Silva - Espacos Métricos

Prévia do material em texto

Espac¸os Me´tricos
Ma´rcio Nascimento da Silva
8 de janeiro de 2009
Resumo
Dado um conjunto na˜o vazio, podemos definir uma maneira de “medir a distaˆncia”
entre os seus elementos, o que chamamos de me´trica. Assim, o conjunto passa a
ser um espac¸o me´trico. Este trabalho e´ apenas uma apresentac¸a˜o a` este importante
conceito (de grande utilidade em ana´lise funcional, por exemplo). Um estudo, de
fato, necessita de um semestre, de prefereˆncia com uma certa familiaridade com
ana´lise real.
1 Me´tricas
Seja X um conjunto na˜o vazio. Uma me´trica em X e´ uma func¸a˜o
d : M ×M −→ R
(x, y) 7−→ d(x, y)
que satisfaz:
(i) d(x, x) = 0
(ii) Se x 6= y enta˜o d(x, y) > 0
(iii) d(x, y) = d(y, x)
(iv) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)
Exemplo 1.1 Seja M um conjunto qualquer na˜o vazio e defina a func¸a˜o:
d : M ×M −→ R
(X, Y ) 7−→ d(X, Y ) =
{
0 se X = Y
1 se X 6= Y
(i) Pela pro´pria definic¸a˜o, d(X,X) = 0 para qualquer X ∈M .
(ii) Tambe´m por definic¸a˜o, d(X,Y ) = 1 > 0 sempre que X 6= Y .
(iii) Claramente d(X, Y ) = d(Y,X) uma vez que X = Y ⇐⇒ Y = X e X 6= Y ⇐⇒ Y 6=
X.
1
(iv) Sejam X,Y, Z elementos quaisquer em M . Enta˜o
d(X,Z) = 0 ou d(X,Z) = 1
d(X, Y ) = 0 ou d(X, Y ) = 1
d(Y, Z) = 0 ou d(Y, Z) = 1
Da´ı
d(X, Y ) + d(Y, Z) = 0 ou d(X, Y ) + d(Y, Z) = 1 ou d(X,Y ) + d(Y, Z) = 2
E de toda forma,
d(X,Z) ≤ d(X,Y ) + d(Y, Z)
Desta maneira, temos uma me´trica, chamada me´trica zero-um. Na verdade, acabamos
de ver que em qualquer conjunto na˜o vazio podemos definir uma me´trica.
¥
Exemplo 1.2 Considere o conjunto dos nu´meros reais R e a func¸a˜o
d : R× R −→ R
(x, y) 7−→ d(x, y) = |x− y|
(i) d(x, x) = |x− x| = 0
(ii) Se x 6= y enta˜o x− y 6= 0 e portanto, |x− y| > 0, isto e´, d(x, y) > 0.
(iii) d(x, y) = |x− y| = |(−1).(y − x)| = | − 1|.|y − x| = 1.|y − x| = d(y, x)
(iv) Sejam x, y, z nu´meros reais quaisquer. Sabemos da desigualdade triangular que
|x− z| ≤ |x− y|+ |y − z|
¥
Exemplo 1.3 Considerando M = Rn = {(x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ R} , ha´ treˆs me´tricas
“naturais” definidas em M :
d : Rn × Rn −→ R
(X,Y ) 7−→ d(X, Y ) =√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + . . .+ (xn − yn)2
d′ : Rn × Rn −→ R
(X, Y ) 7−→ d′(X, Y ) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ . . .+ |xn − yn| =
n∑
i=1
|xi − yi|
2
d′′ : Rn × Rn −→ R
(X,Y ) 7−→ d′′(X, Y ) = max{|x1 − y1|, . . . , |xn − yn|} = max
1≤i≤n
{|xi − yi|}
As condic¸o˜es (i), (ii), (iii) que caracterizam uma me´trica podem ser facilmente provadas
para d, d′, d′′. A condic¸a˜o (iv) e´ imediata para d′ e d′′, ja´ para d, a condic¸a˜o (iv) sera´ vista
mais adiante.
¥
2 Espac¸os Me´tricos
Dado um conjunto na˜o vazio M e uma me´trica d definida em M , o par (M,d) sera´
chamado espac¸o me´trico. Quando na˜o houver du´vida quanto a me´trica definida, diremos
simplesmente que M e´ um espac¸o me´trico.
Num espac¸o me´trico (M,d), a me´trica d tambe´m e´ chamada distaˆncia.
Exemplo 2.1 O conjunto das matrizes M(m,n) com entradas reais e a me´trica zero-um.
Exemplo 2.2 O espac¸o euclidiano Rn com a me´trica
d(X,Y ) =
√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + . . .+ (xn − yn)2
onde X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn). Geometricamente, esta me´trica repre-
senta a distaˆncia euclidiana entre os pontos X e Y .
d
x x
y
y
1
1
2
2
Figura 1: Me´trica d.
Essa me´trica nos da´ a distaˆncia usual entre dois pontos do espac¸o Rn e e´ chamada
me´trica euclidiana.
¥
3
3
1
2
|x −y ||x −y | 1
|x −y |2
3
Figura 2: Me´trica d′ em R3.
Exemplo 2.3 O espac¸o euclidiano Rn com a me´trica
d′ : Rn × Rn −→ R
(X,Y ) 7−→ d(X, Y ) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ . . .+ |xn − yn|
Geometricamente, a distaˆncia entre dois pontos e´ considerada como a soma das
distaˆncias em cada direc¸a˜o. A Figura 2 traz um exemplo em R3.
Exemplo 2.4 O espac¸o euclidiano Rn com a me´trica
d′′ : Rn × Rn −→ R
(X, Y ) 7−→ d(X,Y ) = max
1≤i≤n
{|xi − yi|}
Esta me´trica da´ uma outra maneira de calcular a distaˆncia entre dois pontos, que e´
considerando a maior distaˆncia entre as distaˆncias em todas as direc¸o˜es, como mostra a
Figura 3
Proposic¸a˜o 2.1 Sejam d, d′, d′′ as me´tricas naturais definidas em Rn. Para quaisquer
X, Y ∈ Rn, temos:
d′′(X,Y ) ≤ d(X, Y ) ≤ d′(X, Y ) ≤ n.d′′(X, Y )
Prova: Sejam X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Rn. Enta˜o
d′′(X, Y ) = max
1≤i≤n
{|xi − yi|} = |xk − yk|
para algum k ∈ {1, 2, . . . , n}. Como
|xk − yk| =
√
(xk − yk)2 ≤
√
(x1 − y1)2 + . . .+ (xk − yk)2 + . . .+ (xn − yn)2 = d(X,Y )
4
3
1
2
|x −y ||x −y | 1
|x −y |2
3
d’’
Figura 3: Me´trica d′′ em R3.
segue que
d′′(X, Y ) ≤ d(X,Y )
Observe ainda que
d′′(X, Y ) = max
1≤i≤n
{|xi − yi|} = |xk − yk|
implica que |xi − yi| ≤ |xk − yk| para todo i ∈ {1, 2, . . . , n} e
d′(X, Y ) = |x1 − y1|+ |x2 − y2|+ . . .+ |xn − yn|
≤ |xk − yk|+ |xk − yk|+ . . .+ |xk − yk| = n.|xk − yk|
= n.d′′(X,Y )
Resta ver que
d(X, Y ) ≤ d′(X, Y )
para isso, note que
[d(X, Y )]2 = (x1 − y1)2 + . . .+ (xn − yn)2
enquanto
[d′(X, Y )]2 = [|x1 − y1|+ . . .+ |xn − yn|]2
= |x1 − y1|2 + 2.|x1 − y1|.
[
n∑
i=2
|xi − yi|
]
+
[
n∑
i=2
|xi − yi|
]2
= |x1 − y1|2 +
[
n∑
i=2
|xi − yi|
]2
+ 2.|x1 − y1|.
[
n∑
i=2
|xi − yi|
]
5
Desenvolvendo
[
n∑
i=2
|xi − yi|
]2
, teremos
[
n∑
i=2
|xi − yi|
]2
= [|x2 − y2|+ . . .+ |xn − yn|]2
= |x2 − y2|2 + 2.|x2 − y2|.
[
n∑
i=3
|xi − yi|
]
+
[
n∑
i=3
|xi − yi|
]2
Repetindo o processo, teremos
[d′(X, Y )]2 = |x1 − y1|2 + . . .+ |xn − yn|2 + Γ
onde Γ ≥ 0. Desta forma,
[d′(X,Y )]2 = [d(X, Y )]2 + Γ
e portanto
[d(X, Y )]2 ≤ [d′(X, Y )]2
que implica em
d(X, Y ) ≤ d′(X, Y )
uma vez que d, d′ sa˜o na˜o negativos.
¥
2.1 Algumas considerac¸o˜es sobre os nu´meros reais
Um subconjunto X dos nu´meros reais chama-se limitado superiormente quando existe
b ∈ R tal que b ≥ x para qualquer x ∈ R. O nu´mero b e´ chamado uma cota superior para
X.
b
X
Figura 4: Conjunto limitado superiormente.
Analogamente, se X e´ um subconjunto de R tal que a ≤ x para qualquer x ∈ X, enta˜o
X e´ dito limitado inferiormente. O nu´mero a e´ chamado uma cota inferior para X.
Veja que quando b e´ uma cota superior para X, enta˜o qualquer B > b, tambe´m e´
uma cota superior para X. Da mesma forma, se a e´ uma cota inferior para X, qualquer
nu´mero A < a tambe´m e´ uma cota inferior para X. Vale ressaltar que uma cota (superior
ou inferior) de um conjunto X na˜o precisa ser elemento de X.
No entanto, dado um conjunto X limitado superiormente, podemos tomar a menor
cota dentre todas as cotas superiores. Esta cota e´ chamada supremo de X, isto e´:
6
X
a
Figura 5: Conjunto limitado inferiormente.
(1) Considere o conjunto formado por todas as cotas superiores de X, digamos S;
(2) Tome o menor elemento de S, digamos, β
(3) Supremo de X = β. Notac¸a˜o: β = supX.
Por exemplo, se X = [0, 1), enta˜o qualquer elemento em [1,+∞) e´ uma cota superior
para X no entanto, o supremo de X e´ o menor elemento de [1,+∞), isto e´, supX = 1.
De maneira ana´loga definimos o ı´nfimo de um conjunto X ⊂ R sendo a maior das
cotas inferiores de X, isto e´:
infX = max{a ∈ R ; a ≤ x, x ∈ X}
Voltando ao conjunto X = [0, 1), vemos que infX = 0. E´ claro que nem todo subconjunto
de X possui supremo e/ou ı´nfimo. Por exemplo, o conjunto X = [0,+∞) na˜o e´ limitado
superiormente, portanto, na˜o existem cotas superiores nem supremo para X. Da mesma
forma o conjunto X = (−∞, 1) na˜o e´ limitado inferiormente e portanto na˜o possui cotas
inferiores, o que implica na na˜o existeˆncia de ı´nfimo. O conjunto R na˜o e´ limitado nem
inferiormente nem superiormente.
Exemplo 2.5 Seja Ω um conjunto na˜o vazio. Dizemos que uma func¸a˜o f : Ω −→ R
e´ limitada quando existe um k > 0 tal que |f(x)| ≤ k para todox ∈ Ω. Considere o
conjunto de todas as func¸o˜es definidas em Ω e limitadas:
B(Ω;R) = {f : Ω −→ R ; f limitada}
Vamos definir a seguinte me´trica em B(Ω;R):
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x)− g(x)|
Geometricamente, d da´ o comprimento da maior corda vertical ligando os dois gra´ficos,
como mostra a Figura 6
Esta me´trica e´ conhecida como me´trica do sup. Verifiquemos que, de fato, se trata
de uma me´trica em B(Ω;R).
(i) d(f, f) = sup
x∈X
|f(x)− f(x)| = sup
x∈X
0 = 0
(ii) Se f 6= g, enta˜o existe x0 ∈ X tal que f(x0) 6= g(x0), da´ı, |f(x0)− g(x0)| > 0. Como
sup
x∈X
|f(x)− g(x)| ≥ |f(x0)− g(x0)|, segue que d(f, g) > 0.
7
f
g
X
d(f,g)
Figura 6: Me´trica do sup para o conjunto B(Ω;R).
(iii) Como |f(x)− g(x)| = |g(x)− f(x)|, temos,
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x)− g(x)| = sup
x∈X
|g(x)− f(x)| = d(g, f)
(iv) Sejam f, g, h ∈ B(Ω;R). Enta˜o
d(f, g) = sup
x∈X
|f(x)− g(x)|
d(g, h) = sup
x∈X
|g(x)− h(x)|
Como |f(x)− g(x)| e |g(x)− h(x)| sa˜o nu´meros positivos, enta˜o
sup
x∈X
|f(x)− g(x)|+ sup
x∈X
|g(x)− h(x)| = sup
x∈X
{|f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|}
Por outro lado, pela desigualdade triangular,
|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|
para qualquer x ∈ X. Da´ı,
sup
x∈X
|f(x)− h(x)| ≤ sup
x∈X
{|f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|}
isto e´
d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h)
¥
Exemplo 2.6 Considere o conjunto C[a, b] das func¸o˜es cont´ınuas definidas no intervalo
[a, b]. Defina em C[a, b] a func¸a˜o
d(f, g) =
∫ b
a
|f(t)− g(t)|dt
Tal func¸a˜o e´ uma me´trica. Com efeito,
8
(i) d(f, f) =
∫ b
a
|f(t)− f(t)|dt =
∫ b
a
0.dt = 0
(ii) Se f 6= g, enta˜o existe x ∈ [a, b] tal que f(x) 6= g(x) e portanto f(x)− g(x) 6= 0. Da´ı
d(f, g) =
∫ b
a
|f(t)− g(t)|dt > 0
(iii) Como |f(x)− g(x)| = |g(x)− f(x)| para qualquer x ∈ X, enta˜o
d(f, g) =
∫ b
a
|f(t)− g(t)|dt =
∫ b
a
|g(t)− f(t)|dt = d(g, f)
(iv) Dadas f, g, h ∈ C[a, b], temos
|f(x)− h(x)| = |f(x)− g(x) + g(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|
para qualquer x ∈ [a, b]. Sendo as func¸o˜es |f(x)−h(x)| e |f(x)−g(x)|+|g(x)−h(x)|
cont´ınuas (portanto, integra´veis), segue que
|f(x)− h(x)| ≤ |f(x)− g(x)|+ |g(x)− h(x)|
implica em∫ b
a
|f(t)−h(t)|dt ≤
∫ b
a
[|f(t)−g(t)|+|g(t)−h(t)|]dt =
∫ b
a
|f(t)−g(t)|dt+
∫ b
a
|g(t)−h(t)|dt
ou seja
d(f, h) ≤ d(f, g) + d(g, h)
Logo, com a me´trica dada, C[a, b] e´ um espac¸o me´trico.
¥
2.2 Espac¸os Vetoriais Normados
Seja V um espac¸o vetorial real. Uma norma em V e´ uma func¸a˜o real
η : V −→ R
v 7−→ η(v)
que associa a cada elemento v ∈ V o nu´mero real η(v) chamado norma de v e ale´m disso
satisfaz:
(N1) Se v 6= −→0 V enta˜o η(v) 6= 0.
(N2) Se α ∈ R enta˜o η(α.v) = |α|.η(v)
(N3) η(u+ v) ≤ η(u) + η(v)
9
E´ mais comum usarmos a notac¸a˜o ||v|| em vez de η(v).
Quando no espac¸o vetorial V puder ser definida uma norma, dizemos que (V, || ||) e´
um espac¸o vetorial normado, ou simplesmente V e´ um espac¸o vetorial normado.
Exemplo 2.7 (Normas em Rn) Considere o espac¸o vetorial
Rn = {X = (x1, x2, . . . , xn) ; xi ∈ R}
e as func¸o˜es
||X|| =
√
x21 + x
2
2 + . . .+ x
2
n
||X||′ = |x1|+ |x2|+ . . .+ |xn|
||X||′′ = max{|x1|, |x2|, . . . , |xn|}
Todas essas func¸o˜es sa˜o normas em Rn.
¥
Exemplo 2.8 No conjunto B(Ω;R)1, defina a func¸a˜o
||f || = sup
x∈X
|f(x)|
Temos ai uma norma, e portanto, B(Ω;R) e´ um espac¸o vetorial normado.
¥
Todo espac¸o vetorial normado (V, || ||) pode se tornar um espac¸o me´trico. Basta
definirmos a me´trica da seguinte forma:
d(u, v) = ||u− v||
Esta me´trica e´ dita proveniente da norma. Verifiquemos que, de fato, ||u− v|| e´ uma
me´trica:
(i) d(X,X) = ||X −X|| = ||−→0 || = ||0.−→0 || = |0|.||−→0 || = 0
Da´ı tambe´m temos que
0 = ||X −X|| = ||X + (−X)|| ≤ ||X||+ || −X|| = ||X||+ | − 1|.||X|| = 2||X||
e portanto ||X|| ≥ 0.
(ii) Se X 6= Y enta˜o X − Y 6= −→0 , logo, ||X − Y || 6= 0 e portanto d(X, Y ) > 0.
(iii) d(X, Y ) = ||X − Y || = ||(−1).(Y −X)|| = | − 1|.||Y −X|| = ||Y −X|| = d(Y,X)
(iv) Dados X, Y, Z ∈ V , temos
d(X,Z) = ||X−Z|| = ||X−Y +Y −Z|| ≤ ||X−Y ||+ ||Y −Z|| = d(X, Y )+d(Y, Z)
1verifique que se trata realmente de um espac¸o vetorial.
10
2.3 Espac¸os Vetoriais com produto interno
Seja V um espac¸o vetorial real. Um produto interno em V e´ uma func¸a˜o
〈, 〉 : V × V −→ R
(X,Y ) 7−→ 〈X,Y 〉
que associa a um par de elementos X, Y ∈ V o nu´mero real 〈X, Y 〉 chamado produto
interno de X por Y e satisfaz as seguintes condic¸o˜es
(1) Se u, v, w ∈ V enta˜o 〈u+ v, w〉 = 〈u,w〉+ 〈v, w〉
(2) Se u, v ∈ V e α ∈ R, enta˜o 〈αu, v〉 = α〈u, v〉
(3) 〈u, v〉 = 〈v, u〉
(4) Se u 6= −→0 V enta˜o 〈u, u〉 > 0
Dessas propriedades, decorrem:
〈u, v + w〉 = 〈u, v〉+ 〈u,w〉
〈u, αv〉 = α〈u, v〉
〈−→0 V , u〉 = 0
A partir de um produto interno, podemos definir uma norma em um espac¸o vetorial
(V, 〈, 〉). Basta definir:
||X|| =
√
〈X,X〉
Neste caso dizemos que a norma prove´m de um produto interno. De fato,
(N1) Se X 6= −→0 enta˜o ||X|| =√〈X,X〉 > 0 pela condic¸a˜o (4).
(N2) ||α.X|| =√〈αX,αX〉 =√(α)2〈X,X〉 = |α|.√〈X,X〉 = |α|.||X||
Para provar (N3), antes precisamos do seguinte resultado:
Proposic¸a˜o 2.2 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz)
|〈X, Y 〉| ≤ ||X||.||Y ||
Prova: Se X =
−→
0 , enta˜o 〈X,Y 〉 = 0 e ||X|| = 0, o que torna o´bvia a desigualdade.
Agora vamos supor X 6= −→0 . Enta˜o ||X|| > 0 e podemos definir o seguinte nu´mero
λ =
〈X,Y 〉
||X||2
Desta forma, se tomarmos o elemento Z = Y − λX, temos
〈Z,X〉 = 〈Y,X〉 − 〈X,Y 〉||X||2 〈X,X〉 = 〈Y,X〉 −
〈X, Y 〉
||X||2 .||X||
2 = 0
11
Sendo Z = Y − λX, temos Y = Z + λX e
〈Y, Y 〉 = 〈Z,Z〉+ λ〈Z,X〉+ λ〈X,Z〉+ λ2〈X,X〉
isto e´
||Y ||2 = ||Z||2 + λ2||X||2 + 2λ〈X,Z〉 = ||Z||2 + λ2||X||2
uma vez que 〈Z,X〉 = 0. Da´ı
||Y ||2 = ||Z||2 + λ2||X||2 =⇒ ||Y ||2 ≥ λ2||X||2
Mas
λ2||X||2 =
(〈X,Y 〉
||X||2
)2
||X||2 =
(〈X, Y 〉
||X||
)2
Da´ı
||Y ||2 ≥
(〈X,Y 〉
||X||
)2
isto e´,
〈X,Y 〉2 ≤ ||X||2||Y ||2
e extraindo a raiz quadrada nos dois membros, temos
|〈X, Y 〉| ≤ ||X||.||Y ||
¥
Voltando a prova de (N3):
||X + Y ||2 = 〈X + Y,X + Y 〉
= ||X||2 + ||Y ||2 + 2〈X,Y 〉
≤ ||X||2 + ||Y ||2 + 2.|〈X,Y 〉|
≤ ||X||2 + ||Y ||2 + 2.||X||.||Y || = (||X||+ ||Y ||)2
Observac¸a˜o 2.1 Nem toda norma prove´m de um produto interno!
Uma forma de saber se uma dada norma prove´m ou na˜o de um produto interno e´ a
seguinte
Teorema 2.1 Se uma norma || || num espac¸o vetorial V prove´m de um produto interno,
enta˜o vale a lei do paralelogramo:
||X + Y ||2 + ||X − Y ||2 = 2(||X||2 + ||Y ||2)
Prova: Suponha que a norma || || prove´m de um produto interno, isto e´, dado X ∈ V ,
vale:
||X|| =
√
〈X,X〉
Desta forma, temos
||X + Y ||2 + ||X − Y ||2 = 〈X + Y,X + Y 〉+ 〈X − Y,X − Y 〉
= ||X||2 + 2〈X, Y 〉||Y ||2 + ||X||2 − 2〈X,Y 〉+ ||Y ||2
= 2||X||2 + 2||Y ||2
= 2(||X||2 + ||Y ||2)
12
¥
Desta forma, se na˜o vale a lei do paralelogramo, a norma na˜o prove´m de um produto
interno.
Exemplo 2.9 Considere o conjunto C[0, 1] e a norma
||f || = sup
x∈[0,1]
|f(x)|
Tome, por exemplo, defina h(x) = 2x− 1 e
f(x) =
|h(x)| − h(x)
2
g(x) =
|h(x)|+ h(x)
2
Desta forma
f(x)− g(x) = −h(x) f(x) + g(x) = |h(x)|
Portanto,
||f − g|| = sup
x∈[0,1]
| − h(x)| = 1
||f + g|| = sup
x∈[0,1]
∣∣|h(x)|∣∣ = 1
||f || = 1, ||g|| = 1
Assim,
||f − g||2 + ||f + g||2 = 2
e
2(||f ||2 + ||g||2) = 4
¥
Vimos, enta˜o, que num espac¸o vetorial com produto interno, podemos definir uma
me´trica a partir do produto interno, uma vez que a partir deste, obtemos uma norma:
d(X,Y ) = ||X − Y || = 〈X − Y,X − Y 〉 = ||X||2 + ||Y ||2 − 2〈X,Y 〉
Exemplo 2.10 (Espac¸os vetoriais com produto interno) Considerando o espac¸o ve-
torial Rn, dados dois elementos X = (x1, x2, . . . , xn), Y = (y1, y2, . . . , yn), a func¸a˜o
〈X,Y 〉 = x1.y1 + x2.y2 + . . .+ xn.yn
e´ um produto interno em Rn.A norma que prove´m desse produto interno e´
||X|| =
√
〈X,X〉 =
√
x21 + x
2
2 + . . .+ x
2
n
e a me´trica definida por esse produto interno e´
d(X, Y ) = ||X − Y || =
√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + . . .+ (xn − yn)2
¥
Refereˆncias
[1] LIMA, Elon Lages. CURSO DE ANA´LISE, vol. 1. Projeto Euclides, Rio de Janeiro,
1995.
[2] LIMA, Elon Lages. ESPAC¸OS ME´TRICOS. Projeto Euclides, Rio de Janeiro, 1993.
13