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Universidade Federal de Pelotas
Disciplina de Microeconomia 1
Professor Rodrigo Nobre Fernandez
Lista 1 - Soluções
1) Suponha que existam apenas dois bens e o governo resolve controlar os preços desses bens
do seguinte modo: o preço é R$ 1,00 até 5 unidades adquiridas, e o preço é R$ 2,00 para unidades
adicionais (acima das primeiras 5 unidades adquiridas). Suponha que João tem uma renda de R$
10,00.
a) Ilustre graficamente a reta orçamentária de João.
S: O governo cobra R$ 2,00 apenas para as quantidades superiores a cinco unidades compradas de cada bem.
Se o indivíduo decidir comprar 6 unidades de um dos bens, ele pagará R$ 1,00 pelas cinco primeiras unidades
e R$ 2,00 pela sexta unidade adquirida. Portanto, a reta orçamentária é descrita pelo gráfico abaixo:
b) Descreva a reta orçamentária em termos algébricos.
S: Na reta orçamentária abaixo, o número 5 em cada equação é o valor das cinco primeiras unidades
compradas por 1 real. Os termos 2(x2−5) e 2(x1−5) são as quantidades de x1e x2 que excedem 5 unidades,
multiplicadas pelo preço nesse caso, igual a 2.{
x1 + 2(x2−5) + 5 = 10 ,se x2 > 5,0≤ x1 ≤ 5
x2 + 2(x1−5) + 5 = 10 ,se x1 > 5,0≤ x2 ≤ 5
2) Suponha uma economia com dois bens, denotados por x e y. A reta orçamentária de Maria
é pMx x+pMy y =mM e a reta orçamentária de João é pJxx+pJy y =mJ , onde pMx /pMy 6= pJx/pJy . Ou seja,
o custo de mercado entre x e y para Maria é diferente do custo de mercado para João. Maria e
João decidem se casar e formar uma família onde a renda dos dois é gasta em conjunto, apesar
de que os preços dos bens para cada um deles continuam os mesmos de antes.
a) Defina a restrição orçamentária do casal.
S: A restrição orçamentária do casal é pxx+ pyy = m , onde px = min
{
pMx ,p
J
x
}
e py = min
{
pMy ,p
J
y
}
e
m=mM +mJ .
b) Haverá especialização na compra dos bens?
S: Sim. Quem comprará um determinado bem é quem tem acesso ao menor preço deste bem. Por exemplo,
se px = pMx e py = pJx , ou seja, se Maria tem acesso a um preço mais barato para o bem x e João tem acesso a
um preço mais barato para o bem y, Maria se especializa na compra do bem x e João se especializa na compra
do bem y.
1
3) Suponha um consumidor que tenha preferências definidas entre cestas compostas por dois
bens do seguinte modo: se (x1,x2) > (y1,y2) (ou seja, x1 > y1 e x2 > y2), então x � y . Se (x1,x2) <
(y1,y2)(ou seja, x1 < y1e x2 < y2), então y � x. Finalmente, se (x1,x2) = (y1,y2), então x ∼ y. Essas
preferências são (justifique sua resposta):
a) Completas?
S: Não. Duas cestas tais como (x1,x2) e (y1,y2) com x1 >y1 e x2 <y2 não são comparáveis , para o sistema
de preferências considerado (por exemplo, (1,2) e (2,1) não são comparáveis: não podemos dizer qual cesta é
melhor ou se são indiferentes).
b) Transitivas?
S: Sim. Temos que mostrar que se a cesta x é preferível à cesta y e a cesta y é preferível à cesta z, então a
cesta x é preferível a cesta z. Note que se x� y então (x1,x2)≥ (y1,y2) e se y � z (y1,y2)≥ (z1,z2). Portanto,
(x1,x2)≥ (z1,z2) e então x� z. Ou seja, essas preferências são transitivas.
c) Monotônicas?
S: Sim, por definição (“quanto mais, melhor”).
d) Convexas?
S: Sim, pois se x e y são duas cestas de bens tais x∼ y, então (x1,x2) = (y1,y2), e portanto λx+(1−λ)y =
x,∀λ ∈ [0,1], o que por sua vez significa λx+ (1−λ)y � x,∀λ ∈ [0,1].
4) Suponha que uma pessoa esteja consumindo uma cesta de bens tal que a sua utilidade
marginal de consumir o bem A é 12 e a sua utilidade marginal de consumir o bem B é 2. Suponha
também que os preços dos bens A e B são R$2 e R$1, respectivamente e que as preferências desse
consumidor são estritamente convexas.
a) Essa pessoa está escolhendo quantidades ótimas dos bens A e B? Caso não esteja, qual bem ela deveria
consumir relativamente mais (não se preocupe com a restrição orçamentária nesse item)?
S: Denote a cesta de bens que essa pessoa consome por x. Para essas quantidades de bens, temos que:
∂u(x)
∂xA
∂u(x)
∂xB
= 6 6= 2 = pA
pB
A TMS entre A e B é maior do que a relação de preços entre A e B. Nesse caso, o consumidor pode aumentar
sua utilidade se consumir mais do bem A e menos do bem B, pois no mercado ele pode trocar 2 unidades de B
por uma unidade de A e tal troca vai aumentar sua utilidade em uma razão de seis vezes.
b) A sua resposta para o item a) depende do valor da utilidade marginal? Explique
S: Não, depende apenas da relação entre as utilidades marginais, que permanece a mesma qualquer que seja
a função de utilidade usada para representar as preferências.
5) Suponha que Ana consome apenas pão e circo, e suas preferências são estritamente convexas.
Um certo dia o preço do pão aumenta e o preço do circo diminui. Ana continua tão feliz quanto
antes da mudança de preços (a renda de Ana não mudou).
a) Ana consume mais ou menos pães após a mudança de preços?
b) Ana consegue agora comprar a cesta que comprava antes?
S: (a e b juntos) Nesse caso, pão se torna mais caro relativamente ao circo. A reta orçamentária se torna
mais inclinada. Essa mudança na reta orçamentária é tal que o indivíduo alcança o mesmo nível de utilidade
de antes (ou seja, a nova reta orçamentária tangenciará a mesma curva de indiferença que a reta orçamentária
original tangenciava.). O gráfico abaixo mostra que Ana consome menos pães do que antes (equilíbrio muda de
E para Eˆ) e que cesta que ela consumia antes (E) não é mais possível de ser adquirida aos novos preços.
2
6) Considere a utilidade u(x1,x2) =
√
ax1 + bx2.
a) Calcule a TMS entre os dois bens. Desenhe o mapa de indiferença dessa utilidade.
S: Uma curva de indiferença em particular pode ser encontrada fazendo-se u(x1,x2) = u , ou seja, u =√
ax1 + bx2, logo ax1 +bx2 = u2. Isto quer dizer que o mapa de indiferença dessa utilidade tem a mesma forma
do que o mapa de indiferença para a utilidade u˜(x1,x2) = ax1+bx2. Portanto, esta utilidade também representa
bens substitutos perfeitos. A curva de indiferença é:
Observe que a TMS de u, é igual a TMS de u˜:
TMSu12 (x1,x2) =−
0.5(ax1 + bx2)−0.5 a
0.5(ax1 + bx2)−0.5 b
=−a
b
= TMSu˜12 (x1,x2)
b) Encontre as funções de demandas ótimas para o consumidor.
S: O problema do consumidor é atingir o nível mais alto de utilidade, dada a restrição orçamentária. Como
os bens são perfeitamente substitutos, o consumidor comprará o bem que for relativamente mais barato: o bem
que tiver menor preço dividido pelo coeficiente da utilidade. As funções de demanda:
xM1 (p1,p2,m) =
{
m/p1, se p1/a < p2/b
0 se p1/a > p2/b
xM2 (p1,p2,m) =
{
m/p2, se p1/a > p2/b
0 se p1/a < p2/b
3
No caso em que p2/b= p1/a, o consumidor é indiferente entre qual dos bens comprar, pois a TMS é sempre
igual à relação de preços dos bens. Nesse caso, o consumidor comprará qualquer quantidade de x∗1 e x∗2tal que
satisfaça a sua reta orçamentária p1x∗1 +p2x∗2 =m.
c) Agora suponha que a=b=1 e p1 = 1, p2 = 2 e m = 100. Ilustre graficamente a solução neste caso. Qual
a TMS na cesta ótima? Para este caso, vale a condição de igualdade de TMS e relação de preços? Discuta
intuitivamente sua resposta.
S: O gráfico abaixo ilustra a solução neste caso.
Na cesta ótima, x∗1 = 100 e x∗2 = 0, não é válida a igualdade entre TMS e relação de preços (TMS = −1 6=
0.5 = −p1/p2). Isto ocorre porque estamos em uma solução de canto: apenas o bem 1 é consumido. Se fosse
possível, o indivíduo continuaria a trocar o bem 2 pelo bem 1, mas ele já está no limite, sem mais nenhuma
quantidade do bem 2 para trocar pelo bem 1. A igualdade entre as TMS e a relação de preços é válida para
soluções interiores, ou seja, cestas tais que as quantidades dos bens são todas positivas (estritamente maiores
do que zero).
7) Considere a utilidade u(x1,x2) = (min{ax1, bx2})2.
a) Calcule a TMS entre os dois bens. Desenhe o mapa de indiferença dessa utilidade.
S: Procedemos como na questão anterior: uma curvade indiferença em particular pode ser encontrada
fazendo-se u(x1,x2) =u , ou seja, u= (min{ax1, bx2})2, logo
√
u=min{ax1, bx2}. Isto quer dizer que o mapa de
indiferença desta utilidade tem o mesmo formato do que o mapa de indiferença da utilidade u˜=min{ax1, bx2}.
Portanto, esta utilidade também representa bens complementares perfeitos. A curva de indiferença é ilustrada
na figura abaixo.
A TMS entre os dois bens não está bem definida, pois a utilidade não é diferenciável. Porém, podemos dizer
que ela será igual a zero ou a infinito, dependendo da cesta em que for calculada. Se a cesta (x1,x2) for tal
que x1 < x2 , então TMS12 (x1,x2) = 0, pois neste caso o consumidor não está disposto a trocar o bem 1 pelo
bem 2. Se a cesta (x1,x2) for tal que x1 > x2, então TMS12 (x1,x2) = +∞, pois neste caso o consumidor está
disposto a trocar o bem 1 pelo bem 2 qualquer que seja a taxa de troca ( a TMS é uma medida local, vale
apenas para uma vizinhança da cesta em questão.) . Finalmente, se a cesta (x1,x2) for tal que x1 = x2, então
TMS12 (x1,x2) não está definida.
4
b) Encontre as funções de demandas ótimas para o consumidor.
S: Como podemos observar no gráfico acima, essa curva toca a reta orçamentária no ponto E. No caso geral,
a 6= b , o consumidor iguala os argumentos da função de mínimo: ax1 = bx2. Portanto, abx1 = x2 .
O consumidor compra mais do bem que tiver o coeficiente a ou b menor: para este bem, ele precisa de
uma quantidade maior para cada unidade do outro bem. Substituindo abx1 = x2 na restrição orçamentária
encontramos as funções de demanda:
xM1 (p1,p2,m) =
m
p1 +
(
a
b
)
p2
e xM2 (p1,p2,m) =
(a
b
) m
p1 +
(
a
b
)
p2
c) Agora suponha que a=b=1 e p1 = 1, p2 = 2 e m = 100. Ilustre graficamente a solução neste caso. Su-
ponha agora que os preços mudaram para suponha que a=b=1 e p1 = 2, p2 = 2 e a renda não se modificou.
Calcule e ilustre graficamente a solução neste caso. Compare as duas soluções encontradas nesse item. Discuta
intuitivamente sua resposta.
S: Para o primeiro caso, temos que x∗1 = x∗2 = mp1+p2 =
100
3 . Para o segundo caso, temos que x∗1 = x∗2 =
m
p1+p2 =
100
3 . Portanto, a cesta ótima é a mesma em ambos. Isto ocorre porque, no caso de bens complementares perfeitos
onde a=b, os dois bens devem sempre ser consumidos na proporção de um para um. Podemos dizer que o bem
1 e o bem 2 formam um único bem, cujo o preço é p1 +p2. Como nos dois casos, o preço deste “bem conjunto”
não mudou, o consumo dele continua o mesmo. Veja o gráfico abaixo:
8) Encontre as demandas ótimas para os seguintes casos, onde α,β e ρ ∈]0,+∞[:
5
a) u(x1,x2) = αlnx1 +βlnx2
S: Vamos montar o Lagrangiano:
L= αlnx1 +βlnx2 +λ [m−p1x1−p2x2]
As CPOS são:
Lx1 = α
1
x1
= λp1 (1)
Lx2 = α
1
x2
= λp2 (2)
Lλ =m= p1x1 +p2x2 (3)
Dividindo (1) por (2) e isolando x2 teremos que:
x∗2 = x1
(
β
α
)(
p1
p2
)
(4)
Substituindo (4) em (3) encontramos que:
x∗1 =
(
α
α+β
)
m
p1
(5)
Inserindo (5) em (4) temos que:
x∗2 =
(
β
α+β
)
m
p2
(6)
b) u(x1,x2) = x
α
α+β
1 x
β
α+β
2
S: Faça a seguinte transformação na função αα+β = Φ e
β
α+β = 1−Φ então teremos que u(x1,x2) = xΦ1 x1−Φ2 .
Observe que a função de utilidade é igual a anterior (letra a) elevada a 1α+β o que constitui uma transformação
crescente, pois α e β são maiores que zero. Portanto a função de utilidade u(x1,x2) = xΦ1 x1−Φ2 é uma versão
loglinearizada de u(x1,x2) = xα1 x
β
2 .
O Lagrangiano é idêntico ao da letra a, bem como o método de resolução, e dessa forma você obterá as
seguintes demandas:
x∗1 = Φ
m
p1
= α
α+β
m
p1
(7)
x∗2 = (1−Φ)
m
p2
= β
α+β
m
p2
(8)
c)u(x1,x2) = (x1−a)α (x2− b)β
S:Vamos montar o Lagrangiano:
L= (x1−a)α (x2− b)β +λ [m−p1x1−p2x2]
As CPOS são:
Lx1 = α(x1−a)α−1 (x2− b)β = λp1 (9)
Lx2 = β (x1−a)α (x2− b)β−1 = λp2 (10)
6
Lλ =m= p1x1 +p2x2 (11)
Dividindo (9) por (10) e isolando x2 teremos que:
x∗2 =
1
αp2
[p1β (x1−a) +αp2b] (12)
Substituindo (12) em (11) encontramos que:
x∗1 =
1
(α+β)p1
[α(m−p2b) +p1βa] (13)
Inserindo (13) em (12) temos que:
x∗2 =
1
(α+β)p2
[β (m−p1a) +αp2b] (14)
d) u(x1,x2) =
(
xρ1 +x
ρ
2
)1/ρ
S:
L=
(
xρ1 +x
ρ
2
) 1
ρ λ [m−p1x1−p2x2]
As CPOs são:
(
xρ1 +x
ρ
2
) 1−ρ
ρ xρ−11 = λp1 (15)
(
xρ1 +x
ρ
2
) 1
ρ−1xρ−12 = λp2 (16)
Lλ =m= p1x1 +p2x2 (17)
Dividindo (15) por (16) teremos que:
x2 = x1
(
p1
p2
) 1
ρ−1
(18)
Substituindo na equação (17):
x1 =
mp
1
ρ−1
1
p
ρ
ρ−1
1 +p
ρ
ρ−1
1
(19)
Inserindo (19) em (18) teremos:
x2 =
mp
1
ρ−1
2
p
ρ
ρ−1
1 +p
ρ
ρ−1
1
(20)
e) u(x1,x2) = x0.51 +x0.52
S:Vamos montar o Lagrangiano:
L= x0.51 +x0.52 +λ [m−p1x1−p2x2]
As CPOS são:
Lx1 = 0.5x
−0.5
1 = λp1 (21)
7
Lx2 = 0.5x
−0.5
2 = λp2 (22)
Lλ =m= p1x1 +p2x2 (23)
Dividindo (21) por (22) e isolando x2 teremos que:
x∗2 = x1
(
p1
p2
)2
(24)
Substituindo (22) em (23) encontramos que:
x∗1 =m
(
p2
p1p2 +p21
)
(25)
Inserindo (25) em (24) temos que:
x∗2 =m
(
p1
p1p2 +p22
)
(26)
8