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Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Métodos das
Diferenças Finitas
Métodos Numéricos para
Mecânica dos Fluidos
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Bibliografia:
 J. H. Ferziger and M. Peric, 'Computational Methods for Fluid Dynamics', 
Springer­Verlag Berlin Heidelberg New York, 1997.
A. O. Fortuna, 'Técnicas Computacionais para Dinâmica dos Fluidos', 
EDUSP, 2000.
J. C. Strickwerda, 'Finite Difference Schemes and Partial Differential 
Equations', Chapman & Hall, 1989.
Métodos das Diferenças Finitas
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
O que é?
Método utilizado para se calcular as 
derivadas parciais presentes em equações diferenciais.
Métodos das Diferenças Finitas
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
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Equações de Navier­Stokes na forma diferencial:
Métodos das Diferenças Finitas
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
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Como funciona?
Expansão em Série de Taylor:
Métodos das Diferenças Finitas
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Como funciona?
Expansão em Série de Taylor => resolver no quadro
Métodos das Diferenças Finitas
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
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Cálculo da primeira derivada:
Métodos das Diferenças Finitas
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Aproximações de ordem mais elevada:
Métodos das Diferenças Finitas
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
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Cálculo da segunda derivada:
Métodos das Diferenças Finitas
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Como aplicar nas equações de Navier­Stokes?
Inicialmente vamos utilizar MDF em Eq. simplificadas
Métodos das Diferenças Finitas
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
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Equação Elíptica Unidimensional
Distribuição de temperatura
em uma barra isolada termicamente
EQUAÇÃO:
d2T/dx2 = 0
Métodos das Diferenças Finitas
T0 T1
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Equação Elíptica Unidimensional
Distribuição de temperatura
em uma barra isolada termicamente
Métodos das Diferenças Finitas
T0 T1
T0 T1
dx
Condição de contorno Condição de contorno
T= T(i)
 i ­> 1, 2, 3, 4, ..., imax
1 2 3 4 imax. . . . .
X
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
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Equação Elíptica Unidimensional
Distribuição de temperatura
em uma barra isolada termicamente
MÉTODO:
Resolver no quadro.
Métodos das Diferenças Finitas
T0 T1
dx
cc
T= T(i)
 i ­> 1, 2, 3, 4, ..., imax
1 2 3 4 imax. . . . .
X
cc
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Equação Elíptica bidimensional
Distribuição de temperatura em uma placa
                EQUAÇÃO DE LAPLACE:
                                                  d2T/dx2 + d2T/dy2= 0
Métodos das Diferenças Finitas
T0 T2
T3
T1
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Métodos das Diferenças Finitas
T0 T2
T3
T1
Equação Elíptica bidimensional
Distribuição de temperatura em uma placa
Método de Gauss­Seidel
T=T( i , j )
Resolver no quadro
dx
X
Y
dy
imax
jmax
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Equação Hiperbólica Unidimensional
Transporte unidimensional de uma “ onda”
EQUAÇÃO:
du/dt = ­ a * du/dx
Métodos das Diferenças Finitas
X0 Ximax
1 2 3 4 imax
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Equação Hiperbólica Unidimensional
Transporte unidimensional de uma “ onda”
MÉTODO:
Fazer no quadro.
Métodos das Diferenças Finitas
X0 Ximax
1 2 3 4 imax
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Equação Parabólica Unidimensional
Distribuição transiente de temperatura em 
uma barra isolada termicamente
EQUAÇÃO:
dT/dt = b * d2T/dx2
Métodos das Diferenças Finitas
T0 T1
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Equação Parabólica Unidimensional
Distribuição transiente de temperatura em 
uma barra isolada termicamente
MÉTODO:
­ Fazer no quadro
­ Expansão em série de Taylor para a derivada temporal
­ Condição de estabilidade:   b * dt/dx2 <= 0.5
Métodos das Diferenças Finitas
T0 T1
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Equação Parabólica unidimensional
Equação de convecção­difusão
EQUAÇÃO:
du/dt = ­a * du/dx + b * d2u/dx2
Métodos das Diferenças Finitas
X0 Ximax
1 2 3 4 imax
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
Prof. Leandro Franco de Souza
Equação Parabólica unidimensional
Equação de convecção­difusão
MÉTODO:
Fazer no quadro.
Métodos das Diferenças Finitas
X0 Ximax
1 2 3 4 imax
Métodos Numéricos para Mecânica dos Fluidos
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Resumo
Como funciona;
1a derivada;
2a derivada;
Aproximações de ordem elevada;
MDF para Eq. Elípticas;
MDF para Eq. Parabólicas;
MDF para Eq. Hiperbólicas;
Estabilidade.
Próxima aula => Navier­Stokes bi­dimensional incompressível.
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