanho que pudesse servir como um alvo a fim de
demonstrar a natureza ondulatória deste nêutron. Resposta: 9 fm
21. a) Qual o comprimento de onda de Broglie para uma bola de massa m = 0, 3 kg se movimentando com uma
velocidade de 5,0 m/s? b) E para um objeto muito pequeno, porém macroscópico de massa 2, 0 × 10−9 g (a massa
do elétron é de 9× 10−29 g!) que se move com a velocidade 10−3 m/s? Com base nesses resultados, explique porque
não observamos efeitos de difração e interferência para tais objetos utilizando fendas. c) Qual o comprimento de
onda de Broglie para um elétron com energia cinética de 50 eV? Compare com os resultados anteriores. Resposta:
a) 4, 41× 10−34 m; b) 3,31 × 10−19 m; c) 0,17 nm
22. Num aparelho de televisão os elétrons são acelerados por um potencial de 20 kV. Qual é o comprimento de
onda de Broglie desses elétrons? Se o potencial for duplicado, qual será o novo comprimento de onda? Resposta:
0,0087 nm; 0,0061nm.
23. O postulado de quantização de Bohr para seu modelo atômico pode ser derivado da hipótese de de Broglie.
Considere um elétron no átomo de hidrogênio em uma órbita circular com um raio r qualquer.
a)Calcule o momento do elétron em função de seu raio r. b)Calcule seu comprimento de onda (λ) em função de r.
c) Se o elétron for considerado como uma onda, esta onda deve estar localizada em sua órbita. Considere que o
tamanho circular da órbita (2pir) seja igual à um múltiplo inteiro de λ. d) Calcule os valores possíveis de r. Este
valor concorda com os valores possíveis obtidos utilizando-se os postulados de Bohr?
Princípio da incerteza.
24. Considere um elétron livre com energia 0,5 keV que terá sua posição e momento determinados no mesmo
instante. Se a posição for determinada com uma precisão de 4
o
A, qual será a porcentagem de incerteza em seu
momento? 1 eV ≈ 1, 6× 10−19 J, m ≈ 9, 1× 10−31 kg. Resposta: 1, 1 %
25. Os núcleos atômicos são também sistemas quânticos com níveis de energia discretos. Um estado excitado de
um certo núcleo tem uma meia vida de 0, 5× 10−9 s, aproximadamente. Considerando que este tempo é a incerteza
∆t para a emissão de um fóton, use a relação ∆E∆t ≥ ~/2 para calcular a menor incerteza na frequência, ∆ν, do
fóton emitido. Calcule a incerteza relativa, ∆ν/ν, quando o comprimento de onda dos fótons emitidos é λ = 0.01 nm.
Respostas: 1, 6× 108 s−1, e 5, 3× 10−12.
Função de onda
26. Considere a função de onda:
Ψ(x, t) = Ae−ax
2
e−ibt
4
onde a =
√
Cm
2~ e b =
1
2
√
C
m .
a) Calcule a densidade de probabilidade, |Ψ|2. Esta densidade depende do tempo? Onde esta densidade é máxima?
b) Calcule |A| para que a probabilidade de encontrar a partícula em qualquer lugar do espaço seja 1. Dica:
Use
´∞
−∞ e
−βx2dx =
√
pi/β
c) A função de onda acima não é uma solução da equação de Schroedinger para a partícula livre. Para qual
potencial (V (x)) Ψ satisfaz a equação de Schroedinger?
27. Verifique que a função
Ψ (x, t) =
{
Asin 4pixa e
−iEt/~ − a/2 ≤ x ≤ a/2
0 x < −a/2 ou x > a/2
é uma solução da equação de de Schrödinger na região −a/2 ≤ x ≤ a/2 para uma partícula que se move livremente,
mas esta confinada nessa região. Determine a energia associada
ao estado cuja a função de onda é Ψ (x, t) acima.
Encontre a constante de normalização A. Resposta: E = 8pi
2~2
ma2 ; A =
√
2
a
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Primeiro quadrimestre letivo de 2017
Professor: Michel Mendoza
Lista de Exerc´ıcios 6
1. Hidrogeˆnio, deute´rio e he´lio mono-ionizado sa˜o
exemplos de a´tomos de um ele´tron. O nu´cleo
do deute´rio tem a mesma carga do nu´cleo de
hidrogeˆnio e massa quase exatamente duas vezes
maior. O nu´cleo de he´lio tem carga duas vezes
maior do que o nu´cleo de hidrogeˆnio e massa quase
exatamente quatro vezes maior. Fac¸a uma pre-
visa˜o exata da raza˜o entre as energias dos estados
fundamentais desses a´tomos. (Sugesta˜o: Lembre a
variac¸a˜o na massa reduzida.)
2. Verifique por substituic¸a˜o que a autofunc¸a˜o ξ211 e
a energia E2 satisfazem a equac¸a˜o de Schroedinger
independente do tempo para o a´tomo de um ele´tron
com Z = 1.
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Primeiro quadrimestre letivo de 2017
Professor: Michel Mendoza
Lista de Exerc´ıcios 5
1. Duas autofunc¸o˜es poss´ıveis de uma part´ıcula se
movendo livremente em uma regia˜o de compri-
mento a, mas estritamente limitada a esta regia˜o,
esta˜o mostradas na figura. Quando a part´ıcula es-
tiver no estado correspondente a` autofunc¸a˜o ψI, sua
energia total e´ 4 eV. (a) Qual e´ a energia total no
estado correspondendo a ψII? (b) Qual e´ a menor
energia total poss´ıvel que a part´ıcula neste sistema
pode ter?
Problema 1
2. Repita o ca´lculo do potencial degrau (para o caso
da part´ıcula com energia total maior do que a al-
tura da energia potencial do degrau) considerando
agora a part´ıcula inicialmente na regia˜o x > 0, onde
U(x) = U0, e se movendo no sentido de x decres-
cente em direc¸a˜o ao ponto onde x = 0, onde a ener-
gia potencial cai a seu valor U = 0 na regia˜o x < 0.
Encontre os coeficientes de reflexa˜o e transmissa˜o.
3. Considere uma part´ıcula penetrando em uma bar-
reira de potencial retangular de comprimento a. (a)
Escreva as equac¸o˜es diferenciais para cada regia˜o
e encontre as soluc¸o˜es gerais. (b) Encontre enta˜o
as constantes arbitra´rias ajustando ξ e dξ/dx nos
limites entre essas regio˜es. (c) Escreva a soluc¸a˜o
particular do problema e encontre que o coeficiente
de transmissa˜o T e´
T =

1 + senh2k2a
4 E
U0
(
1− E
U0
)


−1
,
em que
k2 =
√
2m
~2
(U0 − E).
4. Repita o ca´lculo do problema anterior para uma
part´ıcula com energia total maior do que a altura
da barreira, e encontre que o coeficiente de trans-
missa˜o e´ neste caso
T =

1 + sen2k2a
4 E
U0
(
E
U0
− 1
)


−1
,
em que
k2 =
√
2m
~2
(E − U0).
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Primeiro quadrimestre letivo de 2017
Professor: Michel Mendoza
Lista de Exerc´ıcios 2
1. Explique o efeito fotoele´trico.
2. A existeˆncia de um limiar de frequeˆncia no efeito
fotoele´trico e´ frequentemente encarada como a
objec¸a˜o mais forte a` teoria ondulato´ria. Explique.
3. (a) A energia necessa´ria para que um ele´tron seja
removido do so´dio e´ 2,3 eV. O so´dio apresenta efeito
fotoele´trico para a luz amarela, com λ = 5890 A˚?
(b) Qual e´ o comprimento de onda de corte para a
emissa˜o fotoele´trica do so´dio?
4. Considere que sobre uma placa fotogra´fica incide
luz. A luz sera´ “gravada” se dissociar uma mole´cula
de AgBr da placa. A energia mı´nima necessa´ria
para dissociar essa mole´cula e´ da ordem de 10−19 J.
Calcule o comprimento de onda de corte, acima do
qual a luz na˜o vai sensibilizar a placa fotogra´fica.
5. Explique o efeito Compton.
6. Voceˆ esperaria observar o efeito Compton mais
facilmente com alvos compostos de a´tomos com
nu´meros atoˆmicos altos ou com alvos de nu´meros
atoˆmicos baixos. Explique.
7. Fo´tons com comprimento de onda 0,024 A˚ incidem
sobre ele´trons livres. (a) Ache o comprimento de
onda de um fo´ton que e´ espalhado de um aˆngulo
de 30o em relac¸a˜o a` direc¸a˜o de incideˆncia e a en-
ergia cine´tica transmitida ao ele´tron. (b) Fac¸a o
mesmo para um aˆngulo de espalhamento de 150o.
(Sugesta˜o: veja o exemplo 2-4 do Eisberg-Resnick.)
8. Explique o postulado de de Broglie.
9. Por que a natureza ondulato´ria da mate´ria na˜o nos
e´ aparente em nossas observac¸o˜es dia´rias?
10. Um ele´tron e´ uma part´ıcula? E´ uma onda? Ex-
plique.
11. O comprimento de onda da emissa˜o espectral
amarela do so´dio e´ 5890 A˚. Com que energia
cine´tica um ele´tron teria o mesmo comprimento de
onda de de Broglie?
12. Explique o princ´ıpio de incerteza.
13. Se ∆λ/λ = 10−7 para um fo´ton, qual e´ o
valor simultaˆneo de ∆x para (a) λ = 5, 00 ×
10−4 A˚ (raio γ)? (b) λ = 5, 00 A˚ (raio X)? (c)
λ = 5000 A˚ (luz)?
14. Um ele´tron e um po´sitron se movem um em direc¸a˜o
ao outro com velocidades iguais de 3×106 m/s. As
duas part´ıculas se aniquilam mutuamente e pro-
duzem dois fo´tons de mesma energia. (a) Quais
eram os comprimentos de onda do ele´tron e do
po´sitron? Determine (b) a energia; (c) o momento;
(d) o comprimento de onda dos fo´tons. (Sugesta˜o:
veja o procedimento adotado em aula para o efeito
Compton e use o postulado de de Broglie.)
15. Quais sa˜o as semelhanc¸as e diferenc¸as entre os pos-
tulados de Planck (corpo negro), Einstein (efeito
fotoele´trico) e de Broglie?. Explique.
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Primeiro quadrimestre letivo de 2017
Professor: Michel Mendoza
Lista de Exerc´ıcios 1
1. Explique o que e´ um corpo negro e o mecanismo
pelo qual emite radiac¸a˜o.
2. A temperatura na superf´ıcie do Sol e´ aproximada-
mente 5800 K, e as medidas da distribuic¸a˜o espec-
tral da luz solar mostram que o astro se comporta
como um corpo negro, a na˜o ser para comprimen-
tos de onda muito pequenos. Supondo que o Sol
seja um corpo negro ideal, qual e´ o comprimento
de onda para o qual a intensidade da radiac¸a˜o emi-
tida e´ ma´xima? Este comprimento de onda esta´ em
que parte do espectro de ondas electromagne´ticas?
3. A energia solar que atinge a parte superior da at-
mosfera terrestre e´ 1, 36 × 103 W/m2, a chamada
constante solar. Supondo que a Terra se comporte
como um corpo negro de temperatura uniforme,
qual deveria ser a temperatura de equil´ıbrio da
Terra? Por qual(is) motivo(s) a Terra no possui,
em me´dia, esta temperatura?
4. A uma dada temperatura, λmax = 6500 A˚ para
uma cavidade de corpo negro. Qual sera´ λmax se
a temperatura nas paredes da cavidade for aumen-
tada de forma que a taxa de emissa˜o de radiac¸a˜o
espectral seja duplicada?
5. Usando a distribuic¸a˜o de Boltzmann P (E) =
e−E/kT /kT , e assumindo que a energia das ondas
eletromagne´ticas na cavidade e´ cont´ınua, encontre
o valor da energia me´dia das ondas (E).
6. A energia total por unidade de volume dentro da
cavidade de corpo negro pode ser calculada da in-
tegral
ρT =
∫ ∞
0
ρT (λ)dλ =
∫ ∞
0
ρ∗T (ν)dν,
em que ρ∗T (ν) e´ a densidade de energia em func¸a˜o
de ν. Demonstre que
ρ∗T (ν) =
8pihν3
c3
1
ehc/λkT − 1
.
Dica: lembre que λν = c e portanto dν 6= dλ.
7. Use a relac¸a˜o RT (ν) = (c/4)ρ
∗
T (ν), entre a
radiaˆncia espectral e a densidade de energia, e a
lei da radiac¸a˜o de Planck para obter a lei de Ste-
fan. Isto e´, demostre que
RT =
∫ ∞
0
2pih
c2
ν3dν
ehν/kT − 1
= σT 4,
em que σ = 2pi5k4/15c2h3. Sugesta˜o:
∫ ∞
0
q3dq
eq − 1
=
pi4
15
.
8. Obtenha a lei do deslocamento de Wien em termos
da frequeˆncia, νmax = 2, 8214
kT/h, resolvendo a
equac¸a˜o dρ∗T (ν)/dν = 0. Sugesta˜o: Fac¸a hν/kT =
x e mostre que a equac¸a˜o citada leva a e−x+x/3 =
1. Verifique enta˜o que x = 2, 8214 e´ a soluc¸a˜o (pode
usar o computador para encontrar este nu´mero).
9. Obtenha a lei do deslocamento de Wien em termos
do comprimento de onda, λmaxT = 0, 2014 hc/k,
resolvendo a equac¸a˜o dρT (λ)/dλ = 0. Sugesta˜o:
Fac¸a hc/λkT = x e mostre que a equac¸a˜o citada
leva a e−x+x/5 = 1. Verifique enta˜o que x = 4, 965
e´ a soluc¸a˜o (pode usar o computador para encon-
trar este nu´mero). Observe, usando o resultado do
Problema 6, que λmaxνmax 6= c (na˜o cometa o erro
muito comum de afirmar que λmaxνmax = c).
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