Calculo 5

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Universidade Federal do Ceará - Licenciatura em matemática 
Disciplina: Introdução ao Cálculo 
Aluno: André Philipe Magalhães Lima 
 
AULA 05 - PORTFÓLIO 05 
Resolver o exercitando 1 do tópico 02, o exercitando 1 e 2 do tópico 03 e os 
exercitandos 1 e 4 do tópico 04 e enviar as soluções através do seu portfólio da 
Aula 5. 
 
Tópico 02: 
Exercitando 1: Dado o ponto P(a, b), onde a e b são números distintos não 
nulos, encontre as coordenadas do ponto Q sabendo-se que P e Q são simétricos em 
relação: i) à origem; ii) a primeira bissetriz; iii) a segunda bissetriz; iv) ao eixo dos y. 
Resposta: 
(I) (a + x)/2 = 0  a + x = 0  x = -a 
(II) (b + y)/2 = 0  b + y = 0  y = -b 
Logo, como mostra na figura, o ponto Q se encontra nas coordenadas (-a,-b). 
 
 
 
 
 
 
 
Tópico 03 
Exercitando 1: Classifique quanto aos lados e aos ângulos o triângulo cujos vértices 
são os pontos A(1, 2), B(-1,0) e C(3, -2)? 
Respostas: 
Precisamos achar a medida dos lados desse triângulo. Faremos isso calculando a distância 
entre os vértices. 
 
Lado AB: 
d = √((Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2) 
d = √((1 + 1)2 + (0 – 2)2) 
d = √(22 + (-2)2) 
d = √(4 + 4) 
d =√8 
 
Lado AC: 
d = √((Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2) 
d = √((3 – 1)2 + (2 + 2)2) 
d = √((2)2 + 42) 
d = √(4 + 16) 
d =√20 = 2√5
M 
P 
Q 
a 
b 
y 
x 
 
 
Lado BC: 
d = √((Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2) 
d = √((3 + 1)2 + (2 + 0)2) 
d = √((4)2 + 22) 
d = √(16 + 4) 
d = √20 = 2√5 
 
Portanto encontramos dois lados iguais, assim sendo, com dois lados iguais, temos 
um triângulo isósceles. Quanto aos ângulos, temos dois ângulos congruentes menores 
que 90º, pelo fato de seus lados serem iguais, bem como o ângulo divergente menor 
que 90º, pois é menor que o ângulo formado pela intersecção das retas adjacentes. 
 
Exercitando 2: Dados A (-2, 4) e B(3, -1) vértices consecutivos de um quadrado. 
Determinar os outros dois vértices. 
 
Resposta: 
DAB = √((Xb – Xa)2 + (Yb – Ya)2) 
DAB = √((3 + 2)2 + (-1 – 4)2) 
DAB = √(52 + (-5)2) 
DAB = √(25 + 25) 
DAB = √50 = 5√2 
 
Usando a diagonal, tem-se: 
d = l . √2 
d = 5√2 . √2 
d = 5 . 2 
d = 10 
 
Sendo assim, temos C(3,9) e D(8,4), como vemos na figura. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópico 04 
Exercitando 1: Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (2, 3) e é: 
a) Perpendicular à reta 2x + y + 2 = 0  y = -2x - 2 
Resposta: 
Por ser perpendicular, temos m1 . m2 = -1, assim, o m2, que será utilizado na resolução 
será ½, pois o m1 é -2. Aplicando os dados na fórmula: 
5√2 
D 
B 
C 
8 
-1 
3 
4 A 
9 
-2 
10 
 
 
y – yo = m (x – xo) 
y – 3 = 1/2 (x – 2) 
y – 3 = (x - 2)/2 
2y – 6 = x - 2 
2y = x + 4 
-x + 2y – 4 = 0 
 
b) Paralela à reta x/2 + y/4 = 1  y = -2x + 4 
Resposta: 
Por ser paralela, temos m1 = m2, assim, o m2, que será utilizado na resolução é -2. 
Aplicando os dados na fórmula: 
y – yo = m (x – xo) 
y – 3 = -2 (x – 2) 
y – 3 = -2x + 4 
y = -2x + 7 
2x + y – 7 = 0 
 
Exercitando 4: Entre os triângulos OAB com O vértice O na origem e os outros dois 
vértices A e B, respectivamente, nas retas y = 1 e y = 3 e alinhados com o ponto P(7,0) 
determinar aquele para o qual é mínima a soma dos quadrados dos lados. 
Resposta: 
(I) 
i) OA2 = (a – 0)2 + (1 – 0)2 = a2 + 1 
ii) OB2 = (b – 0)2 + (3 – 0)2 = b2 + 9 
iii) AB2 = (a – b)2 + (1 – 3)2 = (a – b)2 + 4 
 
(II) 
Usando a condição de alinhamento de três pontos: 
7 1 
a 1 1 
b 3 1 
 7 0 1 
a 1 
 
7 + 3a – b – 21 = 0 
( -b = -3a + 14 ) . (-1) 
b = 3a – 14 
 
 
 
 
 
(III) 
OA2 + OB2 + AC2 = 
= a2 + 1 + b2 + 9 + (a – b)2 + 4 
= a2 + b2 + a2 – 2ab + b2 + 14 
= 2a2 + 2b2 – 2ab + 14 
 
(IV) 
Substituindo b = 3a – 14, na equação anterior, tem-se: 
 
= 2a2 + 2(3a – 14)2 – 2a(3a – 14) + 14 
= 2a2 + 2(9a2 – 84a + 196) – 6a2 + 28a + 14 
= 2a2 + 18a2 – 168a + 392 – 6a2 + 28a + 14 
= 14a2 – 140a + 406 
 
(V) 
Pelo XV, temos: 
 
XV = -b/2a 
XV = 140/28 
XV = 5 
 
Portanto o mínimo é 5 e como b = 3a – 14, segue que o b mínimo é 1. Logo, o triângulo 
em que a soma dos quadrados é mínima tem vértices nos pontos O(0,0), A(5,1) e 
B(1,3).