Caderno 2 - 1º ano NEM

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MATEMÁTICA E 
SUAS TECNOLOGIAS
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A evolução dos organismos vivos 1
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SUAS TECNOLOGIAS
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KDireção Presidência: 
Mário Ghio Junior
Direção Editorial: 
Lidiane Vivaldini Olo
Gestão de Unidade de Negócios: 
Claudia Regina Baleiro Rossini 
Gestão de Projeto Editorial:
Renato Tresolavy
Coordenação de Projeto Pedagógico:
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Who is Danny/ Shutterstock 
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© SOMOS Sistema de Ensino S.A.
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
(Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil)
Ensino médio : 2 : professor : Matemática e suas
tecnologias / obra coletiva : responsável Renato Luiz 
Tresolavy. -- 2. ed. -- SOMOS Sistemas de Ensino, 2020.
Bibliografia
ISBN: 978-85-9532-016-1
1. Matemática – (Ensino Médio) - Estudo e ensino I.
Tresolavy, Renato Luiz
20-1540 CDD 510.7
Angélica Ilacqua CRB-8/7057
2020
1ª edição
1ª impressão
Impressão e acabamento
Uma publicação
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 2Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 2 13/03/2020 02:06:1513/03/2020 02:06:15
INTRODUÇÃO
A etapa final da Educação Básica vem apresentando grandes desafios para o Brasil. 
Constata-se hoje que o Ensino Médio não corresponde aos anseios de quase dois 
milhões de jovens que não ingressam ou, após iniciar, desistem – há evasão de 11%, 
segundo o Censo Escolar 2014/2015 (Inep, 2017).
Na atualidade, o modelo curricular em vigência e as práticas desenvolvidas difi-
cilmente motivam as novas gerações de nativos digitais imersos em ambientes com 
ampla oferta de tecnologias, possibilidades múltiplas de interação, articulação e pro-
dução de conhecimento.
A escola brasileira não tem acompanhado essas mudanças, que afetam não so-
mente comportamentos como também processos cognitivos, modos de aprender, 
ser e conviver. O projeto Itinerários do Novo Ensino Médio pauta-se no artigo 81 da 
Lei de Diretrizes e Bases (lei no 9 394/96) e atende às demandas da nova legislação 
(lei no 13 415/2017). 
A reforma do Ensino Médio preconiza a articulação de formação geral e forma-
ção técnica e se revela uma grande oportunidade de formular um itinerário educa-
tivo conectado ao mundo do trabalho. O objetivo é preparar adolescentes e jovens 
para as profissões existentes, além de ocasionar reflexões sobre as transformações 
das carreiras e o desenvolvimento de novos campos de atuação profissional, espe-
cialmente para a indústria nacional e internacional.
Uma escola que envolva crianças, adolescentes e jovens e os torne protagonistas 
das práticas educativas se faz fundamental para oferecermos a Educação Básica de que 
necessitam cada brasileiro e o país. Portanto, é essencial ter clareza de que os conheci-
mentos não se resumem à mera listagem de conteúdos fracionados e isolados a serem 
ensinados pelos professores e aprendidos pelos estudantes. Importa à escola proporcio-
nar a construção de uma vida social, cultural, tecnológica que permita o ingresso dos 
jovens no mundo do trabalho e possibilite a continuidade de estudos em nível superior.
O Ensino Médio fragmentado em disciplinas especializadas e que raramente esta-
belecem diálogo entre si e com a realidade cotidiana não é atrativo nem significativo 
para nossos estudantes. É necessário mudar! Por esse motivo, o projeto Itinerários do 
Novo Ensino Médio propõe uma experiência pedagógica com currículo organizado 
por áreas de conhecimento e objetivos de aprendizagem que se relacionem à constru-
ção de competências e habilidades estreitamente relacionadas à vivência social e aos 
itinerários de formação técnica e profissional.
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Matemática e suas Tecnologias
APRESENTAÇÃO
O conhecimento matemático é importante para os alunos do Ensino Médio, 
uma vez que tem inúmeras aplicações na sociedade, além de ser responsável pela 
formação de cidadãos críticos. 
A área da Matemática e suas Tecnologias proporciona uma educação ampara-
da no desenvolvimento de competências e habilidades, articulada com a formação 
geral e técnica, busca aplicação dos conhecimentos às mais diversas situações do 
cotidiano e torna o processo de ensino e aprendizagem mais significativo. Essa 
abordagem possibilita aos estudantes o desenvolvimento dos conhecimentos ne-
cessários para a plena compreensão de fatos e fenômenos e contribui para o êxito, 
no ingresso no mundo do trabalho e no Ensino Superior.
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Eixo: O uso da Geometria: contexto e aplicações
SUMÁRIO
1 POSIÇÕES E REPRESENTAÇÕES
NO ESPAÇO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Noções primitivas e seus postulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Determinação de retas e planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Posições relativas entre duas retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Posições relativas entre reta e plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Posições relativas entre dois planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Perpendicularidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Projeções ortogonais sobre um plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Distâncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Ângulos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 REPRESENTAÇÕES PLANAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Quadriláteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Soma de ângulos internos e externos 
de um polígono convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Número de diagonais de um polígono convexo . . . . . . . . . . . 54
Semelhança de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Circunferência e círculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3 POLIEDROS E APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Poliedros. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Prismas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Pirâmides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4 CORPOS REDONDOS E APLICAÇÕES . . . . . . . . . . . . . 101
Corpos redondos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
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FALTA IMAGEM
EIXO
O USO DA GEOMETRIA: 
CONTEXTO E APLICAÇÕESD5_SESI20_EM1_REF_MAT_CAD2_Cap1.indd 6D5_SESI20_EM1_REF_MAT_CAD2_Cap1.indd 6 13/03/2020 15:57:0413/03/2020 15:57:04
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COMPETÊNCIAS E HABILIDADES
 ▶ COMPETÊNCIAS
C3 - Utilizar conhecimentos geométricos para visualizar e representar partes do mundo real, compreender e construir modelos em 
múltiplos contextos.
C6 - Reconhecer e utilizar adequadamente na forma oral e escrita os instrumentos matemáticos.
 ▶ HABILIDADES
H17 - Identificar representações geométricas, planas e espaciais, para leitura, compreensão e ação sobre a realidade.
H18 - Utilizar formas geométricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, como peças mecânicas, embalagens 
e construções.
H19 - Interpretar e associar objetos sólidos a suas diferentes representações bidimensionais, como projeções, planificações, cortes e 
desenhos.
H20 - Analisar e interpretar figuras planas (como desenhos, mapas, plantas de edifícios) e utilizar propriedades geométricas relativas 
aos conceitos de congruência e semelhança de figuras.
H21 - Identificar e utilizar diferentes formas e propriedades geométricas para medir, quantificar e fazer estimativas de comprimentos, 
áreas e volumes em situações reais.
H22 - Efetuar medições, reconhecendo, em cada situação, a necessária precisão de dados ou de resultados e estimando margens de erro.
H32 - Ler, interpretar e produzir textos para aprender Matemática e aprender Matemática para ler diferentes gêneros textuais.
H33 - Relatar, analisar e sistematizar eventos, fenômenos, experimentos ou questões por meio de comunicações orais ou escritas.
H34 - Analisar, argumentar e posicionar-se criticamente em relação a temas cotidianos, de ciência e tecnologia, utilizando instrumentos 
matemáticos.
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Falta título cap8
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POSIÇÕES E REPRESENTAÇÕES
NO ESPAÇO
1
Competências
▶ C3 e C6
Habilidades
▶ H17, H18, H19, H22, H32, H33 e H34
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 9
Na fotografia a seguir, é possível identificar dezenas de elementos geométricos, e a cada novo 
olhar, muitos outros poderiam se revelar. “Educando” nosso olhar, perceberemos que a Geometria 
está presente em nossa paisagem diária.
Ponte estaiada Octávio Frias 
de Oliveira, em São Paulo.Dos conteúdos teóricos da Matemática, poucos são tão observáveis no trato cotidiano como 
a Geometria, seja ela plana ou espacial. Facilmente reconhecemos em uma paisagem urbana for-
mas como quadrados e cubos, paralelogramos e paralelipípedos, triângulos e pirâmides, círculos 
e esferas etc. 
Desde a Antiguidade, a Geometria é objeto de estudos. Matemáticos como Euclides (séc. III a.C.) 
se debruçaram sobre as questões geométricas e estabeleceram entes abstratos com os quais come-
çaram a construir uma teoria organizada sobre o assunto. A Geometria acompanhou a humanidade 
em seu desenvolvimento, dos babilônios aos chineses, passando pelos hindus, desde as demarcações 
de terra até os estudos astronômicos. As pirâmides são prova de como a Geometria já era algo em-
piricamente empregado na engenharia da época.
Na Grécia, Pitágoras e Tales também podem ser considerados grandes geômetras, com os teo-
remas atribuídos a eles.
Embora os pais da Geometria pretendessem enunciar entes geométricos de modo rigorosa-
mente definido, três desses entes se destacam por serem conhecidos intuitivamente: ponto, reta e 
plano, pois não possuem definição própria. 
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O uso da Geometria: contexto e aplicações10
Observe os exemplos a seguir:
 NOÇÕES PRIMITIVAS E SEUS POSTULADOS
Vamos estudar neste capítulo, de forma adimensional, os conceitos e algumas propriedades de 
entes geométricos como pontos, retas, planos, ângulos e outros.
As noções primárias de Geometria, também chamadas noções primitivas, são as de ponto, 
reta e plano.
A
s
a
Ponto A Reta s Plano a
 
Podemos representar uma reta por um segmento de reta com ou sem duas pontas de seta.
A seguir, observe alguns postulados que relacionam ponto, reta e plano.
Postulado da existência
 ▶ Existe reta, e tanto na reta, como fora dela, a quantidade de pontos é infinita.
 ▶ Existe plano, e tanto no plano, como fora dele, a quantidade de pontos é infinita.
Acesse a aula mais detalhada so-
bre os primeiros axiomas (pos-
tulados) de geometria plana. 
Disponível em: <https://www.
i m e . u n i c a m p . b r / ~ j a r d i m /
ma620/ma620aula1.pdf>. Aces-
so em: 07 jan. 2020.
PARA AMPLIAR
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Uma visão em 
perspectiva de um 
campo de futebol 
pode ilustrar o conceito 
de plano, bem 
como elementos de: 
circunferência, retas, 
pontos e ângulos.
Da mesma forma que, ao fixarmos nossos olhos na linha do horizonte, 
podemos ter a noção de reta.
Devido à distância que nos separa das estrelas, ao olharmos para o céu noturno, 
podemos nos referir às estrelas, intuitivamente, como pontos.
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 11
Postulado da determinação
 ▶ Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
A B
s
 s = AB
! "#
 
 ▶ Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
T
V W
β
b = (T, V, W)
Postulado da inclusão
Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida nesse plano.
A
B r
α
(A ¹ B, r = AB
! "#
, A � a, B � a) Þ r Ì a
Postulado das paralelas
Por um ponto não pertencente a uma determinada reta passa uma única reta paralela a 
essa reta.
T
s
v
Na figura acima, a reta dada é a reta v; então, temos: T ∈ s, s//v, s é única.
O Postulado de Euclides (300 a.C.), como é conhecido, é o principal fundamento que caracteriza 
a Geometria Euclidiana.
 DETERMINAÇÃO DE RETAS E PLANOS
Observe, a seguir, os casos em que retas e planos podem ser definidos.
Retas
Dois pontos distintos determinam uma só reta que passa por eles. Também dizemos que uma 
reta pode ser definida por um ponto pertencente a ela e uma direção.
Na representação abaixo, podemos observar que, para se determinar a reta t, é suficiente que 
tenhamos um ponto R ∈ t e a direção de t dada pela reta v, paralela à reta t.
R
t
v
Postulado:
Princípio ou fato não comprovado 
que se admite como verdade.
GLOSSÁRIO
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O uso da Geometria: contexto e aplicações12
Planos
Um plano pode ser determinado pelos elementos descritos em cada caso a seguir.
▶ Três pontos não colineares.
A
A
B
C
B
C
α
a = (A, B, C) 
▶ Uma reta e um ponto fora dela.
Basta considerar dois pontos distintos A e C em uma reta r, um ponto B fora dela e o plano 
formado por A, B e C. Assim, temos que a = (r, B).
α
B
C
A
▶ Duas retas concorrentes.
Dadas duas retas, v e t, concorrentes no ponto P. Tomemos um ponto A em v e um ponto 
B em t, ambos distintos de P. Então, o plano a = (A, B, P) é o plano definido por t e v, isto é, 
a = (t, v).
t � v = P A � v, B � ta = (t, v)
α
P
B
A
t
v
P
B
A
t
v
P
t
v
▶ Duas retas paralelas distintas.
Inicialmente, consideramos que as duas retas paralelas são coplanares, isto é, estão no mesmo 
plano. Para mostrar que o plano é único, tomamos dois pontos distintos, P e Q em uma das retas 
e um ponto R na outra reta. Dessa forma, o plano a = (P, Q, R) é determinado pelas retas t e v, isto 
é, a = (t, v).
t // v P � t, Q � t, R � v a = (t, v)
Q
R
P
t
v
Q
R
P t
v
t
v
α
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1
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 13
 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS
Retas concorrentes
Duas retas, em um mesmo plano, são concorrentes quando têm um único ponto em comum.
α
P
r s
r � s = P
Retas coincidentes
Duas retas, em um mesmo plano, são coincidentes quando são equivalentes a uma única reta, 
isto é, têm todos os pontos em comum.
r = sr � s = r = s
Retas paralelas
Duas retas distintas são paralelas quando são coplanares e não têm ponto em comum.
α
s
r
r Ì a, s Ì a
r Ç s = �
Retas reversas
Duas retas são reversas quando não há plano que as contenha.
s r
r � s = �; Não existe plano que contenha r e s.
L
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O uso da Geometria: contexto e aplicações14
 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO
Reta contida no plano
Uma reta está contida em um plano quando todos os pontos dessa reta pertencem ao plano.
A
B r
α
r Ì a
r � a = r
Reta e plano secantes ou concorrentes
Um plano e uma reta são secantes ou concorrentes quando têm um único ponto comum.
P
r
α
r � a = P
Reta e plano paralelos
Uma reta e um plano são paralelos quando não possuem ponto em comum.
s
α
r
r � a = �
r // a
Teorema: Se uma reta a não está contida em um plano a e é paralela a uma reta b contida 
nesse plano, então, a é paralela ao plano.
a � a, b Ì a, a // b Þ a // a
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Teorema:
Proposição científica que pode ser 
demonstrada.
GLOSSÁRIO
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 15
 POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS
Planos coincidentes
Dois planos são coincidentes quando equivalem a um mesmo plano, ou seja, têm todos os 
pontos em comum.
α β=
a � b = a = b
Planos secantes ou concorrentes
Dois planos são secantes ou concorrentes quando são distintos e possuem intersecção não 
vazia. A intersecção de dois planos secantes é uma reta.
α
r
β
a � b = r
Planos paralelos
Dois planos são paralelos quando não têm ponto em comum.
α
β
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2
1
2
a // b
a � b = �
Teorema: Se um plano a contém duas retas concorrentes, r e s, ambas paralelas a um plano b, 
então a e b são paralelos distintos.
r ⊂ α
s ⊂ α
r ∩ s = P
r // β
s // β
⎫
⎬
⎪
⎪⎪
⎭
⎪
⎪
⎪
 α / / β
β
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P
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O uso da Geometria: contexto e aplicações16
 PERPENDICULARIDADE
Retas perpendiculares
Dizemos que duas retas são perpendiculares quan-
do elas são concorrentes e formam um ângulo de 90°, 
entre si, no ponto em que se cruzam.
Reta e plano perpendiculares
De maneira geral, podemos afirmar que:
1. Uma reta é perpendicular a um plano quando é 
perpendicular a todas as retas desse plano que passam 
pelo seu ponto de intersecção com ele.
2. Se uma reta é perpendicular a duas retas concor-
rentes de um plano, então, ela é perpendicular ao plano.
3. Se uma reta é perpendicular a um plano, então 
qualquer reta paralela a ela também é perpendicular a 
esse plano.
4. Se dois planos distintos são paralelos entre si, 
então, toda reta é perpendicular a um deles é perpen-
dicular ao outro.
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
r
α
O
α
α
r
t t
P
s
α
αr αs
t
s
α r
r
r
β
b ^ r
a ^ r
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 17
Planos perpendiculares
Para facilitar a compreensão do perpendicularismo entre planos, vamos analisar a figura a seguir.
α2
α1
α3
α4
β
Os planos a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, ... contêm a reta r e são perpendiculares ao plano b.
Assim, podemos concluir que:
Se uma reta é perpendicular a um plano, então, todo plano que contém essa reta é perpendi-
cular ao primeiro.
Agora, veja o exemplo a seguir.
α r
β
Se uma reta r é perpendicular a um plano b, o plano a, ao qual r pertence, também será per-
pendicular a b.
Com base no exemplo acima, podemos concluir que: 
Dois planos são perpendiculares entre si quando um deles contém uma reta perpendi-
cular ao outro.
Observe, a seguir, outra propriedade de perpendicularidade.
A cantoneira abaixo pode representar a seguinte situação: dados os planos a e b, cuja inter-
secção é a reta r, e o plano g perpendicular aos planos a e b, então, podemos observar que g é 
perpendicular a r.
r
αβ
Υ
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações18
PARA CONSTRUIR
1 Identifique as figuras: utilize P para figuras planas e E para figuras espaciais.
a)
b)
c)
d)
e)
f )
g)
h)
Resposta: a) P, b) P, c) E, d) E, e) E, f) P, g) P, h) E
2 Procure, no ambiente em que você está, objetos de formatos variáveis que se pareçam com figuras geométricas planas e espa-
ciais e descreva quais encontrou.
Resposta pessoal.
3 Classifique como verdadeiras ou falsas as afirmações a seguir.
a) Duas retas distintas que têm um ponto comum são concorrentes. ( V )
b) Duas retas distintas sem pontos comuns são paralelas sempre. ( F )
c) Duas retas que determinam um plano são concorrentes ou paralelas. ( V )
d) Duas retas reversas podem ter ponto comum. ( F )
H17
H18
H32
FAÇA VOCÊ MESMO
1 Indique se cada sentença abaixo é verdadeira (V) ou falsa (F).
a) Dado um ponto, somente uma única reta passa por ele. ( F )
b) Dado um ponto, existem infinitas retas que o contêm. ( V )
c) Dados dois pontos distintos, existe um plano que os contém. ( V )
d) Três pontos desalinhados determinam três retas. ( V )
e) Três pontos desalinhados determinam um plano. ( V )
f ) Três retas determinam um plano. ( F )
2 Comumente encontramos bancos com quatro pernas, que, mesmo estando posicionadas em um piso plano, podem “balançar”, 
necessitando de um calço sob uma das pernas. Baseado no conhecimento que você adquiriu até aqui, explique por que esse 
problema ocorre.
Resposta: as extremidades de três pés, necessariamente, formam um plano, e as outras extremidades (do assento) podem não pertencer a 
um plano paralelo ao das três primeiras.
H32
H34
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 19
3 Com três retas distintas, quantos planos podem ser determinados, se, duas a duas, elas são concorrentes e não passam todas 
por um mesmo ponto?
Resposta: um único plano.
4 O que se pode afirmar sobre a posição relativa das retas r e s em cada caso?
a) r Ç s = P r e s sãoconcorrentes.
b) r Ç s = t r, s e t são coincidentes.
c) r Ç s = Æ r e s são reversas ou paralelas.
5 Quanto à posição relativa entre a reta r e o plano a, em cada caso, o que se pode afirmar?
a) r Ç a = r r Ì a
b) r Ç a = Æ r // a
c) r Ç a = P r e a são secantes.
6 Informe se é falsa ou verdadeira cada sentença abaixo. Depois, para cada sentença que foi classificada como verdadeira, dê a 
posição relativa entre o plano e a reta em questão.
a) ( V ) Uma reta e um plano podem ter em comum um único ponto. Reta e plano secantes.
b) ( F ) Uma reta e um plano podem ter em comum exatamente dois pontos. 
c) ( V ) Uma reta e um plano podem não ter pontos em comum. Reta e plano paralelos.
d) ( V )Uma reta e um plano podem ter em comum infinitos pontos. A reta está contida no plano.
7 Se uma reta r é paralela a um plano a e s é uma reta de a, quais são as possíveis posições relativas entre r e s?
Resposta: paralelas ou reversas.
8 (FAAP-SP) O galpão da figura a seguir está no prumo, e a cumeeira está "bem no meio" da parede.
cumeeira
s
t
A
v
r
4 m
4 m
u
3
 m
L
A
B
2
1
2
Das retas assinaladas podemos afirmar que:
a) t e u são reversas.
b) s e u são reversas.
c) t e u são concorrentes.
d) s e r são concorrentes.
e) t e u são perpendiculares. Resposta: alternativa a.
H32
H17
H17
H17
H17
H18
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O uso da Geometria: contexto e aplicações20
 PROJEÇÕES ORTOGONAIS SOBRE UM PLANO
A projeção ortogonal de um ponto P do espaço sobre um plano a é o ponto P’ em que a 
perpendicular a a traçada por P intercepta a.
P
P’
a
L
A
B
2
1
2
Indica-se P’ = proj
a P.
Aplicação de projeções ortogonais
A seguir, vamos conhecer a aplicação de projeções ortogonais no estudo de vistas de um 
objeto tridimensional.
Para analisarmos as características de um objeto, podemos interpretar as vistas ortográficas 
ou ortogonais (superior, lateral e frontal) desse objeto. Essas vistas são imagens formadas por proje-
ções ortogonais de pontos do objeto, considerando a posição de um observador em relação a ele.
Assim, para identificarmos a forma tridimensional de um objeto, é necessário conhecer três 
de suas vistas.
Na imagem a seguir, vemos onde deve estar o observador para obter as vistas desse sólido.
V
is
ta
 s
u
p
e
rio
r
Vi
st
a 
la
te
ra
l
Vista frontal
L
A
B
2
1
2
É importante observar que:
A projeção ortogonal de uma figura F sobre um plano a é o conjunto das projeções ortogo-
nais dos pontos da figura sobre o plano.
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Para entender melhor o conceito de projeção ortogonal, imagine que, na construção de uma 
casa, o teto seja o último elemento a ser construído. Ou seja, apenas quando a casa estiver pronta, 
o teto será colocado e, que antes disso, tiramos uma foto dela, utilizando um drone situado exa-
tamente acima dessa casa a uma certa altitude. A imagem que vemos na foto será uma projeção
ortogonal da casa.
Um exemplo de aplicação de projeção ortogonal são as plantas baixas. A imagem da planta é 
obtida por meio da projeção ortogonal sobre o chão (plano de projeção) dos elementos que com-
põem o imóvel, como paredes, portas, janelas e móveis.
F
R
E
E
P
IK
.C
O
M
Exemplo de planta baixa de uma casa.
Outro exemplo de projeção ortogonal são os mapas gerados por aplicativos de localização. 
Quando os consultamos, o que vemos é uma região “fotografada” por um satélite representando 
a localização desejada, por meio de projeção ortogonal. Vale lembrar que, nesse caso, também é 
utilizado o conceito matemático de escala (representação de uma distância ou de uma região em 
dimensões proporcionais às do suporte de visualização). 
 DISTÂNCIAS
Distâncias entre dois pontos
A distância entre dois pontos P e Q é a medida do segmento PQ em uma dada unidade.
A distância entre P e Q é indicada por d
P, Q 
.
Se P = Q , então, d
P, Q 
= 0.
r
P
Q
L
A
B
2
1
2
d
P, Q 
= d
Q, P
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O uso da Geometria: contexto e aplicações22
Distância entre um ponto e uma reta
Chama-se distância do ponto P à reta r a medida do segmento AP em uma dada unidade.
r
P
A
L
A
B
2
1
2
A distância de P à r é indicada por d
P, r 
. Assim d
P, r 
= d
P, A 
, em que A = proj 
r 
P.
Perceba que se P � r, então, d
P, r 
= 0.
Distância entre duas retas paralelas
A distância entre duas retas paralelas distintas é a distância entre um ponto qualquer de uma 
delas e sua projeção ortogonal sobre a outra.
Indica-se: d
r, s 
a distância entre as retas r e s.
s
r
A
B
L
A
B
2
1
2
Perceba que d
r, s 
= d
A, s 
= d
A, B 
, em que B = proj 
s 
A.
Distância de um ponto a um plano
A distância entre um ponto P e um plano a é indicada por d
P, a
.
Observe que: d
P, a 
= d
P, P’.
Distância entre reta e plano paralelos entre si
A distância entre uma reta r e um plano a, em que r // a, é a distância de qualquer ponto de 
r ao plano a.
Indica-se d
r, a
 a distância da reta r ao plano a.
Perceba que: d
r, a 
= d
A, a
 = d
A, A´.
a
A
A'
r
L
A
B
2
1
2
P
P'
a
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 23
Distância entre planos paralelos
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um deles e 
sua projeção sobre o outro.
Indica-se d
a, b
a distância entre os planos a e b.
Perceba que: d
a, b
= d
A, b
= d
A, A´
, em que A' = proj
b
A.
L
A
B
2
1
2
A'
A
a
b
 ÂNGULOS
Medida e congruência de ângulos
Para medirmos um ângulo, podemos utilizar um instrumento chamado transferidor, como 
representado nas figuras abaixo. Existem transferidores com escalas de zero a 360° (Figura 1) e de 
zero a 180° (Figura 2).
Figura 1
L
A
B
2
1
2
Figura 2
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações24
A medida de um ângulo AÔB corresponde à quantidade de vezes que um ângulo unitário 
(grau) cabe em AÔB.
Observe, nos exemplos a seguir, como um transferidor, que é dividido em graus (°), é utilizado 
para medição de ângulos.
 ▶ AÔB = 30° ▶ AÔF = 120°
 ▶ AÔC = 45° ▶ AÔG = 135°
 ▶ AÔD = 60° ▶ AÔH = 150°
 ▶ AÔE = 90° (ângulo reto) ▶ AÔI = 180° (ângulo raso)
AI
BH
CG
DF
E
0
L
A
B
2
1
2
Ângulos entre retas
Na Geometria plana, pode-se definir o ângulo entre duas retas r e s como o menor dos quatro 
ângulos que elas formam entre si. Então, se q é o ângulo formado pelas retas r e s, logo 0° � q � 90°.
Como casos particulares temos:
r // s
s = t
s
r
 q s
r
q = 0° 0° < q < 90° q = 90°
Ângulo entre reta e plano
Podemos dividir o estudo do ângulo entre uma reta r e um plano a em três casos:
1. r oblíqua a a
Se r' é a projeção ortogonal de r sobre a, o ângulo agudo q, formado por r e r', é o ângulo que 
a reta r forma com o plano a.
α
r
r’
A
θ
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 25
2. r perpendicular a a
Se A é o ponto em que r intercepta a, então, r é perpendicular a todas às retas de a que contêm A, 
ou seja, o ângulo que r determina com a é reto.
α
r
A
3. r paralela a a ou contida em a
Veja, na figura a seguir, que a reta r é paralela a a, e s está contida em a. Então, o ângulo formadopor r e a ou por s e a é nulo.
α
r
s
Ângulo entre planos
Podemos dividir o estudo do ângulo entre dois planos, a e b, em dois casos:
1. a e b secantes
Para determinar o ângulo entre a e b, nesse caso, devemos traçar um plano qualquer g, per-
pendicular aos planos a e b. As retas s e r, respectivas intersecções entre a e b com g, formam entre 
si um ângulo agudo q, como mostra a figura a seguir.
Perceba que, se a e b são perpendiculares entre si, o ângulo entre os planos é reto (q = 90°).
α β
θ
γ
s
r
t
0° < q < 90°
2. a e b paralelos
O ângulo formado entre os planos é nulo, como podemos ver na figura a seguir.
α
β
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
q = 0°
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações26
PARA CONSTRUIR
1 Represente os ângulos solicitados a seguir no transferidor ilustrado em cada item.
a) Ângulo reto, cuja medida é 90°. 
L
A
B
2
1
2
b) Ângulo agudo, cuja medida é menor que 90°. Uma resposta possível:
L
A
B
2
1
2
c) Ângulo obtuso, cuja medida é maior que 90° e menor que 180°. Uma resposta possível:
L
A
B
2
1
2
d) Ângulo raso, cuja medida é 180°. Uma resposta possível:
L
A
B
2
1
2
H22
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 27
FAÇA VOCÊ MESMO
1 (Enem) Uma lagartixa está no interior de um quarto e começa a se deslocar. Esse quarto, apresentando o formato de um para-
lelepípedo retangular, é representado pela figura.
Porta
Chão
Teto
H
F
E G
M
D
B
CA
A lagartixa parte do ponto B e vai até o ponto A. A seguir, de A ela se desloca, pela parede, até o ponto M, que é o ponto médio 
do segmento EF. Finalmente, pelo teto, ela vai do ponto M até o ponto H. Considere que todos esses deslocamentos foram 
feitos pelo caminho de menor distância entre os respectivos pontos envolvidos. 
A projeção ortogonal desses deslocamentos no plano que contém o chão do quarto é dada por:
a) b) c) d) e) 
Resposta: alternativa b.
H19
2 Para formar um cubo grande, Mariana empilhou cubos menores iguais, como mostra a figura a seguir. 
L
A
B
2
1
2
Responda:
a) Quantos cubos Mariana já empilhou?
Resposta: 11 cubos.
b) Quantos cubos faltam para formar o cubo grande pretendido? 
Resposta: 16 cubos.
3 Considere a pilha de cubos abaixo, todos de mesmo tamanho. Desenhe as projeções laterais e da vista superior desses cubos.
L
A
B
2
1
2
Resposta pessoal.
H19
H19
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O uso da Geometria: contexto e aplicações28
2 (Enem) A figura representa o globo terrestre e nela estão marcados os pontos A, B e C. Os pontos A e B estão localizados sobre 
um mesmo paralelo, e os pontos B e C, sobre um mesmo meridiano. É traçado um caminho do ponto A até B, pela superfície 
do globo, passando por B, de forma que o trecho de A até B se dê sobre o paralelo que passa por A e B e, o trecho de B até C 
se dê sobre o meridiano que passa por B e C.
E
N
E
M
 2
0
1
6
Linha do 
Equador
C
α
A
B
A projeção ortogonal no plano a do caminho traçado no globo pode ser representada por:
a) 
A B
C
 b) c) 
A B ≡ C
 d) 
A B ≡ C
 e) 
A
B
C
 
Resposta: alternativa e.
3 (Enem) Um grupo de escoteiros mirins, numa atividade no parque da cidade onde moram, montou uma barraca conforme a 
foto da Figura 1. A Figura 2 mostra o esquema da estrutura dessa barraca, em forma de um prisma reto, em que foram usadas 
hastes metálicas.
E
N
E
M
 2
0
1
6
Figura 1 Figura 2
A B
C
D
EF
Após a armação das hastes, um dos escoteiros observou um inseto deslocar-se sobre elas, partindo do vértice A em direção ao 
vértice B, deste em direção ao vértice E e, finalmente, fez o trajeto do vértice E ao C. Considere que todos esses deslocamentos 
foram feitos pelo caminho de menor distância entre os pontos.
A projeção do deslocamento do inseto no plano que contém a base ABCD é dada por:
a) b) c) d) e) 
Resposta: alternativa e.
H33
H19
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 29
4 (Enem) Os alunos de uma escola utilizaram cadeiras iguais às da figura para uma aula ao ar livre. 
A professora, ao final da aula, solicitou que os alunos fechassem as cadeiras para guardá-las. 
Depois de guardadas, os alunos fizeram um esboço da vista lateral da cadeira fechada.
Qual é o esboço obtido pelos alunos? 
a) b) c) 
d) e) 
Resposta: alternativa c.
5 (Enem) Uma pessoa pede informação na recepção de um prédio comercial de como chegar a uma sala, e recebe as seguintes 
instruções: suba a escada em forma de U à frente, ao final dela vire à esquerda, siga um pouco à frente e em seguida vire à direita 
e siga pelo corredor. Ao final do corredor, vire à direita.
Uma possível projeção vertical dessa trajetória no plano da base do prédio é:
a) b) c) 
d) e) 
Resposta: alternativa b.
H33
H33
E
N
E
M
 2
0
1
7
E
N
E
M
 2
0
1
6
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VOCÊ É O AUTOR
30 O uso da Geometria: contexto e aplicações
Neste capítulo, começaremos o Projeto de Arquitetura que será desenvolvido neste bimestre. 
Iniciaremos a primeira fase.
No início do capítulo, mostramos como estamos rodeados de elementos geométricos. Agora 
é a sua vez de ter esse olhar, observando e buscando, no seu entorno, esses elementos.
A proposta é que você tenha esse olhar sobre a geometria da cidade, utilizando um ensaio 
fotográfico como instrumento para aprimorar e refletir sobre o mesmo. Você será o protagonista 
dessa atividade, proporcionando uma visão da Matemática muito além de cálculos e fórmulas, 
uma matemática viva. Vejamos alguns exemplos:
Vamos colocar a mão na massa!
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Nesta imagem, as luzes distantes e a Lua, lembram 
pontos e as ruas iluminadas lembram retas.
Nesta imagem, as linhas dos telhados lembram 
seguimentos de reta, enquanto as janelas e paredes 
lembram planos, retângulos e cubos empilhados. 
Roteiro:
1o) Educando seu olhar: observe na sua sala de aula, no colégio, na rua, ... imagens que dêem 
a ideia de:
▶ ponto;
▶ retas e suas posições relativas e absolutas;
▶ planos.
2o) Registre essa imagem por meio de uma fotografia que contenha pelo menos dois elemen-
tos geométricos.
3o) Realce esses elementos fazendo alguma intervenção artística (manual ou por meio de 
algum aplicativo).
4o) Escolha uma fotografia, após a intervenção, de cada elemento e imprima para iniciar o 
seu portfólio.
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C
A
PÍ
TU
LO
SH
AR
O
NP
HO
TO
/ S
HU
TT
ER
ST
O
CK
Competências
▶ C3 e C6
Habilidades
▶ H20, H22, H32, H33 e H34 
REPRESENTAÇÕES PLANAS
No dia a dia, encontramos diversas 
representações de figuras geométricas 
planas como triângulos, quadrados, 
círculos, entre outras. Olhe no seu 
entorno e veja quantas delas 
estão perto de nós. 
Vamos continuar a 
nossa viagem pela 
Geometria!
2
D5_SESI20_EM1_REF_MAT_CAD2_Cap2_.indd31D5_SESI20_EM1_REF_MAT_CAD2_Cap2_.indd 31 13/03/2020 16:04:5713/03/2020 16:04:57
O uso da Geometria: contexto e aplicações32
 POLÍGONOS
A palavra polígono tem sua origem no idioma grego: póly (vários) + gonía (ângulos). Polýgonon
refere-se à figura geométrica de vários ângulos. Assim, podemos dizer que um polígono é uma linha 
poligonal (formada por segmentos), fechada e simples (os segmentos não se cruzam).
Podemos ter polígonos convexos e não convexos.
São considerados polígonos convexos quando qualquer segmento de reta cujas extremidades 
são pontos pertencentes ao interior do polígono está totalmente contido no interior desse polígono.
A
B C
E são considerados polígonos não convexos quando pelo menos um segmento, cujas extremida-
des sejam dois pontos no interior do polígono, não estiver totalmente contido no interior do polígono.
A
B
D C
Neste capítulo, vamos estudar apenas os polígonos convexos, seus elementos e suas propriedades.
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
P
E
S
H
K
O
V
A
/ 
S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 32Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 32 13/03/2020 02:07:2213/03/2020 02:07:22
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 33
Elementos de um polígono
Lado: cada segmento de reta que com-
põe o polígono.
Vértice: cada ponto comum a dois lados.
Diagonal: segmento de reta formado por 
dois vértices não consecutivos. 
Ângulo interno: formado por dois lados.
Ângulo externo: formado por um lado e 
o prolongamento do outro.
É importante observar que:
1. O ângulo interno e o ângulo externo em relação ao do mesmo vértice são suplementares, 
isto é, cuja soma é igual a 180°. 
2. Em qualquer polígono convexo, o número vértices, lados, ângulos internos e ângulos exter-
nos é o mesmo.
3. Polígono regular é aquele que possui todos os lados e ângulos internos congruentes entre si.
Classificação dos polígonos
Quantidade de lados Nome
3 (tri) Triângulo
4 (quadri) Quadrilátero
5 (penta) Pentágono
6 (hexa) Hexágono
7 (hepta) Heptágono
8 (octo) Octógono
9 (enea) Eneágono
10 (deca) Decágono
11 Undecágono
12 Dodecágono
15 Pentadecágono
19 Eneadecágono
20 (icosa) Icoságono
ângulos externos
ângulos internos
diagonal
A
E
B vértice
lado
C
D
L
A
B
2
1
2
Congruentes:
Que tem mesma medida. 
Símbolo: ≡
GLOSSÁRIO
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 33Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 33 13/03/2020 02:07:2313/03/2020 02:07:23
O uso da Geometria: contexto e aplicações34
u.m.
unidade de medida.
GLOSSÁRIO
 TRIÂNGULOS
Como vimos, os triângulos são polígonos de três lados e, consequentemente, três ângulos in-
ternos e três vértices. Como todos os vértices são consecutivos, o triângulo não possui diagonal.
A
B
C
Classificação de triângulos
Podemos classificar os triângulos quanto à medida dos lados ou à medida de seus ângulos 
internos.
 ▶ Quanto aos lados, temos os seguintes tipos de triângulos:
Equilátero: triângulo no qual os três lados congruentes.
Isósceles: triângulo que apresenta dois lados congruentes.
Escaleno: triângulos cujos três lados têm medidas diferentes.
 ▶ Quanto aos ângulos, temos os triângulos:
35°
35°
124° 21°
55° 60°
90° 53° 67°
Retângulo Acutângulo Obtusângulo
Retângulo: triângulo que tem ângulo reto (90°) e dois agudos (menores que 90°).
Obtusângulo: triângulo com ângulo obtuso (maior que 90° e menor que 180°) e dois ân-
gulos agudos.
Acutângulo: triângulo que apresenta três ângulos agudos.
L
A
B
2
1
2
4 u.m. 4 u.m.
4 u.m. 4 u.m.
Equilátero Isósceles Escaleno
5 u.m. 5 u.m.
3 u.m.
6 u.m.
5 u.m.
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 35
Soma dos ângulos internos de um triângulo
Vamos relembrar uma importante propriedade de triângulos, fazendo a experiência a seguir: 
Em uma folha de papel, desenhe, com régua, um triângulo qualquer. 
Pinte os ângulos internos do triângulo de cores diferentes e recorte cada um deles.
Em seguida, una os três ângulos e cole-os em seu caderno, e em seguida meça-os usando 
um transferidor.
O que você percebeu, em relação à soma dos ângulos internos desse triângulo? Compare 
com um colega.
A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180°.
Podemos utilizar esse método para verificar a propriedade acima. Agora, vamos validá-la por 
meio de uma demonstração matemática.
Dado um triângulo ABC e seus respectivos ângulos internos, vamos considerar as retas que 
contêm os lados do triângulo e a reta paralela em relação à base.
 
A B
C
a b
c
a´ b´
É importante observar que nas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos a e a´ 
têm medidas iguais por serem alternos internos. O mesmo ocorre com os ângulos b e b´.
Portanto, a + b + c = 180°.
Vale lembrar que a soma das medidas dos ângulos externos de um triângulo é 360°.
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações36
1 Dado o triângulo a seguir, determine o valor dos ângulos internos e classifique o triângulo quanto aos ângulos.
RESOLUÇÃO
x + 34° + 22° = 180°
x + 56° = 180°
x = 180° − 56°
x = 124°
Os ângulos desse triângulo medem 34°, 22° e 124°. Portanto, o triângulo é escaleno obtusângulo.
L
A
B
2
1
2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
34°
22°
x
PARA CONSTRUIR
1 Um triângulo é isósceles, e dois lados dele medem 5 cm e 7 cm. Quais são as possíveis medidas do terceiro lado?
Resposta: o terceiro lado pode ser 5 cm ou 7 cm.
2 Um triângulo isósceles tem o lado de medida diferente com 5,5 cm. Calcule as medidas dos outros lados, sabendo que o perí-
metro desse triângulo é 20,7 cm.
Resposta: 7,6 cm
3 Classifique os triângulos quanto aos lados.
a) 
 
 
 
 
 
45¡J
K
6
4
4
L
Resposta: Isósceles.
b) 
 
 
 
 
 
45°A
K
5
5
3
CB
Resposta: Isósceles.
c) 
 
 
 
D
7
5
3
E F
 
Resposta: Escaleno.
d) 
 
 
 
 
 
 
 
I
H
4
6
5
G
60°
60°
Resposta: Escaleno.
H20
H20
H20
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 37
4 Classifique os triângulos quanto aos ângulos.
a)
45°
45°
90°
J
K L
Resposta: Retângulo.
b)
117°
25°
37°
B C
A
Resposta: Escaleno Obtusângulo.
c)
57°
66°
57°
FE
K
D
57°
57°K 57°
66°
57° 57°
Resposta: Acutângulo.
d)
IH
G
60°
60°
60°
Resposta: Acutângulo.
5 O triângulo ABC tem perímetro de 38 cm. Determine as medidas de seus lados.
CB x + 5
x + 4x + 2
A
Resposta: 11 cm, 13 cm e 14 cm.
6 O triângulo DEF é equilátero. Determine os valores de x e y.
FE 2x + 7
1520 − y
D
60¡
Resposta: x = 11 e y = 5.
H20
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
H20
L
A
B
2
1
2
H20
L
A
B
2
1
2
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 37Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 37 13/03/2020 02:07:2813/03/2020 02:07:28
O uso da Geometria: contexto e aplicações38
FAÇA VOCÊ MESMO
1 Determine o valor de x.
a) 
 
 
 
 
 
Resposta: x = 51°.
b) 
 
Resposta: x = 42°.
c) 
X
67°
4x + 20°
L
A
B
2
1
2
Resposta: x = 29°.
2 Um triângulo tem um ângulo interno que mede 64°. 
Calcule as medidas dos outros dois ângulos se esse triân-
gulo for:
a) isósceles
Resposta: podem ser dois ângulos de 58° ou um de 64° e outro 
de 52°.
b) escaleno
Resposta pessoal, desde que a soma dos três ângulos 
seja 180°.
c) retângulo
Resposta: um tem 90° e o outro, 26°.
3 Determine o valor de x e y.
a) 
 
 
 
 
 
Resposta: x = 20° e y = 95°.
b) 
x
51°
54ºy
32°
L
A
B
2
12
Resposta: x = 86° e y = 137°.
4 As medidas dos ângulos internos de um triângulo são ex-
pressas por x + 10°, x + 32° e x + 45°.
a) Faça um esboço (desenho) desse triângulo.
H20
39¼
x L
A
B
2
1
2
84º
3x
42º
L
A
B
2
1
2
H20
H20
L
A
B
2
1
2160°
y
x75°
H22
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 39
b) Determine o valor de x.
Resposta: x = 31°.
c) Determine a medida desses ângulos.
Resposta: 41°, 63° e 76°.
d) Classifique o triângulo quanto aos ângulos.
Resposta: acutângulo.
5 (Enem) Uma criança deseja criar triângulos utilizando pa-
litos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo 
será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos 
um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exa-
tamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído 
com essas características.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois 
a dois que podem ser construídos é 
a) 3
b) 5
c) 6
d) 8
e) 10
Resposta: alternativa a.
6 (Enem) O remo de assento deslizante é um esporte que faz 
uso de um barco e dois remos do mesmo tamanho.
A figura mostra uma das posições de uma técnica chama-
da afastamento.
E
N
E
M
 2
0
1
8
B
A
C
Nessa posição, os dois remos se encontram no ponto A 
e suas outras extremidades estão indicadas pelos pontos 
B e C. Esses três pontos formam um triângulo ABC cujo 
ângulo BÂC tem medida de 170°.
O tipo de triângulo com vértices nos pontos A, B e C no 
momento em que o remador está nessa posição é 
a) retângulo escaleno. 
b) acutângulo escaleno. 
c) acutângulo isósceles. 
d) obtusângulo escaleno. 
e) obtusângulo isósceles. 
Resposta: alternativa e.
7 Dois ângulos de um triângulo medem, respectivamente, 
33° e 42°. O triângulo é acutângulo, retângulo ou obtusân-
gulo? Justifique sua resposta.
Resposta: Se 33 + 42 = 75, o terceiro ângulo mede 105°. 
Portanto, o triângulo é obtusângulo.
H22
E
N
E
M
 2
1
5
H34
H20
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 39Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 39 13/03/2020 02:07:2913/03/2020 02:07:29
O uso da Geometria: contexto e aplicações40
Congruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se:
 ▶ Cada lado de um dos triângulos for congruente ao seu lado correspondente (ou homólogo) 
no outro.
 ▶ Cada ângulo de um dos triângulos for congruente ao seu ângulo correspondente (ou homólogo) 
no outro.
Usamos os símbolos:
L ≅ L indica que um lado é congruente a outro.
 ≅  indica que um ângulo é congruente a outro.
Casos de congruência:
1. LAL (Lado-Ângulo-Lado)
A
B C
D
F E
AB DE
 A D
 AC DF
2. ALA (Ângulo-Lado-Ângulo)
A
B C
D
F E
 A D
 AC DF
 C F
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 41
3. LLL (Lado-Lado-Lado)
A
B C
D
F E
 AB DE
 AC DF
 BC EF
4. LAA
O
 (Lado-Ângulo adjacente-Ângulo oposto)
A
B C F E
D
 AC DF
 C F
 B E
Caso especial de congruência para triângulos retângulos:
Se dois triângulos retângulos têm um cateto e a hipotenusa respectivamente congruentes, 
então, os triângulos são congruentes.
 AB DE
AC DF
 
B E
A
C F
D
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações42
L
A
B
2
1
2
 Vamos construir triângulos?
 Vamos precisar de régua, transferidor e compasso.
SITUAÇÃO 1
 Construa um triângulo ABC, com AB = 4,5 cm, AC = 3,5 cm e BC = 3 cm.
1 Trace o segmento AB.
2 Meça 3,5 cm com o compasso e trace um arco com o compasso no ponto A.
3 Meça 3 cm com o compasso e trace um arco com o compasso no ponto B.
BA
3,5 cm
4,5 cm B
C
A
3,5 cm 3 cm
4,5 cm
SITUAÇÃO 2
 Construa um triângulo ABC, com AB = 5 cm, A! = 60° e B! = 40°.
1 Trace o segmento AB.
2 Utilizando o transferidor, coloque o centro no ponto A, marque o ponto em 60° e trace 
o ângulo.
60°
60°
B
A
3 Faça o mesmo no ponto B, lembrando que foi dado o ângulo interno correspondente 
a esse vértice.
40°
60°
40°
BA
C
L
A
B
2
1
2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 43
Teorema de Tales
Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais determina segmentos proporcionais.
r s
C
B B’
A A’ a
b
cC’
L
A
B
2
1
2
Isto significa que, a razão entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual a 
razão entre as medidas dos segmentos correspondentes da outra.
Observe as relações abaixo:
AB
BC
=
A'B'
B'C'
 ou 
AB
A'B'
=
BC
B'C'
 ou 
AB
AC
=
A'B
A'C'
Semelhança de triângulos
Vamos representar dois triângulos com os mesmos ângulos: A D, B E e C F.
L
A
B
2
1
2
B
C
A
D
E
F
105°
47°
28°
105°
47°
28°
Deslocando e sobrepondo o triângulo DEF sobre o triângulo ABC, teremos:
AD
DB
=
CF
FE
L
A
B
2
1
2B
C
A
D
E
F
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O uso da Geometria: contexto e aplicações44
Para ajudar a visualização, prolongamos as bases dos triângulos em retas e inserimos uma reta 
de apoio no ponto B.
Utilizando o teorema de Tales:
C
A
D
a
b
c
F
B E
L
A
B
2
1
2
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem três ângulos ordenadamente 
congruentes e as medidas dos lados homólogos proporcionais.
Essa proporção ocorre também com as medidas AC e DF dos lados desses triângulos. Portanto, 
podemos concluir que:
AB
DB
= k= =
CE
FE
AC
DF
A razão entre as medidas dos lados correspondentes (homólogos) é sempre a mesma. Essa 
constante é chamada de k.
Casos de semelhança
1. AA (Ângulo-Ângulo)
Dois triângulos são semelhantes se dois ângulos de um são congruentes a dois ângulos do 
outro.
A A' e B B '
A’
A
B
C
C’
B’
50°
50°
65° 65°
L
A
B
2
1
2
2. LLL (Lado-Lado-Lado)
Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro.
AB
A’B’ B’C’ A’C’
= =
BC AC
A’
A
B
C
C’
3,5
4
2,5
8
5
7
B’
L
A
B
2
1
2
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 44Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 44 13/03/2020 02:07:3413/03/2020 02:07:34
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 S
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S 
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 45
3. LAL (Lado-Ângulo-Lado)
Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre os 
lados proporcionais.
80°
A’
A
B
C
C’
4,5
3
6
9
B’
80°
L
A
B
2
1
2
AC
=
BC
A 'C '
=
B'C '
e C
!
≅ C
!
'=
Teorema fundamental da semelhança de triângulos
Toda reta paralela a um lado de um triângulo, que intercepta os outros dois lados 
em pontos distintos, determina um novo triângulo semelhante ao primeiro.
A
B
C
D
E
L
A
B
2
1
2
ΔABC ∼ ΔDEC
A semelhança de triângulos é importante 
no trabalho de topógrafos, cartógrafos e enge-
nheiros, principalmente quando há necessidade 
de se obter distâncias longas ou até inacessíveis. 
Nessas situações, esses profissionais têm de tra-
balhar com medidas de ângulos e, para obtê-las, 
muitas vezes utilizam um instrumento chamado 
teodolito.
O teodolito é um instrumento óptico uti-
lizado para medir ângulos, tanto horizontais 
quanto verticais, em medidas diretas e indiretas 
de distâncias.
Usamos esse instrumento com a mesma 
finalidade dos transferidores.
D
Y
B
A
 I
M
A
G
E
S
/S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
Assista ao vídeo Entrando pelo túnel e descubra como o arquiteto grego Eupalinos, planejou a 
construção de um aqueduto de mais de um quilometro de comprimentodentro de uma mon-
tanha usando principalmente trigonometria básica. Disponível em: <https://m3.ime.unicamp.br/
recursos/1096>. Acesso em: 10 fev. 2020.
PARA AMPLIAR
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 45Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 45 13/03/2020 02:07:3713/03/2020 02:07:37
O uso da Geometria: contexto e aplicações46
PARA CONSTRUIR
1 Identifique os casos de congruência e justifique-os.
a) 
L
A
B
2
1
2
98°
98°
5
5
B
6
6
A
C
D
E
F
Resposta: LAL.
b) 
L
A
B
2
1
2
77°
77°
30°
30°4
B
4
A
C
D
EF
Resposta: ALA.
c) 
4
3
3
7
7
B
4
A
C
D
E
F LA
B
2
1
2
Resposta: LLL. 
2 Na figura, temos AB = 15 cm, DE = 23 cm, CE = 17,4 cm, 
AE = 3x − 1 e CD = 2y + 5. Determine:
B
A C
D
E
L
A
B
2
1
2
a) O caso de congruência apresentado.
Resposta: ALA.
b) Os valores de x e y.
Resposta: x = 8 e y = 5.
c) O perímetro do triângulo ABE.
Resposta: 55,4 cm.
3 Determine os valores de x e y, sabendo que DC // AB.
BA
CD
38°
72°
72°
2x
y
L
A
B
2
1
2
Resposta: x = 35° e y = 38°. 
H20 H20
H20
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 46Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 46 13/03/2020 02:07:3813/03/2020 02:07:38
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 E
 S
U
A
S 
TE
CN
O
LO
G
IA
S
O uso da Geometria: contexto e aplicações 47
4 Na figura, ABC é um triângulo no qual BC ≅ CA ≅ AD ≅ DE. 
Determine a medida do ângulo A e classifique o triângulo 
ABC quanto aos lados e ângulos.
B
A
C D E
40°40°
Resposta: 100°; obtusângulo isósceles.
5 Construa os triângulos a seguir.
a) ABC, sendo AB = 6,5 cm, AC = 4 cm e BC = 5 cm.
Resposta pessoal.
b) SOL, sendo SO = 7 cm, S$= 45° e Oµ = 30°.
Resposta pessoal.
c) MAR, sendo MA = 8,5 cm, M = 90° e  = 60°.
Resposta pessoal.
d) LUA, sendo LU = 7,5 cm, L ≅ U = 30°.
Resposta pessoal.
6 Classifique, quanto aos lados e ângulos, os triângulos cons-
truídos no exercício anterior.
Resposta pessoal.
7 Desenhe um triângulo com dois de seus ângulos internos 
medindo 55° e 65°.
Resposta pessoal.
Agora, responda:
a) Qual é a medida do terceiro ângulo?
Resposta pessoal.
b) Quais são as medidas dos três ângulos externos?
Resposta pessoal.
c) Compare o desenho que você fez com o de um colega. 
Os ângulos internos dos triângulos são congruentes? 
E os lados?
Resposta pessoal.
H20
H22
H20
H22
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 47Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 47 13/03/2020 02:07:3913/03/2020 02:07:39
O uso da Geometria: contexto e aplicações48
FAÇA VOCÊ MESMO
1 No triângulo abaixo, AB // DE . Determine quantos centí-
metros tem DE .
10
B
ED
A
9
C
L
A
B
2
1
2
Resposta: DE = 6 cm.
2 Determine o valor de y, sabendo que BC / / DE .
L
A
B
2
1
2
A
B
D E
C7
14
y
12
Resposta: y = 6. 
H20 H20
8 Nas figuras, a // b // c. Calcule o valor x.
a) r s
a
b
c
6 x
3 4
Resposta: x = 8.
b) 
r
s
a
b
c
x
12
8
21
Resposta: x = 14.
c) a b
r
c
s
x
12
30
25
Resposta: x = 10.
9 Determine o valor de x, y e z , sabendo que a, b, c e d são 
paralelas entre si.
r t s a
b
x
y
z
12
6
8
2
4
c
d
Resposta: x = 8.
y = 16.
z = 24.
H20
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
H20
L
A
B
2
1
2
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 48Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 48 13/03/2020 02:07:4213/03/2020 02:07:42
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 E
 S
U
A
S 
TE
CN
O
LO
G
IA
S
O uso da Geometria: contexto e aplicações 49
3 (Enem) O dono de um sítio pretende colocar uma haste 
de sustentação para melhor firmar dois postes de compri-
mentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação 
real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC
e BD e a haste é representada pelo EF , todos perpendicu-
lares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB . 
Os segmentosAD e BC representam cabos de aço que se-
rão instalados.
D
6
BFA
E
4
C
L
A
B
2
1
2
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? 
a) 1 m. 
b) 2 m.
c) 2,4 m.
d) 3 m.
e) 2 6 m. 
Resposta: alternativa c.
4 Determine o valor das incógnitas sabendo que r // s.
a)
L
A
B
2
1
2
65¼ s
x
r/s
Resposta: x = 25°.
b) 
73°
z
r
s
x y
65° L
A
B
2
1
2
Resposta: x = 65° e y = 73° e z = 42°.
H32 H
20
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 49Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 49 13/03/2020 02:07:4313/03/2020 02:07:43
O uso da Geometria: contexto e aplicações50
TECNOLOGIA
GeoGebra é um software de Matemática dinâmica gratuito que combina geometria, álgebra, tabelas, gráficos, estatística e cálculo em 
uma única aplicação. Ele foi criado em 2001, sendo o resultado de uma defesa de tese de Markus Hohenwarter e a sua popularidade tem 
crescido desde então. Muitas figuras que você viu nos textos deste capítulo foram feitas com ele. Existem várias versões para download 
ou utilização online. Acesse o link e explore alguns comandos, tente reproduzir o polígono destacado abaixo.
Disponível em: <https://www.geogebra.org/m/KGWhcAqc>. Acesso em: 12 fev. 2020.
 QUADRILÁTEROS
São polígonos de 4 lados, 4 ângulos internos e 4 vértices.
A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é 360°, já que uma diagonal pode 
dividi-lo em dois triângulos. Veja o desenho a seguir.
A
B
C
D
L
A
B
2
1
2
D
IV
U
L
G
A
Ç
Ã
O
 G
E
O
G
E
B
R
A
Reprodução de uma tela do GeoGebra. Professor, incentive os alunos a explorar o software, no próximo 
capítulo haverá uma atividade envolvendo sua utilização.
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 50Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 50 13/03/2020 02:07:4313/03/2020 02:07:43
M
A
TE
M
Á
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C
A
 E
 S
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A
S 
TE
CN
O
LO
G
IA
S
O uso da Geometria: contexto e aplicações 51
Vamos ver como os quadriláteros são classificados.
CD
A B
m
L
A
B
2
1
2
1. Paralelogramo:
Os paralelogramos apresentam:
 ▶ Dois pares de lados opostos paralelos;
 ▶ Lados opostos congruentes;
 ▶ Ângulos opostos congruentes;
 ▶ Ângulos não opostos suplementares (cuja soma é 180°);
 ▶ Diagonais se cruzam em seus pontos médios.
O retângulo, o losango e o quadrado são casos particulares de paralelogramos. 
2. Retângulo: tem 4 ângulos retos.
34°
146°
PM
N O
m
L
A
B
2
1
2
3. Losango: tem 4 lados congruentes.
J
K
L
I
m
L
A
B
2
1
2
4. Quadrado: tem 4 lados congruentes e 4 ângulos retos. Portanto, ele é um retângulo losango.
A
C
B
D
m
L
A
B
2
1
2
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 51Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 51 13/03/2020 02:07:4513/03/2020 02:07:45
O uso da Geometria: contexto e aplicações52
5. Trapézio: tem um par de lados paralelos (bases). Os lados não paralelos são chamados de 
transversais.
Observe, a seguir os tipos de trapézio.
L
A
B
2
1
2
90°
90°
146°
34°
 ▶ Trapézio retângulo: quando tem dois ângulos retos. Os outros dois ângulos são suplementares.
120°120°
60° 60°
L
A
B
2
1
2
 ▶ Trapézio isósceles: quando as transversais são congruentes, os ângulos das bases são congruen-
tes e os ângulos das transversais são suplementares.
L
A
B
2
1
2
148° 127°
32° 53°
 ▶ Trapézio escaleno: quando as transversais têm medidas diferentes.
 SOMA DE ÂNGULOS INTERNOS E EXTERNOS DE 
UM POLÍGONO CONVEXO
Um polígono de n lados pode ser dividido em n – 2 triângulos a partir de um de seus vértices. 
Assim, podemos calcular a soma dos ângulos internos de um polígono (Si) por meio da quantidade 
de triângulos em que este pode ser dividido. Veja os exemplos a seguir:
 Quadrilátero: pode ser dividido em 2 triângulos → S
i
 = 2 ⋅ 180° = 360°
 Pentágono: pode ser dividido em 3 triângulos → S
i
 = 3 ⋅ 180° = 540°
 Hexágono: pode ser dividido em 4 triângulos → S
i
 = 4 ⋅ 180° = 720°
1
2
L
A
B
2
1
2
1
2
3
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
1
2
3
4
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 52Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 52 13/03/2020 02:07:4613/03/2020 02:07:46
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C
A
 E
 S
U
A
S 
TE
CN
O
LO
G
IA
S
O uso da Geometria: contexto e aplicações 53
 Construa um paralelogramo ABCD de modo que os ladostenham AD = 4 cm 
e AB = 7 cm e ângulo interno de 70°.
1 Trace o segmento AB e construa o ângulo de 70°.
7 cm BA
70º
70º
L
A
B
2
1
2
2 Utilizando a régua, marque o ponto D, de modo que AD = 4 cm.
0
1
2
3
4
5
7 cm
B
4 cm
A
D
70°
L
A
B
2
1
2
3 Utilizando o esquadro, trace a paralela ao lado AB que passa pelo ponto D.
segmento
móvel
móvel
fixo
fixo
D
A B
B
D
D
D
A
A
4 cm
4 cm
7 cm
7 cm
70º
70º
C
B
B
L
A
B
2
1
2
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 53Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 53 13/03/2020 02:07:4813/03/2020 02:07:48
O uso da Geometria: contexto e aplicações54
 n = 4 n = 5 n = 6 n = 7
 d = 2 d = 5 d = 9 d = 14
L
A
B
2
1
2
Generalizando, o número de diagonais d de um polígono convexo com n lados pode ser 
calculado assim:
d =
n ⋅ n − 3( )
2
Podemos, então, deduzir:
Se um polígono tem n lados (n vértices), a soma das medi-
das de seus ângulos internos S é:
S
i
 = (n – 2) ⋅ 180°
Na figura a seguir, são representados os ângulos internos e 
externos de um pentágono.
Em um polígono convexo, podemos observar as seguintes 
propriedades:
 ▶ A soma de um ângulo externo com seu ângulo interno adja-
cente resulta em 180°, ou seja, são ângulos suplementares.
 ▶ A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é 360°.
 NÚMERO DE DIAGONAIS DE UM POLÍGONO CONVEXO
Para calcular o número total de diagonais de um polígono, vamos considerar o número dessas 
diagonais a partir de cada vértice e o número de vértices do polígono. Contando que, por exemplo, 
as diagonais que partem dos vértices A e D ( AD e DA ) são as mesmas, teremos de dividir esse 
total inicial por 2. Veja o quadro a seguir.
Número de vértices 
do polígono
Número de diagonais 
a partir de cada vértice
Número de diagonais 
do polígono
4 4 – 3
4 4 3( )
2
= 2
5 5 – 3
5 5 3( )
2
= 5
6 6 – 3
6 6 3( )
2
= 9
7 7 – 3
7 7 3( )
2
= 14
L
A
B
2
1
2
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 54Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 54 13/03/2020 02:07:4913/03/2020 02:07:49
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C
A
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 S
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S 
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CN
O
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G
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S
O uso da Geometria: contexto e aplicações 55
 SEMELHANÇA DE POLÍGONOS
Dois polígonos são semelhantes quando têm os lados homólogos 
proporcionais e todos os ângulos correspondentes congruentes.
Veja um exemplo de dois polígonos semelhantes a seguir.
B'
A'D'
C'
4,5
4,5
2,1
2,7
C
A
B
D
3
3
1,8
1,4
L
A
B
2
1
2
1 Dado um eneágono qualquer, determine a soma de seus ângulos internos.
RESOLUÇÃO
S
i
 = (n – 2) ⋅ 180°
S
i
 = (9 – 2) ⋅ 180°
S
i
 = 7 ⋅ 180°
S
i
 = 1 260°
Observe que se o polígono for regular (lados e ângulos congruentes), podemos calcular cada 
ângulo interno, usando a seguinte relação:
Ângulo interno de polígono regular =
soma dos ângulos internos
número de lados
 = 
S
i
n
 
Para o eneágono regular, temos: 
S
i
n
 =
1260
9
= 140¡
2 Determine o número de diagonais de um decágono.
RESOLUÇÃO
n= 10 lados
d = n n 3( )
d=
10 10 3( )
2
2
=
70
2
= 35
Resposta: 35 diagonais.
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 55Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 55 13/03/2020 02:07:4913/03/2020 02:07:49
O uso da Geometria: contexto e aplicações56
PARA CONSTRUIR
1 Observe o paralelogramo a seguir e responda:
4x
2x + 16°
a) Qual é o valor de x?
Resposta: x = 8.
b) Quais são os valores dos ângulos internos?
Resposta: 32°, 148°, 32° e 148°.
2 Determine o valor de x no quadrilátero a seguir.
 
Resposta: x = 88º.
3 Observe o paralelogramo a seguir e determine:
BA
D C12 cm
(3x + 3) cm
(y + 2) cm 8 cm
a) O valor de x e y.
Resposta: x = 3 cm.
Resposta: y = 6 cm.
b) O perímetro do paralelogramo.
Resposta: 40 cm.
4 Classifique cada afirmação como verdadeira (V) ou falsa (F).
a) ( V ) Todo retângulo é um paralelogramo.
b) ( F ) Todo paralelogramo é um quadrado.
c) ( V ) Todo quadrado é um retângulo.
d) ( F ) Todo retângulo é um losango.
e) ( V ) Todo quadrado é um losango.
Resposta: V - F - V - F - V.
5 Sabendo que o quadrilátero a seguir é um trapézio isósceles, 
determine:
2x − 30º x − 14º
a) O valor de x.
Resposta: x = 44°.
b) Os ângulos internos do trapézio.
Resposta: 44°, 44°, 136° e 136°.
6 Os ângulos internos agudos de um trapézio escaleno 
medem 72° e 45°. Quanto medem os ângulos obtusos?
Resposta: x = 108° e 135°.
H20
L
A
B
2
1
2
H20
x
77º
65º
80º
L
A
B
2
1
2
H20
L
A
B
2
1
2
H32
H20
L
A
B
2
1
2
H20
PARA CONSTRUIR
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 56Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 56 13/03/2020 02:07:5013/03/2020 02:07:50
M
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A
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S 
TE
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G
IA
S
O uso da Geometria: contexto e aplicações 57
7 Em um losango, uma diagonal faz um ângulo de 32° com 
um lado. Determine as medidas dos ângulos internos.
Resposta: 64°, 116°, 64° e 116°.
8 Se um dos ângulos internos de um trapézio isósceles mede 
58°, quanto medem os outros?
Resposta: 58°, 58°, 122° e 122°.
9 As diagonais de um retângulo formam um ângulo de 100°. 
Calcule o menor ângulo que cada diagonal forma com 
os lados. 
Resposta: x = 40°.
10 Considere um octógono regular e responda.
a) Qual é a soma dos ângulos internos?
Resposta: 1 080°.
b) Quanto mede cada ângulo interno?
Resposta: 135°.
c) Qual é a soma dos ângulos externos?
Resposta: 360°.
d) Qual é o número de diagonais?
Resposta: 20 diagonais.
11 Em um polígono regular, cada ângulo interno mede 120°. 
a) Qual é o nome desse polígono?
Resposta: Hexágono.
b) Quantas diagonais ele tem?
Resposta: 9 diagonais.
12 Um polígono convexo tem 44 diagonais. Qual é o nome 
desse polígono?
Resposta: Undecágono (11 lados).
13 Construa um retângulo com lados de 3,5 cm e 6,5 cm.
Resposta pessoal.
14 Construa um losango com lados de 5 cm e ângulo interno 
de 55°.
Resposta pessoal.
15 Construa um quadrado com lados de 6,5 cm.
Resposta pessoal.
16 Construa os seguintes trapézios:
a) retângulo com bases de 6 cm e 3 cm e com altura 
de 4 cm.
Resposta pessoal.
b) isósceles com bases de 4 cm e 7,5 cm e com altura 
de 3 cm.
Resposta pessoal.
H20
H20
H20
H20
H20
H20
H22
H22
H22
H22
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 57Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 57 13/03/2020 02:07:5013/03/2020 02:07:50
O uso da Geometria: contexto e aplicações58
1 (Enem) Na construção civil, é muito comum a utilização de 
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para o re-
vestimento de pisos ou paredes. Entretanto, não são todas 
as combinações de polígonos que se prestam a pavimen-
tar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superpo-
sições de ladrilhos, como ilustram as figuras:
Figura 1: ladrilhos retangulares pavimentando o plano.
Figura 2: heptágonos regulares não pavimentam o plano 
(há falhas ou superposição).
O quadro traz uma relação de alguns polígonos regulares, 
com as respectivas medidas de seus ângulos internos.
Nome Triângulo Quadrado Pentágono
Figura
Ângulo interno 60° 90° 104°
Nome Hexágono Octógono Eneágono
Figura
Ângulo interno 120° 135° 140°
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois 
tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, 
sendo um deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá 
ter a forma de um:
a) triângulo.
b) quadrado.
c) pentágono.
d) hexágono.
e) eneágono.
Resposta: alternativa b.
2 Dois pentágonos são regulares. O lado do pentágono 
maior é 9 cm, e a medida do lado do menor é 3 cm.
a) Quais são as medidas dos ângulos internos do pentágo-
no maior? E as do menor?
Resposta: Os dois medem 108°.
b) As medidas dos lados correspondentes são proporcionais?
Resposta: Sim.
c) Quaisquer dois pentágonos regulares são semelhantes?
Resposta: Sim.
3 Quantas diagonais tem um polígono de 18 lados?
Resposta: 135 diagonais.
H34
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
L
A
B
2
1
2
H20
H32
L
A
B
2
1
2
FAÇA VOCÊ MESMO
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C
A
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 S
U
A
S 
TE
CN
O
LO
G
IA
S
O uso da Geometria: contexto e aplicações 59
 CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO
A circunferência e o círculo estão presentes em muitas situações do nosso cotidiano.
Vamos resgatar as características e propriedades dessas figuras geométricas e ampliar esses 
conhecimentos.
Circunferência é o conjunto de pontos equidistantes (a mesma distância) de um ponto fixo 
do plano (centro). Seu traçado pode ser feito com um compasso.
Seus elementos são:
Raio: segmento cujas extremidades são 
o centro (O) e um ponto qualquer da circun-
ferência. É indicado pela letra r.
Corda: qualquer segmento que une dois 
pontos da circunferência.
Diâmetro: qualquer corda que passa 
pelo centro. É indicado pela letra d. O diâme-
tro é o dobro do raio.
Arco: parte da circunferência limitada 
por dois pontos. No desenho a seguir, vere-
mos o arco AB.
V
IT
A
L
L
IY
/S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
F
IS
H
M
A
N
6
4
/S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
D
C
E
D
O
centro
diâmetro
raio
corda
arco
B
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações60
Vale lembrar que, em uma semicircunferência, 
as extremidades coincidem com as extremidades do 
diâmetro.
Comprimento da circunferência
Sejam:
C: comprimento da circunferência
r: raio
π ; 3,14
O número π é um número irracional, portanto, decimal infinito e não periódico, 
dado por 3,141592653... Utilizamos, normalmente, π; 3,14. 
Esse valor aproximado vai depender da precisão que se queira obter no cálculo.
Então, o comprimento da circunferência é dado por:
C = 2 ⋅ π ⋅ r
Ou , ainda, se considerarmos d= 2 ⋅ r, então,
C = 2 ⋅ r ⋅ π = d ⋅ π
Exemplo:
Calcule o comprimento de uma circunferência de raio r = 6,5 cm. Considere π = 3,14.
C = 2 π r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 6,5 = 40,82 cm.
L
A
B
2
1
2
O que é o pi?
O pi é a 16a letra do alfabeto grego e corresponde 
ao som fonético “p” no alfabeto latino. É também a 
inicial da palavra grega periphéreia, que significa cir-
cunferência. Por isso, passou a ser usado para desig-
nar a divisão (razão) entre o valor do comprimento 
e seu diâmetro [...].
Se pegarmos vários objetos circulares (moedas, 
botões, pratos), medirmos com uma corda o tamanho 
da sua circunferência e dividirmos pelo diâmetro do 
objeto, sempre vamos obter um número bastante próxi-
mo de 3,14159.
O matemático Arquimedes (cerca de 280 a.C. a cerca de 211 a.C.) foi o primeiro a 
estabelecer o valor do pi. O que ele não conseguiu descobrir é que era um número irracional, 
ou seja, tem um número indefinido de casas decimais (sabe-se hoje que ultrapassam 5 tri-
lhões). Quem descobriu isso foi o cientista alemão Johann Heinrich Lambert, em 1766.
O QUE é o pi? Superinteressante, 13 mar. 2017. Disponível em: <https://super.abril.com.br/
comportamento/pi-e-letra-do-alfabeto-grego-que-virou-numero/>. Acesso em: 04 mar. 2020.
O
L
H
A
 I
N
S
IG
H
T
/S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
 letra do alfabeto grego e corresponde 
ao som fonético “p” no alfabeto latino. É também a 
da sua circunferência e dividirmos pelo diâmetro do 
objeto, sempre vamos obter um número bastante próxi-
A B
diâmetro
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O uso da Geometria: contexto e aplicações 61
Círculo e suas partes
Círculo é o conjunto de todos os pontos do plano cuja distância 
até o centro é menor ou igual ao raio.
Vale lembrar que a área do círculo é dada por:
A = π r
2
Setor circular: região limitada por um ângulo central.
A área de um setor circular é dada por:
A
S
=
α
360
⋅ π r
2
Comprimento de um arco
Um arco é definido na circunferência pelo seu ângulo central.
O comprimento do arco é diretamente proporcional à sua medida em graus ou radianos.
Portanto, para calcular o comprimento x de um arco com α graus ou radianos, é necessário 
estabelecer uma regra de três simples.
Calcular o comprimento de um arco de 60° de uma circunferência de r = 2 cm. Considere 
π = 3,14. 
C = 2 π r = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 2 = 12,56 cm
x
12,56
=
60
360
x
12,56
=
1
6
x =
12,56
6
2,09 cm
Portanto, C
arco
; 2,09 cm.
Em algumas situações, o comprimento da circunferência pode ser expresso em função de π. 
Veja como ficaria a situação acima: C = 2 π r = 2 ⋅ π ⋅ 2 = 4π cm
Relação entre ângulo central e inscrito em uma circunferência
O ângulo central α é formado por dois raios.
No ângulo inscrito β, o vértice pertence à circunferência e os lados são cordas do mesmo arco 
do ângulo central (arco CD ).
Podemos demonstrar que:
Um ângulo inscrito em uma circunferência tem a metade da medida 
do ângulo central correspondente ao mesmo arco.
Assim:
 = : 2 ou = 2 
L
A
B
2
1
2
Arco x α
Circunferência 2 π R 360°
Circunferência 2 π R α rad
º
Assista ao vídeo Roda do sonho. 
Nele em uma conversa hipoté-
tica, Pablo e Arquimedes discu-
tem sobre o cálculo da área do 
círculo. Disponível em: <https://
m3.ime.unicamp.br/recursos/
1173>. Acesso em: 10 fev. 2020.
PARA AMPLIAR
B
A
0 raio
raio
x
L
A
B
2
1
2
α
L
A
B
2
1
2
B
A
β
C
D
α
L
A
B
2
1
2
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O uso da Geometria: contexto e aplicações62
PARA CONSTRUIR
1 Calcule o comprimento do menor arco AB, dado o raio 
de 15 cm.
Resposta: 
10π
3
cm 
2 Determine o valor de x de acordo com a figura a seguir.
8x 5x + 77°
L
A
B
2
1
2
Resposta: x = 7.
3 Uma cerca será colocada em uma praça circular, no maior 
arco AD, conforme o desenho a seguir.
70°
80°
90°
A
B
C
D
L
A
B
2
1
2
Se o raio dessa praça é 5 m, quantos metros de cerca se-
rão colocados aproximadamente? Considere π = 3,1.
Resposta: x ; 20,7 m.
4 O segmento PQ representa o diâmetro da circunferência a 
seguir.
x
R
P Q
70° 0
L
A
B
2
1
2
Determine:
a) O ângulo inscrito relativo ao arco PQ.
Resposta: 90°.
b) O valor de x.
Resposta: 20°.
H20
º
H20
H20
º
H20
º
r
1
r
2
L
A
B
2
1
2 Coroa circular: região determinada por duas circunferências con-
cêntricas (de mesmo centro) com raios diferentes.
A área de uma coroa circular é dada por:
 Ac = π r1 − r2( )
A
B
40°
L
A
B
2
1
2
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A
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 S
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A
S 
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S
O uso da Geometria: contexto e aplicações 63
1 Calcule as áreas das regiões coloridas.
a) 
L
A
B
2
1
2
 
 
Resposta: π cm².
b) 
L
A
B
2
1
2
 
Resposta: 54 cm².
2 A roda de um automóvel tem um diâmetro de 50 cm. Determine a distância percorrida por esse veículo após uma de suas rodas 
completar 1 750 voltas. Adote π = 3,14 e suponha que a roda não desliza durante a rolagem.
a) 2,82 km.
b) 3 km.
c) 3,6 km.
d) 2,75 km.
e) 2,91 km.
Resposta: alternativa d.
3 Uma arruela tem seus dados técnicos expressos por:
C
O
N
S
T
A
N
T
IN
E
 P
A
N
-
K
IN
/ 
S
H
U
T
T
E
R
S
T
O
C
K
Diâmetro do furo: 12 mm.
Diâmetro: 15 mm.
Qual é a área ocupada por essa arruela?
Resposta: 81π.
4 (Enem) As cidades de Quito e Cingapura encontram-se próximas à linha do Equador e em pontos diametralmente opostos no 
globo terrestre. Considerando o raio da Terra igual a 6 370 km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média 
a 800 km/h, descontando as paradas de escala, chega a Cingapura em aproximadamente: 
a) 16 horas.
b) 20 horas.
c) 25 horas.
d) 32 horas.
e) 36 horas.
Resposta: alternativa c.
H20
H33
H34
H34
FAÇA VOCÊ MESMO
Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 63Book_SESI19_2EM_REF_MAT_CAD2.indb 63 13/03/2020 02:08:0013/03/2020 02:08:00
VOCÊ É O AUTOR
O uso da Geometria: contexto e aplicações64
Neste capítulo, daremos prosseguimento ao Projeto de Arquitetura iniciado no 1o capítulo. 
Vamos para a segunda