Notas de Aula de Cálculo II - 2013.1 - Morales

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NOTAS DE AULA DE CALCULO II 
 
PROFESSOR CARLOS ARNOLDO MORALES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trabalho feito com colaboração dos alunos de 2013/1: 
Bruno Santos Vicencio 
Guilherme Amoglia Priori 
Luiz Cláudio F. Fernandez 
Marco Aurelio Dal Sasso 
Natasha Oliveira de Carvalho 
Patricia Schavarosk Figueira 
Rachel Reis Teixeira 
Richard Maia 
Robson Lima Felix 
Thiago de Oliveira Silva 
 
 
Sumário 
1. Equação Diferencial Ordinária (EDO) .............................................................................................................. 5 
1.1 Problema de valor inicial ........................................................................................................................... 5 
1.2 Como resolver EDOs? ................................................................................................................................ 6 
1.2.1 Uso da tabela de integrais .................................................................................................................. 6 
1.2.2 Separação de variáveis ....................................................................................................................... 7 
1.2.3 Fator de Integração ............................................................................................................................ 8 
1.3 EDO de 2° ordem ..................................................................................................................................... 10 
1.3.1 Caso 1 ............................................................................................................................. 10 
1.3.2 Caso 2 (não homogênea) ..................................................... 11 
1.4 Solução Geral da EDO Não Homogênea de 2ª Ordem ............................................................................ 13 
1.5 Sistemas de EDOs .................................................................................................................................... 15 
2 Geometria em ℝn ( n ∈ ℕ+ ) ............................................................................................................................ 17 
2.1 Soma ........................................................................................................................................................ 17 
2.2 Produto por escalar ................................................................................................................................. 17 
2.3 Módulo (norma) ...................................................................................................................................... 17 
2.4 Produto escalar ........................................................................................................................................ 18 
2.5 Produto Vetorial (Exclusivo de R³) ........................................................................................................... 18 
2.6 Curva Parametrizada ............................................................................................................................... 19 
2.7 Reta .......................................................................................................................................................... 23 
2.8 Gráficos .................................................................................................................................................... 25 
2.9 Reta tangente e reta/plano normal ......................................................................................................... 26 
2.10 Longitudes de curvas ............................................................................................................................. 28 
2.11 Função de n variáveis ............................................................................................................................ 30 
2.12 Função popular de n-variáveis (polinômio) ........................................................................................... 32 
3 Limite .............................................................................................................................................................. 34 
3.1 Continuidade ........................................................................................................................................... 35 
3.2 Propriedade do tipo “Limite Lateral” ...................................................................................................... 35 
3.3 Teste do Sanduíche.................................................................................................................................. 36 
4 Derivada Parcial .............................................................................................................................................. 39 
4.1 Regras ...................................................................................................................................................... 40 
4.2 Interpretação geométrica da derivada parcial ........................................................................................ 41 
4.3 Derivadas Direcionais .............................................................................................................................. 46 
4.4 Regra da Cadeia: ...................................................................................................................................... 48 
 
 
4.4.1 Derivada de ordem superior: ........................................................................................................... 49 
4.4.2 Teorema de Clariot ........................................................................................................................... 49 
4.5 Geometria da derivada direcional ........................................................................................................... 49 
4.6 Derivação Implícita .................................................................................................................................. 52 
4.7 Planos tangentes a superfície de nível .................................................................................................... 55 
4.8 Extremos Absolutos ................................................................................................................................. 58 
4.9 Extremos em regiões ............................................................................................................................... 59 
4.10 Extremos em superfícies de nível ......................................................................................................... 59 
4.11 Valor extremo sujeito a duas condições (ℝ3) ........................................................................................ 63 
5. Quádricas ....................................................................................................................................................... 67 
5.1 Desenho da ........................................................................... 67 
5.2 Rabanada ................................................................................................................................................. 68 
5.3 Elipsóides ................................................................................................................................................. 69 
5.4 Parabolóides ............................................................................................................................................ 70 
6 Lista de exercícios ...........................................................................................................................................71 
7 P1 – 2013/1..................................................................................................................................................... 76 
8 P2 - 2013/1 ..................................................................................................................................................... 77 
 
 
 
5 
 
 
1. Equação Diferencial Ordinária (EDO) 
 
É uma equação envolvendo uma função, , e suas derivadas , ... Uma solução é 
uma função que a satisfaz. 
 
Exemplos: 
Função 
 
Solução 
Particular Geral 
 
 ∈ ℝ 
 ∈ ℝ 
 ∈ ℝ 
 
 
 
Resolver uma EDO é achar uma (ou todas) solução (ões) dela. 
Dois tipos de solução: 
o Particular: não depende de constantes; 
o Geral: depende de constantes. 
 
1.1 Problema de valor inicial 
 
É uma EDO fornecida de uma condição (inicial) do tipo . 
 
Exemplo: 
{
 
 
 Solução: 
 
Repare que, nesse exemplo, a solução geral é ∈ ℝ. 
 
 
 
6 
 
 
1.2 Como resolver EDOs? 
 
Não existe um método que serve para todas elas. Cada caso é um caso e, inclusive existem EDOs 
que não podem ser resolvidas, como 
 
. 
Neste curso vamos fornecer alguns “métodos” para r solv r EDOs. 
 
1.2.1 Uso da tabela de integrais 
 
Aplica-se nas EDOs do tipo , para alguma função conhecida de . Usa-se a conhecida 
nota o d d r vada 
 
 
 para a r sto 
 
 
 
 ∫ ∫ ∫ 
A solução (geral) da EDO é ∫ . 
 
Exemplos: 
1) ∫ . Logo, a solução é . 
 
2) {
 
 
 
 olu o 
 
 
 
 olu o ral é 
 
 
 
 
 
 
 olu o é 
 
 
 
 
3) 
 olu o 
 
 
 
 olu o ral é ∫
 
 
 ln| | 
 
7 
 
 
1.2.2 Separação de variáveis 
 
Trata-s d colocar as var áv s d st ntas m lados opostos do “ ” integrar. Vai funcionar em 
EDOs do tipo , onde e são funções de e , respectivamente. 
D ato s ndo u 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 ∫ 
Observação: Este método conduz, usualmente, a soluções implícitas. 
 
Exemplo: 
1) 
 olu o 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 ∫ ln| | 
 
 
 ln| | 
 
 
 
Neste caso, a solução é implícita, que pode ser explicitada usando . 
ln| | 
 
 
 | | 
 
 | | 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
 olu o 
 
 
 
 
 
 
∫
 
 
 ∫ ln 
 
 
 
(
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 olu o condu a ∫ ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
4) {
 
 
 
 no nt rvalo 
 
 
 olu o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ∫
 
 
 ∫
 
 
 ln| | ln| | 
 ln| | ln| | ln| | ln| | ln| | ln| | 
 
 
s n 
cos 
 
 olu o 
 
 
 
s n 
cos 
 ∫cos ∫s n s n cos ⏟ 
 á 
 
 
1.2.3 Fator de Integração 
 
Aplica-se nas EDOs do tipo *, onde e são funções de . 
*É de ordem 1 
Ordem: número correspondente a maior derivada na EDO. 
 
Para resolver essa equação, se introduz a nova função: ∫ . 
Derivando , tem-se: 
 ( ∫ )
 
 ∫ ( ∫ )
 
 
 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
 ∫ 
 ∫ ∫ 
Ou seja, ∫ 
 
 
 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 
9 
 
 
Como ∫ ∫ ∫ ∫ (solução geral de 
 ). 
 
Casos bons: 
 , ∈ ℕ 
 , sempre que 
 
s ja “duas v s nt ráv l” 
 s n (ou cos ), domínio ou 
 ∫ nt ráv l 
 , ∫ ∫ “integrável” 
 
1) 
Solução: ∫ ∫ ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
 
2) 
Solução: 
Pela fórmula, ∫ ∫ ∫ ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 ∫ 
 
 
3) 
 
 
Solução: pela formula, ∫ ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 ∫ 
 
 
 
 
 
 
4) {
 
 
 
 cos ∈ 
 
 
Solução: pela formula, ∫
 
 
 
∫ cos ∫
 
 
 ∫ cos 
10 
 
 
 ∫ cos 
 
 
 
 cos 
 s n 
 s n ∫s n 
 s n cos s n cos 
 s n cos 
 s n cos 
 
1.3 EDO de 2° ordem 
 
 , , e ∈ ℝ, e é função de . 
 Caso 1 (homogênea) 
 Caso 2 (não homogênea) 
 
1.3.1 Caso 1 
 
 . Para resolver, usa-se a equação característica (EC). Obtem-se da EDO 
trocando por , por e por . 
 equação do 2° grau em . 
Temos o seguinte diagrama que resolve a EDO, usando as raízes da EC: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 cos s n 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
√ 
 
 cos (
√ 
 
 ) s n (
√ 
 
 ) e ∈ ℝ 
 
 
 √ 
 
 
11 
 
 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.3.2 Caso 2 (não homogênea) 
 
Nesta EDO, define-se a EDO homogênea associada, (trocando o da 
não homogênea por ). 
Vamos considerar neste curso dos seguintes tipos: 
 
{
 
 
 
 ∈ ℝ
 é cos s n 
 
 
 
O método, neste caso, chama-se coeficiente indeterminado. 
 Chute Exceção Chute alternativo 
 ol n m o 
Polinômio geral do 
mesmo grau de 
Não tem Não tem 
E pon nc al 
Quando for raíz da 
EC 
 
cos s n cos s n 
Quando for parte 
imaginária de uma 
raíz complexa da EC 
 cos 
 s n ) 
Soma das anteriores Soma das anteriores 
Depende das 
anteriores 
Depende das anteriores 
 
12 
 
 
Polinomial 
 
Polinomial geral do mesmo 
grau 
Obs: O que sai daqui 
são soluções 
particulares da não 
homogênea 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
1) 
 {
 
 
 
 {2) cos 
 cos s n {
 s n cos 
 cos s n 
 
 cos s n s n cos cos s n cos 
 cos s n cos s n {
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 cos 
 
 
 s n 
 
 
 
3) é um caso excepcional? 
Para ser excepcional, deve ser raíz da EC. 
 
 √ 
 
 
 √ 
 
 
 Não é um caso excepcional. 
 
 
13 
 
 
4) Achar a solução particular da EDO: 
Solução: A EC é raíz não é um caso excepcional. 
 
 
 
 
 
1.4 Solução Geral da EDO Não Homogênea de 2ª Ordem 
 
 
Dita solução se escreve , onde é solução geral da homogênea associada a 
 
 
Exemplo: 
Achar a solução geral. 
1) 
Solução: (homogênea associada) 
r E raízes: r = ± 1 Não é exceção! 
 cos s n 
Chute: 
 roca 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 cos s n 
 
 cos 
Solução: cos (homogênea associada) 
r² + 4 = 0 (EC) raízes: r = ± 2i 
14 
 
 
É exceção? Sim, pois 2 é parte imaginária da raiz 
 cos s n 
Chute: cos s n 
 cos s n s n cos 
 cos s n 
 cos s n s n cos 
 cos s n 
Troca: cos s n cos s n cos 
 cos s n cos 
 
 
 
 
 
 
 
 s n 
 
 
 
 s n cos s n 
 
3) 
Solução: (homogênea associada) 
r² - 2r + 1 (EC) raiz: r =1 
 
 
Exceção? Sim. 
Chute: 
 
 
Troca: 
Ocorre que: resulta em zero. Não pode ocorrer! Pois 
sempre deve ser maior do que 0! 
Logo, o chute não serve. 
Chute2: 
 
15 
 
 
 
Troca 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.5 Sistemas de EDOs 
 
Trata-se de achar funções e que satisfazem o sistema 
{
 
 
 
A estratégia é transformar esse sistema em uma EDO de 2ª ordem: 
 ou 
As derivadas referem-se à variável . 
Exemplo: 
No sistema {
 
 
 
Pode-se transformar mediante o seguinte cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( 
 
 
) 
 
 
 
 
Uma vez transformada, pode-se resolver pelos métodos correspondentes. 
No caso: 
r² - 1 = 0 (EC) raízes: r1 = 1 ; r2 = -1 
 ; po s 
Se, por acaso, o sistema vem com uma condição inicial, dizemos, = (0,0), então, 
pode-se determinar as constantes e da solução: 
 
16 
 
 
 
{
 
 
 
Solução: 
{
 
 
 
E se ao invés disso, a condição inicial fosse ( ) = (1,1) 
{
 
 
 { 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
17 
 
 
2 Geometria em ℝn ( n ∈ ℕ+ ) 
 
ℝn = {(x1, x2, ... , xn) = x1, x2, xn ∈ ℝ} 
 
Os pontos de ℝn também são chamados de vetores. 
 
2.1 Soma 
 
(x1, x2, ... , xn) + (y1, y2, ... , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ... , xn + yn) 
 
 
2.2 Produto por escalar 
 
α 1, x2, ... , xn α 1 α 2 α n α ∈ ℝ 
 
2.3 Módulo (norma) 
 
|| (x1, x2, ... , xn) || = √ n 
 
18 
 
 
Propriedades: 
1- || v || || v || ⇔ v 
2- || α v || | α | || v || α ∈ R 
3- || u + v || = || u || + || v || 
4- || u || ² = < u,u > 
 
2.4 Produto escalar 
 
< (x1, x2, ... , xn), (y1, y2, ... , yn) > = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn 
(ou (x1, x2, ... , xn • 1, y2, ... , yn)) 
 
Vetores importantes: 
Vetor nulo: 0 = (0,0, ... , 0) 
Base padrão { ( 1,0,0, ... , 0 ) , ( 0,1,0, ... , 0 ) , ... , ( 0,0,0, ... , 1 ) } 
 
No caso R²: 
 I = (1,0), j = (0,1) 
No caso R³: 
 I = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1) 
 
Ân ulo ∢ u v é o ân ulo ormado p los v tor s u v 
cos ∢ u v 
 u v 
||u|| ||v||
 v u 
(u ⏊ v u e v são ortogonais ⇔ <u,v> = 0 
 
2.5 Produto Vetorial (Exclusivo de R³) 
 
19 
 
 
(a, b, c) x (x, y, z) = | 
 
 
 
 
 
| = |
 
 
| i |
 
 
| j + |
 
 
|k 
 
= (bz cy, (az, cx), ay bx ) = ( |
 
 
|, |
 
 
|, |
 
 
| ) 
 
Propriedades (em R³): 
1- u x v = - (v x u) 
2- u x u = 0 
3- || u x v || = |sen (∢ u,v)| . ||u|| . ||v|| 
4- u e v s o paral los ⇔ u x v = 0 (regra do paralelismo em R³) 
5- u x v é ortogonal a u e v 
Obs.: em R³ tem-se o seguinte: (a, b) é paralelo a (c, d) ⇔ |
 
 
| = 0 
 
2.6 Curva Parametrizada 
 
É uma un o I ℝn , onde I é um intervalo. 
 
 
 ou 
 
 
Se t ∈ I r t é v tor d ℝn , logo, pode ser escrito em coordenadas: r(t) = (x1(t), x2(t) , ... , 
xn(t) ) ou em forma paramétrica: 
{
 t 
 t 
 
 t 
 
20 
 
 
 
Traço: é o subconjunto de ℝn { c t t ⊂ I } 
Fixamos os casos ℝ2 e ℝ3, neles a notação de curva parametrizada é c(t) = (x(t), y(t)) ou x(t), 
y(t), z(t). 
Ou ainda: 
 m ℝ2 {
 
 
; em ℝ3 {
 
 
 
 
(que passa por p, paralela [ou com velocidade] v) 
Exemplos: 
1) Reta p t p t v t ∈ ℝ p ∈ ℝ n , v ∈ ℝ n , v . Ou, em forma paramétrica: 
 
{
 p tv 
 p tv 
 
 p tv 
 onde p = (p1, ... , pn) , v = (v1, ... , vn) 
 
 
2) Segmento de Reta desde p0 até p1 é c(t) = p0 + t (p1 p0 ≤ t ≤ 
p1 e p0 ∈ ℝ n diferentes. Ou, em forma paramétrica: 
 
x1 = p1 0 + t ( p1 1 p1 0 ) 
x2 = p2 0 + t ( p2 1 p2 0 ) 
... 
xn = pn 0 + t ( pn 1 pn 0 t ∈ ℝ 
 
onde p0 = (p1 0, ... , pn 0) , p1 = (p1 1, ... , pn 1) 
 
Exemplos: 
o Parametrizando o arco da parábola y=x² de (1,1) até (0,0) 
Solução: 
21 
 
 
 
C- (x)=(-x,(-x²)), ≤ ≤ 
 
 
o Elipse (incluindo círculo) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 a a 
 
a
 cos 
 
 
 s n 
 
Obtem-se a parametrização: 
{
 cos 
 s n 
 ≤ θ ≤ π 
 
Usando a dica anterior temos a parametrização horária: 
 
C- (θ) = c (-θ) = x0 + a cos(-θ), y0 + b sen(-θ), -2π ≤ θ ≤ 
 
22 
 
 
{
 cos 
 s n 
 -2π ≤ θ ≤ 
 
o Hipérbole: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a expressão trigonométrica, sec²( θ )- tg² (θ ) = 1 e comparando com as equações 
acima temos a parametrização: 
 
 
 
 s c 
 
 
 t 
 
{
 s c 
 t 
 -π/ < θ < -π/ 
 
 
 
 
Limites: 
c(t) = (x1(t), x2(t) , ... , xn(t))l m
 
 l m
 
 l m
 
 
 
23 
 
 
 d u c t é cont nua m t s val l m
 
 c t 
A derivada d c t é c t x1 t n t ) desde que as derivadas de x1 (t), ... , xn (t) existam. 
 
Exemplo: 
 cos t s n t cos t s n t -sen(t), cos(t) ) 
(et cos(t), et s n t t cos t -sen(t) ) et , ( sen (t)+cos(t) ) et, t ) 
 
 c t (
 
 
 
 
 
) l m
 
 l m
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 or osp tal l m
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
2.7 Reta 
 
R(t) = p + tv , t ∈ ℝ 
{
 p tv 
 p tv 
 - t 
 
Eliminando parâmetros: 
{
 
 
 
 t 
 
 
 
 
t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 aso ℝ 
E ua o normal da r ta u passa por p p paral la v v 
 
 
 
 
 
 
 aso ℝ 
24 
 
 
E ua o normal da r ta u passa por p p p paral la v v v 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
1) Achar as equações paramétrica e normal da reta que passa (1, 2, 3) paralela a (4, 5, 0) 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segmento de reta: de p0 até p1 
c(t)=p0 + t (p1-p0 ≤ t ≤ 1 
 
c(t)= 
p0 + 2t (p1-p0 ≤ t ≤ ½ 
p0 + (2t-1) (p2-p1 ½ ≤ t ≤ 
 
c(t)= 
p0 + 3t (p1-p0 ≤ t ≤ / 
p0 + (3t-1) (p2-p1 / ≤ t ≤ / 
25 
 
 
p0 + (3t-2) (p3-p2), 2/3 ≤ t ≤ 
 
2) Parametrizar o triângulo de vértices (0,0), (1,0), (1,1) no sentido anti-horário 
Solução: 
 (0,0) + 3t (1,0) ≤ t ≤ / 
 c(t)= (1,0) + (3t- / ≤ t ≤ / 
 (1,1) + (3t-2) (-1,- / ≤ t ≤ 
 
 
2.8 Gráficos 
 
Seja y = f(x) função real, x ∈ [a,b]. Considere seu gráfico: 
 
 
 
Pode-se parametrizar o dito gráfico c(x) = (x, f(x)) 
 a≤ ≤ s u rda d r ta 
 
Para se achar a parametrização contrária, usa-se a dica geral: 
 c t é uma curva d n da m a ≤ t ≤ curva - (t) = c(-t) definida em ≤ t ≤ a 
fornece a orientação contrária 
 
Aplicando esta dica no gráfico obtemos que C- (t) = c (-t) = (-x, f (-x) ), 
- ≤ ≤ -a. Fornece o mesmo rá co mas com or nta o trocada d r ta s u rda 
 
26 
 
 
v1 (x-p1) + v2 (y-p2) = 0 
2.9 Reta tangente e reta/plano normal 
 
Considere uma reta que passa por p paralela ao vetor N. 
 
Se p = (p1, p2,..., pn) e v= (v1, v2,..., vn) então x  ℕ. 
 
 
 Em ℝ , o hiperplano é uma reta. 
 
 Em ℝ , o hiperplano é um plano. 
 
 
 
Reta que passa por p paralela a v: p 
v 
 
 p 
v 
 
 p 
v 
 
Hiperplano que passa por p ortogonal a v: v1 (x1-p1) + v2 (x2-p2) +...+ vn (xn- pn) = 0 
 
Exemplo: Achar a equação do plano normal ao (1, 2,1) que passa por (0, 1, 0). 
Solução - 
1 (x-0) + 2 (y-1) + 1 (z-0) =0 
 
Equação geral do plano: ax+by+cz=0, a, b, c, d  ℝ a c 
No caso, um vetor normal é N = (a, b, c). 
 
N é o conjunto dos pontos x = (x1, x2,..., 
xn) tais que (x-p)  v < (x-p), v> = 0. 
v1 (x1-p1) + v2 (x2-p2) +...+ vn (xn- pn) = 0 
Equação do hiperplano que passa por p 
perpendicular a N. 
v1 (x-p1) + v2 (y-p2) + v3 (z-p3) = 0 
 
v1 (x-p1) + v2 (y-p2) + v3 (z-p3) = 0 
 
27 
 
 
 
Exemplo: Achar ponto de corte do plano x+y-z=1 com reta x=2y=z 
Solução x=2y=z y= (x/2); (
 
 
) x=2 
 Z=x x=2; y=1; z=2 O ponto é (1, 2, 1) 
 
Considere uma curva c(t) e um vetor t=t0 do parâmetro. O vetor tangente a curva no ponto 
correspondente a t=t0 é c. 
 
 Reta tangente a curva c(t) no ponto correspondente a t=t0 é RT (s)= c(t0 c (t0), Sℝ. 
OBS: n o con und r o s da r ta com o “t” da curva. Forma normal é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Onde c(t)= (x1(t), x2(t), ... , xn(t)) 
 
 O hiperplano normal a c(t) no ponto correspondente a t=t0 é 
 
 
Caso ℝ 
R 
 
 
 
 
 
 
RN = ( ) ( ) 
Caso ℝ 
C(t) = ( ) 
28 
 
 
R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PN = ( ) ( ) ( ) 
 
Exemplo: Ache a reta tangente ao plano/reta normal de c(t)=( cos s n ); = 
Solução c´(t)= cos cos 
R 
  
 
 
 
 
 
RN =  (  )  
 
2.10 Longitudes de curvas 
 
A longitude do arco de curva c(t) do ponto correspondente a t=a até o correspondente a t=b é: 
 ∫ || || 
 
 
 sendo: 
|| || √(( )
 
 ( )
 
)
 
 
 
 
 
Exemplo: Achar longitude do arco de curva c(t)= (t+1, 3t+2, 5t) do ponto correspondente ao 
t=0 até o t=4 
Solução 
 No caso a=0 e b=4, c´(t)= (1, 3, 5), || || √ 
 
 √ 
 
 
 ∫ || || 
 
 
∫ √ 
 
 
 
 
√ 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
 
 
Se diz que uma curva c :  ℝ é: 
 Regular s c t t 
 Parametrizada por longitude de arco se || || , t 
29 
 
 
OBS: Toda curva parametrizada por longitude de arco é regular, mas a recíproca não é 
verdadeira. 
 
Exemplo: 
c(t) = (cos(t), sen(t)) é parametrizada por longitude de arco, pois c´(t)= (-sen(t), cos(t)) e 
|| || √ 
 t. 
Entretanto d=(cos2, sen2) não é pois d´()=(-2sen2, 2cos2), ||  || ,  
OBS: Devemos ressaltar que d é regular. Tanto c(t) como d parametrizam 
 
 A seguir, vamos v r u uma curva r ular é “par c da” com uma curva param tr ada 
por longitude de arco. 
Def.: Seja c:  ℝ uma curva. Se diz que outra curva d:  ℝ é uma 
parametrização de L se existe b:   (b(j)=), tal que: 
 
 
 ( )
 
  s 
 
 
Exemplo: c(t) = (t-1, t-1) e d(s)= (s, s-2) 
 ara v r s “d” é r param tr a o d “c” asta calcular tal u 
(s, s-2) = d(s) = c(b(s))=( b(s)+1, b(s)-1) 
b(s)+1=s b(s)=s-1 
b(s)-1=s-2 b(s)=s-1 
 
“ oda curva r ular t m uma r param tr a o u é param tr ada por lon tud d arco ” 
 
Pode! Logo “d” é reparametrização de “c” 
 
30 
 
 
De fato, suponha que c: é regular (|| ||  0, t) fixa em t0 e  e define: 
 ∫ || || 
 
 
 || ||  0, t S(t) é crescente tem inversa 
b:J ; S(bs)=S S´(b(s)).B´(s)=1 
 B´(s)= 
 
|| ||
 
Defina d:J ℝ , d(s)= c(b(s)) d(s) é a reparametrização de c(t) 
 
Alem disso, d´(s)=c´(s) d´(s)= 
 
|| ||
 
||d s || ||
 
|| ||
|| ||
 
 
|| s d é parametrização por longitude de arco. 
Exemplo: Achar a reparametrização por longitude de arco c(t)= (cos 2t, sen 2t), tℝ 
Solução 
T=0, c´(t)= (-2sen2t, 2cos2t), ||c´(t)||= 2 
 
 ∫ || || ∫ 
 
 
 
 
; S=2t;t=
 
 
 
d(s)= c(
 
 
 = (cos (2. 
 
 
 sen (2. 
 
 
 ) = (cos(s), sen(s)) 
d(s)=(cos(s), sen(s)) é a reparametrização pedida. 
 
2.11 Função de n variáveis 
 
É a função f: D ℝ onde D é um subconjunto de ℝ , chamado domínio. 
D= {(x1, x2,..., xn)  ℝ : f(x1, x2,..., xn) existe} 
O gráfico é o subconjunto de ℝ definido por {( x1, x2,..., xn): = f(x1, x2,..., xn)}. 
Ou simplesmente por: = f(x1, x2,..., xn) 
Casos especiais 
31 
 
 
 ℝ (x,y): y=f(x) 
 ℝ (x,y,z) : z=f(x,y) 
 ℝ (x,y,z,w) : w=f(x,y,z) 
Exemplo: em ℝ 
F(x,y)= x+y+1 Domínio={ (x,y) : f(x,y) existe} = ℝ 
Gráfico: z=x+y+1; (é o plano x+y-z=-1) 
Esboço do plano: ver ponto de corte de coordenadas 
 
 
 
 
 
 
Casos especiais 
Hipersuperfície de nível é chamado Curva de nível (ℝ ) 
 Superfície de nível (ℝ ) 
Exemplo: f(x, y) = x+y+1 a curva de nível (c) é dada por: 
x+y+z=c ou x+y=d (sendo d=-1) 
Que é uma família de retas paralelas 
 
 
 
 
Exemplo: f(x, y) = √ 
 
 ; Domínio:{ (x, y): x2+y2 ≤ } 
Na sequência, esboça-se as curvas de nível nível c é: √ 
 
 c 0 é vazio 
OBS: 
 Muitas vezes usam-se as curvas de nível para esboçar o gráfico. 
 Uma hipersuperfície de nível de f(x1, x2,..., xn) é: 
 { n  D n c} 
 (Hipersuperfície de nível c  ℝ) 
32 
 
 
 C=0 é círculo x2+y2 =1 
 0  c  1 é circulo x2+y2 =1-c 
 c=1 é a origem (x,y)=0 
 c 1 é vazio 
Esboço de curvas de nível da função: 
f(x, y) = √ 
 
 
OBS: Sendo z=√ 
 
 
Se x=0 z=√ 
 
 
Se y=0 z=√ 
 
 
 
Exemplo: Faça esboço da superfície z=x2+y2 Esboço do gráfico 
Solução 
Curvas de nível são: (x2+y2=c é ) 
 0 se c 0 
 (0,0) se c=0 
 X2+y2= c, se c0 (círculo de raio √ ) 
 
2.12 Função popular de n-variáveis (polinômio) 
Exemplo: F(x,y)= x+y; F(x,y)= x2+y2 ; F(x,y)= x3+2xy+y 
F(x,y,z)= x2+y2+z2 
 
Uma cônica é uma curva de nível 0 de um polinômio (grau 2) do tipo: 
F(x,y)= ax2+by2+cx+dy+e, a,b,c,d,e ℝ 
 
Casos particulares 
1) a=b=0 tem-se cx+dy=e que é uma reta. 
 
 
 
 
33 
 
 
 
 
 
2) a,b  0 
a,b  0 
 
3) a 0, b  0 
a  0, b 0 
 
4) a 
a 
 
Exemplo: Determine o tipo de cônica: 
x2+y2-y=0 isto é uma elipse (ou um ponto ou um vazio) 
Para achar o eixo maior e menor e o centro, completa-se quadrados: 
x2+y2-y=0 
 
 
 
 ( (
 
 
))
 
 
 ( (
 
 
))
 
 
 
 
 é circulo de centro (0, 
 
 
) e raio 
 
 
 
 
Vale que toda reta é uma 
cônica! 
 
A cônica é uma hipérbole 
A cônica é uma parábola 
 
 
 
 
A cônica é uma elipse, um ponto ou um conjunto vazio 
34 
 
 
3 Limite 
 
Em Cálculo I: 
l m
 
 ⇔ tal u √ | | 
 
Em variáveis: 
{
 ⃗ 
 ⃗ 
 
l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ ⇔ tal u √ 
 | ⃗ - | < 
 
Propriedades: 
 
 l m
 ⃗ ⃗⃗
 ∈ ℝ 
 l m
 ⃗ ⃗⃗
 ≤ ≤ 
 l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ ⃗ l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ d sd u am os stam 
 l m
 ⃗ ⃗⃗
 
 ⃗ 
 ⃗ 
 
l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ 
l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ 
 d sd u am os stam l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ 
 l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ ⃗ l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ 
 ℝ ℝ é uma un o cont nua l m ⃗ ⃗⃗ ⃗ l m ⃗ ⃗⃗ ⃗ . 
 l m
 ⃗ ⃗⃗
| ⃗ | | l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ | 
 l m
 ⃗ ⃗⃗
| ⃗ | ⇔ l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ 
 
Exemplos: 
 l m
 
 l m
 
 l m
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
 
Nesses exemplos, a fórmula l m ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ é válida (para calcular o limite quando ⃗ ⃗, 
basta substituir ⃗ por ⃗ na expressão de ⃗ ). 
35 
 
 
Um exemplo onde a substituição não pode ser feita: {
 
 
 
Nesse caso, l m l m 
 
3.1 Continuidade 
 
Se diz que é contínua em ⃗ se a substituição é válida, isto é, l m ⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ . Caso seja 
contínua em ⃗ ⃗ ∈ Domínio, se diz que é contínua. 
Exemplo de funções contínuas incluem polinômios de várias variáveis e (polinômio) onde : 
ℝ ℝ é cont nua 
 
Exemplos: 
 l m
 
cos s n cos s n 
 l m
 
 ln ln 
 
3.2 Propriedade do tipo “Limite Lateral” 
 
l m
 
 l m
 
 ( ) un o cont nua com 
l m
 
 ⟨
 l m
 
 
 l m
 
 
 
Exemplos: 
 l m
 
 
 
⟨
 l m
 
 
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
→ l m
 
 
 
 l m
 
 
 
 como n m ro r al 
 sando outra curva 
 
→ l m
 
 
 
 
 
36 
 
 
 
3.3 Teste do Sanduíche 
 
No cálculo do l m ⃗ ⃗⃗ ⃗ , suponha que ⃗ é “ nsandu chado” ntr duas un õ s 
 ⃗ ≤ ⃗ ≤ ⃗ 
 l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ l m
 ⃗ ⃗⃗
 ⃗ 
 
Antes dos exemplos, é bom lembrar: 
 ≤ |cos | ≤ ∈ ℝ s n 
 ≤ ≤ d v d ndo por t mos ≤
 
 
≤ ( ) 
 ≤ | | | | ≤ | | ≤ | | ≤ ≤ |
 
 
| ≤
 
 
 
( ) 
 
Exemplos: 
Calcule, utilizando o Teorema do Sanduíche: 
 l m
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 ≤ |
 
 
| ≤ ≤ |
 
 
| ≤ | |⏟
 
 l m
 
|
 
 
| l m
 
 
 
 
 
 l m
 
 s n (
 
 
) 
 ≤ | s n (
 
 
)| ≤ | | l m
 
| s n (
 
 
)| l m
 
 s n (
 
 
) 
 
Exercício: 
 ∈ ℕ par calcul l m
 
 
 
 
 
Solução: 
 ≤ nt o pod mos usar o tru u 
 
 
 
 
 
 
37 
 
 
 ≤
 
 
≤ 
 
→ p lo or ma do andu ch l m
 
 
 
 
 
Se : 
Subcaso 1 
l m
 
 
 
⟨
 l m
 
 
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
 ∈ ℕ 
 
Subcaso2 
 asta cons d rar l m
 
 
 
 
→ l m
 
 
 
 
Ou s ja l m
 
 
 
{
 ≤ 
 
 
 
 pl u o m smo m l m
 
 
 
 
 
Exercícios: 
 
l m
 
 
 
 
 
l m
 
 
 
 
 
l m
 
 
 
 
 
l m
 
 
 
 
 
 
l m
 
 
 
 
38 
 
 
- Você define em Cálculo І l m 
 
 
. Que você faria pela função de 2 varáveis? 
Obs.: Pegue e calcule l m 
 
√ 
 
 
l m
 
 
 
 
 
l m
 
 
 
 
 
l m39 
 
 
4 Derivada Parcial 
 
Suponha uma função de várias variáveis. Define-se: 
 
 
 l m
 
 
 
 caso o sta 
Chama-se a i-ésima derivada parcial de ⃗ ≤ ≤ . 
 d u é d r nc áv l m ⃗ s todas as d r vadas parc a s 
 
 
 
l m
 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
 ⃗ ⃗ (
 
 
 ⃗ 
 
 
 ⃗ )
|| ⃗⃗||
 
 
Em ℝ : 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
Em ℝ : 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 l m
 
 
 
 l m
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 l m
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
Basta imaginar como constante e derivar em função de , ou vice-versa. 
 
 
40 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 o o 
 
 
|
 
 Ou s ja 
 
 
 s 
 
4.1 Regras 
 
 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
 ∈ ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 
 
 
(
 
 
) 
( 
 
 
) ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 
 
 
 
 (
 
 
 ) ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
)|
 
 
(
 
 
 ) ( 
 
 )
 
 
 
 
 
 
 
41 
 
 
4.2 Interpretação geométrica da derivada parcial 
 
Em Cálculo I: 
 
 
 
 
 
É uma curva (a+h)) 
 (a)) e ∈ ao gráfico de (x) 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 é a compon nt do v tor ao rá co m (a a ) ou tan 
 
 
 
 
Vamos tentar ver o mesmo, mas para funções . 
 
 
Continha: 
 
 l m
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Qual é o vetor velocidade de no ponto ( )? 
 
 
 
 (
 
 
|
 
 
 
 
|
 
 
 
 
|
 
) ( 
 
 
) 
42 
 
 
 
Analogamente, considera-se a curva que satisfaz 
 ( 
 
 
) 
 
 não são colineares (paralelos), pois: 
( 
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
Logo, geram um plano que passa por , chamado de plano tangente 
ao gráfico de no ponto . 
 
Esse plano é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Define-se também o vetor normal ao gráfico de : 
 ( 
 
 
 
 
 
 ) 
 
Calcula-se também a reta normal ao gráfico de em : 
 
(
 
 )
 
 
(
 
 )
 
 
 
 
 
Exemplos: 
Calcule o plano tangente e a reta normal no ponto indicado. 
 
1) , (1, 3, 10) 
 
Solução: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
43 
 
 
 
PT: 
R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) cos s n , (0, ln , 1) 
 
Solução: 
{
 
 
 
 
 s n cos 
 
 
 cos 
 
{
 
 
 ln 
 
 s n 
 ln 
 
 
 
 s n 
 
PT: s n ln 
R 
 
s n 
 
 ln 
 
 
 
 
 
 
3) Ache os pontos onde o plano tangente ao gráfico e seja 
paralelo ao plano . 
 
Em geral: é paralelo ao plano ⇔ 
 ⏟ 
 
 
 
Solução: 
Repare que o vetor normal é . Logo, o plano tangente é paralelo ao 
plano ⇔ {
 
 
 {
 
 
 
Então, o ponto é (0, 0). 
 
Em geral, para achar esses pontos, basta resolver o sistema: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
44 
 
 
Definição: Se diz que um ponto (a,b) é ponto crítico de f(x,y) se o ponto ao gráfico de f(x,y) em 
(a,b, f(a,b)) for paralelo ao chão. 
Equivalentemente, se {
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Achar os pontos críticos: 
1) F(x,y) = x² - y² 
2) F(x,y) = x² - y² - 2x +4 -3y 9 
3) F(x,y) = cos(x) + sem (y) 
Solução: 
1 {
 
 
 
 
 
 
 {
 
 Ponto crítico é (0,0) 
 
2){
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 x = 1 , y = 
 
 
 O ponto 
crítico é (1, 
 
 
 
 
3){
 
cos 
 {
 ∈ 
 
 
 
 ∈ 
Os pontos críticos são: 
(n , (2m+1)
 
 
 ∈ 
 
f função de muitas variáveis 
n n nᵢ) 
Se diz que f é diferenciável em x se existe um vetor a, tal que 
 
l m
 
| |
|| ||
 
45 
 
 
Calculo I : 
 l m
 
 
 
 
 
Calculo II: 
 l m
 
| |
| |
 
Motivação: 
É a c p a do cálculo I d u l m 
 
 
 ∈ ℝ tal que 
l m 
| |
| |
 = 0. 
 ss caso a 
Obs: i 
1) No caso a = (
 
 
 
 
 ᵢ
 
Note v = t.li (t->0) 
 
Aplicando na formula: 
 l m
 
| |
 
 l m
 
| |
| |
 l m
 
| |
| |
 
 l m
 
 
 
 
 
 ᵢ
 
 
Notação: (
 ᵢ 
 ᵢ
 
 
 
) Gradiente de f(x). 
 
Ou seja: f é diferenciável em x se e vale: 
l m
 
| |
|| ||
 
 
2) f diferenciável em x f é contínua em x. 
De fato, (|a+b|≤ |a|+|b|) 
46 
 
 
l m
 
| | l m
 
| | l m
 
| | 
≤ l m
 
| | | | l m
 
| |
|| ||
 || || 
 
Exemplo: 
 {
 
 
 
 
 
Não é contínua em (0,0), logo f não é diferenciável no ponto (0,0). 
 
2)Todo polinômio é diferenciável (isto é, diferenciável em todos os pontos do seu domínio) 
 
4.3 Derivadas Direcionais 
 
Vamos definir (caso exista) v é um vetor e x um ponto no domínio: 
D l m
 
 
 
 
 d r vada d m na d r o do v tor v é 
 
|| ||
 
D 
 
|| ||
 
Propriedades: 
 D ± (x) = D (x)±D (x) 
 D [f g](x) = D f(x) D g(x) 
 Dα f(x) = αD f(x) 
 D α (x)αD f(x) 
 Dₑᵢf(x)=
 
 ᵢ
(x) 
 D (f.g)= f.D g + g.D f 
 D (
 
 
) = 
 
 
, onde g 0 
 D₀ (x) = 0 
Obs: f é diferenciável em x, então D f(x) e vale a fórmula • 
47 
 
 
De ato v suponha u |v| tro ue v por t.v, t->0 na definição: 
l m
 
| |
|| ||
 l m
 
| |
| |
 
 l m
 
 
 
 
 
No caso geral, D f(x) = ||v||. D 
|| ||
.f(x)= ||v||. f(x).
 
|| ||
= f(x).v 
 
Exemplo: 
1) f alcul D₍ ₎ 
 
Solução: 
D₍ ₎ ₍ ₄₎ (1,3) = ₍ ₄₎ = 
= 3 = 772 
 
2) f(x,y) = {
 
 
 
 
, D(a,b)f(0,0)= ? 
Nesse caso f é continua em (0,0). (Porém não podemos aplicar a fórmula ainda, pois não 
sabemos se f é diferenciável em (0,0)) 
 
Vamos ver se 
 
 
 l m
 
 
 
 
Como 
 
 
 
 
Vamos checar se é diferenciável em (0,0): 
48 
 
 
l m
 
| |
|| ||
 l m
 
| |
 
√ 
 
 l m
 
| |
 
 
 
 
 
 l m
 
| |
 
 
 
 l m
 
| |
 
 
 
 l m
 
| | 
| | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, se o limite é diferente de 0, f não é diferenciável em (0,0) 
 
 chando D l m
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
 
 
 
 odas as d r vadas a {
 
 
 
 
 
Nem mesmo vale a fórmula pois, D(a,b) f(0,0) = f(a,b) ((a,b) (0,0)) 
 
4.4 Regra da Cadeia: 
 
 t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[ ( )] ( t ) • 
 
 
 
Ou s ja 
 
 
[ ( )] ∑
 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
Suponha Z=x²+y²+w², x = r²+t², y = r , w = r + t² 
 
49 
 
 
 r t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 r t r r r t 
 
4.4.1 Derivada de ordem superior: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 uando j 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 ( 
 
 cos ) 
 
 
 ( 
 
 ) 
 
 
( cos ) 
= = cos 
 
4.4.2 Teorema de Clariot 
“ todas as d r vadas até ord m st m s o cont nuas nt o 
 
 
 
 
 
” 
4.5 Geometria da derivada direcional 
 
 
 
 l m
 
 
 
 
 
l m
 
 
 
 
 
 
“ ind ca o d sv o d o 
respeito a hor ontal ” 
 
 
50 
 
 
 
 
Máximo relativo Mínimo relativo Sela 
 
x é ponto crítico: 
• 
 é 
• 
 é á 
 
Precisamos então calcular 
 : 
 
 
 
 
 ∑
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
 (
 
 
) ∑ (∑
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 ∑ 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
Então, x é ponto crítico de f: 
• ∑ 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 é 
• ∑ 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 é á 
 
51 
 
 
Vamos nos concentrar no caso n=2 (xi=x, xj=y, v1 =a, v2 = b) 
 orma ∑ 
 
 
∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, x é ponto crítico de f se: 
 é 
 é á 
 
Acontece que a regra vale: 
1) E E Ea a 
2) E E Ea a 
3) E Ea a 
 
Usando a regra, sai o teste da 2ªderivada: 
 |
|
 
 
 
 
 
 
 
 
|
| 
 
 
 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
(x,y) é ponto crítico de f: 
 
• 
 
 
 é 
• 
 
 
 é á 
• é 
 
Exemplo: 
 
Achar extremos relativos de 
52 
 
 
 
Solução: 
 
 onto cr t co {
 
 
 
 
 onto cr t co é (
 
 
 ) 
 
 |
 
 
| (
 
 
 ) (
 
 
 ) é 
 
4.6 Derivação Implícita 
 
 
 
 
Considere uma superfície de nível C, f(x,y) = C, e um ponto dela (a,b). O que se quer é 
evidenciar y = y(x) de jeito que a' b = y(a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
Neste caso pode-se evidenciar y = y(x) 
 
 √ 
 
Como u r mos u t mos u p ar √ 
 
53 
 
 
 
 
A derivação implícita serve para achar 
 
 
, i = 1,..., n, mesmo que não possa evidenciar 
y = y (x), no caso 
 
 
 . Para isso, suponha que y = y (x) é uma tal evidenciação: 
 
 ( ) 
 
 
 ]
 
 ( ) 
 
 
 
 
onde ( ) ) 
 
 
 or outro lado 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trocando acima sai ( ) 
 
 
 
 
onde ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 |( )
 ( )
 
 ond 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ℝ o caso n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
54 
 
 
 
 
ℝ o caso n 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: 1) Achar 
 
 
 se 
Solução 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Solução 2 (aplicando a fórmula): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule 
 
 
 na "rama" da superfície de nível que passa pelo ponto 
(1, 0, 0, 0). 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
)55 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Calcule 
 
 
(
 
√ 
) na "rama" da superfície de nível que passa pelo ponto (
 
√ 
 
 
√ 
). 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
√ 
) 
 
√ 
 
√ 
 
 
4) Calcule 
 
 
 na rama de que contem (1, 1, 1). 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4.7 Planos tangentes a superfície de nível 
 
 
Queremos achar o plano tangente a superfície 
 no ponto (a,b) da superfície 
(supor 
 
 
 ). 
 
Neste caso, dita superfície é o gráfico tal que 
 
 
(
 
 
 
 
 
)
(
 
 )
 
 
Logo, o plano tangente a superfície de nível (a,b) = plano tangente do gráfico em (a,b). 
 
 
(
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
56 
 
 
 lano tan nt é 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em resumo o plano tangente a superfície de nível em um ponto a dela é 
 , desde que . 
 
No caso n = 1, ou ℝ : 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sendo a reta tangente a curva no 
ponto (a,b) dela. A reta normal é dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em n ou ℝ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Plano tangente a superfície de nível em um ponto (a,b,c) dela. A reta normal é 
dada por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: Achar o plano tangente a superfície no ponto . 
 
Solução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No ponto : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando na fórmula, a equação do plano tangente é dada por: 
 
 
57 
 
 
 
 
Obs: 1) é ortogonal as superfícies de nível da função. Isso por que o plano tangente a 
superfície em um ponto "a" dela é . 
 
 Um vetor normal é é ortogonal a superfície em a 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Qual é o maior (e o menor) valor da função , u percorre todos os vetores "unitários". 
(isto é, ‖ ‖ ) 
 
 
Para isso, observamos que ‖ ‖‖ ‖ cos ‖ ‖ cos 
Ou seja, ‖ ‖ cos . 
 
 O maior valor atinge-se quando , ou seja, quando u é paralelo a apontando na 
mesma direção: 
 
 
‖ ‖
 
 
 O ma or valor d é ‖ ‖ at n do m 
 
‖ ‖
 
 
 O m nor valor d é ‖ ‖ at n do m 
 
‖ ‖
 
 
 
Exemplo: Determine a direção de maior crescimento de na origem 
 . 
 
Solução: 
 
 d r o é 
 
‖ ‖
 
 
√ 
 
58 
 
 
 
 
 
 
 
4.8 Extremos Absolutos 
 
 
 
Em curvas: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Problema: 
 
Achar extremos da restrito a curva 
Para resolver o problema: parametrizar a curva ℝ e acham-se os extremos da 
composta ( ). 
 
 
 
Exemplo: 1) Achar valor extremo absoluto de no segmento de reta que une 
 a . 
 
Solução: Parametrize o seguimento de reta 
 
 ≤ 
 
 ≤ ≤ 
 
 
 
 
 
 
2) Achar valor máximo absoluto de no círculo . 
 
Solução: cos s n ≤ ≤ 
 
 cos s n cos s n s n cos 
59 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor máximo da função é o maior valor de . 
 
4.9 Extremos em regiões 
 
 Região é um subconjunto de ℝ limitado por curvas. Em ℝ seria 
limitado por superfícies. 
 
Método para achar extremos em regiões: 
 
1 - Achar os pontos críticos no interior da região 
2 - Achar os extremos de f na curva 
3 - Comparar os extremos do item (2) com os valores de f nos pontos 
críticos do item (1) 
 
Exemplo: Achar os valores extremos de 
 
 
 
no triângulo de vértices . 
 
Solução: 
 
 (
 
 
 
 
 
) 
 
 
(2): 
 
 ( ) 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, substituindo os valores, o valor máximo é 
 
 
 e o valor mínimo é 0 
 
4.10 Extremos em superfícies de nível 
 
O problema é achar extremo de restrito a superfície 
 ℝ 
 
Momentaneamente, vamos supor ℝ ℝ. 
 
60 
 
 
 
 
 
 
Nesta condição, sabemos que podemos derivar na superfície , ou seja, a 
superfície é igual ao gráfico da . Além disso: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Segue-se que, para determinar os extremos de f na superfície g=C, basta achar os extremos de 
 ( ) na região igual ao domínio de . Para isso, precisa-se achar os pontos críticos da 
função composta ( ). 
 
 
 
 ( ) 
 ( )
 
 ( ) ( 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ent o é ponto cr t co d β s som nt s 
 
(
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)⌉
 
 
 
Jacobiano: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 |
 
 
 
 
 
 
 
 
| 
Sendo assim, 
 ( )
 
 ( ) ( 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
 
 ( )
 
) 
 
 ( )
 
 
 
61 
 
 
Conclui-se que ( ) é paralelo a ( ). 
Logo, para achar os extremos de restrito a procura-se os valores de nos 
pontos críticos de em os quais são aqueles x na superfície onde vale seja 
paralelo a . 
 
Método de multiplicadores de Lagrange: 
 
 ℝ 
 
ℝ2- os pontos críticos de restritos a , acha-se pela equação: 
 
 
 
 
 
ℝ - os pontos críticos de restritos a , acha-se pelas equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplos: (cálculo de jacobianos) 
 
 
 
 
(multiplicadores de Lagrange) 
1) (x,y) = x+y restrito a x2+y2=1 
 olu o s 
 
 
 
 
 
 
62 
 
 
 {
 
 
 
√ 
 
 s so 
 
√ 
 , 
 
√ 
 , (- 
 
√ 
 , - 
 
√ 
) V. máx.= 
 
√ 
 V. mín.= - 
 
√ 
 
 
2) Achar V máx. de sujeito a 
Solução: os pontos críticos dados pelas equações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 PC's: (
 
√ 
 , 
 
√ 
 , 
 
√ 
),(- 
 
√ 
 
 
√ 
 , - 
 
√ 
) 
Então V máx. é maior entre (
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
) 
 
√ 
 ( 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
) 
 
√ 
 é 
 
√ 
 
 
3) Achar o valor máximo de 1 
Solução: PC's 
{
 
 
 
 
 
 
ou seja, {
 
 
 
√ 
 
63 
 
 
os PC's são (
 
√ 
 , 
 
√ 
 , (
 
√ 
 , 
 
√ 
), (
 
√ 
 , 
 
√ 
 , (
 
√ 
 , 
 
√ 
) 
 á é 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
4.11 Valor extremo sujeito a duas condições (ℝ3) 
 
O caso é achar valor extremo de na interseção “c” das superfícies 
 
Em princípio, pega-se uma parametrização c(t) de C. E considera-se os PC's da composta 
 (t)= ( ) 
Como c(t) está no nível g=A e h=B simultaneamente, tem-se g(c(t))=A e h(c(t))=B, . 
 {
 
 
 
 ] c t c t 
 
 
 
 ] h c t c t 
, 
 é (c t ) h(c t ) s multan am nt 
 
Por outro lado, os PC's do são dados por '(t)=0 mas, 
 '(t) 
 
 
 ] c t c t 
Conclui-se que um ponto x=c(t) é P.C. de f na curva C  é ortogonal a 
 
64 
 
 
Logo, nos PC's x de f na curva C que o vetor velocidade vx da curva em x é ortogonal a f(x), 
 g(x) e a h(x). Sendo assim os vetores f(x), g(x), h(x) estão todos no plano P cujo vetor 
normal é vx. 
Por outro lado, g(x) x h(x) também é normal ao plano P como f(x) é paralelo a P, segue-se 
que n h ⏟ 
 
 
Então, os PC's de f na interseção, vem dados pelas soluções da equação (). 
 as  u val a (
 
 
 
 
 
 
 
 
) ((
 
 
 
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
 
 
 
))
⏟ 
 
(
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 o o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 amos d n r
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, os PC's de f(x,y,z) na interseção das superfícies g(x,y,z)=A, h(x,y,z)=B são soluções da 
equação: 
 
 
 
 
E mplo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 
 ℝ 
 
65 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 = 
( ) 
 
 
 cos cos cos 
 
 
 cos 
 
 cos cos 
 
 
 s n s n s n s n s n s n 
 
4) Achar os valores extremos de f(x,y,z) = x + y + z (na interseção das superfícies) z = 1 e x2 + 
y = 1 
 olu o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 {
 
 
 
√ 
 Os pts. críticos são: (
 
√ 
 
 
√ 
 ) ( 
 
√ 
 
 
√ 
 ) 
 
Valor máximo é 
 
√ 
 
Valor mínimo é 
 
√ 
 
 
 sujeito a e 
 olu o 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
66 
 
 
 {
 
 
 
 
 
 
Repar u na curva Vmin=0, Vmáx não tem. 
 
67 
 
 
5. Quádricas 
 
Superfície do tipo , onde A, B,..., J ∈ ℝ 
Elas são superfícies de nível. Vamos supor D = E = F = 0. (Problema: esboçar a superfície 
usando os parâmetros) 
Resulta na superfície: 
 
 ( 
 
 
 
 
 
) ( 
 
 
 
 
 
) ( 
 
 
 
 
 
) (
 
 
 
 
 
 
 
 
) 
 ( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 
Transforma-se, pela operação de completar quadrados, na forma padrão 
 
 
 
 . O ponto (x0,y0, z0) chama-se centro da quádrica. 
 
Exemplo: transforme a quádrica na forma padrão e identifique o centro 
 
 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) (
 
 
 
 
 
) 
 ( 
 
 
)
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 O c ntro é (
 
 
 
 
 
 ) 
 
5.1 Desenho da 
 
Existem dois casos: J=0 ou J 0 
 um dos três coeficientes A, B ou C é negativo e outro positivo. 
Salvo multiplicar por -1, podemos supor que dois são positivos e o terceiro negativo. 
 
 
68 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2 Rabanada 
 
Esboçar a interseção da quádrica com planos z=constante no caso, forme-se elipses 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
69 
 
 
 
 √
 
 
 
 ort ocorr para √
 
 
 √
 
 
 ss caso s o l ps s
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No caso do exemplo, tinha-se 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
Esboço: 
 
5.3 Elipsóides 
 
 o uádr cas do t po 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
70 
 
 
5.4 Parabolóides 
 
z=Ax2 + By2 (aparece em quádricas onde o coeficiente C=0 e o I 0 
 
 
71 
 
 
6 Lista de exercícios 
 
1) Resolver as EDOs: 
a 
b (x-y) - ex - e-y - 1 
c) 
 
 
 = cosx 
d) 
e) - x = - (tg x)y 
f) - 2y = e-2x 
g) s n2x 
h) t 
 - y - y 
 
i) t 
 - 
 
j) t t 
 - 
2) Achar a interseção dos planos x + y = 1 e x - y + z = 1. 
3) Achar reta que que passa por (1,3,1) perpendicular aos vetores (1,1,1) e (3,2,1). 
4) Achar dois vetores não colineares que sejam paralelos ao plano x + y + z = 1. 
5 char o v tor d “ ” tal u o v tor - 2Q) seja ortogonal ao plano x + y +z = 1. 
 
6) Parametrize as curvas: 
● y = x2 + 1 de (0,1) até (1,2). 
● x2+y2 - 2y = 0 de (0,0) até (0,2) (sentido anti-horário). 
● segmento de reta de (1,1) até (3,4). 
● triângulo de vértices (0,0), (1,0), (1,1), ((1,1), (1,2), 
 
 
, 
 
 
)) (sentido anti-horário). 
72 
 
 
7) Calcule os limites. Caso não existam, justifique. 
 
a) l m
 
 
 
 
 
b) l m
 
 
 
 
 
 
c) l m
 
 
 
 
 
 
d) l m
 
 
 
 
 
 
e) l m
 
 
 
 
 
 
f) l m
 
 
 
 
 
 
8) Ache a reta tangente (e plano normal se for o caso) da curva dada no ponto correspondente 
ao parâmetro dado. 
 
 
x = |t| a) x = cosθ c) 
y = senθ , θ 
tt
 
 y = t² 
z = t , t = 1 z = θ 
 
x = d) b) x=2t + t 
y = , θ ln y = t , t = 1 
z = θ 
 
 
9) Ache os limites (ou justifique se não existir). 
 
a) l m
 
 
 
 
 
 
b) l m
 
 
 
 
 
 
c) l m
 
 
√ 
 
 
73 
 
 
d) l m
 
 
 
 
 
e) l m
 
 
 
 
 
f) l m
 
 
 
 
 
g) l m
 
 
 
 
 
 
h) l m
 
 
 
 
 
 
 
10) Parametrizar por longitude do círculo. 
 
a) C(t) = ( 8t + 1, 3t, t ) , t ℝ. 
 
b) C(t) = ( cos2t, sen3t, t
 
 t 
 
c) C(t) = ( cos2t, sen2t ) , t ℝ 
 
d r ta o t da p la nt rs o dos planos - y - z = 1. 
 
11) Achar extremos relativos pelo teste da segunda derivada: 
a) f(x, y) = 10 -3x +5y –x²/2 -4y² 
b) f(x, y) = xy + 1/x +1/y 
c) f(x, y) = sen(x) sen(y) 
d) f(x, y) = xsen(y) 
 
12) Achar os extremos absolutos nos domínios indicados: 
a) f(x, y) = 2x³ +y4 , , x ≥0, y≥0, x² + y² ≥ 3 
b) f(x, y) = x4 + y4 -4xy +2 , 0 ≤ x ≤ 3 , 0≤ y ≤ 2 
c) f(x, y) = 3 +xy -x -2y , no triangulo de vértices (1, 0), (5, 0) e (1, 4). 
d) f(x, y) = x² + y² , xy=1 
e) f(x, y, z) = 8x -4z , x² + 10y² + z² = 5 
f) f(x, y, z) = x + 2y , x + y + z = 1 y² + z² = 4 
g) f(x, y, z) = 2x² + 3y² -4 – 5 , x² + y² ≤ 16 
h) f(x, y) = e-xy , x² + 4y² ≤ 1 
i) f(x, y, z) = x + y -z , no casquete x² + y² + z² = 1 , z≥0 
74 
 
 
j) f(x, y, z) =x² + y² + z² , na porção do paraboloide z= x² + y² abaixo do plano x + 
y + z = 1 
k) f(x, y, z) =xyz , yz + xz + xy = 1 
l) f(x, y) = x + y , x² + 3y² = 1 
 
13) O plano x + y +2z = 2 intercepta a superfície z= x² + y² em uma curva. Determine os pontos 
dessa curva mais próximos e menos próximos da origem. 
 
14) Um fabricante fez caixas sem tampa usando, para cada caixa, 30m² de papelão. Ache as 
dimensões da caixa, de maneira que a mesma resulte no volume máximo. 
 
15) Um planeta tem forma elipsoidal dada por x² + 10y² +z² = 1. Se a temperatura do universo 
é dada por x + y² + z achar o ponto mais quente sob a superfície do planeta. 
 
16) A trajetória do cometa ‘’Apophis’’ no espaço IR³ é dada pela interseção do plano x - y + z = 1 
com o paraboloide z = x² + y². Ache o ponto mais próximo do cometa a terra, que encontrasse 
na origem. 
 
17) Calcule as derivadas parciais nos pontos indicados (se for o caso). 
a) xy + yx 
b) cos(x²) + sen(y²) 
c) cos(xy) 
d) 
 
 
 em (2, 1) 
e) xy/x² + em (1, 0) 
f) yln(x² + y²) em (1, 1) 
g) xyz – y² 
h) cos(x, y, z) 
i) xy + yx + xy 
j) xyz/(x² + y² +z²) em (1, 0, 0) 
k) ln(x² + y² +z²)/x² + y² em (1, 0) 
 
18) Calcule as derivadas usando a fórmula Du f(x)= f(x).u 
a) D(1, 8) (x² + y)(1, 2) 
75 
 
 
b) D(1, 2, 1)(exyz)(3, 1, 2) 
c) D(3, 2, 1)(xyz²)(1, 2, 1) 
d)D(4, 3)ln(x + y)(2, 3) 
 
19) Considere a função 
 a) Calcule: 
 
 
 e 
 
 
 (Caso existir) 
 b) Será que existe um ponto sob a superfície = x onde o plano tangente seja paralelo 
ao plano x + z = 1 ? 
 
20) Ache o ponto sob a superfície z = x² + y² onde a reta normal seja paralela a reta 
 x/3 = y/2 = -z 
 
21) Use a Regra da Cadeia da para calcular 
 
 
 e 
 
 
 se: 
 a) z = x² + y², x = v + u , y = u.v 
 b) z =cos(xy) y = u² + v² , x = 2.v.u 
 c) x = u² + v² , y = v² + u² , w = 
 
22) Achar: 
 a) 
 
 
 onde y=y(x, z) é a rama da superfície que contém (0, 0, 1). 
 
 b) 
 
 
 se x está definida implicitamente por ln 
 
 c) Encontre o valor de R tal que a rama da superfície que 
contém ( 
 
 
 
 
 
) satisfaz 
 
 
 
 
 
) = 
 
 
 
 
 
76 
 
 
7 P1 – 2013/1 
 
1) Calcule os limites ( ou justifique se não existir ). 
 
a) l m 
 
 
 b) l m 
 
 
 
 
2) Considere a curva C (t) = ( cos3t , sen3t) , t  IR 
 
a ) Calcule t  t  
 
b) Calcule ∫   
 
 
 
 
c) Parametrize C (t) por longitude de arco 
 
 
 
3) Achar a solução geral do sistema 
 
{
 
 
 
 
 
 
4) Parametrize a curva obtida pela união do segmento de reta de (0,0) até (1,2) , seguido do 
segmento de reta de (1,2) até (1,1). 
 
77 
 
 
8 P2 - 2013/1 
 
1) Calcule : 
 
a) f (1,0,1) se f (x,y,z) = 
 
b) Plano tangente a superfície yz + zx + xy = 3 no ponto ( 1 , 2 , 
 
 
 ) . 
 
2) Calcule ( 
 
 - 
 
 
 , 
 
 
 - 
 
 
 , 
 
 
 - 
 
 
 ) se : 
 
a) f (x , y, z) = xyz b) f (x , y, z) = z + cos(xy) 
 
 
3) Achar extremos relativos pelo teste da segunda derivada da função 
 f ( x, y) = cos (ln x) + sen(ln y). 
 
 
4) Ache os pontos críticos da função f (x, y, z) = z + + no plano 
 x + y + z = 1.