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Apostila pré calculo

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Apostila de Pré-Cálculo
Francieli Triches
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10 de agosto de 2019
APOSTILA DE PRÉ-CÁLCULO
FRANCIELI TRICHES
2
Sumário
0.1 Programa do curso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Só para garantir! 7
1.1 Tabuada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Regras de Divisibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Símbolos matemáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Teoria de conjuntos 11
2.1 Operações entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3 Conjuntos numéricos 19
3.1 Conjunto dos números Naturais (N) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Conjunto dos números Inteiros (Z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3 Conjunto dos números Racionais (Q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.4 Conjunto dos números Irracionais (I) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Conjunto dos números Reais (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.6 Conjunto dos números Complexos (C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.7 Subconjuntos numéricos e suas representações . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.8 Operações com conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Divisibilidade 29
4.1 MDC e MMC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 Operações Numéricas 33
5.1 Operações em N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.2 Operações em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Operações em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 Operações em I e R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6 Potenciação 41
6.1 Potência com expoente inteiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6.2 Raiz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.3 Potência com expoente racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.4 Potência com expoente irracional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.5 Potência com expoente real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7 Operações Algébricas 47
7.1 Polinômios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3
APOSTILA DE PRÉ-CÁLCULO
FRANCIELI TRICHES
8 Equações 55
8.1 Equações do 1º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.2 Equações do 2º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
8.3 Equações exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
9 Funções 61
9.1 Definição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.1.1 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.1.2 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.2 Tipos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.2.1 Função constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
9.2.2 Função identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.2.3 Funções polinomiais de grau n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
9.2.4 Função modular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.2.5 Mais algumas funções interessantes . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.3 Algumas propriedades das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.3.1 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.4 Mudando os gráficos das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.4.1 Translação do gráfico das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.4.2 Reflexão do gráfico das funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.5 Trigonometria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.5.1 Triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.5.2 Círculo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.5.3 Identidades trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.6 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.7 Funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
9.8 Funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
Referências 107
4
Lista de Figuras
2.1 Produto cartesiano dos conjuntos A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.1 Representação conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1 Representação conjuntos numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9.1 Gráfico da função f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 Gráfico da função f (x) = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.3 Gráfico da função Id(x) = x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9.4 Coeficiente angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9.5 Gráficos de funções do 2º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.6 Gráficos de funções do 3º grau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
9.7 Gráfico da função módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
9.8 Gráfico da função módulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.9 Função raíz quadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9.10 Função raíz cúbica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.11 Função recíproca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
9.12 Função floor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.13 Função ceil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
9.14 Composta das funções f e g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.15 Translação no eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.16 Translação no eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.17 Reflexão no eixo x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.18 Reflexão no eixo y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
9.19 Triângulo retângulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.20 Círculo trigonométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.21 Gráfico da função f (x) = sen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.22 Gráfico da função f (x) = cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.23 Gráfico da função f (x) = tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.24 Gráfico da função f (x) = csc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.25 Gráfico da função f (x) = sec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.26 Gráfico da função f (x) = cotan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
9.27 Gráfico da função f (x) = arcsen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.28 Gráfico da função f (x) = arccos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.29 Gráfico da função f (x) = arctan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.30 Gráficos da função f (x) = 2x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
5
APOSTILA DE PRÉ-CÁLCULO
FRANCIELI TRICHES
9.31 Gráficos da função f (x) =
(
1
2
)x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
9.32 Comparando gráficos de funções exponenciais . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.33 Gráficos da função f (x) = ex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.34 Gráficos da função h(x) = log2(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.35 Gráficos da função h(x) = log1/2(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.36 Comparando gráficos de funções logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.37 Gráficos da função h(x) = ln(x) . . . . . . . . . . . . . .