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UNIVERSIDADE ANHANGUERA – UNIDERP CURSO DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL Prof.: MATHEUS PIAZZALUNGA NEIVOCK E-mail: neivock@gmail.com AULA 4 FORÇAS NO PLANO Até o momento trabalhamos apenas com forças coplanares, ou seja, atuando no mesmo plano. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock mesmo plano. Vimos algumas propriedades e como podemos trabalhar com essas forças. Definimos vetores e escalares, utilizando alguns exemplos para evidenciar. FORÇAS NO PLANO Forças no espaço Para definir espaço de uma maneira cartesiana, é necessário introduzirmos um terceiro eixo de coordenadas, z. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock eixo de coordenadas, z. FORÇAS NO PLANO Forças no espaço Para definir espaço de uma maneira cartesiana, é necessário introduzirmos um terceiro eixo de coordenadas, z. y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock eixo de coordenadas, z. y x FORÇAS NO PLANO Forças no espaço Para definir espaço de uma maneira cartesiana, é necessário introduzirmos um terceiro eixo de coordenadas, z. y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock eixo de coordenadas, z. y z x FORÇAS NO PLANO Forças no espaço Para definir espaço de uma maneira cartesiana, é necessário introduzirmos um terceiro eixo de coordenadas, z. y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock eixo de coordenadas, z. y z x FORÇAS NO PLANO y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x FORÇAS NO PLANO y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y Traçamos um vetor F partindo da origem (O) indo até a diagonal oposta superior do cubo apresentado. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y Traçamos um vetor F partindo da origem (O) indo até a diagonal oposta superior do cubo apresentado. F Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y F Decompondo F Quantas componentes são Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O são esperadas? FORÇAS NO PLANO y F Decompondo F Quantas componentes são Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O 3 são esperadas? FORÇAS NO PLANO y F Decompondo F Quantas componentes são esperadas? Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O são esperadas? Fx FORÇAS NO PLANO y F Decompondo F Quantas componentes são esperadas? Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O são esperadas? Fx Fy FORÇAS NO PLANO y F Decompondo F Quantas componentes são esperadas? Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O são esperadas? Fx Fy Fz FORÇAS NO PLANO y Ressaltando algumas relações: F Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y F Ressaltando algumas relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y F PLANO XYRessaltando algumas relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y F Ressaltando algumas relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y F Ressaltando algumas relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O PLANO XZ FORÇAS NO PLANO y F Ressaltando algumas relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y FPLANO YZ Ressaltando algumas relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y F Algumas relações: Vamos ressaltar alguns vértices! Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y F Algumas relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO FORÇAS NO PLANO y F Algumas relações: B Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO FORÇAS NO PLANO y F Algumas relações: B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO FORÇAS NO PLANO y F Algumas relações: B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO C FORÇAS NO PLANO y F Algumas relações: B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO C FORÇAS NO PLANO y F Algumas relações: B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO C FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵy Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵy Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy Ɵy – ângulo formado entre o eixo y e a F FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵy Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivockz xO F C ɵy u FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock u FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock u FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy Posso decompor a força F? FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy Componente em y FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy Componente em y FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy Componente em y Componente em u FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy Fy Fu FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵy Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵy Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵy Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fu FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵy Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fu FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy Fy Fu FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy Fy Fu yy FF θcos= FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy Fy Fu yy FF θcos= yu FsenF θ= FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy Fy está sobre o eixo y e não pode ser Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu pode ser decomposta. FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy Fy está sobre o eixo y e não pode ser Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu pode ser decomposta. Mas e Fu? FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy Fy está sobre o eixo y e não pode ser Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu pode ser decomposta. Mas e Fu? ɵx FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy Fy está sobre o eixo y e não pode ser Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu pode ser decomposta. Mas e Fu? ɵx E D FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy Fy está sobre o eixo y e não pode ser Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu pode ser decomposta. Mas e Fu? ɵx E D FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock x FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z CE Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xO D FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z CE Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xO Fu ɵx Fuz Fux D FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy F Mecânica AplicadaProf.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu ɵx E D Fux Fuz FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z CE Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xO Fu ɵx Fuz Fux D FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z CE xuux FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xO Fu ɵx Fuz Fux D xuux FF θcos= FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z CE xuux FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xO Fu ɵx Fuz Fux D xuux FF θcos= xuuz senFF θ= FORÇAS NO PLANO Lembram o que era Fu? y B A FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy Fy Fu yy FF θcos= yu FsenF θ= FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z CE xyux FsenF θθ cos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xO Fu ɵx Fuz Fux D xyux FsenF θθ cos= xyuz senFsenF θθ= FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy F Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu ɵx E D Fux Fuz FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy F Fx Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu ɵx E D Fux Fuz Fx FORÇAS NO PLANO yAlgumas relações: B A ɵyFy F Fx Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu ɵx E D Fux Fuz Fx Fz FORÇAS NO PLANO Resumindo: yy FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock FORÇAS NO PLANO θθ== yy FF θcos= Resumindo: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xyxux FsenFF θθ cos== FORÇAS NO PLANO θθ== yy FF θcos= Resumindo: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xyxux FsenFF θθ cos== xyzuz senFsenFF θθ== FORÇAS NO PLANO Foi mostrado uma maneira em que é possível efetuar a decomposição da força F, em três Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock decomposição da força F, em três componentes vetoriais Fx, Fy e Fz, orientadas segundos os eixos de coordenadas x, y e z. FORÇAS NO PLANO y B A ɵy Mais relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u FORÇAS NO PLANO y B A ɵy Mais relações: Observem o triângulo OAB Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u FORÇAS NO PLANO y B A ɵy Mais relações: Observem o triângulo OAB Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A PITÁGORAS Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: y B A PITÁGORAS Fu Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy ( ) ( ) ( )2222 BAOBOAF +==Fy 222 uy FFF += FORÇAS NO PLANO y B A ɵyFy F Fx Mais relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu ɵx E D Fux Fuz Fx Fz FORÇAS NO PLANO y B A ɵyFy F Fx Mais relações: Observem o triângulo OCD Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO F C ɵy u Fy Fu ɵx E D Fux Fuz Fx Fz FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z CE PITÁGORAS PITÁGORAS Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xO Fu ɵx Fuz D ( ) ( ) ( )2222 DCODOCFu +== 222 uzuxu FFF += Fux FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z CE PITÁGORAS PITÁGORAS Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xO Fu ɵx Fuz Fx D ( ) ( ) ( )2222 DCODOCFu +== 222 zxu FFF += Fux = = Fz FORÇAS NO PLANO Esquecendo que estamos trabalhando no espaço, vamos voltar aos planos: z CE PITÁGORAS PITÁGORAS Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock xO Fu ɵx Fuz Fx D ( ) ( ) ( )2222 DCODOCFu +== 222 zxu FFF += Fux = = Fz FORÇAS NO PLANO Relembrando: y B A PITÁGORAS Fu Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock uO B A C F ɵy ( ) ( ) ( )2222 BAOBOAF +==Fy 222 uy FFF += FORÇAS NO PLANO Fazendo as devidas substituições, temos: 2222 zyx FFFF ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 222 zyx FFFF ++= F é o módulo (escalar) da força F (vetor) que esta aplicada no espaço. FORÇAS NO PLANO y F B A Mais relações: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO C FORÇAS NO PLANO y F B A Mais relações: ɵ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO C ɵx FORÇAS NO PLANO y B A ɵy Mais relações: F ɵ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO C ɵy ɵx FORÇAS NO PLANO y B A ɵy Mais relações: F ɵ Mecânica AplicadaProf.: Matheus P. Neivock z xO C ɵy ɵz ɵx FORÇAS NO PLANO y B A ɵy Mais relações: F ɵ Fy xx FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO C ɵy ɵz ɵx Fx Fz FORÇAS NO PLANO y B A ɵy Mais relações: F ɵ Fy xx FF θcos= yy FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO C ɵy ɵz ɵx Fx Fz FORÇAS NO PLANO y B A ɵy Mais relações: F ɵ Fy xx FF θcos= yy FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z xO C ɵy ɵz ɵx Fx Fz zz FF θcos= FORÇAS NO PLANO y Lembram dos vetores unitários de localização? Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O FORÇAS NO PLANO y j Lembram dos vetores unitários de localização? Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O j i k FORÇAS NO PLANO y j Lembram dos vetores unitários de localização? xi → r Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O j i k xi → yj → r zk → r FORÇAS NO PLANO y j Lembram dos vetores unitários de localização? xi → r F Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock z x O j i k xi → yj → r zk → r kFjFiFF zyx rrrr ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 1 Uma força de 500N forma ângulos de 60ᵒ, 45ᵒ e 120ᵒ, respectivamente, com os eixos x, y e z. Determine as componentes Fx, Fy, e Fz da força. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock componentes Fx, Fy, e Fz da força. FORÇAS NO PLANO Exercício 1 Uma força de 500N forma ângulos de 60ᵒ, 45ᵒ e 120ᵒ, respectivamente, com os eixos x, y e z. Determine as componentes Fx, Fy, e Fz da força. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock componentes Fx, Fy, e Fz da força. kNjNiNF rrrr )250()354()250( −+= FORÇAS NO PLANO Exercício 1 Uma força de 500N forma ângulos de 60ᵒ, 45ᵒ e 120ᵒ, respectivamente, com os eixos x, y e z. Determine as componentes Fx, Fy, e Fz da força. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock componentes Fx, Fy, e Fz da força. kNjNiNF rrrr )250()354()250( −+= NNF NNF NNF z y x 250120cos)500( 35445cos)500( 25060cos)500( −=°= =°= =°= FORÇAS NO PLANO Exercício 1 Uma força de 500N forma ângulos de 60ᵒ, 45ᵒ e 120ᵒ, respectivamente, com os eixos x, y e z. Determine as componentes Fx, Fy, e Fz da força. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock componentes Fx, Fy, e Fz da força. CONFERINDO: ( ) NNF F FFFF zyx 50031,500 250354250 222 2222 ≅= −++= ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 2 Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. FORÇAS NO PLANO Exercício 2 Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. NF 350= °= 4,73xθ °= 4,115yθ °= 0,31zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 2 Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. NF F FFFF zyx 350 300)150(100 222 2222 = +−+= ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 2 Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. °= °= == = 4,73 39,73arccos 2857,0 350 100 cos cos x x x xx N N FF θ θ θ θ FORÇAS NO PLANO Exercício 2 Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. °= °= == = 4,73 39,73arccos 2857,0 350 100 cos cos x x x xx N N FF θ θ θ θ °= °= −= − = = 4,115 37,115arccos 4285,0 350 150 cos cos y x y yy N N FF θ θ θ θ FORÇAS NO PLANO Exercício 2 Uma força F tem componentes Fx = 100N, Fy = -150N e Fz = 300N. Determine seu módulo e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock e Ɵz, que ela forma com os eixos coordenados. °= °= == = 4,73 39,73arccos 2857,0 350 100 cos cos x x x xx N N FF θ θ θ θ °= °= −= − = = 4,115 37,115arccos 4285,0 350 150 cos cos y x y yy N N FF θ θ θ θ °= °= == = 0,31 00,31arccos 8571,0 350 300 cos cos z z z zz N N FF θ θ θ θ FORÇAS NO PLANO Relembrando: ∑= xx FR ∑= FR Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ∑= yy FR FORÇAS NO PLANO Relembrando: ∑= xx FR ∑= FR Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ∑= yy FR Logo: ∑= zz FR FORÇAS NO PLANO As mesmas relações que obtemos até agora, também são válidas para as resultantes no espaço: 222 zyx RRRR ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock R Rx x =θcos R Ry y =θcos R Rz z =θcos xx RR θcos= yy RR θcos= zz RR θcos= FORÇAS NO PLANO As mesmas relações que obtemos até agora, também são válidas para as resultantes: 222 zyx RRRR ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock R Rx x =θcos R Ry y =θcos R Rz z =θcos FORÇAS NO PLANO As mesmas relações que obtemos atéagora, também são válidas para as resultantes: 222 zyx RRRR ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock R Rx x =θcos R Ry y =θcos R Rz z =θcos COSSENOS DIRETORES FORÇAS NO PLANO Uma maneira mais fácil de definir os cossenos diretores de uma Força F, é definir um vetor unitário na sua direção: F r r FFFF rrr r r Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock F F u r = Relembrando: R Rx x =θcos R Ry y =θcos R Rz z =θcos k F F j F F i F F F F u z yx rrrr ++== FORÇAS NO PLANO Então por semelhança, efetuando a substituição: kjiu zyx rrrr θθθ coscoscos ++= Sabendo que o módulo é: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ Sabendo que o módulo é: 222 zyx FFFF ++= E que o módulo do vetor unitário é igual a 1: FORÇAS NO PLANO Resumindo: Se o módulo e os ângulos diretores forem conhecidos, o vetor força F, pode ser expresso na forma de um vetor cartesiano como: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock vetor cartesiano como: kFjFiFF kFjFiFF uFF zyx zyx rrrr rrrr rr ++= ++= = θθθ coscoscos FORÇAS NO PLANO Exercício 3: Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NN N FORÇAS NO PLANO Exercício 3: Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NN N °= °= °= 6,19 102 8,74 z y x θ θ θ NFr 191≅ FORÇAS NO PLANO Exercício 3: Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NN N Qual é a força resultante? FORÇAS NO PLANO Exercício 3: Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NN N Qual é a força resultante? 21 FFFr rrr += FORÇAS NO PLANO Exercício 3: Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. 21 FFFr rrr += Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NkjiNkjFr )10010050()8060( rrrrrr +−++= NkjiFr )1804050( rrrr +−= Calculando o módulo de Fr: NNFFFF zyxr 19104,191180)40(50 222222 ==+−+⇒+−= FORÇAS NO PLANO RELEMBRANDO: Uma maneira mais fácil de definir os cossenos diretores de uma Força F, é definir um vetor unitário na sua direção: r F rrr r Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock F F u r r = Relembrando: R Rx x =θcos R Ry y =θcos R Rz z =θcos k F F j F F i F F F F u z yx rrr r r ++== FORÇAS NO PLANO Exercício 3: Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. F rrr r r 1804050 Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock kji F F u r r rrrr 191 180 191 40 191 50 +−== FORÇAS NO PLANO Exercício 3: Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. F rrr r r 1804050 Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock kji F F u r r rrrr 191 180 191 40 191 50 +−== kjiu rrrr 9422,02094,02617,0 +−= FORÇAS NO PLANO Exercício 3: Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. F rrr r r 1804050 Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock kji F F u r r rrrr 191 180 191 40 191 50 +−== kjiu rrrr 9422,02094,02617,0 +−= kjiu zyx rrrr θθθ coscoscos ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 3: Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante que atua sobre o anel, conforme mostrado na figura. kjiu rrrr 9422,02094,02617,0 +−= rrrr Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock LOGO: °=⇒= °=⇒−= °=⇒= 6,199422,0cos 1022094,0cos 8,742617,0cos zz yy xx θθ θθ θθ kjiu zyx rrrr θθθ coscoscos ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock °=108xθ °= 8,21yθ °= 6,77zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 21 FFFr rrr += FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 21 FFFr rrr += FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 21 FFFr rrr += Fr = 800N FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N.NFr 800= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock jNF NF r r rr 800 800 = = Fr = 800N FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. NFr 800= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock jNF NF r r rr 800 800 = = Fr = 800N 21 FFFr rrr += 21800 FFjN rrr += FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. FFFF θθθ coscoscos ++= r Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock zzyyxx FFFF θθθ coscoscos 1111 ++= Fr = 800N FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. kFjFiFF zzyyxx rrrr θθθ coscoscos 1111 ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock kFjFiFF zzyyxx θθθ coscoscos 1111 ++= kNjNiNF rrrr °+°+°= 120cos30060cos30045cos3001 kNjNiNF rrrr 1501501,2121 −+= FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. 21 FFFr rrr += Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 21 FFFr += 21501501,212800 FkNjNiNjN rrrrr +−+= kNjNjNiNF rrrrr 1508001501,2122 ++−−= kNjNiNF rrrr 1506501,2122 ++−= FORÇAS NO PLANO Lembram dessas relações? 222 zyx RRRR ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock R Rx x =θcos R Ry y =θcos R Rz z =θcos xx RR θcos= yy RR θcos= zz RR θcos= FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. NNNNNF 70099,699150650)1,212( 222 ≅=++−= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NNNNNF 70099,699150650)1,212( 2222 ≅=++−= 700 1,212 cos − =xθ 700 650 cos =yθ 700 150 cos =zθ °=108xθ °= 8,21yθ °= 6,77zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock °=108xθ FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock °=108xθ °= 8,21yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 4: Duas forças atuam sobre o gancho mostrado na figura. Especifique os ângulos diretores coordenados de F2, de modo que a força resultante FR atue ao longo do eixo y positivo e tenha intensidade de 800N. °= 6,77θ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock °=108xθ °= 8,21yθ °= 6,77zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock kNjNiNF rrrr 4,141100100 ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= yy FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock yy FF θcos= zz FF θcos= FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= yy FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock yy FF θcos= zz FF θcos= ?=xθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= yy FF θcos= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock yy FF θcos= zz FF θcos= ?=xθ 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= °= 60cos200yF Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock °= 60cos200yF °= 45cos200zF ?=xθ 145cos60coscos 222 =°+°+xθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= NFy 100= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NFy 100= NFz 4,141≅ ?=xθ 15,025,0cos2 =++xθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= NFy 100= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NFy 100= NFz 4,141≅ ?=xθ 25,0cos2 =xθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= NFy 100= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NFy 100= NFz 4,141≅ ?=xθ 25,0cos2 =xθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= NFy 100= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NFy 100= NFz 4,141≅ ?=xθ 5,0cos =xθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= NFy 100= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NFy 100= NFz 4,141≅ ?=xθ °= 60arccos xθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. xx FF θcos= NFy 100= Mecânica Aplicada Prof.: MatheusP. Neivock NFy 100= NFz 4,141≅ °= 60xθ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. °= 60cosFFx NFy 100= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NFy 100= NFz 4,141≅ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. NFx 100= NFy 100= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NFy 100= NFz 4,141≅ FORÇAS NO PLANO Exercício 5: Expresse a força F, como um vetor cartesiano. NFx 100= NFy 100= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NFy 100= NFz 4,141≅ kNjNiNF rrrr 4,141100100 ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= NF 50,502≅ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NF 50,5021 ≅ °= 85,45xθ °= 34,53yθ °= 55,66zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= 321 FFFFr rrrr ++= rr Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock iNFr rr 350= jNF rr 3003 −= kNF rr 2002 = ?1 =F r FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock jNkNFiN rrrr 300200350 1 −−= kjiF rrrr 2003003501 ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= kjiF rrrr 2003003501 ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock kjiF 2003003501 ++= 222 1 200300350 ++=F NF 50,5021 ≅ FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= kjiF rrrr 2003003501 ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock kjiF 2003003501 ++= 222 1 200300350 ++=F NF 50,5021 ≅ FORÇAS NO PLANO RELEMBRANDO: Uma maneira mais fácil de definir os cossenos diretores de uma Força F, é definir um vetor unitário na sua direção: r F rrr r Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock F F u r r = Relembrando: R Rx x =θcos R Ry y =θcos R Rz z =θcos k F F j F F i F F F F u z yx rrr r r ++== FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= kjiF rrrr 2003003501 ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 222 1 200300350 ++=F NF 50,5021 ≅ R Rx x =θcos R Ry y =θcos R Rz z =θcos FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= kjiF rrrr 2003003501 ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 222 1 200300350 ++=F NF 50,5021 ≅ 5,502 350 cos =xθ 5,502 300 cos =yθ 5,502 200 cos =zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= kjiF rrrr 2003003501 ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 222 1 200300350 ++=F NF 50,5021 ≅ 6965,0cos =xθ 5970,0cos =yθ 398,0cos =zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 6: O mastro está sujeito as três forças mostradas. Determine os ângulos diretores α1, β1, e ɣ1 de F1, de modo que a força resultante que atua sobre o mastro seja iNFr rr 350= kjiF rrrr 2003003501 ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 222 1 200300350 ++=F NF 50,5021 ≅ °= 85,45xθ °= 34,53yθ °= 55,66zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B NF 1060−= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A °= 08,115xθ °= 0,32yθ °= 45,71zθ NF NF NF z y x 795 2120 1060 = = −= FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B Mecânica AplicadaProf.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A O ponto A torna-se a origem. FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A O ponto A torna-se a origem. x z FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A Localizando a força. x z FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z dx = -40m dy = 80m dz = 30m FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Não podemos Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z Não podemos falar que o segmento AB é a diagonal do cubo? FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z 2222 dzdydxAB ++= Lembraram do módulo? FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z mAB AB dzdydxAB 3,94 308040 2222 2222 = ++= ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z Por analogia é possível criar um vetor localização uma vez que os pontos são conhecidos. FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z kmjmimAB rrr 308040 ++−= FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z kmjmimAB rrr 308040 ++−= F F u r r = FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z kmjmimAB rrr 308040 ++−= F F u r r = k F F j F F i F F F F u z yx rrr r r ++== FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z kmjmimAB rrr 308040 ++−= F F u r r = AB AB u = r AB AB F F = r FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z F AB AB F = r N m AB F 2500 3,94 = r FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z mAB AB dzdydxAB 3,94 308040 2222 2222 = ++= ++= FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. B z y Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 30m 40m 80m A x z F AB AB F = r N m AB F 2500 3,94 = r FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock F AB AB F = r N m AB F 2500 3,94 = r FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de umaescora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock F AB AB F = r N m AB F 2500 3,94 = r ( )kmjmim m N F rrrr 308040 3,94 2500 ++−= FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock F AB AB F = r N m AB F 2500 3,94 = r ( )kmjmim m N F rrrr 308040 3,94 2500 ++−= kNjNiNF rrrr 79521201060 ++−= FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock kNjNiNF rrrr 79521201060 ++−= NF NF NF z y x 795 2120 1060 = = −= FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock kNjNiNF rrrr 79521201060 ++−= ( ) 625002579521201060 222 =++−=F NNF 2500005,2500 ≅= FORÇAS NO PLANO As mesmas relações que obtemos até agora, também são válidas para as resultantes no espaço: 222 zyx RRRR ++= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock R Rx x =θcos R Ry y =θcos R Rz z =θcos xx RR θcos= yy RR θcos= zz RR θcos= FORÇAS NO PLANO Exercício 7: O cabo de sustentação de uma torre está ancorado por meio de uma escora em A. A tração no cabo é de 2500N. Determinar as componentes Fx, Fy, Fz da força que atua sobre a escora e os ângulos Ɵx, Ɵy e Ɵz que definem a direção da força. Fx=θcos Fy =θcos Fz=θcos Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NF NF NF NF z y x 795 2120 1060 2500 = = −= = F Fx x =θcos F y y =θcos F Fz z =θcos 2500 1060 cos − =xθ 2500 2120 cos =yθ 2500 795 cos =zθ 424,0cos −=xθ 848,0cos =yθ 318,0cos =zθ °= 08,115xθ °= 0,32yθ °= 45,71zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 8: Determine o módulo e a direção da força kNjNiNF rrrr 760320650 −−= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock FORÇAS NO PLANO Exercício 8: Determine o módulo e a direção da força kNjNiNF rrrr 760320650 −−= NF 1050= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NF 1050= °= 75,51xθ °= 75,107yθ °= 37,136zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 8: Determine o módulo e a direção da força kNjNiNF rrrr 760320650 −−= 2222 zyx FFFF ++= NF 1050= Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NF 1050= F Fx x =θcos F Fy y =θcos F Fz z =θcos 6190,0cos =xθ 3047,0cos −=yθ 7238,0cos −=zθ °= 75,51xθ °= 75,107yθ °= 37,136zθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. x 75°=θ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NF NF NF NF z y x z y x 2080 1337 1500 34,538 130 85,43 75 = −= = = °= °= °= θ θ θ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ FORÇAS NO PLANO Então por semelhança, efetuando a substituição: kjiu zyx rrrr θθθ coscoscos ++= Sabendo que o módulo é: Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ Sabendo que o módulo é: 222 zyx FFFF ++= E que o módulo do vetor unitário é igual a 1: FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 1coscoscos 222 =++ θθθ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 1coscoscos 222 =++ θθθ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ 1130coscos75cos 222 =°++° yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 1coscoscos 222 =++ θθθ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ 1130coscos75cos 222 =°++° yθ ( ) ( ) 1130coscos75cos 222 =°++° yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 1coscoscos 222 =++ θθθ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 1coscoscos 222 =++ zyx θθθ 1130coscos75cos 222 =°++°yθ ( ) ( ) 1130coscos75cos 222 =°++° yθ 14131,0cos06698,0 2 =++ yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 4131,006698,01cos2 −−=yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 14131,0cos06698,0 2 =++ yθ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 14131,0cos06698,0 =++ yθ 4131,006698,01cos2 −−=yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 14131,0cos06698,0 2 =++ yθ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 14131,0cos06698,0 =++ yθ 4131,006698,01cos2 −−=yθ 51992,0cos2 =yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 14131,0cos06698,0 2 =++ yθ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 14131,0cos06698,0 =++ yθ 4131,006698,01cos2 −−=yθ 51992,0cos2 =yθ 51992,0cos =yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 14131,0cos06698,0 2 =++ yθ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 14131,0cos06698,0 =++ yθ 4131,006698,01cos2 −−=yθ 51992,0cos2 =yθ 51992,0cos =yθ 7210,0cos =yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 7210,0cos =θ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 7210,0cos =yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 7210,0cos =θ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 ? 75 = = = = °= = °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 7210,0cos =yθ °= 85,43yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ 7210,0cos =θ Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 85,43 75 = = = = °= °= °= F F NF F z y x z y x θ θ θ 7210,0cos =yθ °= 85,43yθ FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ Fy y =θcos Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 85,43 75 = = = = °= °= °= F F NF F z y x z y x θ θ θ F y =θcos FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ Fy y =θcos Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 85,43 75 = = = = °= °= °= F F NF F z y x z y x θ θ θ F y =θcos F N1500 85,43cos =° FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ Fy y =θcos Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock ? ? 1500 ? 130 85,43 75 = = = = °= °= °= F F NF F z y x z y x θ θ θ F y =θcos F N1500 85,43cos =° NF 208099,2079 ≅= FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ Fy y =θcos Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NF F NF F z y x z y x 2080 ? 1500 ? 130 85,43 75 = = = = °= °= °= θ θ θ F y =θcos F N1500 85,43cos =° NF 208099,2079 ≅= FORÇAS NO PLANO Exercício 9: Uma força é aplicada na origem e tem direção determinada pelos ângulos Ɵx = 75ᵒ e Ɵz = 130ᵒ. Sabendo que a componente y da força é +1500N, determine as demais componentes, o módulo da força e o valor de Ɵy. 75°=θ Fx x =θcos Fz z =θcos Mecânica Aplicada Prof.: Matheus P. Neivock NF F NF F z y x z y x 2080 ? 1500 ? 130 85,43 75 = = = = °= °= °= θ θ θ F x =θcos 2080 75cos x F =° NFx 34,538= F z =θcos 2080 130cos z F =° NF 133799,1336 −≅−= FORÇAS NO PLANO Exercício 10:
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