Equação de Maxwell

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cálculo vetorial e tensorial - notas de aula 0.5
Prof. Roldão da Rocha - CMCC/UFABC
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1 Equações de Maxwell
As equações de Maxwell podem ser escritas como
∇ ·E = ρ
�0
, (1)
∇×E = −∂B
∂t
(2)
∇ ·B = 0, (3)
c2∇×B = j
�0
+
∂E
∂t
(4)
Como ∇ · B = 0, então existe um potencial eletromagnético A tal que B = ∇ × A, que não é unicamente
determinado, já que a escolha A′ = A + ∇ψ (ψ é um campo escalar) nos dá também a mesma indução
magnética
B′ = ∇×A′ = ∇× (A+∇ψ) = ∇×A+∇×∇ψ = ∇×A = B.
Pela Eq.(2), temos que
∇×E = −∂B
∂t
= − ∂
∂t
∇×A = −∇× ∂A
∂t
o que implica que
∇×
(
E+
∂A
∂t
)
= 0⇒ E = −∂A
∂t
−∇φ (5)
onde φ é um campo escalar.
Agora podemos ver se também o campo elétrico E também fica invariante perante a mudança A′ = A+∇ψ:
E = −∂A
∂t
−∇φ = −∂A
′
∂t
+∇∂ψ
∂t
−∇φ
= −∂A
′
∂t
−∇
(
−∂ψ
∂t
+ φ
)
≡ −∂A
′
∂t
−∇φ′ = E′ (6)
onde
φ′ = φ− ∂ψ
∂t
(7)
Portanto E e B ficam invariantes perante as transformações de gauge (ou de calibre)
A′ = A+∇ψ
φ′ = φ− ∂ψ
∂t
(8)
Da Eq.(1) ∇ ·E = ρ�0 e da Eq.(5), temos que
∇ ·
(
−∂A
∂t
−∇φ
)
=
ρ
�0
o que implica que
∇2φ− ∂
∂t
∇ ·A = ρ
�0
. (9)
1
Da Eq.(4) c2∇×B = j�0 + ∂E∂t podemos usar que B = ∇×A e portanto
c2∇×∇×A− ∂
∂t
(
−∂A
∂t
−∇φ
)
=
j
�0
e usando ∇×∇×A = ∇(∇ ·A)−∇2A.
c2(∇(∇ ·A)−∇2A) +∇∂φ
∂t
+
∂2A
∂t2
=
j
�0
Agora usamos nossa liberdade de gauge de escolha de A e escolhemos A tal que ∇ ·A+ 1
c2
∂φ
∂t = 0 e portanto
segue-se que
∇2A− 1
c2
∂2A
∂t2
= − j
�0c2
Usando a Eq.(9) juntamente com nossa escolha de gauge, temos que
∇2φ− 1
c2
∂2φ
∂t2
=
ρ
�0
2