Revisão de Cálculo de Cortante e Momento em Vigas

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Revisão do Cálculo de Cortante e Momento em Vigas
Prof. Samuel da Silva,
samuel@dem.feis.unesp.br
Universidade Estadual Paulista - UNESP
Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira
Departamento de Engenharia Mecânica
Ilha Solteira, SP
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Escopo
1 Motivação
2 Relações entre Cortante e Momento
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Motivação
Conhecer as expressões para a cortante V (x) e o momento fletor M(x) em
função do carregamento aplicado são fundamentais para:
Calcular a distribuição de tensões, tanto normal quando de
cisalhamento de uma estrutura, em especial vigas e eixos, ao longo do
comprimento x.
Prever pontos de maiores solicitações, correlacionando com os pontos
máximos de V (x) e M(x).
Calcular deflexão de vigas a partir da linha elástica.
Métodos:
Vários métodos podem ser usados, dentre eles:
Métodos das seções
Funções singulares
Aqui será revisado o método das seções.
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Carregamento Combinado
V(x)
M(x)
T(x)
x
q(x) [N/m]
A C
B
F
l a
x
Imagine uma parte x de uma viga com carregamento combinado
A cortante V (x), o momento fletor M(x) e o torsor T (x) variam ao
longo do comprimento de uma viga.
Cada ponto seccionado tem um valor para V (x), M(x) e T (x).
Conhecer expressões para V (x) e M(x) são úteis.
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Cálculo da cortante e momento em função do carregamento
q(x)
x
duu x-u
q(x) [N/m]
V(x)
M(x)
Com um DCL em um elemento infinitesimal du e com as equações de
equilíbrio se encontra V (x) e M(x):
Soma de forças fornece a distribuição de cortante V (x).
Soma de momento fornece a distribuição de momento M(x)
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Cálculo da cortante e momento em função do carregamento
A partir de uma função carregamento q(x) conhecida pode-se obter as
expressões de cortante V (x) por:
V (x) =
∫ x
0
q(u)du
e o momento M(x) por:
M(x) =
∫ x
0
(x− u)q(u)du
A limitação é que o carregamento q(x) deve ser uma função contínua
para permitir ser integrável! Não pode ter descontinuidade! Com isto
nunca se secciona em pontos onde exista força concentrada.
Seccionar em vários pontos é algo exaustivo.
O uso de Funções de Singulares contorna estas limitações e por isto
será o padrão adotado neste curso.
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Relações entre Cortante e Momento
V
q(x)
dx V+dV
qdx
M M+dM
Equivalente 
no meio de dx
O equilíbrio de forças com V = V (x) no elemento dx fornece:
V − q(x)dx− (V + dV ) = 0 ⇒ q(x) = −dV
dx
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Relações entre Cortante e Momento
O carregamento q(x) é igual a inclinação da cortante V (x).
Isto mostra também que ao integrar o carregamento q(x) obtém-se a
distribuição de cortante V (x).
Já o equilíbrio de momentos (com a soma feita do lado esquerdo)
fornece uma expressão que relaciona V (x) com M(x):
M + qdx
dx
2
+ (V + dV )dx− (M + dM) = 0
Pode-se desprezar termos de alta superior, como o dx2 e o dV dx, com
isto:
V =
dM
dx
como q(x) = −dV
dx
⇒ q = −d
2M
dx2
A cortante V (x) é igual a inclinação do momento M(x).
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Relações entre Cortante e Momento
Observa-se que:
q(x) = −dV
dx
V (x) =
dM
dx
Observações:
O grau da função distribuição de M(x) sempre é maior do que a cortante
V (x) e o carregamento q(x).
Ao integrar o momento M(x) obtém-se a cortante V (x) e ao integrar a
cortante obtém-se o carregamento q(x).
Algo útil é encontrar o ponto x onde ocorre o momento fletor V (x) é
máximo ou mínimo, ou seja:
V (x) =
dM
dx
= 0
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Limitações do Método das Seções
Carregamento q(x) deve ser uma função contínua.
Pontos de apoio, vínculos e cargas concentradas representam
descontinuidades que dificulta a aplicação do método das seções.
A cortante V (x) e o momento M(x) ficam descontínuas e com
funções diferentes em cada trecho.
O uso de Funções de Singulares contorna estas limitações e por isto
será o padrão adotado neste curso.
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Maiores informações
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