Sumare_Exercicios_Topicos-em-Geometria

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CENTRO UNIVERSITÁRIO SUMARÉ
MATEMÁTICA
TÓPICOS EM GEOMETRIA
1)
Baseado nos textos que você leu sobre lógica, resolva o seguinte problema:
Se você dormir demais, você se atrasa.
​​​​​​​Você não está atrasado.
Logo:
b)
Você não dormiu demais.
RESPOSTA CORRETA
Observe que:
​​​​​​​
Dormir demais → A
Atrasar → B
A → B
Você NÃO está atrasado → não A
Se não A, logo, não B.
nA → nB
Você não está atrasado.
2)
Algumas definições descritas na obra de Euclides referem-se ao número de dimensões dos conceitos primitivos.
Qual desses elementos foi definido por Euclides como tendo duas dimensões?
d)
Plano.
RESPOSTA CORRETA
O elemento que tem duas dimensões é o plano: largura e comprimento. Trata-se, matematicamente, de um ente primitivo geométrico infinito a duas dimensões. 
3)
A crise dos incomensuráveis abalou a estrutura da matemática, causando um atraso considerável no estudo da matéria.
Que grupo numérico foi responsável por essa crise?
c)
Irracionais.
RESPOSTA CORRETA
O grupo numérico responsável pela crise dos incomensuráveis foi o dos números irracionais. Até então, os pitagóricos acreditavam que o conjunto dos números era somente o dos naturais, contendo apenas expressões exatas.
4)
As descobertas matemáticas foram fruto do trabalho de indivíduos, geralmente trabalhando em grupos.
Qual escola grega deduziu a lei que determina a diagonal do quadrado?
d)
Pitagórica.
RESPOSTA CORRETA
A escola grega que deduziu a lei a qual determina a diagonal do quadrado foi a pitagórica. O valor da diagonal do quadrado é lado vezes a raiz de dois, que é um número irracional. Essa descoberta levou à crise dos incomensuráveis.
5)
Euclides trabalhou muito para organizar e escrever o pensamento matemático de sua época.
Qual conjunto de livros que ele escreveu e foi a base da geometria ocidental?
e)
Os elementos.
RESPOSTA CORRETA
O conjunto de livros que Euclides escreveu e foi a base da geometria ocidental foram os volumes de Os elementos, o qual é um longo tratado matemático e geométrico, que fez uma compilação do saber da área até essa época; são treze livros escritos pelo matemático grego Euclides, que os desenvolveu na cidade de Alexandria por volta de 300 a.C. Ele traz uma coleção de definições, postulados, proposições e demonstrações matemáticas, as quais foram a base do saber na área durante muitos séculos.
Os livros e seus temas:
Livro I: definições matemáticas enunciando axiomas e postulados.
Livros II a IV: tratam da geometria plana elementar.
Livro V: teoria das proporções.
Livro VI: dedicado à semelhança.
Livros VII a IX: teoria dos números.
Livro X: classificação dos irracionais quadráticos.
Livros XI a XIII: tem como tema a geometria plana espacial.
1) Problemas envolvendo segmentos de reta implicam, inúmeras vezes, na utilização da álgebra. Observe a reta e note que PQ = 84cm, PR = 2x - 2, PS = 6x e SQ = 2x + 4.
A medida do segmento RS é:
**QG inserir seta em cima de PQ, PR, PS, SQ e RS.
b) 42cm.
RESPOSTA CORRETA
Observe que o comprimento do segmento PQ pode ser definido por 6x + 2x + 4, agrupando os termos semelhantes: 8x + 4.
O enunciado informa que PQ = 84 cm.
Assim:
widevec {PQ} = 84cm
Assim:
widevec {RS} = 6 . 10 – 2 . 10 + 2.newlinenewlinewidevec {RS} = 60 – 18 = 42.
2)
A classificação dos ângulos permite que você produza algumas conclusões sobre as suas medidas.
Se você tiver um ângulo obtuso, um ângulo reto e um ângulo agudo, pode afirmar que o maior deles é:
c)
o ângulo obtuso.
RESPOSTA CORRETA
Pela classificação, sabe-se que os ângulos obtusos têm mais que 90°; ângulos retos têm precisamente 90°; e os ângulos agudos têm menos que 90°. Sendo assim, qualquer ângulo obtuso, por menor que seja, será sempre maior que um ângulo reto ou agudo.
3)
Se as somas das medidas de dois ângulos é 120°, e um deles mede o dobro do outro, é possível concluir que a medida do menor deles é:
a)
40°.
RESPOSTA CORRETA
No enunciado tem-se que um ângulo tem o dobro da medida do outro. Denomina-se o menor deles como x e o outro, o seu dobro, 2x. Como a soma dos dois é 120°, é possível escrever a equação:
2x + x = 120°.
Resolvendo:
3x = 120°.
​​​​​​​x = 120/3 ∴ x = 40°, que é a medida do ângulo menor.
4)
Baseando-se nos seus conhecimentos sobre retas e ângulos, determine os valores de x e y​​​​​​​:
​​​​​​​
c)
x = 38; y = 46°.
RESPOSTA CORRETA
Os dois ângulos estão sobre uma reta, logo, a soma deles é 180°. Sabendo disso, pode-se escrever a equação:
2x – 30° + 3x + 20° = 180°.
5x = 190°.
x = 190/5.
Logo:
x = 38°.
Como: 2x – 30° = y.
Então, substitui-se x por 38° para achar o valor de y:
​​​​​​​2 . 38° - 30° = 46°.
5)
Observe as retas paralelas r e s, assim como a transversal t, e calcule o valor de x:
c) 60°.
RESPOSTA CORRETA
Como os ângulos são congruentes, tem-se que:
2x – 60° = x/2+ 30° (multiplicam-se todos os termos por 2).
4x – 120° = x + 60°.
4x – x = 60° + 120°.
3x = 180°.
x = 180°/3.
​​​​​​​Logo, x = 60°.
1)
Em figuras ampliadas ou reduzidas, quais são os elementos que permanecem com as mesmas medidas?
d)
Os ângulos.
RESPOSTA CORRETA
Único elemento que permanece constante: ângulos. As áreas, os perímetros, os lados e as diagonais aumentam ou diminuem.
2)
Você precisa determinar a distância entre dois vilarejos em um mapa de escala 1 : 50.000 e sabe que a distância real entre eles é de 18km. A que distância se encontram no mapa?​​​​​​​​​​​​​​
c)  36cm.
RESPOSTA CORRETA
Primeiramente, é preciso converter 18 quilômetros para centímetros: 18 . 100000 = 1800000. Agora, é preciso expressar matematicamente a relação:​​​​​​​​​​​​​
3)
Você quer desenhar um polígono com perímetro de 60cm, semelhante a outro com perímetro de 180cm. Quanto vai medir o lado do primeiro perímetro homólogo ao lado de um segundo polígono que mede 15m?​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
e)
5cm.
RESPOSTA CORRETA
Os perímetros mantêm uma relação de semelhança, assim
4)
Inúmeras propriedades são oriundas do conceito de paralelismo. Qual dessas opções é uma propriedade oriunda do paralelismo entre duas retas?
d)
Se um plano intersecta dois planos paralelos, as intersecções são duas retas paralelas.
RESPOSTA CORRETA
Se um plano intersecta dois planos paralelos, as interseções são duas retas paralelas. As outras alternativas não se referem ao paralelismo.
5)
​​​​​​​Utilizando os seus conhecimentos sobre o Teorema de Tales, sabendo que  a//b//c , r  e s  são transversais, determine o valor do segmento y.​​​​​​​​​​​​​​
d) 4.
RESPOSTA CORRETA
1) As figuras apresentadas a seguir são congruentes e passaram por um processo de isometria. 
​​​​​É possível afirmar que esse processo é chamado de:
c)
reflexão deslizante.
RESPOSTA CORRETA
Na imagem apresentada, há uma reflexão sobre um eixo de simetria seguida de uma translação ao longo desse mesmo eixo, logo houve uma reflexão deslizante.
2)
Os triângulos podem ser congruentes, o que implica algumas propriedades. Nesse contexto, a propriedade reflexiva afirma que:
d)
todo triângulo é congruente a si mesmo.
RESPOSTA CORRETA
Há três propriedades estabelecidas com a congruência de triângulos: a reflexiva, a simétrica e a transitiva. A propriedade reflexiva afirma que todo triângulo é congruente a si mesmo. A propriedade simétrica afirma que, se um triângulo é semelhante a outro, então o segundo é semelhante ao primeiro. Por fim, a propriedade transitiva afirma que, se um triângulo é semelhante a um segundo e este segundo é semelhante a um terceiro, então o primeiro é semelhante ao terceiro.
3)
Nos triângulos, há casos específicos para determinar a congruência. Sendo assim, indique o caso de congruência dos triângulos apresentados a seguir.
​​​​​​​
a)
LAL.
RESPOSTA CORRETA
Os triângulos apresentados têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo compreendido entre eles, logo o caso é LAL. Quando dois triângulos têm um ângulo, um lado e um ângulo congruentes, o caso é ALA. Quando dois triângulos têm em ordem um lado, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente, o caso é LAA. Os casos AAA e LLA não garantem congruência. 
4)
A diagonal de um paralelogramo divide o quadriláteroem dois triângulos congruentes. Sabendo disso, determine as medidas x e y da figura a seguir.
 ​​​​​​​
c)
x = 35° e y = 40º.
RESPOSTA CORRETA
A diagonal do paralelogramo regular cria dois triângulos congruentes, assim:
y = 40°.
Como a soma dos ângulos do triângulo é igual a 180°, tem-se que:
40° + 70° + 2x = 180°.
Assim:
2x = 70°
x = 35°.
5)
Na figura plana a seguir, ABCE é um paralelogramo, ABCD é um retângulo de área 36cm2 e C é um ponto do segmento ED.​​​​​​​
Qual é a área da figura ABED?
b)
54cm2.
RESPOSTA CORRETA
Observe que o triângulo ACD é congruente com o triângulo ABC. Como a área do triângulo ABC é metade da área do paralelogramo, tem-se que sua área é de 18cm2. Pela congruência citada, tem-se que a área do triângulo ABC também é de 18cm2. Somando a área de ∆ABC com a do paralelogramo ABCE, o resultado fica: 18 + 36 = 54cm2.
1)
Utilizando conhecimentos sobre as relações métricas nos triângulos retângulos, determine o valor de x no triângulo:​​​​​​
​​​​​​​
d)
8√5 cm
RESPOSTA CORRETA
​​​​​​​A solução está na relação c2=am. Repare que a é igual a 16 + 4, logo:
x2 = 20 . 16
x2 = 320
x = 8√5
2)
Em um triângulo retângulo, o cateto maior tem o dobro da medida do outro cateto. Sabendo que a hipotenusa mede 10 cm, determine a soma dos catetos.
d)
6√5
RESPOSTA CORRETA
Será nomeado o cateto menor como x, e o maior, por ter o dobro do tamanho do primeiro, 2x.
Pelo teorema de Pitágoras, temos que:
102 = x2 + (2x)2
100 = x2 + 4x2
100 = 5x2
100/5= x2
20 = x2
x = √20 → x=2√5 Como o cateto maior é o dobro do menor, tem-se:
2x = 2. 2√5= 4√5
Somam-se os catetos e obtém-se a resposta final:
2√5 + 4√5= 6√5
3)
​​​​​​​Use seus conhecimentos sobre o teorema de Pitágoras e determine a medida, em centímetros, do lado DC do trapézio:
​​​​​​​
e)
36 cm
RESPOSTA CORRETA
4)
Determine o valor de x no triângulo retângulo:​​​​​​​​​​​​​​
​​​​​​​
a) 17
RESPOSTA CORRETA
Pelo teorema de Pitágoras, tem-se que:
(x – 2 )2 + (x – 9)2 = x2
x2 – 4x + 4 + x2 – 18x + 81 = x2
x2 – 22x + 85 = 0
Por Bháskara, tem-se que:
x’ = 17 e x’’ = 5
5 não serve, pois 5 - 9 = -4 , ficando o lado do triângulo com medida negativa.
5)
A relação entre objetos que formam entre si um ângulo reto é denominada:
d) perpendicularidade.
RESPOSTA CORRETA
Objetos que formam entre si um ângulo de 90° têm uma relação denominada perpendicularidade.
1)
Triângulos são classificados de acordo com as medidas de seus lados e ângulos.
Como você classificaria o triângulo a seguir?
d)
Isósceles e acutângulo.
RESPOSTA CORRETA
Esse triângulo tem dois lados congruentes, logo, é isósceles. Não há ângulo igual ou maior que 90°, logo, é acutângulo.​​​​​
2)
Imagine um triângulo isósceles que tem lados de 3cm e 8cm.
Determine o seu perímetro.
c)
19cm.
RESPOSTA CORRETA
O perímetro é a soma dos lados. Para calculá-lo, a terceira medida é necessária. Se o triângulo é isósceles, tem dois lados congruentes, assim, tem-se duas probabilidades: dois lados medindo 3 ou dois lados medindo 8.
Na primeira possibilidade:
3 - 3 - 8 
Veja que: 
3 + 3 < 8, não satisfazendo as condições de existência de um triângulo.
Segunda possibilidade:
3 - 8 - 8 
Observe:
8 < 3 + 8
3  < 8 + 8
Satisfazendo as condições de existência de um triângulo.
O perímetro é:
P = 3 + 8 + 8 = 19cm​​​​​​​​​​​​​​
3)
Ângulos internos e externos têm propriedades que são utilizadas para a solução de problemas.
Sendo assim, determine a medida do ângulo α do triângulo:
​​​​​​​
b)
30°.
RESPOSTA CORRETA
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180°, assim:
α + β + 103 = 180
Tem-se também que:
β + 133 = 180 → β = 47
Substituindo em α + β + 103 = 180
α + 47 + 103 = 180
α = 180 - 150
α = 30°​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
4)
Um triângulo isósceles tem sua base medindo 8cm e os lados congruentes têm medidas de 5cm.
Qual é a área desse triângulo?
e)
12cm².
5)
Apenas um grupo dos números dessa questão corresponde à medida dos lados de um triângulo.
Marque a única alternativa correta. 
c)
6cm, 4cm e 3cm.
RESPOSTA CORRETA
Para que um triângulo exista, é necessário que a soma dos dois lados seja maior que o terceiro lado.
Observe que:
→ 10cm, 4cm e 3cm. 3 + 4 < 10
→ 2cm, 7cm e 9cm. 2 + 7 = 9
→ 6cm, 4cm e 3cm
3 < 6 + 4
4 < 6 + 3
6 < 3 + 4
→ 10cm, 11cm e 23cm. 10 + 11 < 23
→ 1cm, 3cm e 7cm. 1 + 3 < 7​​​​​​​​​​​​
1)
Tem-se um quadrado Q e um retângulo R.
Sabendo que os dois têm a mesma área, determine o perímetro de cada uma das figuras.
d)
Perímetro de Q = 48cm; perímetro de R = 50cm.
RESPOSTA CORRETA
2)
Observe a figura a seguir e determine, em centímetros, a área da figura pintada de azul.
​​​​​​​
d)
96cm².
3)
No quadrilátero a seguir, determine a medida dos ângulos alfa e beta​​​​​​​, respectivamente.
​​​​​​​
b)
60° e 110°
4)
Um losango tem como diagonais as medidas dadas pela solução do sistema:
​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Determine qual é a área desse losango, em centímetros quadrados.
b)
10,5cm².
5)
Um terreno destinado a um espaço de lazer dentro de um grande condomínio tem o formato do quadrilátero ABDE da figura:​​​​​​​​​​
Sabendo que BC = 40m, CD = 30m, AB = 40m e AE = 36m, determine a área do espaço de lazer.
a)
1720m​​​​​​².
1)
Observe a circunferência c, com centro em C, e determine a denominação que se utiliza para o ângulo δ da figura.
d)
Ângulo central.
RESPOSTA CORRETA
O ângulo que tem como vértice o centro da circunferência é denominado ângulo central. Ângulos alternos internos estão na região interna das retas paralelas. Ângulos colaterais estão do mesmo lado de uma reta transversal. Ângulo circunscrito é aquele cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são tangentes a ela. O ângulo inscrito é formado quando duas retas secantes de um círculo intersectam o círculo por um ponto comum.
2)
Você recebe o pedido de ajuda de um amigo jardineiro, que deve preparar um novo espaço público, o qual consta com um magnífico jardim, tomado por várias espécies nativas brasileiras. O desenho que seu amigo quer implementar está na figura a seguir:
O espaço lilás é destinado às bromélias, e o jardineiro precisa saber a medida dessa área, sabendo que a área circular maior está inscrita em um quadrado com dois hectômetros de lado.
Fazendo o cálculo, utilizando π  = 3,14, a medida é aproximadamente:
b) 1,44hm2.
RESPOSTA CORRETA
A região que corresponde à circunferência maior tem um diâmetro de 2hm, portanto, o seu raio é de 1hm. Sua área é:
A = πr2
A  = π . 12
A = π
A ≅ 3,14hm2
Dando continuidade à resolução, percebe-se que o raio dos círculos menores equivale a um terço do raio maior, logo:
r2 = 1/3 r ≅ 0,33hm
Pode-se calcular agora a área de um dos círculos menores:
A2 = π(r2)2
A2 = π . 0,332
A2 = π . 0,1089
A2 ≅ 0,34hm2
Como são cinco círculos menores, com fundo branco, multiplica-se a área de um deles por 5:
A3 ≅ 5 . 0,34 ≅ 1,7
Agora, subtrai-se a área maior pela área menor, e a medida aproximada da área lilás é de:
​​​​​​​Alilás ≅ 3,14 – 1,7 ≅ 1,44hm2
3)
Você está reunido com seus colegas matemáticos e resolve pedir uma pizza. Quando você liga para a pizzaria, o atendente informa que a pizza tem 30cm de diâmetro e vai ser dividida em 8 pedaços.
A área de cada pedaço é de:
a)
225π/8cm.
RESPOSTA CORRETA
Se a pizza tem 30cm de diâmetro, tem 15cm de raio, assim, é possível definir sua área por:
A = 152π = 225π
Como são 8 pedaços: 225π/8cm.
4)
Considerando π como 3,14, calcule quantas voltas uma roda com 5cm de raio leva para percorrer 942cm.
e)
 30 voltas.
RESPOSTA CORRETA
Primeiro, calcula-se o comprimento da roda:
C = 2πr
C= 2 . 3,14 . 5 = 31,40
Agora, divide-se a distância pelo comprimento para obter o número de voltas:
​​​​​​​942 : 31,40 = 30
5)
Sabendo que o arco AB mede 140°, determine a medida do ângulo x:
b)
20°.
RESPOSTA CORRETA
O enunciado pede a medida x. Observe que, unindo os pontos B e C, cria-se um triângulo isósceles:
1)
Os polígonos podem ser classificados em relação ao número de lados que têm. Imagine um pentadecágono.
Quantas diagonais um pentadecágono tem?
d)
90.
RESPOSTA CORRETA
Um pentadecágono têm 15 lados. Já o número de diagonais Dde um polígono é dado por:
D = n(n -3)/2.
Em que n é o número de lados do polígono. Assim, tem-se que:  ​​​​​​​D = 15(15 - 3)/2 = 90.
2)
Duas arestas consecutivas de um polígono definem um ângulo interno entre elas.
​​​​​​​​​​​​​​Dado o polígono anterior, determine o valor de x.​​​​​​​​​​​​​​
b)
75°.
RESPOSTA CORRETA
Para resolver esse problema, é utilizada a soma dos ângulos internos. Olhando o polígono dado, a soma de seus ângulos internos é:
Si = x + 2x + 45 + 90 = 3x + 135.
A soma é dada por Si = (n - 2)180. Dado que nesse caso n = 4, tem-se que: Si = (4 - 2)180 = 360. 
Igualando as duas equações, fica-se com:
3x + 135 = 360.
3x = 225.
x = 75.
Assim, x equivale a 75°.
3)
Os polígonos têm ângulos internos e externos. Considerando a definição de ângulo externo como o replemento do interno, suponha o polígono a seguir.
​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​Qual é o valor de x?​​​​​​​​​​​​​​
b)
80°.
4)
Os polígonos podem ser classificados como regular ou não regular. Um polígono regular é aquele cujos lados e ângulos são congruentes.
Dado um polígono regular com n lados, qual é o seu ângulo externo?
d)
e = ((n + 2)∙180°)/n.
RESPOSTA CORRETA
A soma dos ângulos externos de um polinômio qualquer é dada por Se = (n + 2)∙180°. Mas, como o polígono é regular, os seus ângulos externos são iguais, ou seja:
e1 = e2 = ⋯ = en = e.
Assim, a soma de todos os ângulos internos seria:
Se = e1 + e2 + ⋯ + en = e + e + ⋯ + e = n∙e.
Igualando as duas equações, fica-se com:
(n + 2)∙180° = n∙e.
Ou seja,
e = ((n + 2)∙180°)/n.
5)
Os polígonos podem ser côncavos ou convexos, podendo ser classificados pelo número de lados.
Dado o seu conhecimento sobre polígonos, assinale a alternativa correta.
e)
Um quadrado é um polígono convexo.
RESPOSTA CORRETA
Um polígono é definido como um conjunto de pontos de uma linha poligonal fechada e de seu interior. Eles podem ser convexos ou côncavos, além de classificados pelo número de lados n. Acima de 20, geralmente são chamados de “polígonos de n lados”.    
O número de diagonais em um polígono é dado por: 
D = n(n - 3)/2.
Já a soma dos ângulos internos é: 
Si = (n - 2)∙180°.
O quadrado é um exemplo de polígono convexo.
1)
As retas podem ser classificadas conforme sua posição no espaço.
Dados os 4 casos mostrados a seguir, assinale a alternativa que corresponde às retas concorrentes.
​​​​​​​
c)
I e IV.
RESPOSTA CORRETA
Duas retas r e s são concorrentes se forem coplanares e tiverem apenas um ponto P em comum, ou seja, r∩s=. Assim, os casos com retas concorrentes são: I e IV. O caso II mostra retas paralelas, já o caso III mostra retas reversas.
2)
As retas no espaço podem ser classificadas em paralelas, concorrentes e reversas.
Considerando as retas reversas, assinale a alternativa correta.
e)
As retas reversas situam-se em planos diferentes.
RESPOSTA CORRETA
As retas reversas situam-se em planos diferentes. Assim, não têm pontos em comum, nem ângulos entre elas. As retas reversas também não são paralelas.
As retas reversas não se cruzam, mas suas projeções podem exibir ângulos entre si.
3)
Suponha duas retas paralelas r e s. Uma reta transversal às duas definem os ângulos mostrados a seguir.
Sendo assim, qual é o valor de x?​​​​​​​
b)
80°.
RESPOSTA CORRETA
Quando há uma reta transversal a outras duas paralelas, os ângulos alternos externos são congruentes.
Assim:
x - 20 = 100
x = 80
4)
Retas paralelas, quando atravessadas por uma transversal, definem entre si 8 ângulos. Entre eles, há ângulos congruentes e suplementares.
Dado que as retas r e s são paralelas, e a reta t é transversal, determine o valor de x.
​​​​​​​​​​​​​​
d)
50°.
RESPOSTA CORRETA
Sabe-se que o ângulo α é igual a 50° + x. E que α + 30° + x = 180°.
5)
Sobre retas no espaço, assinale a alternativa correta.
c)
As retas concorrentes apresentam apenas um ponto em comum.
RESPOSTA CORRETA
As retas paralelas não têm pontos em comum. As retas coincidentes têm todos seus pontos em comum. Já as retas concorrentes são coplanares e apresentam apenas um ponto em comum, podendo ser perpendiculares. As retas reversas, embora estejam em planos diferentes, podem ser paralelas.
1)
As retas podem ser classificadas em relação à sua posição no espaço. Observe a figura a seguir e considere que r//t e s//t.
Sobre as retas r e s, é correto afirmar:
a)
São coplanares e paralelas.
RESPOSTA CORRETA
A figura mostra três retas coplanares. Se r//t e s//t, por consequência, é possível afirmar que r e s também são paralelas entre si. Veja que, se elas são paralelas, não podem ser concorrentes e, como são coplanares, não podem ser reversas.
2)
Considerando que retas e planos podem se cruzar no espaço, que objetos geométricos resultam da intersecção entre uma reta perpendicular e um plano e entre dois planos infinitos perpendiculares entre si, respectivamente?
c)
Um ponto e uma reta.
RESPOSTA CORRETA
Uma vez que retas e planos podem se cruzar no espaço, a resultante da intersecção é um ponto e a resultante da intersecção de dois planos infinitos perpendiculares é uma reta. Essas intersecções não podem ser um semicírculo nem um segmento de reta, já que os planos são infinitos.
3)
Considerando que as retas podem interceptar planos, observe a figura a seguir e, em seguida, marque o item que indica os pares de retas perpendiculares.
​​​​​​​​​​​​​​
b)
 a e b.
 a e c.
 b e c.
RESPOSTA CORRETA
A figura mostra a reta c cruzando o plano no ponto P, em que passam mais duas retas, a e b. Veja que c é perpendicular ao plano e que a é perpendicular à reta b. Assim, pode-se encontrar três pares de retas perpendiculares entre si: a e b, a e c, b e c.
4)
Retas e planos podem ser classificados conforme suas posições entre si. Sabendo disso, analise a figura a seguir.
​​​​​​​
Como α//β e r é perpendicular a β, o que se pode afirmar sobre r e α?
e)
A reta r é perpendicular ao plano α.
RESPOSTA CORRETA
A reta r atravessa dois planos paralelos, α e β, sendo também perpendicular ao plano β. Assim, ela não pertence a esses planos e tem um ponto em comum com cada um deles. Por consequência, ela também será perpendicular a α e, se a reta é perpendicular a α, ela não pode ser paralela. Considerando que a reta atravessa os planos, ela apresenta um ponto de intersecção com cada plano e, também, não está contida nelas, não coincidindo a nenhuma reta pertencente a esses planos. 
5)
​​​​​​​Uma reta que intercepta um plano e é perpendicular também pode ser ortogonal a outras retas desse plano. Observe a figura a seguir e marque o item que apresenta as retas ortogonais à reta t.
​​​​​​​​​​​​​​
d)
u.
RESPOSTA CORRETA
A reta t é perpendicular ao plano e intercepta as retas r e s. Assim, ela é perpendicular à r e s e ortogonal à reta u. A reta t também pode ser concorrente ou reversa à reta v, caso elas sejam coplanares ou não.
1)
As retas e as semirretas no espaço têm ângulos entre si. Observe a figura a seguir.
Qual afirmação está correta?​​​​​​​
​I) O = r∩s
II) As semirretas r e s são reversas
III) As semirretas r e s são perpendiculares
IV) O ângulo θ é menor que 90°
d)
As afirmativas I e IV estão corretas.
RESPOSTA CORRETA
As semirretas r e s se cruzam no ponto O, assim O = r∩s. Portanto, elas são concorrentes, não podendo ser reversas.
As retas concorrentes formam dois ângulos suplementares e o ângulo entre elas é o menor, ou seja, como deve ser o menor ângulo, será sempre agudo ou reto, nunca obtuso. Sendo assim, o ângulo θ é menor que 90°: elas não são perpendiculares. Logo, as afirmações I e IV são corretas.
2)
As retas concorrentes se cruzam em um ponto e definem 4 ângulos com esse ponto. Veja a figura a seguir.
​​​​​​​​​​​​​​
Assinale a alternativa correta.
d)
Os ângulos α e γ são congruentes.
RESPOSTA CORRETA
As concorrentes formam 4 ângulos entre si:
3)
Suponha um ponto P e uma reta r:
​​​​​​​
Você pode desenhar diversos caminhos entre P e r, mas apenas um deles terá a menor distância.
Assinale o menor caminho entre o ponto P e a reta r.
b) a2.
RESPOSTA CORRETA
A menor distância entre um ponto e uma reta é o comprimento do segmento de reta que une o ponto P e a reta, formando um ângulo de90° com esta. Assim, o menor caminho é o a2.
4)
Os planos, como os pontos e as retas, também têm uma distância entre eles.
Dada a imagem a seguir, qual segmento de reta melhor representaria a menor distância entre os planos α e β ?​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​​
a)
AB.
RESPOSTA CORRETA
A distância entre dois planos paralelos é entre um ponto qualquer de um deles com o outro plano.
Assim, o segmento da figura que representa a menor distância é AB.
5)
As retas e os planos apresentam distância e angulações entre si.
Dada a figura a seguir, qual a menor distância entre a reta r e o plano α?
​​​​​​​​​​​​​​
e)
Distância nula.
RESPOSTA CORRETA
Como a reta e o plano se intersectam, eles têm um ponto em comum, o ponto P. Portanto, a menor distância entre eles é nula.
1)
As pirâmides são poliedros constituídos por uma base, cujas laterais definem um vértice em comum. Suponha que você tenha uma base formada por um polígono de n lados.
Qual é o número de arestas dessa pirâmide em relação a n?
b)
2n.
2)
Os poliedros são constituídos por faces poligonais. Suponha que você tenha um poliedro convexo com 8 faces. Cinco delas são triângulos e três delas são pentágonos.
Quais são os números de vértices e arestas desse poliedro?
d)
V = 9 e A = 15.
RESPOSTA CORRETA
O número de faces desse poliedro é F = 8.
O número de lados dos polígonos que constituem o poliedro é:
L = 5 x 3 + 3 x 5 = 15 + 15 = 30
Como cada polígono divide suas laterais com outros polígonos, o número de arestas do poliedro é igual a quantidade de lados dos polígonos dividido por dois, ou seja, A = L/2 = 30/2 = 15.
Para encontrar a quantidade de vértices, é possível usar a relação de Euler, assim:
V - A + F = 2
V = 2 - F + A = 2 - 8 + 15 = 9
3)
Os poliedros podem ser denominados pela sua quantidade de faces. Suponha que um poliedro tenha 30 arestas e 12 vértices.
Qual é a denominação desse poliedro?
e)
Icosaedro.
RESPOSTA CORRETA
Tem-se que A = 30 e V = 12. É possível encontrar o número de faces pela relação de Euler. Assim:
V - A + F = 2
F = 2 - V + A
F = 2 - 12 + 30 = 20
Esse polígono é um icosaedro.
4)
Um cubo é um poliedro regular. Suponha que um cubo tenha 600cm2 de área.
Qual é a medida em centímetros de suas arestas?
a)
10.
RESPOSTA CORRETA
Considere as laterais do cubo como x. A área de cada lateral, então, é x2. Dado que o cubo tem 6 faces, sua área total é:
A = 6 x2
A área total dada é de 600cm2. Assim, tem-se que:
​​​​​​​A = 6 x2 = 600
x2 = 100
x = 10cm
5)
Os paralelepípedos são poliedros, podendo ser retos ou oblíquos. Veja o poliedro a seguir.
Dado que x = 30°, a = 5cm, b = 10cm e c = 5cm, qual é a sua área total?
​​​​​​​
b)
225.
RESPOSTA CORRETA
As áreas das faces da frente a das costas serão:
A = a h = a c sen(x)
A área total será:
At = 2 a c sen(x) + 2b c + 2 a b
Substituindo os valores, encontra-se que:
​​​​​​​At = 2 5 5 sen(30) + 2 10 5 + 2 5 10
At = 50 1/2 + 100 + 100 = 25 + 200 = 225cm2
1)
Os paralelepípedos têm diversas características, como dimensões, área e volume.
Dado o paralelepípedo a seguir, encontre o seu volume e a área total.
​​​​​​​​​​​​​
c)
1.200m3 e 800m2.
RESPOSTA CORRETA
A área total é a soma das áreas de cada uma das faces. Assim:
A = 2 ∙ 20 ∙ 5 + 2 ∙ 12 ∙ 5 + 2 ∙ 20 ∙ 12 = 200 + 120 + 480 = 800m2
O volume é dado pela multiplicação das 3 dimensões. Assim:
V = 20 ∙ 12 ∙ 5 = 1.200m3
2)
O cubo é um caso particular quando o paralelepípedo tem todas as suas arestas do mesmo tamanho. Suponha o cubo a seguir de aresta a = 10m.
Se aumentar suas arestas em 10%, qual será o aumento percentual de seu volume?
e)
33%.
RESPOSTA CORRETA
O volume do cubo com arestas de 10m é:
V = 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1.000m3
Se aumentar as arestas em 10%, elas terão tamanho:
a' = 10 + 0 ∙ 1 ∙ 10 = 10 + 1 = 11m
E seu novo volume será:
V = 11 ∙ 11 ∙ 11 = 1.331m3
O aumento percentual do volume será dado por:
∆V% = (1.331 - 1000)/1.000 = 33,1%
Ou seja, um aumento de aproximadamente 33%.
3)
Suponha uma caixa d’água cúbica com aresta medindo 2,2m, completamente cheia.
Se você retirar 1.000l de água, quanto o nível de água irá diminuir? Considere 1dcm3 = 1l.
a)
0,2m.
RESPOSTA CORRETA
Você pode calcular o nível da água usando o volume dos 1.000l retirados, ou seja:
V = 2,2 ∙ 2,2 ∙ h = 1.000l = 1.000dcm3
4,84 ∙ h = 1.000 0,13m3
4,84 ∙ h = 1
h = 1/4,84 ~ 0,21m
4)
Os silos são utilizados em sítios e fazendas para armazenamento de grãos. Suponha que em uma fazenda tenha sido construído o silo mostrado na figura a seguir.
​​​​​​​Dado que B = 6m, b = 4m, h = 5m e C = 10m, qual é o volume do silo?
b)
250.
RESPOSTA CORRETA
O silo mostrado tem um formato de prisma. Assim, é possível calcular seu volume multiplicando a área da base pela altura.
Considere a área da base como o trapézio mostrado como a face frontal no desenho. Assim, sua área será:
A_b = ((B + b) ∙ h)/2 = (( 6 + 4) ∙ 5)/2 = 25 m2
Agora, o volume será:
V = A_b ∙ C = 25 ∙10 = 250m3
)
Um poliedro pode ser uma pirâmide, como mostrado na figura a seguir. A pirâmide tem base quadrada.
​​​​​​​Qual é o volume da pirâmide dada?
a)
100√11/3.
RESPOSTA CORRETA
O volume de uma pirâmide é dado por:
V = (A_b h)/3
A base é formada por um quadrado, cuja área é:
A_b = 10 ∙ 10 = 100
A altura será:
62 = 52 + h2
h2 = 36 - 25 = 11
h = √11
V = (100√11)/3
1)
Muitos contêineres de armazenagem apresentam formatos cilíndricos e são feitos de chapas metálicas. O tamanho dessas chapas está relacionado às àreas de superfícies desejadas do contêiner. Dado o cilindro a seguir, calcule sua área total de superfície em metros quadrados. Em seguida, marque o item que apresenta o resultado correto. Considere π = 3,14.​​​​​​​
b)
471.
2)
Muitas caixas d'água industriais têm formato cilíndrico. Além da estrutura, geralmente é necessária uma escada lateral para manutenção, com comprimento igual à altura do objeto.
Suponha que o cilindro a seguir represente uma caixa d'água. A área de um cilindro depende do raio da base e da sua altura. Sabendo que o cilindro mostrado tem área igual a 785m2, qual é sua altura em metros? Considere π = 3,14.
​​​​​​​
a)
20.
3)
Fazendas de grãos apresentam silos (geralmente em formato de cone reto) de armazenagem. A quantidade de grãos que caberá em um silo depende de sua área.
Os cones retos podem ser entendidos como sólidos de revolução, e sua área depende do raio de sua base, altura e geratriz. Dado o cone a seguir, encontre sua área em metros quadrados. Considere π = 3,14.
​​​​​​​​​​​
c)
209,12.
)
Para se encontrar a área lateral de sólidos de revolução, uma metodologia usada é planificar o objeto. Um sólido de revolução, então, pode ser "aberto" e planificado, o que facilita os cálculos de suas dimensões.
A área lateral do cone, quando planificada, se torna um setor circular. Supondo que a área lateral do cone a seguir seja de 626m2, qual é o valor de sua geratriz em metros?
​​​​​​​
e)
20.
5)
Provavelmente você já se deparou com gotículas de água depositadas em alguma superfície, seja um respingo no ladrilho durante o banho, seja uma gota de orvalho em uma manhã fria.
Geralmente essas gotas são pequenas, com um pequeno volume de água nelas.
Considere uma gota d’água cujo formato se aproxima ao de uma meia esfera. Sabendo que a área dessa gota é de 157mm², qual é o seu raio em mm?
e)
5.
1)
O volume é a característica de sólidos em 3 dimensões, incluindo os sólidos de revolução. Suponha um cilindro de altura igual a 1m e diâmetro igual a 6m.
Qual é o volume desse sólido em metros cúbicos? Considere π = 3,14.
b)
282,6.
)
O cilindro reto pode ser pensado como um sólido de revolução. Suponha que um quadrado de 10cm de lado seja rotacionado em torno de um dos seus lados.
Encontre o volume do sólido gerado por uma rotação completa desse quadrado em centímetros cúbicos. Considere π = 3,14.
a)
3.140.
RESPOSTA CORRETA
O quadrado rotacionado resultará em um cilindro. O lado do quadrado será equivalente ao raio da base e também à altura do cilindro. Portanto, o volume será:
V = π102 10 = 3.140 cm3.
3)
O cone é um exemplo de sólido de revolução. Dado o cone a seguir, qual é o seu volume emmetros cúbicos? Considere π = 3,14.
​​​​​​​​​​​
c)
84.
RESPOSTA CORRETA
O volume do cone é dado por:
Vcone = (πr2 h)/3.
Substituindo os valores, tem-se:
Vcone = (π22 20)/3 = 83,73 m3.
Assim, o volume do cone é aproximadamente 84 m3.
4)
A esfera é um sólido de revolução, e o seu volume pode ser demonstrado utilizando o princípio de Cavalieri. Suponha uma esfera inscrita em um cubo, como mostrado na figura a seguir.
Se o lado do cubo tiver comprimento igual a 10cm, qual será o volume da esfera? Considere π = 3,14.
​​​​​​​
e)
523,33.
RESPOSTA CORRETA
A figura a seguir mostra o esquema de um corte vertical, passando pelo seu centro, da esfera inscrita no cubo. O raio da esfera é igual ao lado do quadrado dividido por dois.
O volume da esfera é dado por:
V = 4/3 πR3.
Substituindo os valores, tem-se:
V = 4/3 π53 = 523,33 cm3.
5)
No verão, tomar sorvete pode ser refrescante. Em uma semana, você tomou o total de 5 sorvetes. Qual é o volume de sorvete consumido em mL?
Suponha o formato do sorvete como a figura mostrada a seguir. Considere π = 3,14 e 1L = 1dm3.
​​​​​​​
d) 659,4.