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Princípios gerais
Apresentação
Esta Unidade de Aprendizagem leva até você os princípios gerais para o estudo das tensões e 
deformações ao longo das estruturas. Você verá os tipos de solicitações internas e como são 
traçados os diagramas referentes ao esforço normal, esforço cortante e momento fletor, ao longo 
de uma barra.
Bons estudos!
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
Reconhecer os tipos de solicitações internas: esforço normal, esforço cortante, momento 
fletor, momento torsor.
•
Identificar quais tipos de solicitações internas ocorrem nos elementos estruturais.•
Construir o traçado dos diagramas de esforço normal, esforço cortante e momento fletor ao 
longo de uma barra.
•
Desafio
Ao analisar a segurança de qualquer elemento estrutural, o primeiro passo do projetista será 
observar as cargas atuantes e quais tensões e deformações que deverão ser calculadas para que a 
estrutura seja dimensionada de forma segura. Dessa forma, considerando que as solicitações 
internas podem ser Esforço Normal (tração e compressão), Esforço Cortante (cisalhamento), 
Momento Fletor (flexão) e Momento Torsor (torção), descreva quais solicitações estão atuando nas 
estruturas abaixo.
Infográfico
No esquema abaixo, podemos observar a representação esquemática do esforço normal, esforço 
cortante, momento fletor e momento torsor.
Conteúdo do livro
O livro Estática e mecânica dos materiais traz, no tópico 12.2, Diagramas de força cortante e 
momento fletor, explicações sobre o traçado dos diagramas de solicitações internas em elementos 
de barra.
Boa leitura.
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dos materiais
Beer | Johnston | deWolf | mazurek
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Beer | Johnston | deWolf | mazurek
Beer
Johnston
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Mantendo a metodologia de ensino tradicional dos seus famosos livros-texto, 
Beer e Johnston unem nesta obra conceitos e aplicações de duas importantes 
áreas da engenharia – a estática e a mecânica dos materiais – permitindo que 
os estudantes desenvolvam a habilidade de compreender e solucionar um deter-
minado problema de maneira coesa, simples e lógica.
 Os capítulos têm início com exemplos reais e com um sumário resumido 
dos conteúdos que serão trabalhados.
 Os conceitos são introduzidos passo a passo, de forma clara e objetiva.
 Seções opcionais oferecem tópicos avançados.
 As seções Problemas resolvidos são apresentadas em uma única página, 
o que proporciona melhor visualização dos problemas-chave.
 Todos os capítulos oferecem um conjunto de problemas que devem 
ser resolvidos com o auxílio de programas computacionais.
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ter livre acesso ao material exclusivo, em inglês e português, 
deste livro.
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Engenharia
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Estática e mecânica dos materiais
BEER, JOHNSTON & CORNWELL
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Dinâmica, 9.ed.
BEER, JOHNSTON, MAZUREK & EISENBERG
Mecânica Vetorial para Engenheiros: Estática, 9.ed.
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Engenharia Econômica, 6.ed.
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Elementos de Máquinas de Shigley: Projeto de Engenharia Mecânica, 8.ed. 
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LEET, UANG & GILBERT
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NAHVI & EDMINISTER
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Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/2052
E79 Estática e mecânica dos materiais [recurso eletrônico] /
 Ferdi nand P. Beer ... [et al.] ; tradução: Antônio Eustáquio
 de Melo Pertence ; revisão técnica: Antonio Pertence Júnior.
 – Dados eletrônico. – Porto Alegre : AMGH, 2013.
 Editado também como livro impresso em 2013.
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507Capítulo 12 � Análise e projetos de vigas em flexão
ultrapassará seu valor admissível. Conforme já dissemos, esse é o crité-
rio dominante no projeto de uma viga.
12.2 Diagramas de força cortante e momento fletor
Como indicamos na Seção 12.1, a determinação dos valores máximos ab-
solutos da força cortante e do momento fletor em uma viga será muito 
mais fácil se os valores de V e M forem construídos graficamente em fun-
ção da distância x medida a partir de uma extremidade da viga. Além 
disso, conforme veremos no Cap. 15, o conhecimento de M em função de 
x é essencial para a determinação do deslocamento de uma viga.
Nos exemplos e problemas resolvidos desta seção, os diagramas de 
força cortante e momento fletor serão obtidos por meio da determinação 
dos valores de V e M em pontos selecionados da viga. Esses valores serão 
determinados da maneira usual, isto é, corta-se a viga no ponto em que 
eles devem ser determinados (Fig. 12.5a) e considera-se o equilíbrio da 
parte da viga localizada de cada lado da seção (Fig. 12.5b). Como as forças 
cortantes V e Vʹ têm sentidos opostos, registrar a força cortante no ponto 
C com uma seta para cima ou para baixo não teria significado a menos que 
indicássemos, ao mesmo tempo, qual dos corpos livres AC e CD estamos 
considerando. Por essa razão, a força cortante V será marcada com um si-
nal positivo se ela estiver direcionada, como mostra a Fig. 12.5b, e com um 
sinal negativo se isso não ocorrer. Será aplicada uma convenção similar 
para o momento fletor M; que será considerado positivo se os momentos 
fletores estiverem direcionados, como mostrado na figura, e negativo se 
isso não ocorrer.* Resumindo a convenção de sinais apresentada, podemos 
dizer o seguinte:
A força cortante V e o momento fletor M serão positivos quando, em 
determinada seção da viga, os esforços internos atuantes nas partes da 
viga estiverem direcionados conforme mostra a Fig. 12.6a.
Essas convenções podem ser lembradas mais facilmente se notarmos que:
1. Em um ponto da viga, a força cortante é positiva quando as forças 
externas (cargas e reações) que atuam nela tendem a rompê-la (cisa-
lhar) nesse ponto, conforme indicado na Fig. 12.6b.
2. Em um ponto da viga, o momento fletor é positivo quando as forças 
externas que atuam nela tendem a flexioná-la nesse ponto, conforme 
indicado na Fig. 12.6c.
É útil também notar que a situação descrita na Fig. 12.6, na qual os 
valores da força cortante e do momento fletor são positivos,é precisamen-
te a situação que ocorre na metade esquerda de uma viga simplesmente 
apoiada, tendo uma única força concentrada em seu ponto médio. Esse 
caso particular é amplamente discutido no próximo exemplo.
B
C
A
w
x
P1 P2
(a)
C
B
C
A
wP1
RA
(b)V
M
P2
RB
M′
V′
Figura 12.5
* Note que essa convenção é a mesma que usamos na Seção 11.2.
V
M
M′
V′
(a) Esforços internos
(força cortante positiva e momento fletor positivo)
(b) Efeitos de forças externas
(força cortante positiva)
(c) Efeitos de forças externas
(momento fletor positivo)
Figura 12.6
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508 Estática e mecânica dos materiais
Exemplo 12.1 Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para 
uma viga AB simplesmente apoiada de vão L, submetida a uma única força con-
centrada P em seu ponto médio C (Fig. 12.7).
B
C
A
P
L1
2 L1
2
Figura 12.7
Primeiro determinamos as reações nos apoios por meio do diagrama de corpo 
livre da viga toda (Fig. 12.8a); vemos que a intensidade de cada reação é igual a P/2.
Em seguida, cortamos a viga no ponto D entre A e C, e desenhamos os dia-
gramas de corpo livre AD e DB (Fig. 12.8b). Considerando que a força cortante e 
o momento fletor são positivos, direcionamos os esforços internos V e Vʹ e M e 
Mʹ como mostra a Fig. 12.6a. Considerando o diagrama de corpo livre AD e es-
crevendo que a soma dos componentes verticais e a soma dos momentos em rela-
ção a D das forças que atuam no corpo livre são iguais a zero, encontramos 
V = +P/2 e M = +Px/2. Tanto a força cortante quanto o momento fletor são, por-
tanto, positivos, pois a reação A tende a cortar e flexionar a viga em D, conforme 
indicam as Figs. 12.6b e c. Agora construímos os gráficos de V e M entre A e C 
(Figs. 12.8d e e); a força cortante tem um valor constante V = P/2, enquanto o mo-
mento fletor aumenta linearmente desde M = 0 em x = 0 até M = PL/4 em x = L/2.
Cortando a viga no ponto E, entre C e B, e considerando o diagrama de corpo 
livre EB (Fig. 12.8c), escrevemos que a soma dos componentes verticais e a soma 
dos momentos em relação a E das forças que atuam no corpo livre são iguais a 
zero. Obtemos V = –P/2 e M = P(L – x)/2. Assim, a força cortante é negativa, e o 
momento fletor, positivo, pois a reação em B flexiona a viga em E, conforme in-
dica a Fig. 12.6c, mas tende a cortar de maneira oposta àquela mostrada na Fig. 
12.6b. Podemos completar, agora, os diagramas de força cortante e momento fle-
tor das Figs. 12.8d e e. A força cortante tem um valor constante V = – P/2 entre C 
e B, enquanto o momento fletor diminui linearmente de M = PL/4 em x = L/2 até 
M = 0 em x = L. ■
Notamos no exemplo anterior que, quando uma viga é submetida so-
mente a forças concentradas, a força cortante é constante entre as forças, e 
o momento fletor varia linearmente entre elas. Nessas situações, portanto, 
os diagramas de força cortante e momento fletor podem ser traçados facil-
mente, uma vez obtidos os valores V e M nas seções selecionadas imedia-
tamente à esquerda e imediatamente à direita dos pontos em que as forças 
e reações são aplicadas (ver Problema Resolvido 12.1).
RA = P1
2
RA = P1
2 RB = P1
2
PL
x
1
4
RB = P1
2
B
C ED
A
P
L1
2 L1
2
B
C
D
D
A
x
x
x
P
(a)
(b)
V M
M′
V′
RA = P1
2
L1
2
L L1
2
P– 1
2
P1
2
RB = P1
2
B
C E
E
L – x
L
M
V
A
P
(c)
(d )
(e)
V
M
M′
V′
Figura 12.8
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509Capítulo 12 � Análise e projetos de vigas em flexão
Exemplo 12.2. Trace os diagramas de força cortante e momento fletor para 
a viga em balanço AB de vão L que suporta uma força w uniformemente distri-
buída (Fig. 12.9).
Cortamos a viga no ponto C entre A e B e desenhamos o diagrama de corpo 
livre de AC (Fig. 12.10a), direcionando V e M conforme indica a Fig. 12.6a. Cha-
mando de x a distância de A até C e substituindo a força distribuída sobre AC pela 
sua resultante wx aplicada no ponto médio de AC, escrevemos
 + ↑ Σ Fy = 0 : – wx – V = 0 V = –wx
 + ΣMC = 0: wx 
x
2
+ M = 0 M = –
1
2
 wx2�
Notamos que o diagrama de força cortante é representado por uma linha reta incli-
nada (Fig. 12.10b), e o diagrama do momento fletor, por uma parábola (Fig. 12.10c). 
Os valores máximos de V e M ocorrem ambos em B, assim, temos
VB = – wL MB = – 1
2 wL2 ■
x1
2
VB = – wL
(a)
V
M
MB = – wL21
2
x
x
A
V
A
C
w
wx
(b)
L
B
x
M
A
(c)
L
B
Figura 12.10
L
A B
w
Figura 12.9
Cap.12_Beer.indd 509Cap.12_Beer.indd 509 03/12/2012 19:13:3703/12/2012 19:13:37
Dica do professor
Vamos assistir no vídeo um exemplo de traçado de diagramas de solicitações internas de uma 
estrutura de barra. Confira!
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
https://fast.player.liquidplatform.com/pApiv2/embed/cee29914fad5b594d8f5918df1e801fd/c4c30e4b481a51ffd135e8237c8a2fec
Exercícios
1) Entre as afirmativas a seguir, qual delas descreve da melhor forma o esforço normal?
A) O esforço normal ocorre de forma perpendicular ao eixo da barra, podendo gerar esforços de 
tração (alongamento) ou compressão (encurtamento).
B) O esforço normal ocorre de forma perpendicular ao eixo da barra, podendo gerar esforços de 
flexão ou compressão.
C) O esforço normal ocorre de forma paralela ao eixo da barra, podendo gerar esforços de flexão 
(alongamento) ou compressão (encurtamento).
D) O esforço normal ocorre de forma paralela ao eixo da barra, podendo gerar esforços de 
tração (alongamento) ou compressão (encurtamento).
E) O esforço normal ocorre de forma paralela ou perpendicular ao eixo da barra, podendo gerar 
esforços de flexão, tração (alongamento) ou compressão (encurtamento).
Ao observar a estrutura estaiada abaixo, indique qual solicitação é encontrada nos cabos que 
suportam o tabuleiro desta ponte.
2) 
A) Tração
B) Compressão
C) Flexão
D) Torção
E) Cisalhamento
A figura abaixo mostra uma estrutura em arco encontrada no Parque Nacional de Utah, nos 
Estados Unidos. Em relação aos arcos, pode-se dizer que a sua principal função é resistir aos 
esforços de:
3) 
A) Tração
B) Compressão
C) Flexão
D) Torção
E) Cisalhamento
4) Entre as afirmativas a seguir, qual delas descreve da melhor forma o esforço de torção?
A) O esforço de torção ocorre de forma paralela ao eixo da barra, podendo gerar esforços de 
tração (alongamento), ou compressão (encurtamento).
B) O esforço de torção é representado pela flexão quando cargas perpendiculares ao eixo atuam 
na estrutura.
C) O esforço de torção é representado pelo momento que flexiona a barra ao longo do seu eixo 
longitudinal.
D) O esforço de torção provoca um alongamento na estrutura.
E) O esforço de torção é representado pelo momento que tende a torcer o membro em torno do 
seu eixo longitudinal.
5) Considerando a estrutura abaixo, em qual posição, ao longo de cada prateleira, vai ocorrer o ponto 
máximo de flexão? E qual como seria o traçado do diagrama de esforço cortante e momento fletor?
A) Momento Máximo: ocorre na metade do vão; Diagrama de Momento Fletor: constante; 
Diagrama de Esforço Cortante: reta inclinada.
B) Momento Máximo: ocorre na metade do vão; Diagrama de Momento Fletor: reta inclinada; 
Diagrama de Esforço Cortante: parábola;
C) Momento Máximo: ocorre na metade do vão; Diagrama de Momento Fletor: parábola; 
Diagrama de Esforço Cortante: reta inclinada.
D) Momento Máximo: ocorre nos apoios; Diagrama de Momento Fletor: parábola; Diagrama de 
Esforço Cortante: reta inclinada.
E) Momento Máximo: ocorre nos apoios; Diagrama de Momento Fletor: reta inclinada; Diagrama 
de Esforço Cortante: parábola.
Na prática
A fim de realizar o dimensionamento correto dos elementos estruturais, é necessário identificar 
qual o tipo de solicitação interna que o elemento está submetido e qual a intensidade desta 
solicitação ao longo de todo o seu comprimento. A partir dessas informaçõespodemos verificar os 
pontos críticos em relação aos esforços normais, de cisalhamento, de flexão ou torção.
Saiba +
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Soluções fundamentais
Aponte a câmera para o código e acesse o link do conteúdo ou clique no código para acessar.
http://coral.ufsm.br/decc/ECC1002/Downloads/_Cap_4_Solucoes_fundamentais.pdf