Calculo 2 - Notas de Aula Prof Silvio
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Calculo 2 - Notas de Aula Prof Silvio

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Silvio Antonio Bueno Salgado Iury Angelo Gonc¸alves
ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALI´TICA E
CA´LCULO DIFERENCIAL DE FUNC¸O\u2dcES
DE VA´RIAS VARIA´VEIS REAIS
2016
Suma´rio
1 Conceitos Fundamentais de Geometria Anal´\u131tica 5
1.1 O Espac¸o Vetorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Produto Interno e Norma em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.5 Co\u2c6nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.5.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Superf´\u131cies Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.1 Elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.6.2 Hiperboloide de uma Folha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6.3 Hiperboloide de Duas Folhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.6.4 Paraboloide El´\u131ptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.6.5 Paraboloide Hiperbo´lico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.6 Superf´\u131cie Co\u2c6nica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.6.7 Superf´\u131cie Cil´\u131ndrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.7 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2 Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis Reais a Valores Reais 47
2.1 Func¸o\u2dces de Duas Varia´veis Reais a Valores Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.2 Func¸o\u2dces de Tre\u2c6s ou Mais Varia´veis Reais a Valores Reais . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.3 Gra´fico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.4 Conjuntos de N\u131´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3 Noc¸o\u2dces de Topologia 56
3.1 Bolas e Vizinhanc¸as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Conjuntos Abertos e Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.3 Pontos de Acumulac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.4 Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2
3.5 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Limite de Func¸o\u2dces 68
4.1 A Definic¸a\u2dco de Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2 O Teste dos Dois Caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3 Propriedades dos Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.4 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
5 Continuidade 79
5.1 A Definic¸a\u2dco de Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.2 Propriedades das Func¸o\u2dces Cont´\u131nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5.3 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6 Derivadas Parciais 85
6.1 Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.2 Interpretac¸a\u2dco Geome´trica das Derivadas Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
6.3 Derivadas Parciais Vistas como Taxas de Variac¸a\u2dco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.4 Derivadas Parciais de Ordens Superiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
6.5 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
7 Func¸o\u2dces Diferencia´veis e Diferencial 96
7.1 A Definic¸a\u2dco de Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
7.2 Crite´rio de Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
7.3 Aplicac¸a\u2dco da Diferenciabilidade: Plano Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
7.4 Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7.5 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8 Derivac¸a\u2dco de Func¸o\u2dces Compostas 104
8.1 A Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
8.2 Aplicac¸o\u2dces da Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
8.3 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9 Teorema da Func¸a\u2dco Impl´\u131cita 111
9.1 Func¸o\u2dces Definidas Implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.2 O Teorema da Func¸a\u2dco Impl´\u131cita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.3 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10 Gradiente e Derivada Direcional 117
10.1 Vetor Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
10.2 Derivada Direcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.3 Exerc´\u131cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3
11 Otimizac¸a\u2dco de Func¸o\u2dces de Va´rias Varia´veis 128
11.1 Extremos Locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
11.2 Extremos Absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
11.3 Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
4
Cap´\u131tulo 1
Conceitos Fundamentais de Geometria
Anal´\u131tica
Neste cap´\u131tulo, apresentam-se alguns to´picos de geometria anal´\u131tica vetorial, indispensa´veis para
o estudo do ca´lculo diferencial e integral de func¸o\u2dces de va´rias varia´veis.
1.1 O Espac¸o Vetorial Rn
Seja n um nu´mero natural. O espac¸o euclidiano n dimensional, denotado por Rn, e´ o produto
cartesiano de n co´pias de R, ou seja, Rn = R×R× ...×R. Os elementos desse conjunto sa\u2dco as listas
de nu´meros reais da forma x = (x1, ..., xn). Para cada i = 1, ..., n o termo xi chama-se a i-e´sima
coordenada do elemento x. Quando trabalha-se com o espac¸o euclidiano n dimensional, conve´m
destacar alguns casos particulares de fundamental importa\u2c6ncia. Quando n = 1, R1 = R e´ o conjunto
dos nu´meros reais, que geometricamente e´ representado por uma reta. Quando n = 2, R2 = R×R e´
o plano cartesiano e quando n = 3, R3 = R × R × R representa o espac¸o euclidiano tridimensional.
Denota-se por x = (x1, x2) um elemento qualquer do espac¸o R2 e por x = (x1, x2, x3) um elemento
qualquer do espac¸o R3. Os elementos de Rn sa\u2dco chamados de pontos ou de vetores. Denota-se por
0 = (0, ..., 0) o vetor cujas coordenadas sa\u2dco todas nulas, o qual e´ chamado a origem de Rn. Dado um
elemento x = (x1, ..., xn) de Rn, o vetor \u2212x = (\u2212x1, ...,\u2212xn) chama-se vetor oposto a x.
Define-se, em Rn duas operac¸o\u2dces: adic¸a\u2dco e multiplicac¸a\u2dco de um nu´mero real por um vetor. A
adic¸a\u2dco faz corresponder a cada par de elementos x = (x1, ..., xn) e y = (y1, ..., yn) um u´nico elemento
de Rn chamado soma de x com y denotada e definida