Conceito de Tensão

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Conceito de Tensão 
Revisão de Estática 
 Considere que a estrutura consiste de uma barra com seção 
transversal retangular e uma barra com seção transversal circular, 
unidas por pinos. A estrutura é projetada para suportar uma carga 
de 30 kN. Realize uma análise estática para determinar a 
força interna de cada elemento estrutural e as forças de reação nos 
apoios. 
 
 
 
0
m8.00


y
yB
A
AM
Considerando o diagrama de corpo livre da barra AB 
kN30yC
Substituindo a equação de equilíbrio na equação 
anterior, temos 
Diagrama de Corpo Livre 
    
kN30
0kN300
kN40
0
kN40
m8.0kN30m6.00









yy
yyy
xx
xxx
x
xC
CA
CAF
AC
CAF
A
AM
Condições para o equilíbrio estático: 
Equilíbrio dos Nós 
Resultados das Reações nos apoios: 
As forças de reação são direcionados ao longo do 
eixo da barra. 
Para calcular as forças internas, a estrutura é 
separada em duas barras simples, ou seja as 
barras são submetidas a apenas duas 
forças que são aplicadas nas extremidades. 
FAB = 40kN e FBC = 50kN 
 kN30CkN40CkN40A yx
Conceito de Tensão 
 Embora os cálculos obtidos através dos conceitos da Estática 
representem uma etapa necessária na análise das estruturas, 
eles não são capazes de predizer se determinada carga pode 
ser suportada com segurança pelo membro. 
 Se o membro romperá ou não dependerá não somente dos 
valores calculados para as forças internas, mas também da 
sua área da seção transversal e do material do qual é feito. 
 Ao se levar em consideração a área da seção transversal , 
pode-se calcular a intensidade média da forças elementares 
que atuam nesta área (tensão, σ). 
Análise de Tensão 
 Considerando as dimensões da estruta do exemplo 
anterior e supondo que a barra BC seja feita de aço que 
apresenta uma tensão máxima admissível (σadm) de 
165MPa, determinar a tensão criada na haste pela 
carga. 
A partir de uma análise estática: 
 FBC = 50 kN (tração) 
Em qualquer seção através da barra BC, a 
força interna é de 50 kN com uma intensidade 
de força ou tensão que corresponde a: 
 
 MPa159
m10314
N1050
26-
3




A
P
BC
A partir das propriedades do material para o 
aço, cuja tensão admissível é 165MPa, conclui-se 
que estrutura suporta com segurança a carga de 
30kN, uma vez que a tensão solicitante é menor do 
que a tensão admissível. 
Análise do Material e das Dimensões 
 Supondo que a barra seja feita de alumínio com σadm = 
100MPa, qual será a área da seção transversal da barra 
para que ela continue suportando uma força de 50 kN? 
 
mm2.25m1052,2
m1050044
4
m10500
Pa10100
N1050
2
26
2
26
6
3















A
d
d
A
P
A
A
P
all
all
Uma barra de alumínio de 26 milímetros ou mais de diâmetro é suficiente. 
Conceito de Força Axial 
 Barra prismática  membro estrutural reto que apresenta a 
mesma seçao transversal ao longo de seu comprimento. 
 Força axial (P)  carga direcionada ao longo do eixo da 
barra, resultando na sua tração ou compressão. 
 
 
Carga Axial e Tensão Normal 
 Se resultante das forças internas para uma barra axialmente 
carregada é normal para uma seção de corte perpendicular ao 
eixo axial da barra, então a tensão correspondente a essa 
resultante é descrita como tensão normal. 
 Como a tensão normal representa um valor médio da força 
resultante sobre a seção transversal e não a tensão em um 
ponto específico, para determinar a tensão em um ponto Q da 
seção transversal, devemos considerar uma ΔA com 
intensidade de força Δ F, de forma que: 
A
F
A 


 0
lim
Carga Axial e Tensão Normal 
 A tensão normal em um determinado ponto pode não 
ser igual à tensão média. Mas as condições de equilíbrio de 
cada uma das partes da barra exigem que a intensidade da 
resultante das forças internas seja igual a intensidade P das 
cargas concentradas. Desta forma, a 
resultante da distribuição de tensões deve satisfazer: 
 A distribuição real das tensões é estaticamente indeterminada, ou 
seja, não pode ser encontrada a partir das condições de equilíbrio 
somente. 
 
A
dAdF 
APdFP med 
Distribuição de tensão uniforme 
 Só é possível haver uma distribuição de tensão uniforme 
assumindo-se que: 
1. A barra é prismática (seção transversal uniforme), sem 
furos entalhes ou roscas (pois atuam como 
concentradores de tensão) e não apresenta tensões 
residuais e não está sujeita a variações de temperatura; 
2. O material que constitui a barra é homogêneo 
(densidade uniforme) e isotrópico (propriedades não 
variam com a direção); 
3. A direção da força axial atuante P passa pelo centróide 
da seção transversal (carga centrada); 
4. A seção em análise está distante das extremidades 
carregadas. 
Carga Centrada e Carga Excêntrica 
 A distribuição uniforme de tensão em uma seção só 
é possível se a linha de ação das 
cargas concentradas nas extremidades das seções 
passarem através do centroide da seção 
considerada. Este tipo de carregamento é chamado 
de carga centrada. 
 Se a barra estiver 
excentricamente carregada, então a 
resultante da distribuição de tensões em 
uma seção deve produzir uma força axial 
aplicada no centroide e um momento 
conjugado. 
 A distribuição de tensões em 
barras excentricamente carregadas não 
pode ser uniforme ou simétrica. 
Exemplo de Tensões Normais 
 Uma barra com dois trechos cilíndricos de diâmetros 
distintos estão conectadas na flange B e carregadas 
conforme mostra a figura. Considerando o diametro do 
cilindro 1 igual a 24mm, determine a tensão normal neste 
cilindro. 
Exemplo de Tensões Normais 
Tensão de Cisalhamento 
Forças P e P’ são aplicadas transversalmente a 
barra AB. 
Correspondentes forças internas atuam no plano 
de seção transversal C e são chamadas forças 
de cisalhamento. 
A resultante da distribuição da força de 
cisalhamento interna é definida no corte da 
seção e é igual à carga P (força cortante). 
A
P
med
A distribuição da tensão de cisalhamento varia de 
zero na superfície da barra até um valor máximo 
que pode ser muito maior do que o valor médio. 
Exemplo de Tensões de Cisalhamento 
Cisalhamento Simples Cisalhamento Duplo 
A
F
A
P
med
A
F
A
P
2
med 
Problema Resolvido 
 As componentes de madeira A e B devem ser unidas por 
cobrejuntas de madeira compensada que serão totalmente coladas 
às superfícies em contato. Como parte do projeto de junção, e 
sabendo que a folga entre as extremidades das componentes deve 
ser 6 mm, determine o comprimento L mínimo permitido para que a 
tensão de cisalhamento média na cola não exceda 0,8 MPa. 
 
 
mL 154,0
Problema Resolvido 
 Duas pranchas de madeira, cada uma com 12 mm de 
espessura e 225 mm de largura, são unidas pela junta 
de encaixe mostrada na figura. Sabendo que a madeira 
utilizada rompe por cisalhamento ao longo das fibras 
quando a tensão de cisalhamento média alcança 8 MPa, 
determine a intensidade P da carga axial que romperá a 
junta. 
Problema Resolvido 
 A junta romperá nas regiões de contato entre os encaixes, totalizando 
6 áreas de rompimento. 
A
P
6
med 
)10192(6
108,0
6
6


P
Tipos de Cisalhamento 
 A força de cisalhamento pode causar três tipos de 
tensão: 
 Tensão de cisalhamento (cisalhamento direto) – ação direta 
dasforças aplicadas P (forças normais); 
 Tensão de torção – membros submetidos a forças de 
torção; 
 Tensão de flexão – membros submetidos de forças de 
flexão. 
Tensão de Esmagamento em Conexões 
Parafusos, rebites, pinos criam tensões 
ao longo da superfície de 
esmagamento, ou de contato, nos 
elementos que eles se conectam. 
A resultante da distribuição de 
força na superfície é igual e oposta 
à força exercida sobre o pino. 
dt
P
A
P
e
A intensidade da força média 
correspondente é chamada de tensão 
de esmagamento 
Tensões de Esmagamento - Conexões 
 Considerando a barra AB do primeiro exemplo, determinar a 
tensão de esmagamento nominal na barra e no apoio 
(Lembrando que FAB = - 40 kN). 
Tensões de Esmagamento - Conexões 
Para determinar a tensão de esmagamento nominal em 
A na barra AB, temos t = 30 mm e d = 25 mm, 
  
MPa3,53
mm25mm30
kN40

td
P
e
Para determinar a tensão de esmagamento no apoio 
em A, temos t = 2 (25 mm) = 50 mm e d = 25 mm, 
  
MPa0,32
mm25mm50
kN40

td
P
e
 Considerando a barra AB do primeiro exemplo, determinar a 
tensão de esmagamento nominal na barra e no apoio. 
Análise de Tensão e Exemplos de Projetos 
 Determinar as tensões nas barras e conexões da estrutura 
mostrada. 
 A partir de uma análise estática: 
 FAB = 40 kN (compressão) 
 FBC = 50 kN (tração) 
Deve-se considerar a 
máxima tensão 
normal em AB e BC, e a tensão 
de cisalhamento e tensão de 
esmagamento em cada conexão. 
Determinação da Tensão Normal - Barras 
Para a barra BC: 
FBC = 50 kN (tração) 
A =314x10-6 m2 
BC = 159 MPa (tensão de tração) 
  
MPa167
m10300
1050
m10300mm25mm40mm20
26
3
,
26







N
A
P
A
extBC
Nas extremidades achatadas da barra, a menor área 
transversal ocorre na linha central do furo 
Para a barra AB: 
FAB = 40 kN (compressão) 
A = 1,5x10-6 m2 
AB = 26,7 MPa (tensão de compressão) 
Tensões de Cisalhamento - Conexões 
Área da seção transversal de pinos em A, B e C 
26
2
2 m10491
2
mm25 





  rA
MPa102
m10491
N1050
26
3
, 



A
P
medC
Para o pino C: a força no pino é igual à força exercida 
pela barra BC. Então, o valor médio da tensão de 
cisalhamento no pino em C é 
Para o pino A: o pino está sob cisalhamento duplo 
com uma força total igual à força exercida pela barra 
AB dividida por dois. 
MPa7,40
m10491
kN20
26,



A
P
medA
Tensões de Cisalhamento - Conexões 
Divida o pino B em 5 partes para determinar a seção com a maior 
força cortante, 
MPa9,50
m10491
kN25
26,



A
PG
medB
Avaliar a tensão de cisalhamento média correspondente 
 (Maior) kN25
kN15


G
E
P
P
Tensões em Barras com Duas Forças 
 Forças axiais aplicadas em um elemento de barra, 
provocam apenas tensões normais em um plano de 
corte perpendicular ao eixo barra. 
 Forças transversais agindo em parafusos e pinos 
provocam apenas tensões de cisalhamento no plano 
perpendicular ao eixo do parafuso ou pino. 
Tensão em um plano oblíquo sobre carregamento 
axial 
 Forças axiais ou transversais podem produzir 
tanto tensões normais e de cisalhamento com relação a 
um plano que não seja um corte perpendicular ao 
eixo da barra. 
Tensão em um plano oblíquo sobre carregamento 
axial 
 Das condições de equilíbrio, as forças distribuídas sobre 
o plano deve ser equivalente à força P. 
 Decompondo P em componentes normais e 
tangenciais à seção oblíqua, 
 
 senPVPF  cos
 Então, as tensões normais e de cisalhamento média sobre 
o plano inclinado são descritas como: 










cos
cos
cos
cos
cos
00
2
00
sen
A
P
A
senP
A
V
A
P
A
P
A
F


Tensão máxima 
 cos
0
2cos
0
sen
A
P
A
P

Tensões normais e cisalhantes em um plano 
inclinado 
A tensão máxima normal ocorre quando o plano de 
referência é perpendicular ao eixo da barra (θ=0), 
0
0
m  
A
P
A tensão máxima de cisalhamento ocorre para uma 
inclinação de + 45 º com relação ao eixo da 
barra, 
00 2
45cos45
A
P
sen
A
P
m 
0
2
0 2
45cos
A
P
A
P

http://web.mst.edu/~mecmovie/ 
Problema Resolvido 
 A carga P de 6227 N é suportada por dois elementos de 
madeira de seção transversal uniforme unidos pela emenda 
colada como mostra a figura. Determine as tensões normal e 
de cisalhamento na emenda da cola. 
Problema Resolvido 
2m310,6793101273102,76 



 



  bhA
 306090 
 
3
2
10,679
30cos6227


kPa9,482
 
 310,6792
606227


sen

kPa8,278
Tensão sob Carregamentos Gerais 
 Considere um elemento de volume submetido a uma 
combinação de cargas, como mostra a figura (a). Fazendo 
um corte em um plano perpendicular ao eixo x e 
considerando um elemento de área ΔA que passa pelo 
ponto Q, pode-se decompor as componentes das forças 
normal e cisalhante em componentes paralelas e 
perpendiculares à seção investigada. 
 
 
Estado de Tensão 
 A distribuição de componentes da tensão interna pode ser 
definida como, 
A
V
A
V
A
F xz
A
xz
xy
A
xy
xx
A
x










limlimlim
000

 Componentes de tensão são definidas para os planos 
cortados paralelamente aos eixos x, y e z. Para o equilíbrio, 
uma distribuição igual e oposta de forças internas e tensões 
deve ser exercida sobre o outro segmento do elemento. 
Componentes de Tensão 
A combinação de forças geradas pela 
tensão devem satisfazer as condições para o 
equilíbrio: 
0
0




zyx
zyx
MMM
FFF
xzzxzyyz   e
Considere os momentos em torno do eixo z: 
Similarmente, 
yxxy  
    00  aAaAM yxxyz 
Componentes de Tensão 
 Igualdade das tensões de cisalhamento em planos 
mutuamente perpendiculares. Desta forma, apenas 
6 componentes de tensão são necessárias para definir o 
estado completo de tensão: σx, σy, σz, τxy, τyz e τzx 
 O cisalhamento não pode ocorrer apenas em um plano, 
deve sempre existir uma tensão de cisalhamento igual 
em outro ponto perpendicular ao primeiro. 
Fator de Segurança 
 Elementos estruturais ou máquinas devem ser 
concebidos de tal forma que as cargas de trabalho sejam 
menores do que as cargas limites. 
 Muitos fatores desconhecidos que influenciam na tensão 
real de um elemento. 
 O fator de segurança (FS) é um método para 
especificação da carga admissível para o projeto ou 
análise de um elemento. Corresponde a razão entre a 
carga de ruptura (tensão limite) e a tensão admissível. 
 
 
admissível Tensão
limite Tensão
adm
rup

F
F
FS
Confiabilidade: média estatística da probabilidade de que um elemento 
não falhará em operação. 
Considerações para um Fator de Segurança 
 Incerteza nas propriedades do material 
 Incerteza de cargas 
 Incerteza das análises 
 Número de ciclos de carga 
 Tipos de falha 
 Requisitos de manutenção e os efeitos de 
deterioração 
 Importância da barra para a integridade de toda 
estrutura 
 Risco à vida e à propriedade 
 Influência sobre a função da máquina 
 
 
Seleção de um fator de Segurança 
 FS entre 1,25 a 2: materiais bem conhecidos e 
confiáveis, utilizadossob condições controladas e 
sujeitos a cargas e tensões que podem ser prontamente 
determinadas com razoável grau de certeza (quando o 
baixo peso é uma consideração importante). 
 FS entre 2 a 3: para materiais médios, operados em 
ambientes comuns e sujeitos a cargas e tensões que 
podem ser determinadas. 
 FS entre 3 a 4: para materiais médios utilizados em 
ambientes incertos ou sujeitos a tensões incertas. 
Problema Resolvido 
 As duas partes do elemento AB são coladas ao longo de um 
plano formando um ângulo θ com a horizontal. Sabendo que o 
limite de tensão para a junta colada é de 13,5 MPa em tração e 
de 7,1 MPa em cisalhamento, determine o intervalo de valores 
para θ para o qual o coeficiente de segurança dos elementos 
seja pelo menos 3. 
Problema Resolvido 
   2333 m101,9210601032   bhA
adm
rup
F
F
FS 
  NF 33rup 103010103 
P
A 
 02cos 
  
3
63
2
1030
105,13101,92
cos





6,21
9295,0cos




6,21
 2
2
cos
00
sen
A
P
sen
A
P

P
A
sen 0
2
2

 
   
3
36
1030
101,922101,7
2




sen
9088,02 sen
34,652 
67,32 67,32
Resposta: 21,60 < θ < 32,670 
Conceito de Deformação 
Introdução 
 Adequação de uma estrutura ou máquina pode depender 
das tensões induzidas pelas cargas aplicadas, bem 
como das deformações produzidas a estrutura pela ação 
destas cargas. 
 Considerando as estruturas como deformáveis e 
analisando as deformações em seus vários componentes, 
poderemos calcular as forças estaticamente 
indeterminadas. 
 A determinação da distribuição de tensões dentro de 
um componente também exige a consideração 
das deformações que ocorrem neste componente. 
Conceito de Deformação 
 Considere um corpo sujeito a ação de forças externas que 
resultam alteração no seu posicionamento. O deslocamento 
de quaisquer dois pontos do corpo pode ocorrer como 
resultado de uma ação mecânica sobre o corpo (deformação), 
de um movimento do corpo rígido (translação e rotação) ou de 
uma combinação destes. 
Diz-se que o corpo está deformado quando as posições relativas 
entre os pontos estão alteradas. 
Tipos de Deformação 
Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a 
mudar a forma e o tamanho dele. 
 As deformações são classificadas de acordo com a 
origem dos deslocamentos: 
 Deformação axial (específica normal, ε): devido a ação de 
forças axiais (alongamento ou contração); 
 Deformação por flexão (ε): devido a ação de movimentos 
rotacionais; 
 Deformação por torção (γ): devido a ação de movimentos 
de torção; 
 Combinação destes. 
Deformação Específica normal 
 Primeiramente, vamos considerar as deformações em um 
componente estrutural sob carregamento axial, de 
comprimento L seção transversal uniforme. Ao se aplicar 
uma carga P à extreminade de C, a barra se alongará. 
A este deslocamento AB-A’B’ 
dá-se o nome de deformação 
específica normal (ε). E pode 
ser definida como a 
deformação do componente 
(δ) por unidade de 
comprimento. 
A deformação normal é uma quantidade 
adimensional, visto que é uma razão entre 
dois comprimentos. 
o
l
o LL
dL 
  
0
Deformação Específica Normal 
L
A
P





L
A
P
A
P





2
2
LL
A
P





2
2
 A deformação específica normal não depende das dimensões 
do corpo de prova utilizado, apenas das características do 
material que o constitui. 
Problema Resolvido 
 Uma estrutura formada por dois cilindros de materiais 
diferentes, está sujeita a uma carga P que produz uma 
deformação axial em cada cilindro, como mostra a figura. 
Calcule a deformação nas componentes AB e BC e a 
deformação total na estrutura. 
Problema Resolvido 
Para o componente AB 
m
L
AB 009,0
5,0
0045,0


Para o componente BC 
m
L
BC 0086,0
5,1
013,0


Para toda a estrutura AC 
Problema Resolvido 
 Uma estrutura ABCD conectada por pinos consiste de três 
barras e um cabo, como mostra a figura. Após a carga P 
ser aplicada na junta B, a junta C se move 10mm para a 
direita. Determine qual o valor da deformação específica no 
cabo. 
 Hipóteses: a deformação das 
barras é desprezível quando 
comparada à do cabo. 
 Como o ângulo de rotação α da 
barra CD é muito pequeno, a 
coordenada vertical de C pode 
ser considerada igual ao seu 
comprimento: LCD ≈ LCD cos α. 
Desta forma, LAB ≈ LAB cos α 
Problema Resolvido 
 A esrutura se deforma para AB’C’D. O 
comprimento final do cabo é dado por: 
 O comprimento inicial do cabo é dado 
por: 
 A deformação no cabo será, então: 
m00229,0
38537,2
38737,239084,2



= 229 µm 
AC
ACAC
L
LL
L


'
Deformação específica por Cisalhamento 
 A mudança que ocorre no ângulo entre dois segmentos 
de reta que eram perpendiculares um ao outro é 
denominada deformação por cisalhamento. 
 
θ < 90°  Deformação por cisalhamento positiva 
θ > 90°  Deformação por cisalhamento negativa 
'
2


 nt
Valor em radianos 
Problema Resolvido 
 Uma chapa é deformada até a forma representada pelas linhas 
tracejadas mostradas na figura ao lado. Se, nessa forma deformada, 
as retas horizontais na chapa permanecerem horizontais e seus 
comprimentos não mudarem, determine (a) a deformação normal ao 
longo do lado AB e (b) a deformação por cisalhamento média da 
chapa em relação aos eixos x e y. 
Problema Resolvido 
Parte (a) 
A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ após a 
deformação. Logo, o comprimento da reta é: 
 
 
Portanto, a deformação normal média para AB é: 
 
 
 
O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB. 
  mm 018,24832250' 22 AB
  (Resposta) mm/mm 1093,7
250
250018,248' 3
méd





AB
ABAB
AB
Problema Resolvido 
Parte (b) 
Como observado, o ângulo BAC entre os lados da chapa, em relação aos 
eixos x, y, que antes era 90º, muda para θ’ devido ao deslocamento de B 
para B’. 
Visto que , então é o ângulo mostrado na figura. Assim, 
 
'
2
  xy xy

(Resposta) rad 0121,0
2250
3
tg 1 






 xy
Teste de Tensão x Deformação 
 A deformação ε é determinada através de ensios mecânicos de 
tração, obtendo-se um gráfico da força aplicada em função da 
deformação gerada no corpo de prova. 
Tensão x Deformação 
 A relação tensão x deformação depende do material que está sendo 
analisado, da temperatura do corpo de prova e da velocidade que se 
aplica a carga. 
Tensão x Deformação 
Materiais dúcteis 
 Material que possa ser submetido a grandes deformações antes de 
sofrer ruptura é denominado material dúctil. 
Materiais frágeis 
 Materiais que exibem pouco ou nenhum escoamento antes da falha 
são denominados materiais frágeis. 
Tensão x Deformação 
 Comportamento 
elástico: a tensão é 
proporcional à 
deformação. Quando 
a tensão é removida, 
a deformação 
desaparece. 
 O maior valor de 
tensão para o qual 
isso ocorre é 
chamado de limite de 
escoamento (ou limite 
elástico) do material. 
Tensão x Deformação 
Escoamento: 
 Um pequeno aumento 
na tensão acima do 
limite de elasticidade 
resultará no colapso 
do material e fará com 
que ele se deforme 
permanentemente. 
Limite de escoamento 
Limite de escoamento para um aço baixo carbono. 
 Limite de escoamento superior 
corresponde à carga atingida 
imediatamente antes do início do 
escoamento. 
 Limite de escoamento inferior 
corresponde à carga necessária 
para manter o escoamento. 
 O ponto de escoamento superior é 
transitório, devendo ser utilizado o 
escoamento inferior para se 
determinar a resistência ao 
escoamento. 
Limite de escoamento 
 Muitos materiais dúcteis não apresentam um ponto de escoamento 
bem definido. Ao invés disso, a tensão continua aumentando 
(embora não linearmente) até atingir o limite de resistência. 
 Para esses materiais, a tensão de escoamento (σe ) pode ser 
definida pelo método do desvio. 
 A resistência ao escoamento é obtida 
traçando-se uma reta paralela à reta 
inicial da curva do diagrama partindo-se 
do ponto onde ε = 0,2% (ε =0,002). 
 A tensão correspondente ao ponto E 
(ponto de intersecção) será a tensão de 
escoamento a 0,2% da origem. 
Tensão x Deformação 
Endurecimento por 
deformação plástica: 
 Quando o 
escoamento tiver 
terminado, pode-se 
aplicar uma carga 
adicional ao corpo de 
prova, o que resulta 
em uma curva que 
cresce continuamente, 
mas torna-se mais 
achatada até atingir 
uma tensão máxima 
denominada limite de 
resistência. 
Endurecimento por deformação plástica 
 Se um corpo de prova de material dúctil for carregado na região 
plástica e, então, descarregado, a deformação elástica é 
recuperada. 
 Entretanto, a deformação plástica permanece, e o resultado é 
que o material fica submetido a uma deformação permanente (ou 
deformação residual). 
 
Tensão x Deformação 
Estricção: 
 No limite de 
resistência, a área 
da seção transversal 
começa a 
diminuir em uma 
região localizada 
do corpo de prova. 
 O corpo de prova 
quebra quando 
atinge a tensão de 
ruptura. 
Tensão e Deformação verdadeiras 
 Para o cálculo das 
tensões verdadeiras 
(reais), leva-se em 
consideração as 
variações da área. 
 Quando se considera 
apenas a área inicial, 
tem-se uma curva 
tensão x deformação 
de engenharia (ou 
convencional). 
Tensão x Deformação 
 A fim de cálculos estruturais de engenharia, a resistência de um 
material dependerá de sua capacidade de suportar uma carga 
sem deformação excessiva ou ruptura. 
 Essa propriedade é inerente ao próprio material. 
Diagramas tensão-deformação 
para o ferro e diferentes tipos de aço. 
Lei de Hooke 
 A lei de Hooke define a relação linear entre a tensão e a 
deformação dentro da região elástica. 
 E
σ = tensão 
E = módulo de elasticidade ou módulo de Young 
ε = deformação 
E pode ser usado somente se o material tiver 
relação linear–elástica. 
Lei de Hooke – Carregamentos Axiais 
 Pela Lei de Hooke: 
E
E
 
 Substituindo pela definição de 
deformação específica: 
AE
P
A
P
 
AE
PL
L
 
Para barras com carregamentos 
em outros pontos, diversas seções 
transversais e diferentes materiais: 

i ii
ii
EA
LP
 
L
AE
Pdx
0

Problema Resolvido 
 Determine a deformação da barra de aço mostrada 
submetida às forças dadas. Considere 
GPaE 200
Problema Resolvido 
SOLUÇÃO: 
Divida a barra em três componentes: 
2
21
21
mm 580
mm. 300


AA
LL
2
3
3
mm 200
mm. 400


A
L
Aplicar a análise de corpo livre em cada 
componente para determinar as forças 
internas, 
N10150kN150
N1050kN50
N10300kN300
3
3
3
2
3
1



P
P
P
Deformação total 
     
mm. 2,15 
200
31,429
200
400150
580
30050
580
300300
200
1
1
3
33
2
22
1
11






 














A
LP
A
LP
A
LP
EEA
LP
i ii
ii