Capitulo 11 (Cosmologia)

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11 Introdução à cosmologia 
 
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Capítulo XI 
Introdução à Cosmologia 
 A cosmologia trata de temas cujo interesse é inerente a todos os seres humanos que 
após uma longa jornada evolucionária, de certa forma revivida por todos a partir da 
concepção até o despertar da consciência, passa a explorar o mundo que os acollhe. O 
conhecimento sobre este mundo vai se tornando cada vez maior, idade após idade e geração 
após geração, graças à capacidade humana de transmitir os conhecimentos adquiridos para as 
gerações futuras, num processo cumulativo responsável pela civilização tecnocientífica atual. 
Assim como a necessidade de saciar a fome fisiológica é um dos instintos básicos de 
sobrevivência, a necessidade de saciar a fome de conhecimento é um instinto necessário para 
a sobrevivência futura como civilização, empurrando do confortável berço humano que é a 
Terra em direção ao espaço exterior. É possível intuir que, assim como os peixes que 
abandonaram o ambiente aquático para colonizarem a terra firme não são peixes, os homens 
que colonizarem o espaço deverão passar por um longo processo evolucionário para se 
adaptarem ao novo ambiente. A partir daí, por enquanto, somente a ficção científica para 
explorar as múltiplas possibilidades. Assim, é natural que a cosmologia desperte tantos 
fascínios, seja entre leigos ou cientistas. Nos remete a questões que podem afetar as crenças 
mais arraigadas de cada um de nós e de por à prova todos os conhecimentos adquiridos pela 
ciência ao longo do tempo. Questões tão ancestrais quanto a origem e o destino do próprio 
homem assim como a origem e o destino do universo. Questões ligadas a conceitos 
intangíveis como o infinitamente pequeno e o infinitamente grande, as propriedades físicas e 
geométricas do espaço-tempo e a sua relação com a matéria e tudo o mais que o popula. 
O Princípio Cosmológico é a base da Cosmologia Moderna e a Relatividade Geral 
fornece a ferramenta teórica matemática para lidar com a estrutura do espaço tempo na 
presença da interação gravitacional que, acredita-se, seja predominante em escala 
cosmológica. A equação fundamental da Cosmologia é a equação de Friedmann que, 
casualmente, pode ser obtida usando a energia potencial gravitacional newtoniana na equação 
de conservação da energia mecânica total. Numa fase introdutória, é um procedimento útil 
para manter em foco a cosmologia, evitando o estresse de uma abordagem direta via 
Relatividade Geral. Dados estes passos iniciais, a cosmologia é sem dúvida um dos maiores 
campos de aplicação da Relatividade Geral, o que pode tornar sua aprendizagem bastante 
prazerosa. 
O Modelo Cosmológico Padrão descreve a evolução do Universo comandada pela 
interação gravitacional após a grande explosão inicial (Big Bang) que forneceu a energia 
cinética necessária para o movimento de expansão atual. Levando em conta o ambiente do 
espaço-temporal e o seu conteúdo energético, o modelo cosmológico padrão faz uma série de 
previsões bem sucedidas como a presença da radiação cósmica de fundo na região do micro-
ondas e a abundância relativa dos elementos químicos leves. Um modelo cosmológico mais 
abrangente, o Modelo Inflacionário explora os efeitos quânticos e interações de curto alcance 
que acredita-se sejam predominantes na fase inicial da evolução do Universo para descrever a 
dinâmica da grande expansão inicial e a presença de pequenas inomogeneidades primordiais 
que darão origem às grandes inomogeneidades atuais como os aglomerados galácticos. 
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Entre os problemas da cosmologia moderna, a densidade prevista de matéria bariônica 
é da ordem de 4% em relação à densidade crítica, sendo que a dinâmica da evolução do 
universo prevê uma densidade bem próxima à densidade crítica. O universo observável é 
constituído de matéria bariônica com as suas quatro interações fundamentais. Estudos das 
velocidades de rotação das estrelas em torno de núcleos galácticos preveem a exixtência de 
uma matéria não visível (interagindo apenas gravitacionalmente) responsável por cerca de 
80% da massa total de uma galáxia, restando 20% para a matéria bariônica. Esta proporção 
também está de acordo com os dados fornecidos pelas lentes gravitacionais. 
No cômputo geral, a matéria bariônica contribui com 5%, a matéria escura com 20% e 
uma ainda misteriosa energia escura com 75%, tendo como base a densidae crítica. Enquanto 
que a matéria escura seja parte das grandes inomogeneidades, moldando as galáxias e os 
aglomerados galácticos, a energia escura deve estar diluída numa distribuição uniforme 
constante no tempo. Necessária para explicar a expansão acelerada do universo nos tempos 
mais recentes, observada a partir dos levantamentos sistemáticos das velocidades de recessão 
de supernovas padrões conhecidas como tipo Ia, deve ser responsável por uma força 
gravitacional de natureza repulsiva, estando associada à constante cosmológica introduzida 
por Einstein num outro contexto. 
Muitas das teorias de unificação das interações fundamentais pretendem ser solidárias 
com a evolução do universo, partindo de uma interação inicial unificada e sofrendo quebras 
em processos similares a transições de fases à medida que a densidade de energia do universo 
vai diminuindo em função da expansão. A primeira a se desacoplar é a interação 
gravitacional, de longo alcance, responsável pela evolução do universo em escala 
cosmológica. A seguir, a interação nuclear forte, de curto alcance, responsável pela estrutura 
da matéria hadrônica (bárions e mésons), possibilitando a formação dos núcleos atômicos. 
Por último, a separação das interações fraca e eletromagnética, resultando na configuração 
presente, quando os elétrons são capturados pelos núcleos atômicos com a formação dos 
elementos químicos. 
11.1 Cosmologia Observacional 
 Vamos começar da Terra, o planeta que habitamos. É um dos oito planetas do Sistema 
Solar que inclui ainda planetóides, cometas, asteróides, luas, etc. Acredita-se que sistemas 
planetários como o Sistema Solar sejam comuns, sendo que o Sol é apenas uma estrela entre 
tantas outras que se organizam sistemas binários, ternários, etc. ligadas gravitacionalmente 
em órbitas próximas. Estas estrelas ou sistemas estelares, por sua vez, formam aglomerados 
ou organizam-se em estruturas de galáxias, podendo conter entre 10⁶ a 10¹² estrelas. A Via 
Láctea é onde o Sol se hospeda, nos limites de um dos seus braços espirais. Uma galáxia 
típica tem dimensão da ordem de 0,1 ���. O �	
��� (paralax per second) corresponde à 
distância de uma estrela fixa tal que um observador na Terra, ao ocupar as posições opostas 
durante a sua translação em torno do Sol, vê a posição desta estrela deslocada de um segundo 
de arco, e equivale a 3, 262 	��� − ���. Um ano-luz, por sua vez, é a distância percorrida 
pela luz no vácuo durante um ano, 	�� − ��� = 9,461 × 10¹⁷�� . Estima-se que a Via 
Láctea contenha aproximadamente 100 bilhões (10�� ) de estrelas distribuídas no bulbo 
central e no disco equatorial que se estende a 110 ��� anos-luz de diâmetro. 
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 As galáxias próximas ligam-se gravitacionalmente em sistemas binários assim como 
aglomerados de galáxias separadas por distâncias da ordem de 1 ���. Os aglomerados de 
galáxias podem conter de poucas dezenas a alguns milhares de galáxias. A nossa Via Láctea 
pertence a um pequeno aglomerado chamado Grupo Local, com cerca de outras 25 galáxias 
menores. Os grupos e aglomerados de galáxias formam estruturas maiores, os super-
aglomerados de galáxias, com dimensões da ordem de 100 ���, sendo estas as maiores 
estruturas ligadas gravitacionalmente. Acima dos 100 ���, a interação gravitacional torna-se 
bastante tênue, de modo que os super-aglomerados de galáxias praticamente não interagem 
entre si, distribuindo-se uniformemente, separadas por distânciastambém da ordem de 100 ���. 
 Conforme as observações astronômicas se aprofundam no espaço, a distribuição de 
matéria altamente inomogênea e anisotrópica representada pelas estrelas, galáxias, 
aglomerados e super-aglomerados de galáxias passa a se repetir, mostrando que, a partir de 
uma determinada escala, da ordem de 100 ���, a distribuição de matéria observável torna-se 
homogênea e isotrópica, reforçando a idéia de que não deve haver posições ou orientações 
privilegiadas no universo. A recessão sistemática das galáxias distantes, observada pela 
primeira vez por Hubble, com velocidade de recessão proporcional à distância, também 
indica uma distribuição homogênea de matéria estelar. Mais recentemente foi detectada a 
radiação cósmica de fundo na faixa de micro-ondas, com distribuição altamente isotrópica. 
Presume-se que esta radiação provenha dos primórdios da evolução do universo, quando a 
temperatura esfriou o suficiente para possibilitar o desacoplamento da matéria e radiação, 
ocorrida com a captura dos elétrons livres remanescentes pelos núcleos atômicos com a 
formação dos primeiros elementos químicos. 
A expansão do universo afeta as distâncias somente a partir da escala cosmológica, 
justamente pelo fato de os super-aglomerados de galáxias, distribuídas uniformemente, não 
mais estarem ligadas gravitacionalmente. 
11.1.1 Desvio da Raia Espectral 
As luzes provenientes das galáxias são emitidas no interior das estrelas podem passar 
através dos gases quentes, nuvens e aglomerados globulares. Deste modo, além de 
informações macroscópicas como o tamanho e a forma das galáxias, por exemplo, carregam 
informações sobre as propriedades microscópicas, como a composição química dos gases, 
nuvens e aglomerados galácticos, que podem ser obtidas pela análise espectral da luz. De fato, 
a decomposição espectral acusa a presença de linhas de absorção características dos 
elementos químicos presentes nos gases através dos quais passa a luz proveniente do interior 
das estrelas. 
Um dos fatos mais importantes da cosmologia observacional é a presença de um 
desvio sistemático para o vermelho (red shift) das raias espectrais das galáxias distantes, tanto 
maior quanto mais distante. Estas observações foram apresentadas pela primeira vez por 
Edwin Hubble em 1929 como resultado dos estudos sistemáticos conduzidos pelo mesmo no 
levantamento das distâncias das galáxias. Supondo que se conheça a luminosidade absoluta 
da fonte (potência), �� !, a distância pode ser inferida a partir da sua luminosidade aparente 
(energia/área/unidade de tempo), ��"�# através da relação geométrica 
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��"�# = �� !4$
% . (11.1) 
Observa-se que quanto mais distante a galáxia maior é o desvio para o vermelho 
(redshift) e se este desvio for creditado ao efeito Doppler, significa que as galáxias distantes 
estão se afastando da Via Láctea com velocidades crescentes com a distância. O efeito 
Doppler relativístico é dado por 
) = )′+(1 − ,���-) (11.2) 
onde )′ é a frequência de emissão, ) a freqüência de observação, - o ângulo de incidência da 
luz definida pelo vetor de onda . em relação à direção da velocidade relativa fonte-
observador / e 
+ = 101 − ,% , , = /� . (11.3) 
Em deslocamentos frontais, - = 0 e - = $ implicam movimentos relativos de 
aproximação e de afastamento, respectivamente, entre a fonte e o observador. O desvio para o 
vermelho significa que as frequências de observação são menores do que as correspondentes 
frequências de emissão, ) < )′ e, portanto, a fonte e o observador devem estar se afastando (- = $), de modo que a equação (11.2) fica 
) = )′+ (1 + ,) (11.4) 
ou, em termos de comprimento de onda 4 = �/), 4 = 46+ (1 + ,) . (11.5) 
No caso de velocidades não relativísticas, / ≪ �, , ≪ 1 e + ≃ 1, de modo que 4 ≃ 46(1 + ,) , (11.6) 
de onde resulta o parâmetro de red shift 
� = 4 − 464′ ≃ /� . (11.7) 
Hubble observou que o parâmetro de red shift das galáxias resultava proporcional à distância 
das mesmas em relação à Via Láctea, 
� = /� = ;<� 
 , (11.8) 
atualmente conhecida como a lei de Hubble. A constante de Hubble é definida como 
;< = 100ℎ ?�� /��� (11.9) 
 
juntamente com o parâmetro ℎ que deve ser determinado a partir das observações, que lhe 
confere o valor 
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ℎ = 0.65@<,�A<,�B . (11.10) 
 11.1.2 Universo em expansão 
A lei de Hubble (11.8) é mais uma evidência da homogeneidade e isotropia espacial 
do universo, e pode ser considerado como mais uma evidência desta homogeneidade e 
isotropia espacial, embora em evolução no tempo. Na forma vetorial, a lei de Hubble fica C = ;< D , (11.11) 
onde D e C são os vetores posição e velocidade, respectivamente, para um observador em 
repouso tendo como referencial a Via Láctea, por exemplo. Sejam D� e D% as posições 
relativas a este observador e que devem também satisfazer à lei de Hubble, isto é, CE = ;< DE , (� = 1 e 2) (11.12) 
onde C� e C% são as velocidades de recessão dos objetos localizados nas posições D� e D%, 
respectivamente. Então CG − CH = ;< (DG − CH) = ;< D , (11.13) 
mostrando que a lei de Hubble também é válida para um observador em D� ao observar o 
objeto em D% e vice-versa. Esta dinâmica e a isotropia tornam conveniente a introdução de 
um fator de escala, I(J), para a distância radial, 
(J) = I(J)
(J<) = I(J)
< , (11.14) 
onde J< é um tempo de referência, que pode ser o tempo presente tal que I(J<) = 1. Em 
situações não suscetíveis a confusões, pode-se usar a notação simplificada 
 = 
(J<) = 
< 
para indicar a distância no tempo presente. 
A derivada em relação ao tempo da equação (11.14) é a velocidade radial 
K(J) = IK (J)
(J<) = IK (J)
< (11.15) 
que, com o parâmetro de Hubble 
;(J) = IK (J)I(J) (11.16) 
resulta na lei de Hubble L(J) = ;(J)
(J) . (11.17) 
No tempo presente resulta justamente a equação (11.8) para 
;< = IK (J<)I(J<) = IK (J<) . (11.18) 
Existe uma outra relação importante envolvendo o parâmetro de red shift: considere uma 
fonte luminosa localizada a uma distância radial 
 . Se a luz for emitida no instante J� 
chegando até o observador no instante posterior J<, o intervalo de tempo gasto neste percurso 
pode ser calculado integrando a relação diferencial 
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�MJ = M
(J) = I(J)M
 (11.19) 
que descreve a propagação da luz da fonte até o observador. Assim, 
� N 1I(J)OPOQ MJ = N M
<
# = R(
) . (11.20) 
Se a segunda frente de onda partir no instante J� + S� chegando ao observador no 
instante J< + S<, resulta 
� N 1I(J)OPATPOQATQ MJ = N M
<
# = R(
) . (11.21) 
A integral do lado esquerdo desta equação pode ser desdobrada em 
N �MJI(J)OPATPOQATQ = − N �MJI(J)
OQATQ
OQ MJ + N �MJI(J)
OP
OQ + N �MJI(J)
OPATP
OP (11.22) 
que, comparada com as integrais (11.20) e (11.21) resulta 
− �S�I(J�) + R(
) + �S<I(J<) = R() . (11.23) 
que, a partir das relações entre período, frequência e comprimento de onda, resulta S�S< = )<)� = 4�4< = I(J�)I(J<) = I(J�) , (11.24) 
lembrando que I(J<) = 1. Assim, o parâmetro de red shift resulta 
� = 4< − 4�4� = 1I(J�) − 1 . (11.25) 
O desvio para o vermelho significa 4< > 4� e, portanto, � positivo, significando um 
universo em expansão tal que I(J�) < I(J<) = 1. De uma forma geral, 
I(J) = 1� + 1 (11.26) 
e 
4< = 4�I(J�) = 4I(J) . (11.27) 
Esta última relação pode ser reescrita em termos de frequências, )< = )�I(J�) = )I(J) . (11.28) 
11.1.3 Radiação Cósmica de Fundo 
A observação feita em 1929 por Edwin Hubble do desvio sistemático para o vermelho 
das raias espectrais provenientes de objetos astrofísicos distantes, diretamente proporcional à 
distância (lei de Hubble), mostra o universo como um todo em expansão, tornando-se cada 
vez mais diluído e frio. Significa um passado muito mais quente e denso, resfriando-se e 
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tornando-se mais rarefeito devido à expansão. Portanto, durante a sua evolução, o universo 
deve ter passado por uma época na qual a densidade de energia e a temperatura tinham 
valores extremamente altos comparados com os valores atuais. Deve ter passado por fases 
onde matéria e radiação mantinham-se em equilíbrio térmico, pares matéria e antimatéria 
sendo criados e aniquilados em igual velocidade. Com a expansão e consequente diminuição 
da temperatura, a matéria no estado presente começa a emergir, tendo como componentes 
elétrons, prótons, nêutrons, etc., em velocidades médias relativísticas e em equilíbrio térmico 
com a radiação. Com o gradual esfriamento, núcleos atômicos começam a se formar, 
primeiramente em estado ionizado e, depois, começando a capturar os elétrons, originando 
primeiras estruturas atômicas (recombinação). Isto ocorre quando a temperatura cai abaixo de S < 3000<V (?S < 10 �/), causando o desacoplamento matéria-radiação quando os fótons, 
até então em equilíbrio térmico com os elétrons e os prótons remanescentes, não podem mais 
interagir com a matéria agora na forma atômica neutra, e passam a propagar-se com 
pouquíssima interferência, resfriando e diluindo com a expansão do universo a uma taxa mais 
elevada que a matéria. Estes fótons residuais são a origem da radiação cósmica de fundo, 
detectada hoje na faixa de frequências das micro-ondas. 
Em perfeito equilíbrio térmico com a matéria até o desacoplamento matéria-radiação, 
deve resultar num espectro de radiação de corpo negro, como realmente ocorre, 
correspondente à temperatura atual de aproximadamente 3<V . A distribuição espacial é 
extremamente isotrópica, coerente com o universo inicial também homogêneo e isotrópico. 
No entanto, observações mais precisas indicam minúsculas inomogeneidades representadas 
por perturbações de uma parte em 10B com relação à temperatura de fundo, que 
correspondem a flutuações da ordem de (~10@B)<V . Acredita-se que estas pequenas 
inomogeneidades (em escala cosmológica) são a origem das atuais inomogeneidades 
formando os aglomerados de matéria que formam os sistemas de galáxias. 
Esta radiação cósmica de fundo foi detectada, casualmente, em 1964, por Arno 
Penzias e Robert Wilson, dois astrônomos a serviço da Bell Laboratories, cujo objetivo era 
identificar as fontes causadoras das persistentes interferências nas telecomunicações. 
11.1.4 Raios Cósmicos 
A maior parte das informações do espaço exterior é obtida através de observações 
ópticas estendidas a um amplo espectro da radiação eletromagnética através de detectores 
sensíveis a faixas específicas de frequências, desde ondas de baixa frequência (ondas de 
rádio), passando por micro-ondas, infravermelho, a luz visível, ultravioleta, raios X e raios 
gama. Outras informações chegam de forma mais direta, através de inúmeros impactos de 
objetos e matérias provenientes do espaço exterior. Podem ser objetos macroscópicos, como 
os meteoritos, ou microscópicos, essencialmente partículas elementares que formam a 
matéria usual, como prótons e outros núcleos atômicos altamente energéticos, identificados 
como raios cósmicos. 
 Os raios cósmicos de baixa energia, até da ordem de 10X �/, são principalmente de 
origem solar ou sofrem forte influência solar, e são em parte desviados ou capturados pelo 
campo geomagnético, direcionados na alta atmosfera para as regiões polares. Os raios 
cósmicos de alta energia, até da ordem de 10�Y �/, são partículas liberados nas explosões 
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estelares super-novas, por exemplo, com energias iniciais da ordem de centenas de ��/ e 
que, sob a influência do fraco campo magnético intergaláctico, são mantidos aprisionados 
pelas linhas de campo. Ao encontrarem e colidirem com regiões de inomogeneidades do 
campo magnético, aumentam a sua energia, num processo estatístico sucessivo sugerido por 
Fermi. A partir de aproximadamente 10�Z �/ , o raio giromagnético torna-se maior que a 
espessura do disco galáctico, podendo abandonar a galáxia. Por este motivo acredita-se que 
os raios cósmicos ultra-energéticos, com energias entre ∼ 10�Z �/ a 10%< �/ , sejam extra-
galácticos. Evidências recentes apontam a sua origem para as galáxias de núcleos ativos onde, 
aparentemente, matérias estelares estão sendo capturadas por buracos negros. ⇒ Obs.: O elétron-volt (�/) é uma unidade de energia correspondente à energia 
potencial de um elétron submetido a uma diferença de potencial de 1 L��J , e tem a 
equivalência 1 �/ = 1,602@�X ]����′�. Comumente é usado também como unidade de massa, 
considerando a equivalência massa-energia ^ = ��% da Relatividade Restrita. 
Como partículas carregadas com energias da ordem de 10¹⁹�/, ao interagirem com os 
fótons da radiação cósmica de fundo, tendem a perder energia rapidamente em reações de 
foto-produção de píons do tipo � + + → � + $⁺ e � + + → � + $⁰, por exemplo, a presença 
dos raios cósmicos com energias acima da ordem de 10²⁰eV configura-se um dos grandes 
mistérios da física atual, principalmente porque não se conhece nenhuma fonte próxima, até 
da ordem de 50 ���, com mecanismos capazes de fornecer energias tão altas, agravado pelo 
fato de estes raios cósmicos ultra-energéticos aparecerem distribuídos isotropicamente. 
 As partículas primárias dos raios cósmicos são essencialmente matéria comum, 
prótons e núcleos atômicos leves, em proporção similar à da matéria presente no sistema 
solar, e a ausência de antipartículas é um indicativo de que, pelo menos nas regiões de onde 
vêm os raios cósmicos, o universo é constituído principalmente de matéria. 
11.1.5 Matéria Escura 
Uma galáxia típica tem dimensão da ordem de 0,1 ���, podendo conter algo entre 10Y a 10�% estrelas. A maior parte localiza-se no núcleo da galáxia, bulbo (bojo) esférico 
com raio da ordem de 1 ?��, em cujo centro pode residir um buraco negro super massivo. 
Além do bulbo central, a maioria das galáxias estende-se em forma de disco, com diâmetro 
da ordem de 50 ?�� contendo estrelas, gases e poeira intergaláctica em formações de braços 
espirais mais densos. 
Estudos mostram que as velocidades de rotação das estrelas ao redor do núcleo das 
galáxias, em função da distância radial ao centro galáctico, não é compatível com a 
distribuição da matéria observável (estrelas, gases e poeira intergaláctica), indicando um 
deficit da ordem de 80% da matéria total necessária para explicar a dinâmica do movimento 
estelar. Esta matéria não visível, que recebeu a denominação de matéria escura, deve estar 
distribuída em toda a extensão da galáxia, estendendo-se muito além do núcleo e dos braços 
espirais,numa distribuição esfericamente simétrica, denominada halo. A matéria escura deve 
interagir predominantemente via interação gravitacional e, dependendo da sua natureza física, 
por enquanto desconhecida, via interação fraca, o que poderia tornar detectável, 
indiretamente, pelas observações de decaimentos previstos pela interação eletrofraca. Outra 
evidência associada à matéria escura é o efeito de lente gravitacional observada em algumas 
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formações de galáxias distantes só justificável pela presença de uma massa muito maior que a 
devida à matéria visível. 
11.1.6 Energia Escura 
As medições das velocidades de recessão das supernovas tipo d	 (usadas como velas 
padrão de luminosidade) em função de suas distâncias mostram que a expansão do universo 
ocorre de forma acelerada, contrariando a previsão do Modelo Cosmológico Padrão, onde a 
aceleração é intrinsecamente negativa devido à força gravitacional atrativa. No entanto, esta 
dificuldade pode ser contornada recorrendo a um artifício inicialmente usado por Einstein 
para obter soluções estacionárias, introduzindo a constante cosmológica nas suas equações, 
cuja origem física é atribuída a uma misteriosa energia escura. Considerando os dados atuais, 
chega-se à conclusão de que, dentre todos os constituintes do universo, algo da ordem de 75% corresponde à energia escura, com distribuição (densidade) espacial uniforme e 
temporal constante, 20% à matéria escura distribuída no halo das galáxias (Cold Dark 
Matter) e apenas 5% corresponde à matéria bariônica (matéria comum que forma os 
elementos químicos) presente nas estrelas, galáxias e nebulosas (poeira e gás). Da matéria 
bariônica, 75% corresponde ao hidrogênio (próton), 23% ao hélio e 2% aos outros 
elementos. 
11.2 Equação de Friedmann 
 Dados observacionais indicam que a distribuição de matéria no universo observável é 
espacialmente homogênea e isotrópica, e está num processo de expansão, indicada pelo 
desvio sistemático para o vermelho das raias espectrais provenientes das fontes distantes. O 
Princípio Cosmológico assume a homogeneidade e a isotropia do universo como um 
postulado fundamental. 
A rigor, o formalismo teórico adequado para descrever a dinâmica do universo como 
um todo é a Relatividade Geral, que abriga a interação gravitacional como parte da sua 
estrutura teórica, através das equações de Einstein. Sendo um sistema de equações tensoriais 
de segunda ordem, simétrica, abriga dez equações, que podem ser reduzidas a apenas duas 
pelo Princípio Cosmológico. Destas duas equações, uma define a conservação de energia e a 
outra é a equação de movimento (equação de Friedmann), que determina a dinâmica da 
evolução do universo. 
Um tratamento mais simplificado consiste em analisar o balanço energético de uma 
região arbitrária do universo sob a ação gravitacional do resto do universo. Considere uma 
pequena região arbitrária tomada como um corpo de prova, cujo conteúdo de massa é � = ef/, onde e é a densidade de matéria, uniforme, e f/ o volume da região considerada 
localizada na superfície de uma esfera imaginária de raio arbitrário 
. A ação gravitacional 
sobre o corpo de prova é devida unicamente à massa 
� = 4$
g3 e (11.29) 
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contida no interior desta esfera imaginária. As contribuições devidas à distribuição externa de 
massas se anulam devido à isotropia do sistema. A energia potencial gravitacional da massa � devido à massa � contida na esfera imaginária é 
h(
) = − ��i
 = − 4$3 �i
%e (11.30) 
de modo que a energia mecânica total do corpo de prova será 
^ = 12 
K % − 4$3 �i
%e (11.31) 
que pode ser escrita na forma 
K%
% = 8$3 i e + 2^�
% . (11.32) 
Em termos do fator de escala R(t) definido em (11.15) e do parâmetro 
j = − 2^�
<% (11.33) 
resulta IK %I% = ;% = 8$3 ei − jI% . (11.34) 
Esta é a equação de Friedmann, uma equação diferencial de primeira ordem no tempo, 
não linear, cuja solução depende da densidade de matéria e(I). Derivando em relação ao 
tempo, resulta a aceleração 
Ik = 4$3 iI% lelI + 8$3 eiI . (11.35) 
A energia total contida na esfera imaginária é essencialmente devida ao conteúdo de 
massa, 
m = � = 4$3 
ge (11.36) 
(a velocidade da luz pode ser omitida desde que massa e energia sejam medidas numa 
unidade comum) e a relação diferencial envolvendo a variação da energia em função da 
variação do volume esférico é 
Mm = 4$
%eM
 + 4$3 
g lel
 M
 (11.37) 
que, combinada com a relação termodinâmica Mm = −�M/ = −4$
%�M
 (11.38) 
resulta 
4$
%eM
 + 4$3 
g lel
 M
 + 4$
%�M
 = 0 , (11.39) 
isto é, 
11 Introdução à cosmologia 
 
185 
 
lelI = − 3I (e + �) , (11.40) 
de modo que a aceleração (11.35) fica 
Ik = − 4$3 iI(e + 3�) . (11.41) 
Para um universo em evolução sob a ação da força gravitacional atrativa e em fase de 
expansão é de se esperar que a velocidade de recessão seja decrescente, isto é, que esteja 
sujeito a uma desaceleração. Assim, o parâmetro de desaceleração, definida por 
n = − IIKIK % (11.42) 
tem um papel relevante na cosmologia. 
11.2.1 Densidade crítica 
Se a única interação responsável pela evolução do universo for gravitacional, a 
aceleração é intrinsecamente negativa porque, devido à natureza atrativa da força 
gravitacional, a expansão deve ser necessariamente desacelerada. Se a desaceleração é 
suficiente ou não para reverter a expansão depende da energia cinética inicial disponível em 
comparação com a energia potencial. 
Se a energia total for positiva (j < 0) a expansão continuará indefinidamente. Se for 
negativa (j > 0) o sistema está ligado gravitacionalmente e a expansão deve cessar e reverter 
para um processo de contração. 
No caso limite (j = 0) , a expansão continuará indefinidamente, a velocidade de 
expansão tendendo a zero no limite do tempo infinito. Este caso define a densidade crítica eo 
tal que 
;% = 8$3 eoi ⟺ eo = 3;%8$i . (11.43) 
A relação entre a densidade real e a densidade crítica define o parâmetro de densidade Ω = e/eo . (11.44) 
Em termos da densidade crítica eo e do parâmetro de densidade Ω a equação de Friedmann 
(11.34) fica jI% = 8$3 i(e − eo) = 8$3 ieo(Ω − 1) (11.45) 
e o parâmetro de desaceleração, 
n = (e + 3�)2eo (11.46) 
No universo domindado pela matéria não relativística, � ≃ 0 , e portanto n = Ω/2 . (11.47) 
11 Introdução à cosmologia 
 
186 
 
 Assim, dependendo da densidade atual do universo, a sua evolução futura pode seguir 
uma das três alternativas, conforme tabela abaixo: 
 e< j Ω< q< Evolução 
 > eo > 0 > 1 > 1/2 expansão seguida de contração = eo = 0 = 1 = 1/2 expansão tendendo a estacionário em J → ∞ < eo < 0 < 1 < 1/2 expansão para sempre 
 
A densidade de matéria bariônica atual, componente visível da matéria presente nas 
estrelas e galáxias, é estimado em Ωt = (0,013 ± 0,0002) ℎ@% < 0,09 (11.48) 
para 0,4 < ℎ < 1. Usando a constante de Hubble, a densidade crítica atual é estimada em ρo,< = (1,88 × 10@%X) ℎ%w∙ ��g = 10,5 ℎ%i�//∙ �g . (11.49) 
Dados cosmológicos indicam que o parâmetro de densidade atual deve ser da ordem 
da unidade, Ω₀≃1, indicando que a densidade atual seja da ordem da densidade crítica, o que 
está longe de ser satisfeita se considerarmos apenas a densidade bariônica. As contribuições 
dos fótons e dos neutrinos, estimados em Ωz = (2,51 × 10@B) ℎ@% (11.50) 
e Ω{ = (1,71 × 10@B) ℎ@% (11.51) 
respectivamente, não são suficientes para aproximar o parâmetro de densidade Ω = Ωt + Ωz + Ω{ + ⋯ 
da unidade. 
Além da matéria visível, as galáxias devem conter até da ordem de 80% da massa em matéria 
escura, e a contribuição restante é preenchida pela energia escura cosmológica tal que Ω = Ωt + Ωz + Ω{ + Ω}~ + Ω} ≃ 1 (11.52) 
11.2.2 Evolução de universo 
Em princípio, a evolução do universo pode ser obtida resolvendo a equação de 
Friedmann, que pode ser escrita na forma 
€1I MIMJ % − 8$3 ei = − jI% , (11.53) 
se a distribuição de matéria e(I) for conhecida. Para a matéria não relativística, 
dominante no universo atual, 
e(I) = e<Ig , (11.54) 
de modo que a equação de Friedmann fica 
11 Introdução à cosmologia 
 
187 
 
€MIMJ % − 8$3 e<I i = −j , (11.55) 
A seguir serão consideradas as três possibilidades do parâmetro κ. 
Caso ‚ = ƒ 
Este é o caso mais simples, a equação de Friedmann reduzindo-se a 
€MIMJ % = 8$3 e<I i . (11.56) 
Usando a densidade crítica no presente, 
 eo,< = 3;<%8$i (11.57) 
resulta 
€MIMJ % = ;<%I . (11.58) 
que pode ser integrada como 
N √I…< MI = ;< N MJ
O
< (11.59) 
cuja solução é 
I(J) = €32 ;<%/g J %/g . (11.60) 
No presente, I(J<) = 1 por definição, resultando a idade do universo 
J< = 23 1;< = 23 J† . (11.61) 
onde 
J† = 1;< ≃ 9,78 × 10X ℎ@� 	��� (11.62) 
define o tempo de Hubble, de modo que J< = 0,65 × 10�< ℎ@� 	��� (11.63) 
é a estimativa da idade do universo, em torno de 10 bilhões (10 × 10X) de anos. 
A idade de um objeto distante pode ser estimada em função do parâmetro de red shift, 
J(�) = 23;< € 1� + 1
g/% . (11.64) 
Naturalmente, J(� = 0) = J< assim como no limite � → ∞ , J(� → ∞) = 0 . Na 
realidade o limite superior de z está definido pelo tempo em que ocorreu o desacoplamento 
entre a matéria e a radiação, quando o universo tornou-se transparente à radiação 
11 Introdução à cosmologia 
 
188 
 
eletromagnética, e que tem como resquício a radiação cósmica de fundo na faixa de micro-
ondas. Estando em perfeito equilíbrio com a matéria, o espectro desta radiação é dada pela 
distribuição de Planck a uma dada temperatura S, 
�())M) = 8$ℎ�g )g�‡� ˆℎ)?S‰ − 1 M) . (11.65) 
No tempo presente J< a radiação cósmica de fundo deve manter a mesma distribuição 
de Planck, agora na temperatura S<. Como ) = )</I (veja a equação 11.28), 
IŠ�())M) ⟶ �<()<)M)< = 8$ℎ�g )<g�‡� €ℎ)<?S< − 1 M)< (11.66) 
desde que seja satisfeita a relação S< = IS (11.67) 
Em função do parâmetro de red shift, equação (11.26), resulta S = (� + 1)S< (11.68) 
que pode ser usada para relacionar o tempo e a temperatura, 
J(S) = 23;< €S<S 
g/% . (11.69) 
Na equação (11.66) )< é uma variável de integração, cujo índice é irrelevante, a 
equação podendo ser reescrita como 
IŠ�())M) ⟶ �<())M) = 8$ℎ�g )g�‡� € ℎ)?S< − 1 M) (11.70) 
de modo que IŠ�()) ⟶ �<()), isto é, a densidade da radiação evolui como 
IŠ� = �<IŠ . (11.71) 
Comparada com a evolução da densidade de matéria não relativística, a densidade de 
radiação dilui mais rapidamente que a densidade de matéria no universo em expansão, razão 
porque, a partir do desacoplamento, a matéria passa a ser dominante no universo. 
A energia de ionização é da ordem de grandeza de 10 �/, que corresponde à temperatura em 
torno de 3 × 10g V . Aproximando a temperatura atual a 3 V e substituindo em (11.69), 
resulta no tempo 
J(S) = €S<S 
g% J< ≃ 3 × 10B 	��� . (11.72) 
para a idade do universo na era da recombinação. De (11.68), pode-se verificar que a radiação 
proveniente desta era deve ter o parâmetro de red shift da ordem de 
11 Introdução à cosmologia 
 
189 
 
� = SS< − 1 ≃ 1000 (11.73) 
 Para finalizar, o parâmetro de desaceleração (11.47) fica 
n = Ω2 = 12 . (11.74) 
Caso ‚ > ƒ (? = 1) 
Para deixar numa forma mais simples, a equação de Friedmann (11.55) será reescrita 
na forma 
€MIMJ % = ŒI − ? , (11.75) 
onde se redefiniu o tempo 
J6 = 0|j|J ⟶ J , (11.75) 
as constantes 
 j ⟶ ? = j|j| (11.76) 
e 
Œ = 8$ie<3|j| = ;<%|j| Ω< = Ω<(Ω< − 1) . (11.77) 
Veja que 
j = 8$ie<3 − ;<% = ;<%(Ω< − 1) . (11.78) 
Neste caso j > 0, ? = 1, a equação de Friedmann fica 
IK % = ŒI − 1 . (11.79) 
Introduzindo a parametrização I = Œ ���%- (11.80) 
tal que 
IK = 2Œ ���- ���- M-MJ (11.81) 
e fazendo as subistituições na equação (11.79) resulta 
4Œ% ���%- ���%- €M-MJ % = 1 ���%- − 1 = 1 − ���%- ���%- , 
isto é, 
2Œ ���%- M-MJ = 1 (11.82) 
11 Introdução à cosmologia 
 
190 
 
que pode ser integrada como 
N MJO< = 2Œ N ���%-
Ž
< M- (11.83) 
cuja solução é 
J = 1H< Ω<(Ω< − 1)g/% €- − 12 ��� 2- . (11.84) 
Esta equação, junto com a (11.80), 
I = 12 Ω<(Ω< − 1) (1 − ���2-) (11.85) 
definem a solução parametrizada da equação de Friedmann, caso ? = 1. 
Neste caso o universo todo é um sistema ligado gravitacionalmente, com fases de 
expansão e de contração, cíclico. Veja que I(J = 0) = 0, expandindo até atingir a expansão 
máxima 
I = Ω<(Ω< − 1) (11.86) 
quando ���2- = −1 ˆ- = %‰, que corresponde ao tempo 
J = $2H< Ω<(Ω< − 1)g/% , (11.87) 
iniciando então a fase de contração até o colapso final quando - = $, que corresponde ao 
tempo 
J = $H< Ω<(Ω< − 1)g/% , (11.88) 
a partir do qual tem início um novo ciclo de expansão, num processo infinito, desde que se 
repitam as condições que originaram a expansão inicial, resultante de uma interação não 
gravitacional. 
O tempo presente resulta da condição I(J<) = 1, que fornece o parâmetro -< na equação 
(11.85) 
1 = 12 Ω<(Ω< − 1) (1 − ���2-<) (11.89) 
que deve ser substituído na equação paramétrica do tempo (11.84), 
J< = 1H< Ω<(Ω< − 1)g/% €-< − 12 ��� 2-< . (11.90)Condição assimptótica: Sempre que possível é bom checar as condições 
assimptóticas das soluções para casos onde tenham soluções conhecidas. O caso ? = 0 
corresponde à solução no limite ‘< ⟶ 1, quando a fase de expansão leva um tempo infinito 
para atingir o máximo. Neste limite, na equação (11.84), deve-se ter a condição 
11 Introdução à cosmologia 
 
191 
 
‘< ⟶ 1 ⟹ €- − 12 ��� 2- ⟶ 0 
de modo que pode-se usar a aproximação 
€- − 12 ��� 2- = 23 -g 
e, portanto, 
J = 1H< Ω<(Ω< − 1)g/% 23 -g 
ou 
- = (Ω< − 1)�/% €32 H<J�/g 
que pode ser substituída na equação (11.85) calculada para o limite ‘< ⟶ 1, resultando 
I = 1(Ω< − 1) -% = €32 H<J
%/g , 
justamente a solução (11.60) do caso j = 0 (? = 0). 
Caso ‚ < ƒ (? = −1) 
Neste caso, que corresponde a ? = −1, a equação de Friedmann fica 
IK % = ŒI + 1 . (11.91) 
onde agora 
Œ = Ω<(1 − Ω<) . (11.92) 
Usando a parametrização I = Œ ���ℎ%“ (11.93) 
tal que 
IK = 2Œ ���ℎ “ cosh “ M“MJ (11.94) 
e 
4Œ% ���ℎ%“ ���ℎ%“ €M“MJ % = 1 ���ℎ%“ + 1 = 1 + ���ℎ%“ ���ℎ%“ , 
resulta 
2Œ ���ℎ%“ M“MJ = 1 (11.95) 
Nesta forma é fácil de ser integrada, 
11 Introdução à cosmologia 
 
192 
 
N MJO< = 2Œ N ���ℎ%“
Ž
< M“ , (11.96) 
resultando 
J = 1H< Ω<(1 − Ω<)g/% €12 ���ℎ 2“ − “ (11.97) 
que, junto com a equação (11.93), 
I = 12 Ω<(1 − Ω<) (cosh 2“ − 1) (11.98) 
definem a solução parametrizada da equação de Friedmann, caso ? = −1. 
Descreve um universo em expansão com energia cinética suficiente para manter esta 
condição para sempre, a densidade de energia e matéria rarefazendo-se e a temperatura 
diminuindo indefinidamente. 
A figura 1 apresenta, de forma comparativa, os gráficos das funções I(J) para os três 
casos, ? = 0 (azul), ? = 1 (vermelho) e ? = −1 (roxo), a origem do tempo no presente, de 
modo que I(0) = 1 para os três casos, tornando visível a diferença da idade do universo para 
os três casos. A unidade de tempo é o tempo de Hubble J† = 1/;<, e a origem do tempo no 
presente, quando I(0) = 1, por definição. 
 
 
Figura 1: 
Gráficos comparativos da 
evolução do universo para os 
três casos, ? = 0 (azul), ? = 1 
(vermelho) e ? = −1 (roxo). A 
unidade de tempo é o tempo de 
Hubble J† = 1/;< , e a origem 
do tempo no presente, quando I(0) = 1, por definição. O 
gráfico verde supõe a presença 
de uma força adicional não 
gravitacional, repulsiva. 
 
 
Condição assimptótica: No limite ‘< ⟶ 1 resulta 
“ = (Ω< − 1)�/% €32 H<J�/g 
e, portanto, 
11 Introdução à cosmologia 
 
193 
 
I = 1(Ω< − 1) “% = €32 H<J
%/g , 
que é a solução, equação (11.60), do caso j = 0 (? = 0). 
 11.2.3 História da Evolução do Universo 
 A solução da equação de Friedmann descreve a evolução do ambiente espaço-
temporal e o seu conteúdo de energia e matéria (as partículas e suas interações fundamentais), 
estabelecendo as eras e os principais eventos em função do conteúdo energético (temperatura), 
resumidas na tabela a seguir: 
 
Tempo Era Evento 
 
0 Singularidade Big Bang 
Até 10@Šg segundos Era de Planck Inflação? 
Até 10@Y segundos Era dos hádrons Criação das partículas pesadas 
Até 1 segundo Era dos léptons Criação das partículas leves 
1 minuto Era da radiação Formação de hélio e deutério 
10 mil anos Era da matéria A matéria torna-se predominante 
300 mil anos Desacoplamento O universo torna-se transparente 
1 bilhão de anos Formação de galáxias 
10 bilhões de anos Formação do sistema solar 
15 bilhões de anos Época atual 
 
 
A seguir, a descrição dos acontecimentos mais relevantes que marcam as diversas 
eras: 
 J = 10@Šg�, S = 10g%V 
As interações forte, fraca e eletromagnética formam uma única interação, unificada. A 
inflação causa uma rápida expansão. Criação das partículas fundamentais a partir das 
flutuações do vácuo. 
 J = 10@gŠ�, S = 10%˜V 
A interação forte se desacopla das interações fraca e eletromagnética. O universo é 
uma sopa de quarks e elétrons. Termina a inflação, e a expansão do universo passa a ser 
governada pela interação gravitacional. 
 J = 10@�<�, S = 10�BV 
11 Introdução à cosmologia 
 
194 
 
 As interações fraca e eletromagnética se separam. Estabelece-se a assimetria 
partícula-antipartícula, numa proporção de um em um bilhão. Quarks se ligam, formando 
prótons e nêutrons. 
 J = 1 �, S = 10�<V 
 Neutrinos se desacoplam e ocorre a aniquilação de pares elétron-pósitron, restando os 
elétrons residuais. Forma-se a radiação, que permanece em equilíbrio com a matéria. 
 J = 3 �, S = 10XV 
Prótons e nêutrons se ligam formando os primeiros núcleos de átomos leves: Œ, 3;�, 4;�, até o lítio, 7��. Restam 75% de hidrogênio e 25% de hélio. 
 
 t=3×10⁵anos, T=3×10³K 
 Matéria e radiação se separam, isto é, o universo se torna transparente. Os elétrons se 
ligam aos núcleos formando átomos neutros. A radiação proveniente desta época é a atual 
radiação cósmica de fundo na faixa do micro-ondas. 
 J = 10X�, S = 18V 
Aparecimento dos aglomerados de matéria, estrelas e galáxias. Núcleos pesados são 
formados no interior das estrelas. As explosões supernovas dispersam os átomos pesados que 
posteriormente formarão os sistemas estelares de segunda e de terceira geração, como o nosso 
Sistema Solar, que contém os elementos químicos indispensáveis ao surgimento da vida. 
 J = 15 × 10X�, S = 3V 
Época presente. Há 5 bilhões de anos forma-se o condensado de remanescentes de 
explosões estelares, dando origem ao Sistema Solar. 
11.3 Modelo Cosmológico Padrão 
 O modelo cosmológico padrão toma por postulado a homogeneidade e isotropia 
espacial do universo, dentro da concepção filosófica atual de que não exista nenhuma posição 
ou orientação privilegiada no universo. Em outras palavras, o universo visto a partir de 
qualquer lugar será, em média, igual ao que se observa a partir da Terra. Esta é a base do 
Princípio Cosmológico. Por outro lado, o indicativo da expansão significa um universo 
evolucionário. 
Princípio Cosmológico: o universo é espacialmente uniforme (homogêneo e 
isotrópico), não havendo nenhuma posição ou orientação privilegiada. 
 A Relatividade Geral é o suporte teórico para a construção do modelo cosmológico 
padrão a partir das equações de Einstein da gravitação. 
 O Princípio Cosmológico implica na possibilidade de definição de um tempo universal, de 
modo que os relógios possam ser sincronizados para todos os observadores. Isto ocorre nos 
referenciais comóveis, localmente inerciais, em queda livre no campo gravitacional 
cosmológico. Também impõe severas restrições à métrica do espaço-tempo, implicando na 
11 Introdução à cosmologia 
 
195 
 
isometria, pois a geometria do espaço-tempo deve ser a mesma para todos os observadores 
em quaisquer outros referenciais comóveis, w6š{(›) = wš{(›) . (11.99) 
 De um modo geral, os tensores devem ser invariantes na forma, S6š{œ⋯(›) = Sš{œ⋯(›) . (11.100) 
Dentro destas restrições a métrica de Robertson-Walker 
�%M% = �%MJ% − I%(J) ž M
%1 − ?
% + 
%M-% + 
%���%-MŸ%  (11.101) 
é a métrica usada no modelo cosmológico padrão. O fator de escala I(J) definido por 
 
(J) = I(J)
 (11.102) 
dá conta da expansão do universo e a constante ? define a sua geometria através da curvatura 
espacial 
 V(J) = ?I@%(J) .(11.103) 
Esta constante depende do conteúdo de matéria e energia do universo, e pode assumir os 
valores ? = −1 (espaço infinito de curvatura negativa, hiperbólica), ? = 0 (espaço infinito, 
plano) e ? = +1 (espaço finito porém ilimitado). 
A métrica de Robertson-Walker define as componentes do tensor métrico: 
wOO = 1, w## = I%(J)1 − ?
% , wŽŽ = I%(J)
% , w¡¡ = I%(J)
%���%- . (11.104) 
As demais componentes, não diagonais, são nulas, wš{ = 0 para ¢ ≠ ). 
No modelo cosmológico padrão, assume-se que o universo se comporte como um gás 
perfeito, cujo tensor de energia e momento é Sš{ = �wš{ + (� + e)mšm{ . (11.105) 
No referencial comóvel, mš = +¤¥�, L¦§ = (�, 0) (11.106) 
e, portanto, 
¨S<< = �w<< + (� + e)S¦¦ = �w¦¦ Sš{ = 0 para ¢ ≠ ) . (11.107) 
O termo de fonte da equação (10.83), usando T­ ­ = (� + e), fica 
Sš{ = Tš{ − 12 gš{ T­ ­ = Tš{ − 12 gš{(� + e) , (11.108) 
cujas componentes não nulas são 
11 Introdução à cosmologia 
 
196 
 
°±²
±³´OO = 12 (� − e)wOO + (� + e) 
¦´¦ = 12 w¦¦(� − e) 
 . (11.109) 
Usando as componentes não nulas do tensor métrico, resulta 
°±±
²
±±³ ´OO =
12 (3� + e) ´ŽŽ = 12 (� − e)I%(J)
% ´¡¡ = 12 (� − e)I%(J)
%���%-
 . (11.110) 
Para obter tensor de Ricci, equação (10.75), que fica 
Iš{ = I­š­{ = lÚ­­l‡{ − lÚ{­l‡­ + Ú­¶ Γ{¶­ − Ú{¶ Γ­¶­ , (11.111) 
considere a conexão afim (10.27), cujas componentes não nulas são 
°±±
²
±±³
Γ¦·O = IIK w¸¦· 
ΓO·¦ = IKI ¹·¦ Γ·º¦ = 12 1w¸¦» ¼lw¸¦·l‡º + lw¸¦ºl‡· − lw¸·ºl‡¦ ½ = Γ¾·º¦
 . (11.112) 
As componentes não nulas do tensor de Ricci são 
°±
²
±³IOO = 3 IkI IO¦ = 0 I¦· = I¾¦· − ¥IIk + 2IK %§w¸¦·
 . (11.113) 
onde 
I¾¦· = lΓ¾º¦ºl‡ · − lΓ¾¦·ºl‡º + Γ¾»¦ºΓ¾º·» − Γ¾¦·ºΓ¾º»» . (11.114) 
Usando o fato de que um espaço maximamente simétrico exige que I¾¦· = −2?w¸¦· , (11.115) 
resulta I¦· = −¥IIk + 2IK % + 2?§w¸¦· . (11.116) 
Combinando com as componentes não nulas do tensor de energia e momento, da componente 
tempo-tempo resulta, 
11 Introdução à cosmologia 
 
197 
 
 
Ik = − 4$i3 (e + 3�)I (11.117) 
e da componente espaço-espaço, IIk + 2IK % + 2? = 4$i(e − �)I% , (11.118) 
sendo que as componentes espaço-tempo são nulas. 
Combinando estas duas equações, resulta a equação de Friedmann 
IK % + ? = 8$i3 eI% , (11.119) 
e, da conservação de energia, 
�KIg = MMJ ¿Ig(e + �) À (11.120) 
 ou MMI (eIg) = −3�I% (11.121) 
O universo atual é dominado pela matéria não relativística, quando � ≃ 0. Portanto, e = e<I@g . (11.122) 
No universo primordial predomina a matéria relativística, quando � = e/3 e, portanto, e = e<I@Š . (11.123) 
 Substituindo ρ(R) na equação de Friedmann, podemos calcular a função R(t), o qual 
descreve a evolução do universo em função do tempo. 
11.3.1 Constante cosmológica 
 O Modelo Cosmológico Padrão admite um universo evolucionário em expansão a 
partir de um grande evento (Big Bang) que forneceu a energia cinética. Devido à natureza da 
interação gravitacional, esta expansão deve ocorrer de forma desacelerada, dada pelo 
parâmetro de desaceleração 
n< = Ω<2 (11.124) 
em valores no tempo presente. No entanto, uma das constatações observacionais mais 
relevantes da cosmologia atual é a expansão acelerada do universo, contrariando a força 
eminentemente atrativa da interação gravitacional. 
A maneira imediata de obter uma aceleração positiva é pela introdução da constante 
cosmológica nas equações de Einstein, que fica 
Rš{ − 12 gš{I + Λgš{ = 8πGTš{ . (11.125) 
O termo da constante cosmológica pode ser adicionado ao termo de fonte, 
11 Introdução à cosmologia 
 
198 
 
Rš{ − 12 gš{I = 8πG €Tš{ − Λgš{8πG  (11.126) 
resultando a mesma equação original de Einstein sem a constante cosmológica, 
Rš{ − 12 gš{I = 8πGTŚ{ . (11.127) 
mas com o termo de fonte corrigido para 
TŚ{ = Tš{ − Λgš{8πG (11.128) 
Manter a forma da equação original é interessante, pois isto torna possível aproveitar 
os resultados anteriores apenas realizando algumas modificações nas componentes do tensor 
de energia e momento que agora passa a ser 
Sš{ = €� − Λ8πG wš{ + (� + e)mšm{ (11.129) 
ou Sš{ = �¸wš{ + (�¸ + e¸)mšm{ (11.130) 
para 
e¸ = e + Λ8πG = e + eÆ (11.131) 
e 
�¸ = � − Λ8πG = � + �Æ . (11.132) 
 Note que 
eÆ = −�Æ = Λ8πG (11.133) 
 e, portanto, satisfaz à condição eÆ + �Æ = 0 . (11.134) 
 Deste modo, se quiser associar uma origem física à constante cosmológica, deve estar 
atentos para esta condição. 
Como as equações de Einstein permanecem formalmente idênticas ao caso sem a 
constante cosmológica, com as substituições e¸ → e e �¸ → �, o mesmo deve ocorrer com a 
equação de Friedmann, que fica 
IK % + ? = 8$i3 e¸I% = 8$i3 €e + Λ8πG I% . (11.135) 
 Da mesma forma, a aceleração fica IkI = − 4$i3 (e¸ + 3�¸) = − 4$i3 €e + � − Λ4πG , (11.136) 
11 Introdução à cosmologia 
 
199 
 
 
isto é, IkI = − 4$i3 (e + �) + Λ3 , (11.137) 
o que mostra a possibilidade de uma aceleração positiva para Ç > 0. 
Na era dominada pela matéria, � ≃ 0, resultando IkI = − 4$i3 (e − 2eÆ) = − 4$i3 (Ω~ − 2ΩÆ)eÈ (11.138) 
onde 
eo = 3;%8$i = 38$i IK %I% (11.43) 
é a densidade crítica, 
Ω~ = eeÈ (11.144) 
é o parâmetro de densidade, o subscrito reforçando que se refere à densidade de matéria, e 
ΩÆ = eÆeÈ (11.145) 
é o parâmetro de densidade associado à constante cosmológica. 
O parâmetro de desaceleração fica 
n = − IIkIK % = 12 (e − 2eÆ)eÈ = 12 Ω~ − ΩÆ (11.146) 
Esta expressão mostra que o parâmetro de desaceleração pode ser negativo, 
dependendo do valor da constante cosmológica Ç > 0. 
Se admitir que Ω~ + 2ΩÆ = 1 (11.147) 
então 
n = 23 Ω~ − 1 . (11.148) 
 O parâmetro de desaceleração 
n< = 12 Ω~ − ΩÆ (11.149) 
dependendo do valor de Ç, permite uma expansão acelerada. 
Das observações do WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe - 2003), juntamente 
com as pesquisas de ´É� d	, admitindo que Ω~ − ΩÆ = 1, foram obtidos Ω~ = 0,28 (11.150) 
 
11 Introdução à cosmologia 
 
200 
 
 e ΩÆ = 0,72 , (11.151)a matéria bariônica respondendo por ΩÊ = 0,044 , (11.152) 
 e a matéria escura, ΩËÌ = Ω~ − ΩÊ = 0,236 , (11.153) 
 que corresponde a 
n< = 12 Ω~ − ΩÆ = −0,58 . (11.154) 
 Num universo em expansão indefinida, para um tempo suficientemente grande, a 
densidade de matéria tornar-se-á tão rarefeita que podemos considerar Ω~ = e/eÈ ≃ 0 e n ≃ −1, que indica um universo em expansão acelerada. 
Efeito local 
 A densidade de energia associada à constante cosmológica deve permanecer com a 
distribuição uniforme, sem tomar parte na formação dos aglomerados de matéria. Do 
contrário, afetaria a interação gravitacional na escala macroscópica, impossibilitando a 
existência de sistemas gravitacionais como a conhecemos. Isto porque a equação do campo 
na aproximação estacionária traz consigo um termo de pressão, que deve ser considerado na 
presença da constante cosmológica, pois a ela é associada uma pressão negativa. Deste modo, 
∇%h = 4$i(e¸ + 3�¸) = 4$i €e + 3� − Λ4πG (11.155) 
que, para a matéria não relativística, � ≃ 0, fica ∇%h = 4$i(e¸ + 3�¸) = 4$i(e~ − 2eÆ) . (11.156) 
Isto mostra que a densidade 
eÆ = Λ8πG 
associada à constante cosmológica deve ser desprezível em relação à densidade de matéria 
normal nas grandes inomogeneidades representadas pelas galáxias e aglomerados de galáxias, 
ou no sistema solar, por exemplo. 
Energia escura 
 A constante cosmológica, introduzida à mão nas equações de Einstein, pode ser 
formalizada introduzindo a ação gravitacional 
´ = 116$i N 0−w (I − 2Ç)MŠ‡ + ´~ . (11.157) 
onde I é o escalar de Ricci e ´~ a soma de todas as componentes não gravitacionais e que 
entram como fonte nas equações de Einstein. 
11 Introdução à cosmologia 
 
201 
 
Se o termo em Λ for movido para ´~ , pode ser interpretada como densidade de 
energia, eÎ, satisfazendo à condição eÎ + �Î = 0, que corresponde a uma pressão negativa. 
Genericamente batizada de energia escura, na teoria quântica dos campos a chamada energia 
do vácuo tem esta propriedade e à primeira vista é o seu um candidato natural. 
A energia do vácuo está associada com um campo escalar com ação 
´ = N 0−w Ï12 wš{lšl{h − /(h)Ð MŠ‡ (11.158) 
que corresponde, em termos do tensor de energia e momento, a 
Sš{ = 12 lšhl{h + 12 ¥wœÑ lœhlÑh§wš{ − /(h)wš{ , (11.159) 
a configuração de energia mais baixa dada pela ausência de energia cinética, isto é, lšh = 0, 
quando 
 Sš{ = −/(h<)wš{ , (11.160) 
onde h< é o campo que minimiza o potencial /(h). 
Na realidade, a teoria quântica dos campos fornece outras componentes para a energia 
do vácuo, e a constante cosmológica poderia ser o resultado da soma de todas estas 
contribuições. Além disto, abre a possibilidade de que não seja exatamente uma constante, 
assumindo diferentes valores nas diversas transições de fase ligadas às quebras de simetria 
ocorridas durante a evolução do universo. No entanto a contribuição prevista é extremamente 
pequena comparada com as diversas opções teóricas propostas para a energia escura. 
Bibliografia 
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Oxford Un. Press, New York (1998).