Questões Avaliando o Aprendizado - Cálculos Numéricos III

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Listas de exercícios 
(Use 10 dígitos significativos, mostre os cálculos, escreva de forma clara e concisa) 
 
 
Exercícios sobre Erros e sistemas de numeração: 
 
1). Dado o número decimal x = -(10,05)10: 
(2,0) a). Calcule os 32 bits da variável IEEE que armazena x em float/single; 
(0,5) b). Calcule o erro de arredondamento percentual exato gerado no armazenamento do Decimal x em 
Binário. 
 
1). Dado o número decimal x=-(15,05)10: 
(2,0) a). Calcule os 32 bits da variável IEEE que armazena x em float/single; 
(0,5) b). Calcule o erro de arredondamento percentual exato gerado no armazenamento do Decimal x em 
Binário. 
 
(1,0) 2). Explique como você calcularia o erro total em computador, contabilizando os arredondamentos e 
truncamentos, existentes em uma raiz x de Pn(x)=0 aproximada com a variável de 32 bits pelo método de 
Newton-Raphson otimizado para polinômios, com ‘N’ iterações. 
 
(2,0) 1). Monte um algoritmo que calcule em computador o erro total, contabilizando os arredondamentos e 
truncamentos, da função exp(x) calculada na variável float, através de aproximação por série de Taylor com 
n=4 em x=-0,111, conforme expressão abaixo: 
!
...
!4!3!2!1
1)exp(
432
n
xxxxx
ex
n
x ++++++≅=
 
1). 
(1,5)1a). Determine os parâmetros s, e, f do armazenamento de (-1,11.10-1)10 em Binário na variável float 
padrão IEEE 754 de 32 bits; 
(1,0)1b). Explique como você calcularia o erro de ‘arredondamento’ da função exp(x) calculada na variável 
float, aproximada por série de Taylor com 5 termos (até n=4) para x=-0,111, conforme expressão abaixo: 
!
...
!3!2!1
1
32
n
xxxx
e
n
x +++++≅
 
Resposta: Erro de arredondamento = |VA-VE| sempre, mas o erro de arredondamento de um calculo esta 
incluído em VA (Valor Aproximado com n=4 e variavel float) e o VE (Valor Exato) deve ser o obtido o mais 
exato possível, sem arredondamento algum se fosse possível, então usamos VE como um VA refeito, mas 
com precisão dupla (com o mesmo n=4 e variavel double), uma vez que precisão infinita não existe. 
 
(1,0)1c). Explique como você calcularia o erro de ‘truncamento’ da função exp(x), aproximada por série de 
Taylor com 5 termos (até n=4) para x=-0,111, conforme expressão abaixo: 
!
...
!3!2!1
1
32
n
xxxx
e
n
x +++++≅
 (Sugestão: Calcule tudo em dupla precisão, para isolar a influência de arredondamentos) 
Resposta: Erro de truncamento = |VA-VE| sempre, mas o erro de truncamento de um calculo esta incluído 
em VA (Valor Aproximado com n=4) e o VE (Valor Exato) deve ser o obtido o mais exato possível, sem 
truncamento algum se fosse possível, então usamos VE como um VA refeito, mas com truncamento 
mínimo, usando uma série com n dobrado 8, uma vez que a série infinita não existe. Para garantir que os 
arredondamesntos não atrapalhem, não afetem os resultados, recomenda-se usar variaveis double nos 
calculos de VA e de VE. 
 
 
(1,0)1d). Explique como você calcularia o erro ‘total’ da função exp(x) calculada na variável float, 
aproximada por série de Taylor com 5 termos (até n=4) para x=-0,111, conforme expressão abaixo: 
!
...
!3!2!1
1
32
n
xxxx
e
n
x +++++≅
 
Resposta: Erro total = |VA-VE| sempre, mas o erro total de um calculo esta incluído em VA (Valor 
Aproximado com n=4 e com variavel float) e o VE (Valor Exato) deve ser o obtido o mais exato possível, 
sem arredondamentos e sem truncamento algum, se fosse possível, então usamos VE como um VA refeito, 
mas com mínimos arredondamentos e com truncamento mínimo, usando uma série com precisão dupla e 
com n dobrado 8, uma vez que a precisão infinita e a série infinita não existem. 
 
(1,0)1e). Explique como você calcularia o erro de truncamento estimado de uma raiz x de f(x)=0 obtida pelo 
método de Newton-Raphson, com ‘N’ iterações. 
P.S.: Lembre que no método de Newton-Raphson (N-R), o erro de truncamento assumido na aproximação 
da raiz x é decorrente da somatória das parcelas da série de Taylor que aproxima f(x)=f(xi+dx)=0, a partir 
do termo de ordem n=2: Erro de truncamento = f''(xi)dx2/2!+f'''(xi)dx3/3!+....+f(n)(xi)dxn/n!+.... 
Este erro de truncamento poderia ser reduzido: 
i). diminuindo o número de parcelas truncadas, mas isso seria outro método numérico, não N-R; 
ii). reduzindo o valor de 'dx', aumentando o número de iterações 'N' em um processo convergente. 
 
Resposta: Erro truncamento de x = |VA-VE| sempre, mas o erro de truncamento de um cálculo esta incluído 
em VA (Valor Aproximado de uma raiz x de f(x)=0 obtida pelo método de Newton-Raphson, com ‘N’ 
iterações) e o VE (Valor Exato de uma raiz x de f(x)=0) que deve ser o obtido o mais exato possível, sem 
sem truncamento algum, se fosse possível. Usando o método de Newton-Raphson temos raiz x de f(x)=0, 
sempre aproximada, então podemos usar uma estimativa de VE como um VA refeito, mas com 
truncamento mínimo, usando o mesmo método com um número de iterações com N mais próximo do 
infinito. Assim, pode-se calcular VE com um número de iterações N dobrado, 2N, que tem muito mesmo 
truncamento que a raiz obtida com N iterações e serve de valor Exaro estimado. 
 
(1,0) 1). Dado o número binário x=(1 00000000 10000000000000000000001)2, armazenado no padrão 
IEEE de 32 bits (4B). Calcule o decimal x armazenado. 
 
(2,0) 2). Dado o número decimal y=-(15,15)10, calcule os 32 bits da variável y armazenada no padrão IEEE 
de 32 bits (4B). Mostre explicitamente a parcela binária que foi arredondada. 
 
(1,0) 3a). Explique como você calcularia em computador o erro total relativo aos arredondamentos 
existentes, nos armazenamentos e nas operações usadas, para se obter uma solução S calculada pelo 
método de escalonamento de Gauss em um computador utilizando variáveis de 32 bits. Disponível também 
as variáveis de 64 bits. 
 
(2,0) 1a). Dado o número decimal exato y=-(1.1010)10, calcule os 32 bits da variável y armazenada no 
padrão IEEE de 32 bits (4B) da variável float. Mostre explicitamente a parcela binária arredondada; 
(1,0) 1b). Calcule o erro exato relativo percentual de arredondamento gerado na conversão de y decimal 
para binário da variável IEEE de 32 bits. 
 
 
 
 
Exercícios sobre sistemas de Equações lineares: 
 
(3,0) 2). Monte um algoritmo genérico tipo x=substituicoes(n,A,b), que determina a solução x do sistema 
linear A.x=b, a partir da matriz A, que já contém L\U juntos e do vetor b, fazendo as duas substituições 
L.c=b e U.x=c. 
Determine o número de operações aritméticas em ponto flutuante do algoritmo x=substituicoes(n,A,b), em 
função de n. 
Dada a função: [A b]=fLU(n,A,b) - que retorna a matriz A decomposta (LU de Crout), com as matrizes L, U 
armazenadas juntas [A=L\U], com pivotação parcial interna, através da função [A b]=pivotacao(k,n,A,b) - 
que troca linhas da matriz A e do vetor b e retorna a linha k contendo o maior coeficiente em módulo na 
coluna k. 
 
3). Dado o sistema linear abaixo para n=10000 equações: 
�equação	i = 1																																																																									x� + x��� = 150equação	i = 2	à	�n/2�																									x��� + 9. x� + x��� + x����� = 100equação	i = �n/2 + 1�	à	�n − 1�						x�����+	x��� + 9. x� + x��� = 200equação	i = n																																																																								x��� + 	x� = 300
 
 
(0,5) 3a). Se o sistema for resolvido por métodos iterativos, como Jacobi e Gauss-Seidel, a sua 
convergência para a solução é garantida? Justifique; 
(0,5) 3b). O processo iterativo de convergência poderá ser do tipo oscilatório ou não-oscilatório 
(monotônico)? É recomendo testar a utilização de fatores de sub-relaxação? Justifique; 
(4,0) 3c). Monte um algoritmo otimizado, que calcule e imprima a solução do sistema linear acima com 10 
dígitos significativos exatos, para as n=10.000 incógnitas, pelo método que efetue o menor número deoperações aritméticas em ponto flutuante. Justifique a escolha do método adotado. 
 
(0,75) 1a). Que cuidados devem ser tomados ao se resolver sistemas mal-condicionados por métodos diretos. Seria 
indicado resolver sistemas mal-condicionados por métodos iterativos? Justifique; 
(2,0) 1b). Monte um algoritmo otimizado, tipo function A=fescalona(n,A), que determine a matriz escalonada 
triangular superior de Gauss, a partir das entradas ‘n’ (nº de equações) e da matriz expandida A=[Ao b] de um 
sistema genérico Ao.x=b, exportando a matriz expandida escalonada triangular superior e b, A=[A b]. 
2). Dado o sistema linear com 4 tipos de equações: 






=→=+−
−=→=−+−−
−=→=−+−
=→=−
−
+−−
+−
+
21
21112
111
1
i 3,0.2
1,..., 2,0 ..3
1,...,2 1,0.2
1 1,0 
nparaxx
nniparaxxxx
niparaxxx
iparaxx
ii
iiii
iii
ii
 
(0,75) 2a). Considerando n1=300 e n2=400, se o sistema for resolvido por métodos iterativos, a sua convergência será 
garantida? Justifique sua resposta. 
(0,5) 2b). Se o sistema acima convergir lentamente para a solução por métodos iterativos, como a sua convergência 
pode ser acelerada? Justifique sua resposta. 
(2,0) 2c). Determine a solução x e o resíduo máximo das equações, do sistema acima, para n1=3 e n2=4, pelo método de 
Gauss (sem pivotação); 
(2,0) 2d). Determine a solução do sistema acima, para n1=3 e n2=4, com erro máximo max|x(i)-xi(i)| de sua escolha, 
pelo método de Gauss-Seidel (sem fator de sub-relaxação). 
 
(2,0) 1b). Monte um algoritmo otimizado, tipo function x=fsubstituicoesLU(n,L,U,b), que determine a solução x 
do sistema A.x=b, a partir das entradas n, L, U e b, (L.U=A), resolvendo as duas substituições L.c=b e U.x=c e 
exportando a solução x; 
 
2). Dado o sistema linear com 4 tipos de equações: 







=→=+−
−=→=+−−
−=→=−+−
=→=−
−
−−
+−
+
21
2112
111
1
i 3,0.2
1,..., 2,0 .2
1,...,2 1,0.4
1 1,0 
nparaxx
nniparaxxx
niparaxxx
iparaxx
ii
iii
iii
ii
 
(0,75) 2a). Considerando n1=300 e n2=400, se o sistema for resolvido por métodos iterativos, a sua convergência será 
garantida? Justifique sua resposta. 
(0,5) 2b). Se o sistema acima convergir de forma oscilatória ao longo de um processo iterativo, como a sua 
convergência pode ser acelerada? Justifique sua resposta. 
(2,0) 2c). Determine as matrizes L e U decompostas de A, tal que L.U=A, referente ao sistema acima para n1=3 e n2=4, 
pelo método de Crout (sem pivotação); 
(2,0) 2d). Determine a solução do sistema acima, para n1=3 e n2=4, com erro máximo max|x(i)-xi(i)|<2.e-2 (ou a seu 
critério), pelo método de Gauss-Seidel (sem fator de sub-relaxação), à partir da solução inicial NULA. 
 
5). Dado o seguinte sistema linear:
 





=++
−=++
=++
12.9,2
3.51,00,01.
4.5,1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 (0,5) a). Se este sistema for resolvido por método DIRETOS, verifique se é um sistema mal-condicionado. Justifique; 
(0,5) b). Que cuidados devemos tomar adicionalmente para resolver sistemas mal-condicionados; 
(1,0) c). Determine a solução x do sistema acima pelo método de Gauss; 
(0,5) d). Determine o resíduo máximo do sistema acima com a solução x obtida e avalie se este resíduo é satisfatório; 
(1,5) e). Monte um algoritmo genérico, tipo x=retrosubtituicao(n,Ab), que determine a solução x a partir das entradas n e Ab, onde A.x=b, Ab=[A 
b] concatenadas em n linhas e n+1 colunas, e exportando a solução x. 
 
6). Dado o seguinte sistema linear: 







=→=+−
−=→=−+−−
−=→=−−+−
=→=−
−
+−−
++−
+
21
21112
1211
1
i 300
1,..., 200 .3
1,...,2 1003
1 150 
nparaxx
nniparaxxxx
niparaxxxx
iparaxx
ii
iiii
iiii
ii
 
(0,5) a). Considerando n1=3000 e n2=4000 com n2 equações, se o sistema for resolvido por métodos iterativos, a sua convergência será garantida? 
Justifique sua resposta. 
(0,5) b). Considerando o sistema acima, é recomendado testar o uso de fatores de sub-relaxação na sua resolução por métodos iterativos? Justifique sua 
resposta. 
(1,5) c). Monte um algoritmo que determine a solução do sistema acima, para n1=3000 e n2=4000 equações, com erro máximo Max|x(i)-xa(i)| 
<1.e-6, pelo método de Gauss-Seidel com fator de sub-relaxação 0.5, à partir da solução inicial UNITÁRIA. 
 
7). Dado o seguinte sistema linear:
 





=++
−=++
=++
12.9,2
3.51,00,01.
4.5,1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 (0,5) a). Se este sistema for resolvido por método DIRETOS, verifique se é um sistema mal-condicionado. Justifique; 
(0,5) b). Que cuidados devemos tomar adicionalmente para resolver sistemas mal-condicionados por métodos diretos; 
(2,0) c). Determine a solução x do sistema acima pelo método de Crout (sem pivotação); 
(0,5) d). Determine o resíduo máximo do sistema acima com a solução x obtida e avalie se este resíduo é satisfatório; 
(1,5) e). Monte um algoritmo, tipo x=substituicoes(n,A), que determine a solução x do sistema Ao.x=b, a partir das entradas n e A (L.U=Ao, 
A=[L\U b] matriz expandida que contém L e U (juntadas) e concatenadas com b em n linhas e n+1 colunas), resolvendo as duas substituições 
L.c=b e U.x=c e exportando a solução x; 
(0,5) f). Monte um algoritmo que determine a solução x do sistema acima Ao.x=b de n equações representado pela matriz expandida A=[Ao b], 
usando o método LU de Crout, com pivotação parcial. 
Dadas as funções: 
-> A=LU(n,A) - determina a matriz expandida decomposta, com as matrizes L, U e b armazenadas, com pivotação parcial interna, através da 
função A=pivotacao(n,A,k) - que determina a matriz expandida com linha k com o maior coeficiente em módulo na coluna k e 
-> x=substituicoes(n,A) - determina a solução x a partir da matriz expandida já decomposta (L.U=Ao), que contém L e U (juntadas) e b, fazendo 
as duas substituições L.c=b e U.x=c. 
 
8). Dado o seguinte sistema linear: 







=→=+−
−=→=−+−−
−=→=−−+−
=→=−
−
+−−
++−
+
21
21112
1211
1
i 3,0.2
1,..., 2,0 .3
1,...,2 1,03
1 1,0 
nparaxx
nniparaxxxx
niparaxxxx
iparaxx
ii
iiii
iiii
ii
 
(0,5) a). Considerando n1=3000 e n2=4000 com n2 equações, se o sistema for resolvido por métodos iterativos, a sua convergência será garantida? 
Justifique sua resposta. 
(0,5) b). Considerando o sistema acima, é recomendado testar o uso de fatores de sub-relaxação na sua resolução por métodos iterativos? Justifique sua 
resposta. 
(2,0) c). Determine a solução do sistema acima, para n1=3 e n2=4 equações, com erro máximo Max|x(i)-xa(i)| de sua escolha, pelo método de Gauss-
Seidel (sem fator de sub-relaxação), à partir da solução inicial UNITÁRIA. 
 
1). Dado o seguinte sistema de equações: 
 





=++
−=++
=++
12.9,2
3.51,00,01.
4.5,1
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 
 
a). Determine a solução do sistema acima pelo método de GAUSS (escalonamento por 
triangularização), com pivotação parcial; 
b). Verifique se o sistema acima é mal-condicionado. Justifique; 
c). Avalie os resíduos das equações e verifique se a solução obtida tem uma exatidão satisfatória. 
 
2). Elabore algoritmos que: 
 
a). Forneça a matriz pivotada [A b] através da Pivotação Parcial deuma matriz expandida [A b] 
para uma linha genérica k; 
b). Forneça a matriz [A b] triangularizada pelo método de Gauss de uma matriz expandida [A b] 
genérica; 
c). Forneça a solução S={xi} de uma sistema escrito em forma de matriz expandida já 
triangularizada [A b], pelo método da Retrosubstituição de Gauss; 
d). Forneça a matriz [A b],decomposta em L e U, pelo método de Crout a partir de uma matriz 
expandida [A b]; 
e). Forneça a solução S={xi}, a partir de um sistema cuja matriz de coeficientes já está 
decomposta em L e U pelo método de Crout, onde L e U estão armazenadas juntas na mesma 
matriz expandida [A b]; 
f). Cálcule o residuo máximo das equações de um sistema [A b] original para uma solução S={xi}. 
 
3). Determine a solução do seguinte sistema composto por uma matriz tridiagonal pelo método de 
Gauss otimizado: 
 








−=+
=+−
=+−
=−
=−
3xx
3xxx
10xx2x
4xx3
5xx
54
543
432
32
21
 
 
4). Monte um algoritmo que determine a solução do sistema acima pelo metodo de Gauss 
otimizado. 
 
5). Dado o sistema linear







=−
=→=+−
=→=−+−
=−
+−
++−
300
4999,...,3000 200 .1,2
2999,...,2 1003
150
50004999
11000
100011
21
xx
iparaxxx
iparaxxxx
xx
iii
iiii
 
a). Analise o sistema anterior de 5000 equações e escolha um método adequado para sua 
resolução. Justifique sua resposta. 
b). Se o sistema for resolvido por métodos iterativos, a sua convergência é garantida? 
c). O processo iterativo de convergência deverá ser do tipo oscilatório ou não-oscilatório 
(monotônico)? Justifique sua resposta. 
d). Elabore um algoritmo otimizado para obter sua solução com ε≤−+ ki1ki xxMax ( 510−=ε ), 
pelo método de Gauss-Seidel com sub-relaxação λ=0.8, a partir da solução inicial (0,0,0,...,0). 
 
6). Dados o seguintes sistema linear: 





=++
−=++
=++
124
3 x0,1 
42
321
321
321
xxx
xx
xxx
 
a). Verifique se este sistema possui diagonal dominante; 
b). Efetue uma pivotação parcial em todos as linhas; 
c). Verifique novamente se o sistema pivotado apresenta diagonal dominante; 
d). Resolva o sistema pivotado pelo método de Gauss-Seidel, com 
ε≤−+ ki
1k
i xxMax ( 210−=ε ), partindo da solução inicial (0,0,0). 
 
7). Responda: 
a). O que é pivotação parcial e para que serve? 
b). A pivotação parcial ajuda a minimizar o acúmulo de erros de arredonamento ao longo do 
processo de escalonamento? Justifique. 
c). Quais são os requisitos para que um sistema de equações convirja garantidamente? 
d). Quais são os requisitos para que um sistema de equações convirja rapidamente e sem 
oscilações? 
 
8). Sabendo que um computador X opera 106 operações em ponto flutuante por segundo, e que o 
número total de operações aritméticas envolvidas no método de Gauss é da ordem de O((1/3) n3) 
operações: 
a). Quanto tempo de CPU será necessário para resolver um sistema de 1000 equações neste 
mesmo computador? 
b). Quantos MB (megabytes) são necessários para armazenar um sistema de 1000 equações 
utilizando variáveis FLOAT (32 bits = 4 B) na forma de matriz expandida? 
 
9). Dado o seguinte sistema de equações: 
 
⇒





=−−
=+−
−=+−
3 .1,0 
1 2
1 .2
321
321
321
xxx
xxx
xxx
 (0,5) a). Verifique se o sistema acima é mal condicionado. Justifique; 
(2,0) b). Determine as matrizes L e U e a solução S={x1, x2, x3} do sistema A.x=b acima pelo método de decomposição L e U de 
CROUT; 
(0,5) c). Calcule o resíduo máximo da solução S obtida acima. 
 
10). Dado o seguinte sistema linear: 





=+
=++⇒−=
=+
−
+−
3.2
3.2 )1( até 2 
1
1
11
31
nn
iii
xx
xxxniPara
xx
 
(1,0) a). Considerando n=1000 equações, se o sistema for resolvido por métodos iterativos, a sua convergência será garantida? 
Justifique sua resposta. 
(1,0) b). Considerando n=1000 equações, é recomendado o uso de fatores de sub-relaxação na sua resolução por métodos iterativos? 
Justifique sua resposta. 
(2,0) c). Considerando n=4 equações, determine a solução do sistema, com erro máximo Max|xi-xai|≤ε, pelo método de Gauss-Seidel, 
com fator de sub-relaxação λ=0,8 a partir da solução inicial unitária (ε de sua escolha). Defina o erro encontrado. 
(1,5) d). Monte um algoritmo que determine a solução do sistema acima, para n=1000 equações, com erro máximo Max|xi-
xai|<0,000001, pelo método de Gauss-Seidel, com fator de sub-relaxação λ=0,8 a partir da solução inicial unitária. 
 
14). Dado o seguinte sistema de equações: 
!										x� + x" + 1,5. x$ = 42. x� + 0,5. x$ = −3	3. x� + 	x" + 2. x$ = 1 
(0,5) 1a). Verifique se o sistema acima é mal-condicionado. Justifique; 
(3,0) 1b). Determine uma solução do sistema acima pelo método de GAUSS (triangularização e retrosubstituição), com pivotação 
parcial; 
(0,5) 1c). Avalie os resíduos finais das equações e verifique se a solução obtida tem uma exatidão satisfatória. 
 
15). Dado o sistema linear para n=5000 equações: 
!para	i = 1																																							x� − x" = 150para	i = 2	à	�n − 1�						x��� + x� + x��� = 100		para	i = n			x(�� + 	x( = 300 
(1,0) 2a). Se o sistema for resolvido por métodos iterativos, como Jacobi e Gauss-Seidel, a sua convergência para a solução é 
garantida? Justifique; 
(1,0) 2b). Esse sistema pode ser resolvido pelo método de Gauss otimizado, para matriz banda tridiagonal? Justifique; 
(2,0) 2c). Elabore um algoritmo otimizado que calcule e imprima sua solução, pelo método mais eficiente (com menor número de 
operações artiméticas). Justifique a escolha do método. 
 
 
17). Dado o seguinte sistema de equações: 
! 	x� 												+ x" + 1,5. x$ = 42. x� + 0,01. x" + 0,5. x$ = −3	3. x� 								+ 	x"						 	+ 2. x$ = 1 
(1,0) 1a). Verifique se o sistema acima é mal-condicionado. Que cuidados são necessários para se resolver um sistema mal 
condicionado com exatidão. Justifique; 
(3,0) 1b). Determine a solução do sistema acima pelo método de Crout (decomposição LU); 
(0,5) 1c). Avalie os resíduos finais das equações e verifique se a solução obtida tem uma exatidão satisfatória. 
 
18). Dado o sistema linear para n=10000 equações: 
�equação	i = 1																																																																									x� + x��� = 150equação	i = 2	à�n/2�																									x��� + 9. x� + x��� + x����� = 100equação	i = �n/2 + 1�	à	�n − 1�						x�����+	x��� + 9. x� + x��� = 200equação	i = n			x��� + 	x� = 300
 
 
(0,5) 2a). Se o sistema for resolvido por métodos iterativos, como Jacobi e Gauss-Seidel, a sua convergência para a solução é 
garantida? Justifique; 
(0,5) 2b). Se o sistema for resolvido por métodos iterativos, como Jacobi e Gauss-Seidel, é recomenda a utilização de fatores de sub-
relaxação? Justifique; 
(0,5) 2c). Esse sistema pode ser resolvido pelo método de Gauss otimizado, para matriz banda tridiagonal? Justifique; 
(2,0) 2d). Monte um algoritmo otimizado, que calcule e imprima uma solução satisfatória (escolha um erro adequado) para as n=10000 
incógnitas, pelo método que você presuma efetuar o menor número de operações artiméticas em ponto flutuante (existem duas 
possibilidades de soluções otimizadas vistas em aula). Justifique a escolha do método adotado. Escolha. 
 
 
4). Dado o sistema linear com 4 tipos de equações: 







=→=+−
−=→=+−−
−=→=−
=→=−
−
−−
+
+
21
2112
11
1
i 3,0.2
1,..., 2,0 .2
1,...,2 1,0.4 
1 1,0 
nparaxx
nniparaxxx
niparaxx
iparaxx
ii
iii
ii
ii
 
(0,5) 4a). Considerando n1=300 en2=400, se o sistema for resolvido por métodos iterativos, a sua 
convergência será garantida? Justifique sua resposta. 
(0,5) 4b). Se o sistema acima convergir de forma "oscilatória" ao longo de um processo iterativo, como a 
sua convergência pode ser acelerada? Justifique sua resposta. 
(2,0) 4c). Determine a solução do sistema acima, para n1=3 e n2=4, com critério de parada max|x(i)-
xi(i)|<2.10-2 (ou estabeleça o seu critério de parada), pelo método de Gauss-Seidel (sem fator de sub-
relaxação), à partir da solução inicial NULA. 
(1,0) 4d). Como você calcularia o erro de truncamento da solução acima, para n1=3 e n2=4, obtida em 4c? 
 
(2,0) 5). Monte um algoritmo otimizado, que dada a matriz expandida Ab* = [A b], representativa do 
sistema A.x=b de n equações lineares, determine e imprima a matriz Ab* escalonada pelo método de 
Eliminação Gaussiana. Use variáveis escritas de forma clara com índices entre parênteses. 
4). Dado o sistema linear com 4 tipos de equações: 







=→=+−
−=→=−+−
−=→=−+−
=→=−
−
+−
+−
+
21
2111
111
1
i 3,0.2
1,..., 2,0 .2
1,...,2 1,0.4 
1 1,0 
nparaxx
nniparaxxx
niparaxxx
iparaxx
ii
iii
iii
ii
 
(0,5) 4a). Considerando n1=300 e n2=500, se o sistema for resolvido por métodos iterativos, a sua 
convergência será garantida? Justifique sua resposta. 
(0,5) 4b). Se o sistema acima convergir lentamente ao longo de um processo iterativo, como a sua 
convergência pode ser acelerada? Justifique sua resposta. 
(2,0) 4d). Monte um algoritmo otimizado, que determine e imprima a solução x do sistema acima 
pelo método de Gauss otimizado para matrizes tridiagonais. 
(2,0) 4e). Monte um algoritmo otimizado, que determine e imprima a solução x do sistema acima pelo 
método de Gauss-Seidel, sem fator de relaxação, com critério de parada max|x(i)-xi(i)|<1.10-4. 
(1,0) 4f). Explique como você calcularia o erro de truncamento existente na solução S, aproximada pelo 
método de Gauss-Seidel em ‘4e’, utilizando variáveis de 64 bits. 
 
(2,0) 2). Dados os m=4 sistemas A.x=bm cada um de n=3 equações abaixo, com a mesma matriz A e 
com m=4 termos independentes bim diferentes:





=−+
=+−
=++





=−+
−=+−
=++





−=−+
=+−
−=++





−=−+
=+−
=++
====
1 1,0 
3 2
52 4
 
3 1,0 
4 2
72 4
 
3 1,0 
10 2
12 4
 
3 1,0 
4 2
12 4
 
4m 3m 2m 1m 
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
xxx
 
13 33
34104 
57 11 
b , 
11,01
121
214
 A 










−−
−
−
=










−
−= 
Monte um algoritmo genérico, que determine as 'm' soluções Sm={x1m, x2m, x3m} dos 'm' sistemas 
A.x=bm acima através das duas substituições L.cm=bm e U.xm=cm propostas por Crout. 
Esta disponível a function [L U]=fLUCrout(n,A), que calcula e retorna as matrizes Lnxn e Unxn (sem 
pivotação) por decomposição da matriz Anxn pelo método de CROUT (A=L.U). 
 
3). Dado o sistema linear com 4 tipos de equações: 







=→=+−
−=→=−+−
−=→=−+−
=→=−
−
+−
+−
+
21
2111
111
1
i 3,0.2
1,..., 2,0 .2
1,...,2 1,0.4 
1 1,0 
nparaxx
nniparaxxx
niparaxxx
iparaxx
ii
iii
iii
ii
 
onde n1=300 e n2=500. 
(0,5) 3a). Se o sistema for resolvido por métodos iterativos, a sua convergência será garantida? Justifique 
sua resposta. 
(0,5) 3b). Se o sistema acima convergir ‘oscilando ou lentamente’ ao longo de um processo iterativo, como 
a sua convergência pode ser acelerada? Justifique sua resposta. 
(4,0) 3c). Monte um algoritmo otimizado, que determine e imprima a solução x do sistema acima pelo 
método de Gauss-Seidel, com fator de relaxação f=1.4, com critério de parada max|x(i)-xi(i)|<1.10-4 e 
que determine e imprima o erro de truncamento máximo da solução x obtida (utilize variáveis de 64 
bits para minimizar os efeitos dos arredondamentos). 
 
 
 
Exercícios sobre Equações não lineares e polinomiais: 
 
(3,0) 3). Dada a função ) ( 0)tan(*)( radianosxBixxxf =−= , com Bi=1: 
Monte um algoritmo que determine as n=05 (cinco) primeiras raízes positivas 'x' de f(x)=0, com erro máximo 
menor 000001,0)( 1 ≤+kxf pelo método de Newton-Raphson. Considere dados os 05 valores iniciais das 
05 primeiras raízes reais positivas, determinadas previamente, como 
xi=[ 1. 3. 6. 9. 12. ]. 
 
4). Dada a equação polinomial P4(x)= x4 + 4.x + 1 = 0: 
(0,3) a). Monte um quadro com as possibilidades de suas 4 raízes, aplicando a regra de Sinais de 
Descartes (positivas, negativas e/ou complexas); 
(0,2) b). Defina o módulo máximo destas raízes; 
(0,5) c). Estime os 04 valores iniciais para as raízes de P4(x)=0, considerando os resultado da regra de 
sinais e do módulo máximo destas raízes; 
(2,0) d). Determine uma segunda raiz real x2 de P4(x) = 0, reduzindo o grau do polinômio inicial P4(x) 
através da primeira raiz x1=-0,250992, usando o método de Newton-Raphson otimizado para polinômios 
(com Briot-Ruffini), a partir do valor inicial xi2 =-1,5, com erro máximo 001,0)( 23 ≤xP . 
 
 (3,0) 3). Dado o grau n e os coeficientes reais ai de uma equação polinomiais Pn(x)=0, sabendo que 
funções polinomiais são sempre contínuas: 
Monte um algoritmo de busca que localize todas as suas raízes reais αir, positivas e negativas, dentro do 
intervalo total [-alpha; alpha] e armazene os sub-intervalos [Air,Bir] de comprimento h=0,01, que contém 
cada raiz real αir. 
Dada: function que calcula módulo máximo das raízes: alpha=modulomax(n,a) (propriedade 9). 
 
4). Dada a equação polinomial P4(x)= x4 + x2 + 4.x + 1 = 0: 
(0,3) a). Monte um quadro com as possibilidades de suas 4 raízes, aplicando a regra de Sinais de 
Descartes (positivas, negativas e/ou complexas); 
(0,2) b). Defina o módulo máximo destas raízes; 
(0,5) c). Estime os 04 valores iniciais para as raízes de P4(x)=0, considerando os resultado da regra de 
sinais e do módulo máximo destas raízes; 
(1,5) d). Determine uma segunda raiz real x2 de P4(x) = 0, a partir do valor inicial xi2 =-1,25, no polinômio de 
grau reduzido P3(x)=0, dada a primeira raiz x1=-0,269472. Use o método de Newton-Raphson otimizado 
para polinômios (com Briot-Ruffini), com erro máximo 001,0)( 23 ≤xP . 
(1,0) e). Refine uma segunda raiz real x2=-1,24938, obtida de P3(x) = 0, usando o método de Newton-
Raphson otimizado para polinômios (com Briot-Ruffini), de modo que erro máximo 000001,0)( 24 ≤xP . 
 
(2,0)2). Dado f(x)=exp(x)−x−1 = 0 e f′(x)=exp(x)–1 . 
 
Aplicando a fórmula do método de Newton-Raphson normal, a partir de xi=1, são obtidos: 
 
f(x)=exp(x)-x-1=0 
 passo xi f(xi) f'(xi) dx=f(xi)/f'(xi) x=xi+dx f(x) erro=|f(x)|+|dx| 
0 1 0,718282 1,718282 -0,418023293 0,581977 0,207596 0,625618983 
1 0,581977 0,207596 0,789572 -0,262921666 0,319055 0,056772 0,319693675 
2 0,319055 0,056772 0,375827 -0,151058868 0,167996 0,014936 0,165994779 
3 0,167996 0,014936 0,182932 -0,081647299 0,086349 0,003838 0,085485025 
4 0,086349 0,003838 0,090187 -0,04255317 0,043796 0,000973 0,043526357 
5 0,043796 0,000973 0,044769 -0,021738018 0,022058 0,000245 0,021983088 
6 0,022058 0,000245 0,022303 -0,010988298 0,011069 6,15E-05 0,01104979 
7 0,011069 6,15E-05 0,011131 -0,005524483 0,0055451,54E-05 0,005539884 
8 0,005545 1,54E-05 0,00556 -0,00276989 0,002775 3,85E-06 0,002773744 
9 0,002775 3,85E-06 0,002779 -0,001386866 0,001388 9,64E-07 0,001387829 
10 0,001388 9,64E-07 0,001389 -0,000693914 0,000694 2,41E-07 0,000694155 
11 0,000694 2,41E-07 0,000694 -0,000347077 0,000347 6,03E-08 0,000347138 
12 0,000347 6,03E-08 0,000347 -0,000173569 0,000174 1,51E-08 0,000173584 
13 0,000174 1,51E-08 0,000174 -8,67919E-05 8,68E-05 3,77E-09 8,67957E-05 
14 8,68E-05 3,77E-09 8,68E-05 -4,33978E-05 4,34E-05 9,42E-10 4,33988E-05 
Observe que a raiz exata é 0 (zero), mas a raiz aproximada na 6a. Iteração foi de 0,021983088 (apenas 2 
dígitos estão exatos), pois o processo iterativo se tornou lento, perdeu a convergência quadrática típica do 
método de Newton-Raphson em função da redução do valor da derivada f'(x), e desta forma o cálculo de 
dx=-f/f' não foi reduzido adequadamente, pois tende à uma indeterminação 0/0. 
O erro de convergência adequado para estes casos deve considerar |dx| e |f(x)|, erro=|dx|+|f(x)|. 
Um forma de resolver esta indeterminação é aplicar a Regra de L'Hospital à expressão dx, derivando o seu 
numerador e seu denominador (dx=-f/f'=-f'/f''), de forma análoga à correção do método de Newton-Raphson 
aplicado aos polinômios com raízes múltiplas, onde também os valores de f' se tornam muito pequenos 
para multiplicidade maiores ou iguais a 2. 
Então, corrija a fórmula de Newton-raphson, dx=-f(xi)/f'(xi), aplicando a Regra de L'Hospital, e determine a 
raiz de f(x) com 10 dígitos significativos exatos, erro=|f(x)|+|dx|<1.e-10. 
 
f(x)=exp(x)-x-1=0 
 
L'Hopital 
 passo xi f'(xi) f''(xi) dx=f'(xi)/f''(xi) x=xi+dx f(x) erro=|f(x)|+|dx| 
0 1 1,718282 2,718282 -0,632120559 0,367879 0,076788 0,708908979 
1 0,367879 0,444668 1,444668 -0,307799372 0,06008 0,001842 0,309640874 
2 0,06008 0,061922 1,061922 -0,058310869 0,001769 1,57E-06 0,058312435 
3 0,001769 0,001771 1,001771 -0,001767635 1,56E-06 1,22E-12 0,001767635 
4 1,56E-06 1,56E-06 1,000002 -1,56411E-06 1,22E-12 0 1,56411E-06 
5 1,22E-12 1,22E-12 1 -1,22324E-12 7,78E-17 0 1,22324E-12 
6 7,78E-17 0 1 0 7,78E-17 0 0 
 
3). Dada a equação polinomial P5(x)= +x5 +x4 –x3 – x2 + 0,1x = 0: 
(0,5) 3a). Monte um quadro com as possibilidades de suas raízes aplicando a regra de Sinais de Descartes 
(positivas, negativas e/ou complexas); 
 
 (0,5) 3c). Determine 5 valores iniciais para as raízes de P5(x) = 0; 
(2,0) 3d). Sabendo que a última raiz encontrada de P5(x)=0 é +0.97363, calculada em P1(x)=0 por reduções 
sucessivas de grau de P5(x)=0, determine esta última raiz REFINADA aplicando o método de Newton-
Raphson otimizado no polinômio exato original, sem erros da redução de grau (P5(x)=0, ou P4(x)=0, onde 
x.P4(x)=P5(x)), com erro máximo |P5(x)|<1.e-6 (ou |P4(x)|<1.e-6). 
 
4). A função f(x)=x*tan(x)-1=0 (x radianos) tem infinitas raízes, quase-periódicas: 
(1,0) 4a). Determine um intervalo que contenha a segunda raiz real positiva 'x' (excluir descontinuidades); 
(1,0) 4b). Determine o seu valor aproximado com erro máximo e método de sua escolha. Escreva a raiz e o 
erro obtido; 
(2,0) 4c). Supondo que não seja conhecida a expressão da derivada de f(x) acima, monte um algoritmo 
completo que determine a sua segunda raiz real positiva 'x' pelo método de Newton-Raphson com derivada 
aproximada numericamente. Imprima a raiz e o erro aproximado encontrados. 
 
(3,0) 1). Monte um algoritmo, tipo function x=sqrtn(n,C), que determine n Cx = , para n∈N, C∈ℜℜℜℜ e x∈ℜℜℜℜ 
usando apenas operações artiméticas básicas: + - * / . 
P.S.: Pode ser usada uma função básica que determine um valor inicial xi de x: 
function xi=finicializa(C) 
if(C>1) xi=1+eps; 
else xi=0+eps;end 
end 
 
(4,0) 2). Monte um algoritmo que determine todas as 'n' raízes 'x', reais, complexas, simples ou múltiplas, 
de um polinômio Pn(x) de grau 'n' definido pelos seus 'n+1' coeficientes 'a', com 16 dígitos significativos 
exatos, erro=abs(∆x)<eps, onde 'eps' representa a precisão da variável 'double', de 52 bits na mantissa, 
equivale à 
2-52 = 2.2204e-016. 
 
Dados: 
-xi=fLocalizaPoli(n,a)%vetor de 'n' raízes de Pn(x), reais se existirem, 
e as demais serão genericamente raízes complexas dentro de um círculo 
limite; 
-[x M erro cont]=fNRPoliM(n,a,xi,erroMax)%determina raiz 'x', múltipla 
ou não, do polinômio de grau 'n' e coeficientes 'a', a partir de ‘xi’ c/ 
‘erroMax’; 
-b=fDivBrio(n,a,xi)%determina 'n+1' coeficientes ‘b’ da divisão Pn(x), 
de grau 'n' e coeficientes 'a', por (x-xi), via Briot-Ruffini; 
 
(1,0) 1a). Determine as cotas limites segundo a propriedade 9 e segundo a cota de Kojima, para as raízes 
de P3(x)= x3-3.3 x2+3.63 x-1.331=0. Qual das duas cotas é mais exata? 
(1,0) 1b). Faça uma análise do polinômio P3(x)= x3-3.3 x2+3.63 x-1.331=0 e determine 3 valores iniciais 
para suas raízes; 
(3,0) 1c). Determine a única raiz de P3(x)= x3-3.3 x2+3.63 x-1.331=0, com |P3(x)|<1e-9, sabendo que é uma 
raiz real positiva e de multiplicidade M=3 (use M=3 nos cálculos), a partir do valor inicial xi=2.0. 
(1,0) 1d). Prove/Justifique que a multiplicidade da raiz x=1,1de P3(x)= x3-3.3 x2+3.63 x-1.331=0 é M=3, 
usando as divisões sintéticas de Briot-Ruffini. 
 
(2,0) 2). Monte um algoritmo que determine e imprima a solução x do sistema de n=2 equações não 
lineares pelo método de Newton: )*+�,�+�, ,�-�� = ./01,�+�2 + 34.1,�-�2 − + = 5*-�,�+�, ,�-�� = ,�+�- + ,�-�- − 6 = 5																		 
Considerando como valores iniciais xi=[+1 +1] e como critério de parada max(|∆∆∆∆x(i)|)<1e-14, ∀∀∀∀i. 
 
(2,0) 3). Monte um algoritmo que determine a cota de Cauchy genérica de um polinômio Pn(x) de 
grau n e coeficientes a. 
 
Dadas as funções: 
x=fgauss(n,A), fornece a solução x do sistema de n de equações, armazenado na matriz expandida A. 
y=softwareX(x(1),x(2)), que fornece valores y de uma grandeza física X, para cada x(1) e x(2). 
 
(2,0) 1a). Determine as cotas limites segundo a propriedade 9 e segundo a cota de Cauchy, para as raízes 
de P3(x)= x3-3.3x2+3.63x-1.331=0. Qual das duas cotas é mais adequada, mais exata? 
(1,0) 1b). Faça uma análise do polinômio P3(x)= x3-3.3x2+3.63x-1.331=0 e determine 3 valores iniciais para 
suas raízes; 
(3,0) 1c). Determine uma raiz x de P3(x)=0 e sua multiplicidade M, com |P3(x)|<1e-10, a partir do valor inicial 
xi=1,0, pelo Método de Newton-Raphson. 
 
(2,0) 2). Monte um algoritmo que determine e imprima a solução x do sistema de n=2 equações não 
lineares pelo método de Newton: )*+1,�+�, ,�-�2 = 5*-1,�+�, ,�-�2 = 5 
Considerando como valores iniciais xi=[+1 +1] e como critério de parada max(|dx(i)|)<1e-14, ∀∀∀∀i. 
 
(2,0) 3). Monte um algoritmo que determine a cota de Kojima genérica de um polinômio Pn(x) de 
grau n e coeficientes a. 
 
Dadas as funções: 
x=fgauss(n,A), fornece a solução x do sistema de n de equações, armazenado na matriz 
 expandida A. 
Q=sort(q), fornece um vetor ordenado Q, crescente, a partir de um vetor q desordenado; 
[max1 imax1]=max(q), determina o valor máximo max1 de um vetor q e a sua posição 
 Imax1 dentro do vetor q. 
 
1). Monte algoritmos que: 
(2,0) 1a). Determine as cotas limites segundo a propriedade 9, segundo a cota de Cauchy (escolha 
um criteiro de parada com 4 repetições) e segundo a cota de Kojima, para as raízes de 
P3(x)=1.x3-2,7x2+2,43x-0,729=0. Qual destas cotas seria a mais adequada, mais exata? 
(1,0) 1b). Determine 3 valores iniciais para suas raízes; 
(4,0) 1c). Determine uma raiz x de P3(x)=0 e sua multiplicidade M, com |P3(x)|<1e-15, a partir do valor 
inicial xi=1,0, pelo Método de Newton-Raphson corrigido para multiplicidade M. 
P.S.: Ou calcule todos os resultados em calculadora científica, com precisão da sua máquina. 
 
(3,0) 2). Monte um algoritmo que determine e imprima a solução x do sistema de n=2equações não 
lineares pelo método de Newton: )*+1,�+�, ,�-�2 = 5*-1,�+�, ,�-�2 = 5 
Considerando como valores iniciais xi=[+1 +1] e como critério de parada max(|dx(i)|)<1e-14, ∀∀∀∀i. 
 
Dadas as funções: 
x=fgauss(n,A), fornece a solução x do sistema de n de equações, armazenado na matriz 
 expandida A. 
Q=sort(q), fornece um vetor ordenado Q, crescente, a partir de um vetor q desordenado; 
[max1 imax1]=max(q), determina o valor máximo max1 de um vetor q e a sua posição 
 imax1 dentro do vetor q. 
 
(2,0) 3). Monte um algoritmo completo que determine uma solução x=[x1, x2] das equações abaixo pelo método 
de Newton com 10 digitos significativos exatos (erro=max|x(i)-xi(i)|<1.e-10), a partir da solução inicial 
UNITÁRIA: 
 
424
1
21
2
2
2
1
21



=+−+
=
xxxx
xx
 
Dada uma function x=fGauss(n,A), que determina a solução x de um sistema pelo método de escalonamento de 
Gauss. 
 
(3,0) 3). Monte um algoritmo completo que determine uma solução x=[x1, x2] das equações abaixo pelo 
método de Newton com 10 digitos significativos exatos (erro=max|x(i)-xi(i)|<1.e-10), a partir da solução 
inicial UNITÁRIA: 
 
;0),(
;0),(
212
211



=
=
xxf
xxf
 
Dados: 
- function x=fGauss(n,A), que determina a solução x de um sistema pelo método de escalonamento de 
Gauss (A.x=b -> A=[A b]); 
- function y=f1(x) e function y=f2(x). 
 
(1,5) 9). Dada a equação de estado de Van der Walls,78 + 9:-; �: − <� = = ∗ ?, onde R é a constante universal dos gases = 8,314 (J)/(mol.K). Os valores 
de ‘a’ e ‘b’ são parâmetros de cada gás. Conhecidas as seguintes propriedades físicas de um gás X e dois estados físicos: P,v,T: 
T (K) 300 600 
v (m3/kmol ) 0,5 0,2 
P (kPa) 6235,10 49881,50 
Aplique os 2 pontos dados acima, na equação de Van der Walls, gerando 2 funções não lineares, conforme abaixo: 
@��a, b� = 7B1 + CD�E; �F1 − G� − H ∗ I1 = 0 e @"�a, b� = 7B2 + CD"E; �F2 − G� − H ∗ I2 = 0 
Monte um algoritmo que determine os 2 parâmetros deste gás X, com Erro=Max|dx(i)|<0,00001, usando o Método de Newton, a partir da 
solução inicial: (a*;b*)=(0,2;0,2). Dada a função x=fgauss(n,A,b), que determina a solução x de sistema linear A.x=b. 
(3,0) 10). Dado o sistema: 




=−+
=−+
00,84
01,1)..2cos(
4/1
2
4
1
21
2
1
xx
xxx
 
Determine uma solução S={x1,x2} (radianos) deste sistema usando o Método de Newton, a partir da solução inicial (0,4;0,4) com erro 
máximo de sua escolha. Defina a solução e o erro máximo encontrados. 
 
 
 
Exercicios sobre interpolação e ajuste de curvas: 
 
1). Suponha que você precise avaliar a função f(x)=ln(x), em x∈[1; 2], utilizando apenas operações 
algébricas via interpolação polinomial, para utilizar posteriormente em um processador embarcado. 
a). Determine o grau “n” mínimo necessário do polinômio interpolador Pn(x) para que o erro de truncamento 
máximo estimado seja da ordem de 10-2 (<101/2.10-2); (1,0) 
b). Determine a expressão do interpolador polinomial Pn(x) representativo de f(x) com n=2 no intervalo 
x∈[1;2] por um método qualquer para um x genérico; (1,0) 
c). Avalie o erro de truncamento máximo estimado e o erro de truncamento máximo exato, entre Pn(x) e 
f(x), para n=2. Verifique que o erro de truncamento máximo exato deve ficar abaixo do erro de truncamento 
máximo estimado; (1,0) 
d). Monte um algoritmo de busca que determine o grau ‘n’ mínimo do polinômio interpolador Pn(x) 
necessário para que o erro de truncamento máximo ‘exato’, entre Pn(x) e f(x), seja da ordem de 10-6 
(<101/2.10-6), com f(x)=ln(x), em x∈∈∈∈[1; 2]. Sugestão: Monte um algoritmo que incremente 
sequencialmente o valor de n até que o erro de truncamento máximo exato menor 101/2.10-6. (2,0) 
 
2).A tabela abaixo com m=5 pontos, obtida experimentalmente, que relaciona a viscosidade adimensional V 
de uma material fictício em função da sua temperatura adimensional T: 
T=[ 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 ]; 
V=[ 0.09 0.15 0.20 0.27 0.33 ]; 
Considere que o comportamento da viscosidade V em função da temperatura T do material é conhecido e 
dado por uma função não polinomial V(T)=ln(a+b*T2), 
a). Avalie os parâmetros 'a' e 'b' através de ajuste de curvas transformado para polinomial, de modo a levar 
em conta todas as m=5 medições experimentais; (2,0) 
b). Calcule o desvio quadrático total médio, entre V(Ti)=ln(a+b*Ti2) e Vi medido experimentalmente; (1,0) 
c). Monte um algoritmo que determine e imprima os parâmetros a e b não lineares, de 
V(T)=ln(a+b*T2), através de ajuste de curvas direto, com a minimização do desvio quadrático 
 J�9, <� = ∑ 7LM�9 + < ∗ ?�N�-� − O�N�;-PNQ+ , considerando as medições experimentais acima. (2,0) 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Dadas as funções: 
i). s=fgauss(Nsis,A), onde Nsis = número de equações do sistema armazenado na matriz expandida A e s é 
a solução do sistema; 
ii). z=fresto(n,coef,xp), onde n = grau do polinômio Pn(x), coef(i) = vetor de coeficientes de Pn(x) em ordem 
crescente de grau e xp é o valor para o qual é calculado o valor z=Pn(x=xp); 
iii). z=fLagrange(n,x,y,xp), onde x e y são os vetores de pontos exatos da função f(x) a ser interpolada, n é 
o número de subdivisões do intervalo [a;b] utilizada para determinar x e y, xp é o valor para o qual é 
calculado o valor z=Pn(x=xp) pelo método de Lagrange; 
iv). z=fLagrange(n,x,y,xp), onde x e y são os vetores de pontos exatos da função f(x) a ser interpolada, n é 
o número de subdivisões do intervalo [a;b] utilizada para determinar x e y, xp é o valor para o qual é 
calculado o valor z=Pn(x=xp) pelo método de Gregory-Newton. 
 
1). Suponha que você precise avaliar a função f(x)=sen(-1+x), em x∈[1; 2] (radianos), utilizando apenas 
operações algébricas via interpolação polinomial, para utilizar posteriormente em um processador 
embarcado (não um computador completo). 
a). Determine o grau “n” mínimo necessário do polinômio interpolador Pn(x) para que o erro de truncamento 
máximo estimado seja da ordem de 10-3 (<101/2.10-3); (1,0) 
b). Determine a expressão do interpolador polinomial Pn(x) representativo de f(x) com n=2 no intervalo 
x∈[1;2] por um método qualquer para um x genérico. (use pelo menos 6 dígitos significativos); (1,0) 
c). Avalie o erro de truncamento máximo estimado e o erro máximo exato, entre Pn(x) e f(x), para n=2. 
Verifique que o erro máximo exato deve ficar abaixo do erro de truncamento máximo estimado; (1,0) 
d). Monte um algoritmo que determine os n+1 coeficientes do interpolador Pn(x), representativo de 
f(x)=sen(-1+T), em x∈∈∈∈[1; 2], para grau ‘n’ genérico, e calcule o valor numérico do polinômio 
interpolador em função dos coeficientes obtidos em x qualquer. (2,0) 
 
2).A tabela abaixo com m=5 pontos, obtida experimentalmente, que relaciona a viscosidade adimensional V 
de uma material fictício em função da sua temperatura adimensional T: 
T=[ 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 ]; 
V=[ 0.00 0.24 0.48 0.68 0.85 ]; 
Considere que o comportamento da viscosidade V em função da temperatura T do material é conhecido e 
dado por uma função não polinomial V(T)=sen(a+b*T), [T radianos]. 
a). Avalie os parâmetros 'a' e 'b' através de ajuste de curvas parametrizado, transformado para polinomial, 
de modo a levar em conta todas as m=5 medições experimentais; (2,0) 
b). Calcule V(T=1,5), pela função V(T)=sen(a+b*T) ajustada e calcule o desvio local em T=1,5; (1,0) 
c). Monte um algoritmo que determine e imprima os parâmetros a e b não lineares, de 
V(T)=sen(a+b*T), através de ajuste de curvas direto, com a minimização do desvio quadrático 
 R�S, G� = ∑ 7TUV1S + G ∗ I�W�2 − X�W�;"YZQ� , de modo a considerar as m=5 medições experimentais 
acima.(2,0) 
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Dadas as funções: x=fgauss(Nsis,A), onde Nsis = número de equações do sistema armazenado na matriz 
expandida A e x é a solução do sistema; e a função y=fresto(n,coef,xp), onde n = grau do polinômio Pn(x), 
coef(i) = vetor de coeficientes de Pn(x) em ordem crescente de grau e xp é o valor para o qual é calculado 
o valor y=Pn(x=xp). 
 
1). Suponha que você precise avaliar a função f(x)=ln(1+x), em x∈[0;1], utilizando apenas operações 
algébricas via interpolação polinomial, em um processador embarcado (não um computador completo). 
a). Determine o grau “n” mínimo necessário do polinômio interpolador Pn(x) para que o erro de truncamento 
máximo seja inferior a 10-6; (1,0) 
b). Determine o interpolador Pn(x) representativo de f(x) com n=2 no intervalo x∈[0;1] por qualquer método. 
(use 6 dígitos significativos); (1,0) 
c). Avalie o erro de truncamento máximo e o erro exato, entre Pn(x) e f(x) em x=0.2 para n=2. Verifique que 
o erro exato deve ficar abaixo do erro de truncamento máximo para n=2; (1,0) 
d). Monte um algoritmo que determine os n+1 coeficientes do interpolador Pn(x), representativo de 
f(x)=ln(1+x) no intervalo x∈∈∈∈[0;1], para grau ‘n’ genérico. Mostre, em um comentário, a forma final do 
polinômio interpolador em função dos coeficientes obtidos. (2,0) 
 
2).A tabela abaixo com m=5 pontos, obtidos experimentalmente, relaciona o volume adimensional de álcool 
gerado V em um reator fictício em função da sua temperatura adimensional T média de reação: 
T=[ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ]; 
V=[1.18 1.33 1.47 1.58 1.69 ]; 
Considere que o comportamento do volume de álcool gerado V em função da sua temperatura média de 
reação T é conhecida e dada por uma função não polinomial V(T)=a + b*ln(1+T). 
a). Avalie os parâmetros 'a' e 'b' através de ajuste de curvas parametrizado, transformado para polinomial, 
de modo a levar em conta todas as m=5 medições experimentais; (1,0) 
b). Calcule V(T=0.8), pela função V(T)=a + b*ln(1+T) ajustada e calcule o seu desvio local em T=0.8;(0,5) 
c). Determine os parâmetros ‘a’ e ‘b’, diretamente através da minimização do desvio quadrático D(a,b) entre 
V(T)=a + b*ln(1+T), calculado em cada ponto T(k), e o valor efetivamente medido de V(k), k=1 a m: [�\, ]� = ∑ �\	 + 	] ∗ ^0�+ + _�`�� − a�`��-b`Q+ . Compare com os valores ‘a’ e ‘b’ obtidos no item ‘a’. (1,5) 
d). Monte um algoritmo que determine os parâmetros a e b, de V(T)=a + b*ln(1+T), através de ajuste 
de curvas, parametrizado ou direto, de modo a considerar as m=5 medições experimentais acima. 
(2,0) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Dada a função x=fgauss(Nsis,A), onde Nsis = número de equações do sistema armazenado na matriz 
expandida A. 
 
 
1). Suponha que você precise avaliar a função f(x)=cos(x), em x∈[0; 1] radianos, utilizando apenas 
operações algébricas via interpolação polinomial, para usar em um processador embarcado (não um 
computador completo). 
a). Determine o grau “n” mínimo necessário do polinômio interpolador Pn(x) para que o erro de truncamento 
máximo seja inferior a 10-6; (1,0) 
b). Determine o valor numérico do interpolador Pn(x) representativo de f(x) com n=2 em x=0.2, por qualquer 
método; (1,0) 
c). Avalie o erro de truncamento máximo e o erro exato, entre Pn(x) e f(x) em x=0.2 para n=2. Verifique que 
o erro exato deve ficar abaixo do erro de truncamento máximo para n=2; (1,0) 
d). Monte um algoritmo que determine os n+1 coeficientes do interpolador Pn(x), representativo de 
f(x)= cos(x), no intervalo x∈∈∈∈[0;1], para grau ‘n’ genérico. Calcule e imprima o valor numérico do 
polinômio interpolador em x=0.2 em função dos coeficientes obtidos. (2,0) 
 
2). A tabela abaixo com m=5 pontos, obtidos experimentalmente, relaciona o volume adimensional de 
álcool gerado V em um reator fictício em função da sua temperatura adimensional T média de reação: 
T=[ 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ]; 
V=[ 0.04 0.14 0.30 0.49 0.69 ]; 
Considere que o comportamento do volume de álcool gerado V em função da sua temperatura média de 
reação T é conhecida e dada por uma função não polinomial X�I� = cV�S	 + 	G ∗ I"�. 
a). Avalie os parâmetros a e b através de ajuste de curvas parametrizado, transformado para polinomial, de 
modo a levar em conta todas as m=5 medições experimentais; (1,0) 
b). Calcule V(T=0.8), pela função X�I� = cV�S	 + 	G ∗ I"�	ajustada e calcule o seu desvio local em T=0.8; 
(0,5) 
c). Determine as duas equações não lineares que permitem calcular diretamente os parâmetros 'a' e 'b', 
atravéz da minimização do desvio quadrático D(a,b) entre X�I� = cV�S	 + 	G ∗ I"�,	calculado em cada ponto 
T(k), e o valor efetivamente medido de V(k), para k=1 até m: D�a, b� = ∑ 1cV�S	 + 	G ∗ IZ"� − XZ 2"efQ� . Como 
você determinaria ‘a’ e ‘b’? (1,5) 
d). Monte um algoritmo que determine os parâmetros a e b, de X�I� = cV�S	 + 	G ∗ I"� através de 
ajuste de curvas, parametrizado ou direto, de modo a considerar as m=5 medições experimentais 
acima. (2,0) 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Dada a função x=fgauss(Nsis,A), onde Nsis = número de equações do sistema armazenado na matriz 
expandida A. 
 
2). A tabela abaixo com m=4 pontos, obtida experimentalmente, relaciona a viscosidade adimensional V de uma 
material fictício em função da sua temperatura adimensional T: 
T=[ 1.00 1.25 1.50 1.75 ]; 
V=[ 0.00 0.24 0.48 0.68 ]; 
Considere que o comportamento da viscosidade V em função da temperatura T do material é conhecido e dado por 
uma função não polinomial V(T)=sen(a+b*T), [T radianos]. 
(1,0) 2a). Avalie os parâmetros 'a' e 'b' através de ajuste de curvas transformado para polinomial, de modo a levar em 
conta todas as m=4 medições experimentais; 
(2,0) 2b). Monte um algoritmo que determine e imprima os parâmetros a e b não lineares, de V(T)=sen(a+b*T), 
através de ajuste de curvas transformado para polinomial, pelo método dos mínimos quadrados, de modo a 
considerar as m=4 medições experimentais acima. Determine e imprima o desvio quadrático final médio J�9, <� = +P∑ 7ghM19 + < ∗ ?�N�2 − O�N�;-PNQ+ . 
 
1). Suponha que você esteja usando um compilador (linguagem de programação) muito eficiente 
computacionalmente, e por isso não disponha de todas as funções matemáticas pré-definidas. 
Então, se você precisa avaliar a função f(x)=exp(-x/2), em x pertence a [1;2], utilizando apenas 
operações algébricas: 
a). Que método de aproximação você escolheria: interpolação ou ajuste? Justifique. 
b). Se optar pela interpolação polinomial, qual seria o grau “n” mínimo necessário do polinômio 
interpolador Pn(x) para que o erro de truncamento máximo seja da ordem de 10-6? 
c). Avalie Pn(x=1,378) com n=2 e calcule o erro exato, via determinação do polinômio interpolador 
escrito na base canônica; 
d). Avalie Pn(x=1,378) com n=2 e calcule o erro exato, via utilização do interpolador escrito na 
base dos polinômios de Lagrange; 
e). Avalie Pn(x=1,378) com n=2 e calcule o erro exato, via utilização do interpolador de Gregory-
Newton com diferenças Divididas (Dyi); 
 
 2). 
a). Em que situações você empregaria o ajuste polinomial ao invés da interpolação polinomial. 
b). Quando se determina um polinômio através da interpolação polinomial, esse polinômio 
satisfaz uma determinada condição. Qual é esta condição estabelecida? 
c). Quando se determina um polinômio através do ajuste pelos mínimos quadrados, esse 
polinômio satisfaz uma determinada condição. Qual é esta condição estabelecida? 
d). Quando ajustamos um polinômio Pn(x) de grau n a uma tabela de n+1 pontos estamosobtendo o próprio polinômio interpolador. Justifique esta afirmação. 
 3). O comportamento de um determinado problema físico é C(t)=Co.Kt matematicamente 
modelado pela seguinte função: . A Tabela abaixo foi obtida experimentalmente em laboratório: 
 
t 0 1 2 3 4 
C(t) 1 2.5 4.6 10 20 
 
a). Determine Co e K baseado em um ajuste linearizado da função citada sobre todos os pontos 
acima; 
b). Determine C(t) em t=2.5 através do ajuste obtido em (a). Analise a consistência do valor 
obtido. 
 
4). A tabela abaixo relaciona, experimentalmente, o volume de álcool gerado em uma mistura em 
função da sua temperatura de reação: 
 
Temperatura(oC) 13.9 37.0 67.8 79.0 85.5 93.1 99.2 
Volume(cm3) 1.04 1.18 1.29 1.35 1.28 1.21 1.06 
 
a). Que metodologia você usará para equacionar o comportamento do volume de álcool em 
função da temperatura na faixa medida. Justifique. 
b). Faça o equacionamento citado no item a) e forneça uma função representativa para o 
comportamento na faixa medida. 
 
5). Uma empresa de catalizadores de concreto está testando um novo produto e relacionou a 
quantidade de catalizador A (g/kg) usada no concreto com a sua resistência final R a compressão 
após a cura (103kgf/cm2), conforme a tabela abaixo: 
 
Catalizador (g/kg) 1.9 2.60 4.5 6.20 7.5 8.6 9.6 
Resistência (kgf/cm2) 4 12 19 25 29 32 33 
 
a). Que metodologia você usará para equacionar a resistência final R (103 kgf/cm2) do concreto 
em função da quantidade do catalizador A (g/kg) usada. Justifique. 
b). Faça o equacionamento citado no item a), pelo método de ajuste de curvas que forneça um 
polinômio representativo para o comportamento tabelado. Justifique a escolha do grau n do 
polinômio que será usado (faça um gráfico dos pontos tabelados). 
 
6). Suponha que a concentração C de um certo componente de uma reação eletroquímica siga a 
seguinte correlação temporal, 
C(t)=(a+b.e-t)^(1/2) 
Uma série de medições experimentais gerou os seguinte dados: 
t (s) 0 1 2 3 4 5 
C(mol/l.s) 11.5 8.9 7.6 5.9 4.6 4.4 
Avalie os parâmetros a e b através de uma aproximação que leve em conta todas as medições 
experimentais. Justifique a escolha do método de solução. 
7). A tabela abaixo relaciona m=3 pontos, obtidos com exatidão, que relacionam o volume 
adimensional de álcool gerado V em um reator em função da sua temperatura adimensional T 
média de reação: 
T=[1.00 1.05 1.10 ] 
V=[1.00 0.90 0.81 ] 
 
a). Faça um gráfico representativo dos primeiros m=3 pontos V(T) obtidos experimentalmente; 
b). Obtenha a formula geral do polinômio interpolador de grau n=m-1=2 escrito na base canônica, 
correspondente a esses 3 pontos; 
c). Obtenha a formula geral do polinômio interpolador de Lagrange de grau 2; 
d). Obtenha a formula geral do polinômio interpolador de Gregory Newton de grau 2. 
 
 
1). A tabela abaixo com m=5 pontos, obtida de testes experimentais, relaciona o tempo T de download de 
arquivos em função da velocidade adimensional instantânea da banda V: 
V=[ 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 ]; 
T=[ 0.09 0.15 0.20 0.27 0.33 ]; 
Considere que o comportamento de T em função de V é conhecido e dado por uma função não polinomial 
T(V)=ln(a+b*V2): 
(2,0) 1a). Construa as 2 equações não lineares que permitem calcular os parâmetros a e b da eq. T(V) 
acima, através de ajuste de curvas direto, com minimização do desvio quadrático 
 R�S, G� = ∑ 1cV�S + G ∗ X�W�"� − I�W�2"YZQ� , considerando as medições efetuadas acima; 
(2,0) 1b). Monte um algoritmo completo que determine e imprima os parâmetros a e b, não lineares, de 
T(V)=ln(a+b*V2) acima; 
(1,0) 1b). Monte um algoritmo que determine e imprima o desvio quadrático total médio 
 R�S, G� = �Y∑ 1cV�S + G ∗ X�W�"� − I�W�2"YZQ� final, após ter obtido ‘a’ e ‘b’. 
1). Suponha que você precise calcular a função f(x)=cos(x), em x∈[0; pi/2] (radianos), utilizando apenas 
operações algébricas via interpolação polinomial: 
a). Monte um algoritmo completo que determine e imprima o valor do interpolador Pn(x) escrito na 
forma proposta por Gregory-Newton, que represente f(x)=cos(x), em x∈∈∈∈[0; pipipipi/2], para um grau ‘n’ e 
um xp genéricos (use n=6 e xp=1, p. ex.); (2,5) 
b). Monte um algoritmo completo que determine o erro máximo 'exato' do interpolador Pn(x) acima, 
representativo de f(x)=cos(x), no intervalo x∈∈∈∈[0; pipipipi/2], para um grau ‘n’ genérico (considere disponivel, 
nesta questão 1b, que um função yp=fGregoryNewton(n,a,b,xp) esteja disponível para interpolar f(x) em um 
xp genérico (vetorial)). (2,5) 
 
2). A tabela abaixo com m=4 pontos, obtida experimentalmente, relaciona a viscosidade adimensional V de 
uma material fictício em função da sua temperatura adimensional T: 
T 0,00 0,39 0,78 1,18 
V(T) 0,99 0,92 0,71 0,38 
Considere que o comportamento da viscosidade V em função da temperatura T do material é conhecido e 
dado por uma função não polinomial V(T)= a*T+b*cos(T), [T radianos]. 
a). Determine as duas equações lineares que permitem determinar os parâmetros 'a' e 'b' através de ajuste 
de curvas 'direto', minimizando o desvio quadrático total, de modo a levar em conta todas as m=4 medições 
experimentais; (2,0) 
b). Calcule os parâmetros 'a' e 'b' através de ajuste de curvas 'direto', minimizando o desvio quadrático 
total, de modo a levar em conta todas as m=4 medições experimentais; (2,0) 
c). Calcule o desvio quadrático total médio, considerando 'a' e 'b' calculados acima (ou use a=0,01 e 
b=0,99, p. ex.); (1,0) 
 
Fornecidas as funções: 
s=fgauss(neq,A), onde neq = número de equações do sistema armazenado na matriz expandida A e s é a 
solução do sistema; e 
y=fresto(n,coef,xp), onde n = grau do polinômio Pn(x), coef(i) = vetor de coeficientes de Pn(x) em ordem 
decrescente de grau e xp é um vetor de valores x para o qual é calculado o valor do polinômio y=Pn(x=xp) 
através do resto da divisão sintética de Briot-Ruffini. 
 
 
1). Suponha que você precise avaliar a função f(x)=tg(x), em x∈[0; pi/4] (radianos), utilizando apenas 
operações algébricas via interpolação polinomial, para utilizar posteriormente em um sistema embarcado 
(sem bibliotecas matemáticas). 
a). Determine a expressão do interpolador polinomial Pn(x) de Gregory-Newton, representativo de 
f(x) com n=2 no intervalo x∈[0; pi/4] para um x genérico; (2,0) 
b). Calcule o erro de truncamento 'máximo' estimado pelo resto da série de Taylor no intervalo 
x∈[0; pi/4] para n=2; (0,5) 
c). Calcule o erro máximo exato, entre Pn(x) e f(x), no intervalo x∈[0; pi/4] para n=2; (2,0) 
d). Verifique que o erro máximo exato deve ficar abaixo do erro de truncamento máximo estimado pelo 
resto da série de Taylor para o mesmo n. Explique o porquê. (0,5) 
 
2). A tabela abaixo com m=5 pontos, obtida experimentalmente, relaciona a Tensão adimensional T limite 
de ruptura de uma material fictício em função da sua temperatura adimensional t: 
t(temperatura 0,00 0,2 0,3 0,4 0,5 
T (tensão) 1,55 1,11 0,95 0,78 0,70 
Considere que o comportamento da Tensão de ruptura T em função da temperatura t do material é 
conhecido e dado por uma função não polinomial T(t)=tg(a+b*t), [a, b e t adimensionais]: 
a). Monte algoritmos, tipo functions, para cada uma das 2 funções não lineares f1(x) e f2(x), com 
x=[a b] (vetorial), que permitem calcular os parâmetros mínimos x(1)=a e x(2)=b do desvio 
quadrático J�9, <� = ∑ 7ij19 + < ∗ i�N�2 − ?�N�;-PNQ+ , considerando as m=5 medições experimentais 
acima; (2,0) 
b). Monte um algoritmo que determine e imprima os parâmetros 'a' e 'b' não lineares de 
T(t)=tg(a+b*t), através do ajuste de curvas direto, considerando que as funções k+�l� = mJm9 e k-�l� = mJm< do mínimo desvio quadrático D estão definidas e disponíveis do item a); (2,0) 
c). Monte um algoritmo, tipo function, que calcule e imprima o desvio em módulo médio, 
considerando que 'a' e 'b' de T(t)=tg(a+b*t) ajustado estão disponiveis (a=1,b=-0.8, p. ex.). (1,0) 
 
Fornecidas as funções: 
x=fgauss(neq,A), onde neq = número de equações do sistema armazenado na matriz expandida A e x é a 
solução do sistema; e 
y=fresto(n,coef,xp), onde n = grau do polinômio Pn(x), coef(i) = vetor de coeficientes de Pn(x) em ordem 
decrescente de grau e xp é o valor para o qual é calculado o valor do polinômio y=Pn(x=xp) através do 
resto da divisão sintética de Briot-Ruffini. 
2). A tabela abaixo com m=5 pontos, obtida experimentalmente, relaciona a Tensão adimensional T limite 
de ruptura de uma material fictício em função da sua temperatura adimensional t: 
t(temperatura 0,00 0,2 0,3 0,4 0,5 
T (tensão) 1,56 1,31 1,12 0,95 0,81 
Considere que o comportamento da Tensão de ruptura T em função da temperatura t do material é 
conhecido e dado por uma função não polinomial T(t)=tg(a+b*t2), [a, b e t adimensionais]: 
(2,0) 2a). Monte algoritmos, tipo functions, para cada uma das 2 funções não lineares f1(x) e f2(x), com 
x=[a b] (vetorial), que permitem calcular os parâmetros mínimos x(1)=a e x(2)=b do desvio quadrático R�S, G� = ∑ 1no�S + G ∗ n�W�"� − I�W�2"YZQ� , considerando as m=5 medições experimentais acima; 
(1,0) 2b). Determine e imprima os parâmetros 'a' e 'b' não lineares de T(t)=tg(a+b*t2), através do ajuste de 
curvas direto, utilizando as funções p��q� = rsrC e p"�q� = rsrt do mínimo desvio quadrático D definidas no 
item a), com precisão de pelo menos 5 dígitos significativos; 
(1,0) 2c). Plote um gráfico com o pontos experimentais t x T e como a curva ajustada T(t)=tg(a+b*t2); 
(1,0) 2d). Calcule e imprima o desvio quadrático médio, considerando 'a' e 'b' de T(t)=tg(a+b*t2) ajustado em 
2b). 
 
 
 
 
Exercícios sobre Integração Numérica 
1). Considere a integral dxxI )1(
2
1
3∫ += , 
a). Determine o número ‘n’ de subdivisões necessários para que I tenha um erro de truncamento 
máximo inferior a 10-6 quando calculado pelo método dos trapézios Tn; 
b). Se você integrar I numericamente, com o número n de subdivisões obtidos acima, o erro total 
cometido será inferior a 10-6? Justifique sua resposta. 
c). Determine, em computador, o número ‘n’ de subdivisões em que o erro total estimado do 
resultado Tn obtido pelo método dos trapézios seja mínimo (Erro estimado = |Tn-T2n|). O que 
ocorre se usarmos um valor de ‘n’ superior a este que gerou o erro total mínimo? 
d). Determine o número ‘n’ de subdivisões necessários para que I tenha um erro de truncamento 
máximo inferior a 10-6 quando calculado pelo método de Simpson de 2ª ordem Sn; 
e). Determine o número ‘m’ (= n+1) de pontos calculados da função f(x) necessários para que I 
tenha um erro de truncamento máximo inferior a 10-6 quando calculado pelo método de Gauss-
Legendre Gm; 
f). Determine a integral I em cada um dos 3 (três) métodos citados com n=2 subdivisões (ou 
m=n+1=3 para o método de Gauss-Legendre); 
g). Avalie o erro exato em cada caso, comparando com o resultado exato; 
h). Qual dos métodos de integração vistos acima é computacionalmente o mais eficiente; 
 
2). Monte um algoritmo genérico para encontrar o valor numérico da integral I = ∫
b
a
dx)x(f , e seu 
erro de truncamento estimado, usando: 
a). Método Trapézios com ’n’ subdivisões, Tn; 
b). Método Simpson de 2ª ordem com ’n’ subdivisões, Sn; 
c). Método Gauss-Legendre com ’m’ pontos de avaliação, Gm. 
 
3). Considere a integral dxxsqrtdxxfI
b
 )( )(
2
1a
∫∫ == , 







=== ∫∫
2/3
1/2
.3/2 x )( xdxdxxsqrtI 
(0,5) 3a). Calcule o número ‘m’ mínimo de pontos do intervalo [a;b] necessários para que I tenha um erro de 
truncamento máximo O(10-4), quando calculado pelo método de Gauss-Legendre; 
(1,0) 3b). Calcule a integral numérica de Gauss-Legendre, com m=3 pontos; 
(2,0) 3c). Monte um algoritmo de busca que determine o número de pontos ‘m’ mínimo (tabela com ‘m’ até 5 
pontos) para que a integral I aproximada pelo método de Gauss-Legendre Gm, tenha um erro de truncamento 
máximo ‘exato’ estimado, através de |Gm-Gm+1|, da ordem de 10-6, para f(x)=sqrt(x), em x∈∈∈∈[1; 2]. Sugestão: 
Monte um algoritmo que incremente sequencialmente o valor de 'm' enquanto o erro de truncamento máximo 
‘exato’ estimado estiver maior que 101/2.10-6. (2,0) 
--------------------------------------------------------------------------------- 
Dadas as funções: 
i). Tn=fTn(a,b,n), que determina o valor da Integral numérica I de f(x) pelo método de Trapézios; 
ii). Sn=fSn(a,b,n), que determina o valor da Integral numérica I de f(x) pelo método de Simpson; 
iii). Gm=fGm(a,b,m), que determina o valor da Integral numérica I de f(x) pelo método de Gauss-Legendre (m até 5 
pontos); 
iv). y=f(x), que determina o valor de y para cada x de )()( xsqrtxf = ; 
v). x=fgauss(Nsis,A), onde Nsis = número de equações do sistema armazenado na matriz expandida A e x é a solução 
do sistema; 
 
1). Considere a integral dxxsqrtdxxfI
b
 )( )(
2
1a
∫∫ == , 







=== ∫∫
2/3
1/2
.3/2 x )( xdxdxxsqrtI 
1a). Determine o número ‘n' de subdivisões necessárias do intervalo [a;b], para que I tenha um erro de truncamento 
máximo da ordem de 10-6 quando calculado pelo método de Simpson, Sn; (1,0) 
1b). Determine a integral numérica pelo método de Simpson, Sn, com n=8 subdivisões; (2,0) 
1c). Monte um algoritmo genérico para determinar o número de subdivisões ‘n’ mínimo para que a integral I 
aproximada pelo método de Simpson, Sn, tenha um erro máximo estimado da ordem de 10-6. (2,0) 
Sugestão: Monte um algoritmo que incremente, de dois em dois, o valor de 'n' (PAR), enquanto o 
erro de truncamento máximo ‘exato’ estimado estiver maior que 101/2.10-6. 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
Dadas as funções: 
i). Tn=fTn(a,b,n), que determina o valor da Integral numérica I de f(x) pelo método de Trapézios; 
ii). Sn=fSn(a,b,n), que determina o valor da Integral numérica I de f(x) pelo método de Simpson; 
iii). Gm=fGm(a,b,m), que determina o valor da Integral numérica I de f(x) pelo método de Gauss-Legendre; 
iv). y=f(x), que determina o valor de y para cada x de )ln()( xxf = ; 
 
1). Considere a integral dxxdxxfI
b
 )ln( )(
2
1a
∫∫ == , 






−== ∫ )1).(ln( )ln( xxdxxI 
1a). Determine o número ‘m' de pontos necessários do intervalo [a;b], n=m-1, para que I tenha um erro de truncamento 
máximo da ordem de 10-3 quando calculado pelo método de Gauss-Legendre, Gm; (1,0) 
1b). Determine a integral numérica pelo método de Gauss-Legendre Gm, com m=2 pontos; (1,0) 
1c). Determine a integral numérica pelo método de Gauss-Legendre Gm, com m=3 pontos; (1,0) 
1d). Avalie o erro exato estimado, comparando G2 com G3 (0,5) 
1e). Monte um algoritmo de busca que determine o número de pontos ‘m’ mínimo (tabela com ‘m’ até 5) 
para que a integral I aproximada pelo método de Gauss-Legendre Gm, tenha um erro de truncamento 
máximo ‘exato’ estimado através de |Gm-Gm+1|, da ordem de 10-6, com f(x)=ln(x), em x∈∈∈∈[1; 2]. 
Sugestão: Monte um algoritmo que incremente sequencialmente o valor de 'm' enquanto o erro de 
truncamento máximo ‘exato’ estimado estiver maior que 101/2.10-6. (2,0) 
Dadas as funções: 
i). Tn=fTn(a,b,n), que determina o valor da Integral numérica I de f(x) pelo método de Trapézios; 
ii). Sn=fSn(a,b,n), que determina o valor da Integral numérica I de f(x) pelo método de Simpson; 
iii). Gm=fGm(a,b,m), que determina o valor da Integral numérica I de f(x) pelo método de Gauss-Legendre; 
iv). y=f(x), que determina o valor de y para cada x de )ln()( xxf = ; 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
1). Considere a integral dxx
dxxfI
b
 )1(
1
 )(
2
1
2
a
∫∫ +
== ,








+
==
+
∫ 1
 
1
n
uduuI
n
n
 
(2,0) 1a). Calcule a integral numérica pelo método de Simpson, Sn, com n=8 subdivisões, e seu erro exato para 
conferir; 
(2,0) 1b). Monte um algoritmo genérico para calcular e imprimir a integral I acima aproximada pelo método de 
Simpson, Sn, e o seu erro exato estimado, com valor exato 'estimado', usando os dados acima. 
 
(2,0) 3). Construa as 4 equações não lineares que podem determinar os 4 coeficientes: C(m,k) e 
t(m,k), k=1:m, para m=2 pontos do método de integração numérica de Gauss-Legendre. 
Obs.: Gauss pode determinar os 2.m=4 coeficientes a partir da montagem de 2.m=4 equações não 
lineares, fazendo a integração, de forma exata, de 2.m=4 polinômios: g(t)= t0, t1, t2, t3 (ou seja, 
polinômios de grau até 2.m-1=3). 
 
1). Considere a integral dxxdxxfI
b
 )ln( )(
2
1a
∫∫ == ,
 








−== ∫ )1).(ln( )ln( uuduuI 
(2,0) 1a). Calcule a integral numérica pelo método de Gauss-Legendre, Gm, com m=3 pontos, e seu erro exato; 
(2,0) 1b). Monte um algoritmo genérico para calcular e imprimir a integral I acima pelo método de Gauss-
Legendre, Gm, e o seu erro exato, com valor exato 'estimado', com os dados acima. 
 
2). Dada a equação diferencial ordinária 0y..2y =−′ x com x∈[0; 0,1] e condição inicial y(x=0)=1: 
(2,0) 2a). Resolva numericamente a equação diferencial ordinária por Runge-Kutta de 4ª ordem usando 
n=1, uma subdivisão do intervalo, obtendo y(x=0,1), e seu erro exato para conferir (yexato(x)=exp(x2));; 
(2,0) 2b). Monte um algoritmo genérico para calcular e imprimir o valor de y(x=0,1) pelo método de 
Runge-Kutta de 4ª ordem e o seu erro exato máximo, com valor exato 'estimado', com os dados acima. 
 
(2,0) 3). Construa as 6 equações não lineares que podem determinar os 6 coeficientes: C(m,k) e 
t(m,k), k=1:m, para m=3 pontos do método de integração numérica de Gauss-Legendre. 
Obs.: Gauss pode determinar os 2.m=6 coeficientes a partir da montagem de 2.m=6 equações não 
lineares, fazendo a integração, de forma exata, de 2.m=6 polinômios: g(t)= t0, t1, t2, t3, t4, t5 (ou seja, 
polinômios de grau até 2.m-1=5). 
 
(3,0) 2). Considere a integral dxxdxxfI
b
 )ln( )(
2
1a
∫∫ == ,
 
 
Monte um algoritmo genérico para calcular e imprimir a integral I acima aproximada pelo método de Gauss-
Legendre, Gm, e o seu erro exato com valor exato 'estimado', usando m=4 pontos. 
 
(2,0) 3). Monte os algoritmos das 6 equações não lineares (na forma de funções) que podem determinar os 
6 coeficientes do método de integração numérica de Gauss-Legendre Gm: C(m,k) e t(m,k), k=1:m, com 
m=3 pontos (Mostre a dedução das 6 equações). 
Obs.: Gauss pode determinar os 2.m=6 coeficientes a partir da montagem de 2.m=6 equações não 
lineares, fazendo a integração, de forma exata, de 2.m=6 polinômios: g(t)= t0, t1, t2, t3, t4, t5 (ou seja, 
polinômios de grau até 2.m-1=5). 
1). Considere a integral dx
x
dxxfI
b
 )1(
1
 )(
2
1
2
a
∫∫ +
== ,








+
==
+
∫ 1
 
1
n
uduuI
n
n
 
(2,0) 1a). Calcule a integral numérica pelo método de Simpson, Sn, com n=8 subdivisões, e seu erro exato para 
conferir; 
(2,0) 1b). Monte um algoritmo genérico para calcular e imprimir a integral I acima aproximada pelo método de 
Simpson, Sn, e o seu erro exato estimado, com valor exato 'estimado', usando os dados acima. 
 
(2,0) 3). Construa as 4 equações não lineares que podem determinar os 4 coeficientes: C(m,k) e 
t(m,k), k=1:m, para m=2 pontos do método de integração numérica de Gauss-Legendre. 
Obs.: Gauss pode determinar os 2.m=4 coeficientes a partir da montagem de 2.m=4 equações não 
lineares, fazendo a integração, de forma exata, de 2.m=4 polinômios: g(t)= t0, t1, t2, t3 (ou seja, 
polinômios de grau até 2.m-1=3). 
 
1). Em um projeto de telhado, definido conforme os 11 pontos (x,y) abaixo: 
 
x(i) 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 
 y(i) 0,000,090,160,210,240,250,240,210,160,090,00
 
 
 
(1,0) 1a). Calcule a área abaixo deste telhado pelo método dos Trapézios, Tn; 
(1,0) 1b). Calcule a área abaixo deste telhado pelo método de Simpson, Sn; 
(1,0) 1c). Qual das duas aproximações numéricas resulta no cálculo da área mais exata? Justifique com argumentos 
matemáticos. 
(1,0) 1d). É conhecido da literatura pertinente, que o método de Simpson é mais exato que o método dos Trapézios. 
Calcule uma estimativa do erro de truncamento da área calculada pelo método dos trapézios. 
(1,0) 1e). Se durante o desenvolvimento do projeto do telhado, fosse necessário calcular esta área com mais exatidão, 
que ações poderiam ser adotadas? Justifique. 
 
1). Considere a integral 
1
0
ln( ) I x dx= ∫ ,
 
ln( ) .(ln( ) 1)I u du u u = = − 
 
∫
 (1,0) 1a). Quais métodos podem ser aplicados para calcular numericamente esta integral imprópria (quando o intervalo 
de integração contém um ponto de descontinuidade)? Justifique; 
(3,0) 1b). Calcule esta integral numérica pelo método de Gauss-Legendre, Gm, com com erro exato ou erro exato 
estimado da ordem de O(10-2). 
(1,0) 1c). Como pode-se obter esta integral imprópria com mais exatidão? Justifique. 
 
 
1). Considere a integral 
1
0
ln( ) I x dx= ∫ ,
 
ln( ) .(ln( ) 1)I u du u u = = − 
 
∫
 (1,0) 1a). Quais métodos podem ser aplicados para calcular numericamente esta integral imprópria (quando o intervalo 
de integração contém um ponto de descontinuidade)? Justifique; 
(2,0) 1b). Monte uma function Gm=fGm(m,a,b), para integrar numericamente um função f(x) entre [a;b] pelo método de 
Gauss-Legendre, com até m=8 pontos. Valores de C(m,k) e t(m,k) para m=8 devem ser determinados previamente com 
precisão dupla; 
(1,0) 1c). Determine Gm(m), com m=1 até 8 pontos. Imprima Gm(m) e plote um gráfico com Gm x m; 
(1,0) 1d). Determine e imprima os erros exatos estimados de Gm(m), com m=1 até 7 pontos, juntamente com os erros 
exatos. 
 
 
 
0
0,1
0,2
0,3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
 
 
Exercícios sobre Equações Diferenciais Ordinárias (ECV e EMC): 
 
3). Resolva numericamente a equação diferencial ordinária de 1ª ordem 2xyy =−′ com 
x∈[0,1;0,2] e condição inicial y(0,1)=1 usando n=2, duas subdivisões do intervalo, obtendo y(0,2) 
pelo métodos numéricos de: 
a). Euler; 
b). Runge-Kutta de 2ª ordem; 
c). Runge-Kutta de 4ª ordem; 
d). Calcule o erro total estimado do valor de y(0,2) obtido por Runge-Kutta de 2ª ordem com n=2 
subdivisões, comparando-o com o calculo y(0,2) com n=4 subdivisões; 
 
4). 
a). Obtenha y(1,2) numericamente através da resolução da equação diferencial ordinária de 1ª 
ordem 0.2. =+′ yyx com x∈[1,0;1,2] e y(1,0)=1,0 (valor inicial), usando n=4 subdivisões do 
intervalo [1,0;1,2], pelo método de Euler; 
b). Monte um algoritmo que calcule e imprima y(1,2), através da resolução da equação diferencial 
ordinária de 1ª ordem 0.2. =+′ yyx com x∈[1,0;1,2] e y(1,0)=1,0 (valor inicial), usando n=8 
subdivisões do intervalo pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem; 
c). Monte um algoritmo que calcule e imprima, o erro total existente na solução numérica da 
equação diferencial ordinária de 1ª ordem 0.2. =+′ yyx em y(1,2), com x∈[1,0;1,2] e y(1,0)=1,0 
(valor inicial), usando n=8 subdivisões do intervalo pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem. 
 
5). Monte um algoritmo para ‘estimar’ o erro total existente, comparando as resoluções 
sucessivas de uma equação diferencial de 1ª ordem ′ =Y F(X,Y), com passos de integração 
h1=h (n subdivisões) e h2=h/2 (2*n subdivisões) pelo método de Runge-Kutta de 4ª ordem entre 
os pontos a e b com oo Y)Y(x == a . (Sugestão: Monte primeiro uma Função separada que 
calcule y(b) através da aplicação do método RK4 com um ‘n‘ qualquer: Function