movimento em três dimensões

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Exemplo numérico 1: 
 
Uma partícula descreve um movimento em três dimensões. Dados os vetores 
posições r(t2) = 5 î + 3 ĵ + 8 k e r (t1) = 8 î + 5 ĵ + 7 k, calcular o vetor 
deslocamento. 
 
∆r = (x2 – x1) î + (y2 – y1) ĵ + (z2 – z1) k 
∆r = (5 – 8) î + (3 – 5) ĵ + (8 – 7) k 
∆r = - 3 î – 2 ĵ + k 
 
Cálculo do módulo dos vetores posição e deslocamento. 
 
│r│= �(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 
 
│∆r│= �[(𝑥2 – 𝑥1)2 + (𝑦2 – 𝑦1)2 + �𝑧2 – 𝑧1�2] 
 
Um exemplo numérico: 
Dado o vetor posição, r(t) = 3 î + 5 ĵ + 8, de uma partícula em um instante t 
qualquer, seu módulo será: 
 
│r│= �(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2) 
│r│= �(52 + 32 + 82) 
│r│= �(25 + 9 + 64) 
│r│= �(98) 
│r│= 10 
 
Uma partícula descreve um movimento em três dimensões. Dados os vetores 
posições r(t2) = 5 î + 3 ĵ + 8 k e r(t1) = 8 î + 5 ĵ + 7 k, calcular o módulo do vetor 
deslocamento. 
 
 
 
 
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│∆r│= �[(𝑥2 – 𝑥1)2 + (𝑦2 – 𝑦1)2 + (𝑧2 – 𝑧1)2] 
│∆r│= �[(5 – 8)𝑖 + (3 – 5)𝑗 + (8 – 7)𝑘] 
│∆r│= �[(− 3)2 + (– 2)2 + 12] 
│∆r│= �[9 + 4 + 1] 
│∆r│= 3,7 
 
Em duas dimensões: 
r(t) = x î + y ĵ 
∆r = (x2 – x1) î + (y2 – y1) ĵ ou ∆r = ∆x î + ∆y ĵ. 
│r│= �(𝑥2 + 𝑦2) 
│∆r│= ���𝑥2 – 𝑥1�2 + �𝑦2 – 𝑦1�2� 
 
Exemplo numérico 2: 
 
Cientistas fotografam átomos de lítio 
Fonte: Redação do Site Inovação Tecnológica - 18/07/2003 
 
Pesquisadores conseguiram as primeiras imagens de átomos individuais de lítio, 
componente chave na construção das mais modernas baterias. Somente átomos 
de hidrogênio e hélio são menores e mais leves do que os átomos de lítio. 
O LiCoO2 é comumente utilizado nos eletrodos positivos de baterias recarregáveis 
de lítio, cuja operação é baseada na inserção e remoção reversíveis de íons de 
lítio entre os eletrodos positivo e negativo. 
Largamente utilizadas em bateriais de computadores portáteis, câmeras digitais 
e muitos outros equipamentos, as baterias de íons de lítio armazenam mais 
energia em relação ao peso, operam em voltagens mais altas e retêm carga por 
muito mais tempo do que outras baterias recarregáveis. Mas, com a contínua 
diminuição do tamanho dos equipamentos e com as exigências dos usuários no 
 
 
 
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sentido da incorporação de mais recursos em cada um deles, aumentam também 
as exigências sobre as baterias, que devem ficar menores e fornecer cada vez 
mais energia. 
Para aumentar seu desempenho, os pesquisadores precisam entender como os 
átomos dos materiais utilizados nos eletrodos, e os espaços deixados pela 
movimentação dos íons, são dispostos tridimensionalmente em escala atômica. 
Embora a estrutura do LiCoO2 já fosse conhecida de forma teórica, nenhuma 
técnica até agora havia permitido a visualização dos átomos, mesmo com a 
utilização de microscópios eletrônicos. 
 
http://www.inovacaotecnologica.com.br/noticias/noticia.php?artigo=010115030718 
(Adaptado) 
 
O vetor posição de um íon é inicialmente r = 5,0 î – 6,0 ĵ + 2,0 k, e 10 s mais 
tarde é r = - 2,0 î + 8,0 ĵ – 2,0 k, todos em metros. Sua velocidade média durante 
os 10 s é: 
 
VM = ∆r/∆t = [(- 2,0 î +8,0 ĵ – 2,0 k) – (5,0 î – 6,0 ĵ + 2,0 k)]/10 = [(- 2,0 – 5,0).0,1] 
î + [(8,0 – 6,0).0,1] ĵ + [(- 2,0 + 2,0).0,1] k = (- 7,0. 0,1) î + (2,0 . 0,1) ĵ + (0. 0,1) 
k = (- 0,7 î + 0,2 ĵ) m/s 
 
VM = (- 0,7 î + 0,2 ĵ) m/s 
 
Obs: VM = ∆r /10 = ∆r.1/10 = ∆r. 0,1 
 
Exemplo numérico 3: 
 
Vida de elétron 
Belmiro Wolski 
 
Em meio a uma banda proibida em uma nuvem eletrônica, alguns elétrons 
conversam para passar o tempo. 
 
 
 
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- Este lugar está muito chato. Não há nada para fazer.- Concordo - respondeu 
outro elétron - Isto aqui é uma prisão. Deviam acabar com essas malditas 
camadas de valência. 
 
Um terceiro elétron entra na discussão: 
- Pois eu logo vou sair daqui. Aposto todo dia na loteria eletrônica e pretendo 
ganhar um fóton altamente energético. Com ele vou dar um salto quântico e me 
tornar um elétron livre. 
 
O primeiro elétron, esboçando um sorrisinho de deboche, rebate: 
- Vã esperança. Você sabe bem que o tunelamento quântico é muito difícil de 
acontecer. 
 
Ouvindo a conversa acirrada dos colegas, um velho elétron, segurando sua 
bengala, que com dificuldade mantinha seu spin alinhado, esbanjando sabedoria 
intervém: 
- Há milhões de unidades de tempo estou confinado neste lugar. Já fiz parte do 
tecido de estranhas criaturas como os dinossauros. Já vi muitas coisas estranhas 
acontecerem. Vocês jovens, só pensam em liberdade. Pois saibam que a vida lá 
fora é muito difícil, muito perigosa. A qualquer momento um elétron pode ter 
seu fim decretado pelo choque com outras partículas ou radiações energéticas. 
Além do mais, a vida de um elétron livre não é permeada de glórias. Não fosse 
assim, eles não vivam tentando se recombinar. 
 
Trecho da crônica “Vida de elétron” de Belmiro Wolsky em: Humor na Ciência. 
Fonte: http://www.humornaciencia.com.br/fisica/vida-eletron.htm 
 
A posição de um elétron é dada por r = 3,00t î – 4,00t2 ĵ + 2,00 k, com t em 
segundos e r em metros. 
 
a) velocidade do elétron é: 
b) em t = 2,00 s, a velocidade, na notação de vetor unitário, vale: 
 
 
 
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c) em t = 2,00 s, a velocidade, em módulo, vale: 
 
Como r = (3,00t î – 4,00t2 ĵ + 2,00 k) m e V = 𝑑𝒓
dt
, temos que: 
 
V = 𝑑𝒓
dt = 𝑑(3,00𝑡 î – 4,00𝑡2 ĵ + 2,00 𝑘) dt = 3,00 î – 2.4,00t ĵ = (3,00 î – 8,00t ĵ) m/s 
 
a) V (t) = (3,00 î – 8,00t ĵ) m/s 
 
b) V (2,00) = 3,00 î – (8,00.2,00) ĵ = (3,00 î – 16,0 ĵ)m/s 
 
c) │V(2,00)│= �(3,002 + 16,02) = �(9,00 + 256) = �(265) 
 
│V(2,00)│= 16,3 m/s 
 
Exemplo numérico 4: 
 
Lago Vostok 
 
O Lago Vostok é uma massa de água sub-glacial localizada na Antártida, por baixo da 
Estação Vostok, um centro de investigação dirigido pela Rússia. Este lago permaneceu 
desconhecido durante muito tempo, graças ao seu peculiar enquadramento geográfico e 
permanece como uma das últimas zonas por explorar do planeta Terra. Só em 1996 se 
descobriu a sua verdadeira extensão. O lago Vostok tem uma forma elíptica com 250 km 
de comprimento e 40 km de largura cobrindo uma área de 14 mil km². O seu fundo é 
irregular e divide-se em duas bacias, a mais profunda com cerca de 800 m e a outra com 
200 m. Calcula-se que o lago contenha um volume de 5.400 km³ de água doce. Está 
totalmente protegido da atmosfera e outros contactos com o exterior por uma espessura 
de 4 km de gelo antártico. 
A origem do lago Vostok é, segundo a opinião da maioria dos cientistas, um lago normal 
que foi coberto por gelo, à medida que se desenvolveram os glaciares da calote polar da 
Antártida. Esta submersão deve ter ocorrido a partir dos 30 milhões de anos atrás e 
 
 
 
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terminou há 15 milhões de anos. É há esta quantidade de tempo que o lago e suas 
eventuais formas de vida se encontram isolados um dos motivos que lhe traz interesse 
científico. 
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Lago_Vostok (adaptado) 
 
No lago Vostok um barco desliza sobre o gelo velejando pela sua superfície com 
aceleração constante produzida pelo vento. Em certo instante a velocidade do 
barco é (6,30 î – 8,42 ĵ) m/s. Três segundos depois, por causa de uma mudança 
na direção do vento, o barco está instantaneamente em repouso. A aceleração 
média para esse intervalo de 3 s é: 
 
V(ti) = (6,30 î – 8,42 ĵ) m/s 
 
V(tf) = (0,00 î + 0,00 ĵ) m/s 
 
∆t = 3 s 
 
aM = 
∆𝑽
∆t
 = 𝑽(𝑡𝑓) – 𝑽(𝑡𝑖)
∆t
 = (0,00 î + 0,00 ĵ) − (6,30 î – 8,42 ĵ) 
3
 = (0,00 – 6,30) î + (0.00 – (− 8,42)) ĵ
3
 
 
= − 6,30 î + 8,42 ĵ 
3
 = (- 2,10 î + 2,81 ĵ )m/s2 
aM = (- 2,10 î + 2,81ĵ) m/s2 
 
Exemplo numérico 5: 
 
Não é tão ruim aprender um pouco sobre a origem das palavras! 
 
A palavra partícula vem do Latim particula, diminutivo de pars, “parte, porção”. 
Esse diminutivo é feito com o sufixo – ícula. Assim, partícula é composto pelo 
radical part + o sufíxo ícula. O significado dessa palavra fica fácil de 
descobrirmos, é uma parte pequena de algo. 
O elétron é uma pequena parte de um átomo, logo, chamamos de partícula. 
 
 
 
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A posição r de uma partícula que se move em um plano xy é dada por: r = (2,00t3 
– 5,00t) î + (6,00 – 7,00t4) ĵ, com r em metros e t em segundos. Calcule: 
a) r em t = 2,00 s 
b) V em t = 2,00 s 
c) a em t = 2,00 s 
 
a) r = [(2,00t3 – 5,00t) î + (6,00 – 7,00t4) ĵ] m 
 
Em t = 2,00 s, basta substituir o valor de t em r: 
r = [(2,00 . 2,003 – 5,00 . 2,00) î + (6,00 – 7,00 . 2,004) ĵ] m 
r = [(2,00 . 8,00 – 10,0) î + (6,00 – 7,00 . 16,0) ĵ] m 
r = [(16,0 – 10,0) î + (6,00 – 122) ĵ] m 
r = [6,00 î – 106 ĵ] m 
 
b) Para calcular v devemos derivar r em função de t: 
V = 𝑑𝒓 
dt
 = 𝑑[�2,00𝑡3 – 5,00𝑡� î +(6,00 – 7,00𝑡4) ĵ] 
dt
 = (3 . 2,00t2 – 5,00) î + ( - 4. 7,00t3) ĵ = 
= [(6,00t2 – 5,00) î – 28,0t3 ĵ] m/s 
 
Em t = 2,00 s, basta substituir o valor de t em V: 
 
V = [(6,00t2 – 5,00) î – 28,0t3 ĵ] m/s 
V = [(6,00. 2,002 – 5,00) î – (28,0. 2,003) ĵ] m/s 
V = [(6,00. 4,00 – 5,00) î – (28,0. 8,00) ĵ] m/s 
V = [(24,0 – 5,00) î – 224 ĵ] m/s 
V = [19,0 î – 224 ĵ] m/s 
 
c) Para calcular a devemos derivar V em função de t: 
 
a = 𝑑𝑽
dt
 = 𝑑[(6,00𝑡2 – 5,00) î − 28,0𝑡3 ĵ]
dt
 = (2 . 6,00t î - 3 . 28,0t2 ĵ) m/s2 
 
 
 
 
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Em t = 2,00 s, basta substituir o valor de t em a 
a = (12,0t î - 84,0t2 ĵ) m/s2 
a = (12,0 . 2,00 î - 84,0 . 2,002 ĵ) m/s2 
a = (24,0 î - 84,0 . 4,00 ĵ) m/s2 
a = (24,0 î – 336 ĵ) m/s2 
 
Exemplo numérico 6: 
 
Terra 
Fonte: Wikipédia, a enciclopédia livre. 
 
A Terra é o terceiro planeta mais próximo do Sol, mais denso e o quinto maior dos oito 
planetas do Sistema Solar. É também o maior dos quatro planetas telúricos. É por vezes 
designada como Mundo ou Planeta Azul. Lar de milhões de espécies de seres vivos, 
incluindo os humanos.O planeta formou-se há 4,54 bilhões (mil milhões) de anos, e a 
vida surgiu na sua superfície um bilhão de anos depois. Desde então, a biosfera terrestre 
alterou significativamente a atmosfera e outros fatores abióticos do planeta, permitindo 
a proliferação de organismos aeróbicos, bem como a formação de uma camada de 
ozônio, a qual, em conjunto com o campo magnético terrestre, bloqueia radiação solar 
prejudicial, permitindo a vida no planeta. As propriedades físicas do planeta, bem como 
suas história geológica e órbita, permitiram que a vida persistisse durante este período. 
Acredita-se que a Terra poderá suportar vida durante pelo menos outros 500 milhões de 
anos. 
 
Determinar o período de revolução, a frequência e a velocidade angular de um 
satélite que se desloca numa órbita circular com uma velocidade escalar 
constante igual 8,0 km/s, ao redor da Terra. Considere o raio da Terra igual a 
6370 km. 
 
 
 
 
 
 
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Dados: 
 
V = 8,0 km/s e R = 6370 km 
 
ω = V/R = 8,0 / 6370 = 0,0012 rad/s 
ω = 2π/T 
 
T = 2π/ω = 2. π /0,0012 = 5236 s 
T = 5236 s 
 
f = 1/T = 1/5236 
f = 1,9 x 10-4 hz.